ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ. Ενότητα #11: Ασαφής Αριθμητική. Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #11: Ασαφής Αριθμητική Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Ασαφής Αριθμοί, Αριθμητική ασαφών αριθμών με την Αρχή της επέκτασης Εισαγωγή στα διαστήματα πραγματικών αριθμών, Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε αριθμητικά διαστήματα Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε ασαφείς αριθμούς Πράξεις με τη μέθοδο a-cut 4

5 Περιεχόμενα ενότητας (1) Ασαφής Αριθμοί Αριθμητική ασαφών αριθμών με την Αρχή της επέκτασης Εισαγωγή στα διαστήματα πραγματικών αριθμών Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε αριθμητικά διαστήματα Παράδειγμα Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε ασαφείς αριθμούς 5

6 Περιεχόμενα ενότητας (2) Πράξεις με τη μέθοδο a-cut Παράδειγμα: Πρόσθεση και αφαίρεση διακριτών ασαφών αριθμών Παράδειγμα: Πολλαπλασιασμός και διαίρεση διακριτών ασαφών αριθμών Παράδειγμα: Αφαίρεση ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής Παράδειγμα: Πολλαπλασιασμός ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής Παράδειγμα: Διαίρεση ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής 6

7 Ασαφείς αριθμοί

8 Ασαφείς αριθμοί(1) Ένα ασαφές σύνολο Α στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ονομάζεται ασαφής αριθμός εάν το Α έχει: a) την ιδιότητα της κανονικότητας b) την ιδιότητα της κυρτότητας c) ένα φραγμένο σύνολο στήριξης d) όλα τα α-cuts είναι κλειστά διαστήματα του R. Στην πράξη χρησιμοποιούνται οι τριγωνικοί και τραπεζοειδείς ασαφείς αριθμοί των οποίων οι συναρτήσεις συμμετοχής ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες. 8

9 Αριθμητική ασαφών αριθμών με την Αρχή της επέκτασης

10 Αριθμητική ασαφών αριθμών με την Αρχή της επέκτασης (1) Χρησιμοποιώντας την αρχή της επέκτασης μπορούμε να ορίσουμε τις τέσσερις βασικές πράξης της αριθμητικής. Πρόσθεση: Η συνάρτηση συμμετοχής του αθροίσματος δυο ασαφών αριθμών ορίζεται ως μμ ΑΑ+ΒΒ (zz) = sup xx+yy=zz min [μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] Αφαίρεση: Η συνάρτηση συμμετοχής της διαφοράς δυο ασαφών αριθμών ορίζεται ως μμ ΑΑ ΒΒ (zz) = sup xx yy=zz min [μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] 10

11 Αριθμητική ασαφών αριθμών με την Αρχή της επέκτασης (2) Πολλαπλασιασμός: Η συνάρτηση συμμετοχής του γινομένου δυο ασαφών αριθμών ορίζεται ως: μμ ΑΑ ΒΒ (zz) = sup min [μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] xx yy=zz Διαίρεση: Η συνάρτηση συμμετοχής της διαίρεσης δυο ασαφών αριθμών ορίζεται ως: μμ ΑΑ/ΒΒ (zz) = sup min [μμ ΑΑ (xx), μμ BB (yy)] xx/yy=zz 11

12 Εισαγωγή στα διαστήματα πραγματικών αριθμών

13 Εισαγωγή στα διαστήματα πραγματικών αριθμών(1) Σε πολλές πραγματικές εφαρμογές (συστήματα λήψης αποφάσεων) χρησιμοποιούμε διαστήματα πραγματικών αριθμών για να περιγράψουμε την αβεβαιότητα που υπάρχει για την πραγματική τιμή μιας αριθμητικής μεταβλητής. Το ίδιο συμβαίνει και σε τεχνολογικά προβλήματα όπου χρησιμοποιούνται συχνά διαστήματα για να χαρακτηρίσουμε αποδεκτές τις μεταβολές των παραμέτρων. Έτσι οι μαθηματικοί (1956) για να αντιμετωπίσουν τη μη-ακριβή αναπαράσταση πραγματικών αριθμών εισήγαγαν και μελέτησαν τα κλειστά διαστήματα (Interval analysis). 13

14 Εισαγωγή στα διαστήματα πραγματικών αριθμών (2) Η ανάλυση διαστημάτων είναι ο θεμελιώδης λίθος του ψηφιακού υπολογισμού στο οποίο η ακρίβεια μιας μεταβλητής είναι περιορισμένη αφού αναπαρίσταται από ένα πεπερασμένο πλήθος bits Για παράδειγμα, η πρόσθεση δυο διαστημάτων οδηγεί σε ένα ευρύτερο διάστημα επομένως η συσσωρευμένη αβεβαιότητα στο νέο διάστημα εξαρτάται από τις αλγεβρικές λειτουργίες που εφαρμόζονται στα δυο διαστήματα. 14

