ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ Περίοδος (Τ) ενός περιοδικού φαινομένου είναι ο χρόνος που απαιτείται για μια πλήρη επανάληψη του φαινομένου. Αν σε χρόνο t γίνονται Ν επαναλήψεις του φαινομένου, τότε η περίοδος είναι ίση με το πηλίκο: t Τ = (). Μονάδα μέτρησης της περιόδου στο S.I. είναι το s. N Συχνότητα (f) ενός περιοδικού φαινομένου είναι το πηλίκο του αριθμού Ν των επαναλήψεων του φαινομένου σε ορισμένο χρόνο t, προς το χρόνο t. Δηλαδή: N f = () t Μονάδα μέτρησης της συχνότητας στο S.I. είναι το Ηz. f = (3) T π Γωνιακή (ή κυκλική) συχνότητα (ω) : ω = ω = πf (4) Τ Μονάδα μέτρησης της γωνιακής συχνότητας στο S.I. είναι το rad/s. ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (Κινηματική προσέγγιση) Απλή αρμονική ταλάντωση ονομάζεται κάθε γραμμική ταλάντωση στην οποία η απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας του είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου (ημιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου), δηλαδή δίνεται από τη σχέση : x = Aημωt (5) Η μέγιστη απομάκρυνση, δηλαδή η μέγιστη απόσταση από τη θέση ισορροπίας στην οποία φτάνει το σώμα ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης και συμβολίζεται με Α. υ = υ συνωt (6) Όπου : υ = ωα (7)

α = αημωt (8) Όπου : α = ω Α (9) Προσοχή : Οι σχέσεις (5),(6) και (8) ισχύουν σε κάθε απλή αρμονική ταλάντωση, με την προϋπόθεση ότι τη χρονική στιγμή μηδέν (t=0) το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας (x=0) και κινείται κατά τη θετική φορά (υ>0). Δηλαδή για t=0 έχουμε x=0 με υ>0. t x υ α 0 0 + υ 0 Τ/4 +Α 0 α Τ/ 0 υ 0 3Τ/4 -Α 0 + α Τ 0 + υ 0 0 0 + υ 0 Αν τη χρονική στιγμή t=0 το κινητό περνά από κάποιο άλλο σημείο το οποίο απέχει απόσταση d από τη θέση ισορροπίας, τότε ισχύουν οι σχέσεις: = Aημ(ωt + φ ) (0) = υ συν(ωt φ ) () = α ημ(ωt φ ) () x 0 υ + 0 Η γωνία φο ονομάζεται αρχική φάση Ισχύει : 0 φο < π. Η γωνία φ = ωt + φ 0 ονομάζεται φάση της ταλάντωσης. α + 0

Σχέση της επιτάχυνσης α με την απομάκρυνση x α= α ημ(ωt+φ ) α= ω Αημ(ωt+φ ). Όμως : Αημ(ωt+φ 0 ) = x. 0 0 Οπότε έχουμε τελικά: α = ω x (3). Προσοχή : Η σχέση αυτή πρέπει να αποδεικνύεται στις πανελλήνιες. Η σχέση α = - ω x μας δείχνει ότι στην απλή αρμονική ταλάντωση η επιτάχυνση α έχει πάντοτε πρόσημο αντίθετο από αυτό της απομάκρυνσης x. Αυτό ισχύει για οποιαδήποτε χρονική στιγμή της ταλάντωσης. ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (Δυναμική προσέγγιση) Έστω F η συνισταμένη δύναμη που δέχεται ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. F = mα F = m( ω x) F = mω x F = Dx (4) όπου D = mω = σταθ. (5) Τη σταθερά αναλογίας D την ονομάζουμε σταθερά επαναφοράς. Από τη σχέση F = Dx φαίνεται ότι, όταν ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, η συνολική δύναμη που δέχεται: α) είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος από την θέση ισορροπίας του, β) έχει αντίθετη φορά από την απομάκρυνση του σώματος. Όταν το σώμα διέρχεται από την θέση x=0 τότε από την (4) προκύπτει ότι F=0. Αυτός είναι ο λόγος που το σημείο αυτό ονομάζεται θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Η δύναμη F ονομάζεται δύναμη επαναφοράς, γιατί έχει πάντα κατεύθυνση προς τη θέση ισορροπίας Ο, ώστε να τείνει πάντα να επαναφέρει το σώμα στη θέση αυτή. 3

