ÊåöÜëáéï ï ÂéâëéïìÜèçìá ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò ÂéâëéïìÜèçìá ï Ñßæåò ÄéÜôáîç
Τι ονοµάζουµε σύνολο πραγµατικών αριθµών; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών α- ριθµών; Τι παριστάνει το σύµβολο R * ; Πραγµατικοί αριθµοί Το σύνολο που αποτελείται απο τους ρητούς και τους άρρητους αριθµούς, ονοµάζεται σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Το σύνολο όλων αυτών των αριθµών το συµβολίζουµε µε το γράµµα R. Με το συµβολισµό R * παριστάνουµε το σύνολο των πραγ- µατικών αριθµών χωρίς το µηδέν. Οι πραγµατικοί αριθµοί παριστάνονται µε τα σηµεία ενός άξονα.
4. Οι πραγµατικοί αριθµοί Πώς προσθέτουµε πραγµατικούς αριθµούς; Πώς πολλαπλασιάζουµε πραγµατικούς αριθµούς; Πρόσθεση Πολλαπλασιασµός Αν οι αριθµοί που προσθέτουµε είναι οµόσηµοι, βάζουµε το κοινό πρόσηµο τους και προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους. Έτσι + = 5 και = 5. Αν οι αριθµοί που προσθέτουµε είναι ετερόσηµοι, βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή και αφαιρούµε τις απόλυτες τιµές τους. Έτσι + = και =. Αν οι αριθµοί που πολλαπλασιάζουµε είναι οµόσηµοι, βάζουµε πρόσηµο + και πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τι- µές τους. Έτσι = 6και ( ) ( ) =+ 6= 6. Αν οι αριθµοί που πολλαπλασιάζουµε είναι ετερόσηµοι, βάζουµε πρόσηµο - και πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους. Έτσι ( ) 6 = και ( ) = 6. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού; Ιδιότητες πράξεων ύο αριθµοί λέγονται αντίθετοι όταν έχουν άθροισµα µηδέν ύο αριθµοί διαφορετικοί από το µηδέν λέγονται αντίστροφοι όταν έχουν γινόµενο ίσο µε τη µονάδα Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό ισχύουν οι ιδιότητες: Ι ΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑ- ΣΙΑΣΜΟΣ Αντιµεταθετική α+ β = β+ α αβ = βα Προσεταιριστική α ( β γ) ( α+ β) + γ + + = ( ) = ( ) αβγ α+ 0= α α = α α+ ( α) = 0 Επιµεριστική α ( β+ γ) = αβ + αγ αβ γ α =, α 0 α α 0= 0 Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
Οι πραγµατικοί αριθµοί 5. Πως αφαιρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς; Πως διαιρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς; Αφαίρεση - ιαίρεση Για να αφαιρέσουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς, προσθέτουµε στο µειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. ηλαδή α β= α+ ( β). Π.χ.: 5 ( ) = 5+ ( + ) = 5+ =. Για να διαιρέσουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς, πολλαπλασιάζουµε το διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη. α ηλαδή α:β = α β = β,µε β 0. Π.χ.: := =. 6 Οι πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης ορίζονται µέσω της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού αντίστοιχα. Το αποτέλεσµα της πρόσθεσης λέγεται άθροισµα, της αφαίρεσης διαφορά, του πολλαπλασιασµού γινόµενο και της διαίρεσης πηλίκο. Όταν στις πράξεις έχουµε άρρητους αριθµούς, συνήθως τους αντικαθιστούµε µε ρητές προσεγγίσεις τους. ν Τι ονοµάζουµε νιοστή δύναµη α, µε ν ακέραιο,ενός πραγµατικού αριθµού α ; υνάµεις Η δύναµη νπαράγοντες ν α ορίζεται ως εξής: ν α = α α α... α, αν ν 0 α =, αν ν = 0 α = α, αν ν = ν α = ν,όπου α 0 α Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
6. Οι πραγµατικοί αριθµοί Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων; µ ν µ ν α α = α +, µ και ν είναι φυσικοί. µ ν µ ν α :α = α, µ και ν είναι φυσικοί. Προϋπόθεση για να ισχύουν οι ιδιότητες των δυνάµεων είναι να ορίζονται οι δυνάµεις και οι πράξεις που σηµειώνονται ν ν ( ) ν α β = αβ, ν είναι φυσικός. ν α ν β ( α α = β ν µ ) ν α µν, ν είναι φυσικός. =, µ και ν είναι φυσικοί. ν α β = β α ν, µ και ν είναι φυσικοί. Τι εννοούµε όταν λέµε τυποποιηµένη µορφή ενός αριθµού; Πότε είναι χρήσιµο να γράφουµε έναν αριθµό σε τυποποιηµένη µορφή; Τυποποιηµένη µορφή αριθµών ν Η µορφή α0 µε α < 0 και ν ακέραιο λέγεται τυποποιηµένη µορφή ενός αριθµού. Τους πολύ µεγάλους ή τους πολύ µικρούς κατ απόλυτη τιµή αριθµούς είναι χρήσιµο να τους γράφουµε σε τυποποιηµένη µορφή. Έτσι ο αριθµός 0,000000 σε τυποποιηµένη µορφή γράφεται, 0 7. 9 Όµοια 700000000 =, 7 0. Η σωστή εφαρµογή των κανόνων των πράξεων και οι δυνάµεις, µας επιτρέπουν να υπολογίσουµε την τιµή µιάς αριθµητικής παράστασης. Θυµίζουµε, σε µια παράσταση οι πράξεις γίνονται µε την εξής σειρά: υνάµεις Πολλαπλασιασµοί και ιαιρέσεις Προσθέσεις και Αφαιρέσεις Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
Οι πραγµατικοί αριθµοί 7.. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού εκτελούνται σύµφωνα µε τα όσα αναφέρονται στους επόµενους πίνακες. Πρόσθεση Οµόσηµοι αριθµοί Ετερόσηµοι αριθµοί Βάζουµε το πρόσηµο τους Βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε την µεγαλύτερη απόλυτη τιµή Προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές Αφαιρούµε τις απόλυτες τιµές Πολλαπλασιασµός Οµόσηµοι αριθµοί Ετερόσηµοι αριθµοί Βάζουµε πάντα το πρόσηµο + Βάζουµε πάντα πρόση- µο - Πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές Πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές. Ο υπολογισµός δυνάµεων και οι ιδιότητες τους φαίνονται στον πίνακα*. ν α = α α α... α για ν,,,... ν παράγοντες = α = α µ ν µ ν α α = α + α :α µ ν µ ν α 0 α = ν ν α β = ( α β) ν ν α α = ν µε α 0 και ν =,,,... α β ( ν ν α = α = β ν µ ) ν = α µν ν α β = β α ν * Σε όλα τα παραπάνω οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθµοί. Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
8. Οι πραγµατικοί αριθµοί Να κάνετε τις πράξεις: 4 α. 4+ - ++ -5 6 β. γ. -5:(-5) +4 ( -7) + ( 8-5 ): 4 - - + - - + 4 5 0 4 4 4+ α. 4+ + + 5= 4+ 5+ = + + = + = 6 6 6 6 6 6+ 7 = = 6 6 β. 4 + + = 4 5 0 0 + 5 6 7 = 0 0 γ. 5 : ( 5) + 4 ( 7) + ( 8 5 ): = 5 : ( 5) + 4 ( 7) + : = 45 8 + = 8 Να υπολογίσετε την τιµή κάθε παράστασης: 4 +5- A= 4 - +7 8-4 ( -5) B= 6 44 : - 5 Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
Οι πραγµατικοί αριθµοί 9. 4 5 A 4 4 7 8 4 5 4 5 6 + 60 + + = = 5 = = 4 4 4 7 4 + 7 + 8 + 8 75 75 75 75 5 = = = =. + 4 5 + 7 5 6 ( ) ( ) 4 5 4 ( 5) B = = = 6 5 44 : 44 5 6 60 0 = = =. 44 5 0 4 6 Να χαρακτηρίσετε ως Σ (σωστή) ή Λ (λάθος) καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις. α. Ο - είναι φυσικός. β. Το είναι πραγµατικός. γ. Ο είναι άρρητος. δ. Ο,4 είναι ρητός. ε. Ο 0 είναι ακέραιος. α. Λ β. Σ γ. Σ δ. Σ ε. Σ (γιατί 0 5 = ) Ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι: α., 54... β. π γ. 4 δ. 4,... α. Άρρητος β. άρρητος γ. ρητός δ. ρητός Να αποδείξετε τα παρακάτω: α. (-α) β=-( αβ) β. ( α+β+γ) -( α-β-γ ) =( β+γ) α. Πρέπει να δείξουµε ότι ο αντίθετος του αβ είναι ο ( α) β ή ότι ο αβ και ο ( α) β Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
