ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής Συχνά αυτό το οποίο παρατηρούµε σε ένα πείραµα τύχης δεν είναι το όποιο αποτέλεσµα ω Ω αλλά µια µαθηµατική ποσότητα Χ εξαρτώµενη από το αποτέλεσµα ω Ω. Ας εξετάσουµε π.χ. το πείραµα τύχης που συνίσταται στη ρίψη δύο ζαριών διαφορετικού χρώµατος µε δ.χ. Ω= {( ω, ω 2 : ω, ω2 οι ενδείξεις των δύο ζαριών αντίστοιχα. Ας υποθέσουµε τώρα ότι αυτό το οποίο ενδιαφέρει δεν είναι οι ενδείξεις ( ω,ω 2 µιας ρίψης αλλά το άθροισµά τους ω. Σ αυτή την περίπτωση στο κάθε ω= ω,ω Ω ω + 2 2 ( 2 = + 2 = { γράφεται και ως {( ω,ω Ω: Χω,ω 5 αντιστοιχίζεται ο αριθµός Χω= ω+ ω δηλαδή ορίζεται η συνάρτηση Χ : Ω µε Χω,ω ω ω Α 3, 2, 2,3, 4,,, 4 2. Έτσι π.χ. το ενδεχόµενο: άθροισµα 5 που είναι το υποσύνολο = και γενικά 2 2 µπορούµε να ειπούµε ότι οι ερωτήσεις µας σχετικά µε ενδεχόµενα µετασχηµατίζονται σε ερωτήσεις σχετικές µε τιµές της συνάρτησης Χ. Τα πλεονεκτήµατα ευελιξίας είναι προφανή αφού οι συναρτήσεις επιδέχονται αριθµητικές πράξεις. Ορισµός. Έστω (Ω, F,Ρ χώρος πιθανότητας. Ονοµάζεται τυχαία µεταβλητή µε τιµές στο µια συνάρτηση :Ω που ικανοποιεί την απαίτηση: B F για κάθε B B (. Παρατήρηση.. Το σύνολο ( B ( B { ω Ω: Χω Β που εµφανίζεται στην (. είναι εξ ορισµού =. Το σύνολο αυτό ονοµάζεται αντίστροφη εικόνα του Β µέσω της Χ και δεν αναφέρεται σε αντίστροφη συνάρτηση αφού δεν γνωρίζουµε αν η Χ αντιστρέφεται. Φαίνεται απαραίτητο να υπενθυµίσουµε µερικές βασικές ιδιότητες Χ Β. του συµβόλου Χ =, Χ ( = Ω Χ ( Α\ Β = Χ ( Α \ Χ ( Β Χ UA = U ( A I I v I A = I ( A. I I Παρατήρηση.2. Όπως ειπώθηκε ήδη, ερωτήσεις αναφερόµενες στο εξεταζόµενο πείραµα µπορούν να διατυπωθούν ως ερωτήσεις σχετικά µε τις τιµές της Χ π.χ. ποια είναι η πιθανότητα ώστε οι τιµές της Χ να βρίσκονται σε δοσµένο υποσύνολο B B του ; Πρόκειται προφανώς για την πιθανότητα του υποσυνόλου ω Ω: Χω Β= { ( Β του Ω και για να έχει νόηµα η ερώτηση πρέπει το Χ ( Β Χ η απαίτηση (. του ορισµού της τυχαίας µεταβλητής. F. Έτσι εξηγείται 3
