ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ΣΕ ΚΟΙΝΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Ενώ τα μοντέλα που εξετάσαμε στην προηγούμενη ενότητα είναι αρκετά γενικά και μπορούν να περιγράψουν πέρα από κοινωνικά και βιολογικά ή φυσικά συστήματα (π.χ. το μοντέλο Erdős- Renyi μπορεί να περιγράψει μεταξύ άλλων και φαινόμενα διήθησης υγρών σε στερεά) στα κοινωνικά δίκτυα υπάρχουν αρκετές ιδιαιτερότητες τις οποίες και θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας κατά την ανάλυση τους. Η δομή ενός κοινωνικού δικτύου μπορεί να περιγραφεί μέσω γενικών παραμέτρων (π.χ. βαθμός κόμβων, μήκη μονοπατιών), ή μέσω εδικότερων χαρακτηριστικών που εκτιμούν την εμφάνιση τοπικών φαινομένων (π.χ τριαδικό κλείσιμο, ομαδοποίηση), διαχωρισμού (ομοφιλία) ή χαρακτηριστκών θέσης (π.χ κεντρικότητα, μεσολάβηση). Στη τρέχουσα ενότητα θα ασχοληθούμε με ορισμένα από τα ειδικά αυτά χαρακτηριστικά. Τριαδικό Κλείσιμο, Ομοφιλία Οι συνδέσεις μεταξύ κόμβων σε κοινωνικά δίκτυα μπορούν να είναι ισχυρές ή ασθενείς όπως για παράδειγμα στην περίπτωση φιλικών σχέσεων που μπορεί να είναι στενές ή χαλαρές. Όπως αναφέραμε και στην προηγούμενη ενότητα η ισχύς της σύνδεσης μεταξύ δύο γειτονικών κόμβων μπορεί να αναπαρασταθεί ως ανάλογη του βάρους της ακμής που τους συνδέει. Στην περίπτωση συνδέσμων που αναπαριστούν φιλικές σχέσεις έχει παρατηρηθεί γενικότερα ότι αν δύο άτομα Α και Β έχουν ένα κοινό φίλο Γ τότε υπάρχει μια αυξημένη πιθανότητα ότι θα γίνουν και αυτοί φίλοι κάποια στιγμή στο μέλλον. Η συγκεκριμένη εμπειρική παρατήρηση αναφέρεται ως τριαδικό κλείσιμο (triadic closure). Το τριαδικό κλείσιμο μας επιτρέπει να προβλέψουμε ένα μέρος των ακμών που θα δημιουργηθούν σε ένα κοινωνικό δίκτυο ανιχνεύοντας περιπτώσεις στις οποίες υφίστανται οι σύνδεσμοι ΑΓ και ΒΓ αλλά όχι ο ΑΒ ο οποίος και πρόκεται με μεγάλη πιθανότητα να δημιουργηθεί στο μέλλον. Μια από τις κύριες γενεσιουργές αιτίες της εμφάνισης συνδέσεων σε κοινωνικά δίκτυα είναι η ομοφιλία (homophily), η παρατήρηση δηλαδή ότι είμαστε όμοιοι με τους φίλους μας. Συνήθως οι φίλοι μας δεν προέρχονται απο ένα τυχαίο δείγμα του πληθυσμού αλλά από την άποψη της ομάδας είναι γενικά όμοιοι με εμας σε αρκετές διαστάσεις. Π.χ έχουν περίπου την ίδια ηλικία με εμας, μοιράζονται τα ίδια ενδιαφέροντα, ανήκουν στην ίδια εισοδηματική τάξη κλπ. Η ομοφιλία αποτελεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο το περιβάλλον επηρεάζει τη δομή του κοινωνικού δικτύου. Για παράδειγμα, φιλίες που δημιουργούνται λόγω του τριαδικού κλεισίματος σε ένα δίκτυο οφείλονται στα ενδογενή χαρακτηριστικά του δικτύου (δηλαδή στην ύπαρξη σε αυτό ανοικτών τριαδικών δομών) ενώ φιλικοί δεσμοί που αναπτύσσονται μεταξύ των μαθητών ενός σχολείου ή των υπαλληλων μιας επιχείρησης οφείλονται στο κοινωνικό περιβάλλον στο οποίο ανήκουν τα άτομα που συνδέονται και στο οποίο η ομοφιλία αποτελεί ένα βασικό χαρακτηριστικό.