HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

Transcript

1 HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 13: Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων (Ι)

2 Περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων Έχουμε δει τις παρακάτω πλήρεις περιγραφές ΓΧΑ συστημάτων: 1. Κρυστική απόκριση (impulse response) x[n] h[n] y[n] 2. Απόκριση συχνοτήτων (frequency response) Χ (e jω ) H(e jω ) Υ (e jω ) Χ (z) 3. Συνάρτηση μεταφοράς συστήματος (system function) H(z) Υ (z) Πως συνδέονται μεταξύ τους? 2

3 Ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων Χ (e jω ) Απόκριση συχνοτήτων: H(e jω ) Υ (e jω ) Απόκριση πλάτους (magnitude response), απόκριση φάσης (phase response/shift) Ορισμός: Η κύρια φάση (principal phase) ενός συστήματος κυμαίνεται μεταξύ π και π Η φάση ενός συστήματος μπορεί να γραφτεί ως: Κύρια φάση: wrapped phase, φάση: unwrapped phase 3

4 Καθυστέρηση ομάδος (group delay) Η καθυστέρηση ομάδος (group delay) ορίζεται ως: Η καθυστέρηση ομάδος είναι η ίδια και για την κύρια φάση εκτός από τα σημεία ασυνέχειας. Είναι ένα μέτρο της γραμμικότητας της φάσης Γιατί μας ενδιαφέρει η γραμμικότητα? Γενικά η γραμμική φάση είναι επιθυμητή καθώς δεν εισάγει παραμορφώσεις στο πεδίο του χρόνου Παράδειγμα: Το σύστημα ιδανικής καθυστέρησης 4 Γραμμική φάση, group delay: n d Κάθε συνιστώσα συχνότητας μετατοπίζεται κατά το ίδιο χρονικό διάστημα στο πεδίο του χρόνου άρα δεν έχουμε παραμόρφωση

5 Καθυστέρηση ομάδος (group delay) Παράδειγμα: Ιδεατό βαθυπερατό φίλτρο μηδενική φάση παντού Ιδεατό βαθυπερατό φίλτρο με γραμμική φάση: Η κρουστική του απόκριση είναι η ίδια με μια χρονική μετατόπιση ίση με την καθυστέρηση ομάδος. Και τα δύο φίλτρα είναι μη αιτιατά! Παράδειγμα: Έστω ένα στενοζωνικό (narrowband) σήμα, του οποίου δηλ. το φάσμα έχει περιεχόμενο σε περιορισμένες τιμές συχνοτήτων γύρω από μια συχνότητα ω 0, της μορφής H απόκριση φάσης του συστήματος γύρω από το ω 0 μπορεί να προσεγγιστεί ως: Η απόκριση σε ένα τέτοιο σήμα είναι της μορφής: 5 Άρα η περιβάλλουσα s[n] καθυστερείται κατά n d δηλ. την καθυστέρηση ομάδος στο ω 0. Όταν έχουμε ένα ευρυζωνικό σήμα, αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως υπέρθεση στενοζωνικών σημάτων. Αν η φάση είναι γραμμική η περιβάλλουσα κάθε συνιστώσας καθυστερεί κατά το ίδιο χρονικό διάστημα, αλλιώς έχουμε παραμόρφωση

6 Καθυστέρηση ομάδος (group delay) Παράδειγμα: Έστω ένα ευρυζωνικό σήμα με τρεις στενοζωνικές συνιστώσες και το σύστημα με τα εικονιζόμενα διάγραμμα πόλων μηδενικών και απόκριση φάσης: όπου: 6

7 Παράδειγμα Καθυστέρηση ομάδος (group delay) 7

8 Συστήματα που περιγράφονται από εξισώσεις διαφορών Συνήθως τα φίλτρα/συστήματα ΔΧ υλοποιούνται μέσω συστημάτων διαφορών. Είδαμε ότι αν: τότε: Συνάρτηση μεταφοράς: Επιλογή των τιμών των συντελεστών της εξίσωσης ώστε να προσεγγίζεται μια επιθυμητή απόκριση συχνοτήτων (σχεδιασμός φίλτρων επόμενο κεφάλαιο) Εδώ θα εξετάσουμε τη μορφή της H(z) σε διάφορες περιπτώσεις Για αιτιατά συστήματα, η ΠΣ εκτείνεται από τον πόλο με το μεγαλύτερο μέτρο προς το άπειρο (δεξιόπλευρη κρουστική απόκριση). Ένα σύστημα είναι ευσταθές αν και μόνο αν περιλαμβάνεται ο μοναδιαίος κύκλος ή ισοδύναμα (για αιτιατά συστήματα) αν όλοι οι πόλοι βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου 8

9 Αντίστροφα συστήματα Το αντίστροφο ενός συστήματος με κρουστική απόκριση h[n] ορίζεται ως: Άρα ισοδύναμα πρέπει: ή Αν Άρα οι πόλοι του αντίστροφου συστήματος είναι τα μηδενικά του αρχικού και αντίστροφα. Ποια είναι η περιοχή σύγκλισης? Πρέπει να υπάρχει επικάλυψη μεταξύ των ΠΣ των H(z), ) H i (z). Π.χ. αν η H(z) ) αντιστοιχεί σε αιτιατό σύστημα, τότε πρέπει: (1) οπότε κάθε ΠΣ του H i (z) που επικαλύπτεται με αυτή είναι έγκυρη. Για να είναι αιτιατό και ευσταθές το αντίστροφο σύστημα, πρέπει να μπορούμε να αντιστοιχήσουμε την Π.Σ. (2) και επιπλέον τα μηδενικά του αρχικού συστήματος να πληρούν την: (3) Αν ένα αιτιατό σύστημα πληροί τις(1) (2) (2) τότε λέγεται σύστημα ελάχιστης φάσης (minimum phase system). Είναι με άλλα λόγια ένα σύστημα το οποίο τόσο το ίδιο όσο και το αντίστροφό του είναι αιτιατά και ευσταθή συστήματα 9

10 Κρουστική απόκριση συστημάτων με ρητή συνάρτηση ρη ημεταφοράς Στη γενική περίπτωση που έχουμε Μ μηδενικά και Ν πόλους, είδαμε ότι: Με άλλα λόγια αν έχουμε προηγούμενες τιμές της εξόδου στην εξίσωση διαφορών, το σύστημα είναι IIR αλλιώς το σύστημα είναι FIR Τα συστήματα IIR έχουν τουλάχιστον έναν πόλο διαφορετικό του μηδέν Τα συστήματα FIR έχουν πόλους μόνο στο μηδέν 10