Αναζητώντας κάποια «οικονοµικότερη» απαίτηση από την (. για να ελέγξουµε αν µια συνάρτηση :Ω είναι τ.µ. έχουµε την παρακάτω Πρόταση. Πρόταση.. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και συνάρτηση :Ω. Έστω C µια µη κενή κλάση υποσυνόλων του τέτοια ώστε B = σ C (π.χ. C= P. Η συνάρτηση Χ είναι τυχαία µεταβλητή όταν και µόνο όταν ισχύει ( A F για κάθε A C. (.2 Αρκεί να δείξουµε ότι αν ισχύει η (.2 τότε η Χ είναι τ.µ. Προς τούτο θεωρούµε την κλάση υποσυνόλων του { B : ( B A = F. Αφού ισχύει η (.2 θα έχουµε ότι C A. Θα δείξουµε τώρα ότι η κλάση A είναι σ-άλγεβρα υποσυνόλων του. Πράγµατι A διότι ( = Ω F. Επίσης αν τότε B F και αφού η F είναι σ-άλγεβρα (υποσυνόλων του Ω θα είναι B A ( ( B c ( B c F δηλαδή c c F. Όµως ( B = B A (δες Παρατ.. και άρα c B A. Τέλος θεωρούµε ακολουθία υποσυνόλων { B : από την. Τότε B F για κάθε και αφού η F είναι σ-άλγεβρα θα είναι και U ( B F. Όµως ισχύει U B = UB άρα UB A. Ώ- = = = = στε η κλάση A είναι σ-άλγεβρα που περιέχει την κλάση C και συνεπώς A σ C = B. 5 Πρόταση.2. Η συνάρτηση :Ω είναι τ.µ. όταν και µόνο όταν ισχύει: ω Ω: Χω t F για κάθε t. (.3 Για οποιαδήποτε a< b στο αφού η Ώστε { (( a,b] = ((,b ] \(,a] = ((,b]\ ((,a] { ω : Χω b \{ ω : Χω a F είναι σ-άλγεβρα. Επίσης ( = F. ( A F για κάθε A = {( a,b ]:a < b { = F P. Όµως σ P = B και κατά την Πρόταση. η Χ είναι τ.µ. 5 Άσκηση.. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και συνάρτηση :Ω. Υποθέτουµε ότι ισχύει: { ω: Χω r τ.µ. F για κάθε r όπου το σύνολο των ρητών. είξτε ότι η Χ είναι 32
Η έννοια της τυχαίας µεταβλητής στη θεωρία πιθανοτήτων ταυτίζεται µε την έννοια της µετρήσιµης συνάρτησης στη θεωρία µέτρου. Για την θεωρία µέτρου τυχαία µεταβλη- Ω,F. Μάλιστα όταν υπάρχει κίνδυνος σύγ- τή είναι µια µετρήσιµη συνάρτηση στον χυσης λέγεται F -µετρήσιµη ή και F B µετρήσιµη προσδιορίζοντας έτσι τις σ-άλγεβρες για τις οποίες ισχύει η (.. Παρατηρείστε ότι στον ορισµό µιας τ.µ. :Ω δεν εµπλέκεται το µέτρο πιθανότητας Ρ. Ορισµός. Μια συνάρτηση g: ονοµάζεται συνάρτηση Borel όταν και µόνο όταν για κάθε B B ισχύει g ( B B. Κάθε συνάρτηση Borel g: είναι µια τ.µ. στο χώρο ( Ω =, F = B και συνεπώς ισχύουν όλα τα ισχύοντα για τυχαίες µεταβλητές. Πρόταση.3. Κάθε συνεχής συνάρτηση g: Αρκεί να δείξουµε ότι η g είναι τ.µ. στον ( Ω =, F = B είναι συνάρτηση Borel. τούτο θα χρησιµοποιήσουµε την Πρόταση.. Πράγµατι αν C είναι η κλάση των ανοικτών υποσυνόλων του τότε λόγω της συνέχειας της g ισχύει: για κάθε A C το σύνολο g ( A είναι ανοικτό υποσύνολο του και συνεπώς g ( A B. Όµως B = σ( C και άρα κατά την Πρόταση (. η συνάρτηση g είναι συνάρτηση Borel. 