ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1

3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Σ ΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία f, με την οποία κάθε στοιχείο x A αντιστοιχίζεται σε έναν μόνο πραγματικό αριθμό y. To y λέγεται τιμή της f στο x και συμβολίζεται με f(x).. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της Α όταν: για οποιαδήποτε x1, x x1 x ύ f ( x1 ) f ( x) 3. Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της Α όταν : για οποιαδήποτε x1, x x1 x ύ f ( x1 ) f ( x) 4. Μια συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη. 5. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 A f ( x0 ) όταν ισχύει: f ( x) f (x 0) για κάθε x σε μια περιοχή του xo. 6. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x0 A f ( x0 ) όταν ισχύει: f ( x) f (x 0) για κάθε x σε μια περιοχή του xo. 7. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι είναι συνεχής στο x0 lm f ( x ) f ( x 0) xx o A όταν ισχύει 8. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι είναι συνεχής, αν για κάθε x0 Aισχύει lm f ( x ) f ( x 0) xx o 9. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο x0 A όταν το f ( x0 h) f ( x0 ) όριο lm υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Το αποτέλεσμα τότε h 0 h του παραπάνω ορίου καλείται παράγωγος της f στο xo και συμβολίζεται f (x 0). 10. Η παράγωγος της f στο xo εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y=f(x) ως προς x, όταν x = xo. 11. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο σημείο της M x0, f ( x 0) είναι ίσος με f ( x0 ). 1. Αν είναι x f ( t) η συνάρτηση θέσης ενός υλικού σημείου που κινείται ευθύγραμμα,τότε η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή to είναι ( t0) f ( t0) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

4 13. Δεν είναι όλες οι συναρτήσεις παραγωγίσιμες σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους. (π.χ η συνάρτηση f ( x) x, x δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο xo= 0.) 14. Αν είναι x(t) η συνάρτηση θέσης υλικού σημείου που κινείται σε άξονα, τότε η συνάρτηση της ταχύτητας του είναι : t x( t) Και η συνάρτηση της επιτάχυνσης του είναι : a t t x t 15. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. 16. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. 17. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f (x 0) 0 για x0,, f (x) 0 στο (α, xο ) και f (x) 0 στο (xο, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x = xο μέγιστο. 18. Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f (x 0) 0 για x0,, f (x) 0 στο (α, xo ) και f (x) 0 στο (xο, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x = xο ελάχιστο. ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 1. Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x) = c f (x+h) f(x) = c - c = 0 f ( x h) f ( x) 0 για h 0 έχουμε: 0 h h f ( x0 h) f ( x0 ) οπότε lm lm0 0 h0 h h0 Άρα είναι c 0. Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x) = x, x f (x+h) f(x) = (x+h) - x = h f ( x h) f ( x) h για h 0 έχουμε: 1 h h f ( x0 h) f ( x0 ) οπότε lm lm1 1 h0 h h0 Άρα είναι x 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 3

5 3. Η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x, x f (x+h) f(x) = (x+h) x = x +xh+h - x = h(x+h) f ( x h) f ( x) h x h για h 0 έχουμε: x h h h f ( x0 h) f ( x0) οπότε lm lm x h x h0 h h0 Άρα είναι x x 4. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f και μια σταθερά c. Έστω η συνάρτηση F(x) = cf(x) F( x h) F( x) cf ( x h) cf ( x) c f ( x h) f ( x) Για h 0 έχουμε: F( x h) F ( x) c f ( x h) f(x) f ( x h) f(x) c h h h Οπότε έχουμε: F( x h) F ( x) f ( x h) f(x) f ( x h) f(x) lm lm c c lm c f x h0 h h0 h h0 h Άρα είναι c f x c f x 5. Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f και g. Έστω η συνάρτηση F(x) = f(x) + g(x) F( x h) F( x) f ( x h) g(x h) f ( x) g(x) f ( x h) f ( x) g( x h) g( x) Για h 0 έχουμε: F( x h) F( x) h f ( x h) f(x) g( x h) g(x) h f ( x h) f(x) g( x h) g(x) h h Οπότε έχουμε: F( x h) F( x) f ( x h) f(x) g( x h) g(x) lm lm h0 h h0 h h f ( x h) f(x) g( x h) g(x) lm lm f x g( x) h0 h h0 h f x g x f x g x Άρα είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4

6 ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ-ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ x f ( x) x Πρέπει : 1 4 Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: f ( x) x 4 x Πρέπει : και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: x 4 x x 9 και Πρέπει : και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: f ( x) x f ( x) 5 x 1 και Πρέπει : και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 5

7 f x x x ( ) 8 Πρέπει : Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: f ( x) ln 6x x Πρέπει : Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: x f ( x) 1 ln x Πρέπει : και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: x f ( x) e 1 e Πρέπει : και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

8 f ( x) ln x 1 Πρέπει : και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: f ( x) 1 ln x Πρέπει : και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: x 9 4 f (x) x 7x 10 Πρέπει : και Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι: Οι παρακάτω συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό. x x e 1 x f ( x) f ( x) f ( x) x x 4 e 1 x f x x x f x x x f x x 4 ( ) 6 9 ( ) ln 3 ( ) ln 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

9 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Με απλή αντικατάσταση lm x1 lm x x 3x 1 31 x x 5 1 x x 1 0 Ρητή συνάρτηση με όριο της μορφής 0 x 5x lm lm x x 4 x x x lm lm lm 3 x 8 x x 1 x lm x lm lm 1 x x 1 1 Κλασματική συνάρτηση (που περιέχει ένα ή περισσότερα ριζικά), της μορφής 5 x 5x x x 1) lm lm lm x5 x 5 x5 x5 0 0 x x lm x5 5 x 4 x x 4 x ) lm lm x 3 x 9 x3 lm lm x3 x3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

10 x 3) lm lm x4 5 x 1 x4 5 1 x x x4 x4 lm lm x5 x 9 4 x 9 4 4) lm lm 5 x 5 x 7x 10 x x 7x 10 x5 lm lm Να βρεθεί η τιμή του θετικού πραγματικού αριθμού μ ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση με τύπο : x x 6, αν x f ( x) x μ 4μ, αν x Για κάθε x η συνάρτηση είναι συνεχής ως ρητή. Για x = πρέπει να είναι συνεχής άρα πρέπει:.. Είναι f x x x lm f ( x) lm lm Άρα πρέπει : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

11 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Συναρτήσεις που η παράγωγός τους έχει σταθερό πρόσημο. 3 1) f ( x) x x 5x 3 πεδίο ορισμού Α =.. 3 f ( x) x x 5x 3.. Δ β 4αγ. Παρατηρούμε ότι :. Άρα η συνάρτηση είναι : Άρα η συνάρτηση..ακρότατα. ) ( ) 1 3 f x e x x πεδίο ορισμού Α =.. x 3 f ( x) e x 1.. Παρατηρούμε ότι :. Άρα η συνάρτηση είναι : Άρα η συνάρτηση..ακρότατα. 3) f ( x) ln e x 1 πεδίο ορισμού Α =.. x Πρέπει : e x f ( x) ln e 1 Παρατηρούμε ότι :. Άρα η συνάρτηση είναι : Άρα η συνάρτηση..ακρότατα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 10

12 Συναρτήσεις που η παράγωγός τους δεν έχει σταθερό πρόσημο. 3 1) f ( x) x 3x 9x 1 πεδίο ορισμού Α =.. 3 f ( x) x 3x 9x 1.. x 0 f Δ β 4αγ. x, x 1 β Δ x1 α x Πρόσημο παραγώγου x f ( x) Πίνακας μονοτονίας και ακροτάτων x f ( x) f ( x ) Συμπεράσματα Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα: Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα: Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση με τιμή.. Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση. με τιμή.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 11

13 3 3x x e ) f ( x) πεδίο ορισμού Α = x x f ( x) e x 0 f Πρόσημο παραγώγου x 3 3x 3 3x x e Πίνακας μονοτονίας και ακροτάτων x f ( x) f ( x ) Συμπεράσματα Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στo διάστημα: Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήμα: Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση... με τιμή. Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση.. με τιμή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1

14 ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΜΑ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΛΥΣΗ Η θέση ενός υλικού σημείου που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο : x(t) = t 3 1t + 45t +, όπου 0 t 10 ο χρόνος σε sec και x(t) σε μέτρα (m). ) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του τη χρονική στιγμή t. Ποια η αρχική του ταχύτητα; Ποια η αρχική του επιτάχυνση; ) Nα βρεθούν οι χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το σώμα είναι ακίνητο. ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα στο οποίο το σώμα θα κινηθεί στην θετική κατεύθυνση και στην αρνητική κατεύθυνση. v) Ποια χρονική στιγμή έχουμε την ελάχιστη ταχύτητα και ποια είναι αυτή; v) Ποιο το συνολικό διάστημα που διένυσε το υλικό σημείο; v) Ποια η μέση ταχύτητα στο χρονικό διάστημα [0,10] sec; Συνάρτηση ταχύτητας: υt xt Αρχική ταχύτητα: υ 0 Συνάρτηση επιτάχυνσης: a t υt Αρχική επιτάχυνση: a 0 Το σώμα είναι ακίνητο τις χρονικές στιγμές όπου t υ 0 Δηλαδή : Η φορά κίνησης βρίσκεται από το πρόσημο της ταχύτητας. Άρα έχουμε: t υ t Συνεπώς το σώμα κινείται προς τα δεξιά όταν: και προς τα αριστερά όταν: Για να βρούμε την ελάχιστη ταχύτητα του σώματος αρκεί να σχηματίσουμε τον πίνακα μονοτονίας και ακροτάτων της ταχύτητας. t υ 0 t υ 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 13