Από τη σχέση D = mω, επειδή ω =π/τ, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης, παίρνουμε: 4π m D = m DΤ = 4π m T = π (6) Τ D Η σχέση (6) μας δείχνει ότι η περίοδος Τ της ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη του πλάτους Α της ταλάντωσης και η τιμή της καθορίζεται από τη μάζα m του σώματος και από τη σταθερά επαναφοράς D. Οποιαδήποτε μεταβολή (αύξηση ή μείωση) γίνει στο πλάτος Α της ταλάντωσης, η περίοδος Τ παραμένει σταθερή. ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (Ενεργειακή προσέγγιση) Θεωρούμε ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Το σώμα σε μια τυχαία θέση έχει ταχύτητα υ, άρα θα έχει και κινητική ενέργεια που δίνεται από την σχέση : K = mυ. Όμως : υ υσυνωt =. Αντικαθιστώντας στην σχέση της κινητικής ενέργειας έχουμε : K = m( υσυνωt) K = m( ωασυνωt) K = mω A συν ωt (7). Ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχει και δυναμική ενέργεια που δίνεται από την σχέση : Έχουμε : = = Dx (8) = Dx. Όμως : D mω και x = Aημωt ( ) mω Aημωt =. Άρα : = mω A ημ ωt (9) Ενέργεια ταλάντωσης Ε ενός ταλαντούμενου συστήματος είναι η ενέργεια που δώσαμε αρχικά στο σύστημα (μέσω του έργου της εξωτερικής δύναμης) για να το διεγείρουμε (να το θέσουμε σε ταλάντωση). Έχουμε : E=K+. E = DA (0) Η ενέργεια E στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι σταθερή και ανάλογη με το τετράγωνο του πλάτους της ταλάντωσης. 4

Στην θέση ισορροπίας έχουμε x=0, και υ=±υ. Άρα : = 0 και K = mυ K = K. Επίσης : = K + = K + 0 Στις ακραίες θέσεις έχουμε x=±α, και υ=0. Άρα : = DA Σε μια τυχαία θέση είναι E = K E = και K = 0. Επίσης : K + = 0 + Dx = και mυ E = E = K =. Άρα : E = + mυ Dx Αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης : DA mυ mυ Dx = = + (). t x K E 0 0 K 0 K Τ/4 +Α 0 Τ/ 0 K 0 K 3Τ/4 -Α 0 Τ 0 K 0 K Ως γνωστόν : =. Επίσης : Dx E = K + K = E K = E Dx 5

ΑΜΕΙΩΤΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΩΜΑ L-C Χρονική στιγμή t=0 : Ο διακόπτης κλείνει. Ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο Q, και το κύκλωμα δεν διαρρέεται από ρεύμα (i=0). T Χρονικό διάστημα από t=0 ως t=t/4 ( 0 < t < ) : Ο πυκνωτής εκφορτίζεται, άρα το φορτίο του q 4 μειώνεται, και η ένταση του ρεύματος i αυξάνεται σταδιακά. Η ΗΕΔ από αυτεπαγωγή Ε αυτ στο πηνίο έχει τέτοια πολικότητα ώστε να δίνει ρεύμα αντίθετο του i. Χρονική στιγμή t=t/4: Ο πυκνωτής έχει εκφορτιστεί πλήρως, δηλαδή q=0, και το ρεύμα αποκτά μέγιστη τιμή Ι. Επίσης Ε αυτ =0. T T Χρονικό διάστημα από t=τ/4 ως t=t/ ( < t < ) : Το ρεύμα αρχίζει να μειώνεται σταδιακά 4 χωρίς να αλλάζει φορά. Παράλληλα ο πυκνωτής θα φορτίζεται και πάλι αλλά με αντίθετη πολικότητα από ότι πριν. Η Ε αυτ αλλάζει πολικότητα και δίνει ρεύμα ίδιας φόρα με το ρεύμα i. Χρονική στιγμή t=t/: Ο πυκνωτής έχει φορτιστεί πλήρως έχοντας αντίθετη πολικότητα, δηλαδή έχει αποκτήσει μέγιστο φορτίο Q, και το ρεύμα μηδενίζεται (i=0). T 3T Χρονικό διάστημα από t=τ/ ως t=3t/4 ( < t < ) : Ο πυκνωτής εκφορτίζεται, και το ρεύμα i 4 αυξάνεται σταδιακά έχοντας όμως αντίθετη φορά. Η Ε αυτ έχει τέτοια πολικότητα ώστε να δίνει ρεύμα αντίθετο του i. 6

