ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. Μετά την αφαίρεση των θεμάτων παλαιάς Ύλης απομένουν Θέματα. Νέας Ύλης

Transcript

1 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Μετά την αφαίρεση των θεμάτων παλαιάς Ύλης απομένουν 9 0 Θέματα. Νέας Ύλης 00. Η ιδιοσυχνότητα ενός συστήματος που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς τριβή είναι 0 Hz. Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι: Α) 0 Hz Β) 0 Hz Γ) 30 Hz Δ) 40 Hz. Ηλεκτρικό κύκλωμα LC, αμελητέας ωμικής αντίστασης, εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση με περίοδο Τ. Αν τετραπλασιάσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή χωρίς να μεταβάλουμε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου, τότε η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης θα είναι: Α) T Β) T Γ) T Δ) 4T 3. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση υπό την επίδραση συνισταμένης δύναμης F. Αν x είναι η απομάκρυνση του σημείου από τη θέση ισορροπίας του και D θετική σταθερά, τότε για τη δύναμη ισχύει: 3 Α) F D Β) F D x Γ) F D x Δ) F 0 4. Το φαινόμενο του συντονισμού παρατηρείται μόνο στις 4 Α) μηχανικές ταλαντώσεις Β) ηλεκτρικές ταλαντώσεις Γ) εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Δ) ελεύθερες ταλαντώσεις 5. Σ' ένα κύκλωμα LC που εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση με αμείωτο πλάτος παρεμβάλλουμε μεταβλητή αντίσταση R. Τι συμβαίνει στο πλάτος της έντασης του ρεύματος για διάφορες τιμές της αντίστασης R; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα που αναφέρεται στην απλή αρμονική ταλάντωση και να συμπληρώσετε τα κενά με τα κατάλληλα μέτρα των φυσικών μεγεθών. 6 x (απομάκρυνση) 0 U (Δυναμική ενέργεια) Κ (κινητική ενέργεια) x 6J x 5J 4J A 7. Ακίνητο σώμα μάζας M 90 kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και

2 N είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k 000. Η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Βλήμα μάζας 0 kg που κινείται κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ, συγκρούεται με το ακίνητο σώμα μάζας Μ και σφηνώνεται σ' αυτό. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A 0,. 7 Α) Να υπολογίσετε: α) την περίοδο Τ της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β) την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση. γ) την ταχύτητα υ, με την οποία το βλήμα προσκρούει στο σώμα μάζας Μ. Β) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης της ταλάντωσης σε σχέση με το χρόνο. / Ο ωροδείκτης ενός ρολογιού έχει περίοδο σε ώρες (h): 8 Α) h Β) h Γ) 4 h Δ) 48 h 9. Στη σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο με το ίδιο πλάτος και λίγο διαφορετικές συχνότητες, ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις του πλάτους ονομάζεται... του διακροτήματος Σώμα μάζας εκτελεί γραμμική απλή αρμονική ταλάντωση. Η απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη σχέση x A int, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης και ω η γωνιακή συχνότητα. Να αποδείξετε ότι η συνολική δύναμη, που δέχεται το σώμα σε τυχαία θέση της τροχιάς του, δίνεται από τη σχέση F x. 0. Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος αποτελείται 5 από πυκνωτή με χωρητικότητα 0 F, ένα ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής 0,05 H και διακόπτη Δ όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Αρχικά ο διακόπτης Δ είναι ανοικτός και ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με ηλεκτρικό φορτίο 5 0 C. Δ Οι αγωγοί σύνδεσης έχουν αμελητέα αντίσταση. Τη χρονική στιγμή t 0 κλείνουμε το διακόπτη Δ. Να υπολογίσετε: Α) την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης Β) το πλάτος της έντασης του ρεύματος 7 Γ) την ένταση του ρεύματος τη στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή C είναι 3 0 C. C L. Η εξίσωση που δίνει την ένταση του ρεύματος σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC είναι i 0, 5 in0 t, ( SI ). Η μέγιστη τιμή του φορτίου του πυκνωτή του κυ- 4 κλώματος είναι ίση με: Ταλαντώσεις

3 4 Α) 0, 5C Β) 0, 5 0 C Γ) C Δ) 5 0 C 3/3 3. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα του διεγέρτη είναι μεγαλύτερη της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτή. Αν αυξάνουμε συνεχώς τη συχνότητα του διεγέρτη, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα: 3 Α) μένει σταθερό Β) αυξάνεται συνεχώς Γ) μειώνεται συνεχώς Δ) αυξάνεται αρχικά και μετά θα μειώνεται 4. Γυρίζουμε το κουμπί επιλογής των σταθμών ενός ραδιόφωνου από τη συχνότητα 9,6 MHz στη συχνότητα 05, 8 MHz. Η χωρητικότητα του πυκνωτή του κυκλώματος LC επιλογής σταθμών του ραδιόφωνου: Α) αυξάνεται Β) μειώνεται Γ) παραμένει σταθερή Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Σώμα μάζας 0, kg που είναι προσδεμένο στο άκρο τεντωμένου νήματος αφήνεται ελεύθερο από ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το νήμα βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση, το σώμα έχει τα- χύτητα μέτρου και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας, όπου. Το σώμα μάζας, μετά την σύγκρουση, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας 3 0, 7 kg. Το σώμα μάζας 3 είναι προσδεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k 0 N, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Τη στιγμή της σύγκρουσης, το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ο άξονάς του συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης του σώματος μάζας. Να θεωρήσετε αμελητέα τη χρονική διάρκεια των κρούσεων και τη μάζα του νήματος. Να υπολογίσετε: 5 Α) το ύψος h από το οποίο αφέθηκε ελεύθερο το σώμα μάζας. Β) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας, με την οποία προσκρούει στο σώμα μάζας 3. Γ) το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα που προέκυψε από την πλαστική κρούση. Δ) το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος μετά από χρόνο t από τη χρονική στιγ- μή που αυτό άρχισε να κινείται. Δίνονται: g 0, co 0 5 3, 5 6. Δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις πραγματοποιούνται στο ίδιο σημείο, έχουν την ίδια Ταλαντώσεις

4 διεύθυνση και συχνότητα, και πλάτη Α και Α. Αν οι ταλαντώσεις αυτές παρουσιάζουν διαφορά φάσης 80, τότε το πλάτος Α της σύνθετης ταλάντωσης που προκύπτει από τη σύνθεσή τους είναι 6 Α) A A A Β) A A A Γ) A A A Δ) A A A 4/3 7. Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Όταν διέρχεται από τη θέση ισορροπίας 7 Α) η κινητική του ενέργεια είναι μηδέν Β) η επιτάχυνσή του είναι μέγιστη Γ) η δύναμη επαναφοράς είναι μηδέν Δ) η δυναμική του ενέργεια είναι μέγιστη 8. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, κατά το συντονισμό, η ενέργεια της ταλάντωσης είναι μέγιστη. (Σ/Λ) 8 9. Δύο ιδανικά κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων L, C έχουν πυκνωτές ιδίας χωρητικότητας C C. Στο διάγραμμα παριστάνονται οι μεταβολές των ρευμάτων που διαρρέουν τα δύο κυκλώματα σε συνάρτηση με το χρόνο. Για τους συντελεστές αυτεπαγωγής των πηνίων L και L αντίστοιχα ισχύει: Α) L L Β) L 4L Γ) L L Δ) L L Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 9 i 4 t 0. Ένα σώμα μάζας είναι προσδεμένο σε ελατήριο σταθεράς Κ και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η συχνότητα του διεγέρτη είναι f f0, όπου f 0 η ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Αν τετραπλασιάσουμε τη μάζα του σώματος, ενώ η συχνότητα του διεγέρτη παραμένει σταθερή, τότε: 0 Α) Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος α) γίνεται f 0 β) γίνεται f γ) παραμένει σταθερή 0 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Β) Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος α) Αυξάνεται β) ελαττώνεται γ) παραμένει σταθερό Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC στη διάρκεια μιας περιόδου η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου: Α) μία φορά Β) δύο φορές Γ) τέσσερις φορές Δ) έξι φορές Ταλαντώσεις

5 . Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα του διεγέρτη είναι μικρότερη από την ι- διοσυχνότητα του ταλαντωτή. Αυξάνουμε συνεχώς τη συχνότητα του διεγέρτη. Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα: Α) αυξάνεται συνεχώς. Β) μειώνεται συνεχώς. Γ) μένει σταθερό. Δ) αυξάνεται αρχικά και μετά θα μειώνεται. 5/3 3. Σώμα συμμετέχει ταυτόχρονα σε δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που περιγράφονται A in t A in t, των οποίων οι συχνότητες ω και από τις σχέσεις και x x ω διαφέρουν λίγο μεταξύ τους. Η συνισταμένη ταλάντωση έχει: 3 Α) συχνότητα Β) συχνότητα Γ) πλάτος που μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών μηδέν και A Δ) πλάτος που μεταβάλλεται μεταξύ των τιμών μηδέν και Α 4. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση το πλάτος παραμένει σταθερό με το χρόνο. (Σ/Λ) 4 5. Δύο σώματα Σ και Σ με ίσες μάζες ισορροπούν κρεμασμένα από κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια με σταθερές k και k αντίστοιχα, που συνδέονται με τη σχέση k k. Απομακρύνουμε τα σώματα Σ και Σ από τη θέση ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω κατά x και x αντίστοιχα και τα αφήνουμε ελεύθερα την ίδια χρονική στιγμή, οπότε εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Τα σώματα διέρχονται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας τους: Α) ταυτόχρονα Β) σε διαφορετικές χρονικές στιγμές με πρώτο το Σ. Γ) σε διαφορετικές χρονικές στιγμές με πρώτο το Σ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης 6 Α) είναι πάντα ίση με την ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης Β) είναι πάντα μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης Γ) είναι ίση με τη συχνότητα του διεγέρτη Δ) είναι πάντα μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης 7. Κύκλωμα LC με αντίσταση R εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα f. Τότε το πλάτος του ρεύματος είναι I. Παρατηρούμε ότι όταν η συχνότητα του διεγέρτη ελαττώνεται με αφετηρία την f, το πλάτος του ρεύματος συνεχώς ελαττώνεται. Με αφετηρία τη συχνότητα f αυξάνουμε τη συχνότητα του διεγέρτη. Στην περίπτωση αυτή, τι ισχύει για το πλάτος του ρεύματος; Ταλαντώσεις

6 Α) Θα μειώνεται συνεχώς Β) Θα αυξάνεται συνεχώς Γ) Θα μεταβάλλεται και για κάποια συχνότητα του διεγέρτη θα γίνει και πάλι I Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 7 6/3 8. Σώμα Σ μάζας M 0, kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου και ηρεμεί. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι σταθερά συνδεδεμένο με κατακόρυφο τοίχο. Μεταξύ σώματος και οριζοντίου δαπέδου δεν εμφανίζονται τριβές. Βλήμα μάζας 0, 00kg κι- νούμενο κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα 00 διαπερνά ακαριαία το σώμα Σ και κατά την έξοδό του η ταχύτητά του γίνεται. Να βρεθούν: 8 Α) Η ταχύτητα v με την οποία θα κινηθεί το σώμα Σ αμέσως μετά την έξοδο του βλήματος. Β) Η μέγιστη επιμήκυνση του ε- λατηρίου. Γ) Η περίοδος με την οποία ταλαντώνεται το σώμα Σ. Δ) Η ελάττωση της μηχανικής ε- νέργειας κατά την παραπάνω κρούση. Δίνεται η σταθερά του ελατηρίου k 000 N. 9. Όταν ένα σύστημα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας, τότε 9 Α) η περίοδος μεταβάλλεται Β) η μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή Γ) ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση αυξάνεται Δ) το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο 30. Σε μία γραμμική αρμονική ταλάντωση διπλασιάζουμε το πλάτος της. Τότε: Α) η περίοδος διπλασιάζεται 30 Β) η συχνότητα διπλασιάζεται Γ) η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή Δ) η μεγίστη ταχύτητα διπλασιάζεται 3. Η ολική ενέργεια ιδανικού κυκλώματος LC, του σχήματος, είναι 5 4 4, 5 0 J η δε περίοδος T Εάν η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C 40 F να υπολογίσετε: 3 Α) το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου. Β) το πλάτος της έντασης του ρεύματος. Γ) το μέγιστο φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή. Δ) το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή τη χρονική στιγμή που η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι τριπλάσια της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. Ταλαντώσεις

7 3. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιου πλάτους και διεύθυνσης. Οι συχνότητες f και f ( f f) των δύο ταλαντώσεων διαφέρουν λίγο μεταξύ τους, με αποτέλεσμα να παρουσιάζεται διακρότημα. Αν η συχνότητα f προσεγγίσει τη συχνότητα f, χωρίς να την ξεπεράσει, ο χρόνος που μεσολαβεί ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους θα: 3 Α) αυξηθεί Β) μειωθεί Γ) παραμείνει ο ίδιος Δ) αυξηθεί ή θα μειωθεί ανάλογα με την τιμή της f 7/3 33. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση της οποίας το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο: 33 Α) το μέτρο της δύναμης που προκαλεί την απόσβεση είναι ανάλογο της απομάκρυνσης Β) ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών προς την ίδια κατεύθυνση δεν διατηρείται σταθερός Γ) η περίοδος διατηρείται σταθερή για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης Δ) το μέτρο της δύναμης που προκαλεί την απόσβεση είναι σταθερό 34. Η αύξηση της αντίστασης σε κύκλωμα με φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση συνεπάγεται και τη μείωση της περιόδου της. (Σ/Λ) Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC, τη στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή είναι το μισό του μέγιστου φορτίου του ( Q ), η ενέργεια U B του μαγνητικού πεδίου q του πηνίου είναι το: Α) 5% Β) 50% Γ) 75% της ολικής ενέργειας Ε του κυκλώματος. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Σώμα μάζας είναι κρεμασμένο από ελατήριο σταθεράς k και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f. Παρατηρούμε ότι, αν η συχνότητα του διεγέρτη αυξηθεί και γίνει f, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι πάλι A. Για να γίνει το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης μεγαλύτερο του A, πρέπει η συχνότητα f του διεγέρτη να είναι: Α) f f Β) f f Γ) f f f Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Ένα σύστημα ελατηρίου-μάζας εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν τετραπλασιάσουμε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης αυτού του συστήματος, τότε 37 Α) η συχνότητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί Β) η σταθερά επαναφοράς θα τετραπλασιαστεί Ταλαντώσεις

8 Γ) το πλάτος της ταλάντωσης θα τετραπλασιαστεί Δ) η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί 8/3 38. Σε ιδανικό κύκλωμα LC με διακόπτη, φορτίζουμε τον πυκνωτή και κλείνουμε τον διακόπτη. Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγμή που κλείσαμε το διακόπτη, ο πυκνωτής θα αποκτήσει για πρώτη φορά την αρχική του ενέργεια; Α) LC Β) LC Γ) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Αν στον αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επαναφοράς ενεργεί και δύναμη αντίστασης F b, με b= σταθερό, το πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση (για Λ>0). 39 Α) A A 0 bt Β) A t A 0 e Γ) A LC t A 0 e Δ) A A 0 t 40. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση ο ρυθμός μείωσης του πλάτους μειώνεται, όταν αυξάνεται η σταθερά απόσβεσης b. (Σ/Λ) Κατά το συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά το βέλτιστο τρόπο, γι αυτό και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο. (Σ/Λ) 4 4. Σώμα μάζας Μ έχει προσδεθεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ του οποίου το άνω άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά απόσταση α από τη θέση ισορροπίας και το αφήνουμε ελεύθερο να κάνει ταλάντωση. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα και με ένα άλλο ελατήριο σταθεράς k 4k. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των δυναμικών ενεργειών των δύο ταλαντώσεων σε συνάρτηση με την απομάκρυνση στο ίδιο διάγραμμα Σώμα μάζας που είναι προσδεδεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k, όταν απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας κατά Α, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ. Αν τετραπλασιάσουμε την απομάκρυνση Α, η περίοδος της ταλάντωσης γίνεται 43 Α) T Β) T Γ) T Δ) 4 T 44. Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις ένα σύστημα ταλαντώνεται με συχνότητα που είναι ίση με 44 Α) την ιδιοσυχνότητά του Β) τη συχνότητα του διεγέρτη Γ) τη διαφορά ιδιοσυχνότητας και συχνότητας του διεγέρτη Δ) το άθροισμα ιδιοσυχνότητας και συχνότητας του διεγέρτη Ταλαντώσεις

9 45. Δύο ιδανικά κυκλώματα LC και LC με αυτεπαγωγές L και L 4L έχουν την ίδια ολική ενέργεια. Για τα πλάτη των ρευμάτων που διαρρέουν τα κυκλώματα θα ισχύει ότι Α) I I Β) I 4I Γ) I I Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 45 9/ Στο κύκλωμα των εξαναγκασμένων ηλεκτρικών ταλαντώσεων του σχήματος 46 Α) το πλάτος Ι της έντασης του ρεύματος είναι ανεξάρτητο της συχνότητας της εναλλασσόμενης τάσης Β) η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος είναι πάντοτε ίση με την ιδιοσυχνότητά του Γ) η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος είναι ανεξάρτητη της χωρητικότητας C του πυκνωτή Δ) όταν η συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος, έχουμε μεταφορά ενέργειας στο κύκλωμα κατά το βέλτιστο τρόπο 47. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος Α και συχνότητες f και f που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους 47 Α) το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης είναι Α Β) όλα τα σημεία ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος Γ) ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι T Δ) Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι T f f f f 48. Η σταθερά απόσβεσης b σε μία φθίνουσα ταλάντωση εξαρτάται και από τις ιδιότητες του μέσου. (Σ/Λ) 48 t Ο πυκνωτής χωρητικότητας C έχει φορτιστεί μέσω πηγής συνεχούς τάσης με φορτίο Q. Τη χρονική στιγμή t o =0 ο διακόπτης Δ κλείνει, οπότε στο κύκλωμα LC έχουμε α- μείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Τη χρονική 5 στιγμή T, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης του κυκλώματος LC, o διακόπτης Δ ανοίγει και ταυτόχρονα κλείνει ο Δ. Το μέγιστο φορτίο Q που θα αποκτήσει ο πυκνωτής χωρητικότητας C, όπου C 4C, κατά τη διάρκεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος LC θα είναι ίσο με 49 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Α) Q Β) Q Γ) Q Ταλαντώσεις

10 50. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με το χρόνο. Στην περίπτωση αυτή 50 Α) στα σημεία και 5 το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση Β) στα σημεία και 4 το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση Γ) στα σημεία 4 και 5 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας Δ) στα σημεία 3 και 4 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας 0/3 5. Σε ένα ιδανικό κύκλωμα LC το φορτίο του πυκνωτή μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση q Qco t. Για το σύστημα αυτό 5 Α) η περίοδος ταλάντωσης του κυκλώματος δίνεται από τη σχέση T LC Β) η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα περιγράφεται από τη σχέση i Q int Γ) τη χρονική στιγμή t=0 η ενέργεια του πυκνωτή είναι 0. Δ) η ενέργεια του πυκνωτή μια τυχαία χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση U Cq 5. Δυο αρμονικές ταλαντώσεις έχουν την ίδια διεύθυνση και γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο με το ίδιο πλάτος αλλά λίγο διαφορετικές συχνότητες. Στη σύνθεση των ταλαντώσεων αυτών ο χρόνος ανάμεσα σε δυο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις του πλάτους ονομάζεται περίοδος των διακροτημάτων. (Σ/Λ) Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις που α- πεικονίζουν την ταλάντωση που εκτελούν τα συστήματα ανάρτησης τριών αυτοκινήτων που κινούνται με την ίδια ταχύτητα όταν συναντούν το ίδιο εξόγκωμα στο δρόμο. Το αυτοκίνητο του οποίου το σύστημα ανάρτησης λειτουργεί καλύτερα είναι το Α) I Β) II Γ) III Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Το σώμα Σ του σχήματος είναι συνδεδεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθε- Ταλαντώσεις

11 N ράς k 900, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σύστημα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με περίοδο T 5. Το σώμα τη χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με ταχύτητα 6 κινούμενο προς τα δεξιά. Να βρείτε: 54 Α) Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος. Β) Τη μάζα του σώματος. Γ) Την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο και /3 να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες για το χρονικό διάστημα από 0 έως. 5 Δ) Για ποιες απομακρύνσεις ισχύει K 3U, όπου Κ η κινητική ενέργεια και U η δυναμική ενέργεια του συστήματος. 55. Σε κύκλωμα αμείωτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC 55 Α) η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από τη σχέση Β) το άθροισμα των ενεργειών ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου κάθε χρονική στιγμή είναι σταθερό Γ) η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου Δ) όταν η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου γίνεται μέγιστη η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα μηδενίζεται UE Cq 56. Το πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης δεν εξαρτάται από τη συχνότητα f του διεγέρτη (Σ/Λ) Ένας ταλαντωτής τη χρονική στιγμή t = 0 έχει ενέργεια E 0 και πλάτος ταλάντωσης A 0. Η ενέργεια που έχει χάσει ο ταλαντωτής μέχρι τη στιγμή t, που το πλάτος της ταλάντωσής του έχει μειωθεί στο 4 της αρχικής του τιμής, είναι57 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Α) E Β) E Γ) 5 E Το αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται πάνω στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας είναι μια νέα αρμονική ταλάντωση, ό- ταν οι δύο αρχικές ταλαντώσεις έχουν 58 Α) παραπλήσιες συχνότητες και ίδια πλάτη Β) παραπλήσιες συχνότητες και διαφορετικά πλάτη Γ) ίδιες συχνότητες και διαφορετικά πλάτη Δ) ίδια πλάτη και διαφορετικές συχνότητες Ταλαντώσεις

12 59. Ενώ ακούμε ένα ραδιοφωνικό σταθμό που εκπέμπει σε συχνότητα 00 MHz, θέλουμε να ακούσουμε το σταθμό που εκπέμπει σε 00, 4 MHz. Για το σκοπό αυτό στο δέκτη πρέπει να 59 Α) αυξήσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή Β) αυξήσουμε την αυτεπαγωγή του πηνίου Γ) ελαττώσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή Δ) αυξήσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή και την αυτεπαγωγή του πηνίου /3 60. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση που η αντιτιθέμενη δύναμη είναι της μορφής F b b σταθερό 60 Α) ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών μειώνεται σε σχέση με το χρόνο Β) η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από το πλάτος Γ) το πλάτος παραμένει σταθερό σε σχέση με το χρόνο Δ) η περίοδος παραμένει σταθερή σε σχέση με το χρόνο, με 6. Τα κτήρια κατά τη διάρκεια ενός σεισμού εκτελούν εξαναγκασμένη ταλάντωση. (Σ/Λ) 6 6. Στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωμένο σώμα μάζας, 44 kg, ενώ το άλλο του άκρο είναι ακλόνητο. Πάνω στο σώμα κάθεται ένα πουλί μάζας και το σύστημα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του συστήματος είναι 0, 4 και η δυναμική του ενέργεια μηδενίζεται κάθε 05,. Όταν το σύστημα διέρχεται από την ακραία θέση ταλάντωσης, το πουλί πετά κατακόρυφα και το νέο σύστημα ταλαντώνεται με κυκλική συχνότητα, 5. Να βρείτε: 6 rad Α) Την περίοδο και το πλάτος της αρχικής ταλάντωσης. Β) Τη σταθερά του ελατηρίου. Γ) Τη μέγιστη ταχύτητα της νέας ταλάντωσης. Δ) Τη μάζα του πουλιού. 63. Η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή σε ένα κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC, το οποίο εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις μεγίστου φορτίου Q και γωνιακής συχνότητας ω, δίνεται από τη σχέση q Qcot. Η εξίσωση της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα δίνεται από τη σχέση 63 Α) i Qin t Β) Q i int Γ) i Qco t Δ) i Qin t 64. Κατά τη φθίνουσα μηχανική ταλάντωση 64 Α) το πλάτος παραμένει σταθερό Β) η μηχανική ενέργεια διατηρείται Γ) το πλάτος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση A A0 e t, όπου Λ θετική σταθερά Ταλαντώσεις

13 Δ) έχουμε μεταφορά ενέργειας από το ταλαντούμενο σύστημα στο περιβάλλον 3/3 65. Η περίοδος και η συχνότητα ενός περιοδικού φαινομένου είναι μεγέθη αντίστροφα. (Σ/Λ) Ένας ταλαντωτής τη χρονική στιγμή t έχει ενέργεια ταλάντωσης Ε και πλάτος ταλάντωσης Α. Τη χρονική στιγμή t που έχει χάσει τα 3 4 ταλάντωσής του είναι: 66 Α) 4 A Β) 3 A 4 της αρχικής του ενέργειας το πλάτος της Γ) A Δ) 3 A 67. Σε κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων με πηνίο, πυκνωτή και αντίσταση, αν η τιμή της αντίστασης υπερβεί κάποιο όριο, η ταλάντωση γίνεται απεριοδική. (Σ/Λ) Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιου πλάτους Α, που πραγματοποιούνται γύρω από το ίδιο σημείο. Αν οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων f και f διαφέρουν λίγο μεταξύ τους, τότε 68 Α) το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση Β) το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό Γ) το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης είναι Α Δ) η περίοδος του διακροτήματος είναι ανάλογη με τη διαφορά συχνοτήτων f f 69. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα του ταλαντούμενου συστήματος είναι διαφορετική από αυτή του διεγέρτη. (Σ/Λ) Θεωρούμε δύο κυκλώματα AL A,C και BL,C που εκτελούν ελεύθερες αμείωτες B ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Οι πυκνωτές στα δύο κυκλώματα έχουν την ίδια χωρητικότητα C. Οι καμπύλες Α και Β παριστάνουν τα ρεύματα στα δύο πηνία σε συνάρτηση με τον χρόνο. Για τους συντελεστές αυτεπαγωγής L A, L B των πηνίων στα δύο κυκλώματα ισχύει ότι 70 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Α) L 4L Β) L 4L Γ) L L A B B A A B 7. Ένας αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Όταν η συχνότητα του διεγέρτη παίρνει τις τιμές f 5 Hz και f 0 Hz, το πλάτος της ταλάντωσης είναι το ίδιο. Θα έχουμε μεγαλύτερο πλάτος ταλάντωσης, όταν η συχνότητα του διεγέρτη πάρει την τιμή: 7 Ταλαντώσεις

14 Α) Hz Β) 4 Hz Γ) 8 Hz Δ) Hz 7. Στην απλή αρμονική ταλάντωση, το ταλαντούμενο σώμα έχει μέγιστη ταχύτητα: 7 Α) στις ακραίες θέσεις της τροχιάς του Β) όταν η επιτάχυνση είναι μέγιστη Γ) όταν η δύναμη επαναφοράς είναι μέγιστη Δ) όταν η δυναμική του ενέργεια είναι μηδέν 4/3 73. Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων αν κάποια χρονική στιγμή ισχύει q Q, όπου q το στιγμιαίο ηλεκτρικό φορτίο και Q η μέγιστη τιμή του ηλεκτρικού φορτίου στον πυκνωτή, τότε ο λόγος της ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου προς την ενέργεια μαγνητικού πε- U δίου U E B είναι: 73 3 Α) 8 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Β) 3 Γ) Ένα σώμα μετέχει σε δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο με το ίδιο πλάτος και γωνιακές συχνότητες, που διαφέρουν πολύ λίγο. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων είναι: x, in t, x, in t (όλα τα μεγέθη στο S.I.). Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους της ιδιόμορφης ταλάντωσης (διακροτήματος) του σώματος είναι: 74 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Α) Β) Γ) 05, 75. Η κίνηση που προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων 75 Α) είναι ανεξάρτητη από τις συχνότητες των επιμέρους αρμονικών ταλαντώσεων. Β) είναι ανεξάρτητη από τη διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων Γ) είναι ανεξάρτητη από τις διευθύνσεις των δύο αρμονικών ταλαντώσεων. Δ) εξαρτάται από τα πλάτη των δύο αρμονικών ταλαντώσεων 76. Σε ένα κύκλωμα LC η συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεών του είναι ανάλογη της χωρητικότητας C του πυκνωτή. (Σ/Λ) Στην κάτω άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ, η πάνω άκρη του οποίου είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο, σώμα μάζας εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους d, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, η επιμή- Ταλαντώσεις

15 κυνση του ελατηρίου είναι d. Στην κατώτερη θέση της ταλάντωσης του σώματος, ο λόγος της δύναμης του ελατηρίου προς τη δύναμη επαναφοράς είναι 77 Α) F F F F Β) 3 Γ) 3 F F Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 5/ Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με περίοδο T 4 0. Τη χρονική στιγμή t 0, o πυκνωτής έχει το μέγιστο ηλεκτρικό φορτίο. Ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C 0 μf και η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος, το οποίο διαρρέει 3 το πηνίο, είναι 0 A. 78 Α) Να υπολογισθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πηνίου. Β) Ποια χρονική στιγμή η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου γίνεται μέγιστη για πρώτη φορά. Γ) Να υπολογισθεί η μέγιστη τάση στους οπλισμούς του πυκνωτή. Δ) Να υπολογισθεί η ένταση του ρεύματος, το οποίο διαρρέει το πηνίο, τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή είναι τριπλάσια της ε- νέργειας του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο. 6 Δίνονται: F 0 F, 3, Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση έχουν πάντα την ίδια φορά: 79 Α) η ταχύτητα και η επιτάχυνση Β) η ταχύτητα και η απομάκρυνση Γ) η δύναμη επαναφοράς και η απομάκρυνση Δ) η δύναμη επαναφοράς και η επιτάχυνση 80. Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. (Σ/Λ) Το σώμα Σ του σχήματος είναι δεμένο στο ε- λεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του Σ είναι a ax. Το σώμα Σ αντικαθίσταται από άλλο σώμα Σ διπλάσιας μάζας, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ίδιου πλάτους Α. Για το μέτρο a ax της μέγιστης επιτάχυνσης του Σ, ισχύει: 8 a ax Α) aax Β) aax a ax Γ) aax aax Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 8. Πυκνωτής χωρητικότητας 6 0 F φορτίζεται σε τάση 50 V. Τη χρονική στιγμή t = 0 Ταλαντώσεις

16 οι οπλισμοί του πυκνωτή συνδέονται στα άκρα ιδανικού πηνίου με συντελεστή αυτεπαγω- γής 0 H και το κύκλωμα εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. 8 Α) Να υπολογίσετε την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης. Β) Να γράψετε την εξίσωση η οποία δίνει την ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο σε συνάρτηση με το χρόνο. Γ) Να υπολογίσετε το λόγο της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή προς την ε- νέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου, όταν το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα έντασης i 0, A. Δίνεται: 3,4. 6/3 83. Σώμα Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, στην ίδια διεύθυνση, με εξισώσεις: x in t και x in t Η απομάκρυνση του σώματος κάθε χρονική στιγμή θα δίνεται από την εξίσωση (006) 83 Α) y 3 in0t Β) y 3 in0t Γ) y in0t Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 84. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, προκύπτει απλή αρμονική ταλάντωση σταθερού πλάτους, μόνο όταν οι επιμέρους ταλαντώσεις έχουν 84 Α) ίσες συχνότητες Β) παραπλήσιες συχνότητες Γ) διαφορετικές συχνότητες Δ) συχνότητες που η μια είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της άλλης 85. Με την πάροδο του χρόνου και καθώς τα αμορτισέρ ενός αυτοκινήτου παλιώνουν και φθείρονται: 85 Α) η τιμή της σταθεράς απόσβεσης b αυξάνεται Β) η τιμή της σταθεράς απόσβεσης b μειώνεται Γ) το πλάτος της ταλάντωσης του αυτοκινήτου, όταν περνά από εξόγκωμα του δρόμου, μειώνεται πιο γρήγορα Δ) η περίοδος των ταλαντώσεων του αυτοκινήτου παρουσιάζει μικρή αύξηση 86. Σε κύκλωμα εξαναγκασμένων ηλεκτρικών ταλαντώσεων μεταβάλλουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή. Τότε μεταβάλλεται και η συχνότητα των ταλαντώσεων του κυκλώματος. (Σ/Λ) Διαθέτουμε δύο κυκλώματα ( LC ) και ( LC ) ηλεκτρικών ταλαντώσεων. Τα διαγράμματα () και () παριστάνουν τα φορτία των πυκνωτών C και C αντίστοιχα, I σε συνάρτηση με το χρόνο. Ο λόγος των μέγιστων τι- I μών της έντασης του ρεύματος στα δύο κυκλώματα είναι: 87 Ταλαντώσεις

17 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Α) Β) Γ) 7/3 88. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση της οποίας το πλάτος μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο. 88 Α) η ενέργεια του ταλαντωτή είναι συνεχώς σταθερή Β) η συχνότητα αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου Γ) ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός Δ) το πλάτος μειώνεται γραμμικά με τον χρόνο 89. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η απομάκρυνση και η επιτάχυνση την ίδια χρονική στιγμή 89 Α) έχουν πάντα αντίθετο πρόσημο Β) έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο Γ) θα έχουν το ίδιο ή αντίθετο πρόσημο ανάλογα με την αρχική φάση της απλής αρμονικής ταλάντωσης Δ) μερικές φορές έχουν το ίδιο και άλλες φορές έχουν αντίθετο πρόσημο 90. Η περίοδος ταλάντωσης ενός ιδανικού κυκλώματος ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC είναι Τ. Διατηρώντας το ίδιο πηνίο, αλλάζουμε τον πυκνωτή χωρητικότητας C με άλλον πυκνωτή χωρητικότητας C 4C. Τότε η περίοδος ταλάντωσης του νέου κυκλώματος θα είναι ίση με: 90 Α) T Β) 3T 3 Γ) T Δ) 4 T 9. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, η συχνότητα της ταλάντωσης ισούται με τη συχνότητα του διεγέρτη. (Σ/Λ) 9 9. Υλικό σημείο Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και κυκλικής συχνότητας ω. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της ταχύτητάς του είναι 0 και του μέτρου της επιτάχυνσής του είναι a 0. Αν x, υ, α είναι τα μέτρα της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του Σ αντίστοιχα, τότε σε κάθε χρονική στιγμή ισχύει: 9 Α) A x Β) x a 0 a Γ) a 0 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 93. Σε φθίνουσα μηχανική ταλάντωση της οποίας το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης, η περίοδος της ταλάντωσης με την πάροδο του χρόνου 93 Α) Αυξάνεται Β) Διατηρείται σταθερή Ταλαντώσεις

18 Γ) Μειώνεται γραμμικά Δ) Μειώνεται εκθετικά 8/3 94. Η συνολική δύναμη F που ασκείται σε ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση συνδέεται με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του σώματος με τη σχέση (D θετική σταθερά) 94 Α) F Dx Β) F Dx Γ) F Dx Δ) F Dx 95. Στη φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση ενός κυκλώματος ένας από τους λόγους απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση του κυκλώματος. (Σ/Λ) Το πλάτος σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι ανεξάρτητο από τη συχνότητα του διεγέρτη. (Σ/Λ) Σε ιδανικό κύκλωμα LC παραγωγής ηλεκτρικών ταλαντώσεων, η ένταση του ρεύματος i που διαρρέει το κύκλωμα συναρτήσει του χρόνου t δίνεται από τη σχέση 4 i 0, 5 in 0 t, SI. Το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L 0 H. Να υπολογίσετε: 97 Α) Την περίοδο Τ των ηλεκτρικών ταλαντώσεων Β) Τη χωρητικότητα του πυκνωτή Γ) Το μέγιστο φορτίο Q του πυκνωτή Δ) Την απόλυτη τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, όταν το ηλεκτρικό 5 φορτίο του πυκνωτή είναι q 3 0 C. 98. Ραδιοφωνικός δέκτης περιέχει ιδανικό κύκλωμα LC για την επιλογή σταθμών. Ένας ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει σε συχνότητα μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα του ιδανικού κυκλώματος LC. Για να συντονιστεί ο δέκτης με τον σταθμό πρέπει: 98 Α) να αυξήσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή. Β) να μειώσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή Γ) να μειώσουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου Δ) να μειώσουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου και τη χωρητικότητα του πυκνωτή. 99. H ενέργεια ταλάντωσης ιδανικού κυκλώματος LC είναι ίση με φορτίο του πυκνωτή και C η χωρητικότητα του πυκνωτή. (Σ/Λ) 99 QC, όπου Q το μέγιστο 00. Η συχνότητα του διακροτήματος είναι μεγαλύτερη από κάθε μια από τις συχνότητες των δύο ταλαντώσεων που δημιουργούν το διακρότημα. (Σ/Λ) Υλικό σημείο Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι ταλαντώσεις περι- Ταλαντώσεις

19 γράφονται από τις εξισώσεις : x Aint και x Aint 3 με A 4 c και 0 rad. 0 Α) Να υπολογισθεί το πλάτος A της συνισταμένης απλής αρμονικής ταλάντωσης που ε- κτελεί το Σ. Β) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ. Γ) Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του Σ και να υπολογισθεί η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t μετά από τη στιγμή t 0. 5 Δ) Να υπολογισθεί ο λόγος της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του υ- λικού σημείου τη χρονική στιγμή t Δίνονται: in, co, in co, in, co, AB AB in A in B co in 9/ Σε μια φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η δύναμη απόσβεσης είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώματος, με την πάροδο του χρόνου 0 Α) η περίοδος μειώνεται Β) η περίοδος είναι σταθερή Γ) το πλάτος διατηρείται σταθερό Δ) η ενέργεια ταλάντωσης διατηρείται σταθερή 03. Διακρότημα δημιουργείται κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων οι οποίες πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, όταν οι δύο ταλαντώσεις έχουν 03 Α) ίσα πλάτη και ίσες συχνότητες Β) άνισα πλάτη και ίσες συχνότητες Γ) ίσα πλάτη και παραπλήσιες συχνότητες Δ) ίσα πλάτη και συχνότητες εκ των οποίων η μια είναι πολλαπλάσια της άλλης 04. Το φαινόμενο του συντονισμού παρατηρείται μόνο σε εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. (Σ/Λ) Δίσκος μάζας Μ είναι στερεωμένος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, και ισορροπεί (όπως στο σχήμα). Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο στο έδαφος. Στο δίσκο τοποθετούμε χωρίς αρχική ταχύτητα σώμα μάζας. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι: 05 Ταλαντώσεις

20 M g g M g Α) Β) Γ) k k k Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 0/3 06. Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται: πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης E 5 V μηδενι- 6 κής εσωτερικής αντίστασης, πυκνωτής χωρητικότητας C 8 0 F, πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L 0 H. Αρχικά ο διακόπτης Δ είναι κλειστός και ο διακόπτης Δ α- νοιχτός. 06 Α) Να υπολογίσετε το φορτίο Q του πυκνωτή. Ανοίγουμε το διακόπτη Δ και τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη Δ. Το κύκλωμα LC αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Β) Να υπολογίσετε την περίοδο των ηλεκτρικών ταλαντώσεων. Γ) Να γράψετε την εξίσωση σε συνάρτηση με το χρόνο για την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το πηνίο. Δ) Να υπολογίσετε το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι τριπλάσια από την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή. 07. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, η ταχύτητά του είναι μηδέν. (Σ/Λ) Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα συντονισμού είναι 0 Hz. Αν η συχνότητα του διεγέρτη από 0 Hz γίνει 0 Hz, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης 08 Α) μειώνεται Β) αυξάνεται Γ) παραμένει σταθερό Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 09. Δίδεται ιδανικό κύκλωμα LC. Όταν ο διακόπτης είναι ανοικτός, η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι Ε. Κάποια χρονική στιγμή μετά το κλείσιμο του διακόπτη η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται 4 E. Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου εκείνη τη στιγμή γίνεται 09 Α) 4 E Β) 5 4 E Γ) 3 4 E Δ) 0 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 0. Δύο ταλαντώσεις με συχνότητες f και f δημιουργούν διακροτήματα. Η περίοδος των διακροτημάτων ισούται με: 0 f Α) f Β) f f Γ) f f Δ) f f. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος παραμένει σταθερό. (Σ/Λ) Ταλαντώσεις

21 . Από δύο ελατήρια Α και Β είναι εξαρτημένα δύο σώματα της ίδιας μάζας, τα οποία ε- κτελούν κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση. Το ελατήριο Α έχει σταθερά επαναφοράς μεγαλύτερη από αυτήν του Β. Η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος στο Α είναι Α) μεγαλύτερη από αυτήν στο Β Β) μικρότερη από αυτήν στο Β Γ) ίση με αυτήν στο Β Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. /3 3. Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC διπλασιάζουμε την τάση φόρτισης του πυκνωτή. Το μέγιστο ρεύμα του κυκλώματος 3 Α) αυξάνεται Β) μειώνεται Γ) παραμένει σταθερό Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 4. Ένα ιδανικό κύκλωμα πηνίου-πυκνωτή εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση. Η ολική ενέργεια του κυκλώματος 4 Α) παραμένει συνεχώς σταθερή Β) μειώνεται στα χρονικά διαστήματα στα οποία φορτίζεται ο πυκνωτής Γ) είναι μικρότερη από την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή Δ) είναι περιοδική συνάρτηση του χρόνου 5. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση και έχουν διαφορά φάσης 80, το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι 5 A A Β) Α) A A Γ) A A Δ) όπου A και A είναι τα πλάτη των αρχικών ταλαντώσεων. A A 6. Ένας λόγος για τον οποίο χάνει ενέργεια ένα κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC είναι ότι εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. (Σ/Λ) 6 7. Σώμα μάζας kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία 30. Το σώμα είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ε- λατηρίου σταθεράς K 00 N το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Εκτρέπουμε το σώμα κατά d 0, από τη θέση ισορροπίας του κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και το αφήνουμε ελεύθερο. 7 Α) Να αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Β) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώμα- Ταλαντώσεις

22 τος. Μετακινούμε το σώμα προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου μέχρι το ελατήριο να συμπιεστεί από το φυσικό του μήκος κατά 03,. Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα μάζας kg στο κεκλιμένο επίπεδο, ώστε να είναι σε επαφή με το σώμα, και ύστερα αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα. Γ) Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώματος κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του. Δ) Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από τη θέση που αφήσαμε ελεύθερα τα σώματα χάνεται η επαφή μεταξύ τους. Δίνονται: in30, g 0. /3 8. Όταν σε μια απλή αρμονική ταλάντωση διπλασιάσουμε το πλάτος της, τότε διπλασιάζεται και η 8 Α) περίοδος Β) συχνότητα Γ) ολική ενέργεια Δ) μέγιστη ταχύτητα 9. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται από τη συχνότητα του διεγέρτη. (Σ/Λ) 9 0. Το φαινόμενο του συντονισμού συμβαίνει στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις. (Σ/Λ) 0. Τα δύο σώματα και με μάζες και αντίστοιχα είναι δεμένα στα άκρα δύο ελατηρίων με σταθερές K και K, όπως φαίνεται στο σχήμα, και εκτελούν απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίσες ενέργειες ταλάντωσης. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. Το πλάτος ταλάντωσης A του σώματος Α) μικρότερο Β) ίσο Γ) μεγαλύτερο από το πλάτος ταλάντωσης A του σώματος.να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή φράση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 0. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση, όπου η δύναμη που αντιτίθεται στη κίνηση είναι της μορφής F b, όπου b θετική σταθερά και υ η ταχύτητα του ταλαντωτή, αντ Α) όταν αυξάνεται η σταθερά απόσβεσης η περίοδος μειώνεται Β) το πλάτος διατηρείται σταθερό Γ) η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθος του αντικειμένου που κινείται Ταλαντώσεις

