105 Κεφάλαιο 5 ΘΕΩΡΙΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΥΛΙΚΩΝ 5.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια αναλύσαμε την εντατική κατάσταση σε δομικά στοιχεία τα οποία καταπονούνται κατ εξοχήν αξονικά (σε εφελκυσμό ή θλίψη) ή πάνω σε ένα επίπεδο (επίπεδη εντατική κατάσταση ή επίπεδη παραμόρφωση). Φυσικά η εντατική κατάσταση σε ένα σημείο (μία πολύ μικρή περιοχή, όπως έχουμε αναφέρει) ενός δομικού στοιχείου μπορεί να είναι αρκετά πιο περίπλοκη, στη γενική δε περίπτωση να περιγράφεται από 6 τάσεις με τις αντίστοιχες παραμορφώσεις [βλ. π.χ. εξ. (3.13)]. Το ερώτημα που θα απαντήσουμε στο κεφάλαιο αυτό αποτελεί ένα από τα πλέον θεμελιώδη της μηχανικής των υλικών αλλά και γενικότερα του σχεδιασμού κατασκευών: Μέχρι πού μπορούν να φθάσουν τα εξωτερικά φορτία σε μία κατασκευή, δηλαδή στα δομικά στοιχεία ενός φορέα, ώστε να μην προκληθεί αστοχία; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό προϋποθέτει κατ αρχήν γνώση της εντατικής κατάστασης σε κάθε σημείο της κατασκευής, ή έστω σε περιοχές όπου η εντατική κατάσταση είναι πιο δυσμενής συγκριτικά με άλλες (κρίσιμες περιοχές). Ακόμα προϋποθέτει γνώση της μηχανικής συμπεριφοράς του υλικού (ή των υλικών) της κατασκευής, ή με απλά λόγια, γνώση σχετικά με πώς και πότε αστοχεί ένα υλικό. Για παράδειγμα, ας φανταστούμε ένα ορθογωνικό πρίσμα από σκυρόδεμα (Σχ. 5.1α). Αν το πρίσμα αυτό φορτίζεται με σταδιακά αυξανόμενη θλιπτική δύναμη, κάποια στιγμή, δηλαδή για κάποια συγκεκριμένη τιμή της θλιπτικής δύναμης (έστω P 1), θα αστοχήσει (θα υποστεί θραύση). Αν όμως στο πρίσμα δρα (από την αρχή της φόρτισης) εκτός από τη θλιπτική δύναμη και εγκάρσια πίεση, έστω p A (Σχ. 5.1β), η αστοχία θα επέλθει σε μεγαλύτερη τιμή της δύναμης ( P > P1 ). Αν η εγκάρσια πίεση ήταν p B > pa (Σχ. 5.1γ), τότε η δύναμη που θα χρειαζόταν για να προκληθεί αστοχία θα ήταν ακόμα μεγαλύτερη ( P 3 > P > P1 ). Παρατηρούμε δηλαδή ότι η θλιπτική τάση στην κύρια (κατακόρυφη) διεύθυνση του πρίσματος, τη στιγμή της αστοχίας, εξαρτάται από το μέγεθος και των εγκαρσίων τάσεων. Για να είμαστε λοιπόν σε θέση να προβλέψουμε τη θλιπτική δύναμη αστοχίας του πρίσματος θα πρέπει να γνωρίζουμε τη σχέση αξονικής τάσης εγκάρσιας πίεσης κατά την αστοχία. Η σχέση αυτή δίνεται από τη λεγόμενη θεωρία αστοχίας ή κριτήριο αστοχίας για το σκυρόδεμα.