15 t υt υ t Συνεπώς τη χρονική στιγμή..το σώμα έχει την ελάχιστη ταχύτητα του κατά τη διάρκεια της κίνησης, η οποία είναι:. Η μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα [, ] είναι: S x 1 x Η μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα [, ] είναι: S x x Η μετατόπιση του σώματος στο χρονικό διάστημα [, ] είναι: S x 3 x το συνολικό διάστημα που διένυσε το υλικό σημείο είναι το άθροισμα των μετατοπίσεων. Άρα Sολ S 1 S S 3 η μέση ταχύτητα στο χρονικό διάστημα [0,10] sec είναι: x x υ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 14

16 ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Το εργαστήριο ζαχαροπλαστικής Ο ΛΙΧΟΥΔΗΣ που τροφοδοτεί μεγάλα σούπερ μάρκετ παρασκευάζει μεταξύ άλλων και ταψιά μπακλαβά. Η τιμή του κάθε ταψιού είναι 1 0,1x ευρώ. 1. Να βρείτε τη συνάρτηση εσόδων Ε(x) για παραγγελία x ταψιών.. Να βρεθεί η ποσότητα της παραγγελίας για την οποία έχουμε τα μέγιστα έσοδα Αν η συνάρτηση κόστους για την παραγωγή x ταψιών είναι : K( x) x 33x 00 5 (σε ευρώ), να βρεθεί η ποσότητα x για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος P(x). Ποια η τιμή πώλησης του κάθε ταψιού; ΛΥΣΗ 1. Η συνάρτηση εσόδων είναι ίση με το γινόμενο του πλήθους των μονάδων x που θα πουληθούν επί την τιμή μονάδας. Συνεπώς είναι : E( x) x. E ( x) E( x) 0. x E ( x) E( x ) E( x) Η συνάρτηση κέρδους είναι P x E x K x Άρα για..τα έσοδα γίνονται μέγιστα και ίσα με.. P ( x) P( x) 0 P( x) 0 x P( x) P( x ) Άρα για..το κέρδος γίνεται μέγιστο και ίσο με.... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 15

17 ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1) Δίνεται η συνάρτηση f x x x x 3 ( ) 3 α β Αν η Cf διέρχεται από το σημείο Μ 1, 16 και ο ρυθμός μεταβολής της για x = είναι -4 ΛΥΣΗ α. Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α και β. β. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f. f ( x) f () γ. Να βρεθεί το όριο: lm x x 4 δ. Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης στο οποίο έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης, καθώς και η εξίσωση της εφαπτόμενης στο σημείο αυτό Αφού η Cf διέρχεται από το σημείο Μ 1, 16, άρα είναι:.. Αφού ο ρυθμός μεταβολής της για x = είναι -4, άρα είναι:. 3 ( ) 3 α β f x x x x. Άρα :.. Μονοτονία ακρότατα f ( x ) 0 f ( x ) 0 x f x f x H f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα: Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση με τιμή Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση με τιμή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 16

18 f ( x) f () lm lm lm x 4 x 4 x 4 x x x lm x Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο τυχαίο σημείο της M x, f x είναι:. Άρα ο ελάχιστος συντελεστής διεύθυνσης θα βρεθεί από τη μονοτονία και τα ακρότατα της δηλαδή από το πρόσημο και τις ρίζες της.. f ( x ) 0 f ( x ) 0 x f x f x Άρα για x =. η f x παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή της που είναι: Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο αυτό είναι: y y λ x x 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 17

19 ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ () x Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x 1, x α. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης f. β. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f. γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f που είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση y = x 1. ΛΥΣΗ δ) Να βρεθεί το όριο: lm x f ( x) f () x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 18

20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 19

21 ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (3) ΛΥΣΗ Δίνεται η συνάρτηση 3 f ( x) x 3x 9x 4, R. 1. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο τα οποία και να βρεθούν.. Να προσδιορίσετε τις τιμές του α για τις οποίες το τοπικό μέγιστο της f είναι 3-πλάσιο από το τοπικό ελάχιστο. 3. Να βρείτε, αν υπάρχει, τιμή του x για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της f(x) γίνεται ελάχιστος. 3 f ( x) x 3x 9x 4 f ( x ) 0 f ( x ) 0 x f x f x H f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα:. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα: Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση με τιμή. Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση με τιμή Θέλουμε να είναι :.. Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f είναι:.. f x f x 0 f x 0 x f x f x Άρα για x =. Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης παίρνει την ελάχιστη τιμή του που είναι: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 0

22 ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (4) ΛΥΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f(x) ln x 1 x 7x 6, x 1 ) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f καθώς και τα ακρότατα της. ) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο αυτή δέχεται εφαπτομένη με τον ελάχιστο δυνατό συντελεστή διεύθυνσης. ) Ποια η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο αυτό ; f (x) ln x 1 x 7x 6 f (x) 0 f (x) 0 x f x f x H f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα:. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα: Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στη θέση με τιμή. Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση με τιμή Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο τυχαίο σημείο της M x, f x είναι:. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1

23 Άρα ο ελάχιστος συντελεστής διεύθυνσης θα βρεθεί από τη μονοτονία και τα ακρότατα της δηλαδή από το πρόσημο και τις ρίζες της.. f ( x ) 0 f ( x ) 0 x f x f x Άρα για x =. η f x παρουσιάζει την ελάχιστη τιμή της που είναι: Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο αυτό είναι: y y λ x x 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα

24 ΘΕΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (5) ΛΥΣΗ Μια δεξαμενή σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, ανοικτή από πάνω, έχει όγκο 36 m 3. Aν έχει πλάτος x, μήκος x και ύψος y, 18 Α. Να δειχθεί ότι y x Β. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν της επιφάνειάς του είναι 3 x E x 108, x 0 και να βρεθούν οι x διαστάσεις του οι οποίες ελαχιστοποιούν το εμβαδόν της επιφάνειάς του. Γ. ποιο το ελάχιστο κόστος κατασκευής του αν η λαμαρίνα που θα το κατασκευάσουμε κοστίζει 5 το τετραγωνικό μέτρο. E 1 h E 1 Δ. να βρεθεί το όριο lm h1 h ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 3

25 ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΘΕΜΑ 1 Ο Μια βιομηχανία καθορίζει την τιμή πώλησης κάθε μονάδος ενός προϊόντος, συναρτήσει του πλήθους x των μονάδων παραγωγής σύμφωνα με τον τύπο : (3300 3x) λεπτά του ευρώ, ενώ το κόστος παραγωγής κάθε μονάδος συναρτήσει του πλήθους x των μονάδων παραγωγής σύμφωνα με τον τύπο : (300 ) λεπτά του ευρώ. x ) Να δειχθεί ότι το κέρδος της επιχείρησης από την πώληση x μονάδων δίνεται από τον τύπο: P(x) 3000x 3x ) Να βρεθεί πόσες μονάδες πρέπει να πουλήσει η επιχείρηση ώστε να έχει το μέγιστο δυνατό κέρδος. Ποιο είναι το μέγιστο κέρδος της επιχείρησης; ) Ποιο είναι τότε το κόστος παραγωγής κάθε μονάδος και σε ποια τιμή θα πουληθεί; v) Τι συμφέρει περισσότερο στην επιχείρηση να πουλήσει 501 ή 50 μονάδες του προϊόντος και γιατί; ΘΕΜΑ Ο Η θέση ενός υλικού σημείου που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο : x(t) =t 3 1t + 60t, όπου 0 t 10 ο χρόνος σε sec και x(t) σε μέτρα (m). ) Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνσή του τη χρονική στιγμή t. Ποια η αρχική του ταχύτητα; Ποια η αρχική του επιτάχυνση; ) Nα βρεθούν οι χρονικές στιγμές κατά τις οποίες το σώμα είναι ακίνητο. ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα στο οποίο το σώμα θα κινηθεί στην αρνητική κατεύθυνση. v) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα στο οποίο το σώμα κινείται επιταχυνόμενα. v) Να βρεθεί το ολικό διάστημα που θα διανύσει το σώμα στο χρονικό διάστημα 0 t 10 v) Ποια η μέση ταχύτητα του σώματος στο χρονικό διάστημα 0 t 10 ; ΘΕΜΑ 3 Ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο Αν είναι γνωστό ότι στο σημείο y x f ( x) x kx, k, M, f η εφαπτομένη της Cf είναι η ευθεία με εξίσωση Α) να δειχθεί ότι k=-5 και λ=. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4

26 Β) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f που είναι κάθετη στην ευθεία ( ): x9y015 0 Γ) Να βρεθεί το όριο lm h0 f h f () h 1 1 Δ) να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ( x) g( x) καθώς και το όριο x lm g( x) x ΘΕΜΑ 4 Ο x Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ( x) x e,, x Αν είναι γνωστό ότι f ( 1) f ( 1) Α) να δειχθεί ότι μ= Β) να λυθεί η εξίσωση: f ( x) 0 Γ) να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β ώστε : f ( x) f ( x) f ( x), x f ( x) f ( x) Δ) να βρεθεί το όριο lm x1 3 x 1 ΘΕΜΑ 5 Ο Έστω υλικό σημείο που κινείται σε άξονα και η θέση για κάθε χρονική στιγμή δίνεται από τη 3 συνάρτηση : f ( t) t t t,,, 0 t 10sec Αν είναι γνωστό ότι τη χρονική στιγμή t 0 sec έχει ταχύτητα 9 m / sec και επιτάχυνση a 6 m/sec Α) Να δειχθεί ότι λ = -9 και μ = 15. Β) να βρεθούν οι χρονικές στιγμές στις οποίες το σημείο είναι ακίνητο. Ποια η επιτάχυνσή του σε αυτές τις χρονικές στιγμές; Γ) να βρεθεί το ολικό διάστημα κίνησης του σημείου. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 5

