ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 007-008 ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση Συστήµατος (System Identification) Εισαγωγή Μία από τις βασικές εφαρµογές των προσαρµοστικών φίλτρων είναι η αναγνώριση της συνάρτησης µεταφοράς ενός άγνωστου συστήµατος (system identification). Στην περίπτωση αυτή θεωρούµε ότι το άγνωστο σύστηµα µπορεί να µοντελοποιηθεί ως ένα FIR φίλτρο και ο στόχος της προσαρµοστικής διαδικασίας είναι η εκτίµηση των συντελεστών της κρουστικής απόκρισης του φίλτρου. Στο Σχήµα 1 φαίνεται το διάγραµµα της διαδικασίας, όπου η άγνωστη κρουστική απόκριση συµβολίζεται h. Το προσαρµοστικό φίλτρο w είναι ένα FIR φίλτρο µε Κ συντελεστές. Η είσοδος στο άγνωστο σύστηµα είναι το σήµα x, το οποίο χρησιµοποιείται ως είσοδος και στο προσαρµοστικό φίλτρο, ενώ η έξοδος του άγνωστου συστήµατος αποτελεί το σήµα αναφοράς d της προσαρµοστικής διαδικασίας. Για την εκτίµηση της άγνωστης συνάρτησης µεταφοράς είναι επιθυµητό το σήµα εισόδου x να έχει φασµατικά χαρακτηριστικά ευρείας ζώνης (wide-band) και επιπλέον το φάσµα του σήµατος να µην εµφανίζει µηδενικά σε κάποια συχνότητα. Ως είσοδο x θεωρούµε µια διαδικασία λευκού θορύβου µε διασπορά σ x. Η έξοδος του προσαρµοστικού φίλτρου είναι K 1 yn ( ) = wn( kxn ) ( k) = wx n ( n) (1) k = 0 όπου x ( n) = [ x( n), x( n 1),, x( n K + 1)] είναι διάνυσµα, το οποίο περιέχει τα Κ πιο πρόσφατα δείγµατα του σήµατος εισόδου, και w = [ w (0), w (1),, w ( K 1)] είναι το διάνυσµα των συντελεστών του φίλτρου τη χρονική στιγµή n. n n n n 1
Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Εργαστηριακή Άσκηση 1 007-008 Άγνωστο σύστηµα x( n) h un ( ) dn ( ) Προσαρµοστικό φίλτρο w yn ( ) Σ en ( ) Σχήµα 1. ιάγραµµα της προσαρµοστικής διαδικασίας για την εκτίµηση της συνάρτησης µεταφοράς ενός άγνωστου συστήµατος. Το σφάλµα εκτίµησης είναι en ( ) = dn ( ) yn ( ) () Θεωρούµε ότι η κρουστική απόκριση h έχει Μ συντελεστές και ότι στο άγνωστο σύστηµα υπάρχει προσθετικός θόρυβος u µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά σ u. Επίσης, θεωρούµε ότι ο θόρυβος u είναι στατιστικά ανεξάρτητος από το σήµα x. Η έξοδος του άγνωστου συστήµατος γράφεται M 1 dn ( ) = hmxn ( ) ( m) + un ( ) (3) m= 0 Για την εκτίµηση της κρουστικής απόκρισης h θα εξετασθούν οι παρακάτω περιπτώσεις: το βέλτιστο φίλτρο Wiener, ο αλγόριθµος LMS (Least Mean Squares) και ο αλγόριθµος RLS (Recursive Least Squares). Ανάπτυξη μοντέλου σε περιβάλλον MALAB Στα πλαίσια της εργαστηριακής άσκησης θα αναπτυχθεί σε περιβάλλον MALAB ένα ολοκληρωµένο µοντέλο της προσαρµοστικής διαδικασίας του Σχήµατος 1. Για την ανάλυση και αξιολόγηση των παραπάνω µεθόδων θα χρησιµοποιηθούν τα ακόλουθα στοιχεία.
Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Εργαστηριακή Άσκηση 1 007-008 Παράμετροι του μοντέλου Άγνωστο σύστηµα: Το άγνωστο σύστηµα έχει χαρακτηριστικά καναλιού επιλεκτικού στη συχνότητα και αντιστοιχεί σε ένα FIR φίλτρο 7ης τάξης ( M = 8) µε συντελεστές h = [0.1, 0.3, 0.0, 0., 0.6, 0.7, 0.3, 0.1]. Ο προσθετικός θόρυβος είναι λευκός µε µηδενική µέση τιµή και διασπορά σ = 0.01. u Σήµα εισόδου: Το σήµα εισόδου x( n ) αντιστοιχεί σε µια διαδικασία λευκού θορύβου µε µηδενική µέση τιµή και µοναδιαία διασπορά, σ =1. x Προσαρµοστικό φίλτρο: Σε κάθε περίπτωση, ο προσαρµοστικός αλγόριθµος θα εκτελείται για n= 1,, N επαναλήψεις. Για τον υπολογισµό του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος, το αποτέλεσµα θα αντιστοιχεί στο µέσο όρο µετά από Τ εκτελέσεις του πειράµατος, π.χ. αν συµβολίσουµε e ( n ) το τετραγωνικό σφάλµα που αντιστοιχεί στην n-επανάληψη κατά την t t-εκτέλεση του πειράµατος, τότε µπορούµε να υπολογίσουµε το µέσο τετραγωνικό σφάλµα 1 ως: ξ ( n) = e ( ) = 1 t n. t Ζητούμενα της άσκησης Βέλτιστο φίλτρο Wiener 1. Να υπολογίσετε αναλυτικά τη λύση των εξισώσεων Wiener-Hopf για τους συντελεστές του βέλτιστου φίλτρου Wiener, καθώς και το ελάχιστο µέσο τετραγωνικό σφάλµα, για τις περιπτώσεις: (i) K = M, (ii) K > M και (iii) K < M. Στη συνέχεια θεωρούµε ότι συντελεστές του προσαρµοστικού φίλτρου είναι K αριθµός των επαναλήψεων είναι N = 500. = M και ο Αλγόριθµος LMS. Υπολογίστε το άνω φράγµα για την τιµή της παραµέτρου µ (µέγεθος βήµατος) του αλγορίθµου LMS, ώστε να εξασφαλίζεται σύγκλιση ως προς: (i) τη µέση τιµή και (ii) τη µέση τετραγωνική τιµή. 3. Υπολογίστε το µέσο τετραγωνικό σφάλµα σταθερής κατάστασης του αλγορίθµου LMS για τις περιπτώσεις µ = 0.09 και µ = 0.0. 3
Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Εργαστηριακή Άσκηση 1 007-008 4. Εκτελέστε το πείραµα µε βάση τον αλγόριθµο LMS χρησιµοποιώντας τις παραπάνω δύο τιµές για την παράµετρο µ. Απεικονίστε γραφικά την εκτίµηση των συντελεστών hm ( ) για m =,3 και 6. Σχολιάστε την απόδοση του αλγορίθµου ως προς το ρυθµό σύγκλισης και την ακρίβεια εκτίµησης των συντελεστών ανάλογα µε την τιµή της παραµέτρου µ. 5. Επαναλάβετε το παραπάνω ερώτηµα εκτελώντας το πείραµα για = 500 και απεικονίστε γραφικά τη µέση εκτίµηση των συντελεστών hm ( ) για m =,3 και 6. Συγκρίνετε τα αποτελέσµατα και σχολιάστε τη συµπεριφορά του αλγορίθµου LMS. 6. Απεικονίστε γραφικά το µέσο τετραγωνικό σφάλµα (σε db) για µ = 0.09 και µ = 0.0. Ελέγξτε ότι το µέσο τετραγωνικό