.. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής 5. Τι λέγεται απογραφή; 6. Τι λέγεται δείγμα και τι μέγεθος ενός δείγματος; Πότε ένα δείγμα λέγεται αντιπροσωπευτικό; 7.Ποιο είναι το αντικείμενο της δειγματοληψίας; 8.Τι περιέχουν οι γενικοί πίνακες στατιστικών δεδομένων και τι οι ειδικοί; 9.Τι πρέπει να περιέχει ένας πίνακας στατιστικών δεδομένων ώστε να είναι σωστά κατασκευασμένος; 10.Σε ένα δείγμα μεγέθους ν. α) Τι ονομάζεται συχνότητα νι της τιμής xi Με τι ισούται το άθροισμα όλων των συχνοτήτων; β) Τι ονομάζεται αθροιστική συχνότητα Ni της τιμής xi Ποια σχέση συνδέει τις αθροιστικές συχνότητες δύο διαδοχικών τιμών της ποσοτικής μεταβλητής Χ; γ) Τι ονομάζεται σχετική συχνότητα fϊ της τιμής Χι. δ) Να δείξετε ότι: i) 0 fi 1 ii) f1 +f2 +..+fk =1 για ί = 1,2,...,κ με κ < ν. ε) Τι ονομάζεται αθροιστική σχετική συχνότητα Fi της τιμής xi. Ποια σχέση συνδέει τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες δυο διαδοχικών τιμών της ποσοτικής μεταβλητής Χ; στ)πως υπολογίζεται η σχετική συχνότητα επί τοις εκατό fΐ% και πως την αθροιστική συχνότητα Fi,% της τιμής xι μιας ποσοτικής μεταβλητής; ζ) Τι είναι ο πίνακας κατανομής συχνοτήτων μιας μεταβλητής Χ; 11. Τι είναι το ραβδόγραμμα και πως κατασκευάζεται; 12. Τι είναι το διάγραμμα συχνοτήτων και πως κατασκευάζεται; Πως προκύπτει το πολύγωνο συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων; 13. Τι είναι το κυκλικό διάγραμμα και πως κατασκευάζεται; 14. Τι είναι το σημειόγραμμα και πως κατασκευάζεται; 15.Τι είναι το χρονόγραμμα και πως κατασκευάζεται; 16.α) Πότε κάνουμε ομαδοποίηση παρατηρήσεων; β) Πως βρίσκουμε το πλάτος μιας κλάσης και πως το κέντρο της; 17. α) Τι είναι το ιστόγραμμα συχνοτήτων και πως κατασκευάζεται; β) Πως προκύπτει το πολύγωνο συχνοτήτων, γ) Με τι είναι ίσο το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα; 18. α) Τι ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων και πως προκύπτει; β) Να ορίσετε (και με σχήμα) τις χαρακτηριστικές καμπύλες συχνοτήτων. 19. Σε μια κατανομή συχνοτήτων: α) Ποια είναι τα μέτρα θέσης και τι εκφράζουν; β) Ποια είναι τα μέτρα διασποράς και τι εκφράζουν; 1
Π ώ ς ο ρ ί ζ ε γ) Τι εκφράζουν τα μέτρα ασυμμετρίας 20. α) Πως ορίζεται η μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων β) Αν είναι γνωστές οι συχνότητες ή οι σχετικές συχνότητες των τιμών μιας μεταβλητής Χ πως υπολογίζεται η μέση τιμή τους; γ) Πώς υπολογίζεται η μέση τιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων ομαδοποιημένων σε κλάσεις; δ) Πότε για ένα σύνολο παρατηρήσεων ορίζουμε το σταθμικό μέσο και πως τον υπολογίζουμε; 21. α) Πώς ορίζεται η διάμεσος ενός δείγματος ν παρατηρήσεων; β) Τι εκφράζει η διάμεσος ενός δείγματος; γ) Πώς βρίσκουμε τη διάμεσο ομαδοποιημένων δεδομένων; 