0. Οι πραγµατικοί αριθµοί έχουν άθροισµα µηδέν. Πράγµατι. ( α) β+ αβ= ( α) + α β = 0 β = 0 β. ( α+ β+ γ) ( α β γ) = α+ β+ γ α+ β+ γ = α α+ β+ β+ γ+ γ = β + γ = β ( + γ) Αφού απαλείψετε τις παρενθέσεις της παράστασης : α + ( 5α + β + 4) ( β + α + 8) να υπολογίσετε την αριθµητική τιµή της για α = και β=. α + ( 5α + β + 4) ( β + α + 8) = α 5α+ β+ 4+ β α 8 = α 5α α+ β+ β+ 4 8 = ( 5 ) α+ ( + ) β 4 = 0α+ 4β 4 = 0 ( ) + 4( ) 4 = 0 4 = 6 ύο ακέραιοι αριθµοί έχουν γινόµενο -6 και άθροισµα. Ποιοι είναι οι αριθµοί; Με δοκιµές βρίσκουµε ότι: () = 6 και + =. Εποµένως οι ζητούµενοι αριθ- µοί είναι οι και. Να υπολογιστούν µε τη βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάµεων οι παραστάσεις: -4 4 α. β. 4 :4 γ. - - δ. 5 5 0 στ. 4 ε. ( ) - α. 4 4+ 4 4 = = = = β. 4 :4 = 4 = 4 = = 4 4 = = 6 = = δ. 6 6 γ. ( ) 5 5 5 = = = 5 5 5 ε. ( ) = = = 6 0 0 0 000000 Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
Οι πραγµατικοί αριθµοί. 4 9 στ. = = = 4 4 6 Να γίνουν οι πράξεις: α. x y xy xy 6 6 β. 8x yz ω 64x z ω -x yz δ. x y y x γ. ( ) - - 6 6 α. x y xy xy = x xxy y y 6 6 4 0 = xy β. 8x yz ω 8 x z ω y 64x z ω = 64 x z x y z ω = ω 8 x y z ω 8 = y z = yz 8 x ω 8 xω = γ. ( x yz ) = ( ) ( x ) y ( z ) 4 6 = 9x y z x y y x δ. = y x x y ( ) ( x ) ( ) y x 6 9 y x = = x 8y ( y) 4 6 9 y x 5 4 y x = 8 y x = 8-8 - -5 Να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης: 00 00 004 : 004 004 00 8 5 00 00 004 : 004 004 00 8 ( ) 5 00 00 = 004 004 8+ 5 00 00 = 004 004 5 5 00 00 = 004 004 00 = 004 5+ 5 00 = =. 004 0 Να υπολογιστεί η αριθµητική τιµή της παράστασης: - ( ) ( ) ( ) - x x- +x - - + -x,για x =. Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
. Οι πραγµατικοί αριθµοί ( ) x + x ( ) x + ( x) ( ) ( ) = + ( ) + ( ) = ( ) ( ) ( ) = + + = + + = ( ) ( ) ( ) = + + = + ( ) + = + + + = + + 9 = 8 = Να λυθούν οι επόµενες εξισώσεις: x 5 x x+ α. = β. = 7 5 γ. - x = - δ. - 6 x:5 =5 α. x 5 = β. x x+ 7 = x 5 x+ x+ = = x 5 + = x+ x+ = x + = 5 x = 0 x = 4 x = 0 x = 5 γ. x = 5 x = : x = 5 x = = 4 δ. 6 x:5 = 5 6 x = 5 5 x = 6 5 x = 5 = 5 Να λύσετε τις εξισώσεις και να γράψετε τα αποτελέσµατα σε τυποποιηµένη µορφή. 4 0 x = 8 0 0 α. ( ) - 9 β. 0 0,00x = 0 Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
Οι πραγµατικοί αριθµοί. 4 0 x 8 0 0 α. ( ) 0,00x 0 9 = β. = 0 40 0 x 80 x = 000 0 6 9 = 0 9 80 x = x = 6 40 0 0 0 0 9 80 x = 8 40 0 0 x = 0 9 8 0 x = 8 4 0 0 x = 0 0 9 ( 8) 7 0 = =. ( ) 7 x 0 0 x = 0 = 0. Ένα δοχείο σχήµατος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχει διαστάσεις 4,5 0 mm, 5 8,5 0 mm και,5 0 mm. Να υπολογίσετε τον όγκο του και να τον γράψετε σε τυποποιηµένη µορφή. 4 5 Ο όγκος του δοχείου είναι: V =,5 0 8,5 0,5 0 mm 4 5 V =,5 8,5,5 0 0 0 mm V = 44,65 0 mm 4+ 5+ V = 44,65 0 mm V = 4,465 0 mm. Να υπολογιστεί η παράσταση: 000 A = ( ) + ( ) + 4 :( 8) + ( ) :4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 000 A = + + 4 : 8 + :4 = + 8 + :4 = ( ) + ( 7) + ( ) :4 = 7 4 + ( 7) + ( 8 ): 4 ( ) = 7 4 7 = 40. = 7 4 + 7 Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
4. Οι πραγµατικοί αριθµοί. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω σχέσεις µε την ένδειξη (Σ) (σωστή) ή (Λ) (λάθος). αβ ( + γ) = α+ βγ ( ) + = ( α ) ν α α 0 = α 0= 0 µ α µ ν 0 α = 0 α ν = α = ( α) ν µ ν µ ν α α = α +. Στη στήλη Α έχουµε αριθµητικές παραστάσεις και στη στήλη Β τις τιµές τους. Αντιστοιχίστε κάθε αριθµητική παράσταση της στήλης Α µε την τιµή της στη στήλη Β.. Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας : Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
Οι πραγµατικοί αριθµοί 5. 4. Να υπολογίσετε τις δυνάµεις: =... =... ( )... = ( ) =... ( ) =... =... 5. Αν x =, y= και ω= να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α. ( x+ y ω) β. ( x y + ω) γ. ( ω x) 6. Να κάνετε τις πράξεις: 5 0 α. 4α β γ α β γ 5α β γ β. 4α β γδ 0α γ : βδ 4 4 7. Να απλοποιηθούν οι επόµενες παραστάσεις: α. 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 β. α 6β α β α 4β 8. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: x x+ α. γ. ( ) = β. ( ) 5x + 5 x = δ. 5 = 7 5 4 x = 8 9. Να υπολογιστεί η παράσταση: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 004 A = + 4 8 : 0. Να εκφράσετε την παράσταση 4 6 6 8 ως δύναµη του. Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
6. Οι πραγµατικοί αριθµοί. Να εκφράσετε σε τυποποιηµένη µορφή τα αποτελέσµατα των διαιρέσεων. α. 5000000 : 0,00005 β. 0,0000: 000000. Σε καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις να σηµειώσετε Σ (σωστή) ή Λ (λάθος). α. Οι αριθµοί και είναι αντίστροφοι. β. Κάθε άρρητος πραγµατικός αριθµός δεν µπορεί να γραφεί ούτε ως δεκαδικός ούτε ως περιοδικός δεκαδικός. γ. Κάθε φυσικός αριθµός είναι και ακέραιος. δ. Κάθε πραγµατικός αριθµός είναι ρητός. ε. Κάθε ρητός αριθµός είναι ακέραιος. στ. Ο αριθµός 0 δεν έχει αντίθετο.. Ποιο από τα παρακάτω είναι ίσο µε α ( β+ γ). α. ( α+ β) γ β. ( β + γ) α γ. αβ + βγ δ. β( α+ γ) 4. Αν α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η διαφορά α β είναι ίση µε: + β. β ( α) γ. ( α β) α. α β δ. α β 5. Αν α β = 0 τότε οι πραγµατικοί αριθµοί α, β είναι: α. ίσοι β. αντίθετοι γ. αντίστροφοι δ. κανένα από τα προηγούµενα 6. Αν ( Α α β γ ) =, 5 Β α β γ = και ( ) Γ= α βγ, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης ΑΒ Γ. 7. Αν οι αριθµοί x y + ω και y x+ φ είναι αντίθετοι να αποδείξετε ότι και οι αριθµοί ω και φ είναι αντίθετοι. 8. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α να αποδείξετε ότι α 0= 0. Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
Οι πραγµατικοί αριθµοί 7. Ερώτηση α. Πως προσθέτουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς; β. Πως πολλαπλασιάζουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς; γ. Πως αφαιρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς; δ. Πως διαιρούµε δύο πραγµατικούς αριθµούς; Ερώτηση ν α. Τι ονοµάζουµε νιοστή δύναµη α,όπου ο ν είναι ακέραιος, ενός πραγµατικού αριθµού α ; β. Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων; Άσκηση Να βρεθεί η τιµή της αριθµητικής παράστασης + 5 4 ( ) 4 ( ) :( 8) Άσκηση Να βρεθεί η τιµή της αριθµητικής παράστασης Άσκηση 4 α β β α 4αβ Να λυθούν οι επόµενες εξισώσεις: α. 4 = β. ( ) 4x x x+ 64 + = 4 Πράξεις µεταξύ πραγµατικών αριθµών - υνάµεις
Τι ονοµάζουµε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθ- µού α; Πώς συµβολίζουµε την τετραγωνική ρίζα του α; Με τι ισούται η 0 ; Τετραγωνική ρίζα Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α είναι ο θετικός αριθµός που όταν τον υψώσουµε στο τετράγωνο, µας δίνει τον αριθµό α. ηλαδή α = x, αν και µόνον αν, x = α (µε x > 0). Η τετραγωνική ρίζα του αριθµού α συµβολίζεται µε α. Έτσι 9 = γιατί = 9.Ορίζουµε 0 = 0. Για οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό α ισχύει : α = α. Για παράδειγµα, 4 4 4 = = και ( ) 4 = 4 = 4= 4. Πώς αποδεικνύουµε τις παρακάτω ισότητες ; α β = αβ, όπου α 0, β 0. α α =, όπου α 0, β>0. β β Υψώνουµε και τα δύο µέλη της ισότητας στο τετράγωνο. Έτσι η ισότητα γράφεται :