23 Δ) η ενέργεια ταλάντωσης διατηρείται σταθερή 3. Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις το φορτίο του πυκνωτή παραμένει σταθερό (Σ/Λ) 3 3/3 4. Δύο όμοια ιδανικά ελατήρια κρέμονται από δύο α- κλόνητα σημεία. Στα κάτω άκρα των ελατηρίων δένονται σώματα μάζας και μάζας. Κάτω από το σώμα δένουμε μέσω αβαρούς νήματος άλλο σώμα μάζας, ενώ κάτω από το σώμα μάζας ( ), όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά τα σώματα είναι ακίνητα. Κάποια στιγμή κόβουμε τα νήματα και τα σώματα και αρχίζουν να ταλαντώνονται. Αν η ενέργεια της ταλάντωσης του είναι E και του είναι E, τότε: 4 E E Α) Β) E E E Γ) E Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 5. Στην απλή αρμονική ταλάντωση 5 Α) η δυναμική ενέργεια παραμένει σταθερή Β) η ολική ενέργεια μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο Γ) η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή Δ) η κινητική ενέργεια παραμένει σταθερή 6. Η σύνθετη ταλάντωση ενός σώματος προκύπτει από δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας στην ίδια διεύθυνση. Το σώμα, σε σχέση με τις αρχικές ταλαντώσεις, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με 6 Α) ίδια διεύθυνση και ίδια συχνότητα Β) διαφορετική διεύθυνση και ίδια συχνότητα Γ) ίδια διεύθυνση και διαφορετική συχνότητα Δ) διαφορετική διεύθυνση και διαφορετική συχνότητα 7. Η ενέργεια ταλάντωσης στην απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο. (Σ/Λ) 7 8. Σε μία εξαναγκασμένη ταλάντωση ο διεγέρτης επιβάλλει στην ταλάντωση τη συχνότητά του. (Σ/Λ) 8 9. Στο κύκλωμα του σχήματος ο πυκνωτής είναι φορτισμένος και ο διακόπτης βρίσκεται στη θέση Β. Τη χρονική στιγμή t 0 0 ο διακόπτης τίθεται στη θέση Α και αρχίζει Ταλαντώσεις

24 5 να εκτελείται ηλεκτρική ταλάντωση με περίοδο Τ. Τη χρονική στιγμή t T ο διακόπτης μεταφέρεται στη θέση Γ. Αν I ax. είναι το μέγιστο ρεύμα στο κύκλωμα LC και I ax. το μέγιστο ρεύμα στο κύκλωμα LC, τότε: 9 α) I I ax, ax, I Β) I ax, ax, I 3 Γ) I ax, ax, 8 Δίνεται L L και ότι ο διακόπτης μεταφέρεται από τη μία θέση στην άλλη ακαριαία και χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 4/ Κατά τη διάρκεια μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης 30 Α) έχουμε πάντα συντονισμό Β) η συχνότητα ταλάντωσης δεν εξαρτάται από τη συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης Γ) για δεδομένη συχνότητα του διεγέρτη το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό Δ) η ενέργεια που προσφέρεται στο σώμα δεν αντισταθμίζει τις απώλειες 3. Σε κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις η ολική ενέργεια είναι 3 Α) ανάλογη του φορτίου του πυκνωτή Β) ανάλογη του in LCt Γ) σταθερή Δ) ανάλογη της έντασης του ρεύματος 3. Στην περίπτωση των ηλεκτρικών ταλαντώσεων ο κύριος λόγος απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση. (Σ/Λ) Λείο κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης 30. Στα σημεία Α και Β στερεώνουμε τα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k 60 N και k 40 N αντίστοιχα. Στα ελεύθερα άκρα των ελατηρίων, δένουμε σώμα Σ, μάζας kg και το κρατάμε στη θέση όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος (όπως φαίνεται στο σχήμα). Τη χρονική στιγμή t 0 =0 αφήνουμε το σώμα Σ ελεύθερο. 33 Α) Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Β) Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του σώματος Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. Να θεωρήσετε θετική φορά τη φορά από το Α προς το Β. Κάποια χρονική στιγμή που το σώμα Σ βρίσκεται στην αρχική του θέση, τοποθετούμε πάνω του (χωρίς αρχική ταχύτητα) ένα άλλο σώμα Σ μικρών διαστάσεων μάζας 6 kg. Το σώμα Σ δεν ολισθαίνει πάνω στο σώμα Σ λόγω της τριβής που δέχεται από αυτό. Το σύστη- Ταλαντώσεις

25 μα των δύο σωμάτων κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Γ) Να βρείτε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος Σ. Δ) Να βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή οριακής στατικής τριβής που πρέπει να υπάρχει μεταξύ των σωμάτων Σ και Σ, ώστε το Σ να μην ολισθαίνει σε σχέση με το Σ. Δίνονται: 3 in 30, co 30, g 0 5/3 34. Στα δύο άκρα λείου επιπέδου στερεώνουμε τα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k 60 N και k 40 N αντίστοιχα. Στα ελεύθερα άκρα των ελατηρίων, δένουμε ένα σώμα Σ μάζας kg ώστε τα ελατήρια να έ- χουν το φυσικό τους μήκος (όπως φαίνεται στο σχήμα). Εκτρέπουμε το σώμα Σ κατά A 0, προς τα δεξιά και τη χρονική στιγμή t ο =0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο. 34 Α) Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Β) Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του σώματος Σ από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο. Να θεωρήσετε θετική την φορά προς τα δεξιά. Γ) Να εκφράσετε το λόγο της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης προς τη μέγιστη κινητική ενέργεια σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x. A Δ) Τη στιγμή που το ελατήριο βρίσκεται στη θέση x αφαιρείται ακαριαία το ελατήριο k. Να υπολογίσετε το πλάτος της νέας ταλάντωσης. 35. Σε μία φθίνουσα μηχανική ταλάντωση η δύναμη αντίστασης έχει τη μορφή F b. Αρχικά η σταθερά απόσβεσης έχει τιμή b. Στη συνέχεια η τιμή της γίνεται b με b b. Τότε: 35 Α) Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα με το χρόνο και η περίοδός της παρουσιάζει μικρή μείωση Β) Το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται πιο γρήγορα με το χρόνο και η περίοδός της παρουσιάζει μικρή αύξηση Γ) Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα με το χρόνο και η περίοδός της παρουσιάζει μικρή αύξηση Δ) Το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται πιο γρήγορα με το χρόνο και η περίοδός της παρουσιάζει μικρή μείωση 36. Στο ιδανικό κύκλωμα L C του σχήματος έχουμε αρχικά τους διακόπτες Δ και Δ ανοικτούς. Οι πυκνωτές χωρητικότητας C και C έχουν φορτιστεί μέσω πηγών συνεχούς τάσης με φορτία Q Q Q. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 ο διακόπτης Δ κλείνει, οπότε στο κύκλωμα L C έχουμε αμείωτη Ταλαντώσεις

26 7T ηλεκτρική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t, όπου T η περίοδος της ταλάντωσης του 4 κυκλώματος L C, ο διακόπτης Δ ανοίγει και ταυτόχρονα κλείνει ο διακόπτης Δ. Δίνεται ότι C C. Το μέγιστο φορτίο που θα αποκτήσει ο πυκνωτής χωρητικότητας C κατά τη διάρκεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος L C είναι: 36 Α) 3 Q Β) Q 3 Γ) 3Q Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 6/3 37. Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και στην ίδια διεύθυνση. Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις σχέσεις: y Ain t, y 3Ain t 3 6. Αν E, E, E είναι οι ενέργειες ταλάντωσης για την πρώτη, για τη δεύτερη και για τη συνισταμένη ταλάντωση, τότε ισχύει: 37 Α) E E E Β) E E E Γ) E E E Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Διακρότημα δημιουργείται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, με ίδιο πλάτος, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, όταν οι ταλαντώσεις αυτές έχουν: 38 Α) ίσες συχνότητες και ίδια φάση Β) ίσες συχνότητες και διαφορά φάσης π Γ) παραπλήσιες συχνότητες Δ) ίσες συχνότητες και διαφορά φάσης π 39. Σε μια μηχανική ταλάντωση της οποίας το πλάτος φθίνει χρονικά ως A A0 e t Α 0 είναι το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης και Λ είναι μια θετική σταθερά, ισχύει ότι: 39 Α) οι μειώσεις του πλάτους σε κάθε περίοδο είναι σταθερές Β) η δύναμη αντίστασης είναι F, όπου b, όπου b είναι η σταθερά απόσβεσης και υ η ταχύτητα του σώματος που ταλαντώνεται Γ) η περίοδος Τ της ταλάντωσης μειώνεται με το χρόνο για μικρή τιμή της σταθεράς απόσβεσης b Δ) η δύναμη αντίστασης είναι F b, όπου b είναι η σταθερά απόσβεσης και υ η τα- χύτητα του σώματος που ταλαντώνεται 40. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση αυξάνεται το μέτρο της ταχύτητας του σώματος που ταλαντώνεται καθώς αυξάνεται το μέτρο της δύναμης επαναφοράς. (Σ/Λ) Στο κύκλωμα του σχήματος ο πυκνωτής χωρητικότητας Ταλαντώσεις

27 6 C 0 0 F είναι φορτισμένος σε τάση V 0 V και το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L 3 H 9 0 C. Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 κλείνουμε το διακόπτη δ. Κάποια μεταγενέστερη χρονική στιγμή t, το φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο είναι 6 Α. Από τη στιγμή t 0 έως τη στιγμή t η συνολική ε- νέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης μειώθηκε κατά: Α) 0 J Β) 0 J Γ) 4 0 J Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 7/3 4. Σε μία απλή αρμονική ταλάντωση η ταχύτητα του σώματος που ταλαντώνεται δίνεται από τη σχέση A in t από τη σχέση: 4. Τότε η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας δίνεται Α) x Ain t Β) x Aco t Γ) x Ain t Δ) 3 x Ain t 43. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση η δύναμη που προκαλεί την απόσβεση είναι της μορφής F b, όπου b θετική σταθερά και υ η ταχύτητα του σώματος που ταλαντώνεται. Το έργο της δύναμης αυτής είναι 43 Α) θετικό, όταν το σώμα κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση Β) πάντα αρνητικό Γ) πάντα θετικό Δ) μηδέν για μια πλήρη ταλάντωση 44. Ιδανικό κύκλωμα L C εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με συχνότητα f. Εισάγοντας πυρήνα μαλακού σιδήρου στο πηνίο, παρατηρούμε ότι η συχνότητα της ταλάντωσης γίνεται f f. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πηνίου έγινε 44 4 Α) 4L Β) 6L Γ) L Δ) L Απλός αρμονικός ταλαντωτής, ελατήριο-μάζα, με σταθερά ελατηρίου k 00 N και μάζα kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα διεγέρτη η συχνότητα του διεγέρτη αυξηθεί, τότε το πλάτος της ταλάντωσης 45 Α) μειώνεται Β) αυξάνεται Γ) μένει σταθερό Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 8 f Hz. Αν 46. Ιδανική πηγή με ΗΕΔ 0 E V και εσωτερική αντίσταση r 0, συνδέεται με αντίσταση R 0 Ω, με ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής 3 L 9 0 H και πυκνωτή χωρητικό- Ταλαντώσεις

28 9 τητας C F. Αρχικά ο διακόπτης (δ) βρίσκεται στη θέση για αρκετό χρόνο και ο πυκνωτής έχει φορτίο Q 0 C. 46 Α) Να υπολογίσετε την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. Μεταφέρουμε ακαριαία το διακόπτη (δ) στη θέση χωρίς να ξεσπάσει ηλεκτρικός σπινθήρας και το κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Β) Να υπολογίσετε την περίοδο (Τ) των ταλαντώσεων. Γ) Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή. Δ) Αμέσως μετά τη μεταφορά του διακόπτη (δ) στη θέση να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της τάσης στα άκρα του πυκνωτή. 8/3 47. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α. Στη θέση μέγιστης απομάκρυνσης 47 Α) η κινητική ενέργεια του σώματος γίνεται μέγιστη Β) η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης μηδενίζεται Γ) το μέτρο της δύναμης επαναφοράς γίνεται μέγιστο Δ) η επιτάχυνση του σώματος μηδενίζεται 48. Σε μια αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή παραμένει σταθερό. (Σ/Λ) Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα της ταλάντωσης είναι πάντα ίδια με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή (Σ/Λ) Ταλαντωτής που εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση έχει τη χρονική στιγμή t=0 ενέργεια E 0 και πλάτος A 0. Τη χρονική στιγμή t η ενέργεια του ταλαντωτή έχει ελαττωθεί κατά 5 E 6 0. Τη χρονική στιγμή t το πλάτος Α της ταλάντωσης είναι: 50 Α) A Β) A Γ) A Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση είναι ίση με F. Το πηλίκο F :5 Α) παραμένει σταθερό σε σχέση με το χρόνο Β) μεταβάλλεται αρμονικά σε σχέση με το χρόνο Γ) αυξάνεται γραμμικά σε σχέση με το χρόνο Δ) γίνεται μέγιστο, όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας. 5. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό (Σ/Λ) 5 Ταλαντώσεις

29 53. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων με παραπλήσιες συχνότητες f και f, ίδιας διεύθυνσης και ίδιου πλάτους, που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, με f f, παρουσιάζονται διακροτήματα με περίοδο διακροτήματος T. Αν στη διάρκεια του χρόνου αυτού πραγματοποιούνται 00 πλήρεις ταλαντώσεις, οι συχνότητες f και f είναι: 53 Α) f f 00,5 Hz 00 Hz Β) f f 00,5 Hz 99,75 Hz Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Γ) f f 50, Hz 49,7 Hz 9/3 54. Το κύκλωμα επιλογής σταθμών στο ραδιόφωνο είναι ένα κύκλωμα LC, που εξαναγκάζεται σε ηλεκτρική ταλάντωση από την κεραία. (Σ/Λ) Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ταλαντώσεις και το φορτίο του πυκνωτή δίνεται από την ε- ξίσωση q Qcot. H ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή στη διάρκεια μιας περιόδου μηδενίζεται 55 Α) μία φορά Β) δύο φορές Γ) τρεις φορές Δ) τέσσερις φορές 56. Στη φθίνουσα ταλάντωση, το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό. (Σ/Λ) Στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο της οροφής, είναι δεμένο σώμα Σ μάζας kg. Το ελατήριο είναι ιδανικό και έχει σταθερά k 00 N. Το σώμα ισορροπεί με τη βοήθεια κατακόρυφου νήματος το οποίο ασκεί δύναμη F 0 N στο σώμα, όπως φαίνεται στο Σχήμα. 57 Α) Να υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου σε σχέση με το φυσικό του μήκος. Την χρονική στιγμή t 0 0 κόβεται το νήμα στο σημείο Γ. Β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ. Γ) Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο. Θετική φορά θεωρείται η φορά του βάρους. Δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με 4/5 της ολικής ενέργειας ταλάντωσης. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g Η συχνότητα μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης 58 Α) είναι ίση με τη συχνότητα του διεγέρτη Ταλαντώσεις

30 Β) είναι πάντα ίση με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή Γ) εξαρτάται από την αρχική ενέργεια της ταλάντωσης Δ) είναι ίση με το άθροισμα της συχνότητας του διεγέρτη και της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτή. 30/3 59. Σε μία φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας (F=-bυ), για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης b η περίοδος μειώνεται. (Σ/Λ) Η σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, της ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από ίδιο σημείο με συχνότητες που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους, είναι απλή αρμονική ταλάντωση. (Σ/Λ) Σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης θ είναι τοποθετημένα δύο σώματα Σ και Σ με μάζες και αντίστοιχα, που εφάπτονται μεταξύ τους. Το σώμα Σ είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k, ενώ το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Μετακινώντας τα δύο σώματα προς τα κάτω, το σύστημα τίθεται σε ταλάντωση πλάτους Α. Η συνθήκη για να μην αποχωριστεί το Σ από το Σ είναι: 6 Α) Ak g Β) Ak g Γ) in in A k g in Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 6. Ιδανικός πυκνωτής χωρητικότητας C είναι φορτισμένος σε τάση V 40 V. Τη χρονική στιγμή t 0 συνδέεται με ιδανικό πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L και το κύκλωμα αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η ενέργεια U E του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, σε συνάρτηση με την ένταση του ρεύματος, στο κύκλωμα δίνεται από τη σχέση UE 8 0 i SI. 6 Α) Να υπολογίσετε την περίοδο T των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώματος. Β) Να υπολογίσετε την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή τη χρονική στιγμή T t. Γ) Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα κάθε φορά που η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται τριπλάσια της ε- νέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου. Δ) Να γράψετε τη συνάρτηση f που συνδέει το τετράγωνο του φορτίου του πυκνωτή με το τετράγωνο της έντασης του ρεύματος από το οποίο διαρρέεται το πηνίο q f i να την παραστήσετε γραφικά. και Ταλαντώσεις

31 το σώμα προς τα κάτω (προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου) κατά d 0, από τη θέση ισορροπίας, κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και μετά το αφήνουμε ελεύθερο. 69 Α) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη συχνότητα της ταλάντωσης. Β) Σε ποιες τιμές της απομάκρυνσης του ταλαντωτή ο λόγος της κινητικής ενέργειας K του σώματος προς K την ολική ενέργεια E της ταλάντωσης είναι E 4 ; Γ) Να υπολογίσετε τον λόγο του μέτρου της δύναμης του ελατηρίου F προς το μέτρο της δύναμης επαναφοράς F στην ανώτερη θέση της ταλάντωσης του σώματος. Δ) Αν τη χρονική στιγμή t 0 το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας, κινούμενο προς τα επάνω, να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή που για πρώτη φορά το σώμα περνά από τη θέση που το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος. Θεωρήστε θετική φορά απομάκρυνσης την προς τα επάνω. Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας 0 g και in30 in. 6 3/3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B Γ 3 Γ 4 Γ 5 Μετατροπή της σε φθίνουσα με πλάτος που μειώνεται εκθετικά με το χρόνο και εντονότερα όσο η αντίσταση είναι μεγαλύτερη ( T / Lln ). Η γωνιακή συχνότητα μικραίνει με την αύξηση της R και η R περίοδος μεγαλώνει 6 Ε=9 J (εύκολη) rad 7 T 0, 00, ax 0, 00 x 0, in00t 8 B 9 περίοδος F a Aint Aint x 0 rad T 0, 000, I 50 A, i A Δ 3 Γ Ταλαντώσεις

32 33/3 4 0, άρα C (η β) LC h 0,, ανταλλαγή ταχυτήτων (ελαστική με ) 5 rad ax 0, 5, A 0, 5, 5, x 0, 5in5t 0, 5co 5t, 0, 5, p 0, kg 5 6 Β 7 Γ 8 Σ 9 Δ 0 0 0, το κύκλωμα αποσυντονίζεται οπότε το πλάτος μειώνεται (α, β). Πιο σωστά το πλάτος ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση οπότε ax A με ω0 0 A F ax k b. Στην η περίπτωση υπάρχει συντονισμός F k (η παρένθεση μηδενίζεται). Στη η περίπτωση η ιδιοσυχνότητα του συ- b στήματος έχει μικρύνει (υποθέτουμε ότι η σταθερά απόσβεσης b δεν έχει αλλάξει με την αλλαγή της μάζας), οπότε η κορυφή της καμπύλης συντονισμού έχει μετατοπιστεί προς μικρότερες συχνότητες (και υ- ποθέτουμε ότι το ύψος της δεν έχει επηρεαστεί, που είναι λάθος, ενώ θα ήταν σωστό αν μιλάγαμε για το ύψος της ταχύτητας). Έτσι για 0 η παραπάνω σχέση δίνει A στην οποία η παρένθεση του ριζικού δεν είναι πλέον μηδέν, οπότε Γ Δ 3 Γ 4 Σ T T 5 6 Γ 7 f f 0, Γ, Γ 8 rad ax, 00,T 0, A c, E 4, 95 J 9 Δ 30 Δ 3 rad L 0, 5 H, 5000, I 0, 6 A, Q C, q 6 C F ax k 0 b 40 0 Ταλαντώσεις

33 34/3 3 T 33 Γ 34 Λ f f, A Γ 37 Δ 38 B 39 Γ 40 Λ 4 Σ Q UB E UE UE 3 C 0,75, C E E E Q 4 4 C 4 x a, +α και 43 Β 44 Β 45 Α 46 Δ 47 A 48 Σ 49 Γ 50 B 5 B 5 Σ 53 Γ U ka U ax 4 4 ax rad, A 0,, kg, x 0, in 30 t, x 0, 55 Β 56 Λ 57 Γ 58 Γ 59 Γ 60 Δ 6 Σ 6 ax N (Α) T, A= 0,, (Β) k 9, (Γ) με το κατακόρυφο πέταγμα του πουλιού δεν επηρεάζεται η οριζόντια κίνηση, οπότε το πλάτος ταλάντωσης παραμένει το ίδιο, ax A 05,, (Δ) k 0, 8 kg ] 63 Α 64 Δ 65 Σ 66 Γ 67 Σ Ταλαντώσεις

34 35/3 68 Γ 69 Λ 70 Β 7 Γ 7 Δ 73 A 74 Γ 75 Δ 76 Λ 77 F k d d 3, Β F k d L 0, 4 H, t T 0, V 0, 4 V, i 0 - A Δ 80 Λάθος 8 Α UE T 4 0, i - 0, 5in 5000t, 4 U Α 84 Α 85 Β 86 Λάθος 87 I Q T, η Α I Q T B 88 Γ 89 A (εκτός από τις στιγμές που διέρχεται από τη θέση ισορροπίας που μηδενίζονται και οι δύο), μπορεί να ληφθεί ως σωστή και D 90 Γ 9 Σωστή co t 9 in a a a t a 93 Β 94 Γ 95 Σωστή 96 Λάθος 97 0 in tco t 0 A0 a rad I L 4 4 0, T 0, C= μf, Q 50 C i Q q 0,4 A 98 A 99 Λάθος 00 Λάθος 0 c c x 4 3 in 0 t c, υ=40 3 co 0 t, υ 60, Ταλαντώσεις

35 K E U E A U U U x in 0t 6 0 B 03 Γ 04 Σωστή g 05 Η θέση ισορροπίας «κατεβαίνει» κατά x. Άρα σε απομάκρυνση x από τη (νέα) θέση ισορροπίας έχει ταχύτητα μηδέν που σημαίνει ότι x είναι το πλάτος της ταλάντωσης. k Έτσι: g E ka, άρα η Α σωστή k Q EC 400 C 40 C, rad T LC 8 0, 500, 50 T I Q 0, A, t 0 q Q, i 0 q Qco t και i=-iin t 0, in 500t, SI q Q UB 3U E E UE 3U E UE 4 E 4 q Q 0 C C C 07 Λάθος 08 Από καμπύλη συντονισμού η Α 09 Από ΑΔΕ η Γ 0 Γ Λάθος k TA T ka k B T 3 B, η B I Q CV V,η A LC 4 A 5 Γ 6 Σωστή 7 (A)Έστω kg. Το ελατήριο με το πρώτο σώμα παραμορφώνεται κατά g in a 5 c (προφανώς και από τα δύο μαζί στο διπλάσιο, δηλ. a 0 c ). Εκτρέποντας το πρώτο κατά d K 0 c από τη θέση ισορροπίας του (αν προς τα κάτω υπάρχει συμπίεση κατά 5 c, αν προς τα πάνω επιμήκυνση κατά 5 c) και το αφήνουμε ελεύθερο (προφανώς το d 0 c A ). Έστω ότι η εκτροπή γίνεται προς τα κάτω και ότι καθώς κινείται προς τα πάνω απέχει x από τη θέση ισορροπίας του ( 0 x προς τα κάτω). Τότε η συνισταμένη δύναμη κατά μήκος του 36/3 Ταλαντώσεις

36 F g in K x a Kx. Άρα εκτελεί ΑΑΤ με D K dp F k x ka 0 kg 0 N. ax ax dt κεκλιμένου επιπέδου είναι: A d 0 c. (B) Άρα: ax και (Γ) Τα σώματα (μέχρι κάποιο σημείο που ενδέχεται το δεύτερο να χάσει την επαφή του με το πρώτο ε- ξηρτημένο από το ελατήριο) θα εκτελέσουν αρμονική ταλάντωση γωνιακής συχνότητας k k. Άρα: k k N D 50 (D)Η εξίσωση κίνησης του ου F g in D x, όπου F (θετικά προς τα πάνω) η δύναμη από το δεμένο στο σώματος είναι: άδετο με φορά προς τα πάνω και x η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας των δύο σωμάτων (0 c κάτω από τη θέση της άκρης του ελατήριο χωρίς παραμόρφωση). Η επαφή χάνεται όταν F 0, οπότε g in g in g in από την προηγούμενη έχουμε: x 0, 0 c. Άρα τα D k k δύο σώματα ξεκινούν την ταλάντωσή τους με απόσταση 0 c κάτω από τη θέση ισορροπίας τους και θα αποχωρισθούν στα 0 c πάνω από τη θέση ισορροπίας, δηλ. σε απόσταση 30 c από τη θέση που το αφήσαμε ελεύθερο θα γίνει ο αποχωρισμός των δύο σωμάτων. 8 Δ 9 Σωστή 0 Σωστή 37/3 E ka A A A A E ka A A, η Α Γ 3 Λάθος 4 Όταν κοπεί το νήμα με την η θέση ισορροπίας ανεβαίνει κατά A g k που αποτελεί και το πλάτος της ταλάντωσης, διότι η βρίσκεται τόσο κάτω από τη θέση ισορροπίας του. Ομοίως όταν κοπεί το νήμα με την η θέση ισορροπίας ανεβαίνει κατά g E ka k ταλάντωσης. Άρα: E ka g k 5 Γ 6 B 7 Λ 8 Σ 9 Τα δύο κυκλώματα έχουν την ίδια γωνιακή συχνότητα. A g k που αποτελεί και το πλάτος της Ταλαντώσεις

37 38/3 5 T 5 T 5 q Q co t Q co Q co Q 8 T 8 4 I Q,, ax, Q q Q Iax, Q Q, I ax, Q, Iax, Q Q, η Α 30 Γ Γ Σωστή 33 Η θέση ισορροπίας του σώματος (τα ελατήρια σε κάθε θέση του σώματος έχουν την ίδια παραμόρφωση) είναι πιο κάτω από κει που αφέθηκε ελεύθερο και ισχύει: g in kx kx g in x 0, 05 = 5 c, δηλ. η ΘΙ βρίσκεται κατά x 0,05 k k πιο κάτω από κει που το αφήσαμε ελεύθερο, όπου είχε ταχύτητα μηδέν, άρα το x αποτελεί και το πλάτος ταλάντωσης, x 0,05 =A Για τυχαία απομάκρυνση κατά x από τη θέση ισορροπίας, ας πούμε προς τα πάνω, ισχύει: in F k A x k A x g k k x Dx k k rad, οεδ 0, για t 0: x A, υ= 0 x Ain t 0, 05in 0t Τοποθετώντας το ο σώμα πάνω στο πρώτο, τη στιγμή που έχει ταχύτητα μηδέν, η ταχύτητα του συσσωματώματος είναι μηδέν σε απόσταση 0,05 από την αρχική θέση ισορροπίας. Η νέα θέση ισορροπίας «τραβιέται» πιο κάτω από την παλαιά έτσι ώστε g in kx kx g in x 0, 0 = 0 c A που αποτελεί k k ταυτόχρονα το νέο πλάτος ταλάντωσης με συχνότητα k k rad 5 και το σύστημα εξακολουθεί να ταλαντώνεται με την ίδια σταθερά επαναφοράς (σύμφωνα με την προηγούμενη απόδειξη) D k k 00 N D 50 N, Οι δυνάμεις που επιταχύνουν ή επιβραδύνουν το ο σώμα στην ταλάντωσή του είναι η συνιστώσα του βάρους του κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου που είναι σταθερή και προς τα κάτω και η στατική τριβή η οποία έχει δυνατότητα να αλλάζει προσαρμοζόμενη στην εξασφάλιση της ταλάντωσης του ου σώματος, μέχρι όμως κάποιο σημείο (τη μέγιστη τιμή της). Η εξίσωση κίνησης είναι: Dx g in f, οπότε f g in D x 30 50x από την οποία φαίνεται ότι παίρνει μικρές τιμές για x>0 (κίνηση πάνω από τη θέση ισορροπίας) και μεγάλες τιμές για x<0. Για τις ακραίες θέσεις (απομάκρυνση κατά x A 0, από τη θέση ισορροπίας έχουμε: f , ή 60 Ν. 60 N 60 3 f 60 Ν f N g co ;; g co Όμως,ax Ταλαντώσεις

38 39/3 3 άρα,in 3 34 Για τυχαία απομάκρυνση x έχουμε: 00 N, k F k x k x k k x D k k = k 0 rad, οεδ t 0, x=a x 0,in 0t, U x kx x x 5 x, x 0,, 0, K E ka A 0, ax Μαζί με τη αφαίρεση του ελατηρίου αφαιρείται και η αποταμιευμένη πάνω του ενέργεια, το απομείναν σύστημα ταλαντώνεται με το υπόλοιπο της ενέργειας. Το σώμα τη στιγμή της απομάκρυνσης του ου ε- λατηρίου έχει ταχύτητα ταλάντωση με το k : A A A 4 4 A 3 3k k k k A k A A k A 8 A A 3A 3 k A k A k A A k A k k A A A A A 4 4k 4 4k 3 k k k k A A A A k 4 k k k 00 A A 3 0, 3 0, 0 0, 0,33 k 60. Έτσι από ΑΔΕ για την 35 Γ 36 Τη χρονική στιγμή που ανοίγει ο ένας διακόπτης και κλείνει ο άλλος όλη η ενέργεια Q C του αριστερού κυκλώματος είναι αποταμιευμένη στο πηνίο. Έτσι η ενέργεια του αριστερού μεταφέρεται εξ ολοκλήρου στο δεξί. Q Q Q Q Q Q 3 Οπότε: Q Q Q 3Q, η Γ C C C C C C 37 Η διαφορά φάσης ανάμεσα στις δύο ταλαντώσεις είναι, οπότε: 38 Γ A A A DA DA DA E E E, η Β Ταλαντώσεις

39 40/3 39 Δ 40 Λ E CV LI 0 J, B 4 3 dx dt 3 4 A co t A co t A in t 43 B L 6L 4 L C L C, B k 5 8 f0 f f : f f0 A, A E 3 Q 3 I A, U B LI 80 J, U E 80 J R C 6 T= LC 0 46 Qax 6 E=U B U E Qax CE 0 J C dv dq I 9 V Vc Q 7 0 C dt C dt C 47 Γ 48 Σ 49 Λ E E DA D A DA A A, η Β B 5 Σωστή 53 f f f T f f 0,5 Hz f 00,5 Hz 00 f f f 00 Hz f f 00 Hz f 99,75 Hz T T T 00, η Β 54 Σ 55 B 56 Λ 57 g F g ka g F a 0,3, k g 0,, k k A a 0,, x 0,in0t 4 4 0, U E E K E K E ka A, Δ Ταλαντώσεις

40 4/3 58 A 59 Λ 60 Λ 6 Έστω ότι το σύστημα κινείται προς τα πάνω απέχοντας x από τη θέση ισορροπίας του συστήματος. Με δεδομένο ότι το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και με θετικά προς τα πάνω έχουμε για την κίνηση του (F η δύναμη αλληλεπίδρασης ανάμεσα στα δύο σώματα): k F g in a x F g in x g in x k F 0 g in x kx g in, x A, A ka g in A δηλ. αποκόλληση μπορεί να συμβεί πάνω από τη θέση ισορροπίας (ακριβώς στη θέση που το ελατήριο ανακτά το μήκος του) και με πλάτος ταλάντωσης που δεν ξεπερνά τη στατική παραμόρφωση του ελατηρίου ( A g in k ). Αλλιώς. Έχοντας υπόψη ότι οποιοδήποτε σώμα αφεθεί ελεύθερο σε λείο κεκλιμένο επίπεδο, κλίσης θ,θα επιταχυνθεί προς τα κάτω με επιτάχυνση g in. Δεν λαμβάνουμε υπόψη τη δράση της μεταξύ τους αλληλεπίδρασης. Στην κίνηση προς τα πάνω, μέχρι τη θέση του φυσικού μήκους, το ελατήριο, λόγω συσπείρωσης, σπρώχνει προς τα πάνω το Σ με επιτάχυνση g in, ενώ το Σ θα είχε επιτάχυνση g in προς τα F κάτω, άρα αδύνατο να αποχωριστούν (κάτω από τη θέση φυσικού μήκους). Μετά από τη θέση αυτή το ελατήριο αρχίζει και επιμηκύνεται ασκώντας ελκτική δύναμη στο Σ και το σώμα κινείται με επιβράδυνση g in, ενώ το Σ θα επιβραδυνόταν με g in.έτσι είναι αδύνατον πάνω από τη θέση φυ- F σικού μήκους τα δύο σώματα να συνεχίζουν μαζί. Στη θέση αυτή (φυσικού μήκους) τα σώματα ξεκολλούν. Άρα, δεν πρέπει να ξεπεραστεί η θέση αυτή, που σημαίνει ότι το πλάτος ταλάντωσης δεν πρέπει να g in ξεπεράσει την στατική παραμόρφωση του ελατηρίου, δηλ. A. Ομοίως, στην κίνηση προς τα κάτω. Κάτω από τη θέση φυσικού μήκους το Σ θα επιβραδυνόταν περισσότερο από ότι το k Σ, αφού δέχεται και την απωστική δύναμη του ελατηρίου, άρα συνεχίζουν κολλημένα. Πάνω από τη θέση φυσικού μήκους το Σ επιταχύνεται περισσότερο, λόγω της ελκτικής δύναμης από το ελατήριο, άρα δεν μπορούν να είναι μαζί, κοκ 63 Α 65 Λ 66 Λ 67 Σ 6 65 UΛ E E Li E 80 J U E i, L H L H ή U E UE(0) 80 J E 80 J i UE() 0 I A Ταλαντώσεις

41 ΚΥΜΑΤΑ Μετά την αφαίρεση των Θεμάτων Παλαιάς Ύλης απομένουν 0 Θέματα Νέας Ύλης. 00. Το μήκος κύματος δύο κυμάτων που συμβάλλουν και δημιουργούν στάσιμο κύμα είναι λ. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσιμου κύματος θα είναι: Α) Β) Γ) Δ) 4. Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια και ορμή από μια περιοχή του υλικού μέσου σε άλλη, αλλά δεν μεταφέρεται Διαμήκη ονομάζονται τα κύματα στα οποία τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται... στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος Η αιτία δημιουργίας του ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι η... κίνηση ηλεκτρικών φορτίων Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός που διαδίδεται στο οπτικό μέσο Α με δείκτη διάθλασης n προσπίπτει με γωνία μικρότερη της κρίσιμης στη διαχωριστική επιφάνεια με άλλο διαφανές οπτικό μέσο Β με δείκτη διάθλασης n B, όπου n A n. 5 B A Α) Να μεταφέρετε το σχήμα στο τετράδιό σας και να σχεδιάσετε τη διαθλώμενη ακτίνα. Β) Ποια από τις δύο γωνίες είναι μεγαλύτερη; (α) η γωνία προσπτώσεως (β) η γωνία διαθλάσεως. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 6. Το σημείο Ο ομογενούς ελαστικής χορδής, τη χρονική στιγμή t=0, αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y 0, 05 in8 t (SI) κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Το κύμα που παράγεται διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x x, κατά μήκος της χορδής, που διέρχεται από το σημείο Ο με ταχύτητα μέτρου 0. 6 Α) Να βρεθεί ο χρόνος που χρειάζεται ένα υλικό σημείο του ελαστικού μέσου για να εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση. Β) Να βρεθεί το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος. Γ) Να γραφεί η εξίσωση του ίδιου κύματος. Δ) Να βρεθεί το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας με την οποία ταλαντώνεται ένα σημείο της χορδής. 7. Δύο αρμονικά εγκάρσια κύματα, που διαδίδονται σε επιφάνεια νερού, έχουν την ίδια συχνότητα και το ίδιο πλάτος. Τα κύματα

42 βρίσκονται σε φάση και ξεκινούν ταυτόχρονα από τις πηγές Π και Π. Τα κύματα φτάνουν σε σημείο Σ που απέχει απόσταση r από την πηγή Π και απόσταση r από την πηγή Π, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 7 Α) Τι εννοούμε με τον όρο ενίσχυση του κύματος στο σημείο Σ; Β) Ποια σχέση καθορίζει τη θέση των σημείων στα οποία έχουμε ενισχυτική συμβολή; Γ) Τι εννοούμε με τον όρο απόσβεση του κύματος σε σημείο Σ; Δ) Ποια σχέση καθορίζει τη θέση των σημείων στα οποία έχουμε απόσβεση; /34 8. Μονοχρωματική ακτινοβολία μήκους κύματος λ ο περνάει από τον αέρα (κενό) σε διαφανές μέσο. Να εξηγήσετε, γιατί το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο αυτό δεν μπορεί να αυξηθεί Αν η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι y 0 in6 t x στο S.I, τότε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση με: 9 Α) 0 Β) 6 Γ) Δ) 3 0. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων Α και Β στην επιφάνεια μιας ήρεμης λίμνης βρίσκονται σε φάση και παράγουν υδάτινα αρμονικά κύματα. Η καθεμιά παράγει κύμα (πρακτικά) αμείωτου πλάτους 0 c και μήκους κύματος. Ένα σημείο Γ στην επιφάνεια της λίμνης α- πέχει από την πηγή Α απόσταση 6 και από την πηγή Β απόσταση. Το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Γ είναι: 0 Α) 0 c Β) 0 c Γ) 0 c Δ) 40 c. Μια ακτίνα φωτός προσπίπτει στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων. Όταν η διαθλώμενη ακτίνα κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια, τότε η γωνία πρόσπτωσης ονομάζεται: Α) μέγιστη γωνία Β) ελάχιστη γωνία Γ) μηδενική γωνία Δ) κρίσιμη γωνία. Η ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσοτέρων κυμάτων στην ίδια περιοχή ενός ελαστικού μέσου ονομάζεται Τα σημεία που πάλλονται με μέγιστο πλάτος ταλάντωσης σε ένα στάσιμο κύμα ονομάζονται Σε αρμονικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται στο κενό το ηλεκτρικό πεδίο περι- 0 γράφεται στο S.I από την εξίσωση E 30 in 6. 0 t. 0 x. Να εξετάσετε αν το μαγνητικό πεδίο του παραπάνω ηλεκτρομαγνητικού κύματος περιγράφεται στο S.I από την εξίσωση B 0 7 in t 0 x 8 c Δίνεται: ταχύτητα του φωτός στο κενό Κύματα

43 5. Το βάθος μιας πισίνας φαίνεται από παρατηρητή εκτός της πισίνας μικρότερο από το πραγματικό, λόγω του φαινόμενου της: 5 3/34 Α) Ανάκλασης Β) Διάθλασης Γ) Διάχυσης Δ) ολικής εσωτερικής ανάκλασης 6. Το φαινόμενο στο οποίο παράλληλες φωτεινές ακτίνες μετά την ανάκλασή τους σε κάποια επιφάνεια δεν είναι πια παράλληλες, ονομάζεται Η απόσταση στην οποία διαδίδεται ένα κύμα σε χρόνο μιας... ονομάζεται μήκος κύματος Αιτία δημιουργίας ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι η... κίνηση ηλεκτρικών φορτίων Να εξετάσετε αν η εξίσωση E 75 in 0 t 40 x περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο ενός αρμονικού ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται στο κενό. Όλα τα μεγέθη εκφράζονται στο S.I. (ταχύτητα του φωτός στο κενό 8 c 30 ) Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους 0, 08 και μήκους κύματος διαδίδεται κατά τη θετική φορά σε οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα xx. Θεωρούμε ότι το σημείο της χορδής στη θέση x=0 τη χρονική στιγμή t=0 έχει μηδενική απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του και θετική ταχύτητα. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι Α) Να υπολογίσετε τη συχνότητα με την οποία ταλαντώνονται τα σημεία της χορδής. Β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος στο S.I. Γ) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης στοιχειώδους τμήματος της χορδής μάζας 0, 00 kg. (Να θεωρήσετε το στοιχειώδες τμήμα της χορδής ως υλικό σημείο). Δ) Έστω ότι στην παραπάνω χορδή διαδίδεται ταυτόχρονα άλλο ένα κύμα πανομοιότυπο με το προηγούμενο, αλλά αντίθετης φοράς, και δημιουργείται στάσιμο κύμα με κοιλία στη θέση x=0. Να υπολογίσετε στο θετικό ημιάξονα τη θέση του ου δεσμού του στάσιμου κύματος από τη θέση x=0. Δίνεται:π =0.. Το σχήμα παριστάνει στιγμιότυπο εγκάρσιου αρμονικού κύματος. Το σημείο του ελαστικού μέσου που κινείται με μέγιστη ταχύτητα και φορά προς τα επάνω είναι το Α) A Β) B Γ) Γ Δ) Δ y Ο Α Γ Δ x. Το μήκος κύματος μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας μειώνεται όταν αυτή περνά από ένα διαφανές μέσο (π.χ. γυαλί) στον αέρα (Σ/Λ). Β 3. Η πηγή κύματος Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή t 0 0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντω- Κύματα

44 ση πλάτους A 0, 05. Το αρμονικό y() 0,05 Ο 3 κύμα που δημιουργείται διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, κατά τον άξονα Οx. Στο σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του κύματος μετά από χρόνο t 0, 3, κατά τον οποίο το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 3. 3 Α) Να βρείτε την ταχύτητα υ διάδοσης του κύματος στο ελαστικό μέσο. Β) Να βρείτε την περίοδο T του αρμονικού κύματος. Γ) Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος. T Δ) Να απεικονίσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t t Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα: 4 Α) είναι διαμήκη. Β) υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας Γ) διαδίδονται σε όλα τα μέσα με την ίδια ταχύτητα. Δ) δημιουργούνται από σταθερό μαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο. x() 4/34 5. Με τα στάσιμα κύματα μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου σε άλλο σημείο του ιδίου μέσου (Σ/Λ) Το αποτέλεσμα της συμβολής δύο όμοιων κυμάτων στην επιφάνεια υγρού είναι ότι όλα τα σημεία της επιφάνειας είτε παραμένουν διαρκώς ακίνητα είτε ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος (Σ/Λ) Μονοχρωματική ακτινοβολία που διαδίδεται στο γυαλί προσπίπτει στη διαχωριστική ε- πιφάνεια του γυαλιού με τον αέρα, με γωνία πρόσπτωσης θα τέτοια ώστε in a δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι n. Η ακτινοβολία θα: (α) διαθλαστεί και θα a εξέλθει στον αέρα. (β) κινηθεί παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια. (γ) ανακλαστεί ολικά από τη διαχωριστική επιφάνεια. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Ο 8. Ένα τεντωμένο οριζόντιο σχοινί ΟΑ μήκους L εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x. Το άκρο του Α είναι στερεωμένο ακλόνητα στη θέση x=l, ενώ το άκρο Ο που βρίσκεται στη θέση x=0 είναι ελεύθερο, έτσι ώστε με κατάλληλη διαδικασία να δημιουργείται στάσιμο κύμα με 5 συνολικά κοιλίες. Στη θέση x=0 εμφανίζεται κοιλία και το σημείο του μέσου στη θέση αυτή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο x=0 βρίσκεται στη θέση μηδενικής απομάκρυνσης κινούμενο κατά τη θετική φορά. Η απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης αυτού του σημείου του μέσου είναι 0,. Το συγκεκριμένο σημείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του 0 φορές κάθε δευτερόλεπτο Κύματα