27 3 ΘΕΜΑ 6 Ο Δίνεται η συνάρτηση f( x) x -3x μ -μ 3, μ A. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο. B. Να προσδιορίσετε τις τιμές του μ για τις οποίες το τοπικό μέγιστο της f είναι 5- πλάσιο από το τοπικό ελάχιστο. Γ. Για ποια τιμή του μ το τοπικό μέγιστο της f παίρνει την ελάχιστη τιμή του Δ. Να βρείτε, αν υπάρχει, την τιμή του x για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της f(x) γίνεται ελάχιστος. ΘΕΜΑ 7 Ο Δίνεται η συνάρτηση 3 f ( x) x 3 x 4x 5, x Αν είναι γνωστό ότι η f παρουσιάζει ακρότατα στις θέσεις x= και x=4, α) να δειχθεί ότι α=1 και β= -3. β) να βρεθεί το είδος των ακρότατων της f. γ) να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f με τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. δ) να βρεθεί το όριο lm h 0 f (1 h) 14 h ΘΕΜΑ 8 Ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) x 1, x ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A 1, f 1 ) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f καθώς και το ακρότατό της. f (x) f (x) ) Να βρεθεί το όριο lm x1 x x 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

28 ΘΕΜΑ 9 Ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : 3 f (x) x 3x k 1, x, k ( ά) ) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f καθώς και τα ακρότατα της. ) Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς k για την οποία ισχύει ότι το τοπικό μέγιστο της συνάρτησης είναι τριπλάσιο από το τοπικό της ελάχιστο. f (x) ) Να βρεθεί το όριο lm x 1 f (x) 6 x ΘΕΜΑ 10 Ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f(x) x lnx, x 0,, ( έ ) Η οποία στο σημείο της Α(1,1) δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. ) Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α,β. ) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f καθώς και το ακρότατο της. ) Να δειχθεί ότι x ln x 1, x 0, x v) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με τύπο g(x) f(x) ΘΕΜΑ 11 Ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f (x) ln x x 5x, x 0 v) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f καθώς και το ακρότατο της. v) Να βρεθεί το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο αυτή δέχεται εφαπτομένη με τον ελάχιστο δυνατό συντελεστή διεύθυνσης. v) Ποια η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο αυτό ; ΘΕΜΑ 1 Ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) ln xx, x 0, η οποία στο σημείο της δέχεται εφαπτομένη παράλληλη στη διχοτόμο 1 ου και 3 ου τεταρτημορίου. 1 1,f ) Να δειχθεί ότι α = 1. ) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f καθώς και το ακρότατο της. f (x) xf (x) ) Να βρεθεί το όριο lm x x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7

29 x x x 1) Ισχύει ότι, 1 1, 0 x x ) Ισχύει ότι x ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ 3) Η συνάρτηση f ( x) ln x είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0,. 4) Όλες οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού τους. 5) Αν στο σημείο 0, 0 με τον άξονα x x, τότε f x 0 0 6) Ισχύει ότι, x x 7) Ισχύει ότι, M x f x η γραφική παράσταση της f δέχεται εφαπτομένη παράλληλη. x x x e e x 8) Η συνάρτηση f ( x) e x είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το R. 9) Η συνάρτηση f ( x) A,0 0, 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της x 10) Αν στο σημείο 0, 0 σχηματίζει γωνία με τον άξονα x x, τότε f x ) Ισχύει ότι x, x 0 x 1) Ισχύει ότι M x f x η γραφική παράσταση της f δέχεται εφαπτομένη που x x 13) Ισχύει ότι x x e e, x 14) Αν f συνεχής στο x0 1 ln3, x 0 x A τότε lm f ( x ) f ( x 0) xx 0. 15) Αν στο σημείο 0, 0 σχηματίζει γωνία 30 0 με τον άξονα x x, τότε f x 0 3. M x f x η γραφική παράσταση της f δέχεται εφαπτομένη που ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8

30 16) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της Α x, x Δ με x x f x f x. όταν για κάθε ) Μια συνάρτηση f λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο xo A όταν ισχύει f x f x, x A. o 18) Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σημείο xo A όταν ισχύει lm f x f x. 19) Αν είναι lm f x L και lm gx L τότε ισχύει xxo 1 xxo 0) Μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο xo ho f xo h f x lm h o xxo υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. xxo lm f x g x L L 1. A όταν το όριο 1) Κάθε συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της. ) Το πεδίο ορισμού της παραγώγου μιας συνάρτησης είναι το ίδιο με το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 3) Η συνάρτηση f x x είναι παραγωγίσιμη στο σημείο xo=0. 4) H παράγωγος της συνάρτησης f στο σημείο xo A εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της στο σημείο xo. 5) Αν x(t) η συνάρτηση θέσης υλικού σημείου που κινείται σε άξονα τότε η ταχύτητά του τη υ t x t. χρονική στιγμή to είναι o o 6) Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Μ(xo,f(xo)) είναι ίσος με f x o. 7) Αν στο σημείο Μ(xo,f(xo)) της Cf η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στον άξονα x x τότε f x 0. ισχύει ότι 8) Ισχύει ότι x 9) Ισχύει ότι 3 30) Ισχύει ότι o x, x 0. x 1 x, x x ημx συνx ημx συνx, x. o ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9

31 31) Ισχύει ότι 1 1, x x x * 1 κπ εφx σφx, x, κ.. ημ x συν x 3) Ισχύει ότι 33) H εξίσωση f(x) = 0 έχει ως λύσεις τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τον άξονα x x. 34) Η επιτάχυνση ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησης εκφράζεται από την συνάρτηση x = x(t) είναι: α(t) x (t) 35) Ισχύει ο τύπος : f (x) f (x) g (x) f (x) g(x) ( ). g(x) g (x) 36) Ισχύει ότι : f(g(x)) f (g (x)) g (x) 37) Ισχύει ότι : 1 g (x) g x g (x) 38) Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δέχεται στο σημείο της Μ( x o,f(x o) ) εφαπτομένη που είναι παράλληλη στην διχοτόμο ου και 4ου τεταρτημόριου τότε είναι f (x ) 1 o 39) Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δέχεται στο σημείο της Μ( x o,f(x o) ) εφαπτομένη που είναι κάθετη στην διχοτόμο ου και 4ου τεταρτημόριου τότε είναι f (x ) 1 o ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 30

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 31

33 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 1. Πληθυσμός ονομάζεται ένα σύνολο τα στοιχεία του οποίου εξετάζονται ως προς κάποιο χαρακτηριστικό τους.. Δείγμα καλείται ένα υποσύνολο του πληθυσμού. Το πλήθος των στοιχείων του δείγματος λέγεται μέγεθος του δείγματος. Ένα δείγμα λέγεται αντιπροσωπευτικό όταν κάθε στοιχείο του πληθυσμού έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί στο δείγμα. 3. Μεταβλητή λέγεται το χαρακτηριστικό γνώρισμα ως προς το οποίο μελετάμε τον πληθυσμό. Συμβολίζονται συνήθως με κεφαλαία γράμματα X,Y,Z κ.λ.π, ενώ οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει λέγονται τιμές της μεταβλητής. 4. Ποιοτικές λέγονται οι μεταβλητές που οι τιμές τους δεν είναι αριθμοί. Π.χ ομάδα αίματος, οικογενειακή κατάσταση, επάγγελμα. 5. Ποσοτικές λέγονται οι μεταβλητές που οι τιμές τους είναι αριθμοί. Διακρίνονται σε διακριτές όταν οι τιμές τους είναι μεμονωμένοι αριθμοί (π.χ αριθμός παιδιών σε μια οικογένεια) και συνεχείς όταν μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος (α,β) π.χ βάρος, ύψος. 6. Όταν εξετάζουμε όλα τα στοιχεία ενός πληθυσμού ως προς μια μεταβλητή τότε λέμε ότι κάνουμε απογραφή. 7. Έστω ένα δείγμα μεγέθους ν και μια μεταβλητή X και χ, χ,..., χ με κ ν οι τιμές της 1 k μεταβλητής. Συχνότητα (απόλυτη) ν της τιμής χ λέγεται ο φυσικός αριθμός που εκφράζει το πλήθος των εμφανίσεων της τιμής χ μέσα στο δείγμα. Ισχύει ότι ν ν ν... ν ν δηλαδή το άθροισμα όλων των συχνοτήτων των τιμών 1 3 κ μιας μεταβλητής είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος. 8. Έστω ένα δείγμα μεγέθους ν και μια μεταβλητή X και χ, χ,..., χ 1 k με κ ν οι τιμές της μεταβλητής. Σχετική συχνότητα f της τιμής χ λέγεται το πηλίκο της αντίστοιχης συχνότητας προς το ν μέγεθος ν του δείγματος. Δηλαδή f ν, = 1,,...,κ Επειδή είναι 0 ν ν 0 ν ν 0 f 1 ν ν ν για = 1,,..., κ Επίσης έχουμε ότι: ν ν ν ν 1 3 κ ν ν ν ν... ν ν... f f f... f 1 3 κ 1 3 κ ν ν ν ν ν 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 3