0. Οι πραγµατικοί αριθµοί Πράξεις µε ρίζες ( α β) = ( αβ) ή ( ) ( ) ήαβ= αβ, που ισχύει. Όµοια έχουµε: Για το ο µέλος: ( α ) ( β ) α = = β α β = αβ α β Για το ο µέλος: α α = β β Το γινόµενο (ή το πηλίκο) των τετραγωνικών ριζών δύο αριθ- µών είναι ίσο µε την τετραγωνική ρίζα του γινοµένου (ή του πηλίκου) τους. Άρα α α = β β ή α α β = β. Ισχύει η ισότητα α+ β= α+β; (µε α>0 και β>0). Έστω α = 6 και β = 64 τότε : α + β = 6 + 64 = 6 + 8 = 4. Όµως α + β = 6 + 64 = 00 = 0. Έτσι µε τη βοήθεια του παραπάνω αντιπαραδείγµατος διαπιστώσαµε ότι α+ β α+ β. Άρα το άθροισµα των τετραγώνων ριζών δεν µπορούµε να το γράψουµε ως τετραγωνική ρίζα του αθροίσµατος. Όταν θέλουµε να υπολογίσουµε ένα κλάσµα µε άρρητο παρονοµαστή, τότε βρίσκουµε ένα ισοδύναµο µε το αρχικό κλάσµα του οποίου ο παρονοµαστής είναι ρητός πολλαπλασιάζοντας αριθµητή και παρονοµαστή µε τον άρρητο παρονοµαστή. Για παράδειγµα, 5 5 5 = = = 5 5 5 5 5 ( ) και 4 4 4 4 4 = = = = =. 6 ( ) Ρίζες - ιάταξη
Οι πραγµατικοί αριθµοί. ιάταξη Πως συγκρίνουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς α και β; Ο αριθµός α είναι µεγαλύτερος από τον β,όταν και µόνον όταν, η διαφορά α β είναι θετικός αριθµός. ηλαδή α > β,όταν και µόνον όταν,α β > 0. Ο αριθµός α είναι µικρότερος από τον β,όταν και µόνον όταν, η διαφορά α β είναι αρνητικός αριθµός. ηλαδή α< β,όταν και µόνον όταν,α β < 0 Αν α > β τότε ο αριθµός α βρίσκεται δεξιότερα από τον αριθµό β πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Ποιες ιδιότητες ανισοτήτων γνωρίζετε; Να τις αποδείξετε. ιάταξη και πρόσθεση. Αν προσθέσουµε και στα δύο µέλη µιας ανισότητας τον ίδιο αριθµό, προκύπτει ανισότητα µε την ίδια φορά. ηλαδή αν α > β τότε α + γ > β + γ. Απόδειξη: Θέλουµε να συγκρίνουµε τους αριθµούς α+ γ και β + γ. Σύµφωνα µε τον ορισµό αν η διαφορά ( α + γ) ( β + γ) είναι θετικός αριθµός τότε ο α+ γ θα είναι µεγαλύτερος απο τον β + γ. Έίναι ( α + γ) ( β + γ) = α + γ β γ = α β> 0 διότι α > β. Συνεπώς α + γ > β + γ. Ρίζες - ιάταξη
. Οι πραγµατικοί αριθµοί. Αν προσθέσουµε κατά µέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ίδιας φοράς, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. ηλαδή αν α > β και γ > δ τότε α + γ > β+ δ. Απόδειξη: Όπως και προηγουµένως σχηµατίζουµε τη διαφορά: ( α + γ) ( β+ δ) = α+ γ β δ = ( α β) + ( γ δ) > 0,ως άθροισµα θετικών. Έτσι είναι α + γ > β+ δ.. Αν πολλαπλασιάσουµε τα µέλη µιας ανισότητας µε θετικό αριθµό, τότε προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς. ηλαδή αν α > β και γ > 0 τότε α γ > β γ. Απόδειξη: αγ βγ = γ( α β) > 0,διότι γ > 0 και α β > 0. Έτσι αγ > βγ. 4. Αν πολλαπλασιάσουµε τα µέλη µιας ανισότητας µε αρνητικό αριθµό, τότε προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς. ηλαδή αν α > β και γ< 0 τότε αγ < βγ. Απόδειξη: αγ βγ = γ( α β) < 0,διότι γ< 0 και α > β άρα α β > 0. Έτσι αγ < βγ. Εφαρµογή των ιδιοτήτων των ανισοτήτων βρίσκουµε στη λύση ανισώσεων. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί όταν λύνουµε µία ανίσωση, στο σηµείο που διαιρούµε µε τον συντελεστή του αγνώστου. Αν αυτός είναι αρνητικός διαιρούµε και αλλάζουµε τη φορά της ανίσωσης. Ρίζες - ιάταξη
Οι πραγµατικοί αριθµοί.. Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α είναι ο θετικός αριθµός, που όταν τον υψώσουµε στο τετράγωνο µας δίνει τον αριθµό α.. Για τις τετραγωνικές ρίζες ισχύουν οι ιδιότητες: i. α = α ii. α β = αβ όπου α 0, β 0 iii. α α β = όπου α 0, β > 0 β. Ένας αριθµός α λέγεται µεγαλύτερος από έναν αριθµό β, αν και µόνον αν η διαφορά α β είναι θετικός αριθµός. ηλαδή α > β, όταν και µόνον όταν, α β > 0. Ένας αριθµός α λέγεται µικρότερος από έναν αριθµό β, αν και µόνον αν η διαφορά α β είναι αρνητικός αριθµός. ηλαδή α< β, όταν και µόνον όταν, α β < 0 4. Για τις ανισότητες ισχύουν οι ιδιότητες: i. αν α > β τότε α + γ > β + γ ii. αν α iii. αν α iv. αν α > β και γ > δ τότε α + γ > β+ δ > β και γ > 0 τότε αγ > βγ β > και γ 0 < τότε αγ βγ < Ρίζες - ιάταξη
4. Οι πραγµατικοί αριθµοί Να σηµειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασµένη) σε καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις: α. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α ισχύει β. ( ) α =α 4 = 4 γ. = δ. 0 + 5 = 5 α. Λ, διότι α = α. β. Λ, διότι ( 4) = 6 = 4 ή αλλιώς ( ) 4 = 4 = 4. γ. Σ, διότι = 4 = 4 =. δ. Σ, διότι 0 + 5 = 4 5 + 5 = 4 5 + 5 = 5+ 5 = 5. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: α. + β. 4 5 5 γ. 7 4 5 7 + 6 + = β. ( ) α. 4 5 5 = 4 5 = 5 = 5 = + = ( ) + ( + ) γ. 7 4 5 7 + 6 7 5 7 4 6 = 7 +. 5 7 4 6 Να υπολογιστούν οι τιµές που µπορεί να πάρει η µεταβλητή x ώστε να ορίζεται η παράσταση: 4x ( x + 5) 6. Για να ορίζεται η παράσταση πρέπει η υπόρριζος ποσότητα να µην είναι αρνητική (δηλαδή θετική ή µηδέν). Έτσι: Ρίζες - ιάταξη
Οι πραγµατικοί αριθµοί 5. 4x ( x + 5) 6 0 ή 4x x 5 6 0 ή 4x x ή x Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: A = 5 49 + 44 7 8 β. B = + 45 + 5 7 6 α. ( ) 9 = + ( ) A 5 49 44 7 8 6 α. ( ) 9 ( ) = 5 7+ 4 7 8 6 9 9 = 5 4 8 6 9 = 5 7+ 7 8 = 6 = 5 4 8 = 5 4 6 = 5. 4 β. B = + 45 + 5 7 = 6 + 9 5 4 + 5 6 = = 6 + 9 5 4 + 5 6 = 4 + 5 + 5 6 = = 8 + 9 5 4 + 0 = 8 4 + 9 5. Να κάνετε τις πράξεις: α. ( ) β. ( + ) ( ) α. ( ) β. ( + ) ( ) = = + 6 = ( ) = 6 = + 6 Να µετατρέψετε καθένα από τα παρακάτω κλάσµατα σε ισοδύναµο µε ρητό παρονοµαστή: α. 4 5 β. γ. 4 7 Ρίζες - ιάταξη
6. Οι πραγµατικοί αριθµοί α. 4 4 5 4 5 4 5 = = = 5 5 5 5 5 ( ) β. = = = γ. 4 = 4 7 = 4 7 = 4 7 = 4 7 7 7 7 7 7 ( ) Να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα ( ) 4 x. ( 4 x) = 4 x. Έτσι αν 4 x 0 δηλαδή αν x 4 τότε ( ) 4 x < 0 δηλαδή αν x 4 > τότε ( ) 4 x = x 4. Να υπολογίσετε την τιµή της κάθε παράστασης: 4 x = 4 x και αν A = +, B =, Γ = +, = A = + = 6, B= = 9 =, Γ= + = = = = ο Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( = ) ˆΑ 90. Με πλευρά την υποτείνουσα του ΑΒΓ σχεδιάζουµε εξωτερικά του ορθογωνίου τριγώνου τετράγωνο ΒΓ Ε. Αν ΑΒ = 6cm και ΑΓ = 8cm να υπολογίσετε το εµβαδόν του τετραγώνου ΒΓ Ε και την πλευρά του. Εφαρµόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: BΓ = ΑΒ + ΑΓ ή ΒΓ = 6 + 8 ή ΒΓ = 00cm Το εµβαδόν του τετραγώνου ΒΓ Ε είναι: E = BΓ = 00cm και η πλευρά του BΓ= 00 = 0cm. Αν α, β, γ είναι πραγµατικοί αριθµοί και α > β να συγκρίνετε τους αριθµούς α+ 4γ και β+ 4γ. Ρίζες - ιάταξη
Οι πραγµατικοί αριθµοί 7. Αφού α > β τότε α> β () (πολλαπλασιάσαµε και τα δύο µέλη της δεδοµένης ανίσωσης µε το θετικό αριθµό ). Στην σχέση () προσθέτουµε και στα δύο µέλη τον αριθµό 4γ και έχουµε: α+ 4γ > β + 4γ. Εποµένως ο α+ 4γ είναι µεγαλύτερος του β+ 4γ. Να σηµειώσετε το Σ (σωστή) ή το Λ (λανθασµένη) σε καθεµία από τις παρακάτω προτάσεις: α. Αν α< β τότε α > β. β. Για κάθε πραγµατικό αριθµό α ισχύει α > 0. γ. Αν α< β τότε α+ γ < β+ γ. δ. Αν αβ > τότε α > β µε β 0. ε. Αν α> β τότε α γ > β γ. α. (Σ), διότι πολλαπλασιάσαµε και τα δύο µέλη της δεδοµένης ανίσωσης µε και αλλάξαµε τη φορά αφού < 0. β. (Λ), διότι αν α = 0 τότε ο α είναι 0. γ. (Σ), διότι προσθέτουµε και στα δύο µέλη της δεδοµένης ανίσωσης το γ. δ. (Λ), διότι από τη σχέση αβ > για να πάµε στην α > πρέπει ναν πολλαπλασιά- β σουµε µε το β του οποίου δεν ξέρουµε το πρόσηµο. ε. (Σ), διότι στη δεδοµένη ανίσωση προσθέτουµε και στα δύο µέλη το γ, οπότε θα προκύψει ανίσωση της ίδιας φοράς µε την αρχική. Αν α+ β< 4 και 4α β< 8 τότε: α. α > β. α< 8 γ. α > 0 δ. α< Οι δεδοµένες ανισώσεις είναι της ίδιας φοράς, έτσι µπορούµε να τις προσθέσουµε κατά µέλη. α+ β+ 4α β< 4+ 8 ή 6α< δηλαδή α<. Σωστή απάντηση είναι η δ. Ρίζες - ιάταξη
