ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΝΑΜΗΣ ΣΕ ΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Στην σύνθεση δυνάµεων (δηλαδή πρόσθεση δυνάµεων), ενεργούµε µε τέτοιον τρόπο ώστε από πολλές δυνάµεις, οι οποίες ενεργούν σε ένα υλικό σηµείο ή σώµα, να παίρνουµε ως αποτέλεσµα µια δύναµη. Την δύναµη αυτή την ονοµάζουµε: συνισταµένη και συµβολίζεται µε τα γράµµατα: R ή F ή F net. είτε λεπτοµέρειες στο βιβλίο (σελ.27-32 ) και στο αρχείο: Συνισταµένη δυνάµεων και ισορροπία σωµάτων στο e- class. Αντίθετα, στην ανάλυση δύναµης ενεργούµε µε τέτοιον τρόπο ώστε από µία δύναµη, η οποία ενεργεί σε ένα υλικό σηµείο ή σώµα, να παίρνουµε πολλές δυνάµεις, οι οποίες ονοµάζονται συνιστώσες της δύναµης. Θεωρητικά, µία δύναµη µπορεί να αναλυθεί σε άπειρο πλήθος συνιστωσών!! Στις πρακτικές εφαρµογές όµως, χρειάζεται να µπορούµε εύκολα να αναλύουµε µια δύναµη σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες. είτε και την ανάλογη περιγραφή στο βιβλίο (σελ. 41 42). Η µέθοδος αυτή στηρίζεται στον ορισµό του ηµιτόνου (sin) και του συνιµητόνου (cos) µιάς οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, και περιγράφεται στο κατωτέρω Σχ. 1: Σχ. 1: Ανάλυση µιάς δύναµης F σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες δυνάµεις F και F Όπως είναι γνωστό, η ανάλυση του διανύσµατος µιάς δύναµης F σε`δύο συνιστώσες F x και F y γίνεται µε την µέθοδο του παραλληλογράµµου, χρησιµοποιώντας το ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων ΧΥ (Σχ. 1(α)). Γιά λόγους καθαρά συµβολικούς, αλλάζουµε (συνήθως) τους δείκτες στα σύµβολα των δυνάµεων ως εξής: 1

Fx F F y F Το σύµβολο σηµαίνει παράλληλο µε κάποια διεύθυνση. Στην προκειµένη περίπτωση η διεύθυνση αυτή είναι ο άξονας Χ. Το σύµβολο σηµαίνει κάθετο σε κάποια διεύθυνση. Στην προκειµένη περίπτωση η διεύθυνση αυτή είναι ο άξονας Χ. Η δύναµη F χωρίζει το παραλληλόγραµµο OBCD σε δύο ίσα τρίγωνα. Τα OBC και OCD. Εποµένως ό,τι ιδιότητες αναφέρουµε για το ένα ισχύει και για το άλλο! Επιλέγουµε το OCD για λόγους αισθητικούς, και κατόπιν το σχεδιάζουµε µόνο του (Σχ. 1(β)). Το τρίγωνο OCD έιναι ορθογώνιο, έτσι το ηµίτονο (sin) και το συνηµίτονο (cos) της οξείας γωνίας ϕ, ορίζονται ως εξής: F sinϕ= F και F cosϕ= F Οπότε έχουµε: και F = F sinϕ F= F cosϕ Με τον τρόπο αυτό, υπολογίζουµε τα µέτρα των δύο καθέτων µεταξύ τους συνιστωσών, αρκεί να γνωρίζουµε το µέτρο της δύναµης ( F ) και την γωνία την οποία σχηµατίζει ως προς µία κατεύθυνση. Στην περίπτωσή µας-όπως έχουµε πει-η κατεύθυνση είναι ο άξονας Χ. Κατωτέρω, ακολουθούν µερικά παραδείγµατα για εµπέδωση της τεχνικής αυτής στην πράξη. 2

Παράδειγµα 1ον Ένας εργάτης έλκει µία δοκό µέσω σχοινιού µε δύναµη 30 kp (δηλαδή 30 κιλών). Αν οι διαστάσεις γύρω απο τον εργάτη µετρηθούν και ευρεθούν έτσι όπως δείχνει το κατωτέρω Σχ. 2, να ευρεθεί αν η δοκός θα αντέξει την δύναµη των 30 kp, µε την προϋπόθεση ότι γνωρίζουµε ότι η κάθετη δύναµη θραύσης της δοκού είναι 20 kp. Σχ. 2: Ο εργάτης έλκει τη δοκό, µέσω του σχοινιού, µε δύναµη 30 kp. Λύση Έχοντας ως αρχή τον κρίκο που είναι στερεωµένος στη δοκό, υπολογίζουµε το µήκος του σχοινιού AC, χρησιµοποιώντας το ξεχωριστό τρίγωνο ABC: 2 2 2 2 AC= ( AB) + ( BC) = (6 m) + (8 m) = 10 m Έτσι έχουµε: sinϕ= AB= 6= 3 και cosϕ= BC= 8= 4 AC 10 5 AC 10 5 3