106 P 1 P P 3 p Α p Β p Α p Β P 1 P P 3 (α) (β) (γ) Σχ. 5.1 Η θλιπτική αντοχή του σκυροδέματος αυξάνεται με την αύξηση της πλευρικής πίεσης (P 3 > P > P 1, p B > p A ). Η αστοχία κάθε υλικού περιγράφεται από μία συγκεκριμένη θεωρία (κριτήριο). Αν δηλαδή το πρίσμα του παραπάνω παραδείγματος ήταν από χάλυβα αντί για σκυρόδεμα, ο τρόπος με τον οποίο θα άλλαζε η θλιπτική δύναμη αστοχίας συναρτήσει της πλευρικής πίεσης θα ήταν διαφορετικός: η θεωρία αστοχίας για το χάλυβα είναι διαφορετική από αυτή για το σκυρόδεμα. Άλλες φορές, ακόμα και το ίδιο υλικό μπορεί να περιγράφεται από διαφορετικές θεωρίες αστοχίας. Για παράδειγμα, ορισμένοι χάλυβες σε χαμηλές θερμοκρασίες συμπεριφέρονται ως ψαθυρά υλικά, ενώ σε συνήθεις ή υψηλές θερμοκρασίες είναι όλκιμοι (π.χ. Σχ. 5.). Η θεωρία αστοχίας για κάθε περίπτωση θα είναι διαφορετική. Αντοχή Πλάστιμος Ψαθυρός Θερμοκρασία Σχ. 5. Ο χάλυβας μπορεί να συμπεριφέρεται ως υλικό πλάστιμο ή ψαθυρό, ανάλογα με τη θερμοκρασία.
107 5. Θεωρία της μέγιστης διατμητικής τάσης Η θεωρία της μέγιστης διατμητικής τάσης 1 διατυπώθηκε βάσει της παρατήρησης ότι τα όλκιμα υλικά αστοχούν (διαρρέουν) μέσω ολίσθησης σε ορισμένα επίπεδα, οπότε κρίσιμη για την αστοχία τους είναι η μέγιστη διατμητική τάση. Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή η αστοχία ενός υλικού επέρχεται όταν η μέγιστη διατμητική τάση τ max [εξ. (4.9)] φθάσει μία κρίσιμη τιμή τ cr, η οποία συνήθως ισούται με τη διατμητική τάση κατά τη διαρροή σε μονοαξονική φόρτιση: σ f 1 y τ max = τcr = ± = (5.1) όπου f y η τάση διαρροής σε μονοαξονική φόρτιση, θεωρούμενη ίση για εφελκυσμό ή θλίψη (η f y λαμβάνεται θετική). Χαρακτηριστική εφαρμογή της θεωρίας μέγιστης διατμητικής τάσης βλέπουμε στο Σχ. 5.3, στο οποίο η αστοχία του ξύλου σε μονοαξονική θλίψη συμβαίνει μέσω ολίσθησης (δηλαδή λόγω διάτμησης) σε επίπεδο που σχηματίζει γωνία 45 ο με τη διεύθυνση φόρτισης, εκεί δηλαδή που δρα η μέγιστη διατμητική τάση [βλ. εξ. (1.9)]. Σχ. 5.3 ιατμητική αστοχία ξύλου σε μονοαξονική θλίψη. Για την επίπεδη εντατική κατάσταση διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Αν οι κύριες τάσεις και σ είναι και οι δύο θετικές (Σχ. 5.4α-γ), τότε τ max = /, οπότε το κριτήριο αστοχίας είναι = f y. Αν είναι και οι δύο αρνητικές, τότε τmax = σ / και το κριτήριο αστοχίας γίνεται σ = f. Αν θεωρήσουμε ότι για τις κύριες τάσεις και σ y 1 Η θεωρία αυτή προτάθηκε για πρώτη φορά από τον C. A. Coulomb το 1773. Tο 1868, ο H. Tresca την υιοθέτησε για να περιγράψει την αστοχία (διαρροή) των μετάλλων υπό υψηλή πλευρική πίεση. Σήμερα η θεωρία αυτή συχνά φέρει το όνομα του Tresca.