8. Οι πραγµατικοί αριθµοί Αν α< 0, να διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς α, α και α. Για να συγκρίνουµε τους αριθµούς α, α σχηµατίζουµε τη διαφορά: α α α α α = = < 0 (διότι α< 0 άρα α 0 < ). Έτσι α < α (). Όµοια θα συγκρίνουµε τους αριθµούς α, α α α= α α= < 0.. Έχουµε ( ) Άρα α < α ( ). Από τις σχέσεις () και () έχουµε: α < α< α. Αν x> ποια από τις ακόλουθες ανισώσεις είναι λάθος; α. x+ > + β. x > γ. x> + δ. x > Λανθασµένη είναι η ανίσωση (γ), διότι: αφού x > πολλαπλασιάζουµε µε το και αλλάζουµε τη φορά. Έτσι x <. Προσθέτουµε το και έχουµε: x < +. Αν < x< 5 και < y < 4 να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών περιέχονται οι τιµές των παραστάσεων: α. x+ β. y γ. x δ. x+ y ε. x y α. < x < 5. Προσθέτουµε το και έχουµε: + < x+ < 5+ δηλαδή 4< x+ < 7. β. < y< 4. Προσθέτουµε το και έχουµε: < y < 4 δηλαδή < y <. γ. < x < 5. Πολλαπλασιάζουµε µε το, αλλάζουµε τη φορά και έχουµε: ( ) > x > 5 ( ), δηλαδή > x > 5 ή 5< x <. δ. Τις ανισώσεις < x < 5 και < y< 4 τις προσθέτουµε κατά µέλη και έχουµε: + ( ) < x+ y< 5+ 4 ή < x+ y< 9 ε. Την ανίσωση < x < 5 την πολλαπλασιάζουµε µε το και έχουµε: < x < 5 ή 4< x < 0 (). Στην ανίσωση < y< 4 πολλαπλασιάζουµε µε το αλλάζο- Ρίζες - ιάταξη
Οι πραγµατικοί αριθµοί 9. ντας τη φορά: ( ) > y> 4 ( ) ή > y> 4 ή 4 y ( ) Τις σχέσεις () και () τις προσθέτουµε κατά µέλη: 4 4< x y< 0+, δηλαδή 0< x y<. < <. Να λύσετε τις ανισώσεις: x + x x α. + 4 β. 4x x 4 x > 5 0 α. x + x x 4,, 4 = ) + (Πολλαπλασιάζουµε επί αφού ΕΚΠ ( ) x + x x 4 + ή 4( x+ ) + 6x ( x ) 8x + 8 + 6x x + 9 ή 8x 6x + x 9 8 ή 5x ή x. 5 5x 5 5 β. 4x x 4 x > ή 5 0 4x x 4 x 0 0 > 0 0 5 0 ( 4x ) 5 > x 5( 4 x) ή 8x 5 > x 0 + 5x 8x x 5x > 0 + + 5 ή x > 4 ή x > 4. Να λύσετε τις ανισώσεις: α. 5( x ) + 5 9x> 4x β. 6x + 4 > + ( x 0) α. 5( x ) + 5 9x > 4x ή 5x 0 + 5 9x > 4x ή 5x 9x + 4x > + 0 5 ή 0x > 4.Η ανίσωση είναι αδύνατη, γιατί δεν υπάρχει Ρίζες - ιάταξη
40. Οι πραγµατικοί αριθµοί αριθµός που να την επαληθεύει, αφού ο 0x ισούται µε 0 που δεν είναι µεγαλύτερος του 4. β. 6x + 4 > + ( x 0) ή 6x + 4 > + 6x 0 ή 6x 6x > 0 4 ή 0x >. Η ανίσωση αληθεύει για κάθε τιµή του x. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( x 4) + 6x 8 ( x 4) + 0 και ( ) ( ) x + x 4 x > x+ Λύνουµε αρχικά κάθε ανίσωση χωριστά. ( x 4) + 6x 8 ( x 4) + 0 και x 8+ 6x 8 6x + 0 x + 6x 6x + 0 + 8+ 8 x 4 x 7 ( x ) + x 4( x ) > x+ x + + x 4x + 8 > x + x + x 4x + x > 8 x > 9 x 9 < x < 9 Σηµειώνουµε στον ίδιο άξονα τις παραπάνω λύσεις: Ρίζες - ιάταξη
Οι πραγµατικοί αριθµοί 4.. Να βρεθεί η αριθµηµική τιµή της παράστασης: x 4xy για x = και y= +. Να αποδείξετε ότι: α. ( + 75)( 48 7 ) = β. 08 5 8 6 + + = 0 4. Να χαρακτηρίσετε καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστή) ή (Λ) (λάθος). α. α+ β = α+ β β. 9α = α αν α 0 γ. ( ) = δ. α β = α β όπου α είναι πραγµατικός αριθµός 4. Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ρητό παρονοµαστή: α. 4 β. 5 γ. + 5 5. Να κάνετε τις πράξεις: α. 5 : + + β. 7 : 7 6. Αν α = 7 και β = 5 να βρείτε τις τιµές των παραστάσεων: α. ( ) α+ β β. α + αβ+ β Να συγκρίνετε τα αποτελέσµατα. Ρίζες - ιάταξη
4. Οι πραγµατικοί αριθµοί 7. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο µε βάση τετράγωνο πλευράς α έχει όγκο V = 64cm και ύψος γ = 6cm. Πόσο είναι η πλευρά του τετραγώνου; 8. Αν 50 α = 0 και β είναι η ρίζα της εξίσωσης x 7 = 0 να υπολογίσετε 5 την τιµή της παράστασης: A = + 7 β 00+ α 9. Αν 0 < α< να διατάξετε από το µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς: 0,, α, α. 0. Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις µε το σωστό σύµβολο ανισότητας. α. α < β α β...0 β. α< β τότε α... β γ. Αν γ< 0 και α< β τότε αγ... βγ δ. α< 0 και β > 0 τότε α β...0. Να συµπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: α. Ένας αριθµός α είναι... από έναν αριθµό β όταν α β< 0. β. Κάθε θετικός αριθµός είναι... από κάθε αρνητικό. γ. Κάθε αριθµός που είναι µικρότερος από το µηδέν λέγεται... αριθµός.. Αν για το µήκος α ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου ΑΒΓ γνωρίζουµε ότι,5 < α <,6 και το πλάτος του β είναι,, µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται το εµβαδόν του;. Να λύσετε τις ανισώσεις: α. x x + 4 x + > β. 6 4 ( + ) x+ x 4 < 5 4. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων ( x ) 4( x+ ) > x+ 7 και ( x+ ) + x < x+ 4. Ρίζες - ιάταξη
Οι πραγµατικοί αριθµοί 4. Ερώτηση Τι ονοµάζουµε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθµού α; Ποιες ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών γνωρίζετε; Ερώτηση Πως συγκρίνουµε δύο πραγµατικούς αριθµούς α και β; Ποιες ιδιότητες ανισοτήτων γνωρίζετε; Άσκηση i. Αν x = +, τότε η τιµή της παράστασης x x+ είναι ίση µε: α. β. γ. 4 δ. + ii.αν x 4 = να υπολογιστεί ο Άσκηση x. Αν x y < 4 και x+ y< 8 τότε: α. x > 4 β. x< 4 γ. y> 0 δ. x+ y+ Άσκηση x y x + > 0 τότε Έστω ότι ισχύει: ( ) ( ) α. x < y β. x = y γ. x > y δ. κανένα από τα προηγούµενα Ρίζες - ιάταξη
ÊåöÜëáéï ï ÂéâëéïìÜèçìá ï Ìïíþíõìá ÁíáãùãÞ üìïéùí üñùí Ðïëëáðëáóéáóìüò ðïëõùíýìùí ÂéâëéïìÜèçìá 4 ï Áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò ÂéâëéïìÜèçìá 5 ï Ðáñáãïíôïðïßçóç ðïëõùíýìùí ÂéâëéïìÜèçìá 6 ï ÊëáóìáôéêÝò áëãåâñéêýò ðáñáóôüóåéò Ðñüóèåóç - Áöáßñåóç êëáóìáôéêþí áëãåâñéêþí ðáñáóôüóåùí
ÂéâëéïìÜèçìá Ìïíþíõìá ÁíáãùãÞ üìïéùí üñùí Ðïëëáðëáóéáóìüò ðïëõùíýìùí Ποιες παραστάσεις λέγονται αλγεβρικές; Τι ονοµάζεται αριθµητική τιµή µιας αλγεβρικής παράστασης; Αλγεβρικές ονοµάζονται οι παραστάσεις που περιέχουν αριθµούς και µεταβλητές (γράµµατα) που συνδέονται µε τα σύµβολα των τεσσάρων πράξεων. Για παράδειγµα, οι παραστάσεις : x, α + x, y + είναι αλγεβρικές. Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τη µεταβλητή (ή τις µεταβλητές)µε έναν αριθ- µού (ή µε αριθµούς) και εκτελέσουµε τις πράξεις που σηµειώνονται προκύπτει ένας αριθµός που λέγεται αριθµητική τιµή της αλγεβρικής αυτής παράστασης. Για παράδειγµα: αν α = η αριθµητική τιµή της αλγεβρικής παράστασης α + είναι Τι ονοµάζουµε µονώνυµο; + =. Μονώνυµο ονοµάζεται η αλγεβρική παράσταση που οι αριθµοί και οι µεταβλητές συνδέονται µε την πράξη του πολλαπλασιασµού. Ο αριθµητικός παράγοντας του µονώνυµου ονοµάζεται συντελεστής του µονωνύµου και συνήθως γράφεται πρώτος.το γινόµενο όλων των µεταβλητών λέγεται κύριο µέρος.
