Ψηφιακή Σχεδίαση Εργαστήριο Τ.Ε.Ι. ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜ. ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-2016
Άλγεβρα Boole (Boolean Algebra) Βασικοί ορισμοί Η άλγεβρα Boole μπορεί να οριστεί με ένα σύνολο στοιχείων, ένα σύνολο τελεστών και έναν αριθμό από αξιώματα Σύνολο στοιχείων: Συλλογή από αντικείμενα τα οποία έχουν μια κοινή ιδιότητα Πώς συμβολίζεται; S = {x, y} Τα αξιώματα ενός μαθ. Συστήματος δίνουν τις βασικές παραδοχές από τις οποίες μπορούν να εξαχθούν οι κανόνες, τα θεωρήματα και οι ιδιότητες του συστήματος
Βασικά Αξιώματα για Σχηματισμό Αλγεβρικών Δομών 1. Κλειστότητα (Closure): Ένα σύνολο S είναι κλειστό ως προς ένα δυαδικό τελεστή αν για κάθε ζευγάρι στοιχείων του S ο δυαδικός τελεστής καθορίζει έναν κανόνα που παράγει ένα μοναδικό στοιχείο του S. Πχ.: Για τους φυσικούς αριθμούς, το N = {1, 2, 3 } είναι κλειστό ως προς τον δυαδικό τελεστή «+» διότι, ό,τι αποτέλεσμα κι αν δώσει η πρόσθεση a + b = c, το c N Το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν είναι κλειστό ως προς τον δυαδικό τελεστή «-» διότι πχ. 2 3 = -1, όπου -1 Ν
Βασικά Αξιώματα για Σχηματισμό Αλγεβρικών Δομών 2. Προσεταιριστικός κανόνας (Associative law) Ένας δυαδικός τελεστής «*» σε ένα σύνολο S λέμε ότι είναι προσεταιριστικός όταν x y z = x y z για κάθε x, y, z S 3. Αντιμεταθετικός κανόνας (Commutative law) Ένας δυαδικός τελεστής «*» σε ένα S λέμε ότι είναι αντιμεταθετικός όταν x y = y x για καθε x, y S
Βασικά Αξιώματα για Σχηματισμό Αλγεβρικών Δομών 4. Ουδέτερο Στοιχείο (Identity Element) Ένα S λέμε ότι έχει ουδέτερο στοιχείο ως προς τη πράξη «*» στο S εάν υπάρχει ένα στοιχείο e S με την ιδιότητα e x = x e = x για καθε x S Πχ.: 0 ουδέτερο στοιχείο ως προς το «+» : x + 0 = 0 + x = x Πχ.: 1 ουδέτερο στοιχείο ως προς το «*» : x 1 = 1 x = x
Βασικά Αξιώματα για Σχηματισμό Αλγεβρικών Δομών 5. Αντίστροφο (Inverse) Ένα S το οποίο έχει ουδέτερο στοιχείο e σε σχέση με έναν δυαδικό τελεστή «*» λέγεται ότι έχει αντίστροφο όταν για κάθε x S υπάρχει ένα στοιχείο y S τέτοιο ώστε x y = e Πχ.: Στο σύνολο των ακεραίων το αντίστροφο του ενός στοιχείου a είναι το -a εφόσον a + (-a) = 0
Βασικά Αξιώματα για Σχηματισμό Αλγεβρικών Δομών 6. Επιμεριστικός Κανόνας (Distributive law) Εάν «+» και «*» δύο δυαδικοί τελεστές σε ένα σύνολο S το * λέμε ότι είναι επιμεριστικό ως προς το «+» όταν x y + z = x y + (x z)
Αξιωματικός Ορισμός της Άλγεβρας Boole Το 1854 ο George Boole εισήγαγε μια συστηματική αντιμετώπιση της λογικής και ανέπτυξε για αυτό το σκοπό ένα αλγεβρικό σύστημα που ονομάζεται Άλγεβρα Boole Για τον επίσημο ορισμό της Άλγεβρας Boole θα χρησιμοποιήσουμε τα αξιώματα που διατυπώθηκαν από τον Huntington το 1904 Η Άλγεβρα Boole είναι μια αλγεβρική δομή που ορίζεται από ένα σύνολο στοιχείων έστω Β, μαζί με δύο δυαδικούς τελεστές, «+» και «*», εφόσον τηρούνται τα ακόλουθα αξιώματα (Αξιώματα του Huntington)
