Πόσο απέχουν; Πόση είναι η µετατόπιση του καθενός;
ιανυσµατικό µέγεθος Μέτρο ιεύθυνση Φορά A Μετατόπιση Τελική θέση Αρχική θέση Σύµβολο µέτρου διανύσµατος A
ύο διανύσµατα είναι ίσα αν έχουν ίδιο µέτρο και ίδια φορά. A A B B A ύο διανύσµατα είναι αντίθετα αν έχουν ίδιο µέτρο και αντίθετη φορά. A B B
Υπάρχουν ίσα διανύσµατα στο διάγραµµα; Αν ναι ποιά; Τα διανύσµατα τα σχεδιάζουµε υπό κλίµακα όσο αφορά το µέτρο τους.
Ποια από τις παραπάνω ισότητες ισχύει;
Πρόσθεση διανυσµάτων 1 A 2 C B 3 A + B A+ B B+ A Μηδενικό διάνυσµα: Μηδενικό µέτρο εν έχει διεύθυνση
Αφαίρεση διανυσµάτων A B B C A B A B
A D A B + B + C E A + C B
i, j : µοναδιαία διανύσµατα µε φορά τη θετική των χ και ψ αξόνων αντίστοιχα, και µέτρο ίσο µε µια µονάδα. OC 4i + 3j Αν A A x 2 xi + + y Πώς εκφράζονται τα παραπάνω διανύσµατα µε τη χρήση συνιστωσών; 2 yj,
A y y A φ 0 χ A x A A cosϕ sinϕ 2 x + Ax A A y A A 2 y, A A y x Acosϕ, Asinϕ
Πολλαπλασιασµός διανύσµατος µε αριθµό: Πολλαπλασιάζεται το µέτρο του διανύσµατος µε τον αριθµό, η φορά παραµένει η ίδια. Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων: Το αποτέλεσµα είναι βαθµωτό µέγεθος. (φ η γωνία µεταξύ των διανυσµάτων) Παράδειγµα: έργο δύναµης F για µετατόπιση χ. A B A B cosϕ Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων: Το αποτέλεσµα είναι διάνυσµα. C A B, C A B sinϕ Το διάνυσµα C έχει κατεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που σχηµατίζουν τα διανύσµατα Α,Β C Α Β
Τρεις δυνάµεις ασκούνται σε ένα σώµα, όπως φαίνεται στο σχήµα. Βρείτε µια τέταρτη δύναµη που θα τις εξισορροπεί.
Αεροπλάνο απογειώνεται και πετάει για 170km, 68 0 ανατολικά του Βορρά. Αλλάζει κατεύθυνση και πετάει 238km 48 0 νότια της Ανατολής. Λόγω βλάβης κάνει αναγκαστική προσγείωση. Σε ποια κατεύθυνση και σε πόση απόσταση από την αφετηρία του βρίσκεται; 170km, 68 0 238km 48 0 Α y φ θ Α Bχ Α χ A A B B C C x y x y x y A A B B 158 131 cos sin cos sin + ϕ φ θ θ 159 63,7 170 170 238 238 sin 317 cos cos sin 22 22 48 48 km 67,3 km 158 63,7 km 159 131,1 km km km B y Β C cos C ω 2 x C C + x C 2 y 0,98 324 km ω 11,5
Ιστιοπλοικό ταξιδεύει µε ταχύτητα 10km/h βόρεια. Η ταχύτητα του αέρα είναι 25km/h, µε κατεύθυνση 30 0 ανατολικά τού βορά. Πόση είναι η ταχύτητα του αέρα σε σχέση µε το σκάφος; Ο βραχίονας ασθενούς που κάνει φυσιοθεραπεία ζυγίζει 20,5Ν και σηκώνει βάρος 112Ν. Και οι δύο δυνάµεις έχουν κατεύθυνση κάθετη. Ο δικέφαλος µυς ασκεί δύναµη 232 Ν κάθετη στο βραχίονα όταν αυτός βρίσκεται σε γωνία 43 0 πάνω από το οριζόντιο επίπεδο. Πόση είναι η δύναµη που ασκεί ο αγκώνας στο βραχίονα;
t 1 1s 0 2 4 6 8 10 x 1 1m x2 x1 x 7 1 u µ 1,5m / t t t 5 1 2 1 s t 2 5s 0 2 4 6 8 10 x 2 7m
t 1 1s 0 2 4 6 8 10 x 1 8m t 2 5s u µ x t 2 x t 1 x t 2 8 5 1 2 1 1,5m / s 0 2 6 4 8 10 x 2 2m
t (s) x(m) 0 0 1 2 2 8 3 18 4 32 5 50 x (m) 250 200 150 100 50 xf(t) 6 72 7 98 0 0 2 4 6 8 10 12 xf(t) t (s) 8 128 9 162 10 200 250 200 150 x (m ) 100 50 0 0 2 4 6 8 10 12-50 t (s)
xf(t) x (m) 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 t (s) Να βρεθεί η µέση ταχύτητα από τα 4 έως τα 8 s. u χ/ t(132-34)m/(8-4)s98/424,5m/s Να βρεθεί η µέση ταχύτητα από τα 6 έως τα 8 s. u χ/ t(132-74)m/(8-6)s58/229m/s
xf(t) x (m) 220 210 200 190 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10, t (s) t χ Ποια είναι η στιγµιαία ταχύτητα στα 5s; Κλίση εφαπτοµένης στο σηµείο της καµπύλης για t5s. χ/ t (85-15)m/(6,5-3,4)sec23m/sec u x lim t 0 t dx dt
Ηκίνηση ενός σώµατος περιγράφεται από το παρακάτω διάγραµµα xf(t). Κατατάξτε τις ταχύτητες στα σηµεία P, Q, R, S µε φθίνουσα σειρά
Σε ποιο σηµείο είναι η ταχύτητα µηδέν σταθερή και θετική σταθερή κα αρνητική Αυξανόµενη µειούµενη
a µ Μέση επιτάχυνση u t 2 2 u t 1 1 u t a Στιγµιαία επιτάχυνση lim t 0 u t du dt uf(t) 320 300 280 260 u (m/s) 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 t (s)
Ποιο είναι το πρόσηµο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στα σηµεία Α, Β C. D, E;
Σε διάγραµµα χf(t) για το πρόσηµο της ταχύτητας εκτιµώ την κλίση της εφαπτοµένης και για το πρόσηµο της επιτάχυνσης την καµπυλότητα του διαγράµµατος.
Κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση α u u 0 + at 300 250 200 xf(t) x x 0 + u 0 t + 1 at 2 2 x(m) 150 100 50 0 0 2 4 6 8 10 12-50 t(s) uf(t) αf(t) 60 6 50 5 40 4 u(m/s) 30 α(m/s 2 ) 3 20 2 10 1 0 0 2 4 6 8 10 12 t(s) 0 0 2 4 6 8 10 12 t(s)
Μέση επιτάχυνση απο 0 10 sec 30 40 sec 10 30 sec 0 40 sec Πόση η στιγµιαία επιτάχυνση στα 30 και στα 35 sec
ύο αυτοκίνητα A και Β κινούνται κατά µήκος του άξονα χ. Σε ποια θέση βρίσκονται, ποιο το πρόσηµο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης τις χρονικές στιγµές t0, t1, t3s. Συναντιούνται ποτέ τα δύο οχήµατα; Σχεδιάστε το διάγραµµα uf(t) για τα δύο οχήµατα. Εχουν ποτέ την ίδια ταχύτητα; Γίνεται προσπέραση και αν ναί πότε;
1. Τα κύρια σεισµικά κύµατα διαδίδονται µε ταχύτητα 6,5k m/s ενώ τα δευτερεύοντα µε ταχύτητα 3,5km/s. Η χρονική διαφορά άφιξης των κυµάτων στον σεισµογράφο επιτρέπει τον προσδιορισµό της απόστασης του επίκεντρου. Εαν η χρονική διαφορά είναι 33sec ποια η απόσταση του επίκεντρου; 2. Οι µετρήσεις (σε πίστα και ευθεία) των επιδόσεων µιας Bugatti Veyon δίνονται στον πίνακα. Σχεδιάστε ένα διάγραµµα uf(t). Η επιτάχυνση είναι σταθερή; Υπολογίστε τη µέση επιτάχυνση µεταξύ 0 και 2,1s, 2,1 και 20s, 20 και 53 s. Τα αποτελέσµατα είναι συµβατά µε το διάγραµµα; Χρόνος (s) 0 2,1 20 53 Ταχύτητα: 0 96 320 404 3. ύο αυτοκίνητα κατευθύνονται το ένα πάνω στο άλλο. Τη χρονική στιγµή 0 το αυτοκίνητο 1 είναι ακίνητο ενώ το 2 κινείται προς τα αριστερά µε ταχύτητα u 0. Το αυτοκίνητο 1 αρχίζει να κινείται µε σταθερή επιτάχυνση ενώ το 2 συνεχίζει µε σταθερή ταχύτητα. Ποια χρονική στιγµή συγκρούονται; Ποια η ταχύτητα του 1 όταν συγκρούεται µε το 2. Φτιάξτε τα διαγράµµατα χf(t) και u f(t) για τα δύο αυτοκίνητα. 4. Αθλητής ταχύτητας επιταχύνεται στη µέγιστη ταχύτητά του σε 4.0 sec. Στη συνέχεια διατηρεί σταθερή ταχύτητα για το υπόλοιπο του αγώνα 100m. Τερµατίζει σε 9.1sec. α. Ποια είναι η µέση επιτάχυνσή του τα πρώτα 4.0 sec. β. Ποια είναι η µέση επιτάχυνσή του για τα τελευταία 5.1sec. γ. Ποια η µέση επιάχυνση για όλο τον αγώνα;