22. α) Πώς ορίζεται το εύρος ή κύμανση ενός συνόλου μη ομαδοποιημένων παρατηρήσεων;β) Πώς ορίζεται το εύρος σε ομαδοποιημένα δεδομένα; 23. α) Πώς ορίζεται η διακύμανση ή διασπορά ενός συνόλου μη ομαδοποιημένων παρατηρήσεων β) Πώς ορίζεται η διακύμανση ή διασπορά ενός συνόλου ομαδοποιημένων 24. α)πως ορίζεται η τυπική απόκλιση ενός συνόλου παρατηρήσεων β) σε μια κανονική κατανομή ποιες ιδιότητες έχει η τυπική απόκλιση 25. α) Πως ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ενός συνόλου παρατηρήσεων β) Πότε ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής χαρακτηρίζεται ομοιογενές 26 Έστω οι ν παρατηρήσεις Χ1,Χ2,..Χν με μέση τιμή X διάμεσο δx και τυπική απόκλιση Sx α) Αν Ψ1,Ψ2, Ψν είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουμε σε κάθε μία από τις Χ1,Χ2,..Χν μία σταθερά c τότε να γράψετε τη μέση τιμή τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση του νέου συνόλου παρατηρήσεων β) Αν Ψ1,Ψ2, Ψν είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιάσουμε σε κάθε μία από τις Χ1,Χ2,..Χν μία σταθερά c τότε να γράψετε τη μέση τιμή τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση του νέου συνόλου παρατηρήσεων ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Αν η μέση τιμή ενός δείγματος ν 1 παρατηρήσεων είναι X 1 ενός δείγματος ν 2 παρατηρήσεων είναι X 2 ενός δείγματος ν κ παρατηρήσεων είναι X κ τότε η μέση τιμή του συνόλου των παρατηρήσεων είναι X = (ν1 X 1 +ν2 X 2 +..+νκ X κ ) / (ν1+ν2+.+νκ) 2) Η μέση τιμή ενός δείγματος ν παρατηρήσεων είναι X η διάμεσος δ και η τυπική απόκλιση S α) Αν όλες οι παρατηρήσεις του δείγματος αυξηθούν κατά την σταθερά C τότε η μέση τιμή του δείγματος θα είναι = X +C η διάμεσος δ ψ = δ + C και η τυπική απόκλιση S ψ = S β) ) Αν όλες οι παρατηρήσεις του δείγματος πολλαπλασιασθούν με την σταθερά C τότε 2
η μέση τιμή του δείγματος θα είναι = X.C η διάμεσος δ ψ = δ.c και η τυπική απόκλιση S ψ = C S 3) Ένα δείγμα θα χαρακτηρίζεται ομοιογενές όταν CV 10% 4) Σε κανονική κατανομή τα ποσοστά ανα διαστήματα φαίνονται στο παρακάτω σχήμα 0,15 50 40 30 20 10 0 x-3s x-2s x-s x x+s x+2s x+3s 0,15 ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΙ ΑΠΟ (.,x-3s) To 0,15% ΣΤΟ διάστημα [x-3s,x-2s) To 2,35% ΣΤΟ διάστημα [x-2s,x-s) To 13,5% ΣΤΟ διάστημα [x-s,x) To 34% ΣΤΟ διάστημα [x,x+s) To 34% ΣΤΟ διάστημα [x+s,x+2s) To 13,5% ΣΤΟ διάστημα [x+2s,x+3s) To 2,35% ΣΤΟ διάστημα [x+3s,..) To 0,15% 5) Σε κανονική κατανομή η μέση τιμή ενός δείγματος ν παρατηρήσεων είναι X η διάμεσος δ και η τυπική απόκλιση S α) Η μέση τιμή X ταυτίζεται με τη διάμεσο δ β) Η ευθεία x = X είναι άξονας συμμετρίας της κατανομής γ) Κατά προσέγγιση η μικρότερη παρατήρηση είναι X -3S και η μεγαλύτερη X +3S δ) Το εύρος του δείγματος είναι R = 6S ΠΡΟΣΟΧΗ Τα