σφάλµα συγκλίνει στην αντίστοιχη τιµή σταθερής κατάστασης. Σχολιάστε την απόδοση του αλγορίθµου LMS ως προς το µέσο τετραγωνικό σφάλµα ανάλογα µε την τιµή της παραµέτρου µ. 7. Επαναλάβετε τα ερωτήµατα 5 και 6 για µ = 0.3. Σχολιάστε το αποτέλεσµα. Αλγόριθµος RLS 8. Υπολογίστε το µέσο τετραγωνικό σφάλµα σταθερής κατάστασης του αλγορίθµου RLS για τις περιπτώσεις λ = 1 και λ = 0.9 (εκθετικός παράγοντας λήθης). 9. Εκτελέστε το πείραµα µε βάση τον αλγόριθµο RLS χρησιµοποιώντας λ = 1 και λ = 0.9. Απεικονίστε γραφικά την εκτίµηση των συντελεστών hm ( ) για m =,3 και 6. Συγκρίνετε τα αποτελέσµατα µε εκείνα του Ερωτήµατος 4. 10. Επαναλάβετε το παραπάνω ερώτηµα εκτελώντας το πείραµα για = 500 και απεικονίστε γραφικά τη µέση εκτίµηση των συντελεστών hm ( ) για m =,3 και 6. Συγκρίνετε τα αποτελέσµατα µε εκείνα του Ερωτήµατος 5 και σχολιάστε τη συµπεριφορά των αλγορίθµων RLS και LMS. 11. Απεικονίστε γραφικά το µέσο τετραγωνικό σφάλµα (σε db) χρησιµοποιώντας ως ένδειξη σφάλµατος το a priori σφάλµα, an ( ) = dn ( ) wn 1x ( n), για λ = 1 και λ = 0.9. Ελέγξτε ότι το µέσο τετραγωνικό σφάλµα συγκλίνει στην τιµή σταθερής κατάστασης. Σύγκριση των αλγόριθµων LMS και RLS 1. Τη χρονική στιγµή n= N/ το κανάλι παρουσιάζει µια απότοµη αλλαγή στην κρουστική συνάρτηση: h = [0.1, 0.3, 0.3, 0., 0.6, 0.4, 0.3, 0.4]. Απεικονίστε στην ίδια j γραφική παράσταση (σε db) τo µέτρο της συνάρτησης µεταφοράς He ( ω ) του καναλιού πριν και µετά την αλλαγή. 4
Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Εργαστηριακή Άσκηση 1 007-008 13. Εκτελέστε το πείραµα µε βάση τον αλγόριθµο LMS για µ = 0.09 και µ = 0.0. Οµοίως µε βάση τον αλγόριθµο RLS για λ = 1 και λ = 0.9. Απεικονίστε γραφικά την εκτίµηση των συντελεστών hm ( ) για m =,3 και 6. Συγκρίνετε τη συµπεριφορά των δύο αλγορίθµων. 14. Επαναλάβετε το πείραµα για = 500 και απεικονίστε γραφικά το µέσο τετραγωνικό σφάλµα (σε db) για κάθε µια από τις περιπτώσεις του παραπάνω ερωτήµατος. Σχολιάστε τη συµπεριφορά των αλγορίθµων RLS και LMS. Παραδοτέα Τα παραδοτέα της εργαστηριακής άσκησης είναι τα ακόλουθα: Έντυπη αναφορά µε τις απαντήσεις σας στα ζητούµενα της άσκησης (στο τέλος της αναφοράς να ενσωµατώσετε και τις συναρτήσεις MALAB που αναπτύξατε για τους αλγορίθµους LMS και RLS). Ο κώδικας MALAB που αναπτύξατε σε ηλεκτρονική µορφή (περιλαµβάνονται οι συναρτήσεις των αλγορίθµων RLS και LMS, καθώς και όλες οι βοηθητικές συναρτήσεις, ώστε να µπορεί να γίνει αναπαραγωγή των αποτελεσµάτων που παρουσιάζονται στην αναφορά). 5