5. τότε η συνάρτηση µε τιµές στον και για Πρόταση.4. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τ.µ. :Ω. Έστω επίσης συνάρτηση Borel Για κάθε g: Y= g go :Ω είναι τ.µ. { { ( = F αφού g ( B B B έχουµε διαδοχικά Y ( B = ω : Υω Β= ω:g ω Β = { ω : Χω g B ( g ( B B και η Χ είναι τ.µ. µε τιµές στο. 5 Για µια συνάρτηση ισχύει ότι ω = Χ ω,χ ω, K,Χ ω, ω Ω όπου :Ω 2. Όταν χρειάζεται θα γράφουµε απλά T Χ : Ω T T =,, K. 2 Πρόταση.5. Έστω συνάρτηση =,, K. Η :Ω είναι τ.µ. όταν 2 και µόνο όταν οι συναρτήσεις Χ : Ω είναι τυχαίες µεταβλητές.,2, K, θεωρούµε τη συνάρτηση-προβολή Έστω ότι η Χ είναι τ.µ. Για κάθε { g: :gx,x, ( 2 K,x = x g πειδή g ( συµπεραίνουµε ότι οι, =. Κάθε είναι συνάρτηση Borel ως συνεχής και ε- =,2, K, είναι τ.µ. Αντίστροφα έστω 33
ότι οι συναρτήσεις Χ : Ω είναι τ.µ. Για οποιοδήποτε ορθογώνιο = P = ( ] A a,b ισχύει ( A = ω : Χω = ( Χ( ω, K Χ( ω ( a,b ] = = δηλαδή ( A = I (( a,b]. { ω : Χ ( ω ( a,b],2, K, { ω : ( ω ( a,b] = = = = = Επειδή οι συναρτήσεις,,2,, είναι τ.µ. θα είναι = K ( ( a,b ] I F είναι σ-άλγεβρα θα είναι ( A F και τούτο για κάθε ( P σ = B F και αφού η A P. Όµως και συνεπώς κατά την Πρόταση. η Χ είναι τ.µ. 5 Πρόταση.6. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τυχαίες µεταβλητές Χ : Ω, =,2, K,. Αν a, =,2, K, οι συναρτήσεις a, {,, K είναι τ.µ. Αφού οι συναρτήσεις, T, K, :Ω =, ax{,, = K, Χ : Ω =,2, K, είναι τ.µ. η συνάρτηση θα είναι τ.µ. µε τιµές στο. ( = + + Επειδή η συνάρτηση g: µε g x, K,x a x L a x είναι συνεχής θα είναι συνάρτηση Borel και συνεπώς η συνάρτηση g, ( K, = a + L + a είναι τ.µ. Όµοια για τις υπόλοιπες. 5 Άσκηση.2. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και A F. είξτε ότι η δείκτρια του Α (ή χαρακτηριστική του Α που ορίζεται από την I ( ω A αν ω Α = είναι τυχαία µεταβλητή. 0 αν ω Α Άσκηση.3. Έστω τ.µ. :Ω και a > 0. είξτε ότι η συνάρτηση Χω ανχω a που ορίζεται από την Y( ω = είναι τ.µ. 0 αν Χ( ω > a Y:Ω Άσκηση.4. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τ.µ.,y :Ω. είξτε ότι τα παρακάτω σύνολα ανήκουν στην σ-άλγεβρα F. Χω A ω Ω: Χω Υω Β= ω Ω: Χω> Υω, Γ= ω Ω:e = Υω. = { =, { { Άσκηση.5. είξτε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει ότι B + = B B όπου ({ B B = σ A B:A B,B B η σ-άλγεβρα γινόµενο των B, B. 34