34 9. Έστω ένα δείγμα μεγέθους ν και μια μεταβλητή X και χ, χ,..., χ με κ ν οι τιμές της 1 k μεταβλητής. Αθροιστική συχνότητα Ν της τιμής χ λέγεται το άθροισμα των συχνοτήτων των τιμών της μεταβλητής που είναι μικρότερες οι ίσες της τιμής χ. Είναι δηλαδή Ν ν + ν + ν ν, = 1,,...,k 1 3 Επίσης ισχύουν οι σχέσεις: ν = Ν, ν = Ν - Ν, ν = Ν - Ν,..., ν = Ν - Ν κ κ κ-1 Προφανώς ισχύει ότι: Ν ν + ν + ν ν ν, δηλαδή η αθροιστική συχνότητα της κ 1 3 κ τελευταίας τιμής της μεταβλητής είναι ίση με το μέγεθος ν του δείγματος. 10. Έστω ένα δείγμα μεγέθους ν και μια μεταβλητή X και χ, χ,..., χ με κ ν οι τιμές της 1 k μεταβλητής. Αθροιστική σχετική συχνότητα F της τιμής χ λέγεται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των τιμών της μεταβλητής που είναι μικρότερες οι ίσες της τιμής χ. Είναι δηλαδή F f + f + f f, = 1,,...,k 1 3 Επίσης ισχύουν οι σχέσεις: f = F, f = F - F, f = F - F,..., f = F - F κ κ κ-1 Προφανώς ισχύει ότι: F f + f + f f 1, δηλαδή η αθροιστική σχετική συχνότητα κ 1 3 κ της τελευταίας τιμής της μεταβλητής είναι ίση με τη μονάδα. 11. Επί τοις εκατό σχετική συχνότητα f % της τιμής χ λέγεται το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που έχουν τιμή χ. ν Ισχύει ότι: f% 100 f 100, για = 1,,...,k ν 1. Επί τοις εκατό αθροιστική σχετική συχνότητα F % της τιμής χ λέγεται το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγματος που έχουν μικρότερη ή ίση της τιμής χ. Ισχύει ότι F% f% + f % + f % f%, = 1,,...,k Τα ζεύγη Τα ζεύγη x,ν λέμε ότι αποτελούν την κατανομή συχνοτήτων της μεταβλητής Χ. x,f λέμε ότι αποτελούν την κατανομή σχετικών συχνοτήτων της μεταβλητής 14. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται μόνο για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες οι βάσεις των οποίων έχουν ίσα μήκη και βρίσκονται είτε στον οριζόντιο άξονα είτε στον κατακόρυφο άξονα και έχουν ίσα κενά μεταξύ τους. Τόσο το μήκος των βάσεων όσο και τα μεταξύ τους κενά επιλέγονται αυθαίρετα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 33

35 Σε κάθε τιμή αντιστοιχεί μια ορθογώνια στήλη που έχει ύψος ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα (ραβδόγραμμα συχνοτήτων) ή την αντίστοιχη σχετική συχνότητα (ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων) 15. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών τόσο μιας ποιοτικής όσο και μιας ποσοτικής μεταβλητής. Είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισμένος σε κυκλικούς τομείς έτσι ώστε σε κάθε τιμή της μεταβλητής να αντιστοιχεί κυκλικός τομέας με γωνία ν 0 0 α 360 f 360, για = 1,,...,k ν 0 Προφανώς ισχύει ότι α + α α = κ 16. Το διάγραμμα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μόνο μιας ποσοτικής μεταβλητής. Αφού τοποθετήσουμε στον οριζόντιο άξονα σε αύξουσα σειρά τις τιμές της μεταβλητής, υψώνουμε σε κάθε τιμή κατακόρυφη γραμμή σε ύψος ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα σχετική συχνότητα. Το πολύγωνο συχνοτήτων σχετικών συχνοτήτων προκύπτει αν ενώσουμε τα άνω άκρα των κατακόρυφων γραμμών του αντίστοιχου διαγράμματος. 17. Όταν το μέγεθος του δείγματος είναι σχετικά μικρό μπορούμε για τη γραφική του παράσταση να χρησιμοποιήσουμε το σημειόγραμμα τόσο για μια ποιοτική όσο και για μια ποσοτικής μεταβλητή. Αυτό αποτελείται από έναν οριζόντιο άξονα στον οποίο τοποθετούμε τις τιμές της μεταβλητής και πάνω από κάθε τιμή βάζουμε τόσες τελείες όση και η αντίστοιχη συχνότητα της τιμής. 18. Το χρονόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση που εξελίσσονται δια μέσου του χρόνου πχ η τιμή μιας μετοχής, το ποσοστό ανεργίας σε μια χώρα κ.λπ. Στον οριζόντιο άξονα τοποθετούμε τις χρονικές στιγμές που μας ενδιαφέρουν (έτη, μήνες,..) και στον κατακόρυφο τις τιμές της μεταβλητής στις αντίστοιχες χρονικές στιγμές. 19. Διαδικασία ομαδοποίησης παρατηρήσεων ενός δείγματος. Βρίσκουμε το εύρος R των τιμών της μεταβλητής: R = x - x max mn Βρίσκουμε το πλήθος κ των κλάσεων που θα χρησιμοποιήσουμε. R Βρίσκουμε το πλάτος c κάθε κλάσης: c = k (αν χρειαστεί στρογγυλοποίηση πάντα προς τα πάνω) Ξεκινώντας από τη μικρότερη τιμή της μεταβλητής έστω x σχηματίζουμε τα διαστήματα: o [x,x c), [x c, x c),... τα οποία λέγονται κλάσεις μέσα στις οποίες θα o o o o ταξινομηθούν οι παρατηρήσεις του δείγματος. Σε κάθε κλάση [α, β) υπάρχει μια κεντρική τιμή που λέγεται κέντρο της κλάσης, είναι ίσο με (α+β)/ και θεωρείται αντιπρόσωπος της κλάσης. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 34

36 Κάθε παρατήρηση πρέπει να ανήκει σε μια μόνο κλάση και καμία παρατήρηση δε μπορεί να μείνει εκτός όλων των κλάσεων. Η τελευταία κλάση μπορεί να είναι και κλειστό διάστημα. 0. Το ιστόγραμμα συχνοτήτων χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής στις οποίες έχει γίνει ομαδοποίηση. Αποτελείται από διαδοχικά ορθογώνια με βάσεις ίσες με το πλάτος των κλάσεων και ύψος ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα της κάθε κλάσης. Επειδή το πλάτος c των κλάσεων θεωρείται μονάδα μέτρησης, το εμβαδόν του κάθε ορθογωνίου είναι ίσο με τη συχνότητα της κάθε κλάσης για αυτό και το συνολικό εμβαδόν του ιστογράμματος συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος. Όμοια σχηματίζεται και το ιστόγραμμα των σχετικών συχνοτήτων με ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο με την αντίστοιχη σχετική συχνότητα της κάθε κλάσης. Το εμβαδόν του κάθε ορθογωνίου είναι ίσο με τη σχετική συχνότητα της κάθε κλάσης για αυτό και το συνολικό εμβαδόν του ιστογράμματος σχετικών συχνοτήτων είναι ίσο με τη μονάδα. 1. Το πολύγωνο συχνοτήτων είναι μια πολυγωνική γραμμή η οποία σχηματίζεται αν ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων του ιστογράμματος συχνοτήτων καθώς και τα μέσα δύο ακόμη υποθετικών κλάσεων που θεωρούμε στην αρχή και το τέλος με πλάτος όσο και οι υπόλοιπες και ύψος μηδέν. Όμοια σχηματίζεται και το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων. Το εμβαδόν που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος, ενώ αυτό που ορίζεται από το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με τη μονάδα.. Το ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων όπως και αυτό των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων κατασκευάζεται ομοίως με αντίστοιχα ύψη τις αθροιστικές συχνότητες της κάθε κλάσης ή τις αντίστοιχες αθροιστικές σχετικές συχνότητες. Τα αντίστοιχα πολύγωνα κατασκευάζονται αν ενώσουμε τα άνω δεξιά άκρα των ορθογωνίων. 3. Επειδή οι παρατηρήσεις που περιέχονται σε μια κλάση θεωρούνται ομοιόμορφα κατανεμημένες, το πλήθος των τιμών που βρίσκονται από το αριστερό άκρο έως το κέντρο της κλάσης όπως και αυτό που βρίσκεται πάνω από το κέντρο της έως το δεξί άκρο είναι ισοπληθή. 4. Όταν το πλήθος των κλάσεων είναι πολύ μεγάλο (τείνει στο άπειρο) τότε το πλάτος τους είναι πολύ μικρό (τείνει στο μηδέν). Τότε το πολύγωνο των συχνοτήτων τείνει να πάρει τη μορφή καμπύλης, που λέγεται καμπύλη συχνοτήτων. 5. Μέτρα θέσης καλούνται τα αριθμητικά μεγέθη τα οποία μας δίνουν το «κέντρο» των παρατηρήσεων σε οριζόντιο άξονα. Τέτοια είναι η μέση τιμή και η διάμεσος. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 35