Χρονική στιγμή t=3t/4: Ο πυκνωτής έχει εκφορτιστεί πλήρως, δηλαδή q=0, και το ρεύμα αποκτά μέγιστη τιμή Ι. Επίσης Ε αυτ =0. 3T Χρονικό διάστημα από t=3τ/4 ως t=t ( < t < T ) : Το ρεύμα αρχίζει να μειώνεται σταδιακά 4 χωρίς να αλλάζει φορά. Παράλληλα ο πυκνωτής θα φορτίζεται και πάλι αλλά με πολικότητα ίδια με αύτη που είχε αρχικά (την χρονική στιγμή t=0). Η Ε αυτ αλλάζει πολικότητα και δίνει ρεύμα ίδιας φοράς με το ρεύμα i. Χρονική στιγμή t=t: Το κύκλωμα επανέρχεται στη αρχική του κατάσταση. Ο πυκνωτής έχει φορτιστεί πλήρως, δηλαδή έχει αποκτήσει μέγιστο φορτίο Q, και το ρεύμα μηδενίζεται (i=0). Το φορτίο q του πυκνωτή μεταβάλλεται με τον χρόνο σύμφωνα με τη σχέση : q = Qσυνωt () H ένταση i του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο μεταβάλλεται με τον χρόνο σύμφωνα με τη σχέση : i = Iημωt όπου I = Qω (3) Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις θετική θεωρείται η φορά του ρεύματος όταν αυτό κατευθύνεται προς τον οπλισμό που την χρονική στιγμή t=0 είναι θετικά φορτισμένος. Ενέργεια στην ηλεκτρική ταλάντωση Ενεργεία ηλεκτρικού πεδίου στο πυκνωτή : Ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο : q E = (4) C B = Li (5) Την χρονική (τυχαία) στιγμή t η συνολική ενέργεια του κυκλώματος είναι : E = E + B q E + C = Li. Τις χρονικές στιγμές t=0,τ/,τ ο πυκνωτής αποκτά μέγιστο φορτίο Q και το ρεύμα μηδενίζεται. Άρα : E = Q C E = E( ) και B = 0. Επίσης E = E () Q E =. C 7

Τις χρονικές στιγμές t=τ/4, 3Τ/4 ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος (q=0) και το κύκλωμα διαρρέεται από μέγιστο ρεύμα Ι. Άρα : E = 0 και B = LI B = B( ). Επίσης E = B () LI E =. Αρχή διατήρησης της ενέργειας του κυκλώματος : q C Q C + Li = = LI (6). t q i E B E 0 Q 0 0 E () E () T/4 0 I 0 B () B () T/ Q 0 0 E () E () 3T/4 0 I 0 B () B () T Q 0 0 E () E () E = Eσυν ωt (7) και B = Eημ ωt (8). T=π LC (9). Η περίοδος Τ εξαρτάται μόνο από τη χωρητικότητα C του πυκνωτή και από τον συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου και είναι ανεξάρτητη του αρχικού φορτίου Q του πυκνωτή. 8

ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ dx dυ = υ και = α (30) dt dt dk = D x υ (3) dt Απόδειξη : Από το θεώρημα έργου ενέργειας έχουμε : dk dw dk dk dk dt dt dt dt dt ΣF dk=dwσ F = = P =ΣF υ = D x υ d dk = = D x υ (3) dt dt Απόδειξη : Άρα : d = dk dt dt de dk d E=K+ de=d(k+) de=dk+d = +. Όμως : de 0 dt dt dt dt = dp =ΣF= D x (33) όπου p : η ορμή του σώματος. dt ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ dq i dt = (34) dv i = (35) όπου V: τάση στα άκρα του πυκνωτή σε τυχαία χρονική στιγμή t. dt C Απόδειξη : di q = (36) dt LC Απόδειξη : Άρα : de dt Απόδειξη : q q dq dq dq dq i C= V= dv = = = V C C dt C dt dt C di di E E L dt dt L αυτ αυτ = =. Όμως σε κάθε χρονική στιγμή έχουμε Eαυτ di V di q = = dt L dt LC iq = (37) C d dt de de iq Άρα = Vi = dt dt C E = P = V i όπου P C : η ισχύς. d d iq = = (38) dt dt C B E C 9 = V.

ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Η ελάττωση του πλάτους σε μια φθίνουσα ταλάντωση ονομάζεται απόσβεση και οφείλεται σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση (τριβές, αντιστάσεις αέρα κ.ά.). Επειδή οι δυνάμεις αυτές είναι αντίθετες από την ταχύτητα, παράγουν συνεχώς αρνητικό έργο, με αποτέλεσμα να μεταφέρουν συνεχώς ενέργεια από το ταλαντούμενο σύστημα στο περιβάλλον. Έτσι, η ολική ενέργεια του συστήματος με την πάροδο του χρόνου ελαττώνεται και το πλάτος της ταλάντωσης, που καθορίζεται από την ολική ενέργεια, μειώνεται. Έστω σώμα το οποίο εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Η αντιτιθέμενη δύναμη F είναι ανάλογη προς την ταχύτητα υ, δηλαδή ισχύει: F ' = bυ (39) Η σταθερά b λέγεται σταθερά απόσβεσης και εξαρτάται: α) από το σχήμα και το μέγεθος του σώματος που εκτελεί την ταλάντωση β) από τις ιδιότητες του μέσου στο οποίο πραγματοποιείται η ταλάντωση. 0

Αν b=0, η ταλάντωση είναι αμείωτη, άρα το πλάτος Α παραμένει σταθερό. Το πλάτος της ταλάντωσης είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου. Το πόσο γρήγορα μειώνεται το πλάτος εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης b. Όταν η τιμή της σταθεράς απόσβεσης μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα. Ο ρυθμός μείωσης του πλάτους της ταλάντωσης αυξάνεται, καθώς αυξάνεται η σταθερά απόσβεσης b. Η περίοδος, για ορισμένη τιμής της σταθεράς b, διατηρείται σταθερή και ανεξάρτητη από το πλάτος. Όταν η σταθερά b μεγαλώνει, η περίοδος παρουσιάζει μια μικρή αύξηση που, στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου, θεωρείται αμελητέα. Στις ακραίες περιπτώσεις όπου η σταθερά b παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, η κίνηση γίνεται απεριοδική, δηλαδή ο ταλαντωτής επιστρέφει στη θέση ισορροπίας του χωρίς ποτέ να την υπερβεί. Κάτι τέτοιο θα μπορούσε να συμβεί, αν το σύστημα ελατήριο-σώμα βρισκόταν μέσα σ' ένα παχύρρευστο υγρό. Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Α Λt = Α 0 e (40) Όπου Α 0 είναι το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης την χρονική στιγμή t=0. Το Λ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τη σταθερά b της απόσβεσης και τη μάζα m του ταλαντούμενου σώματος. A0 A A = = =... = σταθερό. (4) A A A 3 Φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις Σε ένα κύκλωμα LC ο κύριος λόγος απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση R.

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ιδιοσυχνότητα f 0 ενός ταλαντούμενου συστήματος ονομάζουμε τη συχνότητα της ελεύθερης αμείωτης ταλάντωσης του, δηλαδή τη συχνότητα με την οποία ταλαντώνεται το σύστημα όταν διεγείρεται μία μόνο φορά και δεν εμφανίζονται αποσβέσεις. Για ένα σύστημα ελατήριο-μάζα έχουμε : D f 0 = (4) π m Αν σε μια ταλάντωση θέλουμε να διατηρήσουμε την ενέργεια ταλάντωσης σταθερή πρέπει να προσφέρουμε στο ταλαντούμενο σύστημα συνεχώς ενέργεια με ρυθμό ίσο με τον ρυθμό με τον οποίο η ενέργεια του συστήματος γίνεται θερμότητα. Ταλαντώσεις που διατηρούν το πλάτος τους σταθερό με την επίδραση εξωτερικών περιοδικών δυνάμεων (διεγειρουσών δυνάμεων) λέγονται εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση ο διεγέρτης επιβάλλει στην ταλάντωση τη συχνότητα του. Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα ταλάντωσης f του σώματος είναι πάντοτε ίση με τη συχνότητα f του διεγέρτη. Όταν μεταβάλλεται η συχνότητα του διεγέρτη, μεταβάλλεται η συχνότητα του σώματος. Προσοχή!!! Το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται κάθε φορά που μεταβάλλεται η συχνότητα του διεγέρτη.