\ Υπάρχουν δύο κύριες αιτίες που έχουν προταθεί για να εξηγήσουν το φαινόμενο της ομοφιλίας. Η πρώτη αφορά ατομικά χαρακτηριστικά τα οποία παραμένουν αναλλοίωτα στο χρόνο όπως η φυλή ή η εθνότητα. Σε σχέση με τα συγκεκριμένα χαρακτηριστικά η τάση των ανθρώπων να δημιουργούν φιλίες με άτομα με τα οποία έχουν κοινά αναλλοίωτα χαρακτηριστικά ονομάζεται επιλογή (selection). Στην περίπτωση μεταβλητών χαρακτηριστικών (π.χ ενδιαφέροντα, αντιλήψεις, γνώμες) οι μηχανισμοί μέσω των οποίων εμφανίζεται το φαινόμενο της ομοφιλίας είναι αρκετά πιο πολύπλοκοι και περιλαμβάνουν περιπτώσεις στις οποίες τα άτομα μεταβάλλουν τα χαρακτηριστικά τους ώστε να είναι περίσσότερο συμβατά με των φίλων τους. Αναφερόμαστε στις διαδικασίες αυτές ως τους μηχανισμούς κοινωνικοποίησης (socialization) ή κοινωνικής επιρροής (social influence) δεδομένου ότι οι δεσμοί στο κοινωνικό δίκτυο επηρεάζουν τα χαρακτηριστικά των ατόμων. Ο σημαντικός ρόλος που διαδραματίζει το περιβάλλον στη δημιουργία κοινωνικών δεσμών μας οδηγεί στην δημιουργία μιας παραλλαγής των κοινωνικών δικτύων, των δικτύων φορέων
(affiliation networks). Στα συγκεκριμένα δίκτυα υπάρχουν δύο κατηγορίες κόμβων: οι κόμβοι που αναπαριστούν άτομα και οι κόμβοι που αναπαριστούν τους φορεις στους οποίους ανήκουν τα. άτομα. Φορείς μπορεί να είναι οργανισμοί ή εταιρείες, θρησκευτικές ή πολιτικές οργανώσεις κλπ) και κάθε άλλος κοινωνικός σχηματισμός ο οποίος οδηγεί τα μέλη του σε κοινές δραστηριότητες και επομένως ευνοεί τη δημιουργία δεσμών ανάμεσα τους. Λόγω αυτής της ιδιότητας οι συγκεκριμένοι φορείς αναφέρονται ως εστίες (foci) δραστηριοτήτων. Ένα κλασσικό παράδειγμα μοντέλου που λαμβάνει υπόψη του τον τρόπο με τον οποίο το περιβάλλον επηρεάζει τη δομή ενός κοινωνικού δικτύου αποτελεί το μοντέλο του Schelling το οποίο προσομοιώνει έναν τρόπο με τον οποίο το φαινόμενο της ομοφιλίας όταν δρα σε τοπικό επίπεδο μπορεί να δημιουργήσει δίκτυα με μεγάλο βαθμό διαχωρισμού (segregation) ανάμεσα στους κόμβους τους. Στο μοντέλο υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας πληθυσμός κόμβων που ανήκουν σε δυο πιθανούς τύπους Χ και Ο. Κάθε τύπος αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο αναλλοίωτο χαρακτηριστικό τους κόμβου (π.χ. γλώσσα, εθνότητα κλπ). Οι κόμβοι είναι διατεταγμένοι σε ένα πλέγμα το οποίο αναπαριστά τη διδιάστατη γεωγραφία μιας πόλης (βλ Εικόνα 1). Κάθε κόμβος σε αυτό το πλέγμα συνδέεται με τους οκτω γειτονικούς του κόμβους. Επίσης ένα ποσοστό θέσεων στο πλέγμα είναι ελεύθερο (δηλαδή δεν υπάρχει κάποιος κόμβος σε εκείνη τη θέση). Κάθε κόμβος στο δικτυο επιθυμεί τουλάχιστον ένα συγκεκριμένο ποσοστό Κ των γειτόνων του να έχει τον ίδιο τύπο με τον εαυτό του. Αν το ποσοστό των γειτόνων που έχουν τον ίδιο τύπο με αυτόν είναι μικρότερο του Κ τότε ο κόμβος μπορεί να