αντίστροφα δεν ισχύουν ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ Για τον υπολογισμό της χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές Ειναι μοναδική για κάθε σύνολο δεδομένων Είναι εύκολα κατανοητή ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΜΕΣΟΥ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Επηρεάζεται πολύ από τις ακραίες τιμές Μπορεί να μην αντιστοιχεί σε δυνατή τιμή της μεταβλητής Όταν η Χ είναι διακριτή με ακέραιες τιμές τότε η μέση τιμή μπορεί να μην είναι ακέραιος Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα Ο υπολογισμός της είναι σχετικά εύκολος Είναι δύσκολος ο υπολογισμός της σε ομαδοποιημένα δεδομένα με ανοικτές τις ακραίες κλάσεις Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω στατιστική ανάλυση 3
ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΕΣΟΣ Είναι εύκολα κατανοητή Δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές Ο υπολογισμός της είναι σχετικά απλός Ειναι μοναδική για κάθε σύνολο δεδομένων Υπολογίζεται και σε ομαδοποιημένα δεδομένα με ανοικτές τις ακραίες κλάσεις ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ Για τον υπολογισμό της δεν χρησιμοποιούνται όλες οι τιμές Δεν υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομένα Για τον υπολογισμό της μπορεί να χρειαστεί παρεμβολή Είναι δύσκολη η εφαρμογή για περαιτέρω στατιστική ανάλυση ΕΥΡΟΣ Είναι πολύ απλό στον υπολογισμό Χρησιμοποιείται αρκετά στον έλεγχο ποιότητας Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της τυπικής απόλκισης Δεν θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς επειδή βασίζεται μόνο στις δύο ακραίες παρατηρήσεις Δεν χρησιμοποιείται για περαιτέρω στατιστική ανάλυση ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Λαμβάνονται υπόψη για τον υπολογισμό τους όλες οι παρατηρήσεις Έχουν μεγάλη εφαρμογή στη στατιστική Σε κανονικούς πληθυσμούς το 68%, 95%, 99,7% των παρατηρήσεων βρίσκονται στα διαστήματα X ± s X ± 2s X ±3s αντίστοιχα Το κυριότερο μειονέκτημα της διασποράς είναι ότι δεν εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με το χαρακτηριστικό. Το μειονέκτημα αυτό παύει να υπάρχει με τη χρησιμοποίηση της τυπικής απόκλισης Απαιτούνται περισσότερες αλγεβρικές πράξεις για τον υπολογισμό τους παρά στα άλλα μέτρα ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ Είναι καθαρός αριθμός Χρησιμοποιείται ως μέτρο σύγκρισης της μεταβλητότητας όταν έχουμε ίδιες ή ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Δεν ενδείκνυται στην περίπτωση που η μέση τιμή είναι κοντά στο μηδέν 4