45 και απέχει κατά τον άξονα x απόσταση 0, από τον πλησιέστερο δεσμό. Α) Να υπολογίσετε την περίοδο του κύματος. Β) Να υπολογίσετε το μήκος L. Γ) Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. Δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας της ταλάντωσης του σημείου του μέσου x=0 κατά τη χρονική στιγμή που η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας έχει τιμή y 0, 03. Δίνεται π=3,4. 8 5/34 9. Το παρατηρούμενο «σπάσιμο» μιας ράβδου της οποίας ένα τμήμα είναι βυθισμένο στο νερό οφείλεται στο φαινόμενο της: 9 Α) ανάκλασης Β) διάχυσης Γ) διάθλασης Δ) ολικής ανάκλασης 30. Κατά την επιταχυνόμενη κίνηση ηλεκτρικών φορτίων εκπέμπονται ηλεκτρομαγνητικά κύματα (Σ/Λ) Τα ραδιοκύματα εκπέμπονται από ραδιενεργούς πυρήνες (Σ/Λ) Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π και Π βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα της ελεύθερης επιφάνειας νερού και προκαλούν όμοια εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα 0, 5. Ένα σημείο Κ της επιφάνειας του νερού βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και απέχει από τα Α και Β αποστάσεις AK r και BK r r με r. Το σημείο Κ είναι το πλησιέστερο προς το μέσο Μ του ΑΒ που ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. Η απομάκρυνση του σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας λόγω της συμβολής των κυμάτων περιγράφεται σε συνάρτηση με το χρόνο t από την εξίσωση 5 5 y K 0, in t,(si) (ΚΣ: κανονικά έπρεπε y K 0, in t ). Να υπολογίσετε: Α) την περίοδο, το μήκος κύματος και το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν. Β) την απόσταση ΑΒ των δύο πηγών. Γ) τις αποστάσεις r και r του σημείου Κ από τα σημεία Α και Β. Δ) τον αριθμό των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ που λόγω της συμβολής έχουν πλάτος ίσο με το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Κ. 33. Τα φαινόμενα της ανάκλασης και της διάθλασης. 33 Α) περιορίζονται μόνο στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που ανιχνεύει ο ανθρώπινος οφθαλμός Β) δεν αφορούν την υπέρυθρη και υπεριώδη ακτινοβολία Γ) περιορίζονται μόνο στα ραδιοκύματα Δ) είναι κοινά σε όλα τα είδη των κυμάτων, ηλεκτρομαγνητικά και μηχανικά 34. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η πορεία μιας ακτίνας μονοχρωματικού φωτός η οποία διέρχεται από τρία διαφανή υλικά (), () και Κύματα

46 7/34 είναι Α) 0, Β) Γ) 0 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Στον πίνακα, στη Στήλη Ι Στήλη I αναφέρονται διάφορα είδη ακτινοβολίας, ενώ στη Στήλη.Ραδιοκύματα ΙΙ αναφέρονται ιδιότητες ή.μικροκύματα χρήσεις ή προέλευση των ακτινοβολιών. Να γράψετε 3.Υπέρυθρες ακτίνες στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης I και, ακρι- 4.Υπεριώδεις ακτίνες βώς δίπλα σε κάθε αριθμό, 5.Ακτίνες γ ένα γράμμα από τη Στήλη ΙΙ, ώστε να δημιουργείται σωστή αντιστοίχηση. (Ένα δεδομένο της Στήλης ΙΙ περισσεύει). 43 a. Ραντάρ Στήλη ΙΙ b. Μαύρισμα της επιδερμίδας c. Ραδιόφωνο d. Αύξηση της θερμοκρασίας e. Όραση f. Ραδιενεργοί πυρήνες 44. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων Π και Π, που βρίσκονται στην επιφάνεια νερού, ταλαντώνονται σε φάση παράγοντας αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α. Το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου Σ που ισαπέχει από τις πηγές Π και Π, είναι: 44 Α) A Β) A Γ) A Δ) Η πηγή Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή t=0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, που περιγράφεται από την εξίσωση y A int. Το κύμα που δημιουργεί, διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου και κατά τη θετική φορά. Ένα σημείο Σ απέχει από την πηγή Ο απόσταση 0. Στη γραφική παράσταση που ακολουθεί φαίνεται η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση με το χρόνο. Α) Να υπολογίσετε: α) Τη συχνότητα του κύματος. β) Την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. γ) Τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ. Β) Να γράψετε την εξίσωση αυτού του κύματος. 45 Κύματα

47 Η αρχή της επαλληλίας των κυμάτων: 46 Α) παραβιάζεται μόνον όταν τα κύματα είναι τόσο ισχυρά, ώστε οι δυνάμεις που ασκούνται στα σωματίδια του μέσου, δεν είναι ανάλογες των απομακρύνσεων Β) δεν παραβιάζεται ποτέ Γ) ισχύει μόνον όταν τα κύματα που συμβάλλουν, προέρχονται από πηγές που βρίσκονται σε φάση Δ) δεν ισχύει, όταν συμβάλλουν περισσότερα από δύο κύματα 8/ Η μετάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στις οπτικές ίνες στηρίζεται στο φαινόμενο: 47 Α) της συμβολής Β) της διάθλασης Γ) της περίθλασης Δ) της ολικής ανάκλασης 48. Δίνονται τα πιο κάτω ζεύγη εξισώσεων όπου Ε η ένταση ηλεκτρικού πεδίου και Β η ένταση μαγνητικού πεδίου: και B 50 in 0 t 40 x,(si) Α) E 75 in 0 0 t x Β) E 300 in t 0 x Γ) E 50 in t 3 0 x 8 0 και B 000 in 6 0 t 0 x,(si) 8 0 και B 500 in 9 0 t 30 x,(si) Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη περιγράφει ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται στο κενό; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό 8 c Κατά μήκος του άξονα XX εκτείνεται ελαστική χορδή. Στη χορδή διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Η εγκάρσια απομάκρυνση ενός σημείου Π της χορδής περιγράφεται από την εξίσωση: y A in30t,(si) ενώ η εγκάρσια απομάκρυνση ενός σημείου Π, που βρίσκεται 6 c δεξιά του σημείου Π, περιγράφεται από την εξίσωση: y A in30 t,(si). Η απόσταση μεταξύ των σημείων Π και Π είναι μικρότερη 6 από ένα μήκος κύματος Α) Ποια είναι η φορά διάδοσης του κύματος; Β) Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; Γ) Αν η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση με την μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων της χορδής, να υπολογίσετε το πλάτος του κύματος. Δ) Στο σχήμα που ακολουθεί, απεικονίζεται ένα στιγμιότυπο του κύματος. Εκείνη τη στιγμή σε ποια από τα σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ και Η η ταχύτητα ταλάντωσης είναι μηδενική και σε ποια είναι μέγιστη (κατ απόλυτη τιμή); Ποια είναι η φορά της ταχύτητας ταλάντωσης των Κύματα

48 σημείων Β, Δ και Ζ; Ε) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος που όταν συμβάλλει με το προηγούμενο, δημιουργεί στάσιμο κύμα. Δίνεται 3, / Μονοχρωματική ακτινοβολία εισέρχεται στο μέσο από το μέσο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν f και f είναι οι συχνότητες, και τα μήκη κύματος, και οι ταχύτητες, n και n οι δείκτες διάθλασης στα δύο μέσα αντίστοιχα, θα ισχύει ότι 50 Α) f f Β) n n Γ) Δ) 5. Δύο σύμφωνες πηγές () και () δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος Α και μήκος κύματος 4 c. Σημείο Μ της επιφάνειας του υγρού απέχει r 7 c από την πηγή () και r 9 c από την πηγή (). Το πλάτος της ταλάντωσης στο σημείο Μ λόγω συμβολής είναι ίσο με Α) 0 Β) A Γ) A Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς από τα στοιχεία της Στήλης Ι του παρακάτω πίνακα και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα από τα στοιχεία της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σε αυτόν. (Στη Στήλη ΙΙ περισσεύει μια κατηγορία). 5 Στήλη Ι (Ιδιότητες ή εφαρμογές των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων) Στήλη ΙΙ (Κατηγορίες ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων). Λήψη ακτινογραφιών α. Ραδιοκύματα. Λειτουργία τηλεόρασης β. Μικροκύματα 3. Απορρόφηση από το όζον της στρατόσφαιρας γ. Υπέρυθρες 4. Λειτουργία ραντάρ δ. Υπεριώδεις 5. Εκπομπή από θερμά σώματα ε. Ακτίνες Χ στ. Ακτίνες γ 53. Σε ένα σημείο μιας λίμνης, μια μέρα χωρίς αέρα, ένα σκάφος ρίχνει άγκυρα. Από το σημείο της επιφάνειας της λίμνης που πέφτει η άγκυρα ξεκινά εγκάρσιο κύμα. Ένας άνθρωπος που βρίσκεται σε βάρκα παρατηρεί ότι το κύμα φτάνει σ αυτόν 50 μετά την πτώση της άγκυρας. Το κύμα έχει ύψος 0 c πάνω από την επιφάνεια της λίμνης, η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικές κορυφές του κύματος είναι, ενώ μέσα σε χρόνο 5 το κύμα φτάνει στη βάρκα 0 φορές. Να υπολογίσετε: 53 Α) Την περίοδο του κύματος που φτάνει στη βάρκα. Β) Την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Γ) Την απόσταση της βάρκας από το σημείο πτώσης της άγκυρας. Κύματα

49 Δ) Τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του ανθρώπου στη βάρκα. 54. Γυάλινο πρίσμα είναι βυθισμένο εξ ολοκλήρου σε υ- γρό. Μονοχρωματική ακτινοβολία διαδίδεται, όπως δείχνει το σχήμα. Αν το πρίσμα και το υγρό έχουν δείκτες διάθλασης n και n αντίστοιχα, τότε ισχύει: 54 0/34 n Α) n Β) n n Γ) n n Δ) n n 55. Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ένα κύμα σε ένα μέσον, εξαρτάται μόνο από τις ιδιότητες του μέσου που διαταράσσεται, και όχι από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή. (Σ/Λ) Σε στάσιμο κύμα τα σημεία του μέσου που ταλαντώνονται, διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους (Σ/Λ) Τα ραδιοκύματα διαδίδονται στο κενό με ταχύτητα μικρότερη από την ταχύτητα διάδοσης του φωτός (Σ/Λ) Στη χορδή μιας κιθάρας δημιουργείται στάσιμο κύμα συχνότητας f. Το στάσιμο κύμα έχει τέσσερις δεσμούς, δύο στα άκρα της χορδής και δύο μεταξύ αυτών. Στην ίδια χορδή, με άλλη διέγερση, δημιουργείται άλλο στάσιμο κύμα συχνότητας f, που έχει εννέα συνολικά δεσμούς, δύο στα άκρα της χορδής και 7 μεταξύ αυτών. Η συχνότητα f είναι ίση με: 58 Α) 4 f 3 Β) 8 f 3 Γ) 5 f 3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει πλάγια στη διαχωριστική επιφάνεια δύο οπτικών μέσων και. Οι δείκτες διάθλασης στα μέσα και είναι αντίστοιχα n και n με n n. Αν η μονοχρωματική ακτίνα ανακλάται ολικά 59 Α) υπάρχει διαθλώμενη ακτίνα Β) η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης Γ) η γωνία πρόσπτωσης είναι μικρότερη από την κρίσιμη γωνία ανάκλασης Δ) η ταχύτητα διάδοσής της μεταβάλλεται 60. Σ ένα στάσιμο κύμα όλα τα μόρια του ελαστικού μέσου στο οποίο δημιουργείται 60 Α) έχουν ίδιες κατά μέτρο μέγιστες ταχύτητες Β) έχουν ίσα πλάτη ταλάντωσης Γ) διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας Δ) έχουν την ίδια φάση 6. Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η συνεισφορά κάθε κύματος στην απομάκρυνση Κύματα

50 κάποιου σημείου του μέσου εξαρτάται από την ύπαρξη του άλλου κύματος. (Σ/Λ) 6 6. Όταν μονοχρωματικό φως διέρχεται από ένα μέσο σε κάποιο άλλο με δείκτες διάθλασης n n, το μήκος κύματος της ακτινοβολίας είναι το ίδιο στα δύο μέσα. (Σ/Λ) 6 / Κατά μήκος ευθείας xx βρίσκονται στις θέσεις K και Λ δύο σημειακές πηγές Π και Π παραγωγής μηχανικών αρμονικών κυμάτων. Η εξίσωση που περιγράφει τις απομακρύνσεις y A in t. Η α- τους από τη θέση ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο είναι πόσταση (ΚΛ) είναι 6 c. Το μήκος κύματος των παραγόμενων κυμάτων είναι 4 c. Σε σημείο Σ της ευθείας xx, το οποίο δεν ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και δεν βρίσκεται κοντά στις πηγές, το πλάτος ταλάντωσής του Α θα είναι 63 Α) A A Β) A 0 Γ) 0 A A Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 64. Δυο σύγχρονες πηγές δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα πλάτους Α και μήκους κύματος λ. Ένα σημείο Σ βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού σε αποστάσεις r και r από τις πηγές αντίστοιχα. Αν ξέρουμε ότι ισχύει, τότε το Σ ταλαντώνεται με πλάτος 64 r r Α) A Β) A Γ) 0 Δ) A 65. Ένα φορτίο που κινείται με σταθερή ταχύτητα στο κενό εκπέμπει διάμηκες ηλεκτρομαγνητικό κύμα. (Σ/Λ) Οι νόμοι της διάθλασης ισχύουν και για μηχανικά κύματα. (Σ/Λ) Δυο πηγές εκπέμπουν κύματα με το ίδιο μήκος κύματος. Για να παρατηρηθεί το φαινόμενο συμβολής των κυμάτων αυτών σε τυχαίο σημείο, θα πρέπει οι πηγές να είναι οπωσδήποτε σύγχρονες. (Σ/Λ) Κατά τη διάδοση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος δεν διαδίδεται ενέργεια. (Σ/Λ) Ημιτονοειδές κύμα με μήκος κύματος λ διαδίδεται σε ένα μέσο με ταχύτητα υ. Όταν το κύμα εισέλθει σε δεύτερο μέσο διαδίδεται με ταχύτητα υ ( ). Το μήκος κύματος στο δεύτερο μέσο θα είναι 69 Α) Β) Γ) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 70. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός μεταβαίνει από διαφανές μέσο Α σε άλλο διαφανές μέσο Β. Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι a 30 και η γωνία διάθλασης είναι b 45 ταχύτητα διάδοσης της μονοχρωματικής ακτινοβολίας στο μέσο Β είναι 70 Α) μικρότερη από αυτή στο μέσο Α, τότε η Κύματα

51 Β) ίση με αυτή στο μέσο Α Γ) μεγαλύτερη από αυτή στο μέσο Α Δ) εξαρτάται από τη συχνότητα της μονοχρωματικής ακτινοβολίας /34 7. Το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης συμβαίνει μόνο όταν το φως μεταβαίνει από μέσο (α) σε μέσο (b) για τα οποία ισχύει na nb.(σ/λ) 7 7. Εγκάρσια ονομάζονται τα κύματα στα οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. (Σ/Λ) Δύο σημαδούρες Α και Β απέχουν μεταξύ τους απόσταση AB 3, 5 και η ευθεία που διέρχεται από αυτές είναι κάθετη στην ακτογραμμή. Πλοίο που κινείται παράλληλα στην ακτογραμμή, μακριά από τις σημαδούρες δημιουργεί κύμα, με φορά διάδοσης από την Α προς την Β, το οποίο θεωρούμε εγκάρσιο αρμονικό. Το κύμα διαδίδεται προς την ακτή. Εξ αιτίας του κύματος η κάθε σημαδούρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της 30 φορές το λεπτό. Ο χρόνος που απαιτείται, για να φθάσει ένα «όρος» του κύματος από τη σημαδούρα Α στη Β, είναι 9. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης κάθε σημαδούρας είναι. 5 Θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων τη σημαδούρα Α και ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή που η σημαδούρα Α βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και κινείται προς τα θετικά. 73 Α) Να υπολογιστεί το μήκος του κύματος. Β) Πόσο απέχει η σημαδούρα Α από την ακτή, αν αυτή βρίσκεται για η φορά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής της, όταν το κύμα φθάσει στην ακτή. Γ) Να γραφεί η εξίσωση ταλάντωσης της σημαδούρας Β, καθώς το κύμα διαδίδεται από τη σημαδούρα Α προς τη Β. Δ) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης της σημαδούρας Β κάποια χρονική στιγμή που η σημαδούρα Α βρίσκεται στο ανώτατο σημείο της ταλάντωσής της Καθώς μία μονοχρωματική ακτινοβολία περνά από τον αέρα στο γυαλί 74 Α) η ταχύτητά της ελαττώνεται Β) η συχνότητά της αυξάνεται Γ) το μήκος κύματός της παραμένει σταθερό Δ) το μήκος κύματός της αυξάνεται 75. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος κοντά στην κεραία έχουν διαφορά φάσης μηδέν. (Σ/Λ) Το μήκος κύματος του ορατού φωτός στο κενό κυμαίνεται από 400 n έως 700 n.(σ/λ) Τα μηχανικά κύματα μεταφέρουν ενέργεια και ύλη. (Σ/Λ) 77 Κύματα

52 3/ Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Π και Π δημιουργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα πλάτους Α και συχνότητας 4 Hz, τα οποία διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υγρού με ταχύτητα 0 c. Ένα σημείο που απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις r 7 c και r c αντίστοιχα 78 Α) ταλαντώνεται με πλάτος Α Β) ταλαντώνεται με πλάτος Α Γ) παραμένει ακίνητο Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 79. Σε ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο 79 Α) έχουν διαφορά φάσης ίση με x Β) έχουν λόγο B c E Γ) έχουν διανύσματα που είναι κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης Δ) δεν υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας 80. Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια από ένα σημείο στο άλλο, αλλά δεν μεταφέρεται ούτε ύλη, ούτε ορμή. (Σ/Λ) Το ορατό φως είναι μέρος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας την οποία ανιχνεύει το ανθρώπινο μάτι. (Σ/Λ) 8 8. Σε στάσιμο κύμα, μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, όλα τα σημεία έχουν την ίδια φάση. (Σ/Λ) Σε μια χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα, η εξίσωση του οποίου είναι x y 0co in t, όπου x, y δίνονται σε c και t σε. Να βρείτε: 83 4 Α) το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης, τη συχνότητα και το μήκος κύματος. Β) τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που παράγουν το στάσιμο κύμα. Γ) την ταχύτητα που έχει τη χρονική στιγμή t 0, ένα σημείο της χορδής το οποίο απέχει 3 c από το σημείο x 0. Δ) σε ποιες θέσεις υπάρχουν κοιλίες μεταξύ των σημείων x 3 c και x 9 c. Δίνονται: 3, 4 και 3 co. 4 A B 84. Κολυμβητής βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας και παρατηρεί τον ήλιο. Η θέση που τον βλέπει είναι 84 Α) πιο ψηλά από την πραγματική του θέση Β) ίδια με την πραγματική του θέση Κύματα

53 Γ) πιο χαμηλά από την πραγματική του θέση Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 4/ Μήκος κύματος λ είναι η απόσταση στην οποία διαδίδεται το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου. (Σ/Λ) Ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο υλικό προς την ταχύτητα του φωτός στο κενό ονομάζεται δείκτης διάθλασης του υλικού. (Σ/Λ) Διάχυση ονομάζεται το φαινόμενο κατά το οποίο, μετά από ανάκλαση δέσμης παράλληλων ακτίνων, οι ανακλώμενες ακτίνες δεν είναι πια παράλληλες μεταξύ τους. (Σ/Λ) Στη διαχωριστική επιφάνεια του υλικού Α με τον αέρα, για την οριακή γωνία ολικής ανάκλασης ισχύει in ( A ) 08,. Για το υλικό Β στη διαχωριστική επιφάνειά του με τον αέρα, crit είναι in ( B ) 0,. Τα υλικά Α και Β είναι οπτικά πυκνότερα από τον αέρα. Τότε: 88 crit Α) Το υλικό Α είναι οπτικά πυκνότερο του Β και στη διαχωριστική τους επιφάνεια ισχύει ( AB ) in 0, 5. crit Β) Το υλικό Β είναι οπτικά πυκνότερο του Α και στη διαχωριστική τους επιφάνεια ισχύει ( AB ) in 0, 5 crit Γ) Το υλικό Α είναι οπτικά πυκνότερο του Β και στη διαχωριστική τους επιφάνεια ισχύει ( AB ) in 06,. crit Δ) Το υλικό Β είναι οπτικά πυκνότερο του Α και στη διαχωριστική τους επιφάνεια ισχύει ( AB ) in 06,. crit Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 89. Στην επιφάνεια υγρού συμβάλλουν δύο όμοια κύματα που δημιουργούνται από δύο σύγχρονες αρμονικές πηγές. Σε σημείο Φ που απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις r και r έχουμε ενίσχυση όταν: 89 Α) r r N Β) rr N Γ) r r N όπου N 0,,, και λ το μήκος κύματος. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Ένα αντικείμενο βυθισμένο μέσα στο νερό, φαίνεται να βρίσκεται πιο κοντά στην επιφάνεια του νερού. Αυτό οφείλεται στο φαινόμενο της 90 Α) ανάκλασης Β) διάθλασης Γ) διάχυσης Δ) συμβολής 9. Σε ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται στο κενό, σε μεγάλη απόσταση από την κεραία, τα διανύσματα της έντασης (Ε) του ηλεκτρικού και της έντασης (Β) του μαγνητικού πεδίου είναι σε κάθε στιγμή 9 Α) παράλληλα και ισχύει E B c Κύματα

54 4 00 in 0 t 6 0 x (όλα τα μεγέθη στο S.I.). Αν η ταχύτητα του φωτός 8 στο κενό είναι c 3 0, o δείκτης διάθλασης του υλικού είναι: 00 Α), Β),5 Γ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 6/34 0. Τα ραντάρ χρησιμοποιούν 0 Α) υπεριώδη ακτινοβολία Β) μικροκύματα Γ) ακτίνες Χ Δ) ακτίνες γ 0. Κατά την ανάκλαση η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη και η κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. (Σ/Λ) Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο, όχι όμως ορμή και ύλη. (Σ/Λ) Δύο σύγχρονες πηγές Π, Π δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα. Η εξίσωση της ταλάντωσης κάθε πηγής είναι y 0, 0 in 0 t (SI) και η ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι ίση με 5,. Ένα σημείο Λ της επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π απόσταση 06, και από την πηγή Π απόσταση, όπως δείχνει το σχήμα. Οι πηγές Π, Π αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t Α) Να υπολογισθεί το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν οι πηγές. Β) Πόση είναι η συχνότητα της ταλάντωσης του σημείου Λ μετά την έναρξη της συμβολής; Γ) Να υπολογισθεί το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Λ μετά την έναρξη της συμβολής. Δ) Να προσδιορισθεί η απομάκρυνση του σημείου Λ από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή t Δίνεται co Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα: 05 Α) δεν υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας Β) είναι διαμήκη Γ) δεν διαδίδονται στο κενό Δ) παράγονται από την επιτάχυνση ηλεκτρικών φορτίων 06. Από τις ηλεκτρομαγνητικές ακτινοβολίες: μικροκύματα, ορατό φως, υπεριώδης ακτινοβολία και ακτίνες Χ μεγαλύτερο μήκος κύματος: 06 Α) έχουν τα μικροκύματα Β) έχει το ορατό φως Κύματα

55 Γ) έχει η υπεριώδης ακτινοβολία Δ) έχουν οι ακτίνες Χ 7/ Ο δείκτης διάθλασης n ενός οπτικού υλικού είναι μεγαλύτερος της μονάδας. (Σ/Λ) Στη διεύθυνση διάδοσης ενός αρμονικού κύματος κάποια σημεία του ελαστικού μέσου παραμένουν συνεχώς ακίνητα Ένα στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση y 0 co x in t, όπου τα x, y είναι σε c και το t σε. Το μήκος κύματος των δύο κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο κύμα είναι: 09 Α) c Β) 4 c Γ) 8 c Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Σε στάσιμο κύμα δύο σημεία του ελαστικού μέσου βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών. Τότε τα σημεία αυτά έχουν 0 Α) διαφορά φάσης π Β) την ίδια φάση Γ) διαφορά φάσης που εξαρτάται από την απόστασή τους Δ) διαφορά φάσης. Κατά την είσοδο μονοχρωματικής ακτίνας φωτός από τον αέρα στο νερό είναι δυνατόν να επιτευχθεί ολική ανάκλαση. (Σ/Λ). Στα στάσιμα κύματα, τα σημεία που παρουσιάζουν μέγιστο πλάτος ταλάντωσης ονομάζονται κοιλίες. (Σ/Λ) 3. Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά μήκος του άξονα xx είναι: y 0, 4in t 0,5 x SI. Να βρείτε: Α) Το μήκος κύματος λ και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος υ. 3 Β) Τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου. Γ) Τη διαφορά φάσης που παρουσιάζουν την ίδια χρονική στιγμή δύο σημεία του ελαστικού μέσου, τα οποία απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με,5. Δ) Για τη χρονική στιγμή t να βρείτε την εξίσωση που περιγράφει το στιγμιότυπο 8 του κύματος, και στη συνέχεια να το σχεδιάσετε. (Το στιγμιότυπο του κύματος να σχεδιαστεί με στυλό ή μολύβι στο μιλιμετρέ). 4. Το φαινόμενο της ανάκλασης παρατηρείται 4 Κύματα

56 Α) Μόνο στα εγκάρσια κύματα Β) Μόνο στα διαμήκη κύματα Γ) Μόνο στα φωτεινά κύματα Δ) Σε όλα τα είδη των κυμάτων 8/34 5. Όλα τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα στο κενό διαδίδονται με την ίδια ταχύτητα. (Σ/Λ) 5 6. Στα εγκάρσια μηχανικά κύματα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. (Σ/Λ) 6 7. Μονοχρωματική ακτίνα μεταβαίνει από τον αέρα στο γυαλί και η γωνία πρόσπτωσης είναι 45. Η γωνία διάθλασης θα είναι: 7 Α) Μεγαλύτερη από 45 Β) Μικρότερη από 45 Γ) Ίση με 45 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 8. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα: 8 Α) είναι εγκάρσια και διαμήκη Β) είναι μόνο εγκάρσια Γ) είναι μόνο διαμήκη Δ) είναι μόνο στάσιμα 9. Στη χορδή μιας κιθάρας, της οποίας τα άκρα είναι σταθερά στερεωμένα, δημιουργείται στάσιμο κύμα. Το μήκος της χορδής είναι ίσο με L. Τέσσερα (4) συνολικά σημεία (μαζί με τα άκρα) παραμένουν συνεχώς ακίνητα. Αν λ είναι το μήκος κύματος των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα, τότε: 9 Α) L 3 Β) L Γ) 3 L Δ) L 3 0. Λεπτή μονοχρωματική δέσμη φωτός διασχίζει διαδοχικά τα ο- πτικά μέσα (), (), (3), με δείκτες διάθλασης n, n, n 3 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν, τότε: 0 n Α) 3 n Β) n n3 Γ) n n3 Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 00. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα Α) διαδίδονται σε όλα τα υλικά με την ίδια ταχύτητα Β) έχουν στο κενό την ίδια συχνότητα Γ) διαδίδονται στο κενό με την ίδια ταχύτητα Δ) είναι διαμήκη. Μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών στάσιμου κύματος τα σημεία του ελαστικού μέσου Κύματα

57 Α) έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης Β) έχουν την ίδια φάση Γ) έχουν την ίδια ταχύτητα ταλάντωσης Δ) είναι ακίνητα 9/34 3. Ο δείκτης διάθλασης ενός υλικού δεν εξαρτάται από την ταχύτητα του φωτός στο υλικό αυτό. (Σ/Λ) 3 4. Στα άκρα της χορδής μιας κιθάρας δημιουργούνται πάντα κοιλίες στάσιμου κύματος. (Σ/Λ) 4 5. Οι ακτίνες Χ έχουν μικρότερες συχνότητες από τις συχνότητες των ραδιοκυμάτων. (Σ/Λ) 5 6. Στην ελεύθερη επιφάνεια ενός υγρού δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων εκτελούν κατακόρυφες ταλαντώσεις με συχνότητα f και δημιουργούν εγκάρσια κύματα ίδιου πλάτους Α. Ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού ταλαντώνεται εξ αιτίας της συμβολής των δύο κυμάτων με πλάτος Α. Αν οι δύο πηγές εκτελέσουν ταλάντωση με συχνότητα f και με το ίδιο πλάτος Α, τότε το σημείο Σ θα 6 Α) ταλαντωθεί με πλάτος Α Β) ταλαντωθεί με πλάτος 4Α Γ) παραμένει ακίνητο Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 7. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα δημιουργούνται 7 Α) όταν ένα ηλεκτρικό φορτίο είναι ακίνητο Β) όταν ένα ηλεκτρικό φορτίο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά Γ) όταν ένα ηλεκτρικό φορτίο επιταχύνεται Δ) από σταθερό μαγνητικό πεδίο 8. Κατά τη συμβολή δύο κυμάτων που δημιουργούνται στην επιφάνεια υγρού από δύο σύγχρονες πηγές Α και Β, παρατηρείται ταλάντωση με μέγιστο πλάτος στα σημεία Ο της επιφάνειας, που η διαφορά ΟΑ ΟΒ είναι (για όλες τις ακέραιες τιμές του Ν) 8 Β) Α) N N Γ) 3N 4 9. Το φαινόμενο της διάθλασης παρατηρείται μόνο στα μηχανικά κύματα. (Σ/Λ) 9 Δ) N 30. Στο φαινόμενο της διάχυσης, οι ανακλώμενες ακτίνες είναι παράλληλες μεταξύ τους. (Σ/Λ) Η μονοχρωματική ακτινοβολία μήκους κύματος 500 n είναι ορατή. (Σ/Λ) 3 3. Στο σχήμα φαίνονται δύο όμοια διαφανή πλακίδια Α, Β σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου με δείκτες διάθλασης n A, n B αντίστοιχα, Κύματα

58 όπου n A nb. Στα πλακίδια προσπίπτουν συγχρόνως δύο όμοιες μονοχρωματικές δέσμες φωτός. 3 Α) Πρώτα εξέρχεται η δέσμη από το πλακίδιο Α. Β) Πρώτα εξέρχεται η δέσμη από το πλακίδιο Β. Γ) Οι δύο δέσμες εξέρχονται ταυτόχρονα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 0/ Μονοχρωματική δέσμη φωτός εισέρχεται (από το κενό) σε γυάλινη πλάκα με δείκτη διάθλασης,5. Της δέσμης αυτής μέσα στο γυαλί 33 Α) το μήκος κύματος θα αυξηθεί Β) η συχνότητα θα αυξηθεί Γ) η συχνότητα θα μειωθεί Δ) το μήκος κύματος θα μειωθεί 34. Η αρχή της επαλληλίας δεν ισχύει στα κύματα που δημιουργούνται από μια έκρηξη. (Σ/Λ) Ένα ακίνητο ηλεκτρικό φορτίο εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. (Σ/Λ) Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό με τη μέγιστη δυνατή ταχύτητα. (Σ/Λ) Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος είναι: y 0, in t x, SI. Να υπολογίσετε: 37 Α) την περίοδο και το μήκος κύματος. Β) την ταχύτητα του κύματος. Γ) τη μεγίστη επιτάχυνση της ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου. Δ) την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου που παρουσιάζουν διαφορά φάσης 4 rad. Δίδεται Όταν σε μια ελαστική χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα, τότε όλα τα σημεία της χορδής διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους. (Σ/Λ) Οι ακτίνες γ έχουν μήκος κύματος της τάξεως των μερικών. (Σ/Λ) Οι παρακάτω εξισώσεις περιγράφουν ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό και ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο αντίστοιχα 40 3 E 30 in 80 t 40 x, SI 6 3 B 0 in 80 t 40 x, SI. Οι εξισώσεις αυτές Α) μπορεί να περιγράφουν ένα ηλεκτρομαγνητικό (Η/Μ) κύμα που διαδίδεται στο κενό Β) μπορεί να περιγράφουν ένα Η/Μ κύμα που διαδίδεται σε ένα υλικό Κύματα

59 Γ) δεν μπορεί να περιγράφουν ένα Η/Μ κύμα. Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό c.να επιλέξετε τη σωστή απά- ντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας /34 4. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός διαδίδεται στο νερό και προσπίπτει στην ελεύθερη επιφάνειά του με γωνία 30. Η ακτίνα εξέρχεται στον αέρα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν υ είναι η ταχύτητα του φωτός στο νερό και c στον αέρα, τότε ισχύει 4 Α) c Β) c Γ) c Δίνεται ότι in30. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την ε- πιλογή σας. 4. Η ταχύτητα διάδοσης ενός μηχανικού κύματος εξαρτάται από 4 Α) το μήκος κύματος Β) τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης Γ) τη συχνότητα του κύματος Δ) το πλάτος του κύματος 43. Στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που διαδίδονται στο κενό, ο λόγος της έντασης Ε του η- λεκτρικού πεδίου προς την ένταση Β του μαγνητικού πεδίου ισούται με 43 Α) c Β) c Γ) c όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Δ) c 44. Σε ένα στάσιμο κύμα, τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχουν φάσεις που διαφέρουν κατά π. (Σ/Λ) Όταν αγωγός διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα σταθερής έντασης, τότε εκπέμπεται ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. (Σ/Λ) Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προερχόμενη από το νερό προσπίπτει με γωνία 60 στη διαχωριστική επιφάνεια νερού και αέρα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ακτίνα μετά την πρόσπτωσή της στη διαχωριστική επιφάνεια 46 Α) εξέρχεται στον αέρα Β) δεν εξέρχεται στον αέρα Γ) κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια Κύματα

60 Α) Την απόσταση M. Β) Τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σημείων Ο και Μ. Γ) Πόσα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με τον χρόνο t για 0 t, 5. 3/ Στην επιφάνεια ενός υγρού που ηρεμεί βρίσκονται δύο σύγχρονες σημειακές πηγές και, που δημιουργούν στην επιφάνεια του υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα πλάτους Α, συχνότητας f και μήκους κύματος λ. Ένα σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος Α. Διπλασιάζουμε τη συχνότητα ταλάντωσης των δύο πηγών. Το σημείο Κ ταλαντώνεται τώρα με πλάτος 53 Α) A Β) A Γ) 0 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 54. Το άκρο Ο γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του ημιάξονα Οx, αρχίζει τη χρονική στιγμή t 0 0 να ταλαντώνεται με θετική ταχύτητα, δημιουργώντας αρμονικό κύμα. Στο σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t. 54 Α) Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος υ και το μήκος κύματος λ. Β) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. Γ) Να βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του μέσου Δ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός σημείου Σ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση x, σε συνάρτηση με το χρόνο. 55. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα 55 Α) είναι εγκάρσια Β) είναι διαμήκη Γ) δεν υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας Δ) έχουν την ίδια ταχύτητα σε οποιοδήποτε υλικό μέσο 56. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός πέφτει στη διαχωριστική επιφάνεια υγρού και αέρα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η γωνία πρόσπτωσης είναι π, η γωνία διάθλασης είναι δ, το μήκος στην προέκταση της προσπίπτουσας ακτίνας μέχρι το κατακόρυφο τοίχωμα του δοχείου είναι ΟΑ και το μήκος στη διεύθυνση της διαθλώμενης ακτίνας μέχρι το τοίχωμα του δοχείου είναι ΟΒ. Αν η γωνία πρόσπτωσης π αυξάνεται, τότε ο λόγος OB OA :56 Κύματα

61 Α) αυξάνεται Β) μειώνεται Γ) παραμένει σταθερός Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 4/ Η ταχύτητα διάδοσης ενός αρμονικού κύματος εξαρτάται από 57 Α) τη συχνότητα του κύματος Β) τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης Γ) το πλάτος του κύματος Δ) την ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του μέσου διάδοσης 58. Στο φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας 58 Α) οι ακτίνες Χ έχουν μεγαλύτερο μήκος κύματος από τα ραδιοκύματα και μεγαλύτερη συχνότητα από το υπέρυθρο Β) το ερυθρό φως έχει μεγαλύτερο μήκος κύματος από το πράσινο φως και μεγαλύτερη συχνότητα από τις ακτίνες Χ Γ) τα μικροκύματα έχουν μικρότερο μήκος κύματος από τα ραδιοκύματα και μικρότερη συχνότητα από το υπεριώδες Δ) το πορτοκαλί φως έχει μικρότερο μήκος κύματος από τις ακτίνες Χ και μεγαλύτερη συχνότητα από το υπεριώδες 59. Η ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσοτέρων κυμάτων στην ίδια περιοχή ενός ελαστικού μέσου ονομάζεται συμβολή. (Σ/Λ) Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός, προερχόμενη από πηγή που βρίσκεται μέσα στο νερό, προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια νερού αέρα υπό γωνία ίση με την κρίσιμη. Στην επιφάνεια του νερού ρίχνουμε στρώμα λαδιού το οποίο δεν αναμιγνύεται με το νερό, έχει πυκνότητα μικρότερη από το νερό και δείκτη διάθλασης μεγαλύτερο από το δείκτη διάθλασης του νερού. Τότε η ακτίνα 60 Α) θα εξέλθει στον αέρα Β) θα υποστεί ολική ανάκλαση Γ) θα κινηθεί παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού αέρα Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 6. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο, κατά μήκος του ημιάξονα Οx, δημιουργείται στάσιμο κύμα με κοιλία στη θέση x=0. Δύο σημεία Κ και Λ του ελαστικού μέσου βρίσκονται αριστερά και δεξιά του πρώτου δεσμού, μετά τη θέση x=0, σε αποστάσεις και από αυτόν αντίστοιχα, όπου λ το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα. Ο 6 λόγος των μεγίστων ταχυτήτων των σημείων αυτών είναι: 6 Κύματα

62 Α) 3 Β) Γ) 3 3 Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 5/34 6. Μία ακτίνα μονοχρωματικού φωτός περνά διαδοχικά από 3 στρώματα διαφορετικών οπτικών μέσων ό- πως φαίνεται στο σχήμα. Ο δείκτης διάθλασης του μέσου 3 είναι 6 6 Α) n3 Β) n3 Γ) n3 Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 63. Ένα απλό αρμονικό κύμα διαδίδεται μέσα σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο με μήκος κύματος λ. Την χρονική στιγμή t δύο σημεία Α και Β που βρίσκονται στις θέσεις 3 5 x A και xb, έχουν διαφορά φάσης: Α) 0 Β) Γ) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 64. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Μερικοί διαδοχικοί δεσμοί (Δ, Δ, Δ 3 ) και μερικές διαδοχικές κοιλίες (Κ, Κ, Κ 3 ) του στάσιμου κύματος φαίνονται στο σχήμα. Αν λ το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο κύμα, τότε η απόσταση (Δ Κ ) είναι 64 Α) λ Β) 3 4 Γ) Δ) Το ρεύμα σε μία κεραία παραγωγής ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων γίνεται μέγιστο, όταν τα φορτία στα άκρα της κεραίας μηδενίζονται. (Σ/Λ) Οι ακτίνες Χ εκπέμπονται σε αντιδράσεις πυρήνων και σε διασπάσεις στοιχειωδών σωματιδίων. (Σ/Λ) Το πλάτος ενός αρμονικού κύματος εξαρτάται από το μήκος κύματος λ του κύματος αυτού. (Σ/Λ) Μια φωτεινή ακτίνα, με μήκος κύματος 0 στον αέρα, περνά από τον αέρα στο νερό. Αν c η ταχύτητα διάδοσης της ακτίνας στον αέρα και υ η ταχύτητα διάδοσης της ακτίνας στο νερό, το μήκος κύματος λ της φωτεινής ακτίνας στο νερό δίνεται από τη σχέση: 68 Α) c 0 Β) 0 c Γ) c 0 c Δ) 0 Κύματα

63 69. Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Α και Β, που βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού, ταλαντώνονται αρμονικά παράγοντας κύματα, πλάτους Α, με μήκος κύματος 6 c. Σημείο Γ, που βρίσκεται σε αποστάσεις r 4 c και r 0 c από τις πηγές Α και Β α- ντίστοιχα, έχει πλάτος ταλάντωσης: 69 Α) 3A Β) 0 Γ) A Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. A B 6/ Κατά τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο κενό, σε μεγάλη απόσταση από την πηγή, ισχύει ότι: 70 Α) στη θέση που η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι μηδέν, η ένταση Β του μαγνητικού πεδίου είναι μέγιστη Β) τα διανύσματα των εντάσεων Ε του ηλεκτρικού και Β του μαγνητικού πεδίου είναι παράλληλα μεταξύ τους Γ) το διάνυσμα της έντασης Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος Δ) το διάνυσμα της έντασης Β του μαγνητικού πεδίου είναι παράλληλο στη διεύθυνση διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος 7. Το όζον της στρατόσφαιρας απορροφά κατά κύριο λόγο την επικίνδυνη υπεριώδη ακτινοβολία. (Σ/Λ) 7 7. Κατά τη διάδοση μηχανικού κύματος μεταφέρεται ορμή από ένα σημείο του μέσου στο άλλο. (Σ/Λ) Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π και Π που βρίσκονται αντίστοιχα στα σημεία Κ και Λ της επιφάνειας υγρού παράγουν πανομοιότυπα εγκάρσια αρμονικά κύματα με ίδιο πλάτος, ίσες συχνότητες f και ίσα μήκη κύματος λ. Αν η απόσταση των σημείων Κ και Λ είναι d, τότε δημιουργούνται τέσσερις υπερβολές απόσβεσης, μεταξύ των σημείων Κ και Λ (δηλ. ο αριθμός των σημείων απόσβεσης πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ είναι 4). Αλλάζοντας την συχνότητα των δύο πηγών σε f 3 f και διατηρώντας το ίδιο πλάτος, ο α- ριθμός των υπερβολών απόσβεσης (δηλ. των σημείων απόσβεσης), που δημιουργούνται μεταξύ των δύο σημείων Κ και Λ, είναι: 73 Α) 6 Β) 8 Γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 74. Όταν οδηγούμε τη νύχτα σε βρεγμένο δρόμο, με τα φώτα αναμμένα, η οδήγησή μας είναι 74 Α) ευκολότερη λόγω του φαινομένου της ολικής ανάκλασης του φωτός Β) ευκολότερη λόγω του φαινομένου της διάχυσης του φωτός Γ) δυσκολότερη λόγω του φαινομένου της κατοπτρικής ανάκλασης του φωτός Δ) δυσκολότερη λόγω του φαινομένου της διάχυσης του φωτός Κύματα

64 σοι ( t t ), τότε: 80 n Α) n Β) n n 3 Γ) n 3 n Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 8/34 8. Στάσιμο κύμα δημιουργείται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Για όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται ισχύει ότι 8 Α) έχουν την ίδια μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης Β) έχουν την ίδια περίοδο Γ) το πλάτος ταλάντωσής τους δεν εξαρτάται από την θέση τους Δ) έχουν την ίδια φάση 8. Ολική ανάκλαση παρατηρείται, όταν μια μονοχρωματική ακτίνα φωτός μεταβαίνει από 8 Α) αραιότερο σε πυκνότερο οπτικό μέσο Β) πυκνότερο σε αραιότερο οπτικό μέσο, με γωνία πρόσπτωσης μικρότερη από την κρίσιμη γωνία Γ) πυκνότερο σε αραιότερο οπτικό μέσο, με γωνία πρόσπτωσης μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία Δ) αραιότερο σε πυκνότερο οπτικό μέσο, με γωνία πρόσπτωσης ίση με μηδέν μοίρες 83. Όταν ένα ηλεκτρικό φορτίο κινείται με σταθερή ταχύτητα, δημιουργείται ηλεκτρομαγνητικό κύμα. (Σ/Λ) Το άκρο Ο μιας ομογενούς και ελαστικής χορδής, που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του θετικού ημιάξονα Οx, εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις κατά τη διεύθυνση του άξονα y y και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των ταλαντώσεων στο S.Ι. είναι : y t, y t 0, in 50 0,05 in 50. Από την ταλάντωση του άκρου Ο δημιουργείται αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά μήκος της χορδής με ταχύτητα. 84 Α) Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του άκρου Ο της χορδής. Β) Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος που δημιουργείται. Γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης υλικού σημείου της χορδής που βρίσκεται στη θέση x 0,4 τη χρονική στιγμή t 0, και τη χρονική στιγμή t 0,3. Δ) Αν τα σημεία Β και Γ της χορδής απέχουν μεταξύ τους B d, όπως φαίνεται στο 3 σχήμα, να υπολογίσετε την απομάκρυνση του σημείου Β ( y B ), όταν το σημείο Γ βρίσκεται στη μέγιστη θετική του απομάκρυνση. (λ είναι το μήκος του κύματος) Κύματα