μετακινηθεί σε μια νεα ελεύθερη θέση στο πλέγμα. Η προσομοίωση εξελίσσεται σε κύκλους. Σε κάθε κύκλο, οι κόμβοι που δεν είναι ικανοποιημένοι με τη θέση τους μετακινούνται σε μια ελεύθερη θέση στο πλέγμα (υπάρχουν πολλές παραλλαγές του κανόνα με τον οποίο καθορίζονται οι νέες θέσεις των κόμβων στο πλέγμα). Το μοντελο οδηγεί σε δίκτυα με υψηλό βαθμό διαχωρισμού μεταξύ των κόμβων ανάλογα με τον τύπο τους όπως αυτό της Εικόνας 1. Εικόνα 1: Αρχικό (a) και τελικό (b) δίκτυο σε μια εφαρμογή του μοντέλου του Schelling. Το μοντέλο του Schelling είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον γιατί καταδεικνύει ότι ο κοινωνικός διαχωρισμός ως φαινόμενο δεν οφείλεται αποκλειστικά στην επιθυμία των ατόμων να ανήκουν σε ομογενείς ομάδες αλλά μπορεί να προέλθει ως παρενέργεια της τάσης που έχουν τα άτομα να ανήκουν σε πληθυσμιακές κοινότητες στις οποίες δεν αποτελούν περιθωριακές μειονότητες. Τα μοντέλα δικτύων που εξετάσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο δεν είναι σε θέση να προσομοιώσουν
κοινωνικές δομές στις οποίες εμφανίζεται το φαινόμενο της ομοφιλίας. Ο λόγος είναι ότι στα μοντέλα αυτά οι πιθανότητες με τις οποίες συνδέονται οι κόμβοι μεταξύ τους είναι ανεξάρτητες απο τα επιμέρους χαρακτηριστικά των κόμβων. Επομένως, στα δίκτυα με ομοφιλία η πιθανότητα σύνδεσης μεταξύ δύο κόμβων εξαρτάται από τα επιμέρους χαρακτηριστικά τους και επομένως η στατιστική τους ανάλυση είναι αρκετά πιο πολύπλοκη. Τα μοντέλα ERGM (Exponential Random Graph Models) αποτελούν μια διαδεδομένη μέθοδο αναπαράστασης τέτοιων δικτύων. Στα μοντέλα ERGM υποθέτουμε ότι η πιθανότητα σύνδεσης μεταξύ δυο κόμβων είναι ανάλογή ενός γραμμικού συνδυασμού των χαρακτηριστικών τους. Ως αποτέλεσμα, η πιθανότητα εμφάνισης ενός δικτύου με συγκεκριμένα στατιστικά χαρακτηριστικά μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια εκθετική κατανομή. Για παράδειγμα, η πιθανότητα εμφάνισης p ενός διτύου με συγκεκριμένο σνολικό βαθμό D στους κόμβους του αλλά και με συγκεκριμένο αριθμό T τριγώνων μεταξύ των κόμβων του μπορούμε να θεωρήσουμε ότι είναι ανάλογη με: p ~ e β*d+γ*t όπου β, γ συντελεστές του γραμμικού συνδυασμού. Η στατιστική ανάλυση τέτοιων δικτύων γίνεται μέσω της χρήσης μεθόδων MCMC (Markov Chain Monte Carlo) και δε θα επεκταθούμε περαιτέρω. Το Μοντέλο Watts-Strogatz Το μοντέλο Watts-Strogatz παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιφέρον καθώς δημιουργεί δίκτυα που συνδυάζουν δύο χαρακτηριστικά των κοινωνικών δικτύων: το μικρό ελάχιστο μήκος μονοπατιού μεταξύ των κόμβων του και το τριαδικό κλείσιμο. Για να περιγράψουμε τη βασική ιδέα πίσω από το συγκεκριμένο μοντέλο υποθέτουμε ότι οι κόμβοι του δικτύου είναι διατεταγμένοι σε ένα πλέγμα. Στη συνέχεια δημιουργούμε το δίκτυο επιτρέποντας σε κάθε κόμβο να δημιουργήσει k τυχαίους συνδέσμους με κόμβους οι οποίοι απέχουν