108 δεν ισχύει κατ ανάγκη > σ, δηλαδή αν και σ είναι γενικώς οι κύριες τάσεις, ανεξαρτήτως μεγέθους, οι παραπάνω συνθήκες θα πρέπει να ισχύουν αντικαθιστώντας όπου το σ και αντιστρόφως. Συμπερασματικά, για ομόσημες και σ το υλικό βρίσκεται στην ελαστική περιοχή, δηλαδή δεν αστοχεί, όταν ισχύουν οι συνθήκες: < f y και σ < (5.) Αν οι κύριες τάσεις και σ είναι ετερόσημες (θετική η και αρνητική η σ, άρα σ 3 = 0 ), Σχ. 5.4δ-ε, τότε τmax = ( σ1 + σ )/ = ( σ1 σ )/. Αν και πάλι θεωρήσουμε ότι και σ είναι γενικώς οι κύριες τάσεις, ανεξαρτήτως μεγέθους, για ετερόσημες και σ το υλικό δεν αστοχεί όταν ισχύει η συνθήκη: σ σ < f 1 y (5.3) Επίπεδο ολίσθησης (α) Επίπεδα ολίσθησης (β) (γ) Επίπεδο ολίσθησης Επίπεδα ολίσθησης (δ) (ε) (στ) Σχ. 5.4 Επίπεδα ολίσθησης (αστοχίας λόγω διάτμησης) στην επίπεδη εντατική κατάσταση για ομόσημες και ετερόσημες κύριες τάσεις.
109 Οι σχέσεις (5.) (5.3) αποτελούν το κριτήριο αστοχίας με βάση τη θεωρία της μέγιστης διατμητικής τάσης, γνωστό και ως κριτήριο Tresca. Αν οι σχέσεις αυτές παρασταθούν γραφικά στο σύστημα αξόνων σ1 σ (που ονομάζεται και τασικό επίπεδο), τότε οριοθετούν μία επιφάνεια της οποίας οι εξωτερικές πλευρές ορίζουν μία καμπύλη σχήματος εξαγώνου, γνωστό ως εξάγωνο Tresca. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται καμπύλη αστοχίας και δίνεται (με όλες τις τάσεις ανηγμένες, δηλαδή διαιρεμένες με f y ) στο Σχ. 5.5. σ Σχ. 5.5 Κριτήριο αστοχίας με βάση τη μέγιστη διατμητική τάση (κριτήριο Tresca). Βασικό χαρακτηριστικό της καμπύλης αστοχίας είναι ότι αν ο συνδυασμός των και σ δίνει σημείο εντός της καμπύλης, τότε το υλικό βρίσκεται στην ελαστική περιοχή, δηλαδή δεν αστοχεί. Αν ο συνδυασμός των και σ δίνει σημείο επί της καμπύλης, τότε το υλικό αστοχεί. Προφανώς σημεία εκτός της καμπύλης δεν μπορεί να υπάρξουν, δεδομένου ότι το υλικό έχει ήδη αστοχήσει. 5.3 Θεωρία της μέγιστης ειδικής ενέργειας σύνογκης (ή διατμητικής) παραμόρφωσης Στην Ενότητα.9 ορίστηκε η ενέργεια παραμόρφωσης ανά μονάδα όγκου, δηλαδή η ειδική ενέργεια παραμόρφωσης U o για την περίπτωση μονοαξονικής εντατικής κατάστασης. Για τη γενική περίπτωση τριαξονικής εντατικής κατάστασης η εξ. (.15) μπορεί να γενικευθεί ως εξής: σ1ε 1 σ ε σ 3ε U 3 o = + + (5.4)
