Κεφάλαιο 3. Ιδιότητες μονάδων - συστήματος που βασίζονται σε διάφορους τύπους γήρανσης

Κεφάλαιο Ιδιότητες ονάδων - συστήατος που βασίζονται σε διάφορους τύπους γήρανσης Έχουε ήδη αναφερθεί στην έννοια της «γήρανσης» ιας ονάδας ή ενός συστήατος κατά την ελέτη IF / DF χρόνων ζωής Συγκεκριένα έχουε θεωρήσει ότι ια ονάδα «φθείρεται» ή «γερνάει» όταν έχει αύξουσα βαθίδα αποτυχίας Στην πράξη όως η απαίτηση αυτή είναι κάπως περιοριστική και αντιλαβανόαστε ότι ίσως υπάρχουν και άλλες πιο γενικές περιπτώσεις όπου θα πορούσαε να θεωρήσουε ότι η ονάδα φθείρεται όσο περνά ο χρόνος Στη συνέχεια λοιπόν θα ελετήσουε εν συντοία και διάφορους άλλους τύπους γήρανσης που όπως θα αποδειχθεί είναι πιο γενικοί από την IF / DF περίπτωση Η ελέτη αυτή κυρίως γίνεται ε σκοπό την εξαγωγή χρήσιων φραγάτων για την αξιοπιστία ιας ονάδας ή ενός συστήατος υποθέτοντας ότι η ονάδα ή οι ονάδες του συστήατος ακολουθούν κάποιο συγκεκριένο τύπο «γήρανσης» Διάφοροι τύποι γήρανσης Η πρώτη έννοια γήρανσης που θα δούε χαρακτηρίζεται από την αυξανόενη έση βαθίδα αποτυχίας Ορισός Μία κατανοή F ε βαθίδα αποτυχίας λ θα έχει την ιδιότητα IFA Icesg Flue e Avege αν η συνάρτηση Λ είναι αύξουσα ως προς συντ F IFA λ Επειδή ως γνωστό Λ l F ισοδύναα πορούε να πούε ότι F IFA αν η συνάρτηση l είναι αύξουσα ως προς Όπως φαίνεται από την επόενη πρόταση η ιδιότητα IFA είναι γενικότερη της IF Πρόταση Αν F IF τότε και F IFΑ Απόδειξη Η παράγωγος της συνάρτησης Λ/ είναι τότε Λ λ λ λ λ Λ / και αν η λ είναι αύξουσα διότι λ λ για κάθε [] δηλαδή λ Λ και η εποένως παράγωγος της Λ/ είναι θετική για Μπορεί εύκολα να δειχθεί έσω αντιπαραδείγατος ότι δεν ισχύει το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης Μία ακόη έννοια γήρανσης προκύπτει παρατηρώντας ότι ία ονάδα πορεί και πάλι να θεωρηθεί ότι φθείρεται όταν είναι καλύτερη καινούρια παρά χρησιοποιηένη Αυτό συβαίνει όταν > y P > y y P Ιδιαίτερα έχουε τον επόενο ισοδύναο ορισό Ορισός Μία κατανοή F θα έχει την ιδιότητα NBU New Bee h Use αν ισχύει ότι y y y Η ιδιότητα NBU είναι γενικότερη από την IFA Αυτό προκύπτει από την επόενη πρόταση Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 69

Πρόταση 4 Αν F IFA τότε και F NBU Απόδειξη Θέτουε c Λ/ Από την ιδιότητα IFA θα ισχύει ότι c y c και c y c y δηλαδή c y m{c c y } Εποένως Λ y c y y m{ c cy} y m{ c cy} y m{ c cy} c yc Λ Λ y y Λ y Λ Λ y και άρα y e e y για κάθε y Τέλος πορούε επίσης να θεωρήσουε ότι ια ονάδα κατά κάποιο τρόπο φθείρεται αν ο έσος υπολειπόενος χρόνος ζωής της όταν έχει ήδη λειτουργήσει χρόνο είναι ικρότερος από τον έσο αρχικό χρόνο ζωής της δηλ όταν είναι καινούρια Ορισός 5 Μία κατανοή F θα έχει την ιδιότητα NBUE New Bee h Use Eeco αν ισχύει ότι E E για κάθε ~ F Η παραπάνω συνθήκη είναι ισοδύναη ε την Είναι εύκολο να διαπιστώσουε ότι αυτή η έννοια είναι ακόη γενικότερη από την έννοια NBU Πρόταση 6 Αν F NBU τότε και F NBUE Απόδειξη Για κάθε ισχύει ότι E E Άρα τελικά για τους παραπάνω τέσσερις τύπους γήρανσης ισχύει ότι IF IFA NBU NBUE Όοια ε τις κλάσεις IFA Icesg Flue e Avege NBU New Bee h Use και NBUE New Bee h Use Eeco ορίζονται οι αντίστοιχες κλάσεις DFA Decesg Flue e Avege NWU New Wose h Use και NWUE New Wose h Use Eeco Ο ορισοί γίνονται ε τον προφανή τρόπο όλες οι ανισότητες στους ορισούς των IFA NBU NBUE θα είναι αντεστραένες και όοια αποδεικνύεται ότι DF DFA NWU NWUE Σχηατικά: NWUE NWU DFA DF IF IFA NBU NBUE εκθετική κατανοή Η όνη κατανοή που τετριένα ανήκει σε όλες τις παραπάνω κλάσεις είναι η εκθετική κατανοή Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 7

Φράγατα αξιοπιστίας ε βάση ιδιότητες γήρανσης Είναι αρκετά χρήσιη η παρατήρηση ότι ία ονάδα ή ένα σύστηα ε την ιδιότητα IF και έσο χρόνο ζωής είναι περισσότερο ή το ίδιο αξιόπιστη από ία ονάδα ε χρόνο ζωής που ακολουθεί την εκθετική / κατανοή για [ ] / Θεώρηα 7 Αν Τ ~ F IF και ΕΤ τότε e [ ] Απόδειξη Αν F IF τότε η Λ είναι αύξουσα κυρτή συνάρτηση διότι Λ λ: η-αρνητική και αύξουσα Συνεπώς η Λ αντιστρέφεται και ας συβολίσουε ε Λ - την αντίστροφή της η οποία θα είναι κοίλη Η ως κοίλη συνάρτηση θα βρίσκεται κάτω από τις εφαπτόενές τις ευθείες Εποένως χρησιοποιώντας την ευθεία που εφάπτεται στην για θα ισχύει ότι για Άρα E [ e ] Λ e e e e e e e δηλαδή Λ και άρα Λ Η F είναι IF και εποένως F IFA δηλαδή η Λ/ είναι αύξουσα και συνεπώς για < θα είναι Λ / και άρα τελικά e e Λ Λ Λ Αν Τ DF ισχύει η αντίστροφη ανισότητα Εποένως αν έχουε λόγους να θεωρούε ότι ία ονάδα φθείρεται ε την πάροδο του χρόνου ώστε να έχει αύξουσα βαθίδα αποτυχίας F IF τότε η αξιοπιστία της στο χρόνο [ ] είναι τουλάχιστον e -/ Το συγκεκριένο αποτέλεσα πορεί να χρησιοποιηθεί και για την κατασκευή φράγατος αξιοπιστίας ενός οποιουδήποτε ονότονου συστήατος Συγκεκριένα έστω η συνάρτηση αξιοπιστίας ενός συστήατος ε αξιοπιστίες ονάδων Αν οι έσοι χρόνοι ζωής των ονάδων είναι τότε / / / e e e m{ } / διότι η είναι αύξουσα κατά συντεταγένη συνάρτηση και e [ ] Αν οι χρόνοι ζωής των ονάδων είναι DF τότε αντίστοιχα προκύπτει ένα άνω αντί κάτω φράγα αξιοπιστίας Αν τώρα έχουε ονάδες ε IFA χρόνους ζωής και γνωρίζουε την τιή της αξιοπιστίας τους σε κάποια συγκεκριένη χρονική στιγή τότε πορούε να κατασκευάσουε απλά φράγατα αξιοπιστίας για κάθε ε βάση την επόενη πρόταση Πρόταση 8 Αν Τ IFA Τ ~ F και για κάποιο ισχύει < < τότε όπου λ l λ e για και λ e για Απόδειξη Αφού Τ IFA η συνάρτηση Λ/ είναι αύξουσα και εποένως για Λ Λ Λ Λ l l l λ Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 7