απόσταση μικρότερη από μια σταθερά L από αυτόν στο πλέγμα και m τυχαίους συνδέσμους με οποιουσδήποτε κόμβους στο πλέγμα. Το αποτέλεσμα είναι ένα δίκτυο το οποίο περιέχει αρκετές τριγωνικές συνδέσεις μεταξύ κόμβων που βρίσκονται κοντά μεταξύ τους και επίσης ο μέσος όρος μήκους των μονοπατιών ελάχιστου μήκους που συνδέουν δύο οποιουσδήποτε κόμβους είναι μικρός. Ισορροπία Μέχρι τώρα υποθέτουμε ότι οι συνδέσεις μεταξύ των κόμβων σε ένα δίκτυο αναπαριστούν σχέσεις φιλίας ανάμεσα τους. Μια ενδιαφέρουσα παραλλαγή περιλαμβάνει και τη δυνατότητα εμφάνισης συνδέσμων που αναπαριστούν εχθρικές σχέσεις. Ειδικότερα, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι σε ένα πλήρες συνδεδεμένο δίκτυο υπάρχουν δύο ειδών ακμές: οι (+) ακμές αναπαριστούν σχέσεις φιλίας και οι (-) ακμές αναπαριστούν σχέσεις έχθρας. Λέμε ότι ένα τέτοιο δίκτυο είναι δομικά ισόρροπο (structurally balanced) όταν ο αριθμός των (+) ακμών με τις οποίες συνδέεονται τρεις οποιοιδήποτε κόμβοι είναι είτε τρία (3) είτε ένα (1). Επομένως η έννοια της δομικής ισορροπίας περιγράφει καταστάσεις στις οποίες ανάμεσα σε τρια οποιαδήποτε άτομα μπορούν είτε να υπάρχουν τρεις φίλοι είτε δύο φίλοι να έχουν έναν κοινό εχθρό. Όλοι οι υπόλοιποι συνδυασμοί χαρακτηρίζονται ως κοινωνικά ασταθείς και μεταβάλλονται με το χρόνο έτσι ώστε να καταλήξουν δομικά ισόρροποι. Το θεώρημα της ισορροπίας (balance theorem) καθορίζει την μορφή που έχουν δίκτυα με δυναμική ισορροπία. Πιο συγκεκριμένα το θεώρημα ορίζει ότι αν ένας πλήρως συνδεδεμένος γράφος με ακμές φιλίας ή έχθρας είναι ισορροπημένος τότε είτε όλα τα ζευγάρια των κόμβων του συνδέονται με φιλικές ακμές (όλοι είναι φίλοι μεταξύ τους) είτε οι κόμβοι μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες Α και Β έτσι ώστε κάθε ζευγάρι κόμβων στην Α συνδέεται με δεσμούς φιλίας, κάθε
ζευγάρι κόμβων στην Β συνδέεται με δεσμούς φιλίας και κάθε ζευγάρι κόμβων ένας εκ των οποίων ανήκει στην Α και ένας στην Β συνδέεται με εχθρικούς δεσμούς. Η έννοια της ισορροπίας βρίσκει εφαμρογή σε αρκετά πεδία όπως η ανάλυση των συμμαχιών που δημιουργούνται σε διεθνείς σχέσεις ή η μορφή που παίρνουν κοινωνικά δίκτυα όπως το epinions στα οποία οι χρήστες μπορούν να δημοσιεύσουν αρνητικές ή θετικές αξιολογήσεις για άλλους χρήστες ή προϊόντα. Ομαδοποίηση, Παράμετροι Γειτνίασης, Γέφυρες Σε κοινωνικά δίκτυα υπάρχουν ποιοτικές διαφορά στο είδος της πληροφορίας που εισφέρουν διάφοροι κόμβοι και στο είδος των σχέσεων που συνάπτουν ανάλογα με τη θέση τους στο δίκτυο. Η θέση κάποιου κόμβου σε ένα υποδίκτυο μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον συντελεστή ομαδοποίησης (clustering coefficient) για τον κόμβο. Ο συγκεκριμένος συντελεστής για έναν κόμβο Α ταυτίζεται με την πιθανότητα δύο τυχαίοι γείτονες του Α να είναι και μεταξύ τους γείτονες και υπολογίζεται ως ο λόγος του πλήθους των ζευγαριών