EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DPCM)

Transcript

1 EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DCM) Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

2 Προεπισκόπηση Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DCM) Η DCM ως γενίκευση της Διαµόρφωσης Δέλτα Φίλτρα Πρόβλεψης (F) και Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DCM) Φίλτρα Πρόβλεψης προς τα εµπρός (FF) Φίλτρα Πρόβλεψης προς τα πίσω (ΒF) Αυτοπαλινδοµούµενες Διαδικασίες (AR) Αλγόριθµος Durbin-Levinson 2

3 Διαµόρφωση Δέλτα Βασική Ιδέα: Γειτονικά δείγµατα που προκύπτουν από την δειγµατοληψία των σηµάτων οµιλίας, εικόνας ή video εµφανίζουν υψηλή συσχέτιση. Δηλαδή, κατά µέσο όρο, οι τιµές του σήµατος δεν µεταβάλλονται απότοµα από δείγµα σε δείγµα, µε αποτέλεσµα η διαφορά των τι- µών γειτονικών δειγµάτων να έχει διασπορά πολύ µικρότερη από την διασπορά των τιµών του σήµατος. 3

4 Διαµόρφωση Δέλτα m(n) r m (k) Υποθέστε ότι έχουµε στην διάθεση µας ένα στάσιµο σήµα µηδενικής µέσης τιµής µε ακολουθία αυτοσυσχέτισης. Θεωρείστε ότι επιθυµούµε να χρησιµοποιήσουµε ένα σύστηµα πρόβλεψης τιµών του σήµατος, πρώτης τάξης. Υπολογίστε τη διασπορά του σφάλµατος πρόβλεψης. Κάτω από ποιες προϋποθέσεις η διασπορά του σφάλµατος είναι µικρότερη από τη διασπορά του σήµατος; Ελαχιστοποιείστε την διασπορά του σφάλµατος πρόβλεψης, ως προς τις παραµέτρους του συστήµατος, και βρείτε την ελάχιστη τιµή της. 4

5 Γενίκευση της Διαµόρφωσης Δέλτα:DCM Διαµορφωτής: m(n) mˆ ( n) + e(n) Q e Q (n) (z) + m Q (n) 5

6 Γενίκευση της Διαµόρφωσης Δέλτα:DCM Αποδιαµορφωτής: e Q (n) mˆ ( n) + m Q (n) (z) 6

7 Φίλτρα Πρόβλεψης Πρόβλεψη προς τα Πίσω (ΒF) û(n U n ) U n Δεδοµένα: u( n ) u( n + 1) u( n 1) u( n) û(n U n!1 ) U n!1 Πρόβλεψη προς τα Eµπρός (FF) 7

8 Φίλτρα Πρόβλεψης Φίλτρα Πρόβλεψης προς τα Πίσω (ΒF) Πρόβλεψη: Σφάλµα Πρόβλεψης: û(n! U n ) = f B (U n, n) e B (n) = u(n! )! û(n! U n ) Γραµµικά Φίλτρα Πρόβλεψης προς τα Πίσω (ΒF) " k=1 " k=1 û(n! U n ) = b n (k)u(n! + k) û(n! U n ) = b(k)u(n! + k) 8

9 Φίλτρα Πρόβλεψης Φίλτρα Πρόβλεψης προς τα Εµπρός (FF) Πρόβλεψη: Σφάλµα Πρόβλεψης: û(n U n!1 ) = f F (U n!1, n) e F (n) = u(n)! û(n U n!1 ) Γραµµικά Φίλτρα Πρόβλεψης προς τα Εµπρός (FL) " k=1 " k=1 û(n U n!1 ) = f n (k)u(n! k) û(n U n!1 ) = f (k)u(n! k) 9

10 Γραµµικά Φίλτρα Πρόβλεψης Γραµµικά Φίλτρα Πρόβλεψης προς τα Εµπρός (FL) û(n U n!1 ) =U t n!1 f e t F (n) = u(n)! û(n U n!1 ) =u(n)! U n!1 f Ελαχιστοποίηση της Διασποράς του Σφαλµατος Πρόβλεψης: min f E {( e F ( n)) 2 } 10

11 Γραµµικά Φίλτρα Πρόβλεψης ή Ισοδύναµα: min f E{(u(n)! û(n U n!1 )) 2 t } "min E{(u(n)!U n!1 f ) 2 } f t E{U n!1 U n!1 }f =E{u(n)U n!1 } Υπόθεση Στασιµότητας (ευρεία έννοια) Εξισώσεις Wiener-Hopf 11

12 Γραµµικά Φίλτρα Πρόβλεψης Σχέση FL και BL Αυτοπαλινδοµούµενες Διαδικασίες (AR) u( n) + a1u ( n 1) + + a u( n ) = w( n) w(n) : Λευκός θόρυβος Αλγόριθµος Durbin-Levinson 12

13 Γραµµικά Φίλτρα Πρόβλεψης Αυτοπαλινδροµούµενες Διαδικασίες Σύστηµα Σύνθεσης Διαδικασίας (rocess Synthesizer) w(n) ΗS (z) u(n) Σύστηµα Ανάλυσης Διαδικασίας (rocess Analyzer) u(n) ΗΑ (z) w(n) 13

14 Γραµµικά Φίλτρα Πρόβλεψης Αυτοπαλινδροµούµενες Διαδικασίες-Yule Walker Equations Υπολογισµός Ακολουθίας Συσχέτισης: u( n um ()[{ n) u+ ( an 1) u+ ( na 1 u1) ( n+ 1) + a u+ ( na u( n) = w )] ( n= ) u( n m) w( n) E{u(n! m)[{u(n)+ a 1 u(n!1)+!+ a u(n! )] } = E{u(n! m)w(n)} Υπόθεση Στασιµότητας (ευρεία έννοια)... 14

15 Ο Αλγόριθµος του Levinson Εξισώσεις Wiener-Hopf: 1 f pu ε = R = = 0 0 ) ( (1) 1 (0) (1) ) ( (1) (0) (1) ) ( (1) (0) f uu uu uu uu uu uu uu uu uu e p f f r r r r r r r r r R = = k k n u k f n u 1 ) ( ) ( ) ( ˆ Un Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων

16 Γενίκευση της Διαµόρφωσης Δέλτα:DCM m(n) mˆ ( n) + e(n) Q e Q (n) (z) + m Q (n) Βρείτε τις κανονικές εξισώσεις που προκύπτουν από την ελαχιστοποίηση της διασποράς του σφάλµατος πρόβλεψης. 16

17 Γενίκευση της Διαµόρφωσης Δέλτα:DCM Υποθέσεις: Η ακολουθία εισόδου {m[n]} είναι στάσιµη (µε την ευρεία έννοια). Οι ακολουθίες εισόδου {m[n]} και σφαλµάτων κβάντισης{qe[n]} είναι ασυσχέτιστες. Η ακολουθία σφαλµάτων {qe[n]} είναι µία διαδικασία λευκού θορύβου. 17

18 Γενίκευση της Διαµόρφωσης Δέλτα:DCM Παίρνοντας υπόψη σας τις Υποθέσεις, απλοποιείστε τις κανονικές εξισώσεις. Τι παρατηρείτε; Τι θα άλλαζε στην ανάλυσή σας αν η δεύτερη υπόθεση αντικατασταθεί από την ακόλουθη; Εναλλακτική Υπόθεση: Οι ακολουθίες εισόδου {m[n]} και σφαλµάτων κβάντισης {qe[n]} είναι ορθογώνιες; Η παραπάνω υπόθεση περιορίζει ή όχι την κλάση των ακολουθιών εισόδου; Κάτω από ποιές προϋποθέσεις οι δύο υποθέσεις είναι ισοδύναµες; 18

19 Γενίκευση της Διαµόρφωσης Δέλτα:DCM Παίρνοντας υπόψη σας τις Υποθέσεις, Υπολογίστε την αναµενόµενη τιµή της προς τα εµπρός πρόβλεψης. Δοθείσης της πρώτης Υπόθεσης: Είναι η ακολουθία πρόβλεψης στάσιµη (µε την ευρεία έννοια); Υπολογίστε τις πρώτης και δεύτερης τάξης στατιστικές της ακολουθίας σφάλµατος πρόβλεψης e(n). Κάτω από ποιές προϋποθέσεις η προς τα εµπρός πρόβλεψη είναι ένας αµερόληπτος εκτιµητής της αναµενόµενης τιµής του σήµατος εισόδου; 19

20 Γενίκευση της Διαµόρφωσης Δέλτα:DCM Λόγος Σήµατος προς Θόρυβο Κβαντισµού στην Έξοδο του Κωδικοποιητή m(n) mˆ ( n) + e(n) Q e Q (n) (z) + m Q (n) 20

21 Γενίκευση της Διαµόρφωσης Δέλτα:DCM Λόγος Σήµατος προς Θόρυβο Κβαντισµού στην Έξοδο SNR O =! 2 m 2! eq Όµως: SNR O =! 2 m! =!! 2 # m 2 2 eq "! e $! &! e 2 % # " 2! eq $ & = G SNR DCM Q % Συµπεράσµατα... 21

22 ADCM Προσαρµοζόµενη Διαφορική Παλµοκωδική Διαµόρφωση (DCM) Η Προσαρµοζόµενη DCM Προσαρµοζόµενα Συστήµατα Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Ο Αλγόριθµος Απότοµης Κατάβασης Αναδροµικοί Αλγόριθµοι Προσαρµοζόµενοι Αλγόριθµοι 22

23 ΑDCM Προσαρµοζόµενος Αλγόριθµος m(n) mˆ ( n) + e(n) Q e Q (n) (z) + m Q (n) Προσαρµοζόµενος Αλγόριθµος 23