διαφορετικές μονάδες μέτρησης Χρησιμοποιείται ως μέτρο ομοιογένειας ενός πληθυσμού Μεταβλητή xi X1 1) Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας Συχνότητα νi Σχετική Συχνότητα fi% ΑΣΚΗΣΕΙΣ Σχετική Συχνότητα fi% Αθροιστική Συχνότητα X2 100 150 Ni Αθροιστική Σχ Συχνότα Fi Αθροιστική Σχ Συχνότα X3 67,5 X4 0,1 X5 400 ΣΥΝΟΛΟ Fi% 2) Η κατανομή των σχετικών συχνοτήτων των βαθμών 300 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής δίνεται από τον παρακάτω πίνακα Βαθμός xi 5 6 7 8 9 10 Σχ συχν fi 0,16 0,4 0,15 0,12 0,09 0,08 Άσκηση 3 Να υπολογίσετε Α) Πόσοι φοιτητές πήραν βαθμό 5 Β ) Πόσοι φοιτητές πήραν βαθμό μεγαλύτερο από 6 Γ) Πόσοι φοιτητές που πέρασαν το μάθημα έχουν βαθμό μέχρι 7 Δ) Πόσοι πήραν βαθμό 9 ή 10 Ε) Να βρεθούν οι συχνότητες Ni, Fi,Fi% ΣΤ) Να γίνει το διάγραμμα των συχνοτήτων Τα παρακάτω δεδομένα αντιπροσωπεύουν τις καθυστερήσεις σε λεπτά 30 πτήσεων ενός αεροπλάνου. 14 18 1 24 6 14 4 Ο 12 5 2 19 11 12 9 2 17 21 13 5 8 15 2 12 10 17 1 16 14 13 α) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε έξι κλάσεις ίσου πλάτους και να κατασκευάσετε πίνακα με τις 5
συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες των κλάσεων αυτών. β) Να κατασκευάσετε τα πολύγωνα συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Άσκηση 4 Α. Αν η μέση τιμή 15 παρατηρήσεων είναι 10 και η μέση τιμή άλλων 35 παρατηρήσεων είναι 12 τότε η μέση τιμή των 50 παρατηρήσεων είναι:α) (10+12)/2 β) ( 10.12 +15.35) /2 γ) (15.10+35.12)/2 και. δ) (15.10+ 35.12)/2 Να επιλέξετε την σωστή απάντηση δικαιολογώντας την επιλογή σας. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τη σύνθεση του υπαλληλικού προσωπικού σε μια δημόσια υπηρεσία από άποψη φύλλου και μόρφωσης. Ανδρες Γυναίκες Απόφοιτοι 20% 10% Πτυχιούχοι ΑΕΙ 20% 50% Αν η μέση ηλικία ολόκληρου του προσωπικού είναι 42 χρόνια, των ανδρών είναι 48 χρόνια, των αποφοίτων Λυκείου είναι 37 χρόνια και των γυναικών πτυχιούχων ΑΕΙ είναι 40 χρόνια να υπολογισθούν οι μέσες ηλικίας: α) όλων των γυναικών β) των ανδρών αποφοίτων Λυκείου. ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η ομαδοποιημένη κατανομή του παρακάτω πίνακα α) Να βρεθούν οι συχνότητες ν ΐ1 ν 2, ν 3, ν 4 των κλάσεων όταν: i) Το ν 1 = lim 5 x 2 x 18 x x 2 ιι) Το ν 2 ισούται με την κλίση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f(x) =(x 2 +7x-10)/3 στο σημείο Α(7,f(7)) iii) Tο ν 3 ισούται με την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g(χ) = 3χ 2 + 6χ + 14 ίν) το ν 4 = 2ν 2 + ν 3 + ν 1-5. Κλάσεις[ - ) Συχνότητα νι 4-10 VI 10-16 ν 2 16-22 ν 3 22-28 ν 4 β) Να κατασκευαστεί ο πίνακας συχνοτήτων απολύτων και αθροιστικών. γ) Να κατασκευαστεί το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων Fi% και να εκτιμηθεί η διάμεσος της κατανομής (κατά προσέγγιση). δ) Αν οι παραπάνω κλάσεις αναφέρονται στα χρήματα (σε ΕΥΡΩ) που ξοδεύουν οι 40 οικογένειες μιας πολυκατοικίας για ημερήσιο «χαρτζιλίκι» των παιδιών τους να βρεθεί: ΐ) Ο αριθμός των οικογενειών που δίνει από 24 ΕΥΡΩ και άνω την ημέρα, ϋ) Ο αριθμός των οικογενειών που δίνει από 16 έως 25 ΕΥΡΩ την ημέρα. Να θεωρηθούν τα δεδομένα ομοιόμορφα κατανεμημένα. 6