Αν αναλύσουµε την δύναµη F= 30 kp, η οποία ενεργεί κατά µήκος του σχοινιού AC έχοντας ως αρχή τον κρίκο στη δοκό, σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες, παίρνουµε το κατωτέρω Σχ. 3: Σχ. 3: Ανάλυση της δύναµης F σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες Τα τρίγωνα ABC και OKL είναι όµοια, οπότε η γωνία φ είναι η ίδια και στα δύο τρίγωνα, µε αποτέλεσµα οι κάθετες συνιστώσες της δύναµης να είναι: F = F sin ϕ = (30 kp) 3 18 kp 5 = και F cos (30 ) 4 = F ϕ= kp = 24 kp 5 Επειδή η κάθετη συνιστώσα της δύναµης ( F ) είναι η δύναµη η οποία ενεργεί κάθετα στη δοκό, και το µέτρο της υπολογίσθηκε να είναι F = 18 kp< 20 kp, η δοκός θα αντέξει την δύναµη των 30 kp του εργάτη! Ερώτηση: Μπορεί η δύναµη F του εργάτη να γραφεί υπό την µορφή: F = (24 kp) iˆ (18 kp) ˆj ; Αν ναι γιατί; 4

Παράδειγµα 2ον Στο κατωτέρω Σχ. 4 φαίνεται ένας υδραυλικός µηχανισµός ο οποίος ανυψώνει µια εξέδρα. Ο υδραυλικός κύλινδρος GE εφαρµόζει στον βραχίονα DF µία δύναµη P, η οποία έχει την διεύθυνση της ευθείας GE. Γνωρίζοντας, απο τον κατασκευαστή του µηχανισµού, ότι η κάθετη δύναµη στον βραχίονα DF πρέπει να είναι 600 N, να προσδιορίσετε: α) το µέτρο της δύναµης P, β) την δύναµη κατά µήκος του βραχίονα DF, και γ) να γράψετε την διανυσµατική εξίσωση της δύναµης P. Σχ. 4: Υδραυλικός µηχανισµός ανύψωσης µιάς εξέδρας Λύση Από το Σχ. 4 µπορούµε να σχεδιάσουµε το Σχ. 5(α) το οποίο δείχνει τη γεωµετρία των µερών του µηχανισµού, που µας ενδιαφέρουν, και κατόπιν το Σχ. 5(β), στο οποίο φαίνεται το διανυσµατικό διάγραµµα της ανάλυσης της δύναµης P. 5

Σχ. 5: Γεωµετρικό διάγραµµα του συστήµατος και το διανυσµατικό διάγραµµα των δυνάµεων οι οποίες ενεργούν στο σηµείο Ε του µηχανισµού. Από το τρίγωνο των δυνάµεων (Σχ. 5(β)) συµπεραίνουµε ότι: α) 0 P 600 N P = P sin 30 P = = = 1200, 00 N, είναι το µέτρο της P 0 sin 30 0,5 β) P = P cos 30 = (1200, 00 N) = 600, 00 3 N 1039, 23 N, είναι το µέτρο της 2 δύναµης κατά µήκος του βραχίονα DF. 0 3 γ) Βασιζόµενοι στα δεδοµένα της άσκησης, τα αποτελέσµατα και το ορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων ΧΥ (Σχ. 5(β)), έχουµε: Παράδειγµα 3ον P= P iˆ+ P ˆj = (600, 00 3 N) iˆ+ (600, 00 N) ˆj ύο γεωργικοί ελκυστήρες, όπως φαίνεται στο κατωτέρω Σχ. 6, έλκουν και σύρουν έναν τεράστιο κορµό δένδρου. Ο ελκυστήρας Α χρησιµοποιεί µία ανθεκτική στην τάνυση αλυσίδα, ενώ ο Β χρησιµοποιεί ένα απλό και σχετικά εύθραυστο σχοινί! Γιά να αποφύγει την θραύση του σχοινιού ο οδηγός του ελκυστήρα Β, προσπαθεί να υπολογίσει την γωνία θ (και κατά συνέπεια την διαδροµή του ελκυστήρα), έτσι ώστε η δύναµη (ή τάση) του σχοινιού ( F B ) να είναι η µικρότερη δυνατή, δεδοµένου ότι η δύναµη έλξης του κορµού είναι R= 10 kn και έχει την θετική διεύθυνση του άξονα Χ (δηλ. +Χ). 6