Άσκηση.6. Έστω g: συνεχής και «-». είξτε ότι αν B B τότε gb B. { B (Υπόδειξη: Θεωρείστε την κλάση B :g( B A =. Επειδή κάθε ανοικτό του γράφεται σαν αριθµήσιµη ένωση συµπαγών υποσυνόλων του και επειδή g συνεχής, συµπεράνετε ότι κλάση A περιέχει τα ανοικτά του. Εν συνεχεία δείξτε ότι η A είναι σ-άλγεβρα. Σηµείωση. Αν παραλειφθεί η υπόθεση «-» τότε το συµπέρασµα παύει να ισχύει. 2 Έτσι η προβολή ενός υποσυνόλου Borel του δεν είναι κατ ανάγκη σύνολο Borel του όπως λανθασµένα διαβεβαίωνε ο Lebesque στις αρχές του 20 ου αιώνα. Η σωστή απάντηση βρίσκεται στη θεωρία των αναλυτικών συνόλων των Sousl, Lus και άλλων. Αν διατηρηθεί η υπόθεση «-» και αντί της συνέχειας υποτεθεί ότι η g είναι µόνο συνάρτηση Borel τότε το συµπέρασµα gb B ισχύει αλλά η απόδειξη είναι κατά πολύ δυσκολότερη. Για τα ζητήµατα αυτά ο ενδιαφέροµενος µπορεί να ανατρέξει στα [5], [6]. Για να συµπεριλάβουµε στη µελέτη µας και τυχαίες µεταβλητές που προκύπτουν από οριακές διαδικασίες επί ακολουθιών τ.µ. είναι σκόπιµο να θεωρήσουµε τ.µ. µε τιµές =,. Η επέκταση είναι άµεση και έχει ως ακολούθως: Αν Ω, F,Ρ είναι στο [ ] :Ω [, ] λέγεται τ.µ. όταν και µόνο όταν ικανοποιούνται οι χ.π. µια συνάρτηση προϋποθέσεις: Χ Β F για κάθε Εύκολα τώρα αποδεικνύεται ότι: B B. { ω Ω: Χω = F και { ω Ω: Χω = F. Άσκηση.7. Η συνάρτηση :Ω [, ] είναι τυχαία µεταβλητή όταν και µόνο όταν ισχύει η (.3. Πρόταση.7. Έστω,Y : Ω [, ] :Ω, ακολουθία τ.µ.. Ορίζουµε τις συναρτήσεις ω sup ω Υω= f ω,ω Ω. αντίστοιχα ως εξής: =, Τότε οι συναρτήσεις Χ, Υ είναι τ.µ. µε τιµές στο [, ] =. Κατά την Άσκηση.4 ανωτέρω αρκεί να επαληθευτεί η (.3. Πράγµατι για τυχόν t ισχύει: { ω : Χω t = ω :sup( ω t = { ω : Χ( ω t για κάθε = I { ω : Χ ( ω t = I{ =. Όµως, είναι τ.µ. και η κλάση F είναι σ-άλγεβρα άρα ω : Χ ( ω t F. Όµοια ω : Υω > t = ω : ω > t για κάθε = = = { { I{ ω : Χ { c ω > t = I ω : Χ ω t F και άρα { ω: Υω t F για τυχόν t. 5 35
Παρατήρηση. Η Πρόταση ισχύει και για τ.µ. :Ω όπως εύκολα διαπιστώνεται. Πρόταση.8. Έστω ( Ω, F,Ρ χ.π. και ακολουθία τ.µ. :Ω,. Τότε ισχύει: lf, lsup είναι τυχαίες µεταβλητές. Αν για κάθε ω Ω υπάρχει το Χω= l ω,ω Ω ορίζει τυχαία µεταβλητή. = sup f lsup l ω στο τότε η lf και. Επικαλούµενοι τώρα = f sup την Πρόταση.7 συµπεραίνουµε εύκολα το ζητούµενο. ω = lf ω = lsup ω. 5 Άσκηση.8. Έστω τ.µ. :Ω,. είξτε ότι το σύνολο { ω Ω: υπάρχει το l ( ω στο F. 2. Κατανοµή τυχαίων µεταβλητών Πρόταση 2.. Έστω χ.