Αξιώματα του Huntington 1. (α) Κλειστότητα σε σχέση με τον τελεστή + (β) Κλειστότητα σε σχέση με τον τελεστή * 2. (α) Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς το +, που συμβολίζεται με 0: x + 0 = 0 + x = x (β) Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς το *, που συμβολίζεται με 1: x 1 = 1 x = x 3. (α) Η πράξη + έχει την αντιμεταθετική ιδιότητα: x + y = y + x (β) Το ίδιο για την πράξη *: x y = y x
Αξιώματα του Huntington 4. (α) Η * είναι επιμεριστική ως προς την +: x y + z = x y + x z (β) Η + είναι επιμεριστική ως προς την *: x + y z = x + y (x + z) 5. Για κάθε στοιχείο x Β υπάρχει ένα στοιχείο x B (συμπλήρωμα του x) τέτοιο ώστε (α) x + x = 1 (β) x x = 0 6. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο στοιχεία x, y B τέτοια ώστε x y
Σύγκριση Άλγεβρας Boole με την αριθμητική Άλγεβρα 1. Τα αξιώματα του Huntington δεν περιλαμβάνουν τον προσεταιριστικό κανόνα, ωστόσο ισχύει και μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα 2. Ο επιμεριστικός κανόνας του + ως προς το * δεν ισχύει στην κοινή άλγεβρα 3. Η άλγεβρα Boole δεν έχει αντίστροφα για την πρόσθεση ή τον πολλαπλασιασμό της άρα δεν υπάρχουν πράξεις αφαίρεσης ή διαίρεσης 4. Το αξίωμα 5 ορίζει έναν τελεστή συμπλήρωμα ο οποίος δεν ορίζεται στην κανονική άλγεβρα 5. Η κοινή άλγεβρα χρησιμοποιεί πραγματικούς αριθμούς (απειροσύνολο) ενώ η Boole χρησιμοποιεί ένα σύνολο Β το οποίο αποτελείται από συγκεκριμένα στοιχεία. Παρακάτω θα δούμε ότι κατά βάση θα χρησιμοποιούμε τα 0 και 1
Δίτιμη Άλγεβρα Boole Λέγεται και άλγεβρα δύο τιμών Ορίζεται σε ένα σύνολο 2 στοιχείων Β = {0, 1} με κανόνες για τους δύο δυαδικούς τελεστές που φαίνονται στους παρακάτω πίνακες x y x*y x+y 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 x x' 0 1 1 0 Κλειστότητα: Αποδεικνύεται αφού κάθε αποτέλεσμα πράξης θα είναι 0,1 B (α) 0+0=0 0+1=1+0=1 ουδέτερα (β) 1*1=1 1*0=0*1=0 στοιχεία Αντιμεταθετικότητα λόγω συμμετρίας πινάκων Ο επιμεριστικός κανόνας αποδεικνύεται με πίνακα αληθείας και για τις δύο περιπτώσεις (+ ως προς * // * ως προς +) Αφού υπάρχουν 2 στοιχεία 0 και 1 με 1 0 άρα ικανοποιείται και το 6 ο αξίωμα Από πίνακα συμπληρώματος: (α) x+x =1 (β) x*x =0
Πίνακας Αληθείας για απόδειξη επιμεριστικής ιδιότητας x y + z = x y + (x z) x + y z = x + y (x + z) x y z y+z x*(y+z) x*y x*z (x*y)+(x*z) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Βασικά Θεωρήματα και Ιδιότητες της Άλγεβρας Boole Αρχή του Δυϊσμού: Ορίζει ότι κάθε αλγεβρική έκφραση η οποία μπορεί να εξαχθεί από τα αξιώματα της άλγεβρας Boole εξακολουθεί να ισχύει εάν αλλάξουμε τους τελεστές και τα ουδέτερα στοιχεία της Αν θέλουμε δηλ. τη δυϊκή μορφή μιας αλγεβρικής έκφρασης, απλά εναλλάσσουμε τους τελεστές Ή και ΚΑΙ και αντικαθιστούμε 1 και 0 με 0 και 1.
Βασικά Θεωρήματα και αξιώματα της Άλγεβρας Boole Αξίωμα 2 α x+0=x b x*1=x Αξίωμα 5 α x+x =1 b x*x =0 Θεώρημα 1 α x+x=0 b x*x=x Θεώρημα 2 α x+1=1 b x*0=0 Θεώρημα 3 Διπλή Άρνηση α (x ) =x b Αξίωμα 3 Αντιμετ. Ιδιότ. α x+y=y+x b xy=yx Θεώρημα 4 Προσεταιρ. Ιδ. α x+(y+z)=(x+y)+z b x(yz)=(xy)z Αξίωμα 4 Επιμερ. Ιδιότ α x(y+z)=xy+xz b x+yz=(x+y)(x+z) Θεώρημα 5 DeMorgan α (x+y) =x y b (xy) =x +y Θεώρημα 6 Απορρόφηση α x+xy=x b x(x+y)=x
Πίνακες Αληθείας DeMorgan x y x+y (x+y) 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 x y x y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 (x+y) =x y Προτεραιότητα Τελεστών 1. Παρενθέσεις 2. ΌΧΙ 3. ΚΑΙ 4. Ή
Θεωρήματα Θ.1 (α): x + x = x x + x = x + x 1 = x + x x + x = x + xx = x + 0 = x Θ.1 (β): x x = x x x = xx + 0 = xx + xx = x x + x = x 1 = x Θ.2 (α): x + 1 = 1 x + 1 = 1 x + 1 = x + x x + 1 = x + x 1 = x + x = 1
Θεωρήματα Θ.3: x = x Θ.6 (α): x + xy = x x + xy = x 1 + xy = x x + y = x y + 1 = x 1 = x Θ.6 (β): x x + y = x λόγω δυϊσμού
Λογικές Συναρτήσεις Συνάρτηση Boole Αλγεβρική έκφραση που αποτελείται από Δυαδικές μεταβλητές (0 και 1) Τα σύμβολα των λογικών πράξεων Αποδίδει είτε 0 είτε 1 Περιγράφεται με πίνακα αληθείας Πχ.: F1 = x + y z Πότε η F1 θα δώσει 1;
Παραδείγματα Πώς θα σχεδιάζατε με πύλες την παρακάτω συνάρτηση: 1. F 2 = x y z + x yz + xy 2. F 2 = xy + x y
Αλγεβρικοί Μετασχηματισμοί Όταν είναι σε μορφή αλγεβρικών συναρτήσεων (και όχι υλοποιημένες σε λογικά κυκλώματα πύλες) μπορούν να βελτιστοποιηθούν και να απλοποιηθούν με λιγότερες πύλες από ότι αν τις χρησιμοποιούσαμε ατόφιες. x x + y = xx + xy = 0 + xy = xy x + x y = x + x x + y = 1 x + y = x + y x + y x + y = x + xy + xy + yy = x 1 + y + y = x xy + x z + yz = xy + x z + yz x + x = xy + x z + xyz + x yz = = xy 1 + z + x z 1 + y = xy + x z
Συμπλήρωμά Συνάρτησης Boole Το συμπλήρωμα F µιας συνάρτησης F είναι η συνάρτηση εκείνη που ισούται µε 0 όταν F = 1 και 1 όταν F = 0. Το συμπλήρωμα µιας συνάρτησης προκύπτει εφαρμόζοντας τα γενικευμένα θεωρήματα DeMorgan (A + B + C + D + + F) = A B C D F (ABCD F) = A + B + C + D + + F εάν αλλάξουμε τα ΚΑΙ µε τα Η και συμπληρώσουμε κάθε παράγοντα Το συμπλήρωμα προκύπτει εύκολα εάν πάρουμε το δυϊκό της συνάρτησης και συγχρόνως το συμπλήρωμα κάθε παράγοντα.
Συμπλήρωμα Συνάρτησης Boole ΠΡΟΣΟΧΗ: Το θεώρηµα De Morgan πρέπει να εφαρµόζεται σταδιακά και ακολουθώντας την προτεραιότητα των τελεστών ανάποδα
Σπίτι (Κάντε όσες μπορείτε) Κάντε τις παρακάτω αλγεβρικές απλοποιήσεις: 1. xy+xy 2. (x+y)(x+y ) Απλοποιήστε τις παρακάτω εκφράσεις Boole ώστε να προκύψει ελάχιστος αριθμός παραγόντων: 1. (x+y) (x+y ) 2. x yz+xz Βρείτε το συμπλήρωμα της F=x+yz Βρείτε το συμπλήρωμα: 1. xy +x y 2. (x+y +z)(x +z )(x+y) Γράψτε τον πίνακα αληθείας της συνάρτησης F=xy+xy +y x και σχεδιάστε το λογικό της διάγραμμα Κάντε το ίδιο για την συνάρτηση F=(xy+x y )(zw +z w)
Links https://www.youtube.com/watch?v=mxna0zrjhbu https://www.youtube.com/watch?v=fmittbmg3wg https://www.youtube.com/watch?v=rcfaqdwgw-e Μπορείτε να δείτε για έξτρα βοήθεια τα παραπάνω links (είναι στα Αγγλικά)