. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, που λέγεται Ορίζουσα (Determinant) του Α, και παριστάνεται με τα σύμβολα: D(A), ή Α ή απλώς D.
.. Ορίζουσα πρώτης τάξης, λέγεται η ορίζουσα ενός πίνακα x,που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο και είναι αυτό το ίδιο το στοιχείο. Αν Α = [α ], τότε Α= α.. Ορίζουσα δεύτερης τάξης, λέγεται η ορίζουσα ενός πίνακα x, και είναι ο πραγματικός αριθμός, που προκύπτει αν πάρουμε το γινόμενο των δυο στοιχείων της κύριας διαγωνίου και από αυτό αφαιρέσουμε το γινόμενο
των δύο στοιχείων της άλλης διαγωνίου. Αν Α =, τότε η ορίζουσα του Α θα είναι: Α= = α α α α.
.. Αλγεβρικό Συμπλήρωμα ενός στοιχείου α ij, ενός πίνακα Α, λέγεται ο πραγματικός αριθμός (-) i+j M ij, όπου M ij είναι η ορίζουσα δεύτερης τάξης που προκύπτει αν στην ορίζουσα τρίτης τάξης παραλείψουμε τη γραμμή και τη στήλη του στοιχείου α ij, (όπου i =,, και j =,,). Η ορίζουσα M ij λέγεται Ελάσσων Ορίζουσα του στοιχείου α ij. 4
.4. Ορίζουσας τρίτης τάξης, λέγεται η ορίζουσα ενός πίνακα x και είναι ο πραγματικός αριθμός, που προκύπτει αν σχηματίσουμε το ανάπτυγμα της ορίζουσας κατά τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης(μέθοδος Laplace). Για να αναπτύξουμε μια ορίζουσα με τη Μέθοδο Laplace, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο μιας μόνο συγκεκριμένης γραμμής ή στήλης επί το αλγεβρικό του συμπλήρωμα και προσθέτουμε τα τρία γινόμενα. 5
Η πρόσθεση εδώ εννοείται με την αλγεβρική της έννοια, δηλαδή ανάλογα με τη θέση του στοιχείου και ανεξάρτητα από το πρόσημο του στοιχείου, τα πρόσημα του αλγεβρικού συμπληρώματος εναλλάσσονται(πρόσημα εναλλάξ). Το ανάπτυγμα της ορίζουσας τρίτης τάξης κατά τα στοιχεία της πρώτης γραμμής είναι: 6
Α= = α (-) + M + α (-) + M + α (-) + M = α (-) + + α (-) + + α (-) + = = + α - α + α = =+α (α α -α α ) - α (α α -α α )+α (α α -α α ). 7
Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να πάρουμε τα αναπτύγματα κατά τα στοιχεία μιας άλλης γραμμής ή στήλης, οπότε θα προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα, που θα είναι η τιμή της ορίζουσας τρίτης τάξης. Η παραπάνω διαδικασία μπορεί να εφαρμοσθεί και σε ορίζουσες τέταρτης και γενικότερα ν-οστής τάξης, όπου νν, δηλαδή το ν είναι φυσικός αριθμός. 8
.5. Κανόνας του Sarrus Ειδικά για τον υπολογισμό της τιμής μιας ορίζουσας τρίτης τάξης, ισχύει και ο παρακάτω πρακτικός κανόνας (Κανόνας του Sarrus ): + + + Α= = = - - - =α α α + α α α + α α α - α α α - α α α α α α. 9
.6.Παρατηρήσεις:. Αποδεικνύεται ότι: Α Β =Α Β και κ Α=κ ν Α, όπου ηα είναι ορίζουσα ν-οστής τάξης.. Αν ένας πίνακας Α είναι κανονικός, δηλαδή αν υπάρχει ο αντίστροφός του, ο Α -, τότε θα ισχύει Α Α - = Ι ν. Άρα θα είναι και: Α Α - =Ι ν ή Α Α - =Ι ν ή Α Α - = ή Α - = / Α
. Αν Α είναι ένας τετραγωνικός πίνακας νxν και σχηματίσουμε τον πίνακα Α x Ι ν, τότε η ορίζουσα Α x Ι ν μας δίνει ως ανάπτυγμα ένα πολυώνυμο ν-βαθμού ως προς x, f(x) = Α x Ι ν () το οποίο λέγεται Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο του πίνακα Α. Οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λέγονται χαρακτηριστικές τιμές του πίνακα Α.
Π.χ. ο πίνακας Α = πολυώνυμο: 5 έχει χαρακτηριστικό f(x) = A - x Ι ν = x 5 x = x +x-7. 4. Προφανώς ισχύει ότι:κάθε τετραγωνικός πίνακας είναι ρίζα του χαρακτηριστικού του πολυωνύμου (Θεώρημα των Caylay Hamilton).
Πράγματι αν στη σχέση () αντικαταστήσουμε το x με τον πίνακα Α, θα έχουμε: f(α) = A - Α Ι ν = A - Α =. Άρα ο Α είναι ρίζα του χαρακτηριστικού του πολυωνύμου..7. Ιδιότητες των οριζουσών. Η τιμή μιας ορίζουσας δεν αλλάζει αν οι γραμμές της γίνουν στήλες και οι στήλες γραμμές.. Αν σε μια ορίζουσα γίνει εναλλαγή της θέσης δύο γραμμών (ή δύο στηλών) η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο.
. Η τιμή μιας ορίζουσας είναι μηδέν αν τα αντίστοιχα στοιχεία δύο γραμμών (ή δύο στηλών) είναι ίσα ή ανάλογα. 4. Η τιμή μιας ορίζουσας είναι μηδέν αν όλα τα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης) είναι μηδέν. 5. Η τιμή μιας ορίζουσας πολλαπλασιάζεται επί έναν αριθμό λr, αν πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης επί λ. Άρα, αν υπάρχει κοινός παράγοντας στα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης, αυτός μπορεί να βγει εκτός της ορίζουσας. Επίσης αν 4
πολλαπλασιάσουμε επί λ τα στοιχεία δύο γραμμών(ή στηλών), η τιμή της ορίζουσας θα πολλαπλασιαστεί επί λ κ.λ.π. 6. Η τιμή μιας ορίζουσας δεν μεταβάλλεται αν στα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης), προσθέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης γραμμής (ή στήλης), πολλαπλασιασμένα με έναν αριθμό λr. 7. Αν σε μια ορίζουσα κάθε στοιχείο μιας γραμμής (ή στήλης), μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα δύο προσθετέων, 5
τότε και η ορίζουσα μπορεί να αναλυθεί σε άθροισμα δυο οριζουσών. Και αντιστρόφως, μπορούμε να προσθέσουμε δυο ορίζουσες, αν προσθέσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία μιας γραμμής (ή στήλης). 8. Η ορίζουσα ενός τριγωνικού άνω ή κάτω πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου. 9. Η ορίζουσα ενός διαγώνιου πίνακα, είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου του. 6
7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τις παρακάτω ορίζουσες: Α =, Β =, Γ=.. Επίσης τις ορίζουσες: Α =, Β= 4 4 4 4, Γ=.
8. Να αποδειχθεί ότι: = αβ. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) =, ii) =. iii) = 4, iv) 9 =, v) 9 4 =.