48. Αλγεβρικές παραστάσεις Τα µονώνυµα που έχουν το ίδιο κύριο µέρος λέγονται όµοια µονώνυµα. Τα όµοια µονώνυµα µε τον ίδιο συντελεστή λέγονται ίσα. Τα όµοια µονώνυµα µε αντίθετους συντελεστές λέγονται αντίθετα. Ποιες πράξεις κάνουµε µε τα µονώνυµα; α. Προσθέτουµε µόνο τα όµοια µονώνυµα και το άθροισµά τους είναι ένα όµοιο µονώνυµο µε συντελεστή το άθροισµα των συντελεστών τους. xy + 5xy xy = + 5 xy = xy Παράδειγµα: ( ) β. Πολλαπλασιάζουµε µονώνυµα δίχως περιορισµό και το γινόµενο τους είναι ένα µονώνυµο µε συντελεστή το γινόµενο των συντελεστών του και κύριο µέρος όλες τις µεταβλητές µε εκθέτη σε κάθε µία το άθροισµα των εκθετών της. Παράδειγµα: ( )( ) ( ) x y 5κy = 5 x κyy = 0x κy 5 γ. ιαιρούµε µονώνυµα πολλαπλασιάζοντας τον διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη. Παράδειγµα: ( ) ( ) 4αβ : 8αβx = 4αβ = 8αβx 4αβ 4 α β β = = = 8αβx 8 α β x x Τι ονοµάζουµε πολυώνυµο; Τι είναι η αναγωγή οµοίων όρων πολυωνύµου; Πολυώνυµο ονοµάζεται µια αλγεβρική παράσταση όταν είναι άθροισµα ανοµοίων µονωνύµων. Παράδειγµα: κx + λx + µ, x y + xy + Αναγωγή οµοίων όρων πολυωνύµου ονοµάζεται η αντικατάσταση των οµοίων όρων του µε το άθροισµά τους. Παράδειγµα: α 5β + 4α + β = α + 4α 5β + β = = + 4 α + 5+ β = 7α 4β. ( ) ( ) Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων
Αλγεβρικές παραστάσεις 49. Πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός µονωνύµου µε πολυώνυµο και πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός πολυωνύµων; Ο πολλαπλασιασµός µονωνύµου µε πολυώνυµο στηρίζεται στην επιµεριστική ιδιότητα: α(β + γ) = αβ+ αγ Έτσι για να πολλαπλασιάσουµε µονώνυµο µε πολυώνυµο πολλαπλασιάζουµε το µονώνυµο µε κάθε όρο του πολυωνύµου και στη συνέχεια κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων. Για παράδειγµα ( ) x α x 4 x α x x x 4 + = + = 5 = 6x α x + 8x Για τον υπολογισµό του γινοµένου πολυωνύµων εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα: ( α+ β)( γ + δ) = αγ + αδ + βγ + βδ Έτσι για να πολλαπλασιάσουµε δύο πολυώνυµα πολλαπλασιάζουµε κάθε όρο του ενός µε κάθε όρο του άλλου και στη συνέχεια κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων Για παράδειγµα ( 9x + xy + y )( x y) = = 9x x 9x y + xy x xy y + y x y y = = 8x 9x y + 6x y xy + xy y = = 8x x y xy y. Οι εκθέτες στις µεταβλητές ενός µονώνυµου είναι φυσικοί αριθµοί. Οι πραγµατικοί αριθµοί θεωρούνται µονώνυµα. Το πηλίκο µονωνύµων δεν είναι πάντα µονώνυµο. 4. Ένα πολυώνυµο µε δύο όρους και µία µεταβλητή λέγεται διώνυµο ενώ όταν έχει τρεις όρους λέγεται τριώνυµο. 5. Μια αλγεβρική παράσταση δεν έχει υποχρεωτικά αριθµητική τιµή για οποιαδήποτε τιµή των γραµµάτων της. Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων
50. Αλγεβρικές παραστάσεις Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις. 4x yω α. Η παράσταση είναι µονώνυµο. 4x y β. Η παράσταση ω είναι µονώνυµο. γ. Η παράσταση 4 x yω είναι µονώνυµο. 6x y xy δ. Το κύριο µέρος του µονώνυµου είναι το 5 5. ε. Το γινόµενο και το πηλίκο µονωνύµων είναι πάντα µονώνυµο. στ. H παράσταση x y + 9ω + είναι ένα πολυώνυµο. α. Η παράσταση 4x yω 4 γράφεται xyω και είναι µονώνυµο διότι µεταξύ των µεταβλητών και του αριθµητικού παράγοντα µοναδική πράξη που σηµειώνεται είναι ο πολλαπλασιασµός (Σ). 4x y 4x y β. Η παράσταση γράφεται και δεν είναι µονώνυµο, διότι υπάρχει ω ω διαίρεση µεταξύ των µεταβλητών (Λ). 4 γ. Η παράσταση x 4yω yω γράφεται και δεν είναι µονώνυµο, διότι υπάρχει x διαίρεση µεταξύ των µεταβλητών (Λ). 6 δ. Το µονώνυµο γράφεται xy και έχει κύριο µέρος το xy (Λ). 5 Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων
Αλγεβρικές παραστάσεις 5. ε. Το γινόµενο µονωνύµων είναι πάντα µονώνυµο ενώ το πηλίκο δεν είναι µονώνυµο π.χ. x y :6xy 4 4 4 = x y x xy 6xy = 6 xy = y (Λ) στ. Η παράσταση είναι άθροισµα ανοµοίων µονωνύµων και είναι πολυώνυµο. (Σ) Να βρεθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης xy x y + xy + 00 για α. για x = 0 και y = 0 β. για x = 0 και y = 0 γ. για x = 0 και y = 0 δ. για x = 0 και y = 0 α. Αντικαθιστούµε όπου x = 0 και y= 0 στην παράσταση 0 0 0 0 + 0 0 + 00 = 00 β. Αντικαθιστούµε όπου x = 0 και y= 0 στην παράσταση 0 0 0 0 0 0 00 00 + + = γ. Αντικαθιστούµε όπου x = 0 και y= 0 στην παράσταση ( ) ( ) ( ) + + = 00 000 000 + 00 = 97 0 0 0 0 0 0 00 δ. Αντικαθιστούµε όπου x = 0 και y= 0 στην παράσταση 00 0 0+ 00 + 00= 00 Να αντιστοιχίσετε τις παραστάσεις της στήλης Α µε τις ίσες τους παραστάσεις της στήλης Β. Στήλη Α α. 5x y + 5x y. Στήλη Β 5x y β. 5x y 5x y 4. ωy 9 γ. 5x y : xy δ. ωy ωy. 5x y 4. 4xyω 4 ε. ωy ωy 5. 0 στ. 4xyω+ 8xyω 6. ωy Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων
5. Αλγεβρικές παραστάσεις α. Είναι 5x y + 5x y = 0. Άρα στο α αντιστοιχίζεται το 5 4 β. Είναι 5x y 5x y = 5x y. Άρα στο β αντιστοιχίζεται το x y γ. Είναι 5x y : xy = 5x y = 5 = 5x y. Άρα στο γ αντιστοιχίζεται το xy x y δ. Είναι ωy ωy= ωy= ωy. Άρα στο δ αντιστοιχίζεται το 6 4 ε. Είναι ωy ωy = ωωyy= ωy. 9 Άρα στο ε αντιστοιχίζεται το στ. Είναι 4xyω+ 8xyω= ( 4+ 8) xyω= 4xyω. Άρα στο στ αντιστοιχίζεται το 4. Ποιες από τις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις είναι µονώνυµα και ποιες όχι; Στην περίπτωση που µια αλγεβρική παράσταση είναι µονώνυµο ποιος είναι ο συντελεστής και ποιο το κύριο µέρος του; Υπάρχουν µονώνυµα που να είναι όµοια; α. 5 xyω 5αβ β. δ. ( ω ) x y κ ε. ω x γ. ( + ) xyω στ. x y ζ. 5x y ω 4 x ι. 4 α. Η παράσταση ω x η. ( ) 5αβ είναι µονώνυµο µε συντελεστή θ. xyω 5 και κύριο µέρος αβ. β. Η παράσταση 5 xyω είναι µονώνυµο µε συντελεστή 5 και κύριο µέρος xyω. γ. Η παράσταση ( + ) xyω είναι µονώνυµο µε συντελεστή + και κύριο µέρος xyω. ω x y = ω x y δεν είναι µονώνυµο διότι υπάρχει µεταξύ των µεταβλητών ω, x η πράξη της αφαίρεσης. δ. Η παράσταση ( ) ( ) Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων
Αλγεβρικές παραστάσεις 5. κ ε. Η παράσταση δεν είναι µονώνυµο διότι υπάρχει µεταξύ των µεταβλητών ω, x, ωx κ η πράξη της διαίρεσης. στ. Η παράσταση x y x = δεν είναι µονώνυµο διότι υπάρχει µεταξύ των µετα- y βλητών x, y η πράξη της διαίρεσης. ζ. Η παράσταση xyω. 5x y ω 5 xyω = είναι µονώνυµο µε συντελεστή 5 4 4 4 και κύριο µέρος η. Η παράσταση ( ω x ) δεν είναι µονώνυµο διότι υπάρχει µεταξύ των µεταβλητών ω, x η πράξη της αφαίρεσης. θ. Η παράσταση xyωείναι µονώνυµο µε συντελεστή και κύριο µέρος xyω. Όµοια µονώνυµα είναι τα 5 5 4 xyω, x y ω, x y ω. 7 λ λ 4 Να βρείτε τις ακέραιες τιµές του λ ώστε η αλγεβρική παράσταση x y να είναι µονώνυµο. Στη συνέχεια για τις τιµές αυτές να βρείτε τα αντίστοιχα µονώνυµα. Για να είναι µονώνυµο η παραπάνω αλγεβρική παράσταση πρέπει οι εκθέτες των µεταβλητών x, y να είναι φυσικοί αριθµοί. ηλαδή πρέπει ο λ να είναι ακέραιος και συγρόνως να ισχύουν : 7 λ 0 και λ 4 0 ή λ 7 και λ 4 ή λ 7 και λ 4. Οι κοινές ακέραιες τιµές για τη µεταβλητή λ είναι 4, 5, 6, 7. 7 4 4 4 0 Για λ = 4 έχουµε: x y = x y = x. Για λ = 5 έχουµε: 7 5 5 4 x y = xy = xy. 7 6 6 4 Για λ = 6 έχουµε: x y = x y = xy. 7 7 7 4 0 Για λ = 7 έχουµε: x y = x y = y. Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων
54. Αλγεβρικές παραστάσεις Να γίνουν οι πράξεις: α. xy xy + 8xy xy β. 4xy ω : xy ω γ. ( ) ε. ( xy + ω)( x y + 4xy xy ) 4 x x y xyω x ωα 8 δ. ( x y + 5y x + 4xy)( x y ω ) α. + = ( ) x y x y 8x y x y + 8 x y = x y. 4 4 β. x x y xyω x ωα = xxxx yyωωα 8 = 8 8 xyωα. 4xy ω : xy ω 4xy ω xyω γ. ( ) = = δ. ( x y 5y x 4xy)( x y ω ) + + = 4x y ω xyω = 8xy. ( ) ( ) ( ) = + + = x y x y ω 5y x x y ω 4xy x y ω 5 4 4 4 = 6x y ω 0y x ω 8x y ω. ε. ( xy ω)( x y 4xy xy ) + + = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = xy x y xy 4xy xy xy + ω x y + ω 4xy + ω xy = = x y 4x y + x y ωx y + 4xyω ωxy. Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων
Αλγεβρικές παραστάσεις 55.. Να κάνετε τις πράξεις: α. ( α+ β)( α β) ( 4β α)( α β) β( α+ β) β. ( x + y)( x 4y) ( x + 5y)( y x) xy( x y) γ. ( x+ )( y ) ( y+ 4)( x 6) + ( x 6y) δ. ( x + y)( x y) ( x y ) + 4( x xy + y ) ε. ( x+ y)( x y ) [xy x( x y )] στ. ( α+ β γ)( α+ β) + ( α β+ γ) ( α + γ) + ( β + γ α)( β+ γ) η. ( α + αβ + β )( α + αβ β ) ζ. ( x + 4x )( 5x + 4x) θ. ( x 5 6x 4 x ): ( x ) µ + ν µ ν+ µ + ν+ µ ν ι. ( α β α β 6α β ):( α β ). Να αντικαταστήσετε τους παρακάτω αστερίσκους ώστε να ισχύει κάθε µια από τις παρακάτω ισότητες: * 4β 7β 8 8β 49β 56β α. ( ) β. ( ) γ. ( ) + = + + = + 5 * x 8x 7 6x * * 5α β * 9β + * = 0αβ * + αβ 5 7 4 9. Να εκτελέσετε τις παρακάτω πράξεις και µετά να βρείτε την αριθµητική τιµή του αποτελέσµατος για τις τιµές των γραµµάτων που αναφέρονται: + για x =, y= α. ( x y xy )( x y) x ( x y) ( x y)( y ) α + αβ [α α+ β α + β ] για α =, β = β. ( )( ) Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων
56. Αλγεβρικές παραστάσεις 4. Α = x y, B Να υπολογίσετε: α. A B 4 = x y, Γ = xy β. B Γ γ. A BΓ δ. Α:Β ε. Α:Γ στ. Β:Γ ζ. Γ:Β η. Β:Α 5. Να βρείτε τους ακέραιους κ, λ ώστε η παρακάτω αλγεβρική παράσταση να είναι µονώνυµο και στη συνέχεια να βρείτε το µονώνυµο: xy x y 4 κ λ+ 4 Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων
Αλγεβρικές παραστάσεις 57. Ερώτηση Τι ονοµάζουµε µονώνυµο; Ερώτηση Πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός µονωνύµου µε πολυώνυµο και πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός πολυωνύµων; Άσκηση ν µ α. Για να είναι το πηλίκο α :α µονώνυµο πρέπει ν... µ. Να σηµειώσετε το κατάλληλο σύµβολο ανισότητας. β. ίνονται τα µονώνυµα ( α+ ) x y λ+ µ + 5 και x y. Να βρείτε τους α, λ και µ ώστε τα µονώνυµα να είναι ίσα. Άσκηση 004 Να υπολογισθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης Α για α=, β =, γ = όπου: Α = (α β) ( α+ β+ γ) ( α+ β)( α β+ γ) Άσκηση Να κάνετε τις πράξεις: µ κ µ κ µ κ ( xy + x y + x y)( x y) Μονώνυµα - Αναγωγή όµοιων όρων - Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων
4 ÂéâëéïìÜèçìá Áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò Τι ονοµάζουµε ταυτότητα και ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες; Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει µεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιµές των µεταβλητών αυτών. Ανάπτυγµα τετραγώνου Οι βασικές ταυτότητες είναι:. Τετράγωνο αθροίσµατος και τετράγωνο διαφοράς ( ) α+ β = α + αβ+ β ( ) α β = α αβ+ β Παράδειγµα α. ( x+ y) = x + x y+ ( y) ( ) x+ y = x + 4xy+ 4y αβ αβ αβ x = x x + β. ( ) ιαφορά τετραγώνων αβ 4 α β x = x x αβ + 4. Γινόµενο αθροίσµατος µονωνύµων επί τη διαφορά τους ( α β)( α+ β) = α β Παράδειγµα ( )( ) ( ) xy + xy = xy = 4 xy 4
60. Αλγεβρικές παραστάσεις. Κύβος αθροίσµατος και κύβος διαφοράς Ανάπτυγµα κύβου ( ) α+ β = α + α β+ αβ + β ( ) α β = α α β+ αβ β Παράδειγµα α. ( ) ( ) ( ) ( ) α+ = α + α + α + ( ) α + = 7α + 54α + 6α + 8 β. ( y x ) = ( y) ( y) x + y ( x ) ( x ) ( ) y x = 8y y x + 6yx x 4 6 4. Άθροισµα κύβων και διαφορά κύβων Άθροισµα κύβων και διαφορά κύβων ( )( ) α + β = α+ β α αβ+ β ( )( ) α β = α β α + αβ+ β Παράδειγµα α. x + = ( x+ )( x x+ ) β. ( ) ( ) ( ) 6 y 8= y = y y + y + ( )( ) = + + y 6 8 y y 4 y 4 5. Τετράγωνο αθροίσµατος τριών µονώνυµων Τετράγωνο αθροίσµατος Παράδειγµα ( ) α+ β+ γ = α + β + γ + αβ + αγ + βγ ( κ+ λ + µ ) = (( κ ) + ( λ ) + µ ( ) ( ) ) + κλ + κµ + λµ ( ) κ+ λ + µ = 4κ + 9λ + µ + κλ + 4κµ + 6λµ Ταυτότητες
Αλγεβρικές παραστάσεις 6. 6. Ταυτότητα του τριωνύµου ( )( ) ( ) x + α x+ β = x + α+ β x+ αβ Παράδειγµα ( x+ )( x ) = ( x+ ) ( x+ ( ) ) = ( ( )) ( ) x x x x 6 + + + =. Οι παραστάσεις των δεύτερων µελών των ταυτοτήτων λέγονται α- ναπτύγµατα. Οι παραστάσεις ( α+ β ), ( α β) λέγονται και τέλεια τετράγωνα. Είναι ( ) α+ β α + β και ( ) α β α β 4. Οι παραστάσεις της µορφής α+ β και α β λέγονται συζυγείς παραστάσεις 5. Στις εκφράσεις ( α+ β) και ( α β) τα αναπτύγµατα του δεύτερου µέλους είναι διατεταγµένα ως προς τις φθίνουσες δυνάµεις του α. Ταυτότητες
6. Αλγεβρικές παραστάσεις Να χαρακτηρίσετε µε την ένδειξη σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) καθεµιά από τις παρακάτω ισότητες. α. ( x ) = x + 4x+ 4 β. ( ) x+ = x + x+ 4 γ. ( x ) = ( + x) δ. ( κ λ) = ( κ+ λ) ε. ( κ+ λ) = ( λ κ) στ. ( κ+ λ) = ( κ λ) ζ. ( x+ y) = x + y η. ( ) x+ 4 = x + 6 θ. x 9= ( x 9)( x+ 9) ι. α β = ( α β) α. ( ) x = x x + = x 4x+ 4. Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη λάθος Λ. β. ( ) x+ = x + x+ = x + 4x+ 4. Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη λάθος. Λ γ. x = + x λόγω της αντιµεταθετικής ιδιότητας της πρόσθεσης οπότε ( x ) ( x) = +. Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη σωστό Σ. δ. ( κ λ ) [ ( κ λ )] ( κ λ) = + = +. Άρα η ισότητα χαακτηρίζεται µε την ένδειξη σωστό Σ. + = οπότε ( κ λ) ( λ κ) ε. κ λ λ κ ένδειξη σωστό Σ. στ. ( κ λ ) [ ( κ λ )] ( κ λ) + = Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την + = =. Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη σωστό Σ. ζ. ( ) x+ y = x + xy+ y. Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη λάθος Λ. η. ( ) x+ 4 = x + x 4+ 4 = x + 8x+ 6. Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την Ταυτότητες