15 Εισαγωγή στα διαστήματα πραγματικών αριθμών (3) Όταν προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε δυο σαφείς αριθμούς το αποτέλεσμα είναι ένας σαφής αριθμός. Όταν προσθέτουμε ή πολλαπλασιάζουμε δυο διαστήματα το αποτέλεσμα είναι ένα νέο διάστημα. Στο νέο αυτό διάστημα πρέπει να καθορίσουμε τα δυο άκρα του, δηλαδή το κάτω και το άνω φράγμα. Για να υπολογίσουμε τα όρια του νέου διαστήματος χρησιμοποιούμε τα άκρα των δυο αρχικών διαστημάτων. 15

16 Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε αριθμητικά διαστήματα

17 Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε αριθμητικά διαστήματα (1) Πράξεις πρόσθεση [α, β]+[γ, δ] Αφαίρεση [α, β]-[γ, δ] Πολλαπλασιασμός [α, β] [γ, δ] Διαίρεση [α, β]/[γ, δ]=[α, β]/[1/δ,1/γ] Αποτέλεσμα [α+γ, β+δ] [α-δ,β-γ] [min(αγ, αδ, βγ, βδ),max(αγ, αδ, βγ, βδ)] [min(α/δ, α/γ, β/δ, β/γ),max(α/δ, α/γ, β/δ, β/γ)] Για τα κλειστά διαστήματα [α, β] και [γ, δ] ισχύει αα ββ κκκκκκ γγ δδ 17

18 Παράδειγμα

19 Παράδειγμα (1) Έστω δυο αριθμητικά διαστήματα Α=[2,6] ή [1,2] και Β=[1,4] ή [- 1,-4]. Να γίνουν οι 4 πράξεις. Πρόσθεση Α+Β=[2,6]+[1,4]=[2+1,6+4]=[3,10] Α+Β=[1,2]+[-1,-4]=[1-1,2-4]=[0,-2] Αφαίρεση Α-Β=[2,6]-[1,4]=[2-4,6-1]=[-2,5] Α-Β=[1,2]-[-1,-4]=[1+4,2+1]=[5,3] 19

20 Παράδειγμα (2) Πολλαπλασιασμός Α Β=[2,6] [1,4]=[min(2 1,2 4,6 1,6 4), max(2 1,2 4,6 1,6 4)]=[2,24] Α Β=[1,2] [-1,-4]=[min(1 (-1),1 (-4),2 (-1),2 (-4)), max(1 (-1),1 (- 4),2 (-1),2 (-4))]=[min(-1,-4,-2,-8),max(-1,-4,-2,-8)]=[-8,-1] Διαίρεση Α/Β=[2,6]/[1,4]=[2,6] [1/4,1/1]=[min(2 1/4, 2 1/1,6 1/4,6 1/1), max(2 1/4, 2 1/1,6 1/4,6 1/1)]=[min(0.5,2, 1.5,6), max(0.5,2, 1.5,6)]=[0.5,6] Α/Β=[1,2]/[-1,-4]=[1,2] [1/(-4),1/(-1)]=[min(1 (-1/4),1 (-1),2 (- 1/4),2 (-1)), max(1 (-1/4),1 (-1),2 (-1/4),2 (-1))]=[min(-0.25,-1,- 20

21 Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε ασαφείς αριθμούς

22 Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε ασαφείς αριθμούς (1) Ένα ασαφές σύνολο μπορεί να αναπαρασταθεί με τις α-τομές, δηλαδή μια συνάρτηση συμμετοχής μπορεί να παραμετροποιηθεί με την παράμετρο α. Η παράμετρος α είναι ένας αριθμός που παίρνει τιμές στο διάστημα [0,1] Η παραμετροποίηση της συνάρτησης του ασαφούς αριθμού από το α μας προσφέρει τη δυνατότητα του μετασχηματισμού του ασαφούς αριθμού σε κλειστά διαστήματα Έτσι οι ασαφείς αριθμητικές πράξεις ουσιαστικά μετατρέπονται σε πράξεις αριθμητικών διαστημάτων. Το α-cut ενός ασαφούς συνόλου Α στο R ορίζεται ως ΑΑ αα = {xx RR, μμ ΑΑ (xx) αα} Για να κάνουμε ακριβή αναπαράσταση του ασαφούς συνόλου ορίζουμε ένα ασαφές σύνολο με συνάρτηση συμμετοχής ααμμ ΑΑαα (xx) 22

23 Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε ασαφείς αριθμούς (2) Το Θεώρημα της ανάλυσης (Resolution Principle ή Decomposition Theorem) δηλώνει ότι η συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου Α ισούται με την ασαφή ένωση (τελεστής max) των συναρτήσεων συμμετοχής ααμμ ΑΑαα (xx) ήτοι το sup πάνω στο αα [0.1]. Η σχέση είναι: μμ ΑΑ (xx) = (ααμμ ΑΑ 0<aa 1 αα (xx)) Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ασαφές σύνολο Α με aa + αα, aa αα τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής και η έννοια του α-cut είναι να μετατρέψει ένα ασαφές σύνολο με μια στάθμη α σε ένα διάστημα εμπιστοσύνης. 23

24 Αλγεβρικές πράξεις (operations) σε ασαφείς αριθμούς (3) Σχήμα: Η έννοια του α-cut μετασχηματίζει ένα ασαφές σύνολο σε ένα κλειστό διάστημα 24

25 Πράξεις με τη μέθοδο a-cut

26 Πράξεις με τη μέθοδο a-cut (1) Έστω μια ειδική κατηγορία ασαφών αριθμών που συχνά χρησιμοποιείται στην πράξη και είναι οι τριγωνικοί ασαφείς αριθμοί. Ένας τριγωνικός ασαφής αριθμός Α είναι ένα ασαφές σύνολο στο R με τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής: μμ ΑΑ (xx) = μμ ΑΑ (xx; aa, bb, cc) Πρόσθεση και αφαίρεση με τη μέθοδο α-cut Έστω δυο τριγωνικοί ασαφείς αριθμοί Α και Β. Τα αντίστοιχα α- cuts αυτών είναι: AA aa = [aa αα, aa + αα ], BB aa = [bb αα, bb + αα ] Τότε η πρόσθεση Α+Β είναι ένας ασαφής αριθμός που ορίζεται με τον τύπο: (AA + BB) aa = [aa αα + bb + αα, aa + αα + bb αα ] η αφαίρεση Α-Β είναι ένας ασαφής αριθμός που ορίζεται από τον τύπο: (AA BB) aa = [aa αα bb + αα, aa + αα bb αα ] 26

27 Πράξεις με τη μέθοδο a-cut (2) Ο πολλαπλασιασμός του Α και του Β, Α Β, είναι ένας ασαφής αριθμός που δίνεται από τον τύπο: (ΑΑ ΒΒ) αα = [min(αα αα bb αα, αα αα bb αα +, αα αα + bb αα, αα αα + bb αα + ), max(αα αα bb αα, αα αα bb αα +, αα αα + bb αα, αα αα + bb αα + )] Εάν 0 [bb αα, bb + αα ] τότε η διαίρεση του Α και Β, Α/Β, είναι ένας ασαφής αριθμός που δίνεται από τον τύπο: (ΑΑ/ΒΒ) αα = [min(αα αα /bb αα, αα αα /bb αα +, αα αα + /bb αα, αα αα + /bb αα + ), max(αα αα /bb αα, αα αα /bb αα +, αα αα + /bb αα, αα αα + /bb αα + )] 27

28 Παράδειγμα: Πρόσθεση και αφαίρεση διακριτών ασαφών αριθμών

29 Παράδειγμα: Πρόσθεση και αφαίρεση διακριτών ασαφών αριθμών (1) Ας υπολογίσουμε το γινόμενο δυο ασαφών αριθμών Α=3 και Β=11 με 0.5-cut. A={0.3/1+0.6/2+1/3+0.7/4+0.2/5} B={0.5/10+1/11+0.5/12} AA 0.5 = [αα 0.5, αα ] = [2,4] ΒΒ 0.5 = [bb 0.5, bb ] = [10,12] (AA + ΒΒ) 0.5 = [2 + 10,4 + 12] = [12,16] 1 εεάνν xx [12, 16] μμ (AA+ΒΒ)0.5 (xx) = 0 εεάνν xx [12,16] (AA ΒΒ) 0.5 = [2 12,4 10] = [ 10, 6] 29

30 Παράδειγμα: Πολλαπλασιασμός και διαίρεση διακριτών ασαφών αριθμών

31 Παράδειγμα: Πολλαπλασιασμός και διαίρεση διακριτών ασαφών αριθμών (1) (AA BB) 0.5 = [min(20,24,40,48), max(20,24,40,48)] = [20,48] (AA/BB) 0.5 = [min(1/5, 1/6, 2/5, 1/3), max(1/5, 1/6, 2/5, 1/3)] = [1/6, 2/5] 31

32 Παράδειγμα: Αφαίρεση ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής

33 Παράδειγμα: Αφαίρεση ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής (1) Ας υπολογίσουμε το άθροισμα δυο ασαφών αριθμών Α=8 και Β=5. Οι ασαφείς αριθμοί εκφράζονται από τους τύπους: μμ ΑΑ (xx) = 0 γγγγγγ xx 7 xx 7 γγγγγγ 7 xx 8 xx + 9 γγγγγγ 8 xx 9 0 γγγγγγ xx 9 κκκκκκ μμ ΒΒ (xx) = 0 γγγγγγ xx 4 xx 4 γγγγγγ 4 xx 5 xx + 6 γγγγγγ 5 xx 6 0 γγγγγγ xx 6 33

34 Παράδειγμα: Αφαίρεση ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής (2) AA aa = [aa αα, aa αα + ] μμ ΑΑ (αα αα ) = αα = αα αα 7 αα αα = αα + 7 κκκκκκ μμ ΑΑ (αα + αα ) = αα = αα + αα + 9 αα + αα = 9 αα ΑΑ αα = [αα + 7, 9 αα] Επομένως BB aa = [bb αα, bb αα + ] μμ ΒΒ (bb αα ) = αα = bb αα 4 bb αα = αα + 4 κκκκκκ μμ BB (bb + αα ) = αα = bb + αα + 6 bb + αα = 6 αα Επομένως ΒΒ αα = [αα + 4, 6 αα] 34

35 Παράδειγμα: Αφαίρεση ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής (3) Άρα αποκτήσαμε γενικούς τύπους για τα κλειστά διαστήματα που χαρακτηρίζουν όλα τα α-cuts. (ΑΑ ΒΒ) αα = [αα αα bb αα +, αα αα + bb aa ] = [(aa + 7) (6 aa), (9 aa) (aa + 4)] = [2aa + 1, 5 2aa] 2aa + 1 = xx μμμμ xx [1,3] κκκκκκ 5 2αα = xx μμμμ xx [3,5] επιλύνοντας τις εξισώσεις ως προς α έχουμε αα = xx 1 2 αα = xx 5 2 = (ΑΑ ΒΒ)(xx) μμμμ xx [1,3] = (ΑΑ ΒΒ)(xx) μμμμ xx [3,5] Οπότε η συνάρτηση συμμετοχής της διαφοράς είναι: μμ AA BB (xx) = 0 μμμμ xx 1 xx 1 μμμμ 1 xx 3 2 xx 5 μμμμ 3 xx

36 Παράδειγμα: Πολλαπλασιασμός ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής

37 Παράδειγμα: Πολλαπλασιασμός ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής (1) Ας υπολογίσουμε το γινόμενο δυο ασαφών αριθμών Α=8 και Β=5. μμ ΑΑ (αα αα ) = αα = αα αα 7 αα αα = αα + 7 κκκκκκ μμ ΑΑ (αα αα + ) = αα = αα αα αα αα + = 9 αα μμ ΒΒ (bb αα ) = αα = bb αα 4 bb αα = αα + 4 κκκκκκ μμ BB (bb + αα ) = αα = bb + αα + 6 bb + αα = 6 αα Οπότε (AA BB) aa = [min(aa aa + 28, aa 2 aa + 42, aa 2 + 5aa + 3, aa 2 15aa + 54)] mmmmmm(aa aa + 28, aa 2 aa + 42, aa 2 + 5aa + 3, aa 2 15aa + 54) (AA BB) aa = [aa aa + 28, aa 2 15aa + 54] 37

38 Παράδειγμα: Πολλαπλασιασμός ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής (2) aa αα + 28 = xx μμμμ xx [28,40] μμμμ αα = = (AA BB)(xx) aa 2 15αα + 54 = xx μμμμ xx [40], 54 μμμμ αα = xx = (AA BB)(xx) xx 2 Οπότε η συνάρτηση συμμετοχής του γινομένου είναι: 0 μμμμ xx xx μμμμ 28 xx 40 μμ AA BB (xx) = xx μμμμ 40 xx μμμμ xx 54 38

39 Παράδειγμα: Διαίρεση ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής

40 Παράδειγμα: Διαίρεση ασαφών αριθμών με συνεχή συνάρτηση συμμετοχής (1) Ας υπολογίσουμε το γινόμενο δυο ασαφών αριθμών Α = 8 και Β = 5. αα αα (AA/BB) αα = [min αα + 7 αα, max (9 6 αα αα + 4 )] xx = 9 αα αα + 4 6xx 7 = xx οοοοόττττ αα = = (ΑΑ xx + 1 ΒΒ )(xx) μμμμ 7 6 xx 8 5 4xx + 9 οοοοόττττ αα = xx + 1 = (AA/BB)(xx) μμμμ 8 5 xx 9 4 επομένως η συνάρτηση συμμετοχής του πηλίκου είναι: 0 μμμμ xx 7 6 6xx 7 μμαα (xx) = xx + 1 μμμμ 7 6 xx 8 5 ΒΒ 4xx + 9 xx + 1 μμμμ 8 5 xx μμμμ xx

41 Τέλος Ενότητας