37 6. Μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας καλούνται τα αριθμητικά μεγέθη τα οποία μας δίνουν τη διασπορά των παρατηρήσεων δηλαδή το πόσο αυτές εκτείνονται γύρω από το κέντρο τους. Τέτοια είναι η διακύμανση, το εύρος και η τυπική απόκλιση. 7. Μέτρα ασυμμετρίας καλούνται αυτά που καθορίζουν τη μορφή της κατανομής. κατά πόσο δηλαδή η αντίστοιχη καμπύλη είναι συμμετρική ή όχι. Τα μέτρα αυτά εκφράζονται συνήθως σε συνάρτηση με τα μέτρα θέσης και διασποράς. 8. Έστω ένα δείγμα παρατηρήσεων t 1, t, t 3,..., t μεγέθους ν μιας ποσοτικής μεταβλητής Μέση τιμή x καλείται το πηλίκο του αθροίσματος των παρατηρήσεων προς το μέγεθος ν t +t +t +...+t ν 1 3 ν 1 του δείγματος. Είναι δηλαδή: x = = t ν ν 9. Σε κατανομή συχνοτήτων αν x, x, x,..., x είναι οι τιμές της 1 3 k μεταβλητής Χ με αντίστοιχες συχνότητες,,,..., τότε η μέση τιμή είναι 1 3 k 1 x = χ ν ν κ ( πίνακες κατανομής συχνοτήτων ) =1 Αν είναι f 1,f,f 3,..., f k οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες τότε ο τύπος παίρνει τη μορφή: κ (χρήσιμος σε δείγματα με άγνωστο μέγεθος) =1 x = χ f 30. Παρατηρήσεις: Η μέση τιμή επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις. Σε ομαδοποιημένα δεδομένα η τιμή της διαφέρει από αυτή που θα βρίσκαμε χωρίς ομαδοποίηση διότι σε κάθε κλάση θεωρούμε το κέντρο της ως αντιπρόσωπο της κλάσης αφού οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται ομοιόμορφα κατανεμημένες. 31. Αν είναι x, x, x,..., x 1 3 οι τιμές μιας μεταβλητής με αντίστοιχους συντελεστές βαρύτητας (συντελεστές στάθμης) w,w,w,..., w τότε ο σταθμικός μέσος 1 3 ν είναι: x w + x w + x w x w x = w + w + w w ν ν =1 1 3 ν χ w 3. Διάμεσος (δ) ενός δείγματος ν παρατηρήσεων μιας ποσοτικής μεταβλητής, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως : η μεσαία παρατήρηση ( δ = t ) αν ν περιττός και ως ν+1 t +t ν ν +1 το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων ( δ = =1 w =1 ) αν ν άρτιος. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 36

38 33. Παρατηρήσεις: Η διάμεσος χωρίζει ένα σύνολο παρατηρήσεων σε δύο ίσα μέρη καθένα από τα οποία είναι ίσο με το πολύ το 50% του δείγματος. Η διάμεσος δεν είναι κατά ανάγκη και μια από τις παρατηρήσεις του δείγματος. Η διάμεσος δεν επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις. Σε ομαδοποιημένα δεδομένα η διάμεσος είναι η τετμημένη του σημείου του πολυγώνου των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων που αντιστοιχεί στο 50% του δείγματος. Διάμεσο δεν υπολογίζουμε σε ποιοτικά δεδομένα. Διάμεσος και μέση τιμή έχουν μονάδα μέτρησης ίδια με αυτήν της μεταβλητής. 34. Εύρος ή κύμανση R καλείται η διαφορά της ελάχιστης από τη μέγιστη παρατήρηση σε ένα δείγμα τιμών μιας ποσοτικής μεταβλητής. Είναι δηλαδή: R x x max mn Σε ομαδοποιημένα δεδομένα το εύρος είναι ίσο με τη διαφορά του κατώτερου ορίου της 1 ης κλάσης από το ανώτερο της τελευταίας κλάσης, για αυτό και ενδέχεται να διαφέρει από αυτό που θα βρίσκαμε χωρίς ομαδοποίηση. Έχει μονάδα μέτρησης ίδια με αυτήν της μεταβλητής. Δεν είναι αξιόπιστο μέτρο διασποράς διότι εξαρτάται μόνο από δύο τιμές (μέγιστη και ελάχιστη παρατήρηση) 35. Έστω t, t,..., οι παρατηρήσεις για μια μεταβλητή X και x _ η μέση τιμή τους. 1 t v Ισχύει ότι: t x t x t x t t t x x x 0 Ορίζουμε ως διακύμανση ή διασπορά s την ποσότητα t x 1 t x t x... 1 s t x 1 ή ισοδύναμα s 1 v v t 1 v 1 t v ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 37

39 Όταν έχουμε κατανομή συχνοτήτων ή ομαδοποιημένα δεδομένα η διακύμανση δίνεται από v 1 _ τον τύπο : s x x v v 1 k x v k 1 1 ή την ισοδύναμη μορφή s x v όπου x είναι οι τιμές της v 1 v 1, x,..., x k μεταβλητής ή τα κέντρα των κλάσεων, με συχνότητες αντίστοιχα v, v,...,. 36. Η τυπική απόκλιση είναι το μέτρο διασποράς που είναι ίσο με τη θετική τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης και εκφράζεται με την ίδια μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού και δίνεται από τον τύπο : s Στην περίπτωση όπου είναι t τότε s = 0 1 t t3... t 37. Παρατηρήσεις: Μονάδα διασποράς είναι το τετράγωνο της μονάδας της μεταβλητής. Σε ομαδοποιημένα δεδομένα η τιμή της διασποράς καθώς και της τυπικής απόκλισης διαφέρει από αυτή που θα βρίσκαμε χωρίς ομαδοποίηση. 38. Ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών και όχι της απόλυτης διασποράς, με το οποίο μπορούμε να προβαίνουμε σε συγκρίσεις ομάδων τιμών, που εκφράζονται είτε σε διαφορετικές μονάδες είτε στην ίδια μονάδα μέτρησης, αλλά έχουν σημαντικά διαφορετικές μέσες τιμές, είναι ο συντελεστής μεταβολής CV. s Ορίζεται από το λόγο : CV, όπου x 0 x είναι καθαρός αριθμός, εκφράζεται σε ποσοστό επί τοις εκατό s Ο συντελεστής μεταβολής CV εκφράζει τη μεταβλητότητα των δεδομένων απαλλαγμένη από την επίδραση της μέσης τιμής. Ο συντελεστής μεταβολής CV είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης. Μεταξύ δυο δειγμάτων A και B περισσότερο ομοιογενές είναι αυτό με το μικρότερο συντελεστή μεταβολής. Όσο μικρότερος είναι ο συντελεστής μεταβολής τόσο μεγαλύτερη ομοιογένεια έχει ένα δείγμα και γενικότερα ένα δείγμα θεωρείται ομοιογενές εάν CV 10%. Ο συντελεστής μεταβολής δεν ενδείκνυται για δείγματα όπου x 0. % 1 v k ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 38

40 39. Έστω x1, x,..., xv, v παρατηρήσεις με μέση τιμή x _, διάμεσο δx, εύρος R και τυπική x απόκλιση s x. α) Αν y, y,..., οι παρατηρήσεις που προκύπτουν από τον τύπο 1 _ τότε ισχύει : 1. y x c. s 3. δy=δx +c 4. R R y sx y x β) Αν y, y,..., οι παρατηρήσεις που προκύπτουν από τον τύπο 1 τότε ισχύει : 1. y cx. sy c sx 3. δy=cδx 4. R c R y x γ) Αν y, y,..., οι παρατηρήσεις που προκύπτουν από τον τύπο 1 _ y x, 1,,3,...,, a, τότε ισχύει : y v y x c, 1,,..., v, c y v y v _ y cx, 1,,..., v, c _ 1. y x. sy sx 3. y a x 4. R R y x 40. Έστω x1, x,..., xv, v παρατηρήσεις με μέση τιμή x _ και τυπική απόκλιση s x. α) Αν έχουμε αύξηση όλων των τιμών κατά α% δηλαδή : y x x1 1 x, ό 1,,3,..., τότε ισχύει: y 1 x sy 1 s β) Αν έχουμε μείωση όλων των τιμών κατά α% δηλαδή : y x x1 1 x, ό 1,,3,..., τότε ισχύει: y 1 x sy 1 s x x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 39

41 41. Καμπύλες Συχνοτήτων Αν υποθέσουμε ότι για μια συνεχή μεταβλητή το πλήθος των κλάσεων είναι πολύ μεγάλο (τείνει στο άπειρο) ενώ το πλάτος τους είναι αρκετά μικρό (τείνει στο 0 ) τότε η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει μορφή ομαλής καμπύλης, η οποία λέγεται καμπύλη συχνοτήτων. Α) Ομοιόμορφη κατανομή B) Κανονική κατανομή Γ) Ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία Δ) Ασύμμετρη με αρνητική ασυμμετρία Παρατηρήσεις: Επειδή η μέση τιμή επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις,η θέση της προς την ουρά της κατανομής. Η θέση της διαμέσου είναι εκεί όπου το εμβαδό που ορίζεται από την καμπύλη χωρίζεται σε δύο ισεμβαδικά χωρία. Σε κάθε συμμετρική κατανομή είναι x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 40

42 4. Σε κανονική κατανομή ισχύουν: Διαστήματα της μεταβλητής _ ( x s, x s) ( x s, x s) ( x 3s, x 3s) _ Ποσοστό των τιμών που βρίσκονται στο διάστημα 68% 95% 99, 7% ( x s, x) ή ( x, x s) 34% ( x s, x s) ή ( x s, x s) 13, 5% 99, 7 95 ( x 3s, x s) ή ( x s, x 3s), 35% κάτω από x ή πάνω από x 50% κάτω από x s ή πάνω από x s % κάτω από x s ή πάνω από x s , 5% κάτω από x 3s ή πάνω από x 3s , 7 0, 15% Το εύρος είναι R 6 s ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 41