α) Πώς θα συµβουλεύατε τον οδηγό του ελκυστήρα Β να λύση το πρόβληµα αυτό; β) Να ευρεθούν, γιά την περίπτωση αυτή, τα µέτρα των δύο δυνάµεων F A και ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τα µήκη της αλυσίδας και του σχοινιού, καθ όλη την διάρκεια της εργασίας παραµένουν σταθερά F B. Σχ. 6: ύο γεωργικοί ελκυστήρες έλκουν έναν τεράστιο κορµό δένδρου κατά την διεύθυνση του +Χ άξονα. Λύση α) Έχοντας υπ όψιν την θεωρία του παρόντος εγγράφου, µπορούµε να βοηθήσουµε τον οδηγό µε το εξής σκεπτικό: Επειδή το πρόβληµά µας περιλαµβάνει την σύνθεση των δύο δυνάµεων ( F A ) και ( F B ) µπορούµε να εργασθούµε µε την µέθοδο του παραλληλογράµµου, έτσι ώστε η συνισταµένη δύναµη ( R ) να είναι το άθροισµα: R= F + F και να έχει την διεύθυνση +Χ (Σχ. 7(β)) A B 7

Σχ. 7: Τυχαία σύνθεση των δυνάµεων F A και F B µε την µέθοδο του παραλληλογράµµου. Για να διαπιστώσουµε ποιό είναι το µικρότερο δυνατόν µέγεθος της συνιστώσας δύναµης F B, εργαζόµαστε όπως φαίνεται στο κατωτέρω Σχ.8(β), στο οποίο χρησιµοποιούµε γραφική µέθοδο, βασιζόµενοι σε δύο γνωστά θεώρηµατα της Ευκλείδειας Γεωµετρίας, τα οποία περιληπτικά λένε ότι: Από τυχαίο σηµείο εκτός ευθείας µπορούµε να φέρουµε µία µοναδική κάθετη προς την ευθεία, και το µήκος αυτής είναι το µικρότερο από κάθε άλλο πλάγιο ευθύγραµµο τµήµα που µπορούµε να φέρουµε από το σηµείο αυτό προς την ευθεία. Έτσι, αν η ευθεία είναι η NKL (Σχ. 8(β)) και το σηµείο εκτός αυτής το (Ο), το διάνυσµα της δύναµης F B έχει το µικρότερο δυνατό µήκος, όταν είναι κάθετο στην ευθεία NKL δηλαδή το διάνυσµα ON. Το τελικό λοιπόν σχήµα, το οποίο δείχνει την F B να έχει την µικρότερη δυνατή τιµή, είναι το Σχ. 8(γ), το οποίο είναι ορθογώνιο! Από το τρίγωνο αυτό µπορούµε να υπολογίσουµε την γωνία θ ως εξής: 0 0 0 θ = 90 30 = 60 8

Σχ.8: Η γραφική εξέλιξη του παραλληλογράµµου OKLM του Σχ. 7(β) στο ορθογώνιο τρίγωνο ONL. β) Τα µέτρα των δυνάµεων υπολογίζονται κατά τα γνωστά απο το Σχ. 8(γ): και: FB F = R sin 30 = (10 kn) = 5 kn 2 0 1 FA F = R cos 30 = (10 kn) = 5 3 kn 2 0 3 9

ΑΣΚΗΣΗ: Μία µέγγενη τύπου Λ, υφιστάµενη µία κάθετη δύναµη Q, χρησιµοποιείται για να ακινητοποιήσει µια ξύλινη ορθογώνια δοκό (Σχ. 9). Ο βραχίονας CB εφαρµόζει µία δύναµη P, στη µεταλλική βάση Β, η οποία µε την σειρά της πιέζει την ορθογώνια ξύλινη δοκό. Η διεύθυνση της P είναι κατά µήκος της ευθείας CB. Γνωρίζοντας ότι η δύναµη P πρέπει να έχει οριζόντια συνιστώσα µέτρου: P= 200 N, να βρείτε: (α) το µέτρο της δύναµης P, (β) την κάθετη συνιστώσα της, ( P ), και (γ) να γράψετε την διανυσµατική εξίσωση της δύναµης P. Σχ. 9: Μία µέγγενη τύπου Λ (Απαντήσεις: (α) P= 261 N, (β) P = 167,8 N και (γ) P = (261 N) iˆ (167,8 N) ˆj ) Βιβλιογραφία 1.- Vector Mechanics for Engineers, F. P. Beer, E. R. Johnston, Jr., 4rth edition, McGraw-Hill book Company, New York, 1984. 2.- Engineering Mechanics, Statics, R. C. Hibbeler, 10nth edition in SI units, Pearson Prentice Hall, New York, 2004. 3.- Ευκλείδεια Γεωµετρία, Α και Β Ενιαίου Λυκείου, Ι. Θωµαΐδης, Α. Ξένος, Γ. Παντελίδης, Α. Πούλος, Γ. Στάµου, Εκδόσεις ΖΗΤΗ, Ο.Ε..Β., Αθήνα, 1999. 10