π. (Ω, F,Ρ και τ.µ. :Ω. Ορίζουµε τη συνολοσυνάρτηση [ ] P : B 0, ως ακολούθως P ( B = P( ( B,B B Τότε η συνολοσυνάρτηση είναι µέτρο πιθανότητας και η τριάδα (,,P B είναι χώρος πιθανότητας. ( P = P = P Ω =. Επίσης αν { Β κ, κ { ( B κ,κ (2. B και είναι ξένα µεταξύ τους τότε τα υποσύνολα F είναι ξένα µεταξύ τους και έχουµε διαδοχικά P Bκ Ρ Χ Βκ Ρ Χ Βκ Ρ Χ Βκ Ρ Β κ= κ= κ= κ= κ= U = U = U = = Χ κ. 5 P Ορισµός. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τυχαία µεταβλητή Χ : Ω. Το µέτρο πιθανότητας το οριζόµενο από την (2. ονοµάζεται κατανοµή της τ.µ. Χ. T Μια τ.µ. :Ω γράφεται ως = (, 2, K, όπου οι συντεταγµένες :Ω είναι τ.µ. Έστω P η κατανοµή της τ.µ., =,2, K,. Σύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό θα έχουµε ( P A = P A,A B. 36
Όµως ( L L = ( A A µε το Α στην -θέση του Καρτεσιανού γινοµένου (επαληθεύστε και συνεπώς P A = P L A L,A B. (2.2 Γενικά αν ( K θα ισχύει =,,,κ κ κ P A = P A,Α B κ. (2.3 Πρόταση 2.2. Έστω (Ω, F,Ρ πλήρης χώρος πιθανότητας και τ.µ. :Ω. Έστω ακόµα συνάρτηση Y:Ω και υποθέτουµε ότι ισχύει: ( ω = Υ( ω για κάθε ω Ω\ Ν όπου N F µε P( N = 0. (2.4 Τότε η συνάρτηση Υ είναι τ.µ. και έχει την ίδια κατανοµή µε την τ.µ. Χ. Για τυχόν B B έχουµε Y B = ω Ω: Υω Β= ω Ω\ Ν : Χω Β ω Ν: Υω Β= { { { ( Ω \ Ν Χ ( Β Ν Υ ( Β. Επειδή η Χ είναι τ.µ. θα είναι Χ ( Β F και αφού N F ( Ω \ Ν Χ ( Β F. Εξάλλου N Y ( B N υπόθεση και αφού ο χ.π. ( Ω, F,Ρ είναι πλήρης θα ισχύει N Y ( B Y ( B F άρα η Υ είναι τ.µ. θα ισχύει µε N F και P N = 0 κατά την F. Τελικά Όπως είδαµε παραπάνω Y ( B ( Ω \ Ν Χ ( Β = Ν Υ ( Β. Τα ενδεχόµενα της ένωσης αυτής είναι ξένα µεταξύ τους και επειδή ( ( P N Y B = 0 θα έχουµε Όµως ( ΡΧ ( ( Β ΡΝ ( Χ ( Β. ΡΥ ( Β ΡΧ ( ( Β PY B P Ω \ Ν Χ = Β = Ρ Χ Β Ν Χ Β ( Ρ Ν Χ Β = 0 και τελικά = =. 5 Παρατήρηση 2.. α Η υπόθεση της πληρότητας χρειάζεται µόνο για την απόδειξη του ισχυρισµού ότι η Υ είναι τ.µ. Αν δοθεί εξ αρχής ότι η Υ είναι τ.µ. τότε αρκεί µόνο η (2.4 για να αποδειχθεί ότι P = P Y και η υπόθεση της πληρότητας περιττεύει. β Αν δύο τ.µ. Χ, Υ ικανοποιούν την (2.4 τότε όπως αποδείχθηκε έχουν την ίδια κατανοµή. Το αντίστροφο δεν ισχύει όπως φαίνεται από το ακόλουθο Παράδειγµα. { B0 = B 0, :B B και P = λ το µέτρο Lebes- Έστω ο χ.π. ( Ω = ( 0, ], B 0, P όπου ( ] gue δηλαδή Pa,b ( ] = b aγια όλα τα ( a,b] ( 0,] ( ω. Θεωρείστε την τ.µ. :Ω µε = ω. Εύκολα τώρα επαληθεύεται ότι οι τ.µ. Χ και Υ = Χ έχουν την ίδια κατανοµή που µάλιστα συµπίπτει µε Ρ. Να σηµειωθεί ακόµα ότι δύο τ.µ. µπορούν να είναι ορισµένες σε διαφορετικές χ.π. αλλά να έχουν την ίδια κατανοµή (βλ. Άσκηση 2.. 37