43 ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΘΕΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (1) (μεταβλητή ποιοτική) Οι απαντήσεις 0 μαθητών στην ερωτηση ποια ειναι η ομαδα αιματος σου ειναι: Α, Β, Α, ΑΒ, Α, Β, Α, Α, ΑΒ, Ο, Β, Α, Α, Β, Β, Α, ΑΒ, ΑΒ, Α, Β. x ν f f % α 0 x1 : Α ν1= f1= α1= x : Β ν= f= α= x3 : ΑΒ ν3= 33= α3= x4 : Ο ν4= f4= α4= ΣΥΝΟΛΟ ν= 1 100% 360 ο ν1 f 1 ν ν f ν ν3 f 3 ν ν4 f 4 ν α α α α ν 360 ν ο 1 1 ν 360 ν ο ν 360 ν ο 3 3 ν 360 ν ο 4 4 ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ (%) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4

44 ΘΕΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () (μεταβλητή ποιοτική) Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παριστάνεται η προτίμηση των 100 μαθητών της Γ Λυκείου ενός σχολείου για την εκδρομή της «Λευκής Εβδομάδας», σε τέσσερις κατηγορίες τοποθεσιών: «Πισοδέρι», «Σέλι», «Αράχοβα» και «Καϊμακτσαλάν». Το 0% των μαθητών προτιμούν «Πισοδέρι», η γωνία του κυκλικού τομέα των μαθητών που προτιμούν «Καϊμακτσαλάν» είναι 108 ο και οι μαθητές που προτιμούν «Αράχοβα» είναι 4-πλάσιοι αυτών που προτιμούν «Σέλι». Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: x ν f f % α 0 x1 : Πισοδέρι ν1= f1= α1= x : Σέλι ν= f= α= x3 : Αράχοβα ν3= 33= α3= x4 :Καϊματσαλάν ν4= f4= α4= ΣΥΝΟΛΟ ν= 1 100% 360 ο Προφανώς το μέγεθος του δείγματος είναι ν =. Αφού το 0% των μαθητών προτιμούν «Πισοδέρι» άρα :. Αφού η γωνία του κυκλικού τομέα των μαθητών που προτιμούν «Καϊμακτσαλάν» είναι 108 ο άρα :. Αφού οι μαθητές που προτιμούν «Αράχοβα» είναι 4-πλάσιοι αυτών που προτιμούν «Σέλι».... Να γίνει το ραβδόγραμμα των συχνοτήτων. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 43

45 ΘΕΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (3) (μεταβλητή ποσοτική διακριτή) Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι απαντήσεις 0 μαθητών ως προς τις ώρες μελέτης των μαθηματικών κατά την προηγούμενη ημέρα Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας και να υπολογιστούν η μέση τιμή και η διάμεσος του χρόνου μελέτης. Τέλος να γίνει το διάγραμμα και το πολύγωνο ων συχνοτήτων. x ν f f% N F F% α xν x1 : 0 x : 1 x3 : x4 : 4 ΣΥΝΟΛΟ Τοποθετούμε τις απαντήσεις (παρατηρήσεις ) σε αύξουσα σειρά. t1 t t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t1 t 13 t 14 t 15 t 16 t 17 t 18 t 19 t 0 ΔΙΑΜΕΣΟΣ: ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΚΑΙ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 44

46 ΘΕΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (4) (μεταβλητή ποσοτική διακριτή) Το γνωστό σουβλατζίδικο «Ο ΟΙΚΟΛΟΓΟΣ ΒΛΑΧΟΣ» πουλάει τεμάχια από σουβλάκια (τα ψωμάκια το λεμόνι και η ρίγανη είναι δωρεάν) από οικολογικό χοιρινό κρέας που προμηθεύεται από τη στάνη του Αβραάμ Γελαδάρη. Κατά τη διάρκεια μιας ημέρας δέχθηκε 50 παραγγελίες από 1 έως 5σουβλακια ( δεν πουλάει πάνω από 5 σουβλάκια για να φτάσουν για όλους). Οι παραγγελίες για 1 σουβλάκι ήταν το 10% αυτών, 0 παραγγελίες ήταν για 4 σουβλάκια, οι παραγγελίες μέχρι και 3 σουβλάκια ήταν 5, ενώ το 30% των παραγγελιών ήταν μέχρι και σουβλάκια. 1) ο παρακάτω πίνακας: x ν f f % N F F % α 0 x ν ΣΥΝΟΛΟ ) Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διάμεσος των παραγγελιών. ΔΙΑΜΕΣΟΣ: ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ: 3) Αν το κάθε σουβλάκι πωλείται στην τιμή του 1,5 ευρώ και όσοι παραγγείλουν από 4 σουβλάκια και πάνω δικαιούνται έκπτωση 10% και μια μερίδα πατάτες δώρο (Νευροκοπίου), ποιες οι συνολικές εισπράξεις του σουβλατζίδικου; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 45

47 ΘΕΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (5) (μεταβλητή ποσοτική συνεχής) Παρακάτω δίνονται τα βάρη 40 μαθητών Μέγεθος δείγματος: ν =.. Ελάχιστη παρατήρηση: t mn =. Μέγιστη παρατήρηση: t max =. Εύρος παρατηρήσεων : R = t max t mn = Πλήθος κλάσεων : κ. R Πλάτος κλάσεων : c Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας Κλάσεις [ - ) Κεντρικές Τιμές x Διαλογή Συχνότητες v Σχετικές συχνότητες f % Αθροιστικές συχνότητες N Αθρ. Σχετ. Συχνότητες F % x ν x ν ΣΥΝΟΛΟ ν = ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ x 6 x v 1 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ :. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 46

48 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:.. ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 47

49 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΔΙΑΜΕΣΟΣ :... ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Η : Να βρεθεί το πλήθος των μαθητών με βάρος το πολύ.. ΕΡΩΤΗΣΗ Η : Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών με βάρος τουλάχιστον ΔΙΑΣΠΟΡΑ: ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ:... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 48

50 ΘΕΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (6) (μεταβλητή ποσοτική συνεχής) Έστω ένα δείγμα 40 μαθητών οι οποίοι εξετάστηκαν ως προς το χρόνο εβδομαδιαίας μελέτης τους σε ώρες στο μάθημα των Μαθηματικών. Τα αποτελέσματα ομαδοποιήθηκαν σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους και μερικά από αυτά φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. [, ) x x x ν [, ) [, ) 8 0,0 [, ) 0,60 [, 18) ΣΥΝΟΛΟ Α. Να δειχθεί ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c = 4 f F Β. Να συμπληρωθεί ο πίνακας και να βρεθεί η μέση τιμή του αριθμού των ωρών μελέτης αν είναι γνωστό ότι 3 3v1. Γ. Να σχεδιαστεί το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και από το αντίστοιχο πολύγωνο να εκτιμηθεί η διάμεσος των ωρών μελέτης. ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 49

51 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΔΙΑΣΠΟΡΑ: ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ: ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ:... ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Η : Να βρεθεί το πλήθος των μαθητών που μελέτησαν το πολύ... ΕΡΩΤΗΣΗ Η : Να βρεθεί το ποσοστό των μαθητών που μελέτησαν τουλάχιστον.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 50

52 ΘΕΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (7) (κανονική κατανομή) Σε έρευνα που έγινε στους μαθητές μιας πόλης, για τον χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των μαθητών χρειάζεται περισσότερο από 1 λεπτά, ενώ το 16% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά. Υποθέτουμε ότι η κατανομή του χρόνου της διαδρομής είναι κατά προσέγγιση κανονική. Α. Να βρείτε το μέσο χρόνο διαδρομής των μαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδρομής τους. Β. Να εξετάσετε, αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Γ. Αν οι μαθητές της πόλης είναι 4.000, πόσοι μαθητές θα κάνουν χρόνο διαδρομής από 14 έως 16 λεπτά. Δ. Μια μέρα, λόγω έργων στον κεντρικό δρόμο της πόλης, κάθε μαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρείτε πόσο μεταβάλλεται ο συντελεστής μεταβολής (CV). ΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 51

53 ΘΕΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (8) (κανονική κατανομή) Έστω η συνάρτηση f x x kx 4 x 10, x 0. Aν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Α(1,f(1)) είναι παραλληλη στον αξονα x x, να αποδειξετε οτι k= και να βρειτε την εξισωση της. Μία τυχαία μεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή f ' 4 απόκλιση s. 13 x f 1 και τυπική Τρεις παρατηρήσεις, αντιπροσωπευτικού δείγματος μεγέθους ν, είναι μικρότερες ή ίσες του 8. () Να βρείτε τον αριθμό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (10,16). ()Να αποδείξετε ότι το δείγμα των παρατηρήσεων που έχει ληφθεί, δεν είναι ομοιογενές. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή της παραμέτρου α>0, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε μία από τις προηγούμενες παρατηρήσεις, ώστε το δείγμα των νέων παρατηρήσεων να είναι ομοιογενές. ΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 5

54 ΘΕΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (9) (μέτρα θέσης και διασποράς σε μικρό δείγμα) Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήματα στις παρακάτω τιμές, σε Ευρώ: 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9. α. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο β. Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής. γ. Αν οι τιμές του προϊόντος σε όλα τα καταστήματα υποστούν έκπτωση 10%, να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής. ΛΥΣΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 53