Άσκηση 6 α) Οι 100 μαθητές ενός Λυκείου, έχουν μέση βαθμολογία, στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας για το Α' τετράμηνο 16. Στο Β' τετράμηνο ένας αριθμός από τους παραπάνω μαθητές βελτίωσε τη βαθμολογία του κατά 3 μονάδες, ενώ οι υπόλοιποι τη μείωσαν κατά 1 μονάδα. Αν η μέση βαθμολογία το Β' τετράμηνο έγινε 18 να βρεθούν πόσοι μαθητές ανέβασαν τη βαθμολογία τους κατά 3 μονάδες και πόσοι μαθητές τη μείωσαν κατά 1 μονάδα. β) Οι παραπάνω 100 μαθητές συγκέντρωσαν στις πανελλήνιες εξετάσεις στο μάθημα της Ιστορίας Γενικής Παιδείας μέση βαθμολογία x = 14,2. Αν οι 25 μαθητές με τη χαμηλότερη βαθμολογία είχαν μέση βαθμολογία x = 10,4 και οι 25 μαθητές με την ψηλότερη βαθμολογία είχαν μέση βαθμολογία x 2 = 17,6 να βρεθεί η μέση βαθμολογία x 3 των υπολοίπων. Άσκηση 7, Για τους φυσικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει: 1<α<β<γ. Αν για το δείγμα τιμών 1,2,2,3, α,β,γ η διάμεσος είναι δ = 2 και η μέση τιμή x = 3, να βρεθούν οι αριθμοί α, β, γ. ΑΣΚΗΣΗ 8 Α) Δίνεται δείγμα μεγέθους ν με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση S να δειχθεί ότι α) S 2 = t 2 i - x 2 και β) t 2 i = ν(s 2 + x 2 ) Β) Οι 100 μαθητές ενός Λυκείου που εξετάσθηκαν σε ένα μάθημα πήραν την παρακάτω βαθμολογία Οι 75 από αυτούς συγκέντρωσαν μέση βαθμολογία x 1 = 12 και τυπική απόκλιση S 1 =2 και οι 25 συγκέντρωσαν μέση βαθμολογία x 2 = 16 και τυπική απόκλιση S 2 = 3.Να υπολογίσετε τη μέση βαθμολογία όλων των μαθητών και την τυπική απόκλιση Δίνεται 8, 25 = 2,9 Ασκηση 9 Στα δύο τμήματα Τ! και Τ 2 του μεταπτυχιακού Στατιστικής, η γραπτή μέση βαθμολογία στις εξετάσεις του 1 ου εξαμήνου στο μάθημα της Στατιστικής, ήταν x = 6 και η τυπική απόκλιση S = 1. Στο 2 εξάμηνο όλοι οι φοιτητές του τμήματος Τ 1 αύξησαν τη γραπτή βαθμολογία τους στο ίδιο μάθημα κατά 1 μονάδα. Επίσης όλοι οι φοιτητές του τμήματος Τ 2 αύξησαν τη γραπτή βαθμολογία του στο ίδιο μάθημα κατά 15%. α) Να βρεθούν οι νέες μέσες τιμές και οι νέες τυπικές αποκλίσεις του κάθε τμήματος. Β) Ποιου τμήματος η βαθμολογία παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογένεια μετά τις αυξήσεις της βαθμολογίας που πέτυχαν στις εξετάσεις 2 ου εξαμήνου Γ) Να βρεθεί η μικρότερη τιμή της θετικής ακέραιας σταθεράς που C πρέπει να προστεθεί στις γραπτές βαθμολογίες των φοιτητών του τμήματος Τ 1 μετά τη βαθμολογία του 2 ου εξαμήνου έτσι ώστε το δείγμα της βαθμολογίας τους να γίνει ομοιογενές. Δ) Αν οι βαθμολογίες του τμήματος Τ 1 αποτελούν περίπου κανονική κατανομή να βρεθεί το ποσοστό των φοιτητών που έγραψε από 6 εως 9 στις εξετάσεις 1 ου και 2 ου εξαμήνου 7
8