110 Αντικαθιστώντας τις κύριες παραμορφώσεις μέσω των τριών πρώτων εξ. (3.1) (στις οποίες οι τάσεις αντικαθίστανται με τις κύριες τάσεις) γράφουμε: ν ( σ + σ + σ ) ( σ σ + σ σ + σ σ ) 1 U o = 1 3 1 3 3 1 (5.5) E Ε Ακολούθως αναλύουμε τη γενική τριαξονική εντατική κατάσταση σε δύο καταστάσεις. Για την πρώτη φανταζόμαστε ότι το υλικό καταπονείται τριαξονικά από τρεις ορθές τάσεις, ίσες με τη μέση ή υδροστατική τάση σ : σ1 + σ + σ σ = 3 (5.6) 3 Η δεύτερη κατάσταση ( αποκλίνουσες τάσεις) προκύπτει αφαιρώντας από την πραγματική εντατική κατάσταση την πρώτη. Έτσι, με βάση την αρχή της επαλληλίας, το άθροισμα των δύο καταστάσεων δίνει την πραγματική εντατική κατάσταση. Σε μητρωική μορφή μπορούμε να γράψουμε: σ1 0 0 0 σ 0 0 σ 0 = 0 σ 3 0 0 σ 0 0 σ1 σ 0 + 0 σ 0 σ σ 0 0 0 0 σ σ 3 (5.7) Εκ των παραπάνω τανυστών στο δεξιό μέλος της εξ. (5.7) ο πρώτος ονομάζεται ισότροπος ή υδροστατικός τανυστής τάσεων και ο δεύτερος αποκλίνων τανυστής τάσεων (ή τανυστής μεταβολής σχήματος). Τα ονόματα των τανυστών εξηγούνται καλύτερα στα παραδείγματα του Σχ. 5.6α-γ για την τριαξονική εντατική κατάσταση και του Σχ. 5.6δ-ζ για τη μονοαξονική. Στα σχήματα αυτά φαίνεται καθαρά ότι ο ισότροπος τανυστής (Σχ. 5.6ε) αντιστοιχεί σε ομοιόμορφη μεταβολή όγκου του υλικού, ενώ ο αποκλίνων τανυστής (άθροισμα εντατικών καταστάσεων των Σχ. 5.6στ-ζ) αντιστοιχεί σε μεταβολή σχήματος (ας παρατηρήσουμε ότι το καθένα από τα Σχ. 5.6στ-ζ αντιστοιχεί σε καθαρή διάτμηση, που έχει ως αποτέλεσμα μόνο μεταβολή σχήματος). Έχοντας διαχωρίσει τη γενική τριαξονική κατάσταση σε υδροστατική και αποκλίνουσα, μπορούμε να διαχωρίσουμε και την αντίστοιχη ειδική ενέργεια παραμόρφωσης σε αυτήν που οφείλεται στις υδροστατικές τάσεις (ειδική ενέργεια σύμμορφης παραμόρφωσης U o, v ) και σε αυτήν που οφείλεται στις αποκλίνουσες τάσεις (ειδική ενέργεια σύνογκης παραμόρφωσης ή ειδική ενέργεια διατμητικής παραμόρφωσης U o, s ). Η ειδική ενέργεια σύμμορφης παραμόρφωσης προσδιορίζεται θέτοντας στην εξ. (5.5) σ σ = = p και αντικαθιστώντας το p με ( σ + σ + 3 ) / 3: 1 = σ 3 ( ν ) 1 σ 3 1 1 ν U, ( σ1 + σ + σ 3 ) o v = p = (5.8) E 6E
111 Η ειδική ενέργεια σύνογκης παραμόρφωσης υπολογίζεται αφαιρώντας την U. Μετά από απλοποιήσεις και θέτοντας = E / ( 1+ν ) o U, s G βρίσκουμε: [( σ1 σ ) + ( σ σ 3 ) + ( σ 3 σ1) ] U o, v από την 1 o = (5.9) 1G Τριαξονική εντατική κατάσταση (α) (β) (γ) Μονοαξονική εντατική κατάσταση (δ) (ε) (στ) (ζ) Σχ. 5.6 Ανάλυση τριαξονικής και μονοαξονικής εντατικής κατάστασης. Σύμφωνα λοιπόν με τη θεωρία της μέγιστης ειδικής ενέργειας σύνογκης (ή διατμητικής) παραμόρφωσης, η αστοχία του υλικού (δηλαδή η διαρροή, καθότι η θεωρία αυτή εφαρμόζεται κυρίως για τα όλκιμα υλικά) επέρχεται όταν η ενέργεια αυτή γίνει ίση με μία κρίσιμη τιμή. Η τιμή αυτή μπορεί να προσδιοριστεί από την περίπτωση μονοαξονικής φόρτισης, θέτοντας δηλαδή στην εξ. (5.9) = f y και σ = σ 3 = 0, οπότε η αντίστοιχη ενέργεια ισούται με f y / 1G. Εξισώνοντας την τιμή αυτή με το δεξιό μέλος της εξ. (5.9) καταλήγουμε στο παρακάτω κριτήριο αστοχίας, γνωστό και ως κριτήριο Huber-Hencky- Mises ή απλώς κριτήριο von Mises: ( σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) = f σ (5.10) 1 3 3 1 y Στην επίπεδη εντατική κατάσταση ( σ 3 = 0) η εξ. (5.10) γράφεται σ1 σ1 σ + σ = 1 (5.11)
11 Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η καμπύλη αστοχίας είναι μία έλλειψη, όπως δίνεται στο Σχ. 5.7. Όπως και στην προηγούμενη θεωρία, αν ο συνδυασμός των και σ δίνει σημείο εντός της έλλειψης, τότε το υλικό βρίσκεται στην ελαστική περιοχή, δηλαδή δεν αστοχεί. Αν ο συνδυασμός των και σ δίνει σημείο επί της καμπύλης, τότε το υλικό αστοχεί. Προφανώς και εδώ σημεία εκτός της καμπύλης δεν μπορεί να υπάρξουν, διότι το υλικό έχει ήδη αστοχήσει. σ Σχ. 5.7 Κριτήριο αστοχίας με βάση τη μέγιστη ειδική ενέργεια σύνογκης (ή διατμητικής) παραμόρφωσης. Η εξ. (5.10) στο σύστημα αξόνων σ1 σ σ 3 (που ονομάζεται και τασικός χώρος) περιγράφει την επιφάνεια αστοχίας, η οποία είναι ένας κύλινδρος (Σχ. 5.8) με άξονα που έχει τρία συνημίτονα διεύθυνσης ίσα με 1 / 3. Η έλλειψη του Σχ. 5.7 αποτελεί λοιπόν την τομή της επιφάνειας αστοχίας με το επίπεδο σ1 σ. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δείξουμε ότι η θεωρία της μέγιστης διατμητικής τάσης (κριτήριο Tresca) στη γενική τριαξονική εντατική κατάσταση δίνει ως επιφάνεια αστοχίας ένα εξαγωνικό πρίσμα, εγγεγραμμένο στον παραπάνω κύλινδρο (Σχ. 5.8). Η σύγκριση των κριτηρίων αστοχίας von Mises και Tresca για την επίπεδη εντατική κατάσταση δίνεται στο Σχ. 5.9, το οποίο δείχνει ότι τα δύο κριτήρια δίνουν καμπύλες αστοχίας που δεν απέχουν ιδιαίτερα. Φυσικά για μονοαξονική φόρτιση (εφελκυσμός ή θλίψη) οι δύο καμπύλες περνούν από το ίδιο σημείο (εφελκυστική και θλιπτική αντοχή). Η μέγιστη διαφορά των δύο καμπυλών εντοπίζεται για ίσες και ετερόσημες κύριες τάσεις, σ =. 1 σ Κλείνοντας την ενότητα αυτή υπενθυμίζουμε και πάλι ότι τα κριτήρια von Mises και Tresca περιγράφουν συνήθως την αστοχία υλικών που χαρακτηρίζονται από ελαστοπλαστική συμπεριφορά, δηλαδή η αστοχία τους εμφανίζεται με διαρροή, όπως συμβαίνει π.χ. στο χάλυβα.
113 Άξονας κυλίνδρου και εξαγωνικού πρίσματος (υδροστατικός άξονας) Κύκλος von Mises Εξάγωνο Όψη κατά μήκος του άξονα του κυλίνδρου (α) (β) Σχ. 5.8 (α) Επιφάνειες αστοχίας στην τριαξονική εντατική κατάσταση σύμφωνα με τα κριτήρια von Mises (κύλινδρος) και Tresca (εξαγωνικό πρίσμα). (β) Τομή των επιφανειών με επίπεδο κάθετο στον άξονα κυλίνδρου και εξαγωνικού πρίσματος (υδροστατικός άξονας). f y f y / -f y / f y 3 f y -f y Σχ. 5.9 Σύγκριση καμπυλών αστοχίας von Mises και Tresca στην επίπεδη εντατική κατάσταση. 5.4 Θεωρία της μέγιστης κύριας τάσης Η θεωρία της μέγιστης κύριας τάσης, γνωστή και ως θεωρία Rankine, υιοθετείται συνήθως για να περιγράψει την αστοχία ψαθυρών υλικών. Σύμφωνα με αυτήν, η αστοχία Προτάθηκε από το Βρετανό καθηγητή W. J. M. Rankine στα μέσα του 19 ου αιώνα.
114 ενός υλικού επέρχεται όταν η μέγιστη κατ απόλυτη τιμή κύρια τάση φθάσει μία κρίσιμη τιμή, ανεξαρτήτως του μεγέθους των υπολοίπων τάσεων. Η τιμή αυτή, προσδιοριζόμενη βάσει της μονοαξονικής εντατικής κατάστασης, ισούται με την αντοχή του υλικού σε εφελκυσμό ή θλίψη ( f u ). Στην τριαξονική εντατική κατάσταση αυτό σημαίνει: = f u, σ = fu και σ 3 = fu (5.1) Στην επίπεδη εντατική κατάσταση το κριτήριο αστοχίας της μέγιστης κύριας τάσης περιγράφεται από ένα τετράγωνο (Σχ. 5.10α) και στην τριαξονική από έναν κύβο (Σχ. 5.10β). σ f u f u (α) (β) Σχ. 5.10 (α) Καμπύλη αστοχίας στο τασικό επίπεδο και (β) επιφάνεια αστοχίας στον τασικό χώρο για τη θεωρία της μέγιστης κύριας τάσης. 5.5 Σύγκριση κριτηρίων διαρροής και θραύσης, άλλα κριτήρια Το Σχ. 5.11 δίνει μία σύγκριση στο τασικό επίπεδο σ1 σ των κριτηρίων μέγιστης ειδικής ενέργειας σύνογκης παραμόρφωσης, μέγιστης διατμητικής τάσης και μέγιστης κύριας τάσης για τέσσερα διαφορετικά υλικά, ένα εκ των οποίων (χυτοσίδηρος) είναι ψαθυρό ενώ τα υπόλοιπα τρία είναι όλκιμα. Είναι φανερό ότι τα δύο πρώτα κριτήρια περιγράφουν ικανοποιητικά την αστοχία (διαρροή) των όλκιμων υλικών, όχι όμως και του ψαθυρού, η αστοχία (θραύση) του οποίου περιγράφεται ικανοποιητικά από το κριτήριο της μέγιστης κύριας τάσης.