από όπου προκύπτει ότι λ e Όοια αποδεικνύεται και η δεύτερη ανισότητα για > Στην περίπτωση ονάδων DFA ισχύει ανάλογη πρόταση ε τις ανισότητες στα φράγατα αντεστραένες Όπως και στην IF περίπτωση τα παραπάνω φράγατα πορούν να χρησιοποιηθούν για τη κατασκευή φραγάτων για την αξιοπιστία ονότονων συστηάτων που αποτελούνται από IFA ονάδες Ειδικότερα αν για συγκεκριένα γνωρίζουε ότι : αξιοπιστίες ονάδων τότε λ λ λ e e e για m λ λ λ e e e για m όπου λ l / Υπογραίζεται ότι τα παραπάνω φράγατα πορούν να συνδυαστούν ε αρκετά από τα φράγατα για την που είδαε στο πρώτο κεφάλαιο Μεταβίβαση ιδιοτήτων γήρανσης από τις ονάδες στο ονότονο σύστηα Έστω ότι έχουε ένα ονότονο σύστηα το οποίο αποτελείται από ονάδες που ανήκουν σε κάποια κλάση γήρανσης πχ IF ή IFA κοκ Ένα ενδιαφέρον ερώτηα είναι αν και το σύστηα θα ανήκει στην ίδια ή σε άλλη κλάση γήρανσης Αν πχ οι ονάδες είναι IF τότε θα είναι και το σύστηα IF; δηλ IF IF Κάτι τέτοιο πχ ισχύει για το σειριακό σύστηα βλ 7α αλλά δεν ισχύει γενικά βλ Παράδειγα 7β όπου δύο IF ονάδες παράλληλα συνδεδεένες δεν οδηγούν σε IF σύστηα Για να διαπιστώσουε λοιπόν αν ένα σύστηα ε IF ονάδες διατηρεί την ιδιότητα IF θα πρέπει να υπολογίσουε την βαθίδα αποτυχίας του και να εξετάσουε αν είναι αύξουσα Εναλλακτικά σε ορισένες περιπτώσεις πορούε να χρησιοποιήσουε την επόενη πρόταση η οποία ας βοηθά να εξετάσουε αεσότερα αν ένα σύστηα διατηρεί την ιδιότητα αυτή Πρόταση 9 Έστω η συνάρτηση αξιοπιστίας ενός συστήατος ονάδων ως συνάρτηση της αξιοπιστίας των ονάδων του Αν η συνάρτηση g < < είναι φθίνουσα αύξουσα τότε το σύστηα διατηρεί την ιδιότητα IF DF Απόδειξη Έστω λ η αξιοπιστία και η βαθίδα αποτυχίας των ονάδων σε χρόνο Η αξιοπιστία του συστήατος σε χρόνο θα είναι και το σύστηα θα έχει βαθίδα αποτυχίας λ g λ Ας υποθέσουε τώρα ότι η g είναι φθίνουσα και οι χρόνοι ζωής των ονάδων είναι IF δηλαδή η λ είναι αύξουσα Η συνάρτηση g ως σύνθεση φθίνουσας g ε φθίνουσα είναι αύξουσα αν > τότε και άρα g g Επίσης η g είναι η-αρνητική συνάρτηση διότι για ονότονα συστήατα έχουε αποδείξει στο πρώτο κεφάλαιο ότι ενώ προφανώς > > Άρα η συνάρτηση λ είναι γινόενο αυξουσών και η-αρνητικών συναρτήσεων και συνεπώς αποτελεί αύξουσα συνάρτηση Άρα τελικά αν οι ονάδες είναι IF και g φθίνουσα τότε και το σύστηα είναι IF Όοια αν η g είναι αύξουσα και η λ είναι φθίνουσα η συνάρτηση g ως σύνθεση αύξουσας g ε φθίνουσα είναι φθίνουσα αν > τότε και άρα g g Άρα η συνάρτηση λ είναι γινόενο φθινουσών και η-αρνητικών συναρτήσεων και Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 7

Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 7 συνεπώς αποτελεί φθίνουσα συνάρτηση Άρα τελικά αν οι ονάδες είναι DF και g αύξουσα τότε και το σύστηα είναι DF Παράδειγα -από-τα-:g σύστηα Ας εξετάσουε αν το -από-τα-:g σύστηα διατηρεί την ιδιότητα του IF χρησιοποιώντας την προηγούενη πρόταση Αρχικά λοιπόν υπολογίζουε την < < g Γνωρίζουε ότι Εποένως και θέτοντας στο δεύτερο άθροισα βρίσκουε!!! Είναι ενδιαφέρον ότι από την παραπάνω σχέση πορούε να εξάγουε έναν διαφορετικό τύπο για το Συγκεκριένα αν ολοκληρώσουε την παραπάνω σχέση ως προς από έως [ τότε!!! Το αριστερό ολοκλήρωα είναι ίσο ε διότι και εποένως!!! Άρα η συνάρτηση g θα είναι g και αλλάζοντας εταβλητή στο ολοκλήρωα συγκεκριένα θέτοντας / βρίσκουε g Παρατηρώντας τώρα ότι η συνάρτηση / / είναι αύξουσα ως προς προκύπτει τελικά ότι η g είναι φθίνουσα συνάρτηση Άρα το σύστηα αυτό διατηρεί την ιδιότητα IF Από το γεγονός αυτό πορούε τώρα εύκολα να εξάγουε φράγατα για την αξιοπιστία του συστήατος πχ βλ Πρόταση 7 έχοντας υποθέσει όνο ότι οι ονάδες του είναι IF χωρίς να γνωρίζουε την ακριβή κατανοή του χρόνου ζωής τους

Χρησιοποιώντας τώρα και κάποιες από τις σχέσεις που αποδείξαε παραπάνω πορούε εύκολα να εκφράσουε και την συνάρτηση θνησιότητας του συγκεκριένου συστήατος Θα είναι!!! ενώ η βαθίδα αποτυχίας του συστήατος θα είναι λ Όπως παρατηρήσαε παραπάνω η ιδιότητα IF δεν εταβιβάζεται πάντα από τις ονάδες στο σύστηα Είναι πολύ σηαντικό το γεγονός ότι αντίθετα η ιδιότητα IFA εταβιβάζεται πάντα από τις ονάδες στο σύστηα Έτσι αν πχ γνωρίζουε ότι οι ονάδες είναι IFA τότε ο χρόνος ζωής του ονότονου συστήατος θα είναι IFA Το γεγονός αυτό πορεί να οδηγήσει στην κατασκευή φραγάτων για την αξιοπιστία του συστήατος πχ βλ Πρόταση 8 έχοντας υποθέσει όνο ότι οι ονάδες του είναι IFΑ Για την απόδειξη του συγκεκριένου αποτελέσατος Θεώρηα παρακάτω θα βασιστούε στην επόενη πρόταση Πρόταση Αν είναι η συνάρτηση αξιοπιστίας ενός συστήατος ως συνάρτηση των αξιοπιστιών των ονάδων του τότε όπου [] Απόδειξη Η απόδειξη θα γίνει επαγωγικά Για θα έχουε ένα σύστηα ε ία ονάδα και εποένως η αξιοπιστία του συστήατος θα είναι ίση ε την αξιοπιστία της ονάδας δηλ Είναι λοιπόν προφανές ότι ισχύει η ανισότητα της πρότασης για άλιστα ισχύει ισότητα διότι Έστω τώρα ότι η ανισότητα ισχύει για ονάδες Θεωρούε ένα σύστηα ε ονάδες Αν φ είναι η συνάρτηση δοής του συστήατος και Χ Χ Χ Χ το διάνυσα κατάστασης των ονάδων θα ισχύει γενικά ότι P φ X P φ X X P X P φ X X P X όπου - - και εποένως Οι όως πορούν να θεωρηθούν ως αξιοπιστίες συστηάτων ε ονάδες και από το βήα της επαγωγής θα ισχύει για αυτές η ανισότητα της πρότασης Άρα Από την παραπάνω σχέση και το γεγονός ότι λ Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 74 λ y λ λ y λ [] y η συνάρτηση g [] είναι κυρτή και άρα για u u θα ισχύει ότι gu gu gu gu Η ανισότητα προκύπτει λαβάνοντας λy u λy u y θα ισχύει τελικά ότι