55 ΘΕΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ (10) Η διάρκεια των κλήσεων ενός κινητού τηλεφώνου μέσα σε μια βδομάδα ήταν από 0 έως 100 s Η διάρκεια 4 κλήσεων ήταν κάτω από 0sec. To 30% των κλήσεων είχε διάρκεια κάτω από 40sec. 10 κλήσεις είχαν διάρκεια από 40 έως 60sec. 34 κλήσεις κάτω από 80sec. Το 90% των κλήσεων είχε διάρκεια τουλάχιστον 0sec. Α. Να παραστήσετε τους χρόνους κλήσεων σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους και να συμπληρώσετε τον πίνακα συχνοτήτων, απόλυτων και σχετικών, καθώς και των αθροιστικών συχνοτήτων απόλυτων και σχετικών. Β. Να υπολογιστεί η μέση τιμή βαθμολογίας. Να κατασκευαστεί το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και να εκτιμηθεί η διάμεσος. Γ. Ποιο είναι το ποσοστό των κλήσεων με διάρκεια από 30 έως και 70sec ; (Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας) Δ. Να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές. ΛΥΣΗ [, ) [, ) x f F x x ν [, ) [, ) [, ) [, ) ΣΥΝΟΛΟ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 54

56 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 55

57 ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΛΥΣΗ ΘΕΜΑ 1 Ο Οι χρόνοι μετάβασης από το σπίτι τους προς την εργασίας τους 000 ατόμων ακολουθούν κανονική κατανομή. 50 εργαζόμενοι κάνουν χρόνο το πολύ 0 mn. 30 εργαζόμενοι κάνουν χρόνο το τουλάχιστον 35 mn. Α. Να υπολογιστούν η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση, η διάμεσος, το εύρος και ο συντελεστής μεταβολής. Β. Ποιο το πλήθος των εργαζομένων που κάνουν: α) από 5 έως 40 mn β) από 0 έως 30 mn Γ. Παρατηρήθηκε ότι αν κάνουν χρήση του Μετρό οι χρόνοι τους μειώνονται κατά 0%. Ποια η μεταβολή του συντελεστή μεταβολής; ΘΕΜΑ Ο Σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής παιδείας συμμετείχαν 60 μαθητές της Γ λυκείου και είχαν μέση επίδοση 14. Αν είναι γνωστό ότι οι 30 μαθητές Θεωρητικής είχαν μέση επίδοση 1 και οι 0 μαθητές τεχνολογικής είχαν μέση επίδοση 15 τότε: Α. ποια η μέση επίδοση των μαθητών της θετικής κατεύθυνσης; Β. Αν για τους βαθμούς t 1, t,..., t 60 δίνεται ότι να βρεθεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές. 60 t Γ. Δύο μαθητές που απουσίαζαν και έγραψαν την άλλη μέρα πήραν βαθμούς 10 και 18 αντίστοιχα. Να βρεθεί η νέα τιμή της τυπικής απόκλισης. ΘΕΜΑ 3 ο Έστω x, s η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση ενός δείγματος 4000 παρατηρήσεων που ακολουθούν κανονική κατανομή. 3 f ( x) x x 3 x s 1, x Δίνεται η συνάρτηση για την οποία είναι γνωστό ότι η εφαπτομένη της στο M 1, f (1) είναι η ευθεία y 3x 1. Α. Να υπολογιστούν x, s, R,, CV. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 56

58 Β. Πόσες παρατηρήσεις έχουν τιμή: α) τουλάχιστον 5. β) το πολύ 4. Γ. Ποια η τιμή της θετικής σταθεράς c που πρέπει να προστεθεί σε καθεμία από τις 4000 παρατηρήσεις ώστε: α) Το δείγμα να γίνει οριακά ομοιογενές β) Να υποδιπλασιαστεί ο συντελεστής μεταβολής Δ. Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f. Έστω t, t,..., 1 ΘΕΜΑ 4 ο t οι βαθμοί ν μαθητών σε ένα διαγώνισμα. 1 f ( x) t x t x... t x, x Έστω η συνάρτηση Αν είναι γνωστό ότι αυτή έχει ελάχιστη τιμή το 50 για x = 15, A. Να βρεθεί η μέση τιμή της βαθμολογίας των μαθητών t. Β. Αν είναι γνωστό ότι t 4550 να βρεθεί το πλήθος ν των μαθητών. 1 Γ. Αν όλοι οι βαθμοί αυξηθούν κατά 1 μονάδα ποια η μεταβολή του συντελεστή μεταβολής CV; ΘΕΜΑ 5 ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) 10s x x x 11, x, όπου x η μέση τιμή και s>0 η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων ενός δείγματος μεγέθους ν. Αν η εφαπτομένη της γραφικής 1, f ( 1) είναι παράλληλη στην ευθεία y = 016 παράστασης της f στο σημείο της τότε: Α. Να δειχθεί ότι το δείγμα είναι ομοιογενές. Β. Αν η ελάχιστη τιμή της f είναι ίση με 1 να βρεθούν η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων του δείγματος. Γ. Να βρεθεί το μέγεθος ν του δείγματος αν είναι t Δ. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο όπου αυτή τέμνει τον άξονα y y. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 57

59 Έστω Αν ισχύουν ΘΕΜΑ 6 ο 1,3,8,,,..., t t... t t t... t 466 Α. Να βρεθούν x s. Β. Είναι το δείγμα ομοιογενές; t4 t5 t 0 0 παρατηρήσεις ενός δείγματος Γ. Ποια η τιμή της σταθεράς που πρέπει να προσθέσω σε καθεμιά από τις 0 παρατηρήσεις ώστε να υποδιπλασιαστεί ο συντελεστής μεταβολής; Δ. Με ποια τιμή πρέπει να αντικατασταθεί το 3 στο αρχικό δείγμα ώστε η μέση τιμή να γίνει ίση με το 6; Ποια η νέα τιμή της διασποράς; ΘΕΜΑ 7 ο Έστω δείγμα 4000 παρατηρήσεων που ακολουθούν κανονική κατανομή με μέση τιμή x 0, τυπική απόκλιση s>0 και συντελεστή μεταβολής CV = 0%. 3 Έστω η συνάρτηση f ( x) 4x 1 sx 3 xx, x Α. Να δειχθεί ότι η f δεν έχει ακρότατα. Β. Αν 100 παρατηρήσεις έχουν τιμή τουλάχιστον 1 να βρεθούν x, s, R,. Γ. Ποιο το πλήθος των παρατηρήσεων με τιμή το πολύ 1; Δ. Αν πολλαπλασιάσουμε όλες τις παρατηρήσεις με μια θετική σταθερά c και έπειτα προσθέσουμε το 1 ο νέος συντελεστής μεταβολής γίνεται ίσος με 1/7. Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς c. E. Να βρεθεί το εύρος και η διάμεσος των αριθμών f, f, f 1, f 1, f (0) ΘΕΜΑ 8 ο Η διάρκεια των κλήσεων ενός κινητού τηλεφώνου μέσα σε μια βδομάδα ήταν από 0 έως 100 sec. Η διάρκεια 4 κλήσεων ήταν κάτω από 0sec. To 30% των κλήσεων είχε διάρκεια κάτω από 40sec. 10 κλήσεις είχαν διάρκεια από 40 έως 60sec. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 58

60 34 κλήσεις κάτω από 80sec. Το 90% των κλήσεων είχε διάρκεια τουλάχιστον 0sec. Α. Να παραστήσετε τους χρόνους κλήσεων σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους και να συμπληρώσετε τον πίνακα συχνοτήτων, απόλυτων και σχετικών, καθώς και των αθροιστικών συχνοτήτων απόλυτων και σχετικών. Β. Να υπολογιστεί η μέση τιμή βαθμολογίας. Να κατασκευαστεί το ιστόγραμμα και το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. Γ. Ποιο είναι το ποσοστό των κλήσεων με διάρκεια από 30 έως και 70sec ; (Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας) Δ. Να κατασκευαστεί το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Δίνεται η συνάρτηση ΘΕΜΑ 9 ο f(t) xt 10s t, tr, όπου x 0 και s είναι x,x,...,x το οποίο αντίστοιχα η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση ενός δείγματος τιμών ακολουθεί κανονική κατανομή. 1 Α. Αν το σημείο Μ(-1,) ανήκει στη γραφική παράσταση της f να εξεταστεί αν το δείγμα τιμών είναι ομοιογενές. Β. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ. Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση αν είναι γνωστό ότι το 16 % των τιμών του δείγματος έχουν τιμή τουλάχιστον 18. Δ.. Αν x 0 και s να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της Cf στο σημείο Μ(-1,) A (x,y ),A (x,y ),...,A (x,y ) ανήκουν στην παραπάνω ευθεία (ε) Ε. Αν τα σημεία ν ν ν να βρεθεί η μέση τιμή y και η τυπική απόκλιση s y των τεταγμένων των σημείων. ν ΘΕΜΑ 10 Ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) x s x x 0, x όπου x s η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση ενός δείγματος ν-παρατηρήσεων που ακολουθούν κανονική κατανομή. Αν είναι γνωστό ότι στο σημείο 1,f 1 η Cf έχει εφαπτόμενη την ευθεία (ε) με εξίσωση y=3x-1: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 59