65 Τα μήκη κύματος τεσσάρων ηλεκτρομαγνητικών ακτινοβολιών που διαδίδονται στο κενό συμβολίζονται ως: υπέρυθρο,, ραδιοκύματα, x. Η σχέση μεταξύ των μηκών είναι: 85 Α) x Β) x Γ) x Δ) x, πράσινο ορατό φως,, ακτίνες Χ, 9/ Η ταχύτητα ενός ηχητικού κύματος εξαρτάται από: 86 Α) την περίοδο του ήχου Β) το υλικό στο οποίο διαδίδεται το κύμα Γ) το μήκος κύματος Δ) το πλάτος του κύματος. 87. Κριτήριο για τη διάκριση των μηχανικών κυμάτων σε εγκάρσια και διαμήκη είναι η διεύθυνση ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου σε σχέση με την διεύθυνση διάδοσης του κύματος. (Σ/Λ) Κατά τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο κενό, το πηλίκο των μέτρων των ε- ντάσεων του μαγνητικού και του ηλεκτρικού πεδίου ισούται με την ταχύτητα του φωτός B c E Η συχνότητα μονοχρωματικής ακτινοβολίας μειώνεται, όταν η ακτινοβολία περνά από τον αέρα σε ένα διαφανές μέσο. (Σ/Λ) Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές και δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα 5. Μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε κάποιο σημείο Σ της επιφάνειας πλησιέστερα στην πηγή. Η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με τον χρόνο περιγράφεται από τη γραφική παράσταση του σχήματος. Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή 0 t και εκτελούν ταλαντώσεις της μορφής y Ain t. Α) Να βρείτε τις αποστάσεις r και r του σημείου Σ από τις πηγές και, αντίστοιχα. Β) Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας Κύματα

66 του σε συνάρτηση με τον χρόνο, για t 0. Γ) Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του φελλού κάποια χρονική στιγμή t, κα- 3 τά την οποία η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι y ; Δ) Έστω K η μέγιστη κινητική ενέργεια του φελλού μετά τη συμβολή. Αλλάζουμε τη συχνότητα των ταλαντώσεων των πηγών και έτσι ώστε η συχνότητά τους να είναι ίση με 30/34 τα 0 9 της αρχικής τους συχνότητας. Αν μετά τη νέα συμβολή η μέγιστη κινητική ενέργεια K του φελλού είναι K, να βρεθεί ο λόγος Δίνεται: co 3 K Στο σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά την αρνητική φορά του άξονα x Ox τη χρονική στιγμή t. Για τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Α, Β και Γ ισχύει: 9 Α) A 0, B 0, 0 Β) A 0, B 0, 0 Γ) A 0, B 0, 0 Δ) A 0, B 0, 0 9. Μονοχρωματική δέσμη φωτός περνάει από τον αέρα στο γυαλί. Στην περίπτωση που η διαθλώμενη δέσμη διαδίδεται στην ίδια διεύθυνση με την προσπίπτουσα, τότε 9 Α) η ταχύτητα της δέσμης στον αέρα είναι ίδια με την ταχύτητά της στο γυαλί Β) η γωνία πρόσπτωσης είναι 90 Γ) η γωνία διάθλασης είναι 0 Δ) η γωνία εκτροπής είναι Τα ραντάρ δεν χρησιμοποιούν μικροκύματα. (Σ/Λ) Εγκάρσια ονομάζονται τα κύματα στα οποία τα μόρια του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. (Σ/Λ) Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π και Π δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύματα. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε κάποιο σημείο Σ της επιφάνειας του υ- γρού σε τέτοιες αποστάσεις από τις πηγές, ώστε τα κύματα να συμβάλλουν σε αυτό με T χρονική διαφορά t, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των πηγών. Δεύτερο κομμάτι 4 φελλού ίδιας μάζας με το προηγούμενο βρίσκεται στο μέσο Μ της απόστασης των πηγών Κύματα

67 Π και Π. Αν A και συμβολή, τότε ο λόγος των ενεργειών τους Α) E Β) E M A M είναι τα πλάτη ταλάντωσης των δύο κομματιών φελλού μετά τη E είναι 95 E M E Γ) E M E E M 4 3/34 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 96. Το μαγνητικό πεδίο ενός αρμονικού ηλεκτρομαγνητικού κύματος που παράγεται από κεραία ενός ραδιοφωνικού σταθμού και διαδίδεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x'x, μακριά από την κεραία, περιγράφεται από τη σχέση in t x B Bax. Αν c η ταχύτητα του φωτός στο κενό - αέρα, το ηλεκτρικό πεδίο του ίδιου ηλεκτρομαγνητικού κύματος T περιγράφεται από τη σχέση 96 Α) in t x E cbax T ax Β) B E in t x c T Γ) in t x E cbax T ax Δ) B E in t x c T 97. Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού υλικού είναι πάντα μικρότερος της μονάδας. (Σ/Λ) Τα ραδιοκύματα δημιουργούνται και από κυκλώματα LC. (Σ/Λ) Στη χορδή ενός μουσικού οργάνου έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα συχνότητας f. Το στάσιμο κύμα έχει συνολικά πέντε (5) δεσμούς, δύο () στα άκρα της χορδής και τρεις (3) μεταξύ αυτών. Στην ίδια χορδή με άλλη διέγερση δημιουργείται άλλο στάσιμο κύμα συχνότητας f f. O συνολικός αριθμός των δεσμών που έχει τώρα το στάσιμο κύμα είναι: 99 Α) 7 Β) 9 Γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Ποια από τις περιοχές του φάσματος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας έχει τη μικρότερη συχνότητα; 00 Α) η υπέρυθρη ακτινοβολία Β) τα ραδιοκύματα Κύματα

68 Γ) το ορατό φως Δ) οι ακτίνες γ 3/34 0. Τα φαινόμενα της ανάκλασης και της διάθλασης είναι κοινά σε όλα τα είδη κυμάτων, ηλεκτρομαγνητικά και μηχανικά. (Σ/Λ) 0 0. Ένα στάσιμο κύμα που δημιουργείται σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο περιγράφεται από x t την εξίσωση: y Aco in. Το πλάτος ταλάντωσης A ενός σημείου Μ T του ελαστικού μέσου που βρίσκεται δεξιά του τρίτου δεσμού από το σημείο x 0 και σε απόσταση από αυτόν είναι (δίνεται co ) 0 : 3 A Α) A A 3 Β) A Γ) A A Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 03. Στο διάγραμμα του σχήματος, δίνεται η φάση των σημείων ελαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται απλό αρμονικό κύμα σε συνάρτηση με την απόσταση των σημείων του ελαστικού μέσου από την πηγή. Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής του κύματος είναι y Aint. Η εξίσωση απομάκρυνσης των σημείων του ελαστικού μέσου θα είναι: 03 x Α) y Ain t x Β) y Ain t t Γ) y A in x Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 04. Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του διπλανού σχήματος, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του. Το κύμα 04 Α) διαδίδεται προς τα αριστερά Β) διαδίδεται προς τα δεξιά Γ) είναι στάσιμο Δ) μπορεί να διαδίδεται και προς τις δύο κατευθύνσεις (δεξιά ή αριστερά) 05. Το διπλανό σχήμα παριστάνει σώμα Σ συνδεδεμένο με δύο ελατήρια και εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση. Το σύστημα είναι τοποθετημένο σε οριζόντιο ε- πίπεδο. Επιπλέον, το σώμα Σ είναι συνδεδεμένο με οριζόντια ελαστική χορδή κατά μήκος της οποίας διαδίδεται μηχανικό κύμα με πηγή το σώμα Σ. Να επιλέξετε τη Κύματα

69 σωστή εκδοχή του επόμενου σχήματος (α-δ) που περιγράφει το στιγμιότυπο του κύματος που διαδίδεται στη χορδή / Η πηγή έχει τη μεγαλύτερη φάση από τη φάση όλων των σημείων ενός αρμονικού κύματος. (Σ/Λ) Στην επιφάνεια υγρού δύο σύμφωνες πηγές Π και Π εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση, οπότε στα σημεία του υγρού συμβάλλουν αρμονικά κύματα. Τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος Π Π παραμένουν συνεχώς ακίνητα. (Σ/Λ) Τα διανύσματα των εντάσεων του ηλεκτρικού πεδίου και του μαγνητικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι παράλληλα. (Σ/Λ) Σε γραμμικό ελαστικό μέσο () δημιουργείται στάσιμο κύμα έτσι ώστε το ένα άκρο του μέσου να είναι δεσμός και το άλλο άκρο να είναι κοιλία. Μεταξύ των δύο άκρων υπάρχουν άλλοι 5 δεσμοί. Σε ένα δεύτερο ελαστικό μέσο () από το ίδιο υλικό αλλά με διπλάσιο μήκος από το πρώτο, δημιουργείται άλλο στάσιμο κύμα, έτσι ώστε και τα δύο άκρα του δεύτερου μέσου να είναι δεσμοί. Μεταξύ των δύο άκρων του δεύτερου μέσου υπάρχουν άλλοι οκτώ δεσμοί. Ο λόγος των συχνοτήτων ταλάντωσης των δύο μέσων είναι 09 Α) f f Β) 9 f f Γ) 3 f f 9 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας 0. Στο άκρο ενός δοχείου κυβικού σχήματος τοποθετείται μικρό νόμισμα αμελητέων διαστάσεων. Ένας παρατηρητής βλέπει «οριακά» το νόμισμα από τη θέση που βρίσκεται έξω από το δοχείο, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Στη συνέχεια, γεμίζουμε το δοχείο με υγρό μέχρι το μέσο του, οπότε ο παρατηρητής βλέπει πάλι «οριακά», χωρίς να αλλάξει τη θέση του ματιού του, το νόμισμα μετατοπισμένο κατά απόσταση ίση με το 4 του μήκους της βάσης του δοχείου. Το Κύματα

70 τετράγωνο του δείκτη διάθλασης του υγρού που προστέθηκε στο δοχείο είναι 0 Α) 3 n 8 Β) 5 n Γ) n Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας 34/34. Οι φάσεις δύο σημείων Α, Β ενός ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται αρμονικό κύμα E A είναι A και B αντίστοιχα. Ο λόγος των δυναμικών ενεργειών ταλάντωσης 6 3 E των σημείων Α, Β είναι (εσπερινού) Α) 3 Β) 3 Γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. B. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου δημιουργείται στάσιμο κύμα με περισσότερους από δύο δεσμούς. Όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται Α) έχουν την ίδια ολική ενέργεια Β) έχουν την ίδια μέγιστη ταχύτητα Γ) έχουν κάθε στιγμή την ίδια φορά κίνησης Δ) ακινητοποιούνται στιγμιαία ταυτόχρονα 3. Όταν μονοχρωματική ακτινοβολία εισέρχεται από τον αέρα στο νερό, η συχνότητά της μειώνεται. (Σ/Λ) 3 4. Η ολική εσωτερική ανάκλαση μπορεί να συμβεί, όταν το φως μεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο. (Σ/Λ) 4 5. Το άκρο Ο ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του ημιάξονα Οx, αρχίζει τη χρονική στιγμή t 0 να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση: y 5in t (το y σε c και το t σε ). Η ταλάντωση του σημείου Ο διαδίδεται στο μέσο με ταχύτητα. Σημείο Β του μέσου απέχει από το Ο κατά x. Η ταχύτητα του σημείου Β του μέσου τις χρονικές στιγμές t 0,5 και t έχει τιμές, αντίστοιχα: 5 0, και 0, 0 και 0, 0, και 0, Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Α) Β) Γ) Κύματα

71 35/34 B ύλη 3 παράλληλα 4 επιταχυνόμενη in n 5 A B A in B n A B ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ T 0, 5, 5, y 0, 05in 8 t - 0, 4 x, ax 0, Θεωρία 8 c c f f Δ 0 Γ Δ συμβολή 3 κοιλίες Eax Bax c 5 B 6 διάχυση 7 περιόδου 8 επιταχυνόμενη T (ισχύει) 3 0, όχι k, y 0, 08 in00t x, 0 f 50 Hz K 0, 5 J, x 0 0, 5 4 το Α Λάθος 3 0, 4, y 0, 05 in5 t x, μετατοπισμένη κατά προς τα δεξιά 4 4 Β 5 Λάθος 6 Λάθος 7 3 incrit ina crit 45 a 60, ολική ανάκλαση n 8 λ λ A ax 0,, 0,, L= , 9, y 0, 05co 5x in 0t, y Aax y 04, 9 Γ 30 Σωστή Κύματα

72 36/34 3 Λάθος 3 r r 0 r r, k, r, 3, r 0, 7, T,, 0, 6, A 0,, 3 x d x x N, 0<x<, x, N, N=,,, 3, x 0,, 0, 4, 0, 7,, 0,, 3,, 6, 9, 33 Δ n n η Γ n n rad rad k k E c= 0 36 Δ 37 Λάθος 38 Σωστή 39 Σωστή 40 Λάθος 4 Γ 4 8 ax 30 7 Bax 0 η Γ T=0, 43 - c, - a, 3- d, 4-b, 5- f 44 B, 0 5 n 5, το πρώτο το ηλεκτρικό πεδίο 0 5, f= Hz, A 80, y 40 int 0, 4x 45 y,ax 46 A 47 Δ 48 πρέπει 49 E B ax ax ω c, c, μόνο η B k x, 0, 7, 0, 8, y,ax A 0, 4, το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά το Β προς τα πάνω, το Δ προς τα 5 y 0, 4 in30t x 9 κάτω, το Ζ προς τα κάτω, 50 Δ 5 rr, η Γ 5 -, -, 3-, 4-, 5- Κύματα

73 37/ f Hz, T 0, 5,, x 00, ax 0, η Γ εφόσον δεν υπάρχει διάθλαση στην έξοδο της ακτίνας 55 Σωστή 56 Σωστή 57 Λάθος 58 8 f 8 L 3 8, η Β 3 f 3 59 B 60 Γ 6 Λάθος 6 Λάθος 63 3 r r d in, η Β 64 Δ 65 Λάθος 66 Σωστή 67 Λάθος 68 Λάθος ί f= λ λ, η Α 69 λ λ 70 Γ 7 Σωστή 7 Λάθος T 73 (Α) f 0, 5 Hz, T 4,, 5, 6, (Β) t 0T 8, x A, 5, 4 (Γ) y 0, 4 in 0, 5 t x y B, in, t, με t 9, (Δ) για, t 4N 0, 5t N t 4N, N, B 0, co 0, 5 t 4, 5, t 9 T B t 4N 0, ή dab tab T που σημαίνει ότι όταν η Α βρίσκεται στο ανώτατο σημείο η Β βρίσκεται στη θέση ισορροπίας κινούμενη με τη μέγιστη ταχύτητα προς τα 4 4 πάνω 74 Α 75 Λάθος 76 Σωστή 77 Λάθος 78 5 c, r 5 c= A 79 Γ 80 Λάθος 8 Σωστή 8 Σωστή Κύματα

74 38/34 83 A ax 0 c, f 0 Hz, 8 c, y, 5 in0 t x ( c, ) 4 x 00 co co 0 t, 00 c, 4 x N 3 x 4N 9 N, x 4 c, 8 c 4 84 Α 85 Σωστή 86 Λάθος 87 Σωστή ( AB ) na n, 5 n 5, in 0, 5, η Β 88 A 0, 8 B 0, 89 Θεωρία, Β 90 Β 9 Β 9 Σωστή 93 Λάθος 94 Σωστή , 4, 0,, y 50 in t 5 x, 50 J 96 Δ 97 Λάθος 98 Λάθος 99 Σωστή 00 Β 0 Β 0 Σωστή 03 Λάθος 04 0, 3, f 5 Hz, A 0, 0, y 0 05 η Δ 06 η Α 07 Σωστή 08 Λάθος 09 η Γ 0 Β Λάθος Σωστή crit nb, Κύματα

75 39/34 y 0,4 3 rad π 4,, T 0,5, υ=4 λ π ax A, 6, Δφ= Δx=,5π rad λ 3 y 0,4in 5,5 x, x 5,5 =λ+ 4-0,4,5 3,5 5,5 x() 4 Δ 5 Σωστή 6 Λάθος in 45 in in in n 7 n 8 Β 9 Γ n in n in n in n in n n n3 in Γ B Λάθος(;) Λάθος Λάθος ά ax r r N, N 0,,, 6 Ή r r N N N N,N 0,, 4, ax A f f ά ax r r N, N 0,,, r r N, ά A co A co A co N A f Α 7 Γ 8 Δ 9 Λάθος 30 Λάθος 3 Σωστή t t d c n ta tb, η Β d c n 3 A A B A A B A B 33 Δ 34 Σωστή 35 Λάθος B B, η Κύματα

76 40/34 36 Σωστή T, f Hz, =, = f= 0, 5, Σωστή 39 Λάθος 40 4 aax A 4 f A 8, x V 30 E B T 80 8 f 0 c ax ax 0 c c c n in30 in in in c in και αν < 90 τότε in in 4 Β(;;;) 43 B 44 Λάθος 45 Λάθος n 50 60, άρα δεν εξέρχεται (Β) 46 a 3 incrit crit προσ. n 4 47 Β 48 Γ 49 Σωστή 50 Σωστή 5 Λάθος 5 (Α) Στα σημεία της μεσοκαθέτου τα δύο κύματα συμβάλλουν με τη μέγιστη ενίσχυση. Από τη σύγκριση των y r r r r M 0, in 5t 0 και y Aco int προκύπτουν A 0,, 0, T 0,, T 04,, rad r r 0 r r 0 8 r r M 4 (Β) M 5t0 0 t 0, r r d 0, 4 0, 4 και O M 7, 5 rad O t 0 t 0 t 0 t, 5, (Γ) r r N r d r 0, 4N r 0, 4N r 0, N 0, 5 0 r 0, N 0, 5 d, 5 N, 5 N= 0,,, άρα πέντε σημεία Κύματα

77 4/34 4 (Δ) Τα κύματα συμβάλλουν ταυτόχρονα στο Μ την t οπότε ταλαντώνεται για 0,5 δηλ.,5 περιόδους εκτελώντας,5 ταλαντώσεις. Έτσι: 0, 0 t y 0, in0t 0, t 53 r r N N N f f N N A, η Α 54 rad A 0, 0,,, T= 0, 5, 4, y 0, 0in 4t x, y,ax A 0, 04, y 0, 0in4t, t 0, 5 55 A 56 Από σχηματιζόμενα τρίγωνα: ανεξάρτητο των γωνιών, η Γ 57 B 58 Γ 59 Σωστή OB in n OA in OA in OB in n, δηλ 60 Επειδή το λάδι έχει μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης μεγαλύτερο από το νερό η ακτίνα από το νερό στο λάδι πλησιάζει την κάθετο στο σημείο πρόσπτωσης και ισχύει Κύματα

78 4/34 θ=κρίσιμη νερό-αέρας n in n in n n in n. Δηλ. η γωνία φ είναι η κρίσιμη για το in κρίσιμη λάδι-αέρας n λάδι αέρας. Άρα η ακτίνα βγαίνει παράλληλα προς την επιφάνεια του λαδιού, σωστή η Γ 6 Τα πλάτη των διαφόρων σημείων x (με κοιλία στη θέση x=0) δίνονται από τη σχέση, Aco x και αντίστοιχες μέγιστες ταχύτητες, ax Aco x. Η θέση του πρώτου δεσμού είναι η x 4. A co co 3 K,ax Έτσι: 3 A,ax A co co in 60 6 in 60 n in 30 n3 in 45 n3 (εφαρμογή νόμου Snell για τις in 45 δύο διαθλάσεις), η Β x 63 8, η Β 64 Β 65 Σωστή 66 Λάθος 67 Λάθος, η Β n c c ra rb A co Aco A 4, η Γ 70 Γ Σ Σ 73 f 3 f d, 3 6 d 6 d d r r n r d r n n r d n Κύματα

79 43/34 d d d d r n 0 n d n n ,5 n 5,5 N 6, 5, 4, 3,,,0,,,3,4,5, άρα σημεία απόσβεσης, η Γ Ή στην ευθεία που συνδέει τις δύο πηγές έχουμε διάδοση δύο όμοιων κυμάτων με αντίθετες κατευθύνσεις. Συνεπώς έχουμε στάσιμα κύματα σε αυτή την ευθεία και με δεδομένο ότι στη μέση (x=0) του ευθυγράμμου τμήματος έχουμε κοιλία οι θέσεις των δεσμών βρίσκονται στις θέσεις d d x N ), κλπ 4 74 Γ 75 Λ 76 Λ T x0, t 8 T y Aco x in t Ain A 0, A 0, T 8, C A x 0,co x A x 8 0, 0, aax A A T A A A aax A A T A, B A A 4 8 θ =γωνία διάθλασηςστο Α=πρόπτωσης στο Β θ =γωνία διάθλασηςστο Β θ =γωνία πρόπτωσης στο Γ ά στο Α: in n in ά στο B:n in n in in 90 co in co n ά στο Γ:n n n n n in n in n in n n n Β n d d d d n d 3 t t n d n d, Γ n n 80 c c n d 8 B 8 Γ 83 Λ 84 y 0,05in 50 t, k rad 5, y 0,05in 50t 5x, n, Κύματα

80 y,5 co 50 t 5 x, την t το κύμα δεν έχει φτάσει στο x (0, 0, <x= 0,4,, ενώ έχει φτάσει την t (0,3 0,6 >x= 0,4, οπότε 0 y y 0,3, 0,4,5 co 50 0,3 5 0,4,5 co 5,5, 44/34 Τα Β και Γ βρίσκονται σε αντίθεση φάσης (απέχουν 3 που αντιστοιχεί σε διαφορά φάσης 3π), άρα y 0,05 (αφού y 0,05 B ) 85 Γ 86 B 87 Σωστή 88 Λάθος 89 Λάθος 90 από το σχήμα προκύπτουν: 3 r 50,, r 5,4 7, A 50,,,4 rad rad T 0,4, 5, = T, k T 0, t 0, 3 y Ain t kr 50 in 5 t, 0, t,4 r r r r Aco k in t k 0 co 3 in 5 t 4 0 in 5t 4,,4 t Κάθε σημείο του μέσου εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με ω (των πηγών), οπότε συνδυάζοντας τις σχέσεις απομάκρυνσης και ταχύτητας στη βασική τριγωνομετρική εξίσωση προκύπτει η γνωστή σχέση A y,5 0 (το υπουργείο έδωσε την DA Dy με D αντί για D 0 που αναφέρεται σε αρμονικό ταλαντωτή ιδιοσυχνότητας 0 που είναι άγνωστο) Η αλλαγή συχνότητας σε f f (ομοίως και τη γωνιακή συχνότητα μήκος κύματος (η ταχύτητα μετάδοσης δεν αλλάζει) σε ταλάντωσης από A γίνεται και το k r r Aco k Aco 9 3 Aco 3 Aco 3 3 A Έτσι: 9 Γ,ax A A 0,ax 9 K 4 8 K A A 5 ), θα μεταβάλλει το 0 9 k. Το πλάτος Κύματα

81 45/34 9 Γ, θλάση = σπάσιμο (εδώ δεν υπάρχει θλάση) 93 Λ 94 Λ 95 Παρακάμπτοντας το λάθος του ερωτήματος, T r t, rm Aco E K,ax A A B EM KM,ax AM AM A 96 Α 97 Λ 98 Σ 99 L n f n f n δεσμοί 00 Β 0 Σ 0 Για x=0 έχουμε κοιλία, οπότε οπότε x M 6 4 5, x 3 M 8 A M A co A co A co A co A rad t 4 T, t x x y Ain Ain t A x T 4 4 T 4 t 04 α, διότι από την καμπύλη που φανταζόμαστε να μετατοπίζεται προς τα αριστερά πρέπει το αριστερό σημείο να απομακρύνεται από τη θέσης ισορροπίας και το δεξί να πλησιάζει προς τη θέσης ισορροπίας που συμβαδίζουν με τα σημειωμένα βέλη του σχήματος 05 Γ, το πλάτος θα πρέπει να μικραίνει καθώς περνά η ώρα 06 Σ 07 Λ 08 Λ Κύματα

82 46/ f f 4 f f 9 8 f 4 f 4 4 A 0 Από διάθλαση στο Γ και από σχήμα παίρνουμε (και από γνωστή τριγωνομετρική σχέση που αποδεικνύεται εύκολα) n in in tan in tan tan n in in tan tan tan 5 n B a a a 4 5 tan 4 4, tan a a 4 y A Ain A 6 EA Dy A y A A 3 EB DyA yb 3 3 yb Ain A A 3 Γ 3 Λ 4 Σ A Κύματα

83 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 00. Το αλγεβρικό άθροισμα των... που δρουν σ' ένα στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο με την αλγεβρική τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του.. Δίσκος παιδικής χαράς περιστρέφεται περί κατακόρυφο άξονα κάθετο στο επίπεδό του διερχόμενο από το κέντρο του δίσκου Ο. Στο δίσκο δεν ασκείται καμία εξωτερική δύναμη. Ένα παιδί μετακινείται από σημείο Α της περιφέρειας του δίσκου στο σημείο Β πλησιέστερα στο κέντρο του. Τότε ο δίσκος θα περιστρέφεται: Α) πιο αργά Β) πιο γρήγορα Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 3. Δύο ίδιες, λεπτές, ισοπαχείς και ομογενείς ράβδοι ΟΑ και ΟΒ, που έχουν μάζα M 4 kg και μήκος L 5, η καθεμία, συγκολλούνται στο ένα άκρο τους Ο, ώστε να σχηματίζουν ορθή γωνία. Το σύστημα των δύο ράβδων μπορεί να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο ΑΟΒ, που διέρχεται από την κορυφή Ο της ορθής γωνίας. Το σύστημα αρχικά συγκρατείται στη θέση όπου η ράβδος ΟΑ είναι οριζόντια (όπως στο σχήμα). Η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της είναι I ML c. 3 Α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το Ο. Β) Από την αρχική του θέση το σύστημα των δύο ράβδων αφήνεται ελεύθερο να περιστραφεί περί τον άξονα περιστροφής στο σημείο Ο, χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος των δύο ράβδων τη στιγμή της εκκίνησης. Γ) Τη χρονική στιγμή κατά την οποία οι ράβδοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με την κατακόρυφο Οx, να υπολογίσετε: α) Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος των δύο ράβδων. β) Το μέτρο της στροφορμής της κάθε ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Ο. 0 0 Δίνονται: g 0, in 45 co 45 0, 7 4. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά μεγέθη από τη Στήλη Ι και, δίπλα σε καθένα, τη μονάδα της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό. 4 Στήλη Ι Στήλη ΙΙ A. Ροπή αδράνειας Ι σώματος ως προς άξονα a) N. B. Στροφορμή L στερεού σώματος b) rad

84 C. Γωνιακή ταχύτητα ω c) D. Ροπή δύναμης τ ως προς άξονα d) F kg. E. Συχνότητα f περιοδικού φαινομένου e) kg f) Hz /38 5. Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σ' ένα στερεό σώμα, το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι μηδέν, τότε 5 Α) η γωνιακή του ταχύτητα μεταβάλλεται Β) η γωνιακή του ταχύτητα είναι σταθερή Γ) η γωνιακή του επιτάχυνση μεταβάλλεται Δ) η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής του μεταβάλλεται 6. Ομογενής δοκός ΑΒ μήκους L 3 και βάρους w 50 N ισορροπεί οριζόντια, στηριζόμενη στο άκρο Α και στο σημείο Γ, που απέχει από το άλλο άκρο Β απόσταση d 0, 5, όπως φαίνεται στο. 6 Α) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούν τα στηρίγματα στη δοκό στα σημεία Α και Γ. Β) Στο άκρο Β της δοκού τοποθετείται σώμα βάρους w και παρατηρούμε ότι η δύναμη που ασκείται στη δοκό από το στήριγμα στο άκρο Α ελαττώνεται στο μισό. Να υπολογίστε το βάρος w του σώματος Όταν ένα σώμα μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει ο προσανατολισμός του, λέμε ότι κάνει... κίνηση Καλλιτέχνης του πατινάζ περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του, χωρίς τριβές. Στην αρχή ο καλλιτέχνης έχει τα χέρια απλωμένα και στη συνέχεια τα συμπτύσσει. Ο καλλιτέχνης περιστρέφεται πιο γρήγορα, όταν έχει τα χέρια: (a)απλωμένα (b) συνεπτυγμένα. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΖ έχει μήκος L 4, μάζα M 3 kg και ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο. Στο ά- k κρο της Α υπάρχει ακλόνητη άρθρωση γύρω από την οποία η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, ενώ στο άλλο Δ άκρο της Ζ υπάρχει στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας 0, 6kg και αμελητέων διαστάσεων. Α Γ Ζ Ένα αβαρές τεντωμένο νήμα ΔΓ συνδέει το σημείο Γ της ράβδου με σφαιρίδιο μάζας kg, το οποίο είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k 00 N. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο (το σύστημα ελατηρίου-νήματος Μηχανική Στερεού Σώματος

85 θεωρείται κατακόρυφο όπως στο σχήμα). Η απόσταση ΑΓ είναι ίση με, 8. Όλη η διάταξη βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, στο οποίο γίνονται και όλες οι κινήσεις. 9 Α) Να υπολογίσετε: α) τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου σφαιριδίου ως προς τον οριζόντιο ά- ξονα που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετος στο επίπεδο της διάταξης β) το μέτρο της τάσης του νήματος ΔΓ. Β) Αν κόψουμε το νήμα ΔΓ, το σφαιρίδιο εκτελεί αμείωτη αρμονική ταλάντωση, ενώ η ράβδος μαζί με το σώμα, υπό την επίδραση της βαρύτητας, περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από το σημείο Α. Να υπολογίσετε: α) το χρόνο που χρειάζεται το σφαιρίδιο από τη στιγμή που κόβεται το νήμα μέχρι τη στιγμή που θα φθάσει στην ψηλότερη θέση του για πρώτη φορά. β) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Ζ, τη στιγμή που η ράβδος περνάει από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται: g 0, ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα διερχόμενου από το 3/38 κέντρο μάζας της ράβδου και είναι κάθετος στη διεύθυνση της ράβδου: 3, 4. I c ML, 0. Η μονάδα μέτρησης της στροφορμής είναι 0 Α) kg Β) kg Γ) kg Δ) kg. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό ά- ξονα είναι ανάλογη προς τη συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται στο σώμα. (Σ/Λ). Αν η στροφορμή ενός στερεού σώματος παραμένει σταθερή, τότε η συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν. (Σ/Λ) 3. Ομογενής στερεά ράβδος ΟΑ, μήκους L και μάζας M 0, 3 kg μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα (χωρίς τριβές) στο οριζόντιο επίπεδο, περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το σταθερό σημείο Ο. Στο άκρο Α της ράβδου στερεώνεται σφαιρίδιο Σ μάζας 0, kg, και το σύστημα ράβδου και σφαιριδίου Σ περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα rad. Στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται δεύτερο σφαιρίδιο Σ, ίσης μάζας με το Σ, προσδεμένο στο άκρο αβαρούς ελατηρί- ου, σταθεράς k 0 N. Ο άξονας του ελατηρίου είναι οριζόντιος και εφάπτεται της κυκλικής τροχιάς του σφαιριδίου Σ (όπως στο σχήμα). Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ακλόνητα. Οι διαστάσεις των σφαιριδίων είναι αμελητέες. Όταν η ταχύτητα Ο Α Σ υ Σ Μηχανική Στερεού Σώματος

86 του σφαιριδίου Σ έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, το σφαιρίδιο Σ αποκολλάται από τη ράβδο και κινούμενο ευθύγραμμα συγκρούεται με το σφαιρίδιο Σ με το ο- ποίο ενσωματώνεται. Να βρείτε: 3 Α) Τη στροφορμή του συστήματος ράβδου-σφαιριδίου Σ ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Ο. Β) Το μέτρο υ της ταχύτητας του σφαιριδίου τη στιγμή που αποκολλάται από τη ράβδο. Γ) Την περίοδο Τ της ταλάντωσης του συστήματος ελατηρίου - συσσωματώματος Σ και Σ. Δ) Το πλάτος της ταλάντωσης αυτής. Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο, I ML o 3 και 3, 4. 4/38 4. Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν, τότε η μεταβολή της ολικής στροφορμής του συστήματος είναι Να εξηγήσετε γιατί η χρονική διάρκεια της περιστροφής της γης γύρω από τον εαυτό της παραμένει σταθερή, δηλαδή 4 ώρες Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα με γωνιακή ταχύτητα ω. Αν η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι, να αποδείξετε ότι η κινητική ενέργεια του σώματος λόγω της στροφικής του κίνησης δίνεται από τη σχέση Κ Ιω Η ροπή αδράνειας εκφράζει την αδράνεια στη μεταφορική κίνηση. (Σ/Λ) 7 8. Συμπαγής και ομογενής σφαίρα μάζας 0 kg και ακτίνας R 0, κυλίεται ευθύγραμμα χωρίς ολίσθηση ανερχόμενη κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ µε in 0, 56. Τη χρονική στιγμή t=0 το κέντρο μάζας της σφαίρας έχει ταχύτητα µε μέτρο 8 0. Να υπολογίσετε για τη σφαίρα:8 Α) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της τη χρονική στιγμή t=0. Β) το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της. Γ) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής κατά τη διάρκεια της κίνησής της. Δ) το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της καθώς ανεβαίνει, τη στιγμή που έχει διαγράψει 30 περιστροφές. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της σφαίρας περί άξονα διερχόμενο από το κέντρο της: I 5 R και η επιτάχυνση της βαρύτητας: 0 g. 9. Κατά τη στροφική κίνηση ενός σώματος 9 Α) όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα Β) κάθε σημείο του σώματος κινείται µε γραμμική ταχύτητα. r (ω η γωνιακή ταχύτη- Μηχανική Στερεού Σώματος

87 τα, r η απόσταση του σημείου από τον άξονα περιστροφής) Γ) κάθε σημείο του σώματος έχει γωνιακή ταχύτητα c ( c η ταχύτητα του κέντρου R μάζας, R η απόσταση του σημείου από το κέντρο μάζας) Δ) η διεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας μεταβάλλεται 5/38 0. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα και να τον συμπληρώσετε. (Να γράψετε µία από τις λέξεις μονόμετρο ή διανυσματικό). 0 Φυσικό μέγεθος Ροπή δύναμης ως προς σημείο Στροφορμή σώματος Γωνιακή ταχύτητα Ροπή αδράνειας ως προς άξονα Μέγεθος νάδες Μο. Δακτύλιος και δίσκος µε οπή, η μάζα του ο- ποίου είναι ομογενώς κατανεμημένη, όπως στο σχήμα, έχουν την ίδια μάζα και την ίδια ακτίνα. Αν I και I οι ροπές αδράνειας του δίσκου και του δακτυλίου αντίστοιχα ως προς άξονες κάθετους στο επίπεδό τους που διέρχονται από τα κέντρα τους, τι ισχύει; Α) I I Β) I I Γ) I I Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.. Εάν η στροφορμή ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα παραμένει σταθερή, τότε η συνολική εξωτερική ροπή πάνω στο σώμα Α) είναι ίση µε το μηδέν Β) είναι σταθερή και διάφορη του μηδενός Γ) αυξάνεται µε το χρόνο Δ) μειώνεται µε το χρόνο 3. Η μονάδα μέτρησης της ροπής αδράνειας είναι kg.(σ/λ) 3 4. Τρεις σφαίρες αμελητέων διαστάσεων που η κάθε µία έχει την ίδια μάζα, συνδέονται μεταξύ τους µε ράβδους αμελητέας μάζας και μήκους L, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από µία από τις σφαίρες. Η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς αυτόν τον άξονα είναι: Α) L Β) L Γ) 3L Μηχανική Στερεού Σώματος

88 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Σώμα ακίνητο αρχίζει τη χρονική στιγμή t 0 να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Αν τη χρονική στιγμή t η κινητική ενέργεια λόγω της t t περιστροφής είναι K και τη χρονική στιγμή είναι K, τότε: K Α) K Β) K 4K Γ) K 8K Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 5 6/38 6. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου που ο- ρίζουν. (Σ/Λ) 6 7. Ένα ομογενές σώμα µε κανονικό γεωμετρικό σχήμα κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει. Η κινητική ενέργεια του σώματος λόγω της μεταφορικής κίνησης είναι ίση µε την κινητική του ενέργεια λόγω της στροφικής κίνησης γύρω από τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του. Το γεωμετρικό σχήμα του σώματος είναι: Α) σφαίρα Β) λεπτός δακτύλιος Γ) κύλινδρος Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Η ομογενής τροχαλία του σχήματος ακτίνας R 0, και μάζας M 3 kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Σώμα Σ μάζας kg είναι δεμένο στο 3 ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος το οποίο είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια της τροχαλίας. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο. Κάτω από το σώμα Σ και σε απόσταση h βρίσκεται σώμα Σ μάζας kg το οποίο ισορροπεί στερεωμένο στη μια άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k 00 N η άλλη άκρη του οποίου είναι στερεωμένη στο έδαφος. Αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα τροχαλίας σώματος Σ να κινηθεί. Μετά από χρόνο t το σώμα Σ συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά µε το σώμα Σ, ενώ το νήμα κόβεται. Το συσσωμάτωμα εκτελεί αμείωτη απλή αρμονική ταλάντωση στην κατακόρυφη διεύθυνση. Να υπολογίσετε: 8 Α) το μέτρο της επιτάχυνσης µε την οποία κινείται το σώμα μέχρι την κρούση. Β) την κινητική ενέργεια της τροχαλίας μετά την κρούση. Γ) το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα. Δ) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος, τη στιγμή που απέχει από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης απόσταση x 0,. Να θεωρήσετε ότι το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της: της βαρύτητας: g 0 I MR και η επιτάχυνση Μηχανική Στερεού Σώματος

89 9. Ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Αν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σώματος υποδιπλασιαστεί, τότε η κινητική του ενέργεια θα 9 Α) Υποτετραπλασιαστεί Β) Υποδιπλασιαστεί Γ) Τετραπλασιαστεί Δ) Παραμείνει αμετάβλητη 7/ Δύο ομογενείς κυκλικοί δακτύλιοι και µε ακτίνες R και R, κυλίονται σε οριζόντιο επίπεδο µε σταθερές γωνιακές ταχύτητες 3ω και ω, αντίστοιχα. Ο λόγος των ταχυτήτων των κέντρων μάζας των δακτυλίων και, είναι Α) 3 Β) Γ) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ µε μήκος και βάρος 30 N ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται µε άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο της Γ συνδέεται µε τον τοίχο µε αβαρές νήμα Γ που σχηματίζει γωνία 30 µε τη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. 3 Α) Να υπολογίσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στη ράβδο από το νήμα και την άρθρωση. Β) Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Γ και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από την άρθρωση σε κατακόρυφο επίπεδο. Να υπολογίσετε: α) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου μόλις κοπεί το νήμα. β) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, τη στιγμή που αυτή σχηματίζει γωνία 60 µε την αρχική της θέση. γ) Την κινητική ενέργεια της ράβδου, τη στιγμή που διέρχεται από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται : η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σε αυτή είναι 3 co30 in I A kg, in30 co 60, 3. Ένας αθλητής καταδύσεων, καθώς περιστρέφεται στον αέρα, συμπτύσσει τα άκρα του. Με την τεχνική αυτή αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του. (Σ/Λ) Δύο ίδιοι οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι (α) και (β) μπορούν να ολισθαίνουν πάνω σε οριζόντιο ορθογώνιο τραπέζι ΓΔΕΖ χωρίς τριβές, όπως στο σχήμα. Αρχικά οι δύο δίσκοι είναι ακίνητοι και τα κέντρα τους απέχουν ίδια απόσταση από την πλευρά ΕΖ. Ίδιες σταθερές δυνάμεις F με διεύθυνση παράλληλη προς τις πλευρές ΔΕ και ΓΖ ασκούνται σ αυτούς. Στο δίσκο Μηχανική Στερεού Σώματος

90 (α) η δύναμη ασκείται πάντα στο σημείο Α του δίσκου. Στο δίσκο (β) η δύναμη ασκείται πάντα στο σημείο Β του δίσκου. Αν ο δίσκος (α) χρειάζεται χρόνο t για να φτάσει στην απέναντι πλευρά ΕΖ, ενώ ο δίσκος (β) χρόνο t, τότε: Α) t a t Β) t a t Γ) t a t 8/38 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Άνθρωπος βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια και κοντά στο κέντρο οριζόντιου δίσκου που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα γύρω από άξονα κάθετο στο κέντρο του. Αν ο άνθρωπος μετακινηθεί στην περιφέρεια του δίσκου, τότε η γωνιακή του ταχύτητα θα είναι 34 Α) Β) Γ) Δ) Ομογενής σφαίρα μάζας και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας είναι. Η ροπή αδράνειας της σφαί- ρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της είναι I c R. Η ολική κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι Α) 5 Β) c 7 0 c Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 35 c Γ) c 36. Μια ομογενής ράβδος ΑΒ που έχει μήκος και μάζα M 6 kg, έχει στο άκρο της Β μόνιμα στερεωμένο ένα σώμα μικρών διαστάσεων με μάζα kg. Η ράβδος στηρίζεται με το άκρο της Α μέσω άρθρωσης και αρχικά διατηρείται οριζόντια με τη βοήθεια νήματος, το ένα άκρο του οποίου είναι δεμένο στο μέσο της ράβδου και το άλλο στον κατακόρυφο τοίχο, όπως στο σχήμα. Η διεύθυνση του νήματος σχη- 0 ματίζει γωνία 30 με την διεύθυνση της ράβδου στην οριζόντια θέση ισορροπίας. 36 Α) Να υπολογίσετε: α) Το μέτρο της τάσης του νήματος. β) Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου σώματος ως προς άξονα που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος. Μηχανική Στερεού Σώματος