δηλαδή η ανισότητα ισχύει και για ονάδες Είαστε τώρα σε θέση να αποδείξουε το επόενο Θεώρηα Ένα ονότονο σύστηα που αποτελείται από ανεξάρτητες ονάδες ε IFA χρόνους ζωής θα έχει IFA χρόνο ζωής Απόδειξη Έστω η συνάρτηση αξιοπιστίας του συστήατος ως συνάρτηση των αξιοπιστιών των ονάδων του Ισχύει τώρα γενικά ότι F IFA τότε και όνο τότε αν [] F Πράγατι F IFA Λ/ Λ/ για [] η οποία χρησιοποιώντας ότι Λ l είναι ισοδύναη ε την l / l [] Εποένως αφού εδώ οι ονάδες έχουν IFA χρόνους ζωής θα ισχύει ότι [] : αξιοπιστία -ονάδας στο χρόνο Αν είναι η αξιοπιστία του συστήατος και [] θα ισχύει ότι διότι η είναι αύξουσα ως προς συντεταγένες Χρησιοποιώντας και την προηγούενη πρόταση προκύπτει τελικά ότι [] και εποένως ο χρόνος ζωής του συστήατος θα είναι IFA Τέλος αξίζει να σηειωθεί ότι η ιδιότητες DF και DFA δεν διατηρούνται κατά την σύνθεση ονότονων συστηάτων Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 75

Κεφάλαιο 4 Εισαγωγή στη Στατιστική Θεωρία Αξιοπιστίας Σε αυτό το κεφάλαιο θα προσπαθήσουε πολύ εισαγωγικά να εξετάσουε προβλήατα που σχετίζονται ε την εκτίηση παραέτρων από κατανοές χρόνων ζωής Το γενικό πρόβληα τίθεται ως εξής: Υποθέτουε ότι οι χρόνοι ζωής κάποιων συγκεκριένων ονάδων ακολουθούν ια γνωστή κατανοή που όως εξαρτάται από κάποιες άγνωστες παραέτρους πχ εκθετική ε ά- γνωστη παράετρο λ Για να αξιοποιήσουε τα θεωρητικά αποτελέσατα που εξαγάγαε στα προηγούενα κεφάλαια πχ εύρεση αξιοπιστίας ενός συστήατος που αποτελείται από αυτές τις ονάδες θα πρέπει προφανώς να γνωρίζουε και τις τιές των παραέτρων της κατανοής Σε τέτοιες περιπτώσεις συνήθως χρησιοποιούε ένα σύνολο από ονάδες του συγκεκριένου είδους τις ο- ποίες θέτουε σε λειτουργία και καταγράφουε τους χρόνους ζωής τους Από αυτό το στατιστικό δείγα εκτιούε τις παραέτρους που αφορούν τους χρόνους ζωής και εποένως πορούε πχ να εκτιήσουε και την αξιοπιστία ιας ονάδας ή ενός συστήατος Συγκεκριένα έστω ότι έχουε στη διάθεσή ας τους χρόνους ζωής Τ Τ Τ από ανεξάρτητες ονάδες Υποθέτουε ότι οι τ Τ είναι ανεξάρτητες και ακολουθούν την ίδια κατανοή F δηλαδή P F; λ όπου λ είναι κάποια άγνωστη παράετρος ή παράετροι δηλ λ λ λ λ Έστω επίσης ; λ F; λ και ; λ F; λ/ η συνάρτηση αξιοπιστίας και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας αντίστοιχα της κατανοής των χρόνων ζωής 4 Εισαγωγικές έννοιες εκτιητικής Στη συνέχεια υπενθυίζονται ορισένες θεελιώδεις έννοιες από την Εκτιητική α Τυχαίο δείγα τδ από ία σκ F ; λ καλείται ένα σύνολο Τ Τ Τ ανεξάρτητων και ισόνοων τ που ακολουθούν την κατανοή F ; λ β Στατιστική συνάρτηση σσ από ένα τδ Τ Τ Τ καλείται ία συνάρτηση των Τ Τ Τ η οποία δεν εξαρτάται από την παράετρο λ πχ m{ } / γ Εκτιήτρια συνάρτηση ιας παραέτρου λ ή ενός διανύσατος παραέτρων ε βάση το τδ Τ Τ Τ καλείται ία στατιστική συνάρτηση των Τ Τ Τ η οποία λαβάνει τιές "κοντά" στο λ ε "εγάλη" πιθανότητα Συνήθως συβολίζεται ε λ ˆ g δ Αερόληπτη Εκτιήτρια ιας παραέτρου λ καλείται ία εκτιήτρια συνάρτηση λˆ του λ η οποία έχει αναενόενη τιή ίση ε λ δηλαδή E λˆ E g λ Αυτό χονδρικά σηαίνει ότι η λˆ θα λαβάνει τιές "γύρω" από το λ ε Αερόληπτη Εκτιήτρια Ελαχίστης Διασποράς αεεδ Μία αερόληπτη εκτιήτρια λˆ του λ θεωρείται ικανοποιητική δηλ λαβάνει τιές "κοντά" στο λ ε "εγάλη" πιθανότητα αν έχει "ικρή" διασπορά Ανάεσα σε δύο αερόληπτες εκτιήτριες του λ που κατασκευάζονται ε βάση το ίδιο τδ καλύτερη συνήθως θεωρείται αυτή ε την ικρότερη διασπορά Με αυτή την έννοια ια αερόληπτη εκτιήτρια θα θεωρείται βέλτιστη αν έχει τη ικρότερη διασπορά από όλες Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 76