115 Θεωρία μέγιστης κύριας τάσης σ f u Θεωρία μέγιστης ειδικής ενέργειας σύνογκης παραμόρφωσης Χυτοσίδηρος Χάλυβας Χαλκός Αλουμίνιο f u Σχ. 5.11 Σύγκριση κριτηρίων αστοχίας για όλκιμα και ψαθυρά υλικά. Μία άλλη παρατήρηση είναι ότι οι καμπύλες αστοχίας που αντιστοιχούν στα παραπάνω κριτήρια έχουν δύο άξονες συμμετρίας (στο επίπεδο σ1 σ ): τις ευθείες = σ και σ1 = σ. Αυτό γενικά ισχύει για υλικά με ίσες αντοχές σε εφελκυσμό και θλίψη (π.χ. χάλυβας), όχι όμως για όλα τα υλικά. Το σκυρόδεμα και τα εδάφη, για παράδειγμα, και γενικά τα ψαθυρά υλικά, έχουν αντοχές που εξαρτώνται σημαντικά από το πρόσημο των τάσεων. Μία πρώτη προσπάθεια προσέγγισης τέτοιας συμπεριφοράς έγινε από τον Duquet το 1885, ο οποίος προσάρμοσε το κριτήριο της μέγιστης διατμητικής τάσης έτσι ώστε να λαμβάνονται υπόψη διαφορετικές εφελκυστικές και θλιπτικές αντοχές (Σχ. 5.1α). Άλλη προσέγγιση αποτελεί η προσαρμογή καμπύλης σε πειραματικά αποτελέσματα, όπως δίνεται στο Σχ. 5.1β για το σκυρόδεμα. Μία άλλη σημαντική προσπάθεια διατύπωσης κριτηρίων αστοχίας ήταν αυτή του Mohr, o οποίος πρότεινε την κατασκευή ενός κύκλου τάσεων (κύκλος Mohr) για κάθε εντατική κατάσταση που δίνει αστοχία του υλικού. Η καμπύλη αστοχίας στο επίπεδο τ σ προκύπτει από την περιβάλλουσα όλων των δυνατών κύκλων (Σχ. 5.13α). Οι κύκλοι αυτοί στο επίπεδο τ σ έχουν ως όριο προς τα δεξιά τον κύκλο του μονοαξονικού εφελκυσμού και προς τα αριστερά τον κύκλο της μονοαξονικής θλίψης. Στην επίπεδη εντατική κατάσταση κάθε σημείο πάνω στη περιβάλλουσα (π.χ. Α ή A, Β ή B ) αντιστοιχεί σε συνδυασμό τάσεων σ x, σ y και τ xy ή, ισοδύναμα, και σ που προκαλούν αστοχία. Τα αντίστοιχα σημεία με συντεταγμένες και σ στο τασικό επίπεδο ορίζουν την καμπύλη αστοχίας του Σχ. 5.13δ.
116 σ σ / f c / f c (α) (β) Σχ. 5.1 Κριτήρια αστοχίας για ψαθυρά υλικά. (α) Κριτήριο Duquet, (β) προσαρμογή καμπύλης σε πειραματικά αποτελέσματα για το σκυρόδεμα. = f t (εφελκυστική αντοχή) Αριστερό όριο όλων των κύκλων Mohr Στο Α (ή Α ) Επίπεδο αστοχίας τ Τάση κατά την (β) (f v, -f v ) σ f t f t -f c -f v σ σ 3 = -f c (θλιπτική αντοχή) -f c f t (-f v, f v ) Στο Β (ή Β ) Περιβάλλουσα αστοχίας (α) εξιό όριο όλων των κύκλων Mohr Επίπεδο αστοχίας (γ) (δ) -f c Σχ. 5.13 (α) Κύκλοι Mohr, (β) επίπεδα αστοχίας για την εντατική κατάσταση που αντιστοιχεί στα σημεία Α και Α, (γ) επίπεδα αστοχίας για την εντατική κατάσταση που αντιστοιχεί στα σημεία Β και Β, (δ) καμπύλη αστοχίας του κριτηρίου Mohr στο τασικό επίπεδο. Αν στο κριτήριο αστοχίας Mohr η