Ορισµός. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τ.µ. :Ω. Ονοµάζεται συνάρτηση κατανοµής της τ.µ. Χ η συνάρτηση F : που ορίζεται από την F t = P ω Ω: Χω t, t. (2.5 ( { Είναι φανερό ότι F ( t = P (,t] = P (,t ( ] όπου η κατανοµή της τ.µ. Χ και συνεπώς κατά την Πρόταση 5. του ΚΕΦ. Ι είναι πράγµατι συνάρτηση κατανοµής. Ακόµα περισσότερο P a,b = P,b P,a = F b F a ( ] ( ] ( ] και συνεπώς κατά τις Προτάσεις (5., (5.2 του ΚΕΦ. Ι το ζεύγος P,F είναι ζεύγος αντίστοιχων στην αµφιµονοσήµαντη αντιστοιχία µέτρων πιθανότητας και συναρτήσεων κατανοµής στο. Μια τυχαία µεταβλητή Χ κατατάσσεται ως απολύτως συνεχής ή διακριτή ή µικτή ή µη-οµαλή σε ευθεία αντιστοιχία µε την κατάταξη της συνάρτησης κατανοµής της F όπως ορίζεται στην Πρόταση 5.3 του ΚΕΦ. Ι και τις περιπτώσεις α, β, γ, δ που την ακολουθούν. Άσκηση 2.. Έστω ο χώρος πιθανότητας (,,Q ( ω στον = ω. Όπως φαίνεται αµέσως P,B µε την ιδιότητα ( 2 2 (δηλαδή το µέτρο γινόµενο Y: :Y ω,ω = ω. είξτε ότι P = P =Q. Y P B και η τ.µ. : µε = Q. Θεωρούµε τώρα ένα µέτρο πιθανότητας Ρ PA ( B = QAQB για A B, B B 2 P = Q Q και την τ.µ. 2 Άσκηση 2.2. Έστω (Ω, F,Ρ χ.π. και τ.µ. :Ω. Λέγεται ότι η τ.µ. Χ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f: όταν για κάθε A B ισχύει P A L f u,u, K,u du Kdu. = 2 A Έστω κ και Y,,, όταν έχει πυκνότητα < = ( K Τ Χ ( Χ,Χ,,Χ f Y 2 κ που προκύπτει από την: 2 = K. είξτε ότι η τ.µ. Υ f u,u, K,u L f u,u, K,u du K du. = Y 2 κ 2 κ+ Άσκηση 2.3. Έστω τµ. :Ω και συνάρτηση Borel g:. Έστω η τ.µ. Y = g( x. είξτε ότι P ( B = P g ( B για κάθε B B και συµπεράνετε ότι αν η τ.µ. Χ έχει πυκνότητα f τότε θα ισχύει Y PY B L f u,u 2, K,u du Ldu g ( B =.. Είναι τώρα η στιγµή εξοικείωσης µε δύο περιπτώσεις τρόπου γραφής που χρησιµοποιούνται ευρύτατα στη θεωρία πιθανοτήτων. α Έχουµε ήδη βρεθεί αντιµέτωποι µε συµβολικές εκφράσεις όπως οι παρακάτω ό- που Χ, Υ είναι τ.µ. ορισµένες σε ένα χώρο πιθανότητας Ω, F,P ( A, P ( = Y, { < Y, Pl ( = κλπ. P Το ακριβές νόηµα των εκφράσεων αυτών είναι αντίστοιχα: 38