κόμβων που είναι γείτονες με τον Α αλλά και μεταξύ τους δια του πλήθους των ζευγαριών κόμβων που είναι γείτονες του Α. Επομένως μια υψηλή τιμή για τον συντελεστή ομαδοποίησης ενός κόμβου αποτελεί ένδειξη ότι ο συγκεκριμένος κόμβος ανήκει σε μια στενά συνδεδεμένη ομάδα στο δίκτυο. Αντιθέτως, μια χαμηλή τιμή του συγκεκριμένου συντελεστή αποτελεί μια ένδειξη ότι ο κόμβος ανήκει σε χαλαρά συνδεδεμένες ομάδες του δικτύου. Μια άλλη παράμετρος που χαρακτηρίζει τη σχέση μεταξύ δύο γειτονικών κόμβων είναι η επικάλυψη γειτνίασης (neighborhood overlap) η οποία μας επιτρέπει να αντιληφθούμε πότε δύο κόμβοι έχουν αρκετούς κοινούς γνωστούς σε σχέση με όλους τιυς γείτονες τους ή όχι. Η επικάλυψη γειτνίασης για δύο κόμβους Α και Β ορίζεται ως ο λόγος του πλήθους των κόμβων που είναι κοινοί γείτονες των Α και Β δια του πλήθους των κόμβων που είναι γείτονες τουλάχιστον ενός εκ των δύο (εξαιρουμένων των Α και Β). Ο αριθμητής στον λόγο αυτό ορίζει την ενσωμάτωση (embeddedness) των δύο κόμβων. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κατά την οποία η επικάλυψη γειτνίασης είναι μηδέν (η οποία συμβαίνει όταν η ενσωμάτωση τους είναι μηδενική). Στην περίπτωση αυτή η ακμή που συνδέει τους δύο κόμβους χαρακτηρίζεται ως τοπική γέφυρα (bridge) μεταξύ των ομάδων στις οποίες ανήκουν οι Α και Β. Αν η συγκεκριμένη ακμή είναι η μοναδική που σννδέει τις ομάδες των Α και Β τότε ονομάζεται καθολκή γέφυρα (global bridge) και διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στο δίκτυο αφού η απώλεια της διακόπτει την επικοινωνία μεταξύ των ομάδων. Γενικά ο ρόλος των γεφυρών σε ένα κοινωνικό δίκτυο είναι αρκετά σημαντικός καθώς επιτρέπουν τη ροή πληροφοριών μεταξύ διαφορετικών ομάδων. Πιο συγκεκριμένα σε υποσύνολα κόμβων με υψηλό μέσο όρο επικάλυψης γειτνίασης οι πληροφορίες ανακυκλώνονται μεταξύ των μελών της ομάδας και το ποσοστό νέας πληροφορίας που εισέρχεται στην ομάδα είναι περιορισμένο. Σε τέτοιες περιπτώσεις περιφερειακοί κόμβοι που αποτελούν άκρα γεφυρών είναι κατά κύριο λόγο υπεύθυνοι για την εισαγωγή φρέσκων πληροφοριών από το υπόλοιπο δίκτυο οι οποίες και μπορεί να αξιοποιηθούν από την ομάδα. Ο βαθμός ενσωμάτωσης μεταξύ δύο κόμβων Α και Β έχει παρατηρηθεί ότι επηρεάζει και το είδος των δεσμών που αναπτύσσεται μεταξύ τους. Ειδικότερα, αρκετές κοινωνιολογικές μελέτες εκτιμούν ότι ακμές με υψηλούς βαθμούς ενσωμάτωσης διευκολύνουν την ανάπτυξη σχέσεων εμπιστοσύνης και ακεραιότητας μεταξύ των ατόμων που εμπλέκονται. Αυτό συμβαίνει γιατί η αλληλεπίδραση μεταξύ των Α και Β μπαίνει στο μικροσκόπιο ενός μεγάλου πλήθους κοινών φίλων οι οποίοι και συχνά στιγματίζουν συμπεριφορές των Α ή Β που αντίκεινται στα πρότυπα εμπιστοσύνης, εντιμότητας, ακεραιότητας κλπ που έχουν αναπτυχθεί ανάμεσα τους και στην ομάδα γενικότερα. Το αντίθετο συμβαίνει στην περίπτωση ακμών με χαμηλό δείκτη ενσωμάτωσης όπου σχέσεις εμπιστοσύνης είναι σπάνιο να οικοδομηθούν δεδομένου ότι δεν υπάρχει ο κοινωνικός περίγυρος για να ελέγχει τη συμπεριφορά των εμπλεκομένων ατόμων.