τις δυνατές αερόληπτες εκτιήτριες του λ που πορούν να κατασκευασθούν από το ίδιο τδ Σε αυτή την περίπτωση θα καλείται αερόληπτη εκτιήτρια ελαχίστης διασποράς στ Συνεπής Εκτιήτρια Αν ια εκτιήτρια λˆ του λ "προσεγγίζει" το λ όσο το έγεθος του δείγατος αυξάνεται δηλαδή λˆ g λ όπου η σύγκλιση λαβάνεται κατά πιθανότητα τότε η εκτιήτρια καλείται συνεπής Μία αρκετά απλή έθοδος έσω της οποίας πορούε να εξάγουε ασυπτωτικά για βέλτιστες εκτιήτριες είναι η έθοδος έγιστης πιθανοφάνειας Η εκτιήτρια που προκύπτει από αυτή τη έθοδο καλείται εκτιήτρια έγιστης πιθανοφάνειας Υπενθυίζεται ο ορισός της παρακάτω Ορισός 4 α Συνάρτηση Πιθανοφάνειας Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του τυχαίου δείγατος Τ Τ Τ λ ; λ ; λ θεωρούενη ως συνάρτηση των παραέτρων λ καλείται συνάρτηση πιθανοφάνειας του δείγατος β Εκτιήτρια Μέγιστης Πιθανοφάνειας Μία εκτιήτρια λˆ καλείται εκτιήτρια έγιστης πιθανοφάνειας επ ή ME της παραέτρου ή των παραέτρων λ αν εγιστοποιεί τη συνάρτηση πιθανοφάνειας δηλαδή λˆ su λ Συνήθως αντί να αναζητούε το σηείο εγίστου της λ είναι πιο εύκολο να αναζητούε το σηείο εγίστου του λογαρίθου της lλ l λ έχουν το ίδιο σηείο εγίστου διότι η συνάρτηση l είναι αύξουσα Επίσης αποδεικνύεται η επόενη χρήσιη πρόταση σύφωνα ε την οποία η επ ιας συνάρτησης του λ είναι ίση ε τη συνάρτηση της επ του λ Πρόταση 4 Αναλλοίωτου της επ Αν h είναι ία συνάρτηση - τότε η επ της hλ είναι η h λˆ δηλαδή h λ h ˆ λ Παρατήρηση 4 Ασυπτωτικές ιδιότητες της επ Οι επ έχουν ασυπτωτικά πολύ καλές ιδιότητες Πιο συγκεκριένα αν λˆ είναι επ του λ από δείγα Τ Τ Τ εγέθους αποδεικνύεται ότι κάτω από κατάλληλες συνθήκες οαλότητας της σππ των Τ ασυπτωτικά για ˆ λ λ ~ N λ I λ όπου I λ E l λ Με άλλα λόγια η επ του λ ακολουθεί ασυπτωτικά κανονική κατανοή ε έση τιή λ δηλ είναι ασυπτωτικά αερόληπτη και διασπορά ίση ε το αντίστροφο της πληροφορίας κατά Fshe του δείγατος Με άλλα λόγια η επ είναι ασυπτωτικά ελαχίστης διασποράς διότι η διασπορά της ισούται ασυπτωτικά ε το γνωστό φράγα Cme-o υπενθυίζεται ότι η διασπορά ιας οποιασδήποτε αε του λ δεν πορεί να είναι ικρότερη από το φράγα αυτό Όταν τότε I λ και εποένως λˆ λ δηλ η επ είναι συνεπής εκτιήτρια του λ Άρα η επ του λ πορεί να θεωρηθεί ως η βέλτιστη εκτιήτρια του λ όταν έχουε ένα σχετικά εγάλο δείγα λ Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 77

4 Εκτίηση παραέτρων από πλήρη δεδοένα 4 Εκτίηση παραέτρων χρόνων ζωής «αγέραστων» ονάδων Ως απλούστερη πορεί να θεωρηθεί η περίπτωση που εξετάζουε ονάδες ε χρόνο ζωής που ακολουθεί την εκθετική κατανοή ε παράετρο λ ε σταθερή βαθίδα αποτυχίας δηλαδή «αγέραστες» Έστω λοιπόν τέτοιες ανεξάρτητες ονάδες ε χρόνους ζωής που έχουν σππ λ ; λ λ e > Η συνάρτηση πιθανοφάνειας του δείγατος θα είναι ίση ε λ λ ; λ λ e και η αντίστοιχη συνάρτηση λογαριθο-πιθανοφάνειας l λ l λ l λ λ είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι εγιστοποιείται εξισώνουε την πρώτη παράγωγο ως προς λ ε το και λύνουε ως προς λ για λ Εποένως η εκτιήτρια έγιστης πιθανοφάνειας επ της παραέτρου λ θα δίνεται από τον τύπο ˆ λ Η λˆ δεν είναι αερόληπτη εκτιήτρια αε του λ διότι είναι σχετικά εύκολο να δειχθεί ότι E ˆ λ E Y Y λ λ e! λ Γ λ! λ όπου Y ~ Γλ αλλά προφανώς είναι ασυπτωτικά αερόληπτη Για ικρά δείγατα πορούε να χρησιοποιήσουε την αερόληπτη αποδεικνύεται ότι είναι και αεεδ λˆ / Επίσης η διασπορά της υπολογίζεται ότι είναι διότι λ λ V ˆ λ E ˆ λ E ˆ λ λ λ λ λ Γ λ E ˆ λ E Y! e Y! λ Από τα παραπάνω και την Πρόταση 4 αναλλοίωτου της επ προκύπτει τώρα άεσα η επόενη πρόταση Πρόταση 44 Αν Τ Τ Τ είναι χρόνοι ζωής όοιων αγέραστων ονάδων τότε η αξιοπιστία τους e θα εκτιάται από την λ επ Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 78

όπου είναι ο έσος όρος των Τ Τ Τ ˆ e λˆ e Η παραπάνω εκτιήτρια της αξιοπιστίας δεν είναι αερόληπτη αλλά ως επ είναι ασυπτωτικά για εγάλο αερόληπτη και ελαχίστης διασποράς Αποδεικνύεται ότι η αεεδ της e -λ / ιας αγέραστης ονάδας είναι / e για εγάλο Άσκηση 45 Έστω ένα σειριακό σύστηα το οποίο αποτελείται από «αγέραστες» ονάδες ε άγνωστη παράετρο λ Αν οι χρόνοι ζωής ονάδων όοιων ε αυτών του συστήατος είναι: 6 5 6 9 65 9 7 47 ηέρες να εκτιήσετε την αξιοπιστία του σειριακού συστήατος σε χρόνο ηέρες Εκτιήστε και τον έσο χρόνο ζωής του Αν ε όοιες ονάδες κατασκευάσουε παράλληλο σύστηα εκτιήστε την αξιοπιστία του σε χρόνο ηέρες Εκτιήστε και τον έσο χρόνο ζωής του Έστω το σύστηα του οποίου η δοή καθορίζεται από το σχήα: A B Οι τρείς αυτές ονάδες είναι όοιες ε αυτές του Εκτιήστε την συνάρτηση αξιοπιστίας του συστήατος και την πιθ λειτουργίας του σε χρόνο 5 ηέρες Επίσης δώστε και ια εκτίηση για το έσο χρόνο ζωής του Η αξιοπιστία του σειριακού συστήατος στο χρόνο ως γνωστό είναι λ e Η επ της παραπάνω ποσότητας είναι η ˆ e ˆ λ e όπου 6 5 6 9 65 9 7 47 65 και άρα ˆ λ / / 65 54 Εποένως η αξιοπιστία του σειριακού συστήατος σε χρόνο ηέρες θα είναι ˆ ˆ λ e e 65 46 Ο έσος χρόνος ζωής του ως γνωστό βλ Παράδειγα είναι /λ ο οποίος εκτιάται από το / ˆ λ 65/ 5 ηέρες Όοια εργαζόαστε και για το παράλληλο σύστηα Η αξιοπιστία του στο χρόνο είναι λ e και εποένως η αξιοπιστία του σε χρόνο ηέρες θα είναι ˆ ˆ λ e e 65 99 Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 79