περιβάλλουσα αστοχίας ληφθεί ως ευθεία γραμμή ορίζουμε το κριτήριο εσωτερικής τριβής, το οποίο χρησιμοποιείται συνήθως για να περιγράψει την αστοχία υλικών στα οποία η διατμητική αντοχή αυξάνεται γραμμικά με τη θλιπτική τάση. Η περιβάλλουσα αστοχίας στην περίπτωση αυτή δίνεται συνήθως στο επίπεδο ( σ ) τ (Σχ. 5.14). Η γωνία που σχηματίζει η περιβάλλουσα αστοχίας με τον άξονα ( σ ) ονομάζεται γωνία τριβής φ, ενώ η διατμητική αντοχή του υλικού για μηδενική θλιπτική τάση, το σημείο δηλαδή που η περιβάλλουσα τέμνει τον άξονα τ,
117 ονομάζεται συνοχή c (για υλικά με μηδενική συνοχή, όπως είναι π.χ. τα αμμώδη εδάφη, ο άξονας των διατμητικών τάσεων του Σχ. 5.14 είναι αυτός που δίνεται με τη συνεχή γραμμή, ενώ για άλλα υλικά ο άξονας διατμητικών τάσεων είναι αυτός που δίνεται στο Σχ. 5.14 με τη διακεκομμένη γραμμή - μετατόπιση της αρχής των αξόνων Ο προς τα δεξιά). Σχ. 5.14 Κύκλοι Mohr και περιβάλλουσα αστοχίας για το κριτήριο εσωτερικής τριβής. Τέλος είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι η καμπύλη αστοχίας του κριτηρίου εσωτερικής τριβής (για μη μηδενική συνοχή) στο επίπεδο σ1 σ είναι ουσιαστικά αυτή του Σχ. 5.1α. Παράδειγμα 5.1-30 3 σ σ y = -30 ΜPa τ xy = 10 ΜPa 3 σ χ = -10 ΜPa (-35, -35) -30 A (α) (β) Σχ. 5.15 Καμπύλη αστοχίας και εντατική κατάσταση για το Παράδειγμα 5.1. Υποθέτουμε ότι το κριτήριο αστοχίας για το σκυρόδεμα περιγράφεται στο επίπεδο των κυρίων τάσεων σ1 σ από την εξαγωνική καμπύλη του Σχ. 5.15α. Να σχολιάσετε την εντατική κατάσταση του Σχ. 5.15β (όλες οι τάσεις σε MPa) σε σχέση με την αστοχία του σκυροδέματος.
118 Για τη δοθείσα εντατική κατάσταση είναι: 10 30 10 + 30 = + + 10 = 5.86 MPa 10 30 10 + 30 σ = + 10 = 34.14 MPa Το σημείο Α με συντεταγμένες (-5.86, -34.14) βρίσκεται εκτός του εξαπλεύρου (καμπύλη αστοχίας), επομένως η δοθείσα εντατική κατάσταση δεν είναι εφικτή, δηλαδή το υλικό δεν μπορεί να παραλάβει τις τάσεις του Σχ. 5.15β. Παράδειγμα 5. Να υπολογισθεί η μέγιστη πίεση p που μπορεί να αναπτυχθεί σε λεπτότοιχο κυλινδρικό κέλυφος ακτίνας r και πάχους τοιχώματος t για υλικό το οποίο περιγράφεται από τη θεωρία αστοχίας της μέγιστης διατμητικής τάσης και έχει τάση διαρροής f y. Όπως είδαμε στην Ενότ. 3.8, οι τάσεις δακτυλίου είναι = pr / t και οι διαμήκεις τάσεις είναι σ = σ1 / = pr / t. Η εντατική κατάσταση περιγράφεται στο Σχ. 5.16. (α) (β) Σχ. 5.16 Εντατική κατάσταση και κύκλοι Mohr για λεπτότοιχο κυλινδρικό κελύφος υπό πίεση. Εφαρμογή της θεωρίας αστοχίας δίνει τ max = / σ1 / = / p = t / r.