Το φαινόμενο της μεγιστοποίησης του πλάτους σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση όταν η συχνότητα f του διεγέρτη γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα f 0 (f = fο), ονομάζεται συντονισμός. Η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό. Ο τρόπος με το οποίο το ταλαντούμενο σύστημα αποδέχεται την ενέργεια είναι εκλεκτικός και εξαρτάται από την συχνότητα υπό την οποία προσφέρεται. Κατά τον συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά τον βέλτιστο τρόπο, για αυτό και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο Ηλεκτρικές ταλαντώσεις Η ιδιοσυχνότητα ενός κυκλώματος LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις δίνεται από την σχέση : f 0 = (43) π LC Ένα τέτοιο κύκλωμα μπορεί να εκτελέσει εξαναγκασμένη ταλάντωση, αν τα στοιχεία του συνδεθούν σε σειρά με μια πηγή εναλλασσόμενης τάσης. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Έστω ότι ένα σώμα Σ εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται πάνω στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις θα είναι, αντίστοιχα x = Aημωt και x = Aημ(ωt+φ) Η εξίσωση απομάκρυνσης της σύνθετης ταλάντωσης είναι : x = Aημ(ωt + θ) (44) Όπου A = A + A + A Aσυνφ (45) και Α ημφ εφθ = (46) Α + Α συνφ 3

Η σχέση x=αημ(ωt+θ) δείχνει ότι η σύνθετη κίνηση του σώματος έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: α) Είναι απλή αρμονική ταλάντωση η οποία γίνεται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας που γίνονται και οι επιμέρους ταλαντώσεις. β) Η διεύθυνση της είναι ίδια με αυτή των δύο επιμέρους ταλαντώσεων. γ) Η συχνότητα της είναι ίδια με αυτή των δύο επιμέρους ταλαντώσεων. δ) Το πλάτος της A και η αρχική της φάση θ εξαρτώνται από τα στοιχεία των επιμέρους ταλαντώσεων. Όταν φ=0 τότε A = A + A + A A = ( A + A ) A = A + A. Επίσης εφθ=0 Άρα θ=0 0. x + = (A A )ημωt (47) Όταν είναι φ = 80, τότε A = A + A A A = ( A A ) A = A A Επίσης εφθ=0. Σε αυτή την περίπτωση θα έχουμε θ = 0 ή θ =80. i) Αν Α > Α τότε Α=Α Α και θ=0. Οπότε : x = (A A) ημωt (48) ii) Αν Α <Α τότε Α=Α Α και θ=π rad. Οπότε : x = (A A)ημ(ωt + π) (49) iii) Αν Α = Α, τότε Α = 0, δηλαδή το σώμα είναι συνέχεια ακίνητο. Όταν φ=80 0, η φάση της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίση με την φάση της ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος. 4

Σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος και διαφορετικές συχνότητες Οι εξισώσεις που περιγράφουν δύο τέτοιες ταλαντώσεις είναι, αντίστοιχα: x = Aημωt και x = Aημωt (50) Οι γωνιακές συχνότητες τους ω, και ω διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους. ω ω ω + ω = Aσυν( t) ημ( t) (5) x ' Η σχέση (5) γίνεται : x = A ημωt (5) Η σχέση (5) περιγράφει μια ιδιόμορφη ταλάντωση η οποία έχει : ω + ω α) συχνότητα ω = ω ω (53), η οποία είναι περίπου ίδια με τις επιμέρους ταλαντώσεις. ' ω ω β) πλάτος A = Aσυν t (54), το οποίο μεταβάλλεται από Α' =0 ως Α' =Α. Όταν η κίνηση ενός σώματος περιγράφεται από την σχέση (5), τότε λέμε ότι η κίνηση του σώματος παρουσιάζει διακροτήματα. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών (ή δύο διαδοχικών μεγιστοποιήσεων) του πλάτους ' A, ονομάζεται περίοδος Τ δ των διακροτημάτων. 5

Τ Τ δ δ π = (55) ω ω = (56) και fδ = f f (57). f f 6