Κεντρικότητα Η κεντρικότητα (centrality) ενός κόμβου επιχειρεί να περιγράψει πόσο συνδεδεμένος και σημαντικός είναι ο κόμβους σε σχέση με τους υπόλοιπους κόμβους στο δίκτυο. Προφανώς ο βαθμός ενός κόμβου αποτελεί ένα σημαντικό δείκτη για να εκτιμήσουμε την κεντρικότητα ενός κόμβου. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιείται ο κανονικόποιημένος βαθμός ενός κόμβου ο οποίος υπόλογίζεται ως ο λόγος του βαθμού του προς το πλήθος των υπόλοιπων κόμβων στο δίκτυο και λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 1. Όμως πέρα από το βαθμό μας ενδιαφέρει να εκτιμήσουμε και την ευκολία με την οποία μπορούμε να προσπελάσουμε άλλους κόμβους στο δίκτυο μέσω του συγκεκριμένου κόμβου. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε την εγγύτητα (closeness) η οποία για έναν κόμβο Α ορίζεται ως ο λόγος του πλήθους των υπόλοιπων κόμβων στο δίκτυο προς το άθροισμα του μήκους των μονοπατιών ελαχίστου μήκους που συνδέουν τον Α με καθέναν από τους υπόλοιπους κόμβους. Η εγύτητα ενός κόμβου αυξάνεται όσο μειώνεται το άθροισμα στον παρανομάστη και επομένως μια μεγάλη τιμή εγγύτητητας υποδηλώνει ότι ο Α είναι κοντά σε όλους τους υπόλοιπους κόμβους. Μια παραλλαγή του ορισμού της εγγύτητας αφορά στην εξασθενημένη εγγύτητα (decay centrality), Αυτή ορίζεται μέσω μιας παραμέτρου δ η οποία λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 1 και καθορίζει το είδος της εγγήτητας που μας ενδιαφέρει. Ειδικότερα αν SumOfMinLengths(A) (=Σ length Ai ) είναι το άθροισμα του μήκους των μονοπατιών ελαχίστου μήκους που συνδέουν τον Α με τους υπόλοιπους κόμβους στο δίκτυο τότε η εξασθενημένη εγγύτητα DC A για τον Α ορίζεται ως: DC A = δ SumOfMinLenghts(A) Όταν η δ λαμβάνει τιμές κοντα στο 1 τότε η εξασθενημένη εγγύτητα εκφράζει το μέγεθος της συνδεδεμένης συνιστώσας στην οποία ανήκει ο Α ενώ τιμές της δ κοντά στο μηδέν επιτρέπουν στην εξασθενημένη εγγύτητα να εκτιμά το βαθμό του Α. Τιμές της δ γύρω στο 0.5 αντιστοιχούν σε μια εκτίμηση του συνδυασμού του βαθμού και του μεγέθους της συνιστώσας στην οποία ανήκει ο Α. Στην κανονικοποιημένη της έκφραση η εξασθενημένη εγγύτητα διαρείται με το γινόμενο (n-1)*δ, όπου n το πλήθος των κόμβων στο δίκτυο. Ένα επιπλέον χαρακτηριστικό που μπορεί να επηρεάσει την κεντρικότητα ενός κόμβου αφορά την σπουδαιότητα των φίλων του. Για παράδειγμα, η κεντρικότητα ενός κόμβου με πολλούς αλλά ασήμαντους φίλους μπορεί να είναι μικρότερη από την κεντρικότητα ενός κόμβου με λίγους αλλά σπουδαίους φίλους. Η περίπτωση αυτή αντιστοιχεί στην διαπίστωση ότι σε μια κοινωνία δεν είναι τόσο σημαντική η ποσότητα όσο η ποιότητα των γνωριμιών σου. Για να ποσοτικοποιήσουμε την συγκεκριμένη διαπίστωση μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η κεντρικότητα ενός κόμβου είναι ανάλογη του αθροίσματος της κεντρικότητας καθενός από τους γείτονες του. Μια τέτοια σχέση είναι εύκολα αντιληπτή αλλά είναι σχετικά δύσκολο να υπολογιστεί λόγω της αυτοαναφορικότητας της. Το πρόβλημα είναι ότι για να υπολογίσουμε την κεντρικότητα ενός κόμβου Α θα πρέπει να ξέρουμε την κεντρικότητα των γειτόνων του η οποία όμως για να υπολογιστεί θα πρέπει να γνωρίζουμε την κεντρικότητα του Α η οποία είναι και το ζητούμενο κ.ο.κ. Αν αναπαραστήουμε ως V το διάνυσμα που περιέχει την κεντρικότητα κάθε κόμβου ενός δικτύο τότε η κεντρικότητα V i του i-στου κόμβου του δικτύου εκφράζεται ώς: V i = k*σ(adj ij *V j ) όπου k ένας συντελεστής αναλογίας και Adj είναι ο πίνακας γειτνίασης για το δίκτυο. Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι το διάνυσμα V αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Adj. Αν υποθέσουμε ότι τα κελιά του Adj lπεριέχουν θετικές τιμές τότε επιλέγουμε να αντιστοιχίσουμε το V με την κανονικοποιημένη μορφή του μεγαλύτερου από όλα τα ιδιοδιανύσματα του Adj δεδομένου
ότι το μεγαλύτερο ιδιοδιάνυσμα του Adj είναι εξασφαλισμένο ότι θα έχει μόνο θετικές τιμές με βάση το θεώρημα των Perron-Frobenius. Μια παρόμοια με τα ιδιοδιανύσματα παράμετρος εκτίμησης της κεντρικότητας ενός κόμβου Α αποτελεί η κεντρικότητα κατά Katz-Bonacich (Katz-Bonacich centrality) η οποία υπολογίζεται με τα ακόλουθα βήματα: 1. Αρχικοποίησε τη κεντρικότητα κάθε κόμβου του δικτύου με μια τιμή ανάλογη του βαθμού του κόμβου. Οι βαθμοί όλων των κόμβων περιέχονται στο διάνυσμα που προκύπτει αν πολλαπλασιάσουμε τον Adj με ένα διάνυσμα Μ του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με 1. Όρισε επίσης μια σταθερά b η οποία θα χρησιμοποιηθεί στα επόμενα βήματα και αρχικοποίησε τη μεταβλητή length σε 1.. 2. Για κάθε κόμβο Α πρόσθεσε στην τρέχουσα τιμή της κεντρικότητάς του την κεντρικότητα όλων των κόμβων στους οποίους καταλήγουν όλα τα μονοπάτια μήκους length που ξεκινούν από τον Α πολλαπλασιασμένη επί b (ειδικότερα πρόσθεσε τον όρο b*adj length *M). Αν δεν υπάρχουν τέτοιοι κόμβοι ή αν η τιμή της length ξεπεράσει κάποιο όριο που έχει οριστεί από το χρήστη τότε ο αλγόριθμος τερματίζει. 3. length length +1 4. Επανέλαβε το βήμα 2. Μεσολάβηση Η μεσολάβηση (betweenness) ενός κόμβου Α εκτιμά πόσο σημαντικός είναι ο Α για την επικοινωνία μεταξύ δύο οποιονδήποτε άλλων κόμβων στο δίκτυο. Η μεσολάβηση ορίζεται ως το πλήθος των μονοπατιών ελάχιστου μήκους που συνδέουν δυο οποιουσδήποτε κόμβους και στα οποία ανήκει ο Α προς το πλήθος των μονοπατιών ελαχίστου μήκους που συνδέουν δυο οποιουσδήποτε κόμβους. Στην κανονικοποιημένη μορφή της η μεσολάβηση διαιρείται δια του όρου (n-1)*(n-2)/2 όπου n το πλήθος των κόμβων στο δίκτυο. O όρος αναφέρεται στον αριθμό των δυνατών συνδυασμών n-1 κόμβων ανα 2.