Αλγεβρικές παραστάσεις 6. ένδειξη λάθος Λ. x 9= x = x x+. Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη λάθος Λ. α β = α β α+ β. Άρα η ισότητα χαρακτηρίζεται µε την ένδειξη λάθος Λ. θ. ( )( ) ι. ( )( ) Να αντιστοιχίσετε τις παραστάσεις της στήλης Α µε τις ίσες τους παραστάσεις της στήλης Β. Στήλη Α α. ( ) Στήλη Β 4x. 4x + 4xy + y β. ( + ) x y. 4x 9y γ. ( + )( ) x y x y. x x + x x 4. x x 5 δ. ( ) x 5. 6x 8x + ε. ( + ) x x 5 6. 8x + x + 6x + στ. ( + )( ) α. ( ) ( ) β. ( ) ( ) 4x = 4x 4x + = 6x 8x +. Εποµένως στο α αντιστοιχίζεται το 5. x + y = x + x y + y = 4x + 4xy + y. Εποµένως στο β αντιστοιχίζεται το. γ. ( )( ) ( ) ( ) x + y x y = x 9y = 4x 9y. Εποµένως στο γ αντιστοιχίζεται το. δ. ( ) x = x x + x. Εποµένως στο δ αντιστοιχίζεται το. ε. ( ) ( ) ( ) x + = x + x + x + = 8x + x + 6x +. Εποµένως στο ε αντιστοιχίζεται το 6. στ. ( x )( x 5) ( x ) ( x ( 5) ) x [ ( 5 )]x ( 5) + = + + = + + + = x x 5. Εποµένως στο στ αντιστοιχίζεται το 4. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α. ( )... +... = y + y +... β. (......) = 9α... + 6β γ. x... =... xy +...... + x = 9 +... +... δ. ( ) Ταυτότητες
64. Αλγεβρικές παραστάσεις... + x... x = 6β... ε. ( κ +...)( κ...) =... 5 στ. ( )( ) ζ. (... +...) = 8α + α +... +... η. ( ) θ. ( x + )( x +...) =... +... + 6 ι. ( )( )... = 7x... +..... x + 4 x + =... +... +... α. ( ) y+ = y + y+ β. ( ) α 4β = 9α 4αβ + 6β γ. x y = x xy+ y 4 + x = 9+ x + 4x δ. ( ) 4 ε. ( κ+ 5)( κ 5) = κ 5 στ. ( 4β+ x)( 4β x) = 6β 9x ζ. ( ) ( ) α + = 8α + α + α + = 8α + α + 6α + η. ( ) ( ) x = 7x x + x + = 7x 54x + 8x + 8 θ. ( x+ )( x+ ) = x + 5x+ 6 ι. ( )( ) x+ 4 x+ = x + 7x+ Να βρείτε τα αναπτύγµατα: x y β. x y α. ( + ) + x y δ. + xy γ. ( + ) ε. ( x y ) στ. y x ζ. x η. β x + α θ. 4 xy + x α. ( x + y) = ( x ) + x y+ ( y) 4 = x + 4x y+ 4y ι. x y + x y x x y y x xy y β. + = + + = + + 9 4 γ. ( ) ( ) ( ) x + y = x + x y + y = x + 4x y + 4y 4 4 δ. ( ) xy + = xy + xy + = x y + xy + 4 ε. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y = [ x + y ] = x + y = x + x y + y = x + x y + y 6 6 στ. ( ) y y y y x = x x + = 4x xy + 4 4 Ταυτότητες
Αλγεβρικές παραστάσεις 65. ζ. ( ) x = x x + = 4x 4 + x x x x β β β β β α + = α = α + α = βα + 9α 9 η. ( ) 4 4 4 4 6 xy + = xy = xy + xy = 8y + x y x x x x x θ. ( ) x y y x y y x x y yx x ι. + = = + = + 9 4 Nα βρείτε τα αναπτύγµατα: xy xy β. ( x ) ( + x ) α. ( + ) ( ) x y x y δ. + α β α + β γ. ( + ) ( ) ε. ( 4xy αβ) ( 4xy + αβ) στ. ( x κ) ( x κ) ζ. ( x+ y+ ω) ( x+ y ω) η. ( κ+ λ+ ) ( κ+ λ ) x y ω x y ω ι. ( x 4 y + ) ( x 4 + y + ) θ. ( + + ) ( + + ) α. ( )( ) ( ) xy + xy = xy = x y x + x = x = 4 x β. ( )( ) ( ) 4 γ. ( )( ) ( ) ( ) x + y x y = x y = x y 6 6 δ. α + β α + β = β α β + α = β α = = β α 4 9 6 4 ε. ( )( ) ( ) ( ) 4xy αβ 4xy + αβ = 4xy αβ = 6x y 9α β στ. ( )( ) ( )( ) ( ) x κ x κ = x+ κ x κ = [ x κ ] = 4x + κ ζ. ( )( ) ( ) x+ y+ ω x+ y ω = x+ y ω = x + xy+ y ω η. ( )( ) ( ) ( ) κ+ λ+ κ+ λ = κ+ λ = κ + κλ+ λ = κ + 4κλ+ 4λ Ταυτότητες
66. Αλγεβρικές παραστάσεις θ. ( x+ y+ ω )( x+ y ω+ ) = [( x+ y) + ( ω )][x+ y ( ω )] = ( ) ( ) = x+ y ω = x + xy+ y ω + 6ω 9 ι. ( x 4 y + )( x 4 + y + ) = ( x 4 + y )( x 4 + + y ) ( ) ( ) ( ) = x + y = x + x + 4y = x + x + 4y 4 4 4 4 8 4 4 Nα βρείτε τα αναπτύγµατα: α β. + α α. ( + ) δ. ( ) x y ε. ( + ) γ. x x y στ. ( x + y ) x y η. + x ζ. ( ) x θ. x x α. ( ) α+ = α + α + α + = α + 9α + 7α+ 7 ι. x β. α α α α α α α + = + + + = + + + 8 4 6 4 x x = x x + x = x x + 7 γ. ( ) ( ) δ. ( ) = ( + ) = + + ( ) + ( ) x y x y [x x y x y y ] = x 6x y xy 8y ε. ( ) ( ) ( ) ( ) + = = + = x y y x y x y x y x x 6 4 = 8y y x + 6y x x στ. ( x y ) ( x ) ( x ) y x ( y ) ( y ) + = + + + = 6 4 4 6 = x + x y + x y + y ζ. ( ) ( ) (στ) = x y = x + y x x y x y y 6 4 4 6 η. x + = x + x + x + = x + x + + x x x x x x Ταυτότητες
Αλγεβρικές παραστάσεις 67. 6 = + = + 6 x x x x x x x x x x x x θ. ( ) ( ) ( ) x x ι. = = x x + x+ 7 ( ) Nα κάνετε τις πράξεις στις παρακάτω περιπτώσεις: α. ( α+ β) ( α+ β) ( β 5α) β. ( α+ β)( β α) ( β α) α( α β) γ. ( x + y)( y + x) ( x + y)( y x) δ. ( + x)( x) ( x) ε. ( 5κ + λ) ( 4κ λ)( 4κ + λ) ( κ + λ) α. ( α β) ( α β) ( β 5α) + + = ( α) α β β ( α αβ β ) ( β) β 5α ( 5α) = + + + + + = = 4α + 4αβ + β α 6αβ β 4β + 0αβ 5α = β. ( α β)( β α) ( β α) α( α β) + = ( ) ( ) = β α β βα+ α α + αβ= = β α 4β + 4αβ α α + αβ = 6α β + 7αβ 4α + 8αβ 6β γ. ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) x + y y + x x + y y x = x y [y x ] = = 4x 9y y + 4x = 8x 0y + x x x = x x+ 4x = x + 4x 4x = δ. ( )( ) ( ) ( ) 5x = + 4x ε. ( 5κ λ) ( 4κ λ)( 4κ λ) ( κ λ) + + + = ( ) ( ) 5κ 0κλ λ 6κ 9λ κ 4κλ 4λ 4 = + + + + = 4 = 5κ + 0κλ + λ 6κ + 9λ κ 4κλ 4λ = 4 = 6κ + 4κ + 6λ + 6κλ Nα αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες: α β αβ α β β. ( ) α. ( + )( + ) ( + ) = ( + ) α + β = α+ β αβ Ταυτότητες
68. Αλγεβρικές παραστάσεις α β α β αβ α β δ. + x x = 4 x x γ. + = ( + ) ( + ) ε. ( α + β )( x + y ) = ( αx + βy) + ( αy βx) α. ( α + )( β + ) ( αβ+ ) = αβ α β 4 ( αβ 4αβ 4) = αβ + α + β + 4 αβ + 4αβ 4= + + + + = α + β + 4αβ = = α + β + αβ+ α + β + αβ = ( α+ β) + ( α+ β) = ( α+ β) β. ( ) α + β αβ = α + αβ + β αβ = α + β γ. ( α β) αβ( α β) + + = α + α β+ αβ + β α β αβ = α + β δ. x+ x = x x ε. ( )( ) x + x x x x + x + x x = + = 4 α + β x + y = αx + αy + βx + βy () ( αx βy) ( αy βx) + + = α x + αxβy + β y + α y αyβx + β x = = αx + αy + βx + βy () Aπό () και () προκύπτει ότι : ( α + β )( x + y ) = ( αx + βy) + ( αy βx) Αν A = 7 + και B = 7 τότε να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α. A B β. A B α. A B= ( 7 + )( 7 ) A B= ( 7) ( ) ή A B= 7 = 4 β. A B = ( 7+ ) ( 7 ) = ( ) + + ( ) ( ) + ( ) A B 7 7 [ 7 7 ] A B = 7+ + 7+ ή A B = 4 Ταυτότητες
Αλγεβρικές παραστάσεις 69. Aν x+ y = 5 και x y = 4 τότε να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης A = x + y. Ισχύει ότι: ( ) x+ y = x + xy+ y ή ( ) x y xy x y + = + ή x + y = 5 4 ή x + y = 7. Αν x + = τότε να υπολογιστεί η παράσταση A = x + x x. Ισχύει: x+ = x + x + x x x ή x x + = + + x x Οπότε x + = x+ x x ή A = ή A=. Αν είναι A = x y. A x y 004 004 x = + και = ή A ( x y)( x y) = + ή 004 004 y τότε να υπολογιστεί η παράσταση = 004 004 004 004 004 004 004 004 ( )( ) A = + + + + ή 004 004 = ή 004 004 A A = + + ή A = = 4. Να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση: ( ) ( α+ β) 4αβ ή ( α β) 0 αληθές. Αν ( + ) = ( + ) α + αβ + β 4αβ ή α+ β 4αβ x y x y να αποδείξετε ότι x= y. ( ) ( ) x + y = x+ y ή x y xy 0 + = ή ( ) x + y = x + xy + y ή α + αβ + β 4αβ 0 ή x y = 0 ή x y= 0 ή x = y. α αβ+ β 0 x + y x y xy = 0 Ταυτότητες
70. Αλγεβρικές παραστάσεις. Να βρείτε τα αναπτύγµατα: x ψ α. ( α + β ) x β. ( x αβ) αx βy ε. αβ xy δ. ( ) ζ. x + α β + γ. x y στ. 4 η. ( αβ + γ) θ. ( κα λβ). Nα κάνετε τις πράξεις. α. ( x+ ) ( x+ )( x ) ( x ) β. ( x + ) ( x ) ( x + 5)( 5 x) γ. ( α+ β) ( α+ β) ( α+ β)( α β) δ. ( x + x )( x x+ ) + ( x )( x+ ) 4( x )( x+ )( x + ) ε. ( x ) ( x+ ) x( x+ )( x ) στ. ( x + ψ) ψ( x ψ)( x+ ψ) + x( x ψ) ζ. ( x+ ) x( x ) + ( x )( x+ )( x ) η. ( x + 9)( y + 4) ( xy+ 6) θ. ( x y) ( x 5) + ( x y ) ( x 4 + y 4 ). Nα αντικατασταθούν τα κενά ώστε να προκύψουν τριώνυµα που να είναι τετράγωνα διωνύµων: α. x + x+ β. α αβ+ γ. 9x + 4y + δ. α + + ε. 4 α + α + στ. 4 6 8 49α + β + Ταυτότητες
Αλγεβρικές παραστάσεις 7. ζ. x x+ η. 4x 4. Να συµπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες: α. ( )... +... = α + αβ +... β. ( ) γ. ( x +...) = βx +... +... δ. ( ) + θ. + x + 5 5 5y... = 40yω +... +...... + = 4xy +... +... ε. (... +...)( x...) = 9x στ. ( )... +... = x +... +... + y xy...... +... = +... ζ. ( x )( x ) =...... +... η. ( ) θ. ( x + )( x 5 ) =...... +... ι. ( )( ) 5. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες: α. ( α β) ( α β) ( α β )... x +... = x 9 + + = + β. ( κx + κy) = κ ( x+ y) γ. ( ) ( ) ( ) 5 κ+ λ κ λ α β α β β α = 0 δ. = κλ κ λ κ λ κ λ ε. + + = + στ. ( α+ β γ)( α β + γ) = ( α) ( β γ) ( ) ( ) x x+ x x ζ. = x 6. Αν x = τότε να υπολογιστεί η τιµή της παράστασης A = x +. x x 7 5 7. Αν x+ y = και x y = να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων A = x + y και B= ( x+ )( y+ ). 8. Αν είναι A 8 8 = + και B A B. 9. Να αποδείξετε τις επόµενες ανισότητες α. α + β αβ β. x 8 8 = τότε να υπολογιστεί η παράσταση + x `γ. α+ αν α > 0 α 0. Αν Α = 5 και Β= + 5 να υπολογισθούν οι παραστάσεις: α. Α Β β. Α + Β γ. Α Β Ταυτότητες
7. Αλγεβρικές παραστάσεις Ερώτηση Τι ονοµάζουµε ταυτότητα και ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες; Άσκηση Να γραφούν οι βασικές ταυτότητες και να αποδειχθεί ότι: ( ) α β = α α β+ αβ β Άσκηση Να κάνετε τις πράξεις στην παρακάτω αλγεβρική παράσταση: ( xy )( xy+ )( x y + )( x 4 y 4 + ) Άσκηση Αν A = 4 5 και B= 4 + 5 να υπολογίσετε την παράσταση: A + B AB Ταυτότητες
5 ÂéâëéïìÜèçìá Ðáñáãïíôïðïßçóç ðïëõùíýìùí Τι είναι η παραγοντοποίηση πολυωνύµων; Παραγοντοποίηση ή ανάλυση σε γινόµενο πρώτων παραγόντων ονοµάζεται η διαδικασία µε την οποία µετατρέπουµε µια αλγεβρική παράσταση ή ένα πολυώνυµο από άθροισµα σε γινόµενο. Με ποιους τρόπους γίνεται η παραγοντοποίηση; α. Κοινός παράγοντας Όταν όλοι οι όροι του πολυωνύµου έχουν τον ίδιο συντελεστή ή και ίδιες µεταβλητές, κοινό παράγοντα όπως λέµε τότε αυτό µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη βοήθεια της επι- µεριστικής ιδιότητας. Έτσι αν έχουµε την παράσταση αβ αγ + αδ παρατηρούµε ότι όλοι οι όροι της έχουν κοινό παράγοντα τον α. Εποµένως βγάζουµε κοινό παράγοντα τον α και γράφουµε αβ αγ + αδ = α( β γ + δ). β. Οµαδοποίηση Όταν όλοι οι όροι του πολυωνύµου δεν έχουν κοινό παράγοντα, τους χωρίζουµε σε οµάδες φροντίζοντας ώστε: κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι ίδιες
74. Αλγεβρικές παραστάσεις γ. ιαφορά τετραγώνων Αυτή η µέθοδος στηρίζεται στην ταυτότητα α β = α+ β α β ( )( ) Αν το πολυώνυµο γράφεται σε µορφή διαφοράς τετραγώνων δύο µονωνύµων τότε µετατρέπεται σε γινόµενο αθροίσµατος µονωνύµων επι την διαφορά τους. δ. Ανάπτυγµα τετραγώνου (τέλειο τετράγωνο) Αν το πολυώνυµο γράφεται σε µια από τις µορφές α + αβ+ β ή α αβ+ β τότε µετατρέπεται σε τετράγωνο αθροίσµατος ή τετράγωνο διαφοράς ε. Τριώνυµο ( ) α + αβ+ β = α+ β ( ) α αβ+ β = α β Το πολυώνυµο f ( x) = αx + βx + γ, α 0 λέγεται τριώνυ- µο ου βαθµού. Η παραγοντοποίηση του τριωνύµου όταν α = δηλαδή x + βx + γ γίνεται ως εξής: κάνουµε τον πολλαπλασιασµό των πολυωνύµων x x + λ και έχουµε: ( )( ) ( ) x + κ x + λ = x + λx + κx + κλ = x + λ + κ x + κλ + κ, οπότε πρέπει λ+ κ = β και κ λ = γ. ηλαδή για να παρα- γοντοποιήσουµε το x + βx + γ αναζητούµε δύο αριθµούς που να έχουν γινόµενο γ και άθροισµα β.. Αν η παράσταση που µας δίνεται έχει δύο όρους δίχως κοινό παράγοντα θα προσέχουµε µήπως είναι διαφορά ή άθροισµα τετραγώνων. Στην περίπτωση που είναι άθροισµα τετραγώνων προσθαφαιρούµε κατάλληλο όρο.. Αν η παράσταση που µας δίνεται έχει τρεις όρους θα προσέχουµε αν : α. είναι ανάπτυγµα τετραγώνου β. είναι τριώνυµο γ. µπορούµε να διασπάσουµε κάποιον όρο και στη συνέχεια να οµαδοποιήσουµε Παραγοντοποίηση πολυωνύµων
Αλγεβρικές παραστάσεις 75.. Αν η παράσταση που µας δίνεται έχει τέσσερις όρους θα προσέχουµε αν: α. µπορούµε να οµαδοποιήσουµε ανά δύο β. µπορούµε να δηµιουργήσουµε µία οµάδα τριών όρων που να αποτελούν τέλειο τετράγωνο το οποίο σε συνδυασµό µε τον όρο που αποµένει να µπορεί να παραγοντοποιηθεί. Παραγοντοποίηση πολυωνύµων
76. Αλγεβρικές παραστάσεις Να παραγοντοποήσετε τις παραστάσεις: α. 5x + 5y β. 4x + 4 γ. 6 8x δ. x x y ε. 6x 4x στ. α xy α x y ζ. xy x y η. ι. x 6y αβ γ α βγ θ. κλ κ α. 5x + 5y = 5( x + y) β. 4x + 4 = 4( x + ) γ. 6 8x = 8( x) δ. x x y= x ( x y) ε. 6x 4x = x( x ) στ. α xy α x y = α xy( 4αx) ζ. xy x y = xy( y x) η. αβ γ α βγ = αβγ ( βγ α) θ. κλ κ = κ( λ + ) ι. x 6y = x y = x y = ( x y) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α. x( x y) + 5y( x y) β. 0( x+ y) + α( x+ y) γ. µ ( x y) x + y δ. ρα ( β) β ( α) x x x + ε. 4ω( α+ β) α β στ. ( ) ζ. 5x( α ) + ( α ) η. γ ( α ) ( α) θ. ( x + ) ( x 5) + ( 4x + 5) ( 5 x) α. x( x y) + 5y( x y) = ( x y) ( x + 5y) β. 0( x+ y) + α( x+ y) = ( x+ y) ( 5+ α) Παραγοντοποίηση πολυωνύµων
Αλγεβρικές παραστάσεις 77. γ. µ ( x y) x + y = µ ( x y) ( x y) = ( x y ) ( µ ) δ. ρ( α β) ( β α) = ρ( α β) + ( α β) = ( α β) ( ρ+ ) ε. 4ω( α+ β) α β= 4ωα ( + β) ( α+ β) = ( α+ β) ( 4ω ) στ. x( x ) x+ = x( x ) ( x ) = ( x ) ( x ) ζ. ( ) ( ) ( ) ( ) 5x α + α = α 5x α + η. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ α α = γ α + α = α γ α + θ. ( x + ) ( x 5) + ( 4x + 5) ( 5 x) = ( x + ) ( x 5) ( 4x + 5) ( x 5) = = ( x 5)( x + 4x + 5) = ( x 5) ( x + 8) Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α. βx αβ + x αx β. x+ y αx αy γ. αx αy βx + βy δ. xy + xω y z ωz ε. 6x 4αx 9βx + 6αβ στ. 5γx 8γy + 5βx 8βy ζ. x + x y+ xy + y η. α + 5+ 5α + α θ. x 5x + x 0 ι. αx + αy x+ βx + βy x βx αβ + x αx = β x α + x x α = x α β + x α. ( ) ( ) ( ) ( ) β. x+ y αx αy = x αx+ y αy = x ( α) + y( α) = ( α) ( x+ y) γ. αx αy βx + βy = αx βx + βy αy = x( α β) y( α β) = ( α β) ( x y) δ. xy + xω y z ωz = x( y + ω) z( y + ω) = ( y + ω) ( x z) ε. 6x 4αx 9βx + 6αβ = x( x α) β ( x α) = ( x α) ( x β ) στ. 5γx 8γy + 5βx 8βy = 5γx+ 5βx 8γy 8βy = 5x( γ + β) 8y( γ+ β) = = ( γ + β) ( 5x 8y) ζ. x + x y+ xy + y = x ( x+ y) + y ( x+ y) = ( x+ y) ( x + y ) η. α + 5+ 5α + α = α + α+ 5+ 5α = α( α + ) + 5( α + ) = ( α + ) ( α+ 5) θ. x 5x + x 0= x ( x 5) + ( x 5) = ( x 5) ( x + ) Παραγοντοποίηση πολυωνύµων