61 ) Να βρεθούν οι τιμές των μεγεθών : x,, s, R, CV ) Αν επιπλέον είναι γνωστό ότι 6 παρατηρήσεις του δείγματος είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 9, πόσες παρατηρήσεις βρίσκονται στο διάστημα (14,17); ) Έστω μια νέα μεταβλητή Y για τις τιμές της οποίας ισχύει y x c, 1,,3,...,, c 0 ( ά). Αν είναι CVy 0% να βρεθεί η τιμή της σταθεράς c. ισχύουν: ΘΕΜΑ 11 Ο Έστω ένα δείγμα παρατηρήσεων x 1, x,..., x που ακολουθούν κανονική κατανομή και Το,5% των παρατηρήσεων έχουν τιμή τουλάχιστον 14. x x... x 104, s * 1 ) Να βρεθούν τα μεγέθη: x, s,,r, CV, x, x 10 ) Να βρεθεί το μέγεθος ν του δείγματος αν είναι γνωστό ότι το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (8,14) είναι κατά 68 περισσότερες από αυτές που βρίσκονται στο (6,10). ) Αν ν = 00 και 50 από τις παρατηρήσεις αυξηθούν κατά 4 μονάδες να βρεθεί η μέση τιμή y του νέου δείγματος. v) Αν z x 15, 1,,..., να βρεθεί ο CV z. 1 ΘΕΜΑ 1 Ο Έστω ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής το οποίο ομαδοποιήθηκε σε 4 ισοπλατείς κλάσεις. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων με μερικά από τα αποτελέσματα. [, ) x ν f [, ) 6 [, ) 14 0,35 [, ) [, ) 4 18 ΣΥΝΟΛΟ Αν είναι γνωστό ότι x 18 ) Να συμπληρωθεί ο πίνακας. ) Να βρεθεί η διάμεσος. ) Να δειχθεί ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές. v) Εκλέγω τυχαία μια παρατήρηση. Ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου: Α: η παρατήρηση ανήκει στο διάστημα (1,3). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 60

62 Δίνονται τα παρακάτω δείγματα τιμών Α: 0,,8,14,16 Β: t 1,t,...,t 10 ΘΕΜΑ 13 Ο Αν για τα δείγματα ισχύουν: 10 A B 1 x x, t 680 ) Να εξεταστούν τα δείγματα ως προς την ομοιογένεια. ) Να βρεθεί το t ) Να βρεθεί η τιμή της σταθεράς c>0 η οποία αν προστεθεί στις παρατηρήσεις του 1 ου δείγματος θα δώσει νέο δείγμα με συντελεστή μεταβολής 5%. ΘΕΜΑ 14 Ο Έστω t 1, t, t 3,..., t 0 οι ηλικίες σήμερα 0 ενήλικων ατόμων για τις οποίες γνωρίζουμε ότι CV=5% και 0 t ) Ποια η μέση ηλικία των ατόμων σήμερα; ) Ποια η μέση ηλικία τους πριν 5 έτη; ) Να βρεθεί το t v) Σε πόσα έτη από σήμερα (εφόσον όλοι θα είναι εν ζωή) ο συντελεστής μεταβολής θα γίνει ίσος με 0%; ΘΕΜΑ 15 ο Εξετάζουμε ένα δείγμα φοιτητών ως προς την ηλικία τους σε έτη. Αν η κατανομή των ηλικιών τους είναι περίπου κανονική με διάμεσο τα 5 έτη και συντελεστή μεταβολής 8%, ) Να βρεθούν η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση και το εύρος των ηλικιών τους. ) Αν 100 φοιτητές έχουν ηλικία τουλάχιστον 9 έτη, να βρεθεί πόσοι φοιτητές έχουν ηλικία το πολύ 3 έτη. ) Ποια η μεταβολή του συντελεστή μεταβολής των ηλικιών του ς σε 3 έτη ; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 61

63 ΘΕΜΑ 16 Ο Έστω ένα δείγμα 50 αυτοκινήτων τα οποία εξετάστηκαν ως προς το πλήθος των επιβατών που μετέφεραν. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται μερικά από τα αποτελέσματα. x f 1 0, ,90 4 ΣΥΝΟΛΟ F x x Α. Να συμπληρωθεί ο πίνακας και να βρεθούν η μέση τιμή και η διάμεσος του αριθμού των επιβατών. Β. Να βρεθεί η διασπορά και να εξεταστεί αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Γ. Επιλέγουμε τυχαία ένα αυτοκίνητο. Ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου: το αυτοκίνητο μετέφερε τουλάχιστον 3 επιβάτες. Δ. Επιλέγουμε τυχαία έναν επιβάτη. Ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου αυτός να έχει το πολύ έναν συνεπιβάτη. ΘΕΜΑ 17 Ο Έστω ένα δείγμα 40 μαθητών οι οποίοι εξετάστηκαν ως προς το χρόνο εβδομαδιαίας μελέτης τους σε ώρες στο μάθημα των Μαθηματικών. Τα αποτελέσματα ομαδοποιήθηκαν σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους και μερικά από αυτά φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. [, ) x f [, ) [, ) 8 0,0 [, ) 0,60 [, 18) ΣΥΝΟΛΟ Α. Να δειχθεί ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c = 4 F x x Β. Να συμπληρωθεί ο πίνακας και να βρεθούν η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του αριθμού των ωρών μελέτης αν είναι γνωστό ότι Γ. Να σχεδιαστεί το ιστόγραμμα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και από το αντίστοιχο πολύγωνο να εκτιμηθεί η διάμεσος των ωρών μελέτης. Δ. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Ποια η πιθανότητα αυτός να έχει μελετήσει τουλάχιστον 8 ώρες; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6

64 ΘΕΜΑ 18 Ο Η πιτσαρια ΤΣΑΚ-ΜΠΑΜ που δεχεται τηλεφωνικες παραγγελιες, κατα τη διαρκεια μιας ημέρας δέχθηκε 50 κλήσεις για παραγγελίες από 1 έως 5 πίτσες. Οι παραγγελίες για 1 πίτσα ήταν το 10% αυτών, 0 παραγγελίες ήταν για 4 πίτσες, οι παραγγελίες μέχρι και τρεις πίτσες ήταν 5, ενώ το 30% των παραγγελιών ήταν μέχρι και πίτσες. 1) Να μεταφερθεί στο γραπτό σας και να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: x ν f f % N F F % α 0 x ν ΣΥΝΟΛΟ ) Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διάμεσος των παραγγελιών. 3) Να κατασκευαστεί το διάγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων. 4) Αν η κάθε πίτσα πωλείται στην τιμή των 5 ευρώ, ενώ για παραγγελίες από 4 πίτσες και πάνω η μία είναι δώρο, ποιες οι συνολικές εισπράξεις της πιτσαρίας ; 1. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας. ΘΕΜΑ 19 Ο x ν f f % N F F % α 0 x ν ,5 5 ΣΥΝΟΛΟ Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διάμεσος. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 63

65 A. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας. ΘΕΜΑ 0 Ο x ν f f % N F F % α 0 x ν , ΣΥΝΟΛΟ 400 B. Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διάμεσος. ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας. x ν f f % N F F % 0 4 x v 0 α ,85 3 ΣΥΝΟΛΟ B. Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διάμεσος. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 64

66 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ 1) Η μονάδα μέτρησης της τυπικής απόκλισης (s) είναι ίδια με αυτήν της μεταβλητής. ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται και για τη γραφική παράσταση ποσοτικής μεταβλητής μόνο αν είναι διακριτή. 3) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος του δείγματος ν. 4) Όταν ένα δείγμα ακολουθεί την κανονική κατανομή τότε είναι : δ x 5) Η διάμεσος επηρεάζεται από ακραίες παρατηρήσεις. 6) Η μέση τιμή ενός δείγματος είναι πάντα θετικός αριθμός. 7) Όταν ένα δείγμα τιμών ακολουθεί ασύμμετρη κατανομή με θετική ασυμμετρία τότε είναι δ x. 8) Το εύρος R των τιμών μιας μεταβλητής σε ομαδοποιημένα δεδομένα είναι πάντα ίδιο με αυτό που είχαμε πριν την ομαδοποίηση τους. 9) Η μέση τιμή που βρίσκουμε σε ομαδοποιημένα δεδομένα είναι πάντα ίδια με αυτήν που είχαμε πριν την ομαδοποίηση τους. 10) Το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με τη μονάδα. 11) Σε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις ίσου πλάτους, δύο κέντρα κλάσης απέχουν πάντα όσο και το πλάτος των κλάσεων. 1) Η μονάδα μέτρησης του συντελεστή μεταβολής είναι ίδια με αυτήν της μεταβλητής 13) Η μονάδα μέτρησης της τυπικής απόκλισης s είναι ίδια με αυτήν της διασποράς s. 14) Ο συντελεστής μεταβολής (CV) είναι ένα μέτρο απόλυτης διασποράς 15) Το εύρος R των τιμών μιας μεταβλητής σε ομαδοποιημένα δεδομένα είναι πάντα ίδιο με αυτό που είχαμε πριν την ομαδοποίηση τους. 16) Το εύρος R των τιμών μιας μεταβλητής που ακολουθεί κανονική κατανομή είναι R 6 s 17) Αν όλες οι τιμές των παρατηρήσεων μιας μεταβλητής Χ αυξηθούν κατά μια σταθερά c>0 τότε και η τυπική απόκλιση (s) αυξάνει κατά c. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 65

67 18) Έστω ένα δείγμα που αποτελείται μόνο από θετικές παρατηρήσεις. Τότε είναι: x 0 και s 0. 19) Αν όλες οι τιμές των παρατηρήσεων μιας μεταβλητής Χ πολλαπλασιαστούν επί μια σταθερά c τότε ο συντελεστής μεταβολής (CV) πολ/ζεται επί τη σταθερά c. 0) Ο συντελεστής μεταβολής είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες μέτρησης 1) H διάμεσος (δ) είναι ένα μέτρο διασποράς. ) Ένα δείγμα είναι ομοιογενές όταν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 10% ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 66

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 67