({ =, Ρ { ω: Χω = Υω, { ω: Χω Υω { =. P ω : Χω Α ΡΧ Α ( Ρ ω:l ω Χ ω <, β Η δεύτερη περίπτωση είναι η έκφραση «σχεδόν βεβαίως για το µέτρο Ρ» και συµβολικά Ρ-σ.β. Θα γράφουµε Χ Υ Ρ-σ.β. όταν και µόνο όταν Χω= Υω για κάθε ω = ( Ω\ Ν όπου Ν F µε P( N 0 < Y Ρ-σ.β. ή l = Ρ-σ.β. =. Ανάλογο νόηµα έχουν οι διατυπώσεις Άσκηση 2.4. είξτε ότι = Y Ρ-σ.β. P ( = Y =. Άσκηση 2.5. Έστω ακολουθία τ.µ. {, και τ.µ. Υ µε τιµές στο. είξτε ότι: για κάθε Y Ρ-σ.β. sup Y Ρ-σ.β. 3. Ανεξαρτησία τυχαίων µεταβλητών Ορισµός. Έστω (Ω, F,P χ.π. και οικογένεια τ.µ. :Ω I. Οι τ.µ., I λέγονται ανεξάρτητες όταν και µόνο όταν για οποιοδήποτε πεπερασµένο υποσύνολο {,, K, Iκαι οποιαδήποτε, B,..., B B ισχύει 2 κ ή ισοδύναµα B 2 P B = Ρ B = = κ κ I ( όταν και µόνο όταν οι κλάσεις { κ B :B B, I είναι ανεξάρτητες. (3. Παρατήρηση. Για την ανεξαρτησία των τ.µ.,, K, είναι αρκετό να απαιτήσουµε: Για οποιαδήποτε Β B, =,2, K,ν P B = P B = = Τότε επαληθεύεται η (3. (πώς;. 2 ν ν ν I ( ( (. (3.2 Αν τώρα θέσουµε Χ= ( Χ,Χ, K,Χ και λόγω της σχέσης Χ ( B 2 ν ( 2 ν P ( B B = Ρ ( Β Ρ ( Β Ρ ( Β Χ Β Β L Β συµπεραίνουµε ότι η (3.2 ισοδυναµεί µε για οποιαδήποτε Β B ν Χ Χ 2 Χ ν 2 ν ν I = L L (3.3 ή ακόµα P = P P L P. 2 ν Να σηµειωθεί επίσης ότι στον ορισµό της ανεξαρτησίας οι κλάσεις είναι σ-άλγεβρες (δες Άσκ. 3.2. = { B :B B 39
Άσκηση 3.. είξτε ότι οι τ.µ.,, K, είναι ανεξάρτητες όταν η (3.2 ή η (3.3 2 ν επαληθεύονται για Β P, =,2, K,ν. Άσκηση 3.2. Έστω Ω, F,P χ.π. και τ.µ. :Ω. είξτε ότι η κλάση { ( B :B B είναι σ-άλγεβρα υποσυνόλων του Ω. Αυτή η σ-άλγεβρα λέγεται παραγόµενη από την τ.µ. Χ και συµβολικά γράφουµε { σχ= Χ Β:B B. (Η σχ είναι η ελάχιστη για την οποία η Χ είναι µετρήσιµη. είξτε ακόµα ότι ({ σχ= σ Χ Β:B P. Άσκηση 3.3. Έστω (Ω, F,P χ.π. και τ.µ. :Ω, I. είξτε ότι οι τ.µ., I είναι ανεξάρτητες όταν και µόνο όταν οι κλάσεις ( B :B P είναι ανεξάρτητες. { Άσκηση 3.4. Έστω ότι οι τ.µ. Χ : Ω και Y:Ω είναι ανεξάρτητες. Έστω ακόµα συναρτήσεις Borel f: και. είξτε ότι οι τ.µ. f και gy είναι ανεξάρτητες. k g: l Άσκηση 3.5. Έστω ότι οι τ.µ. :Ω, =,2, K,ν είναι ανεξάρτητες και κ< ν. είξτε ότι α Οι τ.µ. Χ Χ,,Χ και Υ= Χ, K,Χ είναι ανεξάρτητες. = ( K κ κ ν κ κ+ β Αν f: και g: είναι συναρτήσεις Borel τότε οι τ.µ. f(, K,κ, g ( κ+, K,Χ ν είναι ανεξάρτητες. ν 40