Ο έσος χρόνος ζωής του βλ Παράδειγα είναι E λ ο οποίος εκτιάται από το E 65 85 ηέρες ˆ λ Από το ο Κεφάλαιο έχουε διαπιστώσει ότι όπου είναι οι αξιοπιστίες πιθ λειτουργίας των ονάδων του Άρα η αξιοπιστία του συγκεκριένου συστήατος θα είναι και εποένως e e λ λ ˆ 5 5 ˆ ˆ λ λ 65 e e e e 65 5 Ο έσος χρόνος ζωής του συστήατος αυτού βλ Παράδειγα είναι κτιάται από το ˆ λ 65 4 ηέρες E ο οποίος ε- λ 4 Εκτίηση παραέτρων για χρόνους ζωής που ακολουθούν κατανοή Webull Στην παράγραφο αυτή θα εξετάσουε την περίπτωση που έχουε ονάδες ε χρόνο ζωής που ακολουθεί την κατανοή Webull ε παραέτρους λ Έχουε διαπιστώσει από το προηγούενο κεφάλαιο ότι αυτή είναι ια αρκετά γενική περίπτωση διότι η κατανοή αυτή εφανίζεται ως όριο πολλών άλλων κατανοών βλ Παρατήρηση 5 Επίσης έχει παρατηρηθεί ότι στις περισσότερες εφαρογές στην πράξη οι χρόνοι ζωής διαφόρων ονάδων πορεί να θεωρηθεί ότι ακολουθούν αυτή την κατανοή Έστω λοιπόν τέτοιες ανεξάρτητες ονάδες ε χρόνους ζωής που έχουν σκ και σππ F ; λ e ; λ e > > όπου για ευκολία αναπαραετροποιούε θέτοντας λ την σκ της Webull που είχαε δει στο προηγούενο κεφάλαιο Στη συνέχεια γράφοντας Webull θα θεωρούε την κατανοή ε την παραπάνω σππ Θα εξετάσουε δύο περιπτώσεις που έχουν να κάνουν ε το αν γνωρίζουε την παράετρο ή όχι Α Περίπτωση: Η παράετρος α είναι γνωστή Αν η παράετρος είναι γνωστή τότε αρκεί να βρούε την επ της παραέτρου εγιστοποιώντας την συνάρτηση λογαριθο-πιθανοφάνειας η οποία τώρα θα είναι ίση ε l l l ; l ; l l l Λαβάνοντας την πρώτη παράγωγο ως προς και εξισώνοντας ε προκύπτει e Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 8

l και άρα ˆ Όπως και στην περίπτωση της εκθετικής κατανοής η ˆ δεν είναι αερόληπτη εκτιήτρια αε του Αυτό είναι εύκολο να δειχθεί διότι αν Τ ~ Webull τότε η τ X ~ Εκθετική / / / P X > P > P > e e X ~ Γάα Εποένως όοια και ε την περί- και εποένως το άθροισα πτωση της εκθετικής Y E ˆ E Y Y e! Προφανώς όως είναι ασυπτωτικά αερόληπτη Και εδώ για ικρά δείγατα πορούε να χρησιοποιήσουε την αερόληπτη αποδεικνύεται ότι είναι και αεεδ ˆ / Επίσης η διασπορά της υπολογίζεται όοια ε την περίπτωση της εκθετικής κατανοής ότι είναι V ˆ Από τα παραπάνω και την Πρόταση 4 αναλλοίωτου της επ προκύπτει η επόενη πρόταση Πρόταση 46 Αν Τ Τ Τ είναι χρόνοι ζωής όοιων ονάδων που ακολουθούν την κατανοή Webull τότε η αξιοπιστία τους e θα εκτιάται από την επ ˆ ˆ e e Η παραπάνω εκτιήτρια της αξιοπιστίας δεν είναι αερόληπτη αλλά ως επ είναι ασυπτωτικά για εγάλο αερόληπτη και ελαχίστης διασποράς Αποδεικνύεται ότι η αε της e είναι / όταν / προσεγγιστικά ε την επ της παραπάνω πρότασης < ενώ για εγάλο προφανώς ισούται Η επόενη πρόταση αφορά την εκτίηση του έσου χρόνου ζωής ονάδων ε χρόνο ζωής που ακολουθεί την κατανοή Webullα Υπενθυίζεται ότι αν Τ ~ Webull τότε βλ όπου λ / E Γ Πρόταση 47 Αν Τ Τ Τ είναι χρόνοι ζωής όοιων ονάδων που ακολουθούν την κατανοή Webull τότε ο έσος χρόνος ζωής τους εκτιάται από την επ / / E Γ ˆ Γ Και πάλι πορούε να πούε ότι η παραπάνω εκτιήτρια της ΕΤ είναι ασυπτωτικά για εγάλο αερόληπτη και ελαχίστης διασποράς Αποδεικνύεται σχετικά εύκολα ότι γίνεται αερόληπτη αν την πολλαπλασιάσουε ε Γ / Γ / Η ποσότητα αυτή είναι σχεδόν ίση ε για εγάλο B Περίπτωση: Η παράετρος είναι άγνωστη Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 8

Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 8 Αν η παράετρος είναι άγνωστη τότε θα πρέπει να εκτιήσουε και το και το Η συνάρτηση λογαριθο-πιθανοφάνειας θα είναι ίδια ε παραπάνω αλλά τώρα θα θεωρούε ότι εξαρτάται από δύο παραέτρους: l l l ; l l Για να βρούε που εγιστοποιείται θα πρέπει να πάρουε τις ερικές παραγώγους ως προς και και να τις εξισώσουε ε το θα πρέπει και ο πίνακας Hesse των δευτέρων ερικών παραγώγων να είναι οριστικά αρνητικός Συγκεκριένα θα έχουε τις δύο εξισώσεις l l l l Από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι ˆ / ˆ και αντικαθιστώντας το στην δεύτερη εξίσωση παραπάνω προκύπτει ότι το α που εγιστοποιεί την l Τ πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση l l l l g η οποία δυστυχώς δεν λύνεται αναλυτικά δηλ έσω ενός κλειστού τύπου ως προς Αν όως γνωρίζουε τις τιές του τδ δηλαδή βρισκόαστε ετά την πραγατοποίηση του τυχαίου πειράατος τότε πορούε να βρούε το που ηδενίζει την συνάρτηση g χρησιοποιώντας εθόδους αριθητικής ανάλυσης Αρχικά παρατηρούε ότι η παραπάνω συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα για > διότι η παράγωγός της είναι l l g l l > ε > g l } { l m και εποένως η συνάρτηση g έχει ία ρίζα στο η οποία λαβάνεται ως η επ του Για να βρούε την ρίζα αυτή πορούε να χρησιοποιήσουε την επαναληπτική έθοδο Newo-hso ία σύντοη περιγραφή αυτής της εθόδου δίδεται στην επόενη παράγραφο Αν â είναι τιή που εγιστοποιεί την συνάρτηση πιθανοφάνειας ισοδύναα ˆ g τότε η επ του από την πρώτη παραπάνω εξίσωση τελικά θα είναι ˆ ˆ Για να ισχύει g > αρκεί να ισχύει l l > l l l > το οποίο ισχύει διότι οι όροι του παραπάνω διπλού αθροίσατος της δεξιάς ανισότητας ε είναι προφανώς ενώ το άθροισα των υπολοίπων πορεί να γραφεί ως l l l l l l l l >

Παρατήρηση 48 Αριθητική Επίλυση Έξίσωσης έσω της εθόδου Newo-hso Ας δούε το παραπάνω πρόβληα λίγο γενικότερα Έστω ότι θέλουε να βρούε την ρίζα ρ της εξίσωσης g για κάποια συνάρτηση g για την οποία υπάρχει η δεύτερη παράγωγος και είναι συνεχής σε ία περιοχή της ρίζας Η ιδέα είναι να ξεκινήσουε από ία αρχική τιή που θεωρούε ότι βρίσκεται κοντά στην ρίζα ρ που αναζητούε και να ξεκινήσουε ία κατάλληλη επαναληπτική διαδικασία Ξεκινώντας από το θα υπολογίσουε ένα που θα είναι πιο κοντά στην ρ από το θα βρούε ένα που θα είναι ακόη πιο κοντά στο ρ κοκ κατασκευάζουε ια ακολουθία έτσι ώστε ρ Όπως πορούε να δούε και στο ακόλουθο σχήα η πορεί να βρεθεί από την αν υπολογίσουε το σηείο που τένει η εφαπτοένη της g που περνά από το g τον οριζόντιο άξονα g - ρ φ g -4-6 g Είναι εύκολο να δούε ότι θα ισχύει g g φ και εποένως το θα υπολογίζεται από το ως εξής: g g Με ακριβώς τον ίδιο τρόπο πορούε να υπολογίσουε το από το και γενικότερα πορούε να υπολογίσουε το από το - ως εξής: g g Αποδεικνύεται ότι αν g ρ τότε υπάρχει ένα διάστηα [ρ ε ρ ε] τέτοιο ώστε για κάθε αρχική τιή του παραπάνω αλγορίθου σε αυτό διάστηα η παραγόενη ακολουθία συγκλίνει στην ρίζα ρ Παράδειγα 49 α Έστω ότι έχουε τδ Τ Τ Τ χρόνων ζωής από όοιες ονάδες που θεωρούε ότι έχουν βαθίδα αποτυχίας της ορφής λ δηλαδή ~ Webull Οι παρατηρηθείσες τιές των Τ Τ Τ είναι οι ακόλουθες σε χιλιάδες ώρες: 444868 7979 6856 749 8465 76647 6968 4 4968 957 587 9989 4857 7948 6667 54959 4 87 74 68954 9858 7985 84 695 75 76 67587 4947 867 744 α Προσδιορίστε τις παραέτρους του οντέλου Α περίπτωση: γνωστό πχ από προηγούενη στατιστική ελέτη ή από την φύση των ονάδων και έστω ίσο ε Β περίπτωση: άγνωστο Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 8

β Εκτιήστε το έσο χρόνο ζωής και την αξιοπιστία των ονάδων αυτών ετά από 5 ώρες γ Αν κατασκευάσουε το παρακάτω Παράλληλο - Σειριακό σύστηα χρησιοποιώντας 4 καινούριες ονάδες όοιες ε τις παραπάνω τότε ποια είναι ια εκτίηση της αξιοπιστίας του στις 5 ώρες λειτουργίας; δ Να εκτιήσετε και τον έσο χρόνο ζωής του παραπάνω Παράλληλου - Σειριακού συστήατος 4 Α Περίπτωση α ο είναι γνωστό και ίσο ε Aποένει να εκτιήσουε το του ο- ποίου η επ σύφωνα ε τα παραπάνω είναι ˆ 4 444868 744 β Μια εκτίηση του έσου χρόνου ζωής και της 5 των ονάδων αυτών θα είναι και Γ E / ˆ Γ5 / 4 ˆ 5 e ˆ 656 65 ώρες e 4 5 585 γ Το σύστηα αυτό έχει εσλ τα P {} P {4} και εποένως σδ ίση ε φ P 4 4 βλ ο Κεφάλαιο και αξιοπιστία 4 4 Οι 4 ονάδες από τις οποίες αποτελείται έχουν χρόνους ζωής ~ Webull και εποένως θα έχει αξιοπιστία στο χρόνο ίση ε 4 e 4 4 e e Μια εκτίηση της αξιοπιστίας του ετά από 5 ώρες λειτουργίας θα είναι ˆ 5 e ˆ 5 e 4 ˆ 5 5676 δ Γνωρίζουε ότι η έση τιή ιας τ που ακολουθεί την Webull ε παραέτρους λ είναι Γ - / / δηλαδή e Γ / e E Από την παραπάνω σχέση θα έχουε ότι ο έσος χρόνος ζωής του συστήατος θα είναι 4 e e Γ Γ / / 4 E ο οποίος εκτιάται από τον 4 Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 84

Γ Γ E ˆ 554 554 ώρες / / ˆ 4 ˆ Β Περίπτωση α ο δεν είναι γνωστό και εποένως πρέπει να εκτιήσουε και τις δύο παραέτρους Η επ του σύφωνα ε τα παραπάνω προκύπτει από την ρίζα της εξίσωσης l g l Οι τιές των Τ Τ Τ είναι γνωστές και εποένως πορούε να ξεκινήσουε τον επαναληπτικό αλγόριθο Newo- hso προσέγγισης της ρίζας Ξεκινάε ε και υπενθυίζεται ότι g l l Θα είναι για τους υπολογισούς προφανώς θα πρέπει έχει χρησιοποιηθεί Η/Υ g g 65795 58 g g 77 g g58 97 58 58 856 g g 58 64864 g g856 485 856 856 8695 g g 856 49794 g g8695 565 4 8695 8695 8654 g g 8695 4759 g 4 g8654 5 4 8654 8654 8654 g g 8654 476 4 και παρατηρούε ότι όλις σε 4 βήατα πήραε την τιή που ηδενίζει την παράγωγο της λογαριθο-πιθανοφάνειας του δείγατος Συγκεκριένα βρήκαε ότι g8654 δηλαδή πρακτικά για την ακρίβεια που εργαζόαστε Εποένως ˆ 8654 και ˆ ˆ 8654 Τα υπόλοιπα ερωτήατα απαντώνται ε τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση Α παραπάνω όνο που τώρα στην θέση των χρησιοποιούε τις παραπάνω εκτιήσεις τους 4 Εκτίηση παραέτρων από "λογοκριένα" cesoe δεδοένα Έστω ότι στο χρόνο τίθενται σε λειτουργία όοιες ονάδες προκειένου να καταγράψουε τους χρόνους ζωής ή διακοπής τους Τ Τ Τ και να εκτιήσουε τις παραέτρους που αφορούν την κατανοή των Τ Αν περιένουε έχρι να αποτύχουν όλες οι ονάδες τότε θα καταγράψουε τις τιές όλων των τ Τ Τ Τ και σε αυτή την περίπτωση λέε ότι έχουε πλήρη δεδοένα Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 85

Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 86 Υπάρχουν όως περιπτώσεις που δεν πορούε να περιένουε έχρι να αποτύχουν όλες οι ονάδες είτε διότι αυτό είναι οικονοικά είτε χρονικά ασύφορο Σε αυτές τις περιπτώσεις διακόπτουε το πείραα καταγραφής των χρόνων ζωής πριν να αποτύχουν όλες οι ονάδες Τα δεδοένα που λαβάνουε από ένα τέτοιο πείραα λέγονται "λογοκριένα" cesoe Στη συνέχεια θα εξετάσουε δύο βασικούς τύπους λογοκρισίας 4 Λογοκρισία τύπου Ι ye I cesog Σύφωνα ε την λογοκρισία αυτού του τύπου συνεχίζουε το πείραα καταγραφής των χρόνων ζωής των ονάδων έχρι έναν προκαθορισένο χρόνο c πχ ώρες Όσοι από τους χρόνους ζωής των ονάδων Τ Τ Τ είναι ικρότεροι ή ίσοι του c καταγράφονται ενώ οι υπόλοιποι δεν γίνονται γνωστοί Γενικότερα πορούε να πούε ότι συνεχίζουε το πείραα καταγραφής του χρόνου ζωής της -ονάδας έχρι έναν προκαθορισένο ή τυχαίο χρόνο C Συγκεκριένα είτε θα γνωρίζουε τον χρόνο ζωής της αν C είτε ότι απέτυχε σε χρόνο εγαλύτερο του C Για την -ονάδα καταγράφουε δηλαδή τις ακόλουθες δύο τυχαίες εταβλητές: > C C D αν αν και X m{ C } Η πρώτη είναι ια δείκτρια τ που δείχνει αν η -ονάδα έχει υποστεί "λογοκρισία" ή όχι και η δεύτερη εκφράζει το συνολικό χρόνο που λειτούργησε η -ονάδα έχρι την αποτυχία της ή έχρι τη διακοπή του πειράατος Για ευκολία θεωρούε ότι οι C C είναι ανεξάρτητες τ ανεξάρτητες των Εποένως τελικά καταγράφουε το δείγα Χ D Έστω Τ F Τ η σππ και η σκ των και C F C η σππ και η σκ των C Προκειένου να εκτιήσουε τις παραέτρους λ θα πρέπει να βρούε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του ζεύγους Χ D ώστε στη συνέχεια να κατασκευάσουε την συνάρτηση πιθανοφάνειας του δείγατος Χ D Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του ζεύγους Χ D ορίζεται ως το όριο h D h X P h D X [ lm < [ lm [ lm F h C h C P F h C h P C h C h Εποένως πορούε να γράψουε ε ια σχέση ότι C C D X F F και η συνάρτηση πιθανοφάνειας του δείγατος γενικά θα είναι C C D X F F ; λ λ Αν ο χρόνος διακοπής του πειράατος που αφορά την -ονάδα δεν είναι τυχαίος αλλά προκαθορισένος δηλαδή C c τότε η συνάρτηση πιθανοφάνειας του δείγατος γράφεται D X c F ; λ λ

Αν συβολίσουε ε Λ : > c } το σύνολο των ονάδων που "λογοκρίθηκαν" και Α { : c } το συπληρωατικό του τότε πορούε πιο απλά να γράψουε { A λ F c Λ Ας υποθέσουε ότι έχουε ονάδες ε χρόνους ζωής Τ Τ οι οποίες τίθενται σε λειτουργία στους χρόνος και τερατίζουε το πείραα στο χρόνο b Ο χρόνος ζωής Τ της -ονάδας καταγράφεται αν Τ b c ενώ "λογοκρίνεται" αν Τ > b c Εποένως πρόκειται για λογοκρισία τύπου Ι ε προκαθορισένους χρόνους διακοπής όπως έχουε περιγράψει παραπάνω Α Εκθετική κατανοή Ας θεωρήσουε ότι Τ ~ Εκθετική λ Η συνάρτηση πιθανοφάνειας του δείγατος θα είναι A Λ A λ Λ λc λ F c λe e όπου Λ : > c } Α : c } Η συνάρτηση λογαριθο-πιθανοφάνειας θα είναι { { A λ Λ λc l λ l λ lλe le l λ λ λ c A όπου A το πλήθος των ονάδων που δεν λογοκρίθηκαν Η παραπάνω εγιστοποιείται ως προς λ όταν l λ ˆ λ λ c λ A Λ c A Λ Λ m{ c } Ο συνολικός χρόνος λειτουργίας όλων των ονάδων στο πείραα έχρι να χαλάσουν ή να λογοκριθούν συβολίζεται ε ol me o es και είναι ίσος ε A X c Λ m{ c } Εποένως η εκτίηση έγιστης πιθανοφάνειας της παραέτρου λ θα είναι λˆ Β Κατανοή Webull Ας θεωρήσουε ότι Τ ~ Webull Η συνάρτηση πιθανοφάνειας του δείγατος θα είναι A Λ A Λ c F c e e όπου Λ : > c } Α : c } Η συνάρτηση λογαριθο-πιθανοφάνειας θα είναι { { l l l l c όπου A το πλήθος των ονάδων που δεν λογοκρίθηκαν Υποθέτοντας ότι το είναι γνωστό η παραπάνω εγιστοποιείται ως προς όταν A A Λ Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 87

l ˆ c A Λ Λ c A m{ c } Αν η παράετρος δεν είναι γνωστή τότε εργαζόαστε ανάλογα ε την περίπτωση που είχαε πλήρη δεδοένα δηλαδή βρίσκοντας την επ του χρησιοποιώντας την προσεγγιστική έθοδο Newo-hso Παράδειγα 4 Έστω ότι στο χρόνο τίθενται σε λειτουργία ονάδες ε σταθερή βαθίδα αποτυχίας Καταγράφουε τους χρόνους ζωής όσων ονάδων απέτυχαν τις c 8 πρώτες ώρες οπότε και σταατάε το πείραα Ελήφθησαν τα παρακάτω δεδοένα: ονάδα 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 Χ c c 6 79 c c 9 44 4 c 5 97 c c 44 c c 756 Εκεί όπου στον παραπάνω πίνακα υπάρχει c υπονοείται ότι η συγκεκριένη ονάδα δεν απέτυχε έχρι την διακοπή του πειράατος τις πρώτες 8 ώρες α Να εκτιηθεί ο έσος χρόνος ζωής των ονάδων και η αξιοπιστία τους στις ώρες β Έστω ία συσκευή σύστηα η οποία αποτελείται από ονάδες όοιες ε τις παραπάνω η οποία αποτυγχάνει όλις αποτύχει κάποια από τις ονάδες Να εκτιήσετε το έσο χρόνο ζωής της καθώς επίσης το ποσοστό των συσκευών που θα επιστρέφονται για επισκευή καλυπτόενες από την εγγύηση η οποία είναι 5 ώρες καλής λειτουργίας Λύση Εδώ παρατηρήθηκαν ονάδες να αποτυγχάνουν οι 4 7 8 9 5 6 8 τις πρώτες 8 ώρες ενώ οι υπόλοιπες 9 "λογοκρίθηκαν" προφανώς θα έχουν χρόνο ζωής εγαλύτερο από 8 ώρες αλλά δεν τον γνωρίζουε Οι χρόνοι ζωής των ονάδων έχουν σταθερή βαθίδα αποτυχίας και εποένως ακολουθούν εκθετική κατανοή ε κάποια παράετρο λ Το λ αυτό είδαε παραπάνω ότι πορεί να εκτιηθεί από ˆ λ A X c Λ A X 987 c 6 79 9 756 9 8 Εποένως ο έσος χρόνος ζωής των ονάδων εκτιάται ότι είναι E ˆ ώρες ˆ λ 987 Επίσης η αξιοπιστία τους εκτιάται ˆ λ ˆ 987 e e 96 β Η συσκευή αυτή πορεί να θεωρηθεί ως ένα σειριακό σύστηα ονάδων και εποένως λ θα έχει αξιοπιστία e και έσο χρόνο ζωής /λ τα οποία εκτιώνται από ˆ e ˆ λ e 987 E ˆ 7 7 ώρες ˆ λ 987 Το ποσοστό των συσκευών συστηάτων που θα επιστρέφονται αν χαλάσουν τις 5 πρώτες ώρες είναι ίσο ε την πιθανότητα να αποτύχει το σύστηα τις πρώτες 5 ώρες δηλαδή εκτιάται ότι είναι ˆ 5 e λ ˆ 5 86 76% Παράδειγα 4 Έστω ότι στο χρόνο τίθενται σε λειτουργία 4 ηχανές αεροσκάφους ε γραικά αύξουσα βαθίδα αποτυχίας Καταγράφουε τους χρόνους ζωής όσων ονάδων Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 88

απέτυχαν τις c 5 πρώτες ώρες οπότε και σταατάε το πείραα Από τις 4 ονάδες υπέστησαν κάποια βλάβη έχρι τις 5 πρώτες ώρες οι 8 ε χρόνους ζωής: 5 488 45 464 498 974 68 Οι υπόλοιπες λειτούργησαν χωρίς πρόβληα τις 5 αυτές ώρες α Να εκτιηθεί ο έσος χρόνος ζωής των ονάδων και η αξιοπιστία τους στις ώρες β Ένα αεροσκάφος έχει 4 κινητήρες όοιους ε τους παραπάνω και πορεί να λειτουργεί χωρίς πρόβληα αν λειτουργούν τουλάχιστον από τους 4 Να εκτιήσετε το έσο χρόνο ζωής δηλαδή το έσο χρόνο συνεχούς πτήσης έχρι την πτώση του αεροσκάφους Εκτιήστε κάθε πότε πρέπει να περνούν από επιθεώρηση και επισκευή οι ηχανές του αεροσκάφους ώστε η αξιοπιστία του να είναι πάντοτε πάνω από 999% θεωρούε ότι ετά από ία επιθεώρηση όλες οι ονάδες λειτουργούν ως καινούριες Λύση Εδώ πρόκειται για ονάδες που "γερνάνε" όσο περνά ο χρόνος και άλιστα η πιθανότητα να αποτύχουν ενώ λειτουργούν αυξάνεται ανάλογα ε τον χρόνο λειτουργίας τους Έχουε δει ότι ονάδες ε αυτό το χαρακτηριστικό ακολουθούν την κατανοή Webull ε παράετρο διότι τότε λ Εδώ παρατηρήθηκαν 8 ονάδες να αποτυγχάνουν τις πρώτες 5 ώρες ενώ οι υπόλοιπες "λογοκρίθηκαν" είχαν χρόνο ζωής > 5 ώρες Η παράετρος είδαε παραπάνω ότι πορεί να εκτιηθεί από ˆ A X Λ c A X c 5 68 5 Εποένως ο έσος χρόνος ζωής των ονάδων αυτών εκτιάται ότι είναι Γ / Eˆ / ˆ Επίσης η αξιοπιστία τους στις ώρες εκτιάται e 9487 ˆ ˆ 987 e 8 ώρες 478 876 β Η συσκευή αυτή πορεί να θεωρηθεί ως ένα σύστηα -από-τα-4:g και εποένως θα έχει αξιοπιστία 4 4 και έσο χρόνο ζωής E 4 Οι παραπάνω ποσότητες εκτιώ- διότι έχουε δει αρκετές φορές ότι νται από 4 4 4 Γ5 4 4e Γ5 4 4 4 e e / / 4 e Γ / e 4 ˆ ˆ 4 ˆ Γ5 Γ5 4e e E ˆ 4 76 78 ώρες / / ˆ 4 ˆ Η αξιοπιστία του είναι πάνω από 999% όταν ο χρόνος ικανοποιεί την Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 89

4e e 4 > 999 και θέτοντας όπου την εκτίησή του 876 προκύπτει ότι επιλύουε προσεγγιστικά διότι η παραπάνω ανίσωση δεν λύνεται αναλυτικά 7 Πράγατι ˆ 7 4e e 4 999 και εποένως κάθε περίπου ώρες πτήσης οι ηχανές θα πρέπει να περνάνε από ολική επιθεώρηση 4 Λογοκρισία τύπου IΙ ye II cesog Σύφωνα ε την λογοκρισία τύπου ΙΙ οι το πλήθος καινούριες ονάδες τίθενται σε λειτουργία στο χρόνο και καταγράφονται οι χρόνοι ζωής τους έχρι να αποτύχουν από αυτές Αν Τ Τ Τ οι χρόνοι ζωής αυτών των ονάδων και συβολίσουε ε τους αντίστοιχους διατεταγένους χρόνους ζωής Τ ο ικρότερος από τους Τ Τ Τ Τ ο δεύτερος ικρότερος από τους Τ Τ Τ κοκ τότε το πείραα καταγραφής των χρόνων ζωής διακόπτεται στο χρόνο Τ Μέχρι και το χρόνο αυτό θα έχουν αποτύχει ονάδες από τις Προφανώς οι υπόλοιπες ονάδες έχουν χρόνο ζωής εγαλύτερο από Τ ο οποίος δεν γίνεται γνωστός Προκειένου να εκτιήσουε τις παραέτρους της κατανοής των θα πρέπει να βρούε την πιθανοφάνεια ή ισοδύναα την από κοινού σππ του παρατηρηθέντος δείγατος Αρχικά θα βρούε την από κοινού σππ των Πρόταση 4 Η από κοινού σππ των διατεταγένων είναι! < < < Απόδειξη Για λόγους καλύτερης κατανόησης ας ξεκινήσουε από την απλούστερη περίπτωση που το Συβολίζουε ε Δ [ και ε F τη σππ και σκ των Τ Θα ισχύει για < ότι P Δ Δ P Δ Δ P Δ Δ διότι λιγότερο αυστηρά πορούε να πούε ότι αν Τ Τ τότε ισοδύναα θα είναι Τ Τ είτε Τ Τ Εργαζόενοι όοια για προκύπτει για < < ότι P Δ Δ Δ P Δ Δ Δ P Δ Δ Δ P Δ Δ Δ P Δ Δ Δ P Δ Δ Δ P Δ Δ Δ 6 Εποένως γίνεται τώρα προφανές ότι γενικά για οποιοδήποτε τότε για < < < θα ισχύει P Δ όπου Π είναι το σύνολο όλων των εταθέσεων των στοιχείων { } Άρα τελικά Δ Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9! < < < Όπως έχει προαναφερθεί χρειαζόαστε την από κοινού σππ των Αυτή προκύπτει από την παραπάνω από κοινού σππ των Συγκεκριένα ισχύει η επόενη Πρόταση Πρόταση 4 Η από κοινού σππ των διατεταγένων είναι!! < < < όπου F Απόδειξη Η παραπάνω σππ προκύπτει από την από κοινού σππ των ολοκληρώνοντας ως προς Επειδή < < < θα έχουε! Είναι εύκολο τώρα να επαληθεύσουε ότι / και ολοκληρώνοντας ως προς από y έως προκύπτει ότι y y Εποένως εφαρόζοντας την παραπάνω σχέση διαδοχικά θα έχουε! 4 K από όπου λαβάνοντας υπόψη και την ισότητα στην αρχή της απόδειξης προκύπτει το ζητούενο Εποένως τελικά η συνάρτηση πιθανοφάνειας των θα είναι ; ;!! ; λ λ λ λ

όπου είναι η σππ και συνάρτηση αξιοπιστίας των Τ Α Εκθετικοί χρόνοι ζωής Εξετάζουε αρχικά την περίπτωση που οι χρόνοι ζωής ακολουθούν εκθετική κατανοή ε παράετρο λ Στο χρόνο τίθενται σε λειτουργία το πλήθος ονάδες και καταγράφονται οι χρόνοι ζωής τους έχρι να αποτύχουν από αυτές Καταγράφονται δηλαδή οι χρόνοι ενώ οι υπόλοιποι χρόνοι ζωής δεν καταγράφονται Επειδή εδώ Τ ~ εκθετικήλ η συνάρτηση πιθανοφάνειας θα είναι! ; λ e!! e! λ λ λ λ e e λ λ ε λογάριθο πιθανοφάνειας! l λ l λ l λ lλ λ! ο οποίος εγιστοποιείται όταν και εποένως τελικά l λ λ λ ˆ λ λ Παράδειγα 44 Στο χρόνο τίθενται σε λειτουργία ονάδες ε σταθερή βαθίδα αποτυχίας Καταγράφουε τους χρόνους ζωής των πρώτων ονάδων που απέτυχαν σε ώρες: 9 96 8 9 466 54 564 6 α Να εκτιηθεί ο έσος χρόνος ζωής των ονάδων και η αξιοπιστία τους ετά από ώρες β Έστω ία συσκευή σύστηα η οποία αποτελείται από ονάδες όοιες ε τις παραπάνω η οποία αποτυγχάνει όνο όταν αποτύχουν και οι τρείς ονάδες Να εκτιήσετε το έσο χρόνο ζωής της και την αξιοπιστία της ετά από ώρες λειτουργίας Λύση Οι χρόνοι ζωής των ονάδων έχουν σταθερή βαθίδα αποτυχίας και εποένως ακολουθούν εκθετική κατανοή ε κάποια παράετρο λ Σύφωνα ε τα παραπάνω το λ αυτό πορεί να εκτιηθεί από ˆ λ 764 6 6 Εποένως ο έσος χρόνος ζωής των ονάδων εκτιάται ότι είναι Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9

E ˆ 586 ώρες ˆ λ Επίσης η αξιοπιστία τους εκτιάται ˆ λ ˆ 764 e e 797 β Η συσκευή αυτή πορεί να θεωρηθεί ως ένα παράλληλο σύστηα ονάδων και εποένως θα έχει αξιοπιστία e η οποία για ώρες λ εκτιάται ˆ Επίσης ο έσος χρόνος ζωής της εκτιάται ˆ λ e 448 E 68 ˆ ώρες ˆ λ λ Bouss MV -8 Σηειώσεις αθήατος «Θεωρία Αξιοπιστίας» Τ Στατιστικής και Ασφ Επιστήης Πανεπιστήιο Πειραιώς 9