91 Β) Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται και η ράβδος μαζί με το σώμα που είναι στερεωμένο στο άκρο της, αρχίζει να περιστρέφεται στο επίπεδο του σχήματος. Θεωρώντας τις τριβές α- μελητέες να υπολογίσετε το μέτρο: α) Της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος ράβδου-σώματος ως προς τον άξονα περιστροφής, μόλις κόβεται το νήμα. β) Της ταχύτητας του σώματος στο άκρο της ράβδου, όταν αυτή φτάνει στην κατακόρυφη θέση. Δίνονται: Για τη ράβδο η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής της: I c της βαρύτητας g 0.. Η επιτάχυνση 9/ Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Αν c η ταχύτητα του τροχού λόγω μεταφορικής κίνησης, τότε η ταχύτητα των σημείων της περιφέρειας του τροχού που απέχουν από το έδαφος απόσταση ίση με R, έχει μέτρο: 37 Α) c Β) c Γ) 0 Δ) c 38. Υποθέτουμε ότι κλιματολογικές συνθήκες επιβάλλουν την μετανάστευση του πληθυσμού της Γης προς τις πολικές ζώνες. Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της: 38 Α) θα μείνει σταθερή Β) θα ελαττωθεί Γ) θα αυξηθεί Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 39. Το γιο-γιο του σχήματος αποτελείται από ομογενή συμπαγή κύλινδρο που έχει μάζα 0, kg και ακτίνα R, 5 0. Γύρω από τον κύλινδρο έχει τυλιχτεί νήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε τον κύλινδρο να πέσει. Το νήμα ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από νοητό οριζόντιο άξονα x x, ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του. Το νήμα σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του κυλίνδρου παραμένει κατακόρυφο και τεντωμένο και δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του κυλίνδρου. Τη στιγμή που έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους 0R, η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι c. 39 Α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του. (Ο τύπος που μας δίνει τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, δεν θεωρείται γνωστός). Β) Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου, καθώς αυτός κατέρχεται. Μηχανική Στερεού Σώματος

92 Γ) Τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι c, το νήμα κόβεται. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του μετά την πάροδο χρόνου 08, από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα. Δ) Να κάνετε σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα του μέτρου της στροφορμής σε συνάρτηση με το χρόνο από τη χρονική στιγμή t=0, μέχρι τη χρονική στιγμή που αντιστοιχεί σε χρόνο 08, από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα. Δίνεται g 0. 0/ Σε οριζόντιο επίπεδο ο δίσκος του σχήματος με ακτίνα R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και η ταχύτητα του κέντρου μάζας του Κ είναι c. Η ταχύτητα του σημείου που βρίσκεται στη θέση Β της κατακόρυφης διαμέτρου και απέχει απόσταση R από το Κ θα είναι 3 Α) c Β) 3 c Γ) 5 c Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Άκαμπτη ομογενής ράβδος ΑΓ με μήκος l και μάζα M 3 kg έχει το άκρο της Α αρθρωμένο και ισορροπεί οριζόντια. Στο άλλο άκρο Γ ασκείται σταθερή κατακόρυφη δύναμη F μέτρου 9 N, με φορά προς τα κάτω. Η ράβδος ΑΓ εφάπτεται στο σημείο Β με στερεό που α- ποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R 0, και R 0,, ό- πως φαίνεται στο σχήμα. Η απόσταση του σημείου επαφής Β από το άκρο Γ της ράβδου είναι 4. Το στερεό μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, σαν ένα σώμα γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο του. Ο άξονας περιστροφής συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας των δύο κυλίνδρων. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής είναι I 0, 09 kg. Γύρω από τον κύλινδρο ακτίνας R είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα στο άκρο του οποίου κρέμεται σώμα μάζας kg. 4 Α) Να υπολογίσετε την κατακόρυφη δύναμη που δέχεται η ράβδος στο σημείο Β από το στερεό. Β) Αν το σώμα μάζας ισορροπεί, να βρείτε το μέτρο της δύναμης της στατικής τριβής μεταξύ της ράβδου και του στερεού. Γ) Στο σημείο επαφής Β μεταξύ ράβδου και στερεού ρίχνουμε ελάχιστη ποσότητα λιπαντικής ουσίας έτσι, ώστε να μηδενιστεί η τριβή χωρίς να επιφέρει μεταβολή στη ροπή αδράνει- Μηχανική Στερεού Σώματος

93 ας του στερεού. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας, όταν θα έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0, 5. Να θεωρήσετε ότι το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στον εσωτερικό κύλινδρο. Δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό παραγωγής έργου στο στερεό τη χρονική στιγμή που έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0, 5. Δίνεται g 0. /38 4. Μία σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση κινούμενη κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου (αρχικά ανέρχεται και στη συνέχεια κατέρχεται) 4 Α) Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της μεταβάλλεται Β) Η φορά του διανύσματος της στατικής τριβής παραμένει σταθερή Γ) Η φορά του διανύσματος της γωνιακής επιτάχυνσης μεταβάλλεται Δ) Η φορά του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας παραμένει σταθερή 43. Ένας κύλινδρος που είναι αρχικά ακίνητος και μπορεί να περιστραφεί γύρω από το σταθερό άξονά του δέχεται την επίδραση σταθερής ροπής. Τη στροφορμή του κυλίνδρου σε συνάρτηση με το χρόνο απεικονίζει το σχήμα Α) I Β) II Γ) III Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Ομογενής ράβδος μήκους και μάζας M 3 kg, είναι αναρτημένη από οριζόντιο άξονα Α, γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστραφεί σε κατακόρυφο επίπεδο. Στον ίδιο άξονα Α είναι δεμένο αβαρές νήμα με το ίδιο μήκος l, στο άλλο ά- κρο του οποίου είναι δεμένο σφαιρίδιο μάζας 0, 5 kg. Αρχικά το νήμα είναι τεντωμένο στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και το σφαιρίδιο βρίσκεται σε ύψος h 0, 8 πάνω από το κατώτερο σημείο της ράβδου. Στη συνέχεια το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο και προσκρούει στο άκρο της ράβδου. Μετά την κρούση το σφαιρίδιο ακινητοποιείται. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. Να βρείτε: 44 Α) Την ταχύτητα του σφαιριδίου λίγο πριν την κρούση. Β) Τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. Γ) Τη γραμμική ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. Δ) Το ποσό της μηχανικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμική κατά την κρούση. Ε) Τη μέγιστη ανύψωση του κέντρου μάζας της ράβδου. Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της: I c. Η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0. M 45. Στο σχήμα φαίνεται ένας ομογενής συμπαγής κυκλικός δίσκος (Ι) και ένας ομογενής Μηχανική Στερεού Σώματος

94 συμπαγής κυκλικός δακτύλιος (ΙΙ), που έχουν την ίδια ακτίνα και την ίδια μάζα. Κάποια χρονική στιγμή ασκούνται στα σώματα αυτά δυνάμεις ίδιου μέτρου, εφαπτόμενες στην περιφέρεια. Οι γωνιακές επιταχύνσεις που θα α- ποκτήσουν θα είναι a a Β) ai aii Γ) ai aii Α) I II Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 45 / Τροχαλία μάζας M 6 kg και ακτίνας R 0, 5 μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Γύρω από την τροχαλία υπάρχει αβαρές και μη εκτατό νήμα. Στα άκρα του νήματος υπάρχουν σε κατακόρυφη θέση τα σώματα Σ και Σ με μάζες 4 kg και kg αντίστοιχα. Το σώμα Σ είναι κολλημένο με σώμα Σ 3 μάζας 3 kg, το οποίο συγκρατείται από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k 00 N. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί ό- πως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια χρονική στιγμή, την οποία θεωρούμε ως χρονική στιγμή μηδέν (t 0 = 0), τα σώματα Σ και Σ 3 αποκολλώνται και το Σ 3 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση κατά τη διεύθυνση της κατακόρυφου. 46 Α) Να υπολογιστεί το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ 3. Β) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ 3 σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως θετική φορά, τη φορά προς τα επάνω. Γ) Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας μετά την αποκόλληση των σωμάτων Σ και Σ 3. Δ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t 0,. μάζας της Δίνονται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο I MR, η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώ- στε να μην παρατηρείται ολίσθηση και g Όταν ο φορέας της δύναμης, η οποία ασκείται σε ένα ελεύθερο στερεό σώμα δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του, τότε το σώμα εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση. (Σ/Λ) Η συνολική ροπή των δύο αντίρροπων δυνάμεων F και F του σχήματος, που έχουν ίδιο μέτρο, είναι Μηχανική Στερεού Σώματος

95 Α) μεγαλύτερη ως προς το σημείο Κ. Β) μεγαλύτερη ως προς το σημείο Μ. Γ) ανεξάρτητη του σημείου ως προς το οποίο υπολογίζεται. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 48 3/ Στο γιογιό του σχήματος που έχει μάζα M 6 kg και ακτίνα R 0,, έχει τυλιχτεί πολλές φορές γύρω του λεπτό αβαρές νήμα. Με σταθερό το ένα άκρο του νήματος αφήνουμε το γιογιό να κατεβαίνει. Όταν αυτό έχει κατέβει κατά h αποκτά μεταφορική 5 3 ταχύτητα c 5. Να βρείτε: 49 Α) Τη μεταφορική επιτάχυνση του κέντρου μάζας του σώματος. Β) Τη γωνιακή επιτάχυνση του σώματος και την τάση του νήματος. Γ) Το λόγο της στροφικής κινητικής ενέργειας προς τη μεταφορική κινητική ενέργεια του σώματος, χωρίς να θεωρήσετε γνωστό τον τύπο της ροπής αδράνειας του γιογιό. Δ) Τη σχέση που περιγράφει πώς μεταβάλλεται η στροφική κινητική ενέργεια του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνονται: g Η ροπή αδράνειας ενός σώματος σταθερής μάζας έχει πάντα την ίδια τιμή. (Σ/Λ) Ομογενής ράβδος μήκους 03, και μάζας M, kg μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α. Αρχικά την κρατούμε σε οριζόντια θέση και στη συνέχεια την αφήνουμε ελεύθερη. Θεωρούμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα. Α) Να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής τη στιγμή που αφήνεται ελεύθερη. Β) Να βρείτε τη στροφορμή της ράβδου όταν φθάσει σε κατακόρυφη θέση. Τη στιγμή που η ράβδος φθάνει στην κατακόρυφη θέση το κάτω άκρο της ράβδου συγκρούεται ακαριαία με ακίνητο σώμα Σ αμελητέων διαστάσεων που έχει μάζα 04, kg. Μετά την κρούση το σώμα κινείται κατά μήκος κυκλικού τόξου ακτίνας, ενώ η ράβδος συνεχίζει να κινείται με την ίδια φορά. Δίνεται ότι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση είναι 5, όπου ω η γωνιακή ταχύτητά της αμέσως πριν την κρούση. 5 Γ) Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση. Δ) Να βρείτε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια κατά την κρούση. Μηχανική Στερεού Σώματος

96 Δίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα Α g 0. I 3 M και 4/38 5. Η ράβδος του σχήματος είναι αβαρής και οι μάζες απέχουν εξίσου από τον άξονα περιστροφής. Αν η α- πόσταση των μαζών από τον άξονα περιστροφής υποδιπλασιαστεί, η ροπή αδράνειας του συστήματος: 5 Α) τετραπλασιάζεται Β) διπλασιάζεται Γ) υποδιπλασιάζεται Δ) υποτετραπλασιάζεται 53. Τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης έχουν πάντα την ίδια κατεύθυνση. (Σ/Λ) Η ράβδος ΟΑ του σχήματος με μήκος L και μάζα M 6 kg είναι οριζόντια και περιστρέφεται υπό την επίδραση οριζόντιας δύναμης F που έχει σταθερό μέτρο και είναι διαρκώς κάθετη στη ράβδο, στο άκρο της Α. Η περιστροφή γίνεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το Ο. Αρχικά η ράβδος είναι ακίνητη. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. Να υπολογιστούν: 54 Α) Η τιμή της δύναμης F, αν γνωρίζουμε ότι το έργο που έχει προσφέρει η δύναμη στη διάρκεια της πρώτης περιστροφής είναι 30 J. Β) Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. Γ) Ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη μεταφέρει ενέργεια στη ράβδο στο τέλος της πρώτης περιστροφής. Δίνονται:. 30 9, 7. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο Όταν μια χορεύτρια καλλιτεχνικού πατινάζ, που περιστρέφεται, θέλει να περιστραφεί γρηγορότερα συμπτύσσει τα χέρια της. (Σ/Λ) 55 Ic ML 56. Ένας κύβος και μία σφαίρα ίδιας μάζας αφήνονται να κινηθούν από το ίδιο ύψος δύο διαφορετικών κεκλιμένων επιπέδων. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβές στο ένα και η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο άλλο. Για τις ταχύτητες του κύβου και του κέντρου μάζας της σφαίρας στη βάση των κεκλιμένων επιπέδων ισχύει ότι 56 Α) μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα του κύβου. Μηχανική Στερεού Σώματος

97 Β) μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα της σφαίρας. Γ) οι ταχύτητες είναι ίσες. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 5/ Η ομογενής ράβδος AB του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα συμμετρίας (ξ) του σχήματος. Οι δύο σφαίρες Σ, Σ μάζας καθεμιά μπορούν να μετακινούνται κατά μήκος της ράβδου. Η ράβδος ξεκινά να περιστρέφεται 57 Α) πιο εύκολα στη θέση Β) πιο εύκολα στη θέση Γ) το ίδιο εύκολα και στις δύο περιπτώσεις Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 58. H ροπή αδράνειας ενός στερεού δεν εξαρτάται από τη θέση του άξονα περιστροφής του. (Σ/Λ) Η Γη έχει στροφορμή λόγω της κίνησής της γύρω από τον Ήλιο. (Σ/Λ) Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους L 4 και μάζας M kg ι- σορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Σε σημείο Κ της ράβδου έχει προσδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου αβαρούς νήματος σταθερού μήκους, με το επάνω άκρο του συνδεδεμένο στην οροφή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο σημείο Γ ισορροπεί ομογενής σφαίρα μάζας 5, kg και ακτίνας r 0,. Δίνονται AK L, A L Α) Να υπολογισθεί το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στη ράβδο. Τη χρονική στιγμή t 0 ασκείται στο κέντρο μάζας της σφαίρας με κατάλληλο τρόπο, σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F 7 N, με φορά προς το άκρο Β. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Β) Να υπολογισθεί το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας κατά την κίνησή της. Γ) Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας όταν φθάσει στο άκρο Β. Δ) Να υπολογισθεί το μέτρο της στροφορμής της σφαίρας όταν φθάσει στο άκρο Β. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της σφαίρας μάζας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της I 5 r και g 0. Μηχανική Στερεού Σώματος

98 6. Στη στροφική κίνηση το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών των δυνάμεων, που ασκούνται στο σώμα είναι 6 Α) ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώματος Β) ίσο με τη μεταβολή της στροφορμής του σώματος Γ) πάντα θετικό Δ) αντιστρόφως ανάλογο της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα 6/38 6. H ροπή αδράνειας εκφράζει στη μεταφορική κίνηση ό,τι εκφράζει η μάζα στη στροφική κίνηση. (Σ/Λ) Σε ένα ακίνητο ρολόι που βρίσκεται σε κανονική λειτουργία, ο λόγος της στροφορμής του λεπτοδείκτη ( L ) προς την στροφορμή του ωροδείκτη ( L ), ως προς τον κοινό άξονα περι- L στροφής τους, είναι L τους αντίστοιχα είναι63, όπου λ θετική σταθερά. Ο λόγος των κινητικών ενεργειών Α) 6 Β) Γ) 4 Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 64. Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το kg (Σ/Λ) Η ομογενής τροχαλία του σχήματος έχει μάζα M 6 kg και ακτίνα R 03,. Τα σώματα Σ και Σ έχουν αντίστοιχα μάζες 5 kg και kg.h τροχαλία και τα σώματα Σ, Σ είναι αρχικά ακίνητα και τα κέντρα μάζας των Σ, Σ βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t 0 το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Να υπολογίσετε: Α) το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία θα κινηθούν τα σώματα Σ και Σ. Β) το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας. Γ) το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας, ως προς τον άξονα περιστροφής της, τη χρονική στιγμή t. Δ) τη χρονική στιγμή t κατά την οποία η κατακόρυφη απόσταση των κέντρων μάζας των Σ, Σ θα είναι h 3. Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της I MR και η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0. Σημείωση: Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώστε Μηχανική Στερεού Σώματος

99 να μην παρατηρείται ολίσθηση. Να θεωρήσετε ότι τα σώματα Σ και Σ δεν φτάνουν στο έδαφος ούτε συγκρούονται με την τροχαλία. 65 7/ Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος δεν εξαρτάται από τον άξονα περιστροφής του σώματος. (Σ/Λ) Ο δίσκος του σχήματος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του κέντρου του Ο είναι 0. Το σημείο Α βρίσκεται στην περιφέρεια του δίσκου και το ΑΟ είναι οριζόντιο. Η ταχύτητα του σημείου Α έχει μέτρο 67 Α) 0 Β) Γ) 0 0 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 68. Στερεό Π μάζας M 0 kg αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R και R, όπου R 0,, όπως στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας του στε- ρεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I MR. Το στερεό Π περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα OO, που συμπίπτει με τον άξονά του. Το σώμα Σ μάζας 0 kg κρέμεται από το ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο ακτίνας R. Γύρω από το τμήμα του στερεού Π με ακτίνα R είναι τυλιγμένο πολλές φορές νήμα, στο ελεύθερο άκρο Α του οποίου μπορεί να ασκείται οριζόντια δύναμη F. 68 Α) Να βρείτε το μέτρο της αρχικής δύναμης F 0 που ασκείται στο ελεύθερο άκρο Α του νήματος, ώστε το σύστημα που εικονίζεται στο σχήμα να παραμένει ακίνητο. Τη χρονική στιγμή t 0 0 που το σύστημα του σχήματος είναι ακίνητο, αυξάνουμε τη δύναμη ακαριαία έτσι ώστε να γίνει F 5 N. Β) Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος Σ. Για τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέλθει κατά h, να βρείτε: Γ) Το μέτρο της στροφορμής του στερεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής του. Μηχανική Στερεού Σώματος

100 Δ) Τη μετατόπιση του σημείου Α από την αρχική του θέση. Ε) Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του στερεού Π κατά τη μετατόπιση του σώματος Σ κατά h. Δίνεται g 0. Το συνολικό μήκος κάθε νήματος παραμένει σταθερό. 8/ Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, με γωνιακή ταχύτητα v. Αν διπλασιαστεί η γωνιακή του ταχύτητα, τότε η κινητική του ενέργεια 69 Α) Μένει η ίδια Β) Διπλασιάζεται Γ) Τετραπλασιάζεται Δ) Οκταπλασιάζεται 70. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος είναι διανυσματικό μέγεθος. (Σ/Λ) Στη θέση Α οριζόντιου δίσκου βρίσκεται ένα παιδί και το σύστημα παιδί - δίσκος περιστρέφεται χωρίς τριβές, με γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του δίσκου Ο. Αν το παιδί μετακινηθεί από τη θέση Α στη θέση Β του δίσκου (σχήμα), τότε η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου 7 Α) Θα αυξηθεί Β) Θα παραμείνει η ίδια Γ) Θα μειωθεί Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Β Α Ο 7. Ομογενής και συμπαγής κύλινδρος μάζας 5 kg και ακτίνας R 0, αφήνεται από την ηρεμία (θέση Α) να κυλήσει κατά Α μήκος πλάγιου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τη στιγμή που το κέντρο h μάζας του κυλίνδρου έχει κατακόρυφη Γ μετατόπιση h (θέση Γ), η ταχύτητα του υ c κέντρου μάζας είναι c 8. Να υ- πολογίσετε: 7 Α) Τη γωνιακή ταχύτητα ω του κυλίνδρου στη θέση Γ. Β) Τη στροφορμή του κυλίνδρου στη θέση Γ. Γ) Την κατακόρυφη μετατόπιση h. Δ) Το λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου σε κάποια, χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της κίνησής του. Δίνεται: g 0. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστρο- φής του είναι I R Μηχανική Στερεού Σώματος

101 73. Η ροπή αδράνειας είναι διανυσματικό μέγεθος. (Σ/Λ) 73 9/ Η μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής στο σύστημα SI είναι το kg. (Σ/Λ) Χορεύτρια στρέφεται, χωρίς τριβές, έχοντας ανοιχτά τα δυο της χέρια με σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω. Η χορεύτρια συμπτύσσοντας τα χέρια της αυξάνει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της, σε 5. Ο λόγος της αρχικής προς την τελική ροπή α- δράνειας της χορεύτριας, ως προς τον άξονα περιστροφής της, είναι: 75 Α) Β) 5 Γ) 5 Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 76. Στην επιφάνεια ενός ομογενούς κυλίνδρου μάζας M 40 kg και ακτίνας R 0,, έχουμε τυλίξει λεπτό σχοινί αμελητέας μάζας, το ελεύθερο άκρο του οποίου έλκεται με σταθερή δύναμη F παράλληλη προς την επιφάνεια κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσεως 30, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σχοινί ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση, περιστρέφοντας ταυτόχρονα τον κύλινδρο. Ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στην επιφάνεια του κεκλιμένου επιπέδου χωρίς ολίσθηση. 76 Α) Να υπολογισθεί το μέτρο της δύναμης F, ώ- στε ο κύλινδρος να ανεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα. Αν αρχικά ο κύλινδρος είναι ακίνητος με το κέντρο μάζας του στη θέση Α και στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκηθεί σταθερή δύναμη F 30 N, όπως στο σχήμα: Β) Να υπολογισθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Γ) Να υπολογισθεί το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του όταν το κέντρο μάζας του περνάει από τη θέση Γ του σχήματος, η οποία βρίσκεται h ψηλότερα από τη θέση Α. Δ) Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης F κατά τη μετακίνηση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου από τη θέση Α στη θέση Γ και να δείξετε ότι αυτό ισούται με τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του κυλίνδρου κατά τη μετακίνηση αυτή. Δίνονται: επιτάχυνση βαρύτητας g 0, ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του I MR, in 30. Μηχανική Στερεού Σώματος

102 Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο. (Σ/Λ) 77 0/ Θέλουμε να μετρήσουμε πειραματικά την άγνωστη ροπή αδράνειας δίσκου μάζας kg και ακτίνας r. Για το σκοπό αυτό αφήνουμε τον δίσκο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας 30 ξεκινώντας από την ηρεμία. Διαπιστώνουμε ότι ο δίσκος διανύει την απόσταση x σε χρόνο t. 78 Α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Β) Από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου αφήνονται να κυλίσουν ταυτόχρονα δίσκος και δακτύλιος ίδιας μάζας Μ και ίδιας ακτίνας R. Η ροπή αδράνειας του δίσκου είναι I MR και του δακτυλίου I MR ως προς τους άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας τους και είναι κάθετοι στα επίπεδά τους. Να υπολογίσετε ποιο από τα σώματα κινείται με τη μεγαλύτερη επιτάχυνση. Συνδέουμε με κατάλληλο τρόπο τα κέντρα μάζας των δύο στερεών, όπως φαίνεται και στο σχήμα, με ράβδο αμελητέας μάζας, η οποία δεν εμποδίζει την περιστροφή τους και δεν ασκεί τριβές. Το σύστημα κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. K Γ) Να υπολογίσετε το λόγο των κινητικών ενεργειών K όπου K η κινητική ενέργεια του δίσκου και K η κινητική ενέργεια του δακτυλίου. Δ) Αν η μάζα κάθε στερεού είναι M 4, kg, να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκεί η ράβδος σε κάθε σώμα. Μεταφέρετε το σχήμα στο τετράδιό σας και σχεδιάστε τις πιο πάνω δυνάμεις. Δίνεται: 0 g, in Το μέτρο της στροφορμής L ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από άξονα με γωνιακή ταχύτητα ω και ροπή αδράνειας Ι, ως προς τον ίδιο άξονα περιστροφής, είναι 79 Α) I Β) I Γ) I Δ) I 80. Η μονάδα της ροπής δύναμης στο SI είναι N. (Σ/Λ) Κυκλική στεφάνη ακτίνας R 0, και μάζας kg κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ είναι c 0. Η ροπή α- δράνειας της στεφάνης ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος προς το επίπεδό της είναι Ic R. Ο είναι το κατώτατο και A το ανώτατο σημείο της στεφάνης. Η ευθεία ΚΒ είναι παράλληλη στο δάπεδο. Να υπολογίσετε: 8 Μηχανική Στερεού Σώματος

103 Α) τα μέτρα των ταχυτήτων στα σημεία Ο, Α και Β της στεφάνης. Β) τη γωνιακή ταχύτητα της στεφάνης. Γ) τη ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς το σημείο Ο. Δ) την κινητική ενέργεια της στεφάνης. /38 8. Υλικό σημείο μάζας και ταχύτητας υ κινείται σε περιφέρεια οριζόντιου κύκλου ακτίνας r, όπως στο σχήμα. Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς τον άξονα zz, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδό της 8 Α) είναι μονόμετρο μέγεθος. Β) έχει μέτρο r Γ) είναι διάνυσμα και έχει διεύθυνση κάθετη στον άξονα zz Δ) έχει μονάδα το kg 83. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους. (Σ/Λ) Τροχός αρχικά ακίνητος, αρχίζει ( t 0 ) και περιστρέφεται υπό την ε- πίδραση σταθερής ροπής, γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η κινητική ενέργεια K του τροχού ως συνάρτηση του χρόνου απεικονίζεται στο σχήμα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την α- πάντησή σας Ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους L και μάζας M 3 kg ισορροπεί οριζόντια, όπως στο σχήμα. Το άκρο Α της ράβδου στηρίζεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο Γ συνδέεται με την οροφή με κατακόρυφο σχοινί. Κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί και η ράβδος αφήνεται να περιστραφεί γύρω από την άρθρωση χωρίς τριβές. Η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σ αυτή, είναι: Ic ML και g 0. Να υπολογίσετε: Α) τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από το σχοινί, όταν αυτή ισορροπεί. Β) το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη στιγμή που κόβεται το σχοινί και η ράβδος είναι Μηχανική Στερεού Σώματος

104 οριζόντια. Γ) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου στην κατακόρυφη θέση της. Δ) το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής στην κατακόρυφη θέση της. 85 / Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος ως προς άξονα περιστροφής 86 Α) είναι διανυσματικό μέγεθος Β) έχει μονάδα μέτρησης το Ν, στο S.I Γ) δεν εξαρτάται από την θέση του άξονα περιστροφής Δ) εκφράζει την αδράνεια του σώματος στην περιστροφική κίνηση 87. Όταν ένας αστέρας συρρικνώνεται λόγω βαρύτητας, η γωνιακή ταχύτητά του λόγω ιδιοπεριστροφής αυξάνεται. (Σ/Λ) Λεπτή ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους και μάζας Μ μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο χωρίς τριβές, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο της ράβδου. Η απόσταση του σημείου Ο από το Α είναι 4. Στο άκρο Α της ράβδου στερεώνεται σημειακή μάζα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και δέχεται από τον άξονα δύναμη μέτρου F 0 N. 88 Α) Να υπολογιστούν οι μάζες και Μ. Στη συνέχεια τοποθετούμε τον άξονα περιστροφής της ράβδου στο άκρο Γ, ώστε να παραμένει οριζόντιος και κάθετος στη ράβδο, και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να περιστραφεί από την οριζόντια θέση. Να υπολογίσετε: Β) το μήκος της ράβδου, αν τη στιγμή που αφήνεται ελεύθερη έχει γωνιακή επιτάχυνση μέτρου a 3, 75 rad. Γ) το λόγο της κινητικής ενέργειας της μάζας προς τη συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος, κατά τη διάρκεια της περιστροφής του συστήματος των δύο σωμάτων. Δ) το μέτρο της στροφορμής του συστήματος των δύο σωμάτων, όταν η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση τέτοια, ώστε in 03,. Δίνονται: επιτάχυνση βαρύτητας g 0, ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας της Ic M. 89. Όταν ένα σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση, τότε η γωνιακή του 89 Α) ταχύτητα αυξάνεται Β) ταχύτητα μένει σταθερή Γ) επιτάχυνση αυξάνεται Δ) επιτάχυνση μειώνεται 90. Μια μικρή σφαίρα μάζας kg, ακτίνας r 0, 0 άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της Ic και ροπής αδράνειας ως προς 5 r, αφήνεται από το σημείο Α που Μηχανική Στερεού Σώματος

105 βρίσκεται σε ύψος h 9 πάνω από το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Όταν η σφαίρα διέρχεται από το σημείο Β του οδηγού, το οποίο απέχει απόσταση R από το οριζόντιο επίπεδο, να υπολογίσετε: 90 Α) τη ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο Β και είναι παράλληλος προς τον άξονα περιστροφής της. Β) το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας. Γ) το μέτρο της στροφορμής της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής της. Δ) το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φθάσει το κέντρο μάζας της σφαίρας, από το σημείο Β. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: 3/38 g Η ροπή αδράνειας είναι διανυσματικό μέγεθος. (Σ/Λ) 9 9. Αβαρής ράβδος μήκους 3d d μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο ά- ξονα, που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το Ο. Στο άκρο Α που βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο υπάρχει σημειακή A μάζα kg και στο σημείο Γ, που βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο έχουμε επίσης σημειακή μάζα 6 kg. Στο άλλο άκρο της ράβδου, στο σημείο Β, είναι αναρτημένη τροχαλία μάζας M 4 kg από την οποία κρέμονται οι μάζες kg, 3 kg. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα O. 9 Α) Αποδείξτε ότι το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο στην οριζόντια θέση. Κόβουμε το OB, που συνδέει την τροχαλία με τη ράβδο στο σημείο Β. 0 Β) Βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει γωνία 30 με την κατακόρυφο. Όταν η σημειακή μάζα A φτάνει στο κατώτατο σημείο, συγκρούεται πλαστικά με ακίνητη σημειακή μάζα 4 5 kg. Γ) Βρείτε τη γραμμική ταχύτητα του σημείου Α αμέσως μετά τη κρούση. Στην αρχική διάταξη, όταν η τροχαλία με τα σώματα είναι δεμένη στο Β, κόβουμε το νήμα που συνδέει μεταξύ τους τα σώματα και 3 και αντικαθιστούμε την A με μάζα Μηχανική Στερεού Σώματος

106 . Δ) Πόση πρέπει να είναι η μάζα, ώστε η ράβδος να διατηρήσει την ισορροπία της κατά τη διάρκεια περιστροφής της τροχαλίας; Τα νήματα είναι αβαρή, τριβές στους άξονες δεν υπάρχουν και το νήμα δεν ολισθαίνει στη τροχαλία. Δίνεται: 0 0 g, in 30 0, 5, ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς 4/38 άξονα που διέρχεται από το κέντρο της I MR. 93. Η τροχαλία του σχήματος είναι ομογενής με μάζα 4 kg και ακτίνα R 05,. Τα σώματα και έχουν μάζες kg και kg αντίστοιχα και βρίσκονται αρχικά ακίνητα στο ίδιο ύψος. Κάποια στιγμή ( t 0 0 αφήνονται ελεύθερα. Να βρείτε: 93 Α) Το μέτρο της επιτάχυνσης που θα αποκτήσουν τα σώματα και. Β) Τα μέτρα των τάσεων των νημάτων. Γ) Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή t. Δ) Την κινητική ενέργεια του συστήματος, τη στιγμή που το κάθε σώμα έχει μετατοπιστεί κατά h 3. Δίνεται: g 0. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι I R. Τα νήματα δεν ολισθαίνουν στην τροχαλία Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος έχει ροπή αδράνειας I, I, I, I ως προς τους παράλληλους άξονες,, 3, 4 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μικρότερη ροπή α- δράνειας είναι η 94 Α) I Β) I Γ) I 3 Δ) I Το κέντρο μάζας ενός σώματος μπορεί να βρίσκεται και έξω από το σώμα. (Σ/Λ) Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν, η ολική στροφορμή του συστήματος αυξάνεται συνεχώς. (Σ/Λ) Τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της. Γύρω από την τροχαλία είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα. Όταν στο ελεύθερο άκρο του νήματος ασκούμε κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα κάτω μέτρου F, η τροχαλία αποκτά γωνιακή Μηχανική Στερεού Σώματος

107 επιτάχυνση μέτρου a, ενώ, όταν κρεμάμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος σώμα βάρους w F η τροχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση a,. Ισχύει: 97 Α) a, a, Β) a, a, Γ) a, a, Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 5/ Λεία οριζόντια σανίδα μήκους L 3 και μάζας M 04, kg αρθρώνεται στο άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο. Σε απόσταση d από τον τοίχο, η σανίδα στηρίζεται ώστε να διατηρείται οριζόντια. Ιδανικό αβαρές ελατήριο σταθεράς με το ένα άκρο του στον τοίχο και το άλλο σε σώμα μάζας kg k 00 N συνδέεται. Το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος, ο άξονάς του είναι οριζόντιος και διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος. Το κέντρο μάζας του σώματος βρίσκεται σε απόσταση d από τον τοίχο. Στη συνέχεια, ασκούμε στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F 40 N με κατεύθυνση προς το άλλο άκρο Γ της σανίδας. Όταν το σώμα διανύσει απόσταση 5 c, η δύναμη παύει να ασκείται στο σώμα και, στη συνέχεια, το σώμα ε- κτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. 98 Α) Να υπολογίσετε το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα. Β) Να εκφράσετε το μέτρο της δύναμης F A που δέχεται η σανίδα από τον τοίχο σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του σώματος και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση. Κατά μήκος της σανίδας από το άκρο Γ κινείται σώμα μάζας kg με ταχύτητα 3. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά, όταν η απομάκρυνση του σώματος είναι x, όπου x 0. Το σώμα μετά την κρούση ταλαντώνεται με το μέγιστο δυνατό πλάτος. Γ) Να βρείτε την απομάκρυνση x. Δ) Να βρείτε μετά από πόσο χρονικό διάστημα από τη στιγμή της κρούσης τα δύο σώματα θα συγκρουστούν για δεύτερη φορά. Θεωρούμε θετική τη φορά της απομάκρυνσης προς το Γ. Τριβές στην άρθρωση και στο υποστήριγμα δεν υπάρχουν. Δίνεται: επιτάχυνση βαρύτητας g Οριζόντιος ομογενής δίσκος με μάζα M kg και ακτίνα R 05, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Ο δίσκος αρχικά είναι ακίνητος. Κάποια στιγμή t0 0, ασκείται σε σημείο της περιφέ- Μηχανική Στερεού Σώματος

108 ρειας του δίσκου δύναμη σταθερού μέτρου F 0 N, συνεχώς εφαπτόμενη σε αυτόν. 99 Α) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F από τη στιγμή t0 0 έως τη στιγμή που η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει γίνει 8 rad. Β) Να υπολογίσετε τη γωνία που έχει διαγράψει ο δίσκος μέχρι εκείνη τη στιγμή. Γ) Να υπολογίσετε την ισχύ της δύναμης F την ίδια στιγμή. Τη στιγμή που η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι 8 rad, η δύναμη F καταργείται και ο δίσκος συνεχίζει να στρέφεται με την ταχύτητα αυτή. Από κάποιο ύψος αφήνεται να πέσει ένα κομμάτι λάσπης μάζας kg αμελητέων διαστάσεων, που κολλάει στον δίσκο σε σημείο της περιφέρειάς του. Δ) Να υπολογίσετε τη νέα γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει το σύστημα δίσκος λάσπη. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I MR. 6/ Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής μετριέται σε kg. (Σ/Λ) Σε στερεό σώμα που εκτελεί στροφική κίνηση και το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας αυξάνεται, τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης είναι α- ντίρροπα. (Σ/Λ) 0 0. Ομογενής και ισοπαχής δοκός (ΟΑ), μάζας M 6 kg και μήκους 0,3, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο. Στο άλλο της άκρο Α υπάρχει στερεωμένη μικρή σφαίρα μάζας M. 0 Α) Βρείτε την ροπή αδράνειας του συστήματος δοκού-σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής του. 0 Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου F N, που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό, όπως φαίνεται στο σχήμα. Β) Βρείτε το έργο της δύναμης F κατά την περιστροφή του συστήματος μέχρι την οριζόντια θέση του. Γ) Βρείτε την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος δοκού- σφαίρας στην οριζόντια θέση. Επαναφέρουμε το σύστημα δοκού-σφαίρας στην αρχική κατακόρυφη θέση του. Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου F 30 3 N, που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό. Δ) Βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η δοκός με την κατακόρυφο τη στιγμή που η κινητική της ενέργεια γίνεται μέγιστη. Μηχανική Στερεού Σώματος

109 Δίνονται: g 0, ροπή αδράνειας ομογενούς δοκού μάζας Μ και μήκους l, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν 3 in 60 co 30, in30 co 60 Ic, 7/ Ομογενής και ισοπαχής δοκός (ΟΑ), μάζας M 6 kg και μήκους 0,3, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο. Στο άλλο της άκρο Α υπάρχει στερεωμένη μικρή σφαίρα μάζας M. 03 Α) Βρείτε την ροπή αδράνειας του συστήματος δοκού-σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής του. 0 Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου F N, που είναι συνεχώς κάθετη στη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Β) Βρείτε το έργο της δύναμης F κατά την περιστροφή του συστήματος δοκού-σφαίρας μέχρι την οριζόντια θέση ΙΙ. Γ) Βρείτε την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος δοκού- σφαίρας στην οριζόντια θέση ΙΙ. Η δοκός με τη μικρή σφαίρα αφήνεται ελεύθερη από την οριζόντια θέση της ΙΙ, χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα. Φτάνοντας στην κατακόρυφη θέση Ι, συγκρούεται με ακίνητο σφαιρίδιο, μάζας, που είναι δεμένο στο άκρο νήματος μήκους l και το άλλο άκρο στερεω- M μένο στο Ο. Το σύστημα δοκού-σφαίρας μετά την κρούση παραμένει ακίνητο. Δ) Βρείτε την ταχύτητα της σφαίρας μάζας αμέσως μετά την κρούση. Δίνονται: g 0, ροπή αδράνειας ομογενούς δοκού μάζας Μ και μήκους l, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτήν Ic. 04. Στερεό σώμα στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Η γωνιακή ταχύτητα (ω) μεταβάλλεται με το χρόνο (t), όπως στο σχήμα: Η συνισταμένη των ροπών που ασκούνται στο σώμα: 04 Α) είναι μηδέν τη χρονική στιγμή t Β) είναι σταθερή και διάφορη του μηδενός Γ) είναι σταθερή και ίση με το μηδέν Δ) αυξάνεται με το χρόνο 05. Η ροπή αδράνειας ως προς άξονα ενός στερεού έχει τη μικρότερη τιμή της, όταν ο άξονας αυτός διέρχεται από το κέντρο μάζας του στερεού. (Σ/Λ) 05 Μηχανική Στερεού Σώματος

110 06. Μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής είναι και το Ν. (Σ/Λ) 06 8/ Συμπαγής ομογενής δίσκος, μάζας M kg και ακτίνας R 0,, είναι προσδεδεμένος σε ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k 00 N στο σημείο Α και ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επί- πεδο, που σχηματίζει γωνία 45 με το οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Το ελατήριο είναι παράλληλο στο κεκλιμένο ε- R πίπεδο και ο άξονας του ελατηρίου απέχει απόσταση d από το κέντρο (Ο) του δίσκου. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ακλόνητα στο σημείο Γ. 07 Α) Να υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου. Β) Να υπολογίσετε το μέτρο της στατικής τριβής και να προσδιορίσετε την κατεύθυνσή της. Κάποια στιγμή το ελατήριο κόβεται στο σημείο Α και ο δίσκος αμέσως κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου. Γ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου. Δ) Να υπολογίσετε τη στροφορμή του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του, όταν το κέντρο μάζας του έχει μετακινηθεί κατά διάστημα 0, 3 3 στη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνονται: η ροπή αδράνειας ομογενούς συμπαγούς δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται κάθετα από το κέντρο του I MR, η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0, in Σε στερεό σώμα σφαιρικού σχήματος που στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από άξονα διερχόμενο από το κέντρο του ισχύει πάντα F 0. (Σ/Λ) Ένας δίσκος Δ με ροπή αδράνειας Ι στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω και φορά περιστροφής όπως φαίνεται στο σχήμα, γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ένας δεύτερος δίσκος Δ με ροπή αδράνειας I I, που αρχικά είναι ακίνητος, τοποθετείται πάνω στο δίσκο Δ, ενώ αυτός περιστρέφεται, έτσι ώστε να έχουν κοινό άξονα περιστροφής, που διέρχεται από τα κέντρα των δύο δίσκων, όπως δείχνει το σχήμα. Μετά από λίγο οι δύο δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα ω. Αν L είναι το μέτρο της αρχικής στροφορμής του δίσκου Δ, τότε το μέτρο Μηχανική Στερεού Σώματος

111 της μεταβολής της στροφορμής του δίσκου Δ είναι: 09 Α) 0 Β) L Γ) L 5 5 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 9/38 0. Δίνεται συμπαγής, ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R. Αφήνουμε τον κύλινδρο να κυλίσει χωρίς ο- λίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύτητας g), πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: 0 Α) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται οριζόντιος. Β) Από το εσωτερικό αυτού του κυλίνδρου, που έχει ύψος h, αφαιρούμε πλήρως ένα ομοαξονικό κύλινδρο ακτίνας r, όπου r R, όπως απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα. Να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας του κοίλου κυλίνδρου, ως προς τον άξονα του, που προκύπτει μετά την αφαίρεση του εσωτερικού κυλινδρικού τμήματος, είναι I r R 4 MR 4 Στη συνέχεια λιπαίνουμε το κυλινδρικό τμήμα που αφαιρέσαμε και το επανατοποθετούμε στη θέση του, ούτως ώστε να εφαρμόζει απόλυτα με τον κοίλο κύλινδρο χωρίς τριβές. Το νέο σύστημα που προκύπτει αφήνεται να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύτητας g), στο ίδιο κεκλιμένο ε- πίπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Γ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος. Δ) Όταν r R, να υπολογίσετε, σε κάθε χρονική στιγμή της κύλισης στο κεκλιμένο επίπεδο, το λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια του συστήματος. Ο άξονας του συστήματος διατηρείται πάντα οριζόντιος. Δίνονται : Η ροπή αδράνειας Ι συμπαγούς και ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ και α- κτίνας R, ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο στρέφεται: MR Ο όγκος V ενός συ- μπαγούς κυλίνδρου ακτίνας R και ύψους h: V R h. I. Τα υποθετικά στερεά που δεν παραμορφώνονται, όταν τους ασκούνται δυνάμεις, λέγονται μηχανικά στερεά. (Σ/Λ). Μονάδα μέτρησης στροφορμής στο SI είναι το N. (Σ/Λ) 3. Μια ισοπαχής δοκός ΑΒ αποτελείται από δύο ομογενή τμήματα ΑΚ και ΚΒ, μήκους L το καθένα, με μάζες 5 και 0,5 kg, αντίστοιχα. Τα κομμάτια αυτά είναι κολλημένα μεταξύ τους στο σημείο Κ, ώστε να σχηματίζουν τη δοκό ΑΒ μήκους L. H δο- Μηχανική Στερεού Σώματος

112 κός ισορροπεί σε οριζόντια θέση, με το άκρο της Α να στηρίζεται στον τοίχο μέσω άρθρωσης, ενώ το μέσο της Κ συνδέεται με τον τοίχο με σχοινί που σχηματίζει γωνία 30 με τη δοκό. 3 Α) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που δέχεται η δοκός από το σχοινί και την άρθρωση. Κάποια στιγμή το σχοινί κόβεται και η ράβδος αρχίζει να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από το άκρο της Α σε κατακόρυφο επίπεδο. Β) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου σε συνάρτηση με τη γωνία θ, που σχηματίζει αυτή με την αρχική της θέση ( 0 0). Γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του άκρου Β της ράβδου ( B ) σε συνάρτηση με τη γωνία θ. Τη στιγμή που η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία 30, συγκρούεται πλαστικά με αρχικά α- κίνητο σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων και μάζας, το οποίο σφηνώνεται στο μέσο Κ της ράβδου. Δ) Να υπολογίσετε το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0, ροπή αδράνειας ομογενούς και 30/38 ισοπαχούς ράβδου μάζας και μήκους L ως προς άξονα κάθετο στο μέσο της, I L, 3 in 30, co Σε μια μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση στερεού σώματος, τα διανύσματα της γωνιακής επιτάχυνσης και της γωνιακής ταχύτητας έχουν πάντα την ίδια διεύθυνση. (Σ/Λ) 4 5. Τροχός που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει έχει κινητική ενέργεια, μόνο λόγω στροφικής κίνησης. (Σ/Λ) 5 6. Στο σχήμα φαίνεται ένας ομογενής συμπαγής κυκλικός δίσκος () και ένας συμπαγής κυκλικός δακτύλιος (), που έχουν την ίδια ακτίνα και την ίδια μάζα. Κάποια χρονική στιγμή ασκούνται στα σώματα αυτά δυνάμεις ίδιου μέτρου, εφαπτόμενες στην περιφέρεια, όπως φαίνεται στο σχήμα και τα σώματα αρχίζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν στο οριζόντιο επίπεδο. 6 Α) Για τις ροπές αδράνειας I και I των σωμάτων () και () αντίστοιχα, ισχύει: I α) I β) I I γ) I I Μηχανική Στερεού Σώματος

113 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Β) Για τις επιταχύνσεις των κέντρων μάζας a c, και ac, των σωμάτων () και () αντίστοιχα, ισχύει: α) a c, =a c, β) ac, ac, γ) a c, >a c, Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 3/38 7. Λεπτή ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους,5 και μάζας Μ μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβή γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο σε αυτή, ο οποίος διέρχεται από σημείο Κ της ράβδου και απέχει από το άκρο Γ απόσταση d. Στο άκρο Γ τοποθετούμε σώμα μάζας 3, kg αμελητέων διαστάσεων και το 6 σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο σε οριζόντια θέση. Να υπολογίσετε: 7 Α) τη μάζα Μ της ράβδου και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα. Β) τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδος σώμα ως προς τον άξονα περιστροφής. Απομακρύνουμε το σώμα μάζας και τη στιγμή t 0 αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερη να περιστραφεί από την οριζόντια θέση. Να υπολογίσετε: Γ) το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου τη στιγμή t 0. Δ) το μέτρο της στροφορμής της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει με την αρχική της οριζόντια θέση γωνία φ (in 0,7 ) για πρώτη φορά. Δίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο: M και η επιτάχυνση της βαρύτητας: g 0. Ic Σε ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις έτσι ώστε αυτό να εκτελεί μόνο επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση. Για τη συνισταμένη των δυνάμεων F που του ασκούνται και για το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σημείο του (ΚΣ: ως προς c), ισχύει: 8 F F F Α) F 0, 0 Β) 0, 0 Γ) 0, 0 Δ) 0, 0 9. Η γη έχει στροφορμή λόγω περιστροφής γύρω από τον άξονά της και λόγω περιφοράς γύρω από τον ήλιο. (Σ/Λ) 9 0. Λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους και μάζας M 5,6 kg ι- σορροπεί με τη βοήθεια οριζόντιου νήματος, μη εκτατού, που συνδέεται στο μέσο της, ό- Μηχανική Στερεού Σώματος

114 πως φαίνεται στο σχήμα. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Δίνεται: in 0,6 και co 0,8 Α) Να υπολογίσετε τη δύναμη F που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση. Μικρή ομογενής σφαίρα, μάζας 0,4 kg και ακτίνας r κυλίεται χωρίς ολίσθηση, έχοντας εκτοξευθεί κατά μήκος της ράβδου από το σημείο 70 Κ προς το άκρο Γ. Β) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας κατά την κίνησή της από το Κ μέχρι το Γ. Γ) Με δεδομένο ότι η σφαίρα φτάνει στο άκρο Γ, να βρείτε τη σχέση που περιγράφει την τάση του νήματος σε συνάρτηση με την απόσταση του σημείου επαφής της σφαίρας με τη ράβδο, από το σημείο Κ. Αφού η σφαίρα έχει εγκαταλείψει τη ράβδο, κόβουμε το νήμα. Η ράβδος στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α, χωρίς τριβές. Δ) Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου στη θέση στην οποία η ράβδος σχηματίζει γωνία φ με την κατακόρυφο που διέρχεται από το άκρο Α, όπως στο παρακάτω σχήμα. Δεύτερη λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος ΑΔ, μήκους και μάζας M 3M είναι αρθρωμένη και αυτή στο σημείο Α γύρω από τον ίδιο άξονα περιστροφής με την ράβδο ΑΓ. Η ράβδος ΑΔ συγκρατείται ακίνητη, με κατάλληλο μηχανισμό, σε θέση όπου σχηματίζει γωνία φ με τον κατακόρυφο τοίχο όπως στο σχήμα. Οι δύο ράβδοι συγκρούονται και ταυτόχρονα ο μηχανισμός ελευθερώνει τη ράβδο ΑΔ, χωρίς απώλεια ενέργειας. Οι ράβδοι μετά την κρούση κινούνται σαν ένα σώμα, χωρίς τριβές. Ο χρόνος της κρούσης θεωρείται αμελητέος. Ε) Να υπολογίσετε το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση. Όλες οι κινήσεις πραγματοποιούνται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Δίνονται : Η ροπή αδράνειας I p λεπτής ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους l, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος σε αυτή: Ip 3 M. Η ροπή αδράνειας I ομογενούς σφαίρας μάζας και ακτίνας r ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της: I r 5 και g 0 0 3/38. Ένα μηχανικό στερεό περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα περιστροφής. Αν διπλασιαστεί η στροφορμή του στερεού, χωρίς να αλλάξει θέση ο άξονας περιστροφής γύρω από τον οποίο στρέφεται, τότε η κινητική του ενέργεια Α) παραμένει σταθερή Μηχανική Στερεού Σώματος

115 Β) υποδιπλασιάζεται Γ) διπλασιάζεται Δ) τετραπλασιάζεται. 33/38. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου που ορίζουν οι δύο δυνάμεις. (Σ/Λ) 3. Όταν οι ακροβάτες θέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα, συμπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους. (Σ/Λ) 3 4. Οριζόντιος, αρχικά ακίνητος, δίσκος μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που ασκούνται στο δίσκο μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τότε, η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει τη μέγιστη τιμή της τη χρονική στιγμή 4 Α) t Β) t Γ) t 3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας 5. Λεπτή, άκαμπτη και ισοπαχής ράβδος ΑΒ μήκους και μάζας M 3 kg μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σημείο Ο αυτής, είναι κάθετος στη ράβδο και απέχει από το άκρο της Β α- πόσταση OB d. Στο μέσο Κ της ράβδου και στο 4 άκρο της Α στερεώνουμε δύο σφαιρίδια μάζας και αντίστοιχα, όπου kg. Δίνοντας κατάλληλη ώθηση το σύστημα περιστρέφεται και χτυπά σε κατακόρυφο τοίχο με το άκρο Α, τη στιγμή που η ράβδος σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο γωνία θ, τέτοια ώστε in 0,83. 5 Α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου-σφαιριδίων ως προς τον άξονα περιστροφής. Β) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος ράβδου- σφαιριδίων αμέσως μετά την κρούση, ώστε αυτό να εκτελέσει οριακά ανακύκλωση. Γ) Κατά την κρούση με τον τοίχο, το ποσοστό απωλειών της κινητικής ενέργειας είναι το 75% της κινητικής ενέργειας του συστήματος ράβδου-σφαιριδίων πριν την κρούση. Να υ- πολογίσετε τη μεταβολή της στροφορμής του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής Μηχανική Στερεού Σώματος

116 του κατά την κρούση. Δ) Όταν το σύστημα ράβδου-σφαιριδίων περνά από την οριζόντια θέση για πρώτη φορά, να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του σφαιριδίου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο Δίνονται: επιτάχυνση βαρύτητας g 0, ροπή αδράνειας I c λεπτής ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους l, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος σε αυτή Ic M. 34/38 6. Κατά τη στροφική κίνηση ενός στερεού γύρω από σταθερό άξονα 6 Α) η διεύθυνση του διανύσματος της στροφορμής του στερεού μεταβάλλεται Β) όλα τα σημεία του στερεού έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα Γ) κάθε σημείο του στερεού έχει γωνιακή ταχύτητα ανάλογη με την απόστασή του από τον άξονα περιστροφής Δ) κάθε σημείο του στερεού έχει μέτρο γραμμικής ταχύτητας ανάλογο με την απόστασή του από τον άξονα περιστροφής 7. Η γη έχει στροφορμή μόνο λόγω της κίνησής της γύρω από τον ήλιο. (Σ/Λ) 7 8. Αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας της. Οι εξωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στην αθλήτρια δεν δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής της και οι τριβές με τον πάγο είναι αμελητέες. Αν κάποια στιγμή συμπτύξει τα χέρια της, ενώ συνεχίζει να στρέφεται γύρω από τον ίδιο άξονα, η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής της αθλήτριας: Α) παραμένει σταθερή Β) μειώνεται Γ) αυξάνεται Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Δύο συγκολλημένοι ομοαξονικοί κύλινδροι με ακτίνες R και R R αποτελούν το στερεό Π του σχήματος. Το στερεό έχει μάζα M 5 kg, ροπή αδράνειας ως προς τον ά- ξονα περιστροφής του I kg. και R 0,. To στερεό μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που συμπίπτει με τον άξονά του, χωρίς τριβές. Το σώμα Σ μάζας 50 kg κρέμεται από το ελεύθερο άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος που είναι τυλιγμένο πολλές φορές στον κύλινδρο ακτίνας R. Με τη βοήθεια οριζόντιου ελατηρίου το σύστημα ισορροπεί όπως στο Σχήμα. 9 Α) Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου. Β) Να υπολογίσετε τη δύναμη F (μέτρο, κατεύθυνση) που ασκεί ο άξονας στο στερεό. Μηχανική Στερεού Σώματος

117 Τη χρονική στιγμή t 0 0 κόβεται το ελατήριο στο σημείο Α και το στερεό αρχίζει να στρέφεται. Γ) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του στερεού. Δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του στερεού την χρονική στιγμή t 0,6. Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g 0. 35/ Ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορμή του, χωρίς να αλλάξει ο άξονας περιστροφής γύρω από τον οποίο αυτό περιστρέφεται, τότε η κινητική του ενέργεια: 30 Α) παραμένει σταθερή Β) υποδιπλασιάζεται Γ) διπλασιάζεται Δ) τετραπλασιάζεται 3. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι η ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τους. (Σ/Λ) 3 3. Λεπτή ομογενής ράβδος μάζας Μ και μήκους L μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Στο άλλο άκρο της ράβδου, είναι στερεωμένο σφαιρίδιο μάζας M (Σχήμα). Τη χρονική στιγμή που το σύστημα ράβδου-σφαιριδίου αφήνεται να κινηθεί από την οριζόντια θέση, ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου είναι: 3 L Α) p L MgL Β) p L MgL Γ) p 5 MgL t t t Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της που περνά από το άκρο της, είναι I p 3 ML. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 33. Από το εσωτερικό άκρο Α ενός ημισφαιρίου ακτίνας R,6 kg αφήνεται να κυλήσει μία συμπαγής μικρή σφαίρα μάζας,4 kg και ακτίνας r R. Το ημισφαίριο είναι βυθισμένο 8 στο έδαφος, όπως φαίνεται στο Σχήμα, και η κίνηση της σφαίρας γίνεται χωρίς ολίσθηση. 33 Α) Να εκφράσετε τη στατική τριβή T που ασκείται στη σφαίρα σε συνάρτηση με το συνημί- Μηχανική Στερεού Σώματος

118 τονο της γωνίας φ που σχηματίζει η ακτίνα ΟΓ του ημισφαιρίου με την ευθεία ΑΕ της ε- πιφάνειας του εδάφους. Β) Να υπολογίσετε την κάθετη δύναμη που ασκεί η ημισφαιρική επιφάνεια στη σφαίρα ό- ταν αυτή βρίσκεται στο σημείο Γ όπου 30 (Σχήμα). 36/38 Μια άλλη σφαίρα, όμοια με την προηγούμενη, εκτοξεύεται από το κατώτατο σημείο Δ του ημισφαιρίου με ταχύτητα 6 και κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο εσωτερικό του με κατεύθυνση το άκρο Ε (Σχήμα). Γ) Να υπολογίσετε το μέγιστο ύψος από την επιφάνεια του εδάφους που θα φτάσει η σφαίρα κατά την κίνησή της. Δ) Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας, αμέσως μόλις αυτή χάσει την επαφή με την επιφάνεια του ημισφαιρίου στο σημείο Ε. Δίνονται: ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας Ic 5 r και η επιτάχυνση της βαρύτητας g Κυλινδρικό σώμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του σημείου επαφής του κυλίνδρου με το επίπεδο είναι ίση με την ταχύτητα του κέντρου μάζας του. (Σ/Λ) 34 c 35. Δύο ράβδοι είναι συνδεδεμένες στο ά- κρο τους Α και σχηματίζουν σταθερή γωνία 60 μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Οι ράβδοι είναι διαφορετικές μεταξύ τους, αλλά κάθε μία είναι ομογενής. Το σύστημα των δύο ράβδων μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άρθρωση, που είναι στερεωμένη σε τοίχο, στο άκρο Α, χωρίς τριβές. Το σύστημα αφήνεται να περιστραφεί υπό την επίδραση της βαρύτητας από τη θέση του Σχήματος, όπου η ράβδος είναι οριζόντια, με αρχική ταχύτητα μηδέν. Δίνεται ότι τα μήκη των δύο ράβδων είναι 4 και, ενώ η μάζα της ράβδου είναι 0 kg. 35 Α) Να υπολογίσετε τη μάζα της ράβδου μήκους, εάν το σύστημα αποκτά τη μέγιστη γωνιακή ταχύτητα τη χρονική στιγμή που οι δύο ράβδοι σχηματίζουν ίσες γωνίες με την κατακόρυφο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Β) Να υπολογίσετε τη μάζα της ράβδου μήκους, εάν το Μηχανική Στερεού Σώματος

119 σύστημα σταματά στιγμιαία, όταν η ράβδος μήκους φτάνει στην κατακόρυφη θέση που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Γ) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος των δύο ράβδων του ερωτήματος Β στη θέση που απεικονίζεται στο Σχήμα. Δ) Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου μήκους του ερωτήματος Β στη θέση που απεικονίζεται στο Σχήμα. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0, η ροπή αδρανείας ράβδου μή- κους και μάζας που περιστρέφεται γύρω από το άκρο της Α, 3,7 (προσεγγιστικά). IA 3 και ότι 37/ Ομογενής τροχαλία ισορροπεί έχοντας το νήμα τυλιγμένο γύρω της πολλές φορές. Η μία άκρη του νήματος είναι στερεωμένη στην οροφή Ο και η άλλη στο σώμα Σ, το οποίο ισορροπεί κρεμασμένο από κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k 40 N, που είναι στερεωμένο στην οροφή, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Η μάζα της τροχαλίας είναι M,6 kg, η ακτίνα της R 0,. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας, ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό της και ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας, της δίνεται από τη σχέση Ic MR. Το σώμα Σ θεωρείται σημειακό αντικείμενο μάζας,44 kg. Το νήμα και το ελατήριο έχουν αμελητέες μάζες. 36 Α) Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα Σ. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει την τροχαλία με το σώμα Σ, και το σώμα Σ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή που μηδενίζεται η στιγμιαία ταχύτητα του σώματος Σ, για πρώτη φορά, το κέντρο μάζας της τροχαλίας έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά απόσταση h. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. Β) Να υπολογίσετε την κατακόρυφη μετατόπιση h της τροχαλίας. Γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ότι η τιμή t 0 αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή που κόπηκε το νήμα και ότι η φορά απομάκρυνσης του σώματος Σ προς τα πάνω είναι θετική. Δ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του κάτω άκρου Γ της τροχαλίας, όταν το κέντρο μάζας της τροχαλίας έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά απόσταση h. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας 0 g, 0 και 0 (προσεγγιστικά). 37. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός ομογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του, είναι ανάλογη 37 Α) με τη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής Μηχανική Στερεού Σώματος

120 Β) με τη μάζα του δίσκου Γ) με την ακτίνα του δίσκου Δ) με τη ροπή που ασκείται στο δίσκο 38/ Ένα ομογενές σώμα (δακτύλιος ή σφαιρικός φλοιός ή συμπαγής σφαίρα) έχει ροπή α- δράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, που δίνεται από τη σχέση Ic ar, όπου η μάζα του σώματος, R η ακτίνα του και α ένας θετικός αριθμός μικρότερος ή ίσος της μονάδας ( 0a ). Το σώμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Αν η κινητική ενέργεια του σώματος λόγω μεταφορικής κίνησης προς την ολική κινητική ενέργεια είναι, τότε το α έχει την τιμή: 38 K 5 K 7 Α) a Β) a Γ) a 3 5 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 39. Ομογενής δοκός ΑΓ με μήκος 3 και μάζα M 6 kg φέρει σώμα μικρών διαστάσεων μάζας 3 kg στη θέση Δ, για την οποία ισχύει 3. Η δοκός στηρίζεται με το άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο μέσω άρθρωσης. Το άκρο Γ της ράβδου συνδέεται με τον τοίχο με αβαρές νήμα, που σχηματίζει γωνία 60 με τον κατακόρυφο τοίχο και το σύστημα δοκός σώμα ισορροπεί σε οριζόντια θέση. 39 Α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος δοκός-σώμα, ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο Α και είναι κάθετος στο επίπεδο του. Β) Να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η δοκός από την άρθρωση. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και το σύστημα αρχίζει να στρέφεται, χωρίς τριβές, σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από άξονα που διέρχεται από το άκρο Α της ράβδου. Γ) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος τη στιγμή που η ράβδος σχηματίζει γωνία 60 με την αρχική οριζόντια θέση της. Δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ του σώματος μάζας τη στιγμή που το σύστημα δοκόςσώμα διέρχεται για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση. Δίνεται: η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους l, ως προς ά- ξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο επιτάχυνση της βαρύτητας g 0 και 3 co60, in 60. Ic M, η Ροπών ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Μηχανική Στερεού Σώματος

121 39/38 L I σταθ. Ι και ω 3 I 3 kg., 5 rad /, rad /, L 6 kg / ] 4 A-c, B-e, C-b, D-a, E-f 5 B 6 0 N, 30 N, 50 N 7 Σύνθετη 8 L I σταθ. Ι ω, η Β 5, 6 kg, 30 N, t T 0, M 3gl 05 0, 5 M A, σωστή dl dt , kg,, 0,, 0, 4 μηδέν I 5 c w / c 0 pin pin Lpin L σταθ. T σταθ. 6 θεωρία 7 Λάθος 8 9 Β 0 Δ 80 rad, N Δ kg Δ rad / Μ kg 4, 6, N 4, I MR I r η Β K i Α 3 Σωστή I L, η Β 4 5 K I Ia t t K 4K 6 Σωστή, η Β Μηχανική Στερεού Σώματος

122 40/38 7 c Mc I I M MR 8 4 9, λεπτός δακτύλιος, η Β dp, J, 0, 5, F kx 0 kg ή Ν dt K, η Α c, 3 R 3, η Α R 30 c, 3 30 N, 30 N, 5 rad, 75, N, 5 J 3 Σωστή F a 33 c Ο α εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση με επιτάχυνση. Ο β εκτελεί επιπλέον και στροφική κίνηση αφού η δύναμη F δημιουργεί ροπή ως προς το κέντρο μάζας. Η μεταφορική του κίνηση δηλ. η κίνηση του c του όμως γίνεται όπως και του α με την ίδια επιτάχυνση αφού έχουν την ίδια μάζα και υπόκειται στη δράση της ίδιας δύναμης. Άρα και οι δύο δίσκοι θα κάνουν τον ίδιο χρόνο να φτάσουν απέναντι, δηλ. 34 η Γ t a t E a c, η Β K M I, η β 35 7 c 0 c 36 g 0 00 N in30, gl rad a, 5, από ΑΔΕ: I M 3, 3 I l 4 kg l M gl rad 5 5 I Mg gl I, B l 37 Δ 38 η στροφορμή διατηρείται, 39 από δυναμική ή ΑΔΕ: dl TR 3 g a c R 6 0 N, L dt 40 R 3 B c r c c, η Α 4 W J N 3N, f 5N,, 9 t 4 Β L K αφού η Ι μικραίνει η Κ μεγαλώνει, η Γ I 0 g c 6 a c,i R 3, 5 0 kg 0R 3 ac a R, t,,, c I t 0, 60 t,t 0, , Μηχανική Στερεού Σώματος

123 4/38 σταθ. σταθ., άρα η L πρωτοβάθμια συνάρτηση του χρόνου, η Ι dt 43 dl L kg, gh=, από ΑΔ στροφορμής κατά την κρούση έχουμε rad l l I, c, Q E J, από ΑΔΕ έχουμε: I Mghax hax 67, c 5 FR a 45 I II III ai aii, η Γ a FR II II I II 46 (Α) Επειδή w w w3 το ελατήριο είναι επιμηκυμένο κατά 0,. Η θέση ισορροπίας είναι κατά 0, κάτω από τη θέση ισορροπίας. Άρα A 03,, (Β) x 0, 3 in0t a g 3, 75 M 4 9 J ή T T R, 47 Λάθος 48 Θεωρία d I, (Δ) dk rad, a 5 dt, (Γ) Ia t, dx 49 c rad a 75,, a 75, T= g-a 5 N h, K W 0 w WT Ww Ww η Τ δεν παράγει συνολικά έργο (παράγει περιστροφικό έργο το οποίο αφαιρεί από το μεταφορικό έργο του K. U K. gh βάρους), K K 3.. c K 4 U 4 gh 8 gat 56, 5t. ή 50 Λάθος K. WT T Th 56, 5t 5 3g rad a 50, 0 rad , L= 3 M g, kg, από αρχή διατήρησης στροφορμής 4,, K., 8 J, K. 0, 07 J, K 5, J, 3% 5 η Γ 53 Λάθος 54 W 3F rad J I 3 ML, F 5 N, a 7, 5, P=FL a 45, 5 L ML 55 Σωστή 56 η Α 57 η Α Μηχανική Στερεού Σώματος

124 4/38 58 Λάθος 59 Σωστή 60 T 5 N, a,, L 0, 4 kg 6 η Α 6 Λάθος c 63 c L L L T I L L, άρα T T L T, η Β 64 Λάθος rad a g 3, a 0, L 5, 4 kg, t M Λάθος 67 Β 68 0 F0 R TR F0 g 00 N TT F 0 T g a Ia FR TR MR R F g a TT F a T g a M h a t, L I MR at MR t MRat 4 kg a R dh da d da dh 4 R R a R R I 4,3% Fd A 69 Γ 70 Λάθος, A, 7 7 I A I A L σταθ. ω B=ωA ω A IB IB c rad 40, L I 4 kg, R, η Γ c 3 c KM c c 4 R g K c R gh R h 4,8, 73 Λάθος 74 Σωστή R Μηχανική Στερεού Σώματος

125 5 I 5 L L I I 75 I F f g in FR f R F g in 00 N N g co 76 F f Mg in Ma c 4F Mg in F f R MR a ac 3M N g co, ac a R h c rad xc, c acxc, ω= 0, L I 8 kg, in R W F Fx Fxc 50 J, Wf 0 ΔU Mghc 400 J, WF EM ΔU K 3 K KM K Mc I 4 Mc 0 J 77 Σωστή 78 (Α)Το κέντρο μάζας του δίσκου εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και ταυτόχρονα ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση, χωρίς ολίσθηση. Άρα: x c x c act a c 4 t. Για την κίνησή του έχουμε:, g in f ac ac r a g in I a c I g in a c 05, kg c fr Ia I r ac r (Β) Και για τα δύο σώματα ισχύει Mg in f Mac ac Mg in cmr ac Mac ac g in f R Ia c cmr R c ac, c c 4 0 ac, 3 g in a c, g in, 5 c 3 ac, c 3 3 c (Γ) Τα δύο δέσμια σώματα θα έχουν την ίδια ταχύτητα και επιτάχυνση του κέντρου μάζας και δοθέντος και των ίσων ακτίνων ίσες γωνιακές ταχύτητες και γωνιακές επιταχύνσεις. Έτσι γενικώς έχουμε: c K Mc I Mc cmr c Mc οπότε R 3 K c Mc c 3 K c M c 4 c, 43/38 Μηχανική Στερεού Σώματος

126 44/38 N f, F N= N F N Mg f, Mg (Δ) Οι δυνάμεις που ασκεί η ράβδος στους άξονες των τροχών είναι ίσες κατά μέτρο μιας και ο σύνδεσμος θεωρείται αβαρής. Έτσι έχουμε: Mg in F f, Mac ac f, R Ia cmr f, cma c R Mg in f, f, Ma c Mg in F f, Ma c f, f, c c Ma c ac f, R Ia cmr f, cmac R Mg in c c Ma Ma g in c c a c c 4 ac g in g in 7 g in cc F Mg in f Ma Mg in c Ma Ma, c c c 4 6 M g in 7 g in Mg in 7 Mg in N 7 79 Β 80 Σωστή O c c R c c 0, A c c 0 c rad 8 B c c 0, 50 R I I R R 0, 08 kg, 0 c K I ή = I 00 J 8 Β 83 Σωστή c c c c 84 K I I a t I I t I t t, το γ c Μηχανική Στερεού Σώματος

127 45/38 L L A 0 TL Mg T Mg 5 N, I A Ic M 3ML 85 3g rad L 3g rad A I Aa a 5, Mg I A 30, L L dla A 0 dt 86 Δ 87 Σωστή F 0 F M g F M kg 88 (Α) M 3 3 g M kg O 0 g g Mg M όλες οι δυνάμεις κατακόρυφες (δηλ. και η δύναμη από τον άξονα) F, Α (/4)Mg Ο Γ g ( 3/4) Mg (Β) Η δύναμη από τον άξονα δεν παράγει ροπή ως προς τον άξονα και δεν έχει σχεδιαστεί στο επόμενο σχήμα. Α Γ g Mg M 4 Iσυστ., Ic M 3M Iσυστ., 3 g I g Mg I g M συστ,γ συστ,γ K I/ 3 (Γ) 4 K I 4 M M / 3 Μηχανική Στερεού Σώματος

128 46/38 (Δ) Η «πέφτει» κατά in και το κέντρο μάζας της ράβδου κατά in. Έτσι η απώλεια δυναμικής ενέργειας του συστήματος θα μετατραπεί σε κινητική εκ περιστροφής του συστήματος ως προς το Γ. Έτσι: L L 3 M 3 3 g in Mg in g in L 4 g in I 4 συστ/γ L g in 8 kg 89 Β B c I I r 5 r 5, 6 0 kg,, 7 0 gh gr c Ic g h R 0c c 7 g h R 0 c Lc Ic 5r 5r c 0, 08 kg r c gh gh Ic h h 7 h B 5 5g 9 Λάθος 9 ()Υπολογίζουμε την ολική ροπή των εξωτερικών δυνάμεων ως προς τον άξονα περιστροφής (αγνοούμε τη δύναμη από τον άξονα): 3 R R gd gd g d R g d R Mgd o A Άρα το σύστημα δεν περιστρέφεται ως προς Ο και επειδή η μεταφορική κίνηση εμποδίζεται από τον άξονα, συμπεραίνουμε ότι ισορροπεί Το προηγούμενο μπορεί να αποδειχτεί και βήμα το βήμα για τα διάφορα σώματα. Άρα θα πρέπει: 3g T3 για μεταφορική ισορροπία του 3 g T3 T για μεταφορική ισορροπία του g T 0 N για μεταφορική ισορροπία του 3, οπότε T g N 3 0 T R T R T T g g για την περιστροφική ισορροπία της τροχαλίας, σχέση που ικανοποιείται από τα δεδομένα οπότε η τροχαλία δεν στρέφεται N Mg T T M g N για μεταφορική ισορροπία της τροχαλίας 3 80 A B 3 A B Nd gd gd M gd gd gd για την περιστροφική ισορροπία της ράβδου, σχέση που ικανοποιείται από τα δεδομένα του προβλήματος (8=8) Μηχανική Στερεού Σώματος

129 A A B 3 F M g για μεταφορική ισορροπία της ράβδου, δύναμη από τον άξονα που προσαρμόζεται στις συνθήκες 47/ o A A I d d d kg () a o Ag d in gd in g in rad I d d A A 4 A 0 (3)Από ΘΕΕ ή ΑΔΜΕ (οι δυνάμεις στο στήριγμα δεν παράγουν έργο) βρίσκουμε την ω λίγο πριν την κρούση (απώλεια δυναμικής ενέργειας σε κινητική ενέργεια): g d gd d A A 4 A 4 4 A 0 την κρούση έχουμε g 60 rad d 4 4 A Μετά I I d d kg και η στροφορμή διατηρείται (υπάρχει εξωτερική δύναμη στο στήριγμα που μεταβάλλει την ορμή του συστήματος αλλά η ροπή της ως προς το στήριγμα δεν επηρεάζει την στροφορμή του συστήματος ως προς τον άξονα) : I 4A 0 4 rad 8 I I 4, άρα A I d 3 A 4 (4)Με το κόψιμο του νήματος η τροχαλία θα αρχίσει να περιστρέφεται με a και τα σώματα να επιταχύνονται το ένα προς τα κάτω και το άλλο προς τα πάνω με a Ra Έχουμε τις Μηχανική Στερεού Σώματος

130 T g a g T T a 0 g T a a g M 5 a T T R MR a MR T T MRa R T g a N οπότε TBO T T 8 N (για μεταφορική ισορροπία της τροχαλίας). T g a 6 N Για την ισορροπία της ράβδου πρέπει T g O 0 Agd gd Td 0 0, 4 kg g 0 93 T g a g T T a 0 g T a a g M 5 a T T R MR a MR T T MRa R T g a N T g a 6 N K U U gh J, συστ. 30, a rad a t t 8, από ΑΔΕ έχουμε R h rad t 3, at 3, 4 3 ή g R περιστρ K 8 J, Κ I J, K 30 J 94 Η ε 3 περνά από το κέντρο μάζας ( 3 c ). Από θεώρημα Steiner I I I j Ic j Ic I3 I j, j,, 4 95 Σωστή 96 Λάθος FR T F, FR=Ia, a, I a I R 97 F T a T R=Ia F Ra a R I R a Ra,, Ia, FR a, I,,, E W 98 F F A 0,, στη σανίδα ασκούνται η A k k k, η Β F που είναι κατακόρυφη αφού και οι άλλες είναι κατακόρυφες, N η δύναμη από το στήριγμα κατακόρυφη προς τα πάνω, το βάρος της w Mg στο κέντρο μάζας της και δύναμη προς τα κάτω ίση με το βάρος του σώματος w g με μετακινούμενο σημείο εφαρμογής. Έστω η F A με φορά προς τα κάτω 48/38 Μηχανική Στερεού Σώματος

131 μεταφ. ισορ. N M g FA L FA 0x, - 0, x 0, περιστρ. ισορ. ως προς Α Nd g d x Mg F (N) A 49/38-0, 4 0, x() Επειδή τα δύο σώματα έχουν ίσες μάζες και η κρούση είναι ελαστική αυτό σημαίνει ότι ανταλλάσσουν τις ταχύτητές τους. Άρα το μέγιστο δυνατό πλάτος επιτυγχάνεται όταν το ταλαντούμενο είναι ακινητοποιημένο πριν την κρούση και μετά κινείται με την ταχύτητα του άλλου το οποίο ακινητοποιείται. Άρα: x A 0,. Αν x A 0, και αντιστοίχως 3 (προς τα αριστερά) έχουμε για το νέο πλάτος ( t 0 η στιγμή της σύγκρουσης): A x A x ,,, x 0, 4in0t x 0 0, 0, in 05, 5 04, co 0,, 5 x 0, 4 in0t 6 N xt 0, 0, 4 in0t 0t 0t t N 6 K W W K I MR, J, 99 F F MR 64 6, rad, η στροφορμή διατηρείται, οπότε a FR 4F 40 MR 0 5 MR MR R MR 8, 4 rad MR R 0, 5 0, 5 00 Λάθος 0 Λάθος, 0 I M M 3 M M 6 M 0, 45 kg M 5 Μηχανική Στερεού Σώματος

132 50/38 W F F 8 J, από ΘΜΚΕ έχω: F 4 WF Mg I WF WMg Wg WF Mg g 0, δηλ. μόλις που I φτάνει στην οριζόντια θέση (στη συνέχεια γυρνά πίσω αφού η ροπή των βαρών, στη θέση αυτή, είναι μεγαλύτερη από τη ροπή της F, F,45 Mg g Mg 8 ) M Προφανώς, αφού F F περνά από την οριζόντια θέση με μη μηδενική γωνιακή ταχύτητα. Πάνω στη ράβδο ασκούνται η ροπή της F που είναι σταθερή, η ροπή του βάρους της ράβδου που μεγαλώνει (από μηδέν στην κατακόρυφη θέση, αυξάνεται ο βραχίονας ροπής) καθώς η ράβδος ανέρχεται ό- πως και η ροπή του βάρους της σφαίρας, μέχρι την οριζόντια θέση (μετά αρχίζουν και μικραίνουν μέχρι να γίνει κατακόρυφη), κοκ Αν υπάρχει μέγιστο προφανώς θα είναι πριν την οριζόντια θέση και κει ακριβώς που η συνισταμένη ροπή (ως προς τον άξονα περιστροφής) γίνει μηδέν. Έτσι: M F F Mg in g in Mg in in 60 Mg 60 Μέχρι εκεί επιταχύνεται (ροπή F μεγαλύτερη της ροπής των βαρών), μετά επιβραδύνεται μέχρι η γωνία να γίνει 0 (ροπή F μικρότερη της ροπής των βαρών) και στη συνέχεια επιταχύνεται μέχρι να γίνει κατακόρυφη (η ροπή της F ξαναγίνεται μεγαλύτερη από το άθροισμα των ροπών των βαρών). Στο πέσιμο από αριστερά επιταχύνεται από όλες τις ροπές. Σε κάθε άνοδο στην ίδια πάντα θέση θα έχουμε ένα μέγιστο στις 60 (πριν την οριζόντια θέση) και ένα ελάχιστο στις 0 (μετά την οριζόντια θέση). Κάθε φορά το τοπικό μέγιστο και το τοπικό ελάχιστο θα είναι όλο και ψηλότερα. Οι δυνάμεις των βαρών σε κάθε κύκλο της ράβδου δεν παράγουν έργο, οπότε απομένει το έργο της F που μεταφέρει διαρκώς ενέργεια στο σύστημα με αποτέλεσμα η κινητική της ενέργεια να τείνει προς το άπειρο. Προφανώς η ερώτηση αναφέρεται στο πρώτο μέγιστο. Αλλιώς: K... F Mg Mg co 9 3 8co 8 n dk F 3 3 F Mg in 0 in d Mg n 3 K K ax in 9 3 n n 7 3 Μηχανική Στερεού Σώματος

133 5/38 K 3 3 9, K 6 3 7,ax,ax 3,ax,in K 3 9, K 4 3 7,in K , K ,in Η μεταβολή από μέγιστο σε μέγιστο ή από ελάχιστο σε ελάχιστο είναι 8 3, όσο είναι και το έργο της F για έναν κύκλο, αφού τα βάρη σε κύκλους δεν παράγουν έργο: W F 8 3 J Επίσης από μέγιστο στο επόμενο ελάχιστο επέρχεται μείωση της κινητικής ενέργειας κατά 3 3 8,986 J, όσο είναι και το έργο όλων των δυνάμεων για περιστροφή, δηλ. 3 3 M W F Mg co co g co co F Mg co co 3 3 8,986 J κλπ 03 Ομοίως με την προηγούμενη τα τρία πρώτα ερωτήματα. Βρίσκουμε τη γωνιακή ταχύτητα του συστήματος λίγο πριν την κρούση από ΑΔΕ: M Mg g I στροφορμή ως προς το σημείο περιστροφής διατηρείται, άρα: F Mg I. Κατά τη κρούση η 5 5 g I Mg I Mg 6 M 3 I 5 M 04 d. 0 a dt 05 Σωστή 06 Σωστή 07 f με κατεύθυνση προς τα κάτω για να εξισορροπεί τη ροπή της F του ελατηρίου (υπάρχει μεταφορική και περιστροφική ισορροπία) F Mg in f F F R F Mg in 40 N x= 0, 4, f 0 N F f k R Mg in f Mac 0 a in ac c g f 3 3 R MR R c L I MR 0, kg c act c c c ac c a c act c R Μηχανική Στερεού Σώματος

134 5/38 08 Λ 4 L. L I I 4 I 4 I 5, η Β L I I L g in f ac 0 Α) a a c 3 gin c fr MR R Β) r h r r r I M r Mr M I I I MR M MR R h R R R Γ) Ο εσωτερικός κύλινδρος εκτελεί μόνο μεταφορική κίνηση αφού δεν υπάρχει ροπή δύναμης για να τον θέσει σε περιστροφή (τριβή), ενώ το κυλινδρικό περίβλημα και τα δύο είδη κίνησης, Mg in f Mac g in a a c c 4 f r R I R 3 4 R r R K 5 M Mc 3 Δ) I 3 MR, K 5 c 5 3 MR R Σ, 5 kg kg N J 3 Fx Tco Fy T in 6g T 40 N, F x 0 3 N, F y 0 N, F 0 3 N, tan = L L L 5g g 3 T in 4 4 L L L 3L I 5 5 L 0,5 Kg 4 4 L 3L g 5g co g co L a a co 0co, L L 3L g 5g in g in L in 0in 4 4 L B L gl in 0in 3 6 Μηχανική Στερεού Σώματος

135 53/ in L L L 5 I L 4 5 K K K K L 4 0, ή -0% K K K L 4 Λ 5 Λ 6 Προφανώς αφού η μάζα του δίσκου κατανέμεται σε όλη την επιφάνεια του κύκλου (και όχι μόνο στην περιφέρειά του, όπως στο δακτύλιο) θα ισχύει I I F f ac I FR II a F a c c ac a c, ac, F f R Ia I R I R R, η Γ 7 Mg g M,6 kg 6 6 rad I M M M M M 0,9 kg g rad, Mg M M a g a a L L L U K Mg in 3 I 7 M M M 3 8 L 7 M in,8 54 g kg 8 B ή Γ (από υπουργείο), λάθος στην εκφώνηση 9 Σωστή Μηχανική Στερεού Σώματος

136 54/38 0 A T co Mg in 0 T Mg tan 4 N F Fx Fy 70 N Fx Fx T 0 Fx T 4 N F 3, x Fy Fy Mg 0 Fy Mg 56 N t an Fy 4 δηλ. η δύναμη από τον άξονα κείται πάνω στη ράβδο (αναμενόμενο, αφού οι τρεις δυνάμεις που δρουν στη ράβδο πρέπει να περνούν από το ίδιο σημείο Κ, σημείο τομής των άλλων δύο τάσης - βάρους για να εξασφαλίζεται ροπή ως προς Κ μηδέν) g co f ac ra g co rad 5 N g in 0 a 7 400, f 7g co 0,9 N r fr 5 r a Μηχανική Στερεού Σώματος

137 55/38 A T co Mg in N x f 0 0 T 3x 45, x 0, N N g in K A Mg in t K J 67, 6 rad t Mg co M 6 3 Κατά τη σύγκρουση των δύο ράβδων διατηρείται η στροφορμή του συστήματος (απειροστή χρονική διάρκεια και οι ροπές των βαρών δεν «προλαβαίνουν» να προκαλέσουν μεταβολή της) M M 3M ( 3 ) 3 4 K K K I I 4 0,75 ή 75% K K I Σ 3 Σ 4 5 L K I K L D I μέχρι t a από t μέχρι t a t την t3 η αντιστρέφεται όπως και η a 3 7 I M M kg Μηχανική Στερεού Σώματος

138 56/38 AME από προσανατολισμό κρούσης μέχρι τον κατακόρυφο 3 3 K U I Mg in g in g in rad 5,6 L K K K 0,75 0, 5 I L L 0, 5 0,5 K L K L L I 5 L L L L L 3L 3I 6 5,6 kg πριν την κρούση η κατεύθυνση της στροφορμής είναι προς τα έξω της σελίδας (θετική αλγεβρική τιμή), μετά την κρούση προς τα μέσα (αρνητική αλγεβρική τιμή) και η μεταβολή προς τα μέσα (αρνητική τιμή), δηλ. η αλλαγή της συνέβη προς τα μέσα 3 L 3 M g g 35 O 4 4 I 9,6 a I kg t O I 4 I 34 6 Δ 7 Λ 8 9 I L Z 0 L. K, η C I O 0 FR TR gr F g 50 N 750 F M g F 50 0 N, tan 3 50 I g T a g a R a R R 00 rad a g, πάνω στον άξονα I R I 3 TR Ia T a R προς τα μέσα K I J TR a Ra t Ia t 000 t R 30 3 Σ K L L I L L M Mg gl MgL I a I ML MgL 3 p p p p t I, M 5 p 3 ML L 6 Μηχανική Στερεού Σώματος

139 57/38 33 Προφανώς αδύνατον στο Α να αρχίζει να κυλά, αφού η κάθετη δύναμη με ταχύτητα μηδέν είναι μηδέν, άρα και η στατική τριβή θα είναι μηδέν. Αν δεχτούμε ότι κυλά τότε για την κίνηση της σφαίρας έ- 7 χουμε ( R r R ): 8 c c 8 c N g in 7 7 R r 8 R R g co T a c,tan T 5 g co T ac,tan T 5 Tr 5 r a 5 r T 5 ac,tan ac,tan r ac,tan ra T g co 4co N 7 Η στατική τριβή δεν παράγει έργο, άρα η μηχανική ενέργεια της σφαίρας διατηρείται. Έτσι: K r r c 7 c 5 0 c και g R r g R gr, in 0 c c gr N g in c 0 7 g 7 g in 7 7 N R R Εννοείται ότι κατά την «εκτόξευση» έχει και περιστροφή έτσι ώστε c r (αλλιώς θα ολισθήσει αρχικά και θα υπάρξει απώλεια ενέργειας, οπότε απαιτείται και ο συντελεστής τριβής). Σε όλη την κίνηση η μηχανική ενέργεια διατηρείται. Μέχρι να βγει πάνω, λόγω στατικής τριβής, το κέρδος σε δυναμική ενέργεια προέρχεται και από τις δύο μορφές κινητικής ενέργειας. Στη συνέχεια δεν υπάρχει δύναμη με ροπή ως προς το κέντρο μάζας, οπότε η ω παραμένει σταθερή, όπως και η κινητική ενέργεια εκ περιστροφής, ενώ η κινητική εκ μεταφοράς μειώνεται μέχρι μηδενισμού αυξάνοντας ισόποσα τη δυναμική ενέργεια της σφαίρας (ουσιαστικά κατακόρυφη βολή προς τα πάνω με την ταχύτητα που έχει κα c g 8 R 0 c c c 4 gr c 4 θώς ξεπερνά το έδαφος). 5 c 4 gr c 5 hax 8 R,8 0,8 g g c Μηχανική Στερεού Σώματος

140 58/38 dk 5 g c g c 4 gr dt dlc, c 0 dt J 34 Σ 35 (Α) Οι ροπές των βαρών των δύο ράβδων προκαλούν την περιστροφή περί το Α. Αφού στη δοσμένη θέση επιτυγχάνεται η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα σημαίνει στο σημείο αυτό η συνολική ροπή μηδενίζεται και αμέσως μετά αντιστρέφει πρόσημο (επιβραδύνεται). Άρα στη θέση αυτή οι ροπές των δύο βαρών ως προς Α γίνονται ίσες (κατά μέτρο). Έτσι: g in30 g in30 5 kg (Β) Αφού σταματά στιγμιαία, σημαίνει ότι η μείωση της δυναμικής ενέργειας της θα εμφανιστεί ως αύξηση της δυναμικής ενέργειας της. Η μείωση της δυναμικής ενέργειας της πρώτης από την αρχική της θέση είναι: U g. Η αύξηση της είναι: 3 U g co30 g co60 g. Από ΑΔΜΕ έχουμε: U g 3 3 g g,75 kg 3 U g (Γ ) a (Δ) dl dt g in60 rad 3,75 I I A 3 I a a 5 kg 50 N 3 36 (A) Από ισορροπία, μεταφορική και περιστροφική, της τροχαλίας έχουμε: Μηχανική Στερεού Σώματος

141 59/38 TT Mg T T Mg 8 N TR TR Από ισορροπία σώματος έχουμε: F g T g T g Mg,4 N k 5 rad 3 (B) t T 0,6. Από δυναμική κίνησης τροχαλίας έχουμε: 3 5 Mg T Mac a ac c TR MR R h a t gt gt 3 c 3 3, g. Η κίνηση του κέντρου μάζας είναι ομαλά επιταχυνόμενη και άρα: T (Γ) Την t 0 βρίσκεται ακίνητο στη θέση x 0, κάτω από τη θέση ισορροπίας. Άρα: k 3 5 A 0, και x Ain t 0,in 3 t, SI (Δ) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας μετά από t είναι: c act 4. Το Γ έχει δύο ταχύτητες μια κατακόρυφη του κέντρου μάζας και μια εκ περιστροφής ως προς τον άξονά της οριζόντια και προς τα α- ριστερά με τιμή R c. Άρα: c 4 με διεύθυνση 45 ως προς το οριζόντιο επίπεδο, προς τα κάτω και προς τ αριστερά 37 Δ K 5 c c c K 7 c ar a c a c 38 c ar R, 5 a a 7 5 άρα η Γ I A M M kg (Α) (Β) F T in 60 F 0 F T in N x x, x, M 5 co g A T g g T 00 N 3 co 60 F T co60 F Mg g 0 F M g T co60 40 N y y, y, F F F N y, x, y, 0 9, tan Fx, F Μηχανική Στερεού Σώματος

142 ΚΡΟΥΣΕΙΣ, ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER 00. Σφαίρα μάζας κινούμενη με ταχύτητα μέτρου συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα ίσης μάζας. Να βρείτε τις σχέσεις που δίνουν τις ταχύτητες των δύο σφαιρών, μετά την κρούση, με εφαρμογή των αρχών που διέπουν την ελαστική κρούση.. Σε κάθε κρούση ισχύει Α) η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας Β) η αρχή διατήρησης της ορμής Γ) η αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου Δ) όλες οι παραπάνω αρχές 3. Ακίνητο σώμα μάζας M 9 0 kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k 000 N. Η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένη, όπως φαίνεται στο. Βλήμα μάζας 0 kg που κινείται κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ, συγκρούεται με το ακίνητο σώμα μάζας Μ και σφηνώνεται σ' αυτό. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A 0,. 3 Α) Να υπολογίσετε: α) την περίοδο Τ της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β) την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση. γ) την ταχύτητα υ, με την οποία το βλήμα προσκρούει στο σώμα μάζας Μ. Β) Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης της ταλάντωσης σε σχέση με το χρόνο Ένας παρατηρητής ακούει ήχο με συχνότητα... από τη συχνότητα μιας πηγής, όταν η μεταξύ τους απόσταση ελαττώνεται Σφαίρα A που κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με άλλη όμοια (ίσων μαζών) αλλά ακίνητη σφαίρα Β που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο. Να αποδείξετε ότι η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετά την κρούση είναι ίση με το μισό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Α, πριν από την κρούση Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων η μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή (Σ/Λ). 6

143 7. Παρατηρητής πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα A ακίνητη ηχητική πηγή και αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f A. Αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι, τότε η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή είναι ίση με: 7 Α) f A Β) f A A A A A Γ) f A Δ) f A f S /4 8. Η κρούση στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες ονομάζεται Σώμα μάζας 0, kg που είναι προσδεμένο στο άκρο τεντωμένου νήματος αφήνεται ελεύθερο από ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το νήμα βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση, το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας, όπου. Το σώμα μάζας, μετά την σύγκρουση, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας 3 07, kg. Το σώμα μάζας 3 είναι προσδεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k 0 N, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Τη στιγμή της σύγκρουσης, το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ο άξονάς του συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης του σώματος μάζας. Να θεωρήσετε αμελητέα τη χρονική διάρκεια των κρούσεων και τη μάζα του νήματος. Να υπολογίσετε: 9 Α) το ύψος h από το οποίο αφέθηκε ελεύθερο το σώμα μάζας. Β) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας, με την οποία προσκρούει στο σώμα μάζας 3. Γ) το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα που προέκυψε από την πλαστική κρούση. Δ) το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος μετά από χρόνο π t από τη χρονική στιγμή που αυτό άρχισε να κινεί- 5 π ται. Δίνονται: g 0, co 05, Έκκεντρη ονομάζεται η κρούση στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες. (Σ/Λ) 0 Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

144 . Μια μικρή σφαίρα μάζας συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά µε ακίνητη μικρή σφαίρα μάζας. Μετά την κρούση οι σφαίρες κινούνται µε αντίθετες ταχύτητες ίσων μέτρων. Ο λόγος των μαζών των δύο σφαιρών είναι: Α) Β) 3 Γ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 3/4. Ένας παρατηρητής κινείται µε σταθερή ταχύτητα A προς ακίνητη σημειακή ηχητική πηγή. Οι συχνότητες που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής, πριν και αφού διέλθει από την ηχητική πηγή, διαφέρουν μεταξύ τους κατά 0 f, όπου f η συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η ηχητική πηγή. Αν υ η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα, ο λόγος είναι ίσος A µε: Α) 0 Β) Γ) 0 0 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 3. Όταν μια σφαίρα προσκρούει ελαστικά σε ένα τοίχο, τότε πάντα ισχύει ( η ταχύτητα της σφαίρας πριν την κρούση, η ταχύτητα της σφαίρας μετά την κρούση). (Σ/Λ) 3 4. Κατά τη πλαστική κρούση δύο σωμάτων πάντα ισχύει pπριν pμετά ( p πριν η ορμή του συστήματος πριν την κρούση, p μετά η ορμή του συστήματος μετά την κρούση). (Σ/Λ) 4 5. Κατά την κρούση δύο σωμάτων η κινητική ενέργεια του συστήματος πάντα διατηρείται. (Σ/Λ) 5 6. Σώμα Α συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά µε ακίνητο αρχικά σώμα Β που έχει την ίδια μάζα µε το Α. Τότε η ταχύτητα του Α μετά την κρούση μηδενίζεται. (Σ/Λ) 6 7. Έκκεντρη ονομάζεται η κρούση αν οι ταχύτητες των σωμάτων βρίσκονται σε τυχαία διεύθυνση. (Σ/Λ) 7 8. Σώμα Σ μάζας M 0, kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου και ηρεμεί. Το άλλο ά- κρο του ελατηρίου είναι σταθερά συνδεδεμένο µε κατακόρυφο τοίχο. Μεταξύ σώματος και οριζοντίου δαπέδου δεν εμφανίζονται τριβές. Βλήμα μάζας 0, 00 kg κινούμενο κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου µε ταχύτητα 00 διαπερνά ακαριαία το σώμα Σ και κατά την έξοδό του η ταχύτητά του γίνεται. Να βρεθούν: 8 Α) Η ταχύτητα υ µε την οποία θα κινηθεί το σώμα Σ αμέσως μετά την έξοδο του βλήματος. Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

145 Β) Η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου. Γ) Η περίοδος µε την οποία ταλαντώνεται το σώμα Σ. Δ) Η ελάττωση της μηχανικής ενέργειας κατά την παραπάνω κρούση. Δίνεται η σταθερά του ελατηρίου k 000 N. 4/4 9. Σώμα Σ µε μάζα kg και ταχύτητα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και κατά μήκος του άξονα xx χωρίς τριβές, όπως στο σχήμα. Το σώμα Σ συγκρούεται µε σώμα Σ μάζας 3 kg που αρχικά είναι ακίνητο. Η κρούση οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων. 9 Α) Να δικαιολογήσετε γιατί το συσσωμάτωμα που προκύπτει από τη συγκόλληση θα συνεχίσει να κινείται κατά μήκος του άξονα xx. Β) Να εξηγήσετε γιατί η θερμοκρασία του συσσωματώματος θα είναι μεγαλύτερη από την αρχική κοινή θερμοκρασία των δύο σωμάτων. K Γ) Να υπολογίσετε το λόγο K όπου K η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος και K η κινητική ενέργεια του σώματος Σ πριν την κρούση. K Δ) Να δικαιολογήσετε αν ο λόγος μεταβάλλεται ή όχι στην περίπτωση που το σώμα μά- K ζας κινείτο µε ταχύτητα διπλάσια της. 0. Το φαινόμενο Doppler ισχύει και στην περίπτωση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. (Σ/Λ) 0. Σφαίρα Α μάζας A συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε δεύτερη ακίνητη σφαίρα Β μάζας B. Το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας που έχει μεταφερθεί από την Α στη Β μετά την κρούση γίνεται μέγιστο όταν: Α) A B Β) A B Γ) A B Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.. Σε μετωπική κρούση δύο σωμάτων Α και Β που έχουν μάζες και, αντίστοιχα, δημιουργείται συσσωμάτωμα που παραμένει ακίνητο στο σημείο της σύγκρουσης. Ο λόγος των μέτρων των ορμών των δύο σωμάτων πριν από την κρούση, είναι Β) Γ) Α) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Μια κρούση λέγεται πλάγια όταν: 3 Α) δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ορμής Β) δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ενέργειας Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

146 Γ) οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση έχουν τυχαία διεύθυνση Δ) οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση είναι παράλληλες 5/4 4. Σε κάθε κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας. (Σ/Λ) 4 5. Έστω σώμα (Σ) μάζας M kg και κωνικό βλήμα (β) μάζας 0, kg. Για να σφηνώσουμε με τα χέρια μας ολόκληρο το βλήμα στο σταθερό σώμα (Σ), όπως φαίνεται στο σχήμα, πρέπει να δαπανήσουμε ενέργεια 00 J. Έστω τώρα ότι το σώμα (Σ) που είναι ακίνητο σε λείο οριζόντιο επίπεδο, πυροβολείται με το βλήμα (β). Το βλήμα αυτό κινούμενο οριζόντια με κινητική ενέργεια Κ προσκρούει στο σώμα (Σ) και ακολουθεί πλαστική κρούση. 5 Α) Για K 00 J θα μπορούσε το βλήμα να σφηνωθεί ολόκληρο στο σώμα (Σ); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Β) Ποια είναι η ελάχιστη κινητική ενέργεια Κ που πρέπει να έχει το βλήμα, ώστε να σφηνωθεί ολόκληρο στο σώμα (Σ); Γ) Για ποια τιμή του λόγου M το βλήμα με κινητική ενέργεια K 00 J σφηνώνεται ολόκληρο στο (Σ); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 6. Σώμα μάζας που κινείται με ταχύτητα υ συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα διπλάσιας μάζας. Η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση έχει μέτρο (α) (β) (γ) 3. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.6 7. Όταν μια σφαίρα μικρής μάζας προσκρούει ελαστικά και κάθετα στην επιφάνεια ενός τοίχου, ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φοράς από αυτή που είχε πριν από την κρούση. (Σ/Λ) 7 8. Σώμα μάζας, το οποίο έχει κινητική ενέργεια Κ, συγκρούεται πλαστικά με σώμα μάζας 4. Μετά την κρούση, το συσσωμάτωμα μένει ακίνητο. Η μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση, είναι: 8 Α) 5 4 K Β) Κ Γ) 7 4 K Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 9. Στην οροφή ερευνητικού εργαστηρίου είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k 60 N, στο άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται σώμα Σ με μάζα 7 kg. Το σύστημα ισορροπεί. Ένας παρατηρητής βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα yy που ορίζει ο άξονας του ελατηρίου. Ο παρατηρητής εκτοξεύει κατακόρυφα προς τα πάνω σώμα Σ μάζας 3 kg με ταχύτητα μέτρου 0. Το σημείο εκτόξευσης απέχει απόσταση Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

147 h, από το σώμα Σ. Το σώμα Σ έχει ενσωματωμένη σειρήνα που εκπέμπει συνεχώς ήχο συχνότητας f 700 Hz. 9 Α) Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής λίγο πριν από την κρούση του σώματος Σ με το σώμα Σ. Β) Η κρούση που επακολουθεί είναι πλαστική και γίνεται με τρόπο ακαριαίο. Να βρεθεί η σχέση που περιγράφει την απομάκρυνση y της ταλάντωσης του συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο. Για την περιγραφή αυτή θεωρούμε ως αρχή μέτρησης του χρόνου (t=0) τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά του άξονα των απομακρύνσεων τη φορά της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. Γ) Η σειρήνα δεν καταστρέφεται κατά την κρούση. Να βρεθεί η σχέση που δίνει τη συχνότητα f, την οποία αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε συνάρτηση με το χρόνο μετά την A κρούση. Δ) Να βρεθεί ο λόγος της μέγιστης συχνότητας f A,ax προς την ελάχιστη συχνότητα f A,in που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής. Δίνονται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα HX 340 και g 0. 6/ Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται από τους γιατρούς, για να παρακολουθούν τη ροή του αίματος. (Σ/Λ) Στις ανελαστικές κρούσεις δεν διατηρείται η ορμή. (Σ/Λ) 3 3. Σε σημείο ευθείας ε βρίσκεται ακίνητη ηχητική πηγή S που εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας. Πάνω στην ίδια ευθεία ε παρατηρητής κινείται εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής θα είναι μέγιστη, όταν αυτός βρίσκεται 3 Α) στη θέση ισορροπίας Ο της ταλάντωσής του κινούμενος προς την πηγή. Β) σε τυχαία θέση της ταλάντωσής του απομακρυνόμενος από την πηγή. Γ) σε μία από τις ακραίες θέσεις της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 33. Τα σώματα Σ και Σ, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες kg και kg αντίστοιχα είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ είναι δεμένο στη μία άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου στα- Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

148 θεράς k 00 N. Η άλλη άκρη του ελατηρίου, είναι ακλόνητα στερεωμένη. Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά 0,, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το Σ ισορροπεί στο οριζόντιο επίπεδο στη θέση που αντιστοιχεί στο φυσικό μήκος 0 του ελατηρίου. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ κινούμενο προς τα δεξιά συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ. Θεωρώντας ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά κίνησης την προς τα δεξιά, να υπολογίσετε 33 Α) την ταχύτητα του σώματος Σ λίγο πριν την κρούση του με το σώμα Σ. Β) τις ταχύτητες των σωμάτων Σ και Σ, αμέσως μετά την κρούση. Γ) την απομάκρυνση του σώματος Σ, μετά την κρούση, σε συνάρτηση με το χρόνο. Δ) την απόσταση μεταξύ των σωμάτων Σ και Σ όταν το σώμα Σ ακινητοποιείται στιγμιαία για δεύτερη φορά. Δεχθείτε την κίνηση του σώματος Σ τόσο πριν, όσο και μετά την κρούση ως απλή αρμονική ταλάντωση σταθεράς k. Δίνεται 3,4. 7/4 34. Σε μια κρούση δύο σφαιρών 34 Α) το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών τους μετά από την κρούση. Β) οι διευθύνσεις των ταχυτήτων των σφαιρών πριν και μετά από την κρούση βρίσκονται πάντα στην ίδια ευθεία. Γ) το άθροισμα των ορμών των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των ορμών τους μετά από την κρούση. Δ) το άθροισμα των ταχυτήτων των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα ίσο με το ά- θροισμα των ταχυτήτων τους μετά από την κρούση. 35. Ηχητική πηγή και παρατηρητής βρίσκονται σε σχετική κίνηση. Ο παρατηρητής ακούει ήχο μεγαλύτερης συχνότητας από αυτόν που παράγει η πηγή, μόνο όταν 35 Α) η πηγή είναι ακίνητη και ο παρατηρητής απομακρύνεται από αυτήν Β) ο παρατηρητής είναι ακίνητος και η πηγή απομακρύνεται από αυτόν Γ) ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται με ομόρροπες ταχύτητες, με τον παρατηρητή να προπορεύεται και να έχει κατά μέτρο μεγαλύτερη ταχύτητα από αυτήν της πηγής Δ) ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται με ομόρροπες ταχύτητες, με την πηγή να προπορεύεται και να έχει κατά μέτρο ταχύτητα μικρότερη από αυτήν του παρατηρητή 36. Η σχέση που περιγράφει το φαινόμενο Doppler για το φως είναι διαφορετική από αυτή που ισχύει για τον ήχο. (Σ/Λ) Κρούση στο μικρόκοσμο ονομάζεται το φαινόμενο στο οποίο τα «συγκρουόμενα» σωματίδια αλληλεπιδρούν με σχετικά μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό χρονικό διάστημα. (Σ/Λ) Σφαίρα Σ κινούμενη προς ακίνητη σφαίρα Σ, ίσης μάζας με την Σ, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με αυτήν. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας της Σ που μεταβι- Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

149 βάζεται στη Σ κατά την κρούση είναι 38 Α) 50% Β) 00% Γ) 75% Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 8/ Σφαίρα μάζας προσπίπτει με ταχύτητα σε ακίνητη σφαίρα μάζας, με την ο- ποία συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά. Μετά την κρούση η σφαίρα μάζας γυρίζει πίσω με ταχύτητα μέτρου ίσου με το 5 της αρχικής της τιμής. Για το λόγο των μαζών ισχύει39 3 Α) Β) 3 Γ) 3 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 40. Σε μια ελαστική κρούση δεν διατηρείται 40 Α) η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος Β) η ορμή του συστήματος Γ) η μηχανική ενέργεια του συστήματος Δ) η κινητική ενέργεια κάθε σώματος 4. Μεταξύ δύο ακίνητων παρατηρητών Β και Α κινείται πηγή S με σταθερή ταχύτητα S πλησιάζοντας προς τον Α. Οι παρατηρητές και η πηγή βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Η πηγή εκπέμπει ήχο μήκους κύματος λ, ενώ οι παρατηρητές Α και Β αντιλαμβάνονται μήκη κύματος και αντίστοιχα. Τότε για το μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει η πηγή θα ι- σχύει: Α) Β) Γ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Ένα αυτοκίνητο Α μάζας Μ βρίσκεται σταματημένο σε κόκκινο φανάρι. Ένα άλλο αυτοκίνητο Β μάζας, ο οδηγός του οποίου είναι απρόσεκτος, πέφτει στο πίσω μέρος του αυτοκινήτου Α. Η κρούση θεωρείται κεντρική και πλαστική. Αν αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα έχει το 3 σχύει: 4 Α) της κινητικής ενέργειας που είχε αμέσως πριν την κρούση, τότε θα ι- M 6 Β) M Γ) M 3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 43. Σώμα μάζας κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ. Στην πορεία συγκρούεται μετωπικά με άλλο σώμα και επιστρέφει κινούμενο με ταχύτητα μέτρου υ. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του είναι: 43 Α) 0 Β) Γ) Δ) 3 Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

150 44. Δεν έχουμε φαινόμενο Doppler όταν: 44 Α) ο παρατηρητής είναι ακίνητος και απομακρύνεται η πηγή Β) ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με την ίδια ταχύτητα Γ) ο παρατηρητής είναι ακίνητος και πλησιάζει η πηγή Δ) η πηγή είναι ακίνητη και πλησιάζει ο παρατηρητής 9/4 45. Δύο σώματα Α και Β με μάζες A και B, αντίστοιχα, συγκρούονται μετωπικά. Οι ταχύτητές τους πριν και μετά την κρούση, σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα. Ο λόγος των Α) Β) Γ) Δ) μαζών A B A B A B A B A και B είναι: 45 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 46. Ένα σώμα Σ μάζας είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι α- κλόνητα στερεωμένο. Το σύστημα ελατήριο-μάζα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επίπεδο και τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο κατά τη θετική φορά. Η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σώματος Σ δίνεται από τη σχέση x 0, in0t, SI. Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι E 6 J. Τη χρονική στιγμή t στο σώμα Σ σφηνώνεται βλήμα 0 μάζας κινούμενο με ταχύτητα κατά την αρνητική φορά. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει μετά την κρούση εκτελεί νέα απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A 0, Α) Να υπολογίσετε τη σταθερά Κ του ελατηρίου και τη μάζα του σώματος Σ. Β) Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια E και τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης του συσσωματώματος. Γ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του βλήματος πριν από την κρούση. Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

151 Σε μια ελαστική κρούση δύο σωμάτων 47 Α) ένα μέρος της κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε θερμική Β) η ορμή κάθε σώματος παραμένει σταθερή Γ) η κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή Δ) η κινητική ενέργεια του συστήματος ελαττώνεται 0/4 48. Το σώμα Σ μάζας kg του επόμενου σχήματος αφήνεται να ολισθήσει από την κορυφή λείου κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R 8,. Στη συνέχεια το σώμα Σ κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα Σ μάζας kg. Το σώμα Σ είναι στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k 300 N, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Τη στιγμή της κρούσης η ταχύτητα του Σ είναι παράλληλη με τον άξονα του ελατηρίου. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να βρείτε: 48 Α) Την ταχύτητα του σώματος Σ, στο οριζόντιο επίπεδο, πριν συγκρουστεί με το Σ. Β) Την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση. Γ) Το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα, μέχρι η ταχύτητά του να μηδενιστεί για πρώτη φορά. Δ) Το χρονικό διάστημα από τη στιγμή της κρούσης, μέχρι τη στιγμή που η ταχύτητα του συσσωματώματος μηδενίζεται για δεύτερη φορά. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g Η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος των συγκρουόμενων σωμάτων, ονομάζεται: 49 Α) ελαστική Β) ανελαστική Γ) πλαστική Δ) έκκεντρη 50. Σώμα μάζας κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου 5 κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου Α) Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών. Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

152 Β) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση. Γ) Να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας λόγω της κρούσης. Δ) Να υπολογισθεί πόσο θα απέχουν τα σώματα όταν σταματήσουν. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του επιπέδου και κάθε σώματος είναι 0,. Δίνεται g 0. /4 5. Σε κάθε κρούση 5 Α) η συνολική ορμή του συστήματος των συγκρουόμενων σωμάτων διατηρείται Β) η συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή Γ) η μηχανική ενέργεια κάθε σώματος παραμένει σταθερή Δ) η ορμή κάθε σώματος διατηρείται σταθερή 5. Η συχνότητα του ήχου της σειρήνας του τρένου, την οποία αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός, είναι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης σταθερή. (Σ/Λ) Πηγή ηχητικών κυμάτων κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου, όπου υ το μέτρο της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. Ακίνητος παρατηρητής βρίσκεται στην ευθεία κίνησης της πηγής. Όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή, αυτός αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f, και όταν η πηγή απομακρύνεται απ αυτόν, ο παρατηρητής αντιλαμβά- f νεται ήχο συχνότητας f. Ο λόγος f ισούται με 53 Α) 9 Β) Γ) 0 9 Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Παρατηρητής Α κινείται με σταθερή ταχύτητα A προς ακίνητη πηγή ήχου S, όπως φαίνεται στο σχήμα, αρχικά πλησιάζοντας και στη συνέχεια απομακρυνόμενος απ αυτή. Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο με συχνότητα που είναι: 54 Α) συνεχώς μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής Β) συνεχώς μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής Γ) αρχικά μεγαλύτερη και στη συνέχεια μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής Δ) αρχικά μικρότερη και στη συνέχεια μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

153 55. Μία ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι η πλαστική κρούση. (Σ/Λ) 55 /4 56. Ακίνητο σώμα Σ μάζας Μ βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Βλήμα μάζας κινείται οριζόντια με ταχύτητα 00 σε διεύθυνση που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος Σ και σφηνώνεται σ αυτό. Αν η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση είναι V, τότε ο λόγος των μαζών M :56 Α) 50 Β) 5 Γ) 49 Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Όταν ένας παρατηρητής πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα μια ακίνητη ηχητική πηγή, τότε ακούει ήχο μικρότερης συχνότητας (βαρύτερο) από αυτόν που παράγει η πηγή. (Σ/Λ) Σώμα μάζας A κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου A και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας B A. H μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων, η οποία παρατηρήθηκε κατά την κρούση, είναι: 58 Α) A K A Β) A K A Γ) 6 3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. K A A Μικρό σώμα μάζας που κινείται με ταχύτητα υ συγκρούεται κεντρικά με αρχικά ακίνητο μικρό σώμα μάζας. Μετά την κρούση το παραμένει ακίνητο. Μετά την κρούση η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων 59 Α) Αυξήθηκε Β) Παρέμεινε η ίδια Γ) ελαττώθηκε Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 60. Η ανελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών: 60 Α) είναι πάντα μη κεντρική Β) είναι πάντα πλαστική Γ) είναι πάντα κεντρική Δ) είναι κρούση, στην οποία πάντα μέρος της κινητικής ενέργειας των δύο σφαιρών μετατρέπεται σε θερμότητα 6. Σε μια πλαστική κρούση διατηρείται η μηχανική ενέργεια του συστήματος των συγκρουόμενων σωμάτων. (Σ/Λ) 6 Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

154 6. Ηχητική πηγή S εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας f S. Όταν η πηγή πλησιάζει με ταχύτητα μέτρου u ακίνητο παρατηρητή Α, κινούμενη στην ευθεία «πηγής- παρατηρητή», ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f. Όταν ο παρατηρητής Α, κινούμενος με ταχύτητα μέτρου u, πλησιάζει την ακίνητη πηγή S, κινούμενος στην ευθεία «πηγήςπαρατηρητή», αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f. Τότε είναι: 6 f Α) f Β) f f Γ) f f Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 3/ Δύο σώματα με μάζες kg και 3 kg κινούνται χωρίς τριβές στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε κάθετες διευθύνσεις με ταχύτητες 4 και (όπως στο σχήμα) και συγκρούονται πλαστικά. Η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος είναι: 63 Α) 5 J Β) 0 J Γ) 0 J Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 64. Έκκεντρη ονομάζεται η κρούση κατά την οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των δύο συγκρουόμενων σωμάτων είναι μεταξύ τους 64 Α) κάθετες Β) παράλληλες Γ) ίσες Δ) σε τυχαίες διευθύνσεις 65. Το σώμα Σ του σχήματος έχει μάζα kg, κινείται με ταχύτητα 8 σε λείο και οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ, μάζας 3 kg. Το Σ είναι δεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς 300 N, που βρίσκεται στο φυσικό μήκος του. Να υπολογίσετε: 65 Α) τις ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την κρούση. Β) την περίοδο της ταλάντωσης του σώματος Σ. Γ) την ενέργεια με την οποία ταλαντώνεται το σώμα Σ. Δ) την απόσταση μεταξύ των σωμάτων όταν το Σ επιστρέφει για πρώτη φορά στο σημείο Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

155 της κρούσης. 66. Στην ανελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών διατηρείται 66 Α) η ορμή κάθε σφαίρας Β) η ορμή του συστήματος Γ) η μηχανική ενέργεια του συστήματος Δ) η κινητική ενέργεια του συστήματος 4/4 67. Όταν μια μικρή σφαίρα προσπίπτει πλάγια σε κατακόρυφο τοίχο και συγκρούεται με αυτόν ελαστικά, τότε 67 Α) η κινητική ενέργεια της σφαίρας πριν την κρούση είναι μεγαλύτερη από την κινητική ε- νέργεια που έχει μετά την κρούση Β) η ορμή της σφαίρας δεν μεταβάλλεται κατά την κρούση Γ) η γωνία πρόσπτωσης της σφαίρας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης Δ) η δύναμη που ασκεί ο τοίχος στη σφαίρα έχει την ίδια διεύθυνση με την αρχική ταχύτητα της σφαίρας 68. Κατά την ελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών ελαττώνεται η κινητική ενέργεια του συστήματος των σφαιρών. (Σ/Λ) Μια ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας και κινείται με σταθερή ταχύτητα. Στην ευθεία που κινείται η πηγή βρίσκεται ακίνητος παρατηρητής. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής όταν τον έχει προσπεράσει είναι κατά 30% μικρότερη από τη συχνότητα που αντιλαμβανόταν, όταν τον πλησίαζε η πηγή. Αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ, τότε η ταχύτητα της πηγής είναι Α) Β) Γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 70. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων η μηχανική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή. (Σ/Λ) Παρατηρητής Α κινείται προς την ηχητική πηγή S με ταχύτητα, A όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ηχητική πηγή S κινείται ομόρροπα με τον παρατηρητή Α με ταχύτητα S A και εκπέμπει ήχο συχνότητας f S. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α είναι 7 Α) μικρότερη της f S Β) ίση με την f S Γ) μεγαλύτερη από την f S Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή φράση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

156 7. Ένα σώμα με μάζα kg κινείται με ταχύτητα 0 σε λείο οριζό- 5/4 ντιο επίπεδο και κατά μήκος του άξονα xx, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας 3 kg που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το. Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα και η φορά της ταχύτητας θετική. Να υπολογίσετε: 7 Α) την ταχύτητα του μετά την κρούση. Β) την ταχύτητα του μετά την κρούση. Γ) την κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων μετά την κρούση τους. Δ) την αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής του σώματος, λόγω της κρούσης Μία ηχητική πηγή πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα προς έναν ακίνητο παρατηρητή και εκπέμπει ήχο συχνότητας f και μήκους κύματος λ. Τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο 73 Α) με συχνότητα μικρότερη της f Β) με συχνότητα ίση με την f Γ) με μήκος κύματος μικρότερο του λ Δ) με μήκος κύματος ίσο με το λ 74. Ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας f. Με μια δεύτερη ηχητική πηγή δημιουργούμε ταυτόχρονα ήχο, τη συχνότητα του οποίου μεταβάλλουμε. Σε αυτήν τη διαδικασία δημιουργούνται διακροτήματα ίδιας συχνότητας για δύο διαφορετικές συχνότητες f, f της δεύτερης πηγής. Η τιμή της f είναι: 74 ff f f Β) f f Α) Γ) f f Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 75. Δύο σώματα, το Α με μάζα και το Β με μάζα, είναι διαρκώς σε επαφή και κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με την ίδια ταχύτητα. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά με σώμα Γ μάζας 4, το οποίο αρχικά είναι ακίνητο. Μετά την κρούση το Α σταματά, ενώ το Β κολλάει στο Γ και το συσσωμάτωμα αυτό κινείται με ταχύτητα. Τότε θα ισχύει:75 3 Α) Β) Γ) Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

157 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 76. Σε μία πλαστική κρούση 76 Α) δε διατηρείται η ορμή Β) η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι μεγαλύτερη της αρχικής Γ) η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται Δ) η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι μεγαλύτερη της τελικής 6/4 77. Η ορμή ενός μονωμένου συστήματος σωμάτων δεν διατηρείται κατά τη διάρκεια μιας ανελαστικής κρούσης. (Σ/Λ) Παρατηρητής Α κινείται με σταθερή ταχύτητα μεταξύ δύο ακίνητων A ηχητικών πηγών S και S, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η πηγή S αρχικά δεν εκπέμπει ήχο, ενώ η πηγή S εκπέμπει ήχο με συχνότητα f 00 Hz. 78 Α) Υπολογίστε την ταχύτητα A με την οποία πρέπει να κινείται ο παρατηρητής, ώστε να ακούει ήχο με συχνότητα f 00, 5 Hz. A Κάποια στιγμή ενεργοποιείται και η δεύτερη ηχητική πηγή S, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας f 00 Hz. Β) Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα t μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου που ακούει ο κινούμενος παρατηρητής. Η συχνότητα της ηχητικής πηγής S μεταβάλλεται σε f 00, 5 Hz, ενώ ο παρατηρητής Α σταματάει να κινείται. Γ) Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα t μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου που ακούει ο ακίνητος παρατηρητής. Δ) Να υπολογίσετε το πλήθος των ταλαντώσεων τις οποίες εκτελεί το τύμπανο του αυτιού του παρατηρητή Α μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έντασης του ήχου που ακούει. Θεωρούμε ότι οι εντάσεις των ήχων των δύο πηγών είναι ίσες και δεν μεταβάλλονται με την απόσταση. Δίνεται: ταχύτητα διάδοσης ήχου στον αέρα H Βασιζόμενοι στο φαινόμενο Doppler μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα για την ταχύτητα ενός άστρου σε σχέση με τη Γη. (Σ/Λ) 79 Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

158 80. Ανάμεσα σε δύο παράλληλους τοίχους ΑΓ και ΒΔ, υπάρχει λείο οριζόντιο δάπεδο. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι κάθετα στους τοίχους. Σφαίρα Σ κινείται πάνω στο δάπεδο, με σταθερή ταχύτητα, μέτρου υ, παράλληλη στους τοίχους, και καλύπτει τη διαδρομή από το ΑΒ μέχρι το ΓΔ σε χρόνο t. Στη συνέχεια δεύτερη σφαίρα Σ που έχει ταχύτητα μέτρου υ συγκρούεται ελαστικά με τον ένα τοίχο υπό γωνία 60 και, ύστερα από διαδοχικές ελαστικές κρούσεις με τους τοίχους, καλύπτει τη διαδρομή από το ΑΒ μέχρι το ΓΔ σε χρόνο t. Οι σφαίρες εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση. Τότε θα ισχύει: 80 t Α) t Β) t 4t Γ) t 8t Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Δίνονται: 3 in 60, co60 7/4 8. Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι εκείνη που οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων-στη δημιουργία συσσωματώματος. (Σ/Λ) 8 8. Σφαίρα, μάζας, κινούμενη με ταχύτητα, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας. Οι ταχύτητες και των σφαιρών μετά την κρούση 8 Α) έχουν πάντα την ίδια φορά Β) σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 90 Γ) έχουν πάντα αντίθετη φορά Δ) έχουν πάντα την ίδια διεύθυνση 83. Αυτοκίνητο με ταχύτητα A (όπου υ η ταχύτητα του ήχου ως προς τον ακίνητο αέρα) κινείται ευθύγραμμα προς ακίνητο περιπολικό. Προκειμένου να ελεγχθεί η ταχύτητα 0 του αυτοκινήτου εκπέμπεται από το περιπολικό ηχητικό κύμα συχνότητας f. Το κύμα, αφού ανακλαστεί στο αυτοκίνητο, επιστρέφει στο περιπολικό με συχνότητα f. Ο λόγος f των συχνοτήτων f είναι: 83 Α) Β) Γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 84. Σε λείο οριζόντιο επίπεδο σφαίρα μάζας kg, κινούμενη με ταχύτητα Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

159 4, συγκρούεται ελαστικά αλλά όχι κεντρικά με δεύτερη όμοια σφαίρα μάζας 3, που είναι αρχικά ακίνητη. Μετά την κρούση οι σφαίρες έχουν ταχύτητες μέτρων και, αντίστοιχα Α) Να βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει το διάνυσμα της ταχύτητας με το διάνυσμα της ταχύτητας. Β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων και. Σώμα μάζας M 3 ισορροπεί δεμένο στο άκρο ελατηρίου, σταθεράς k 00 N, 8/4 που βρίσκεται κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας 30, όπως στο σχήμα. Η σφαίρα, μάζας, κινούμενη οριζόντια με την ταχύτητα, σφηνώνεται στο σώμα Μ. Γ) Να βρείτε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων M, κατά την κρούση. Δ) Δεδομένου ότι το συσσωμάτωμα M, μετά την κρούση εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, να βρείτε το πλάτος Α της ταλάντωσης αυτής. Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας 0 3 g, in 30, co 30. Παραλλαγή των προηγούμενων για τα εσπερινά Λύκεια. Σώμα μάζας M 3 ισορροπεί δεμένο στο άκρο ελατηρίου, σταθεράς k, που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο. Το ελατήριο βρίσκεται στη θέση του φυσικού του μήκους. Η σφαίρα μάζας, κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα υ, σφηνώνεται στο σώμα Μ. Ε) Να βρείτε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των σωμάτων M, κατά την κρούση. ΣΤ) Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ συσσωματώματος M, και οριζοντίου επιπέδου είναι και η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου μετά την κρούση είναι x ax 0,0, να βρεθεί η σταθερά k του ελατηρίου Περιπολικό ακολουθεί αυτοκίνητο που έχει παραβιάσει το όριο ταχύτητας. Τα δύο αυτοκίνητα κινούνται με ίσες ταχύτητες. Αν η σειρήνα του περιπολικού εκπέμπει ήχο συχνότη- Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

160 τας f S, τότε, η συχνότητα f A που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του άλλου αυτοκινήτου είναι: 85 Α) f f Β) A S f A fs Γ) fa fs Δ) f A 0 9/4 86. Έκκεντρη ονομάζεται η κρούση κατά την οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των δύο σωμάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες αλλά μη συγγραμμικές. (Σ/Λ) Σώμα Σ με μάζα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο ολισθαίνοντας προς άλλο σώμα Σ με μάζα, το οποίο αρχικά είναι α- κίνητο. Έστω 0 η ταχύτητα που έχει το σώμα Σ τη στιγμή t 0 0 και ενώ βρίσκεται σε α- πόσταση d από το σώμα Σ. Αρχικά, θεωρούμε ότι το σώμα Σ είναι ακίνητο πάνω στο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου με αμελητέα μάζα και σταθερά ελατηρίου k, και το οποίο έχει το φυσικό του μήκος l 0. Το δεύτερο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο, όπως φαίνεται στο σχήμα: Αμέσως μετά τη κρούση, που είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ αποκτά ταχύτητα με μέτρο 0 και φορά αντίθετη της αρχικής ταχύτητας. Δίνεται ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των δύο σωμάτων με το οριζόντιο επίπεδο είναι 0,5 και ότι η επι- τάχυνση της βαρύτητας είναι g Α) Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα 0 του σώματος Σ. Β) Να υπολογίσετε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μεταφέρθηκε από το σώμα Σ στο σώμα Σ κατά την κρούση. Γ) Να υπολογίσετε το συνολικό χρόνο κίνησης του σώματος Σ από την αρχική χρονική στιγμή t 0 μέχρι να ακινητοποιηθεί τελικά. Δίνεται: 0 3,. Δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, αν δίνεται ότι kg και k 05 N. Θεωρήστε ότι η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και ότι τα δύο σώματα συγκρούονται μόνο μία φορά. 88. Κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών, οι οποίες έχουν ίσες μάζες, οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες. (Σ/Λ) Σε κινούμενο τρένο () με ταχύτητα υπάρχει ηχητική πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας f S για χρονικό διάστημα ts. Τρένο () κινείται με ταχύτητα αντίθετης φοράς και Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

161 0/4 τη στιγμή t 0 0 απέχει από το τρένο () απόσταση d. Στο τρένο () υπάρχει συσκευή ανίχνευσης των ανακλώμενων στο τρένο () ηχητικών κυμάτων. Δίνεται ότι ο ανακλώμενος ήχος στο τρένο () έχει την ίδια συχνότητα με τον προσπίπτοντα σε αυτόν ήχο. 89 Α) Αν f είναι η συχνότητα του ήχου που ανιχνεύει η συσκευή, να δείξετε ότι υ+υ υ+υ f= f υ-υ υ-υ t 0,8. S Δίνονται: ταχύτητα ήχου 340, fs 900 Hz, 0, 0, Β) Αν τη χρονική στιγμή t 6,8 η συσκευή αρχίζει να ανιχνεύει τον ανακλώμενο ήχο, να βρεθεί η απόσταση d που είχαν τα τρένα τη χρονική στιγμή t 0 0. Γ) Ποια χρονική στιγμή t η συσκευή ανίχνευσης των ανακλώμενων κυμάτων σταματά να καταγράφει τον ανακλώμενο ήχο; 90. Μικρότερη συχνότητα ακούει ένας παρατηρητής σε σχέση με την πραγματική συχνότητα του ήχου που παράγει μια πηγή, όταν πηγή και παρατηρητής 90 Α) είναι ακίνητοι Β) κινούνται στην ίδια ευθεία, διατηρώντας σταθερή την μεταξύ τους απόσταση Γ) πλησιάζουν μεταξύ τους κινούμενοι στην ίδια ευθεία Δ) απομακρύνονται μεταξύ τους κινούμενοι στην ίδια ευθεία 9. Σφαίρα μάζας κινείται έχοντας κινητική ενέργεια K και συγκρούεται πλαστικά με σφαίρα μάζας 3, η οποία είναι αρχικά ακίνητη. Η μηχανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση είναι ίση με: 9 Α) 3 K Β) K Γ) K 4 4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Περιπολικό ακολουθεί αυτοκίνητο που έχει παραβιάσει το όριο ταχύτητας. Τα δύο αυτοκίνητα κινούνται με ίσες ταχύτητες. Αν η σειρήνα του περιπολικού εκπέμπει ήχο συχνότητας f, τότε, η συχνότητα f που αντιλαμβάνεται ο οδηγός του άλλου αυτοκινήτου είναι: 9 S A Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

162 Α) f f Β) A S f A fs Γ) fa fs Δ) f A 0 /4 93. Δύο όμοια σώματα, ίσων μαζών το καθένα, συνδέονται με όμοια ιδανικά ελατήρια σταθεράς k το καθένα, των οποίων τα άλλα ά- κρα είναι συνδεδεμένα σε ακλόνητα σημεία, όπως στο σχήμα. Οι άξονες των δύο ελατηρίων βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τα ελατήρια βρίσκονται στο φυσικό τους μήκος 0 και το οριζόντιο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται είναι λείο. Μετακινούμε το σώμα προς τα αριστερά κατά d και στη συνέχεια το αφήνουμε ε- λεύθερο να κινηθεί. Το σώμα συγκρούεται πλαστικά με το σώμα. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D k. Αν A το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος πριν τη κρούση και A το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά την κρούση, τότε ο λόγος είναι: 93 Α) Β) Γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 94. Σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε διεύθυνση κάθετη σε κατακόρυφο τοίχο κινείται σφαίρα μάζας με ταχύτητα μέτρου. Κάποια χρονική στιγμή η σφαίρα μάζας συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας ( ). Μετά την κρούση με τη μάζα, η συγκρούεται ελαστικά με τον τοίχο. Παρατηρούμε ότι η απόσταση των μαζών και, μετά την κρούση της με τον τοίχο, παραμένει σταθερή. Ο λόγος των μαζών είναι:94 Α) 3 Β) Γ) 3 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 95. Σώμα μάζας με κινητική ενέργεια K συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με αρχικά ακίνητο σώμα μάζας 3. Το ποσοστό απωλειών της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση είναι: Α) 75% Β) 50% Γ) 64% Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας Σφαίρα Σ συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ τετραπλάσιας μάζας. Μετά την κρούση 96 Α) η σφαίρα Σ παραμένει ακίνητη Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

163 Β) η σφαίρα Σ συνεχίζει να κινείται στην ίδια κατεύθυνση Γ) όλη η κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ μεταφέρθηκε στη σφαίρα Σ Δ) ισχύει p p όπου p, p οι μεταβολές των ορμών των δύο σφαιρών. /4 97. Πηγή Π ηχητικών κυμάτων εκπέμπει ήχο με συχνότητα f. Η πηγή, είναι στε- ρεωμένη κατάλληλα σε κατακόρυφο τοίχωμα που διαχωρίζει την δεξαμενή του νερού από τον αέρα, έτσι ώστε τα ηχητικά κύματα που εκπέμπει να διαδίδονται στον αέρα και στο νερό. Δύο δέκτες Δ και Δ που βρίσκονται, ο πρώτος στον αέρα και ο δεύτερος στο νερό, στην ίδια ευθεία με την πηγή κινούνται προς την πηγή με ταχύτητες μέτρων και, αντίστοιχα. Αν οι συχνότητες f και f που ανιχνεύουν οι δύο δέκτες είναι ίσες και η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στο νερό είναι τετραπλάσια της ταχύτητας διάδοσης του ήχου στον αέρα a ( ), ο λόγος των ταχυτήτων είναι97 Α) 3 Β) 4 Γ) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 4 a 98. Τα σώματα Σ και Σ, του σχήματος, με μάζες kg και 4 kg αντίστοιχα, βρίσκονται ακίνητα σε λείο οριζόντιο επίπεδο και εφάπτονται μεταξύ τους. Τα σώματα είναι δεμένα στην άκρη δύο όμοιων ιδανικών ελατηρίων σταθεράς k 00 N, που βρίσκονται στο φυσικό τους μήκος και των οποίων η άλλη άκρη είναι σταθερά στερεωμένη. Μετακινούμε τα σώματα Σ και Σ έτσι ώστε τα ελατήρια να συσπειρωθούν κατά d 0, το καθένα και στη συνέχεια τη χρονική στιγμή t 0 αφήνονται ελεύθερα να ταλαντωθούν. 98 Α) Να γράψετε τις εξισώσεις των απομακρύνσεων x και x των σωμάτων Σ και Σ συναρτήσει του χρόνου. Ως θετική φορά ορίζεται η από το Σ προς Σ και ως x 0 ορίζεται η θέση που εφάπτονται αρχικά τα σώματα. d Β) Τα σώματα Σ και Σ κινούμενα με αντίθετη φορά συγκρούονται στη θέση x. Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων τους ελάχιστα πριν από την κρούση. Γ) Η κρούση που ακολουθεί είναι πλαστική. Να αποδείξετε ότι το συσσωμάτωμα μετά την Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

164 κρούση θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Δ) Να βρείτε το μέτρο του μέγιστου ρυθμού μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος μετά την κρούση. 3/4 99. Στην κεντρική ελαστική κρούση δύο σωμάτων 99 Α) διατηρείται μόνο η ορμή του συστήματος Β) διατηρείται μόνο η μηχανική ενέργεια του συστήματος Γ) διατηρείται και η ορμή και η μηχανική ενέργεια του συστήματος Δ) δεν διατηρείται ούτε η ορμή, ούτε η μηχανική ενέργεια του συστήματος 00. Όταν ένας παρατηρητής πλησιάζει μια ακίνητη ηχητική πηγή, η συχνότητα την οποία ακούει είναι μικρότερη από αυτήν που παράγει η πηγή. (Σ/Λ) Δύο σώματα Α και Β με μάζες και 4 αντίστοιχα, κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία με αντίθετη φορά, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο σώματα έχουν ίσες κινητικές ενέργειες και συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά. Αν είναι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος A και V το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος που δημιουργείται μετά την κρούση, τότε: 0 Α) V 3 Β) V Γ) V Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Δύο σφαίρες Α και Β με ίσες μάζες, μία εκ των οποίων είναι ακίνητη, συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Το ποσοστό της μεταβιβαζόμενης ενέργειας από τη σφαίρα που κινείται στην αρχικά ακίνητη σφαίρα είναι: 0 Α) 00% Β) 50% Γ) 40% Δ) 0% 03. Η σχέση που περιγράφει το φαινόμενο Doppler για το φως είναι διαφορετική από αυτήν που ισχύει για τον ήχο. (Σ/Λ) Δύο σώματα αμελητέων διαστάσεων με μάζες και συγκρούονται κεντρικά σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η θέση x κάθε σώματος Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

165 στην ευθεία γραμμή, που τα ενώνει, μετριέται από κοινή αρχή. Η γραφική παράσταση της θέσης του σώματος φαίνεται στο αριστερό προηγούμενο σχήμα και του σώματος στο δεξί προηγούμενο σχήμα. Δίνεται ότι kg και ότι η διάρκεια της επαφής των δύο σωμάτων κατά την κεντρική κρούση είναι αμελητέα. Η κρούση των δύο σωμάτων είναι 04 Α) ελαστική Β) ανελαστική Γ) πλαστική Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. 4/4 05. Σφαίρα Α συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β μεγαλύτερης μάζας. Η ταχύτητα της σφαίρας Α μετά την κρούση 05 Α) θα είναι ίση με την ταχύτητα που είχε πριν την κρούση Β) θα μηδενισθεί Γ) θα έχει αντίθετη κατεύθυνση από την αρχική Δ) θα είναι ίση με την ταχύτητα που θα αποκτήσει η σφαίρα Β 06. Όταν ένας παρατηρητής απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα από μια ακίνητη πηγή ήχου, κινούμενος στην ευθεία που τον συνδέει με την πηγή, ο ήχος που ακούει έχει συχνότητα 06 Α) ίση με αυτήν της πηγής Β) μικρότερη από αυτήν της πηγής Γ) μεγαλύτερη από αυτήν της πηγής Δ) ίση με τη συχνότητα του ήχου που ακούει, όταν πλησιάζει την πηγή με την ίδια ταχύτητα. 07. Σε κάθε κρούση η κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή. (Σ/Λ) 07 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B 3 0, 0, 0, 00, x 0, in00t 4 μεγαλύτερη 5 K p p p p K Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

166 5/4 6 Λάθος 7 Γ 8 Έκκεντρη 9 0,,, 0, 05, 0, kg 0 Σωστή 3, η B υ υ A υ υa υa υa υa f A f A 0 f fs fs, η Γ υ υ υ 0 υ 0 3 Λάθος, μόνο αν η πρόσπτωση είναι κάθετη 4 Σωστή 5 Λάθος 6 Σωστή 7 Λάθος 8, 0, 0, 0, 0, 4, 95 J K K 9 0 Σωστή 4 ανεξάρτητος της αρχικής ταχύτητας αν 0 K K, 00%μεταφορά p p p 0 p p p p, η Γ A B AB A B A B 3 Γ 4 Σωστή 5 Προφανώς 00 J απαιτούνται για την πλήρη ενσφήνωση του βλήματος ανεξαρτήτως κίνησης σώματος ή βλήματος. Έτσι αν το σώμα είναι ελεύθερο να κινηθεί τότε, από αρχή διατήρησης της ορμής ένα μέρος των 00 J θα μεταφερθεί ως κινητική ενέργεια του συσσωματώματος (διαφορετικά παραβιάζεται η αρχή διατήρησης της ορμής), οπότε η υπόλοιπη δεν επαρκεί για την πλήρη ενσφήνωση του βλήματος, αφού απαιτούνται 00 J. Από ΑΔΟ βρίσκουμε ότι το συσσωμάτωμα μετά την κρούση θα έχει Kσυσ K όπου Κ η κινητική ενέργεια του βλήματος πριν την κρούση. Άρα M M Kin Kσυσ Kαπωλ Kin Kαπωλ Kin K απωλ 0 J. Από δω M M προκύπτει ότι για να συμβεί αυτό που αναφέρει στο 3 ο ερώτημα πρέπει ο συντελεστής που περιέχει τις μάζες να ίσος με. Άρα πρέπει M ] 6 V V, η Β Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

167 6/4 7 Σ 8 p p 0 p p K p 4 K K K K 5 K, η Α K p , f A 680 Hz, V, 5, 3 rad, A, y 05, t 0 y in 3t, 3 co 3t, H f A,ax H ax f A, f f H co 3t A,in H ax 30 Σωστή 3 Λάθος υ υ υ υ 3 A 0,A cot f A fs fs, όταν κινείται προς την πηγή με μέγιστη ταχύτητα την οποία υ υ έχει στο κέντρο ταλάντωσης 33, x, in t,( SI ), Γ 35 Δ 36 Σωστή 37 Σωστή 38 0 αν K K, η Β , η Α 5 40 Γ 4 4,, 0 0 Α T, p M 3 p Β p p p p p p p p, η Δ B 45 από ΑΔΟ: 4 6 6, η Γ A B A B Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

168 7/4 46 E N k rad k 00, 36 = = kg, E = ka J, =0, σύγκρουση στη θέση 3 A ω ισορροπίας κινούμενο προς την αρνητική φορά με ταχύτητα, V A 4 ax 47 Γ 48 6,, 0,, 0, 6 49 A 50 5 A 5 Σωστή 53 η Γ 54 η Γ 55 Σωστή 56 η Γ 57 Λάθος 58 ax, 6, 64 %, 58, 5 4 pab pa A A K p p 3 A B A p p 59 K K ΑΔΟ: p p 60 Δ 6 Λάθος Β 65 f f S u f f f u f u S A AB A A A B, η Γ, η Α p p p p p p 0 kg p 00 K 0 J 5 4, 4 k rad 0, T, E K 0 4 ax x J 5 T d 04, 66 Β 67 Γ 68 Λάθος, η Β Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

169 8/4 f f 69 07, f f f 0 f 7 70 Λάθος 7 A A f f f f f A S S A S S A 7, η Α 5, 5 K K 50 J, p p p 50 5 kg 73 Γ f f f f f f f f f f f f f f f f 75 Από ΑΔΟ: 76 Δ 77 Λάθος 78 (Α) A, η Α A f A 05, f f A 340, 7 f 00 t T (C) t T f f f f f f 05, A B f f T f fταλ f f, N, T ταλ f f f f f 0, 5 f 79 Σωστή ταλ , η Β, (Β), ακούει διακρότημα, οπότε, (Δ) 80 Θα χρησιμοποιήσουμε την Αρχή της Επαλληλίας (αρχή ανεξαρτησίας των κινήσεων). H σφαίρα που κινείται πλάγια προσπίπτει σε τοίχο πολύ μεγάλης μάζας επομένως θα ανακλαστεί με την ίδια κατά μέτρο ταχύτητα. Συνεπώς σε όλη την διάρκεια της κίνησης της θα έχει σταθερή ταχύτητα παράλληλη με τα τοιχώματα (σε κάθε κρούση αντιστρέφεται η συνιστώσα της ταχύτητας που είναι κάθετη στους τοίχους, ενώ Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

170 9/4 η παράλληλη συνιστώσα δεν επηρεάζεται) και ίση με διανύουν το ίδιο διάστημα d): 8 Σωστή 8 Δ t t d, σωστή η Α d 83 Ο οδηγός του αυτοκινήτου αντιλαμβάνεται συχνότητα co60. Άρα (και οι δύο σφαίρες f f A. Το αυτοκίνητο λειτουργεί ως δευτερογενής κινούμενη πηγή εκπέμποντας την προηγούμενη συχνότητα. Έτσι ο ακίνητος παρατηρητής του περιπολικού αντιλαμβάνεται συχνότητα A 0 f f f f f, η Α 9 A A 9 0 p p p ή K K K p p p p p p p ύ p p p p p p p p p p p 3, Η ορμή κατά την ενσωμάτωση διατηρείται κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου, co 4 V V 3, K 4 4V J 4 Το συσσωμάτωμα έχοντας ταχύτητα V g in βρίσκεται κατά x 0,05 πάνω από 4 k k rad 4 και τη νέα θέση ισορροπίας. Με 5 V V A x A x 0, 05 Για τα εσπερινά: 3 4 V V 4, 6 K 4V J, από ΘΜΚΕ έχουμε: 0 4V kxax 4gxax k 500 N 85 Γ 86 Σ Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

171 30/ A) 0 gd 0 gd 0 K 8 B) 0 88,8% 3 K 9 Γ) a g (επιβράδυνση και στις δύο κατευθύνσεις), t 0 0,08 0,64 0,7 g g 0 gxax kxax kxax gxax 0 Δ) 4 05xax 0xax 40 0 x ax 7 88 Σ 89 Υποθέτουμε ότι αρχίζει να εκπέμπεται ήχος τη χρονική στιγμή t 0 0 που απέχουν απόσταση d. Η πηγή εκπέμπει f, ο παρατηρητής λαμβάνει ο παρατηρητής λαμβάνει τον ανακλώμενο με f f και επανεκπέμπει ως πηγή ομοίως, οπότε Έστω t 3 ο χρόνος από την αρχή της εκπομπής μέχρι να ανακλαστεί ο ήχος στο και t 4 από την α- νάκλασή του μέχρι να ανιχνευτεί από το. Τότε: t3 t4 t 6,8 Στην η διαδρομή του ήχου ισχύει: Στην η διαδρομή του ήχου ισχύει: t t d d t d 360 t t d t t t d t t d 360t 40t 4 3 f Από τις δύο τελευταίες προκύπτει: 360t t3 t3 t4 και σε συνδυασμό με την πρώτη 8 t 3,6, t 3,, d 96 έχουμε: 3 4 Αλλιώς (με σχετικές ταχύτητες): Ο (ακίνητος) βλέπει τον ήχο να ταξιδεύει με ταχύτητα επί χρόνο t a και διανύοντας την ίδια απόσταση (<d) επιστρέφει με ταχύτητα t a t ta t t... d ta σε χρόνο t. Έτσι: Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

172 3/4 Τα μέγιστα που εκπέμπονται από τον λαμβάνονται επίσης από τον ίδιο με διαφορετική συχνότητα και συνεπώς διαφορετική διάρκεια. Άρα: N N f t f t f t f t t t S S S 8 S t t 0,8 t 0,64 9 t t t 6,8 0,64 7,44 Άρα η καταγραφή σταματά τη χρονική στιγμή: Παρατήρηση: η συχνότητα δεν χρειάζεται;;;;;; Αλλιώς: Την t 0 εκπέμπεται το ο κύμα από το στις θέσεις x 0, x 96, d= 96 το οποίο α- νιχνεύεται από το 96 0t σε χρόνο t t 3,6, τη χρονική στιγμή t 3,6 με θέσεις 340 x 0 3,6 7, x , d και από το 5 0t σε χρόνο t t 3,, την t 3,6 3, 6,8 με θέσεις 340 x 06,8 36, x , d Την t 0,8 εκπέμπεται το τελευταίο κύμα από το με θέσεις x 00,8 6,, x 96 6, 79,8, d= 63,6 το οποίο ανιχνεύεται από το 63,6 0t σε χρόνο t t 3,5, τη χρονική στιγμή t 3,5 0,8 4,3 με 340 θέσεις x 04,3 86,4, x 96 86,4 09,6, d 3, και από το 3, 0t σε χρόνο t t 3,, την t 4,3 3, 7,44 με θέσεις 340 x 07,44 48,8, x 96 48,8 47,, d 47, Χρονική διάρκεια παλμού: t 7,44 6,8 0,64 90 Δ p p p p, K K K p 3 8, A 6 3 p 3 p K Γ k A d, D k, =, A 93 αρχική ταλάντωση:,ax,ax,ax,ax,ax Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

173 3/4 τελική ταλάντωση: Άρα: k =, A A A, η Γ,ax 94 Αμέσως μετά την κρούση:. Η ταχύτητα της ης αντιστρέφεται με την πρόσκρουση με τον τοίχο:. Η απόσταση σταθερή οπότε οι δύο ταχύτητες είναι ίσες: 3 : K 96 Δ, η Γ K K 4 3 ή 75% 4 97 a a a a 98, η Α 4 f f f f, η Β 4 4 k rad 0, x 0, in 0 t k rad 3 5, x 0, in 5 t η θέση της κρούσης μπορούσε να υπολογιστεί από τα υπόλοιπα δεδομένα A x 3 A x σημείο κρούσης x x 0, 3 A x 3 5 D F F F kx kx k x A Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

174 33/4 k rad 40 A x A x 0,,3 p kg t 99 Γ 00 Λ 0 Fax DA ka 0,3 N ax K K 4 A B 4 5V 4 5V V V Α 03 Σ 04 Οι κινήσεις του πρώτου είναι ευθύγραμμες ομαλές (θέση πρωτοβάθμια συνάρτηση του χρόνου). Στη μετά την κρούση πλησιάζει την αρχή, δηλ. η ταχύτητά του έχει αντιστρέψει φορά. Το δεύτερο πριν την κρούση ήταν ακίνητο, ενώ μετά την κρούση κινείται ευθύγραμμα και ομαλά προς τη θετική κατεύθυνση Από σχήμα: : 3 kg p p 4 0 K K K J p p 9 K K K J 6 K K A ή A (η σχετική ταχύτητα των δύο σωμάτων, πριν και μετά την κρούση, αντιστρέφει το πρόσημό της (σχέση 5.5 σελ.57) 05 Γ 06 B 07 Λ, A Κρούσεις, Φαινόμενο Doppler

175 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση. A. Σε μία φθίνουσα ταλάντωση στην οποία το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο α) η περίοδος δεν διατηρείται για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης b β) όταν η σταθερά απόσβεσης b μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα γ) η κίνηση μένει περιοδική για οποιαδήποτε τιμή της σταθεράς απόσβεσης δ) η σταθερά απόσβεσης b εξαρτάται μόνο από το σχήμα και τον όγκο του σώματος που ταλαντώνεται. Μονάδες 5 A. Όταν ένα κύμα αλλάζει μέσο διάδοσης, αλλάζουν α) η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και η συχνότητά του β) το μήκος κύματος και η συχνότητά του γ) το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσής του δ) η συχνότητα και το πλάτος του κύματος. Μονάδες 5 A3. Το δοχείο του σχήματος είναι γεμάτο με υγρό και κλείνεται με έμβολο Ε στο οποίο ασκείται δύναμη F. Σχήμα Όλα τα μανόμετρα,, 3, 4 δείχνουν πάντα α) την ίδια πίεση, όταν το δοχείο είναι εντός του πεδίου βαρύτητας β) την ίδια πίεση, όταν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας γ) διαφορετική πίεση, αν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας δ) την ίδια πίεση, ανεξάρτητα από το αν το δοχείο είναι εντός ή εκτός του πεδίου βαρύτητας. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

176 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ A4. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιμή της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με τον χρόνο παριστάνεται στο διάγραμμα του σχήματος. Σχήμα Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή; α) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αυξάνεται στο χρονικό διάστημα από t έως t. β) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t είναι μικρότερο από το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t 4. γ) Τη χρονική στιγμή t 3 η γωνιακή επιτάχυνση είναι θετική. δ) Το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης τη στιγμή t έχει αντίθετη κατεύθυνση από την κατεύθυνση που έχει η γωνιακή επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t 4. Μονάδες 5 Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ένα σύνθετο κύμα μπορούμε να το θεωρήσουμε ως αποτέλεσμα της επαλληλίας ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων με επιλεγμένα πλάτη και μήκη κύματος. β) Σε κάθε στάσιμο κύμα μεταφέρεται ενέργεια από ένα σημείο του ελαστικού μέσου σε άλλο. γ) Το φαινόμενο Doppler αξιοποιείται από τους γιατρούς για την παρακολούθηση της ροής του αίματος. δ) Η εξίσωση της συνέχειας στα ρευστά είναι άμεση συνέπεια της αρχής διατήρησης ενέργειας. ε) Σκέδαση ονομάζεται κάθε φαινόμενο του μικρόκοσμου στο οποίο τα «συγκρουόμενα» σωματίδια αλληλεπιδρούν με σχετικά μικρές δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

177 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Β. Ένα τρένο κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα ηχ, όπου Uηχ είναι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα. μέτρου U 0 Το τρένο κατευθύνεται προς τούνελ που βρίσκεται σε κατακόρυφο βράχο. Ο ήχος που εκπέμπεται από τη σειρήνα του τρένου ανακλάται στον κατακόρυφο βράχο. Ένας ακίνητος παρατηρητής που βρίσκεται πάνω στις γραμμές και πίσω από το τρένο ακούει δύο ήχους. Έναν ήχο απευθείας από τη σειρήνα του τρένου, με συχνότητα f, και έναν ήχο από την ανάκλαση στον κατακόρυφο βράχο, με συχνότητα f. Ο λόγος των δύο συχνοτήτων f f είναι ίσος με: i. 9 ii. 0 iii. 9. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες Μονάδες 6 Β. Σε χορδή που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα x x, έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα που προέρχεται από τη συμβολή δύο απλών αρμονικών κυμάτων πλάτους Α, μήκους κύματος λ και περιόδου Τ. Το σημείο Ο, που βρίσκεται στη θέση x o = 0, είναι κοιλία και τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του, κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση της απομάκρυνσής του. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης ενός λ, είναι ίσο με: σημείου Μ της χορδής που βρίσκεται στη θέση Χ Μ = 9 8 i. πα Τ ii. πα Τ iii. 4πΑ Τ. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

178 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β3. Στον οριζόντιο σωλήνα, του σχήματος 3, ασυμπίεστο ιδανικό ρευστό έχει στρωτή ροή από το σημείο Α προς το σημείο Β. Σχήμα 3 Η διατομή Α Α του σωλήνα στη θέση Α είναι διπλάσια από τη διατομή Α Β του σωλήνα στη θέση Β. Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου στο σημείο Α έχει τιμή ίση με Λ. Η διαφορά της πίεσης ανάμεσα στα σημεία Α και Β είναι ίση με: i. 3Λ 4 ii. 3Λ iii. Λ. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Σώμα Σ μάζας βρίσκεται στο σημείο Α λείου κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου ( ΑΓ ). Η ακτίνα ΟΑ είναι οριζόντια και ίση με R= 5. Το σώμα αφήνεται να ολισθήσει κατά μήκος του τεταρτοκυκλίου. Φθάνοντας στο σημείο Γ του τεταρτοκυκλίου, το σώμα συνεχίζει την κίνησή του σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής μ=0,5. Αφού διανύσει διάστημα S =3,6, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά στο σημείο Δ με σώμα Σ μάζας =3, το οποίο τη στιγμή της κρούσης κινείται αντίθετα ως προς το Σ, με ταχύτητα μέτρου U =4/, όπως φαίνεται στο σχήμα 4. Σχήμα 4 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

179 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ στο σημείο Γ, όπου η ακτίνα ΟΓ είναι κατακόρυφη. Μονάδες 5 Γ. Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων Σ και Σ αμέσως μετά την κρούση. Μονάδες 8 Γ3. Δίνεται η μάζα του σώματος Σ, =3kg. Να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Σ κατά την κρούση (μονάδες 3) και να προσδιορίσετε την κατεύθυνσή της (μονάδες ). Μονάδες 5 Γ4. Να υπολογίσετε το ποσοστό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ κατά την κρούση. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0/. Θεωρήστε ότι η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Σώμα Σ, μάζας = kg, είναι δεμένο στο κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 00 N/. Το πάνω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο στην κορυφή κεκλιμένου επιπέδου, γωνίας κλίσης φ = 30 Ο. Το τμήμα ΒΓ του κεκλιμένου επιπέδου είναι λείο. Ομογενής κύλινδρος μάζας Μ = kg και ακτίνας R = 0, συνδέεται με το σώμα Σ με τη βοήθεια αβαρούς νήματος που δεν επιμηκύνεται. Ο άξονας του κυλίνδρου είναι οριζόντιος. Το νήμα και ο άξονας του ελατηρίου βρίσκονται στην ίδια ευθεία, που είναι παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο. Το σύστημα των σωμάτων ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα 5. Σχήμα 5 ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

180 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης του νήματος (μονάδες 3) και την επιμήκυνση του ελατηρίου (μονάδες ). Μονάδες 5 Τη χρονική στιγμή t = 0 κόβεται το νήμα. Το σώμα Σ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Δ. Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς για το σώμα Σ σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως θετική φορά την προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο σχήμα 5. Μονάδες 7 Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου, όταν θα έχει διαγράψει Ν π = περιστροφές κατά την κίνηση του στο κεκλιμένο επίπεδο. Μονάδες 7 Δ4. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου, κατά την κίνηση του στο κεκλιμένο επίπεδο, τη χρονική στιγμή t = 3. Μονάδες 6 Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 /. η ροπή αδράνειας ομογενούς κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι CM = MR. ημ30 = ο. ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 0.00 π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

181 ΘΔΜΑ Α Α. β. Α. γ. Α 3. β. Α 4. δ. Α 5. α. Σ β. Λ γ. Σ δ. Λ ε. Λ. ΘΔΜΑ Β Β. ωζηή απάληεζε είλαη ε iii, γηαηί: Η ζπρλόηεηα ηνπ ήρνπ πνπ εθπέκπεη (απεπζείαο) ε ζεηξήλα ηνπ ηξαίλνπ είλαη f, ε ζπρλόηεηα ηνπ ήρνπ πνπ πξνθύπηεη από ηελ αλάθιαζε ζηνλ θαηαθόξπθν βξάρν είλαη f. Ιζρύεη: f = [π ερ / (π ερ + π)] f (δίλεηαη π = π ερ / 0) f = {π ερ / [π ερ + (π ερ / 0)]} f f = (0 / ) f (Ι). Δπίζεο, ηζρύεη: f = [π ερ / (π ερ π)] f (δίλεηαη π = π ερ / 0) f = {π ερ / [π ερ (π ερ / 0)]} f f = (0 / 9) f (ΙΙ). Γηαηξνύκε θαηά κέιε ηηο ζρέζεηο (Ι) θαη (ΙΙ): (Ι) / (ΙΙ) f / f = [(0 / ) f ] / [(0 / 9) f ] f / f = 9 /. Β. ωζηή πξόηαζε είλαη ε i, γηαηί: ηελ ρνξδή έρνπκε ηελ δεκηνπξγία ζηάζηκνπ θύκαηνο. Σν πιάηνο ηνπ ζεκείνπ Μ ηεο ρνξδήο, είλαη: Α Μ = Α ζπλ {( π x Μ ) / ι} Α Μ = Α ζπλ {[ π (9 ι / 8)]} Α Μ = Α ζπλ (9 π / 4) Α Μ = Α ζπλ (π / 4) Α Μ = Α ( / ) Α Μ = Α. Σν κέηξν ηεο κέγηζηεο ηαρύηεηαο ηαιάληωζεο ηνπ ζεκείνπ Μ ηεο ρνξδήο, είλαη: π ax,m = ω Α Μ π ax,m = ( π / Σ) (Α ). Β 3. ωζηή πξόηαζε είλαη ε ii, γηαηί: Από ηελ εμίζωζε ηεο ζπλέρεηαο γηα ηα ζεκεία Α θαη Β: Π Α = Π Β Α Α π Α = Α Β π Β ( Α Β ) π Α = Α Β π Β π Β = π Α (Ι). Από ηελ εμίζωζε ηνπ Bernoulli, γηα ηα ζεκεία Α θαη Β: P Α + ( / ) ξ π Α ² = P Β + ( / ) ξ π Β ² ΓΡ ΑΒ = ( / ) ξ ( π Α )² ( / ) ξ π Α ² P Α P Β = ( / ) ξ π Β ² ( / ) ξ π Α ² ΓΡ ΑΒ = 4 ( / ) ξ π Α ² ( / ) ξ π Α ² ΓΡ ΑΒ = 3 ( / ) ξ π Α ² (δίλεηαη Λ = ( / ) ξ π Α ²) ΓΡ ΑΒ = 3 Λ.

182 ΘΔΜΑ Γ Γ. Καηά ηελ θίλεζε ηνπ ζώκαηνο κάδαο ζην ιείν ηεηαξηνθύθιην ΑΓ, ηζρύεη: Αξρή Γηαηήξεζεο ηεο Μεραληθήο ελέξγεηαο (κνξθή ηεο γεληθόηεξεο αξρήο δηαηήξεζεο ηεο ελέξγεηαο πνπ ηζρύεη όηαλ ζην ζώκα αζθνύληαη δηαηεξεηηθέο δπλάκεηο, ζεωξνύκε επίπεδν κεδεληθήο δπλακηθήο ελέξγεηαο ην νξηδόληην επίπεδν πνπ πεξλάεη από ηελ ζέζε Γ) Δ Α = Δ Β Κ Α + U Α = Κ Γ + U Γ 0 + g R = ( / ) π Γ ² + 0 π Γ = ( g R) π Γ = ( 0 5) π Γ = 0 /. Γ. Τπνινγίδνπκε ηελ ηαρύηεηα π ηνπ ζώκαηνο κάδαο ειάρηζηα πξηλ ηελ θξνύζε ηνπ (κε ην ζώκα κάδαο ) : Θεώξεκα Μεηαβνιήο ηεο Κηλεηηθήο Δλέξγεηαο (κνξθή ηεο γεληθόηεξεο αξρήο δηαηήξεζεο ηεο ελέξγεηαο πνπ ηζρύεη παληνύ, εθαξκόδεηαη κεηαμύ ηωλ ζέζεωλ Γ θαη Γ) ΓΚ = W F Κ Γ Κ Γ = W T ( / ) π ² ( / ) π Γ ² = κ g S π ² π Γ ² = κ g S

183 π = (π Γ ² κ g S ) π = (0² 0,5 0 3,6) π = 8 /. Τπνινγίδνπκε ηηο ηαρύηεηεο ηωλ ζωκάηωλ, κεηά ηελ θξνύζε, π θαη π. Θεωξώληαο ζεηηθή θνξά πξνο ηα δεμηά, έρνπκε: π = [( ) / ( + )] π + [( ) / ( + )] π (όπνπ = 3 ) π = [( 3 ) / (4 )] π + [(6 ) / (4 )] π π = 0 /, θνξά πξνο ηα αξηζηεξά. Δπίζεο: π = [( ) / ( + )] π + [( ) / ( + )] π (όπνπ = 3 ) π = [(3 ) / (4 )] π + [( ) / (4 )] π π = + /, έρεη θνξά πξνο ηα δεμηά. Γ 3. Θεωξώληαο ζεηηθή θνξά πξνο ηα δεμηά, έρνπκε: Η κεηαβνιή ηεο νξκήο ηνπ ζώκαηνο κάδαο : ΓP = P Ρ ΓP = π π ΓP = (π π ) ΓP = 3 3 (- 4) ΓP = + 8 kg /, κε θνξά πξνο ηα δεμηά. Η δηεύζπλζε ηεο θίλεζεο δελ αιιάδεη πξηλ θαη κεηά ηελ θξνύζε, είλαη ε επζεία πνπ νξίδεηαη από ην ηκήκα ΓΓ. Γ 4. Σν πνζνζηό ηεο κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηνπ ζώκαηνο θαηά ηελ θξνύζε: Π % = (ΓΚ / Κ ) 00 % Π % = {[( / ) π ² ( / ) π ²] / ( / ) π ²} 00 % Π % = {(π ² π ²) / π ²} 00 % Π % = {(0² 8²) / 8²} 00 % Π % = 56,5 %. ΘΔΜΑ Γ

184 Γ. Από ηελ ηζνξξνπία ηνπ θπιίλδξνπ έρνπκε: η Α = 0 (γηα άμνλα πνπ πεξλάεη από ην ζεκείν επαθήο Α κε ην θεθιηκέλν επίπεδν) Σ R w M,x R = 0 Σ = w M,x / Σ = Μ g εκθ / Σ = 0 ½ / Σ = 5 Ν. Από ηελ ηζνξξνπία ηνπ ζώκαηνο, έρνπκε: F = 0 F ει w,x T = 0 k Γl = g εκ θ + Σ Γl = ( g εκ θ + Σ) / k Γl = ( 0 ½ + 5) / 00 Γl = 0,. Γ. Γηα ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ειαηεξίνπ: F = 0 k Γl 0 = g εκ θ

185 Γl 0 = g εκ θ / k Γl 0 = 0 ½ / 00 Γl 0 = Σν πιάηνο ηεο απιήο αξκνληθήο ηαιάληωζεο είλαη: Α = Γl Γl 0 A = A = Σελ ρξνληθή ζηηγκή t = 0 ην ζώκα βξίζθεηαη ζηε ζέζε x = A επνκέλωο ε αξρηθή θάζε ηεο ηαιάληωζεο ηνπ είλαη θ 0 = 3 π / rad [γηαηί x = A εκ (ω t + θ 0 ) Α = A εκ θ 0 εκ θ 0 = -] Η γωληαθή ζπρλόηεηα ηεο ηαιάληωζεο, είλαη: ω = (k / ) ω = (00 / ) ω = 0 rad /. H εμίζωζε ηεο απνκάθξπλζεο κε ην ρξόλν: x = A εκ (ω t + θ 0 ) x = εκ [0 t + (3 π / )], (S.I.). H δύλακε επαλαθνξάο: F επ = D x F επ = k εκ [0 t + (3 π / )] F επ = 5 εκ [0 t + (3 π / )], (S.I.). Γ 3. Η γωλία πεξηζηξνθήο κεηά από Ν πεξηζηξνθέο, είλαη: ζ = Ν π ζ = ( / π) π ζ = 4 rad. Ιζρύεη: ζ = ( / ) α γωλ t² θαη ω = α γωλ t ζ = ω² / ( α γωλ ) ω = ( α γωλ ζ). Θα ππνινγίζνπκε ηηο α c θαη α γωλ ηνπ θπιίλδξνπ. Δθαξκόδνπκε ηνλ º λόκν ηνπ Νεύηωλα : F x = M α c w x T ζη = M α c M g εκ θ T ζη = M α c (Ι). Δθαξκόδνπκε ηνλ Θεκειηώδε λόκν ηεο ζηξνθηθήο: η = Ι α γωλ Σ ζη R = Ι α γωλ (α c = α γωλ R) T ζη = ( / ) M α c (II). Πξνζζέηω θαηά κέιε ηηο ζρέζεηο (Ι) θαη (ΙΙ):

186 (Ι) + (ΙΙ) M g εκ θ = (3 / ) M α c α c = ( / 3) g εκ θ α c = (0 / 3) / ². Καη α γωλ = ( M α c ) / (3 R) α γωλ = (00 / 3) rad / ². To κέηξν ηεο ζηξνθνξκήο ηνπ θπιίλδξνπ είλαη: L = I c ω L = ( / ) M R² ( α γωλ ζ) L = 0 - [ (00 / 3) 4] L = 0,4 kg / ². Γ 4. Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο: dk / dt = (dk κ / dt) + (dk ζηξ / dt) dk / dt = F π c + η ω dk / dt = (w x T) π c + T R ω (π c = ω R) dk / dt = w x π c T π c + T π c dk / dt = Μ g (εκ θ) π c dk / dt = 00 J /.

187 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΜΑΪΟΥ 06 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) Θέμα Α Στις ερωτήσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση. A. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα του διεγέρτη είναι μεγαλύτερη της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτ ή. Αν μειώνουμε συνεχώς τη συχνότητα του διεγέρτη, τότε το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης α) θα μένει σταθερό β) θα αυξάνεται συνεχώς γ) θα μειώνεται συνεχώς δ) αρχικά θα αυξάνεται και μετά θα μειώνεται. Μονάδες 5 A. Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού υλικού μπορεί να είναι ίσος με α) 0,5 β), γ),5 δ),5 /. Μονάδες 5 A3. Ένα σώμα Σ εκτελεί σύνθετη αρμονική ταλάντωση ως αποτέλεσμα δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και x έχουν εξισώσεις σύνθετης αρμονικής ταλάντωσης είναι α) x Α ημω t β) x 4Α ημωt π γ) x 3Α ημω t δ) x Α ημωt π. Α ημω t και x 3Α ημωt π. Η εξίσωση της Μονάδες 5 A4. Χορεύτρια περιστρέφεται χωρίς τριβές έχοντας τα χέρια της απλωμένα. Όταν η χορεύτρια κατά τη διάρκεια της περιστροφής συμπτύσσει τα χέρια της, τότε α) η ροπή αδράνειας της ως προς τον άξονα περιστροφής αυξάνεται β) η στροφορμή της ως προς τον άξονα περιστροφής της ελαττώνεται ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

188 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) η συχνότητα περιστροφής αυξάνεται δ) η περίοδος παραμένει σταθερή. Μονάδες 5 Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδι ό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τ η λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Όταν τα αμορτισέρ ενός αυτοκινήτου παλιώνουν και φθείρονται, η τιμή της σταθεράς απόσβεσης ελαττώνεται. β) Όταν ένα ηλεκτρικό φορτίο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, τότε εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. γ) Στη διάχυση του φωτός οι ανακλώμενες ακτίνες είναι παράλληλες. δ) Όταν μια μονοχρωματική ακτινοβολία διαδοθεί από το κενό σε κάποιο οπτικό μέσο, το μήκος κύματος παραμένει το ίδιο. ε) Όταν ένα ποδήλατο κινείται προς το νότο, η στροφορμή των τροχών ως προς τον άξονα περιστροφής είναι ένα διάνυσμα με κατεύθυνση προς την ανατολή. Μονάδες 5 Θέμα Β Β. Στο κύκλωμα του σχήματος ο μεταγωγός μ βρίσκεται αρχικά στη θέση Α και το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα σταθερής έντασης. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο μεταγωγός μεταφέρεται ακαριαία στη θέση Β και το κύκλωμα εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση. Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι: i. π LC ii. π LC iii. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. π LC Μονάδες Μονάδες 4 Β. Ένα απλό αρμονικό κύμα που διαδίδεται σε ελαστικό μέσο έχει εξίσωση της μορφής t x y Αημπ T λ. Για να είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος διπλάσια από τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου, θα πρέπει να ισχύει i. λ π Α ii. λ π Α iii. λ 4 π Α. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

189 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Μονάδες 4 Β3. Μία ακτίνα μονοχρωματικού φωτός διαδίδεται μέσα από τρία διαφορετικά οπτικά μέσα (), (), (3) όπως φαίνεται στο σχήμα. Για τις γωνίες του σχήματος δίνεται ότι θ 3 > θ > θ. Για τους δείκτες διάθλασης n, n, n 3 των μέσων (), (), (3), αντίστοιχα, ισχύει ότι i. n < n 3 ii. n > n 3 iii. n = n 3 α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Μονάδες 4 Β4. Ένα μεταλλικό νόμισμα εκσφενδονίζεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ 0 και αρχική γωνιακή ταχύτητα ω 0. Αν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα τότε, όταν το νόμισμα φτάσει στο ανώτατο ύψος i. θα σταματήσει να περιστρέφεται ii. θα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μικρότερη της αρχικής iii. θα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ίση της αρχικής. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Μονάδες 5 Θέμα Γ Λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους l =, και μάζας M = kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο σε απόσταση l/3 από το άκρο Α της ράβδου. Το άκρο Γ της ράβδου συνδέεται ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

190 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ με αβαρές νήμα που σχηματίζει γωνία φ = 30 ο με τη ράβδο, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα συνδεδεμένο σε σταθερό σημείο Δ όπως στο σχήμα. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί σε οριζόντια θέση. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται. Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στη ράβδο και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από τον άξονα περιστροφής, πριν κοπεί το νήμα. Μονάδες 6 Γ. Να υπολογίσετε α) τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της β) τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη χρονική στιγμή κατά την οποία κόβεται το νήμα. Μονάδες 8 Γ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του άκρου Γ της ράβδου τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ράβδος διέρχεται για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση. Μονάδες 6 Γ4. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου τη χρονική στιγμή που σχηματίζει γωνία 30 ο με την κατακόρυφο, μετά τη διέλευσή της για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται: η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 /, ημ30, ο I Μονάδες 5 M CΜ, συν 30 ο 3 Θέμα Δ Τα σώματα Σ, μάζας = kg, και Σ, μάζας = 3 kg, του σχήματος είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο και εφάπτονται μεταξύ τους. Το σώμα Σ είναι δεμένο στην άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 00 N/. Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά d = 0,4 από τη θέση φυσικού μήκους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

191 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Κάποια χρονική στιγμή το νήμα κόβεται και το σύστημα των σωμάτων Σ και Σ κινείται προς τα δεξιά. Μετά την αποκόλληση το σώμα Σ συνεχίζει να κινείται σε λείο δάπεδο και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το σώμα Σ 3, μάζας 3 = kg. Πάνω στο σώμα Σ 3 έχουμε τοποθετήσει πηγή S ηχητικών κυμάτων, αμελητέας μάζας, η οποία εκπέμπει συνεχώς ήχο συχνότητας f = 706 Hz. Πάνω στο σώμα Σ υπάρχει δέκτης Δ ηχητικών κυμάτων, αμελητέας μάζας. Δ. Να προσδιορίσετε τη θέση στην οποία θα αποκολληθεί το σώμα Σ από το σώμα Σ, τεκμηριώνοντας την απάντησή σας. Μονάδες 6 Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σώματος Σ, καθώς και το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελ εί το σώμα Σ αφού αποκολληθεί από το σώμα Σ. Μονάδες 6 Δ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συσσωματώματος των σωμάτων Σ και Σ 3 μετά την κρούση (μονάδες 3) και το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια κατά την κρούση (μονάδες 4). Μονάδες 7 Δ4. Να υπολογίσετε τη συχνότητα την οποία καταγράφει ο δέκτης Δ κάποια χρονική στιγμή μετά την κρούση κατά την οποία το σώμα Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο προς τα αριστερά. Μονάδες 6 Δίνεται ότι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υ ηχ = 340 / και η ηχητική πηγή δεν καταστρέφεται κατά την κρούση. ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

192 Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Φυσική Προσανατολισμού, Θετικής Κατεύθυνσης (Παλαιό Σύστημα) Ημ/νία: 3 Μαΐου 06 Απαντήσεις Θεμάτων ΘΕΜΑ Α Α. δ Α. γ Α3. δ Α4. γ Α5. α) Σωστό β) Λάθος γ) Λάθος δ) Λάθος ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου μεγιστοποιείται κάθε φορά που μεγιστοποιείται κατ απόλυτη τιμή η ένταση του ρεύματος. Δηλαδή κατά Τ = π LC Β. υ = υ ax λf = ωα Σωστό το (ii) λf = πfa λ = 4πΑ Σωστό το (iii) Β3. Για την πρώτη διάθλαση έχω: n ημθ = n ημθ () Για τη δεύτερη διάθλαση έχω: n ημθ = n 3 ημθ 3 () Από () και () έχω: n ημθ = n 3 ημθ 3 Επειδή ημθ 3 > ημθ θ 3 > θ (θ, θ 3 οξείες) άρα n > n 3 Σωστό το (ii) Β4. Κατά την άνοδό του το σώμα κάνει μόνο επιβραδυνόμενη μεταφορική κίνηση. Η περιστροφική του κίνηση μένει αμετάβλητη καθώς Στ = 0 Σωστό το (iii) Μεθοδικό Φροντιστήριο Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: Δ. Γούναρη 0, Γλυφάδα, Τηλ:

193 ΘΕΜΑ Γ Γ. F y T Τ y A l 3 O w F x Τ x φ Γ Από την ισορροπία της ράβδου παίρνουμε: Στ = 0 Mg ( l l l ) = T ημφ 3 3 Mg l l = T ημφ = T T = 5 N 3 Για τη δύναμη στον άξονα περιστροφής έχουμε: ΣF x = 0 F x = T x F x = 5 3 N ΣF y = 0 F y + T y = Mg F y = 0 5 = 5 N Είναι: F 0 = F x + F y = και εφθ = F y = 5 = 3, άρα θ = 600 F x = 300 = 5 3 N 4 Γ. Ι = Μl + M ( l l 3 ) = Ml + Ml 36 = 4Ml 36 = Ml 9 =, 9 =,44 9 kg Μεθοδικό Φροντιστήριο Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: Δ. Γούναρη 0, Γλυφάδα, Τηλ:

194 Σ τ = Ι αγ Μg l 6 = Ml 9 a γ 90 6, = a γ 30,4 r/ec = a γ Γ3. Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ για την περιστροφή της ράβδου: Μg l 6 = Iω Μg l 6 = Ml 9 ω 0 6 =, 8 ω 80 6, = ω 30, = ω U B = 0 M M 6 5, = ω ω = 5 r/ec Τέλος για το άκρο Γ της ράβδου είναι: υ = ω (l l l ) = ω 3 3 = 3 = 4/ec ( l l 3 ) ημ30 Γ4. Δl Δt = Σ τ Σ τ = Μg ( l l ) ημ 30 3 = 0, 6 = = Ν U B = 0 30 M M 60 Mg ΘΕΜΑ Δ Δ. Το σώμα Σ θα αποκολληθεί από το Σ στη Θέση Φυσικού Μήκους του ελατηρίου. Μέχρι τη θέση αυτή οι δυνάμεις μεταξύ των σωμάτων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Επίσης μέχρι τη Θέση Φυσικού Μήκους που είναι και η Θέση Ισορροπίας για την Απλή Αρμονική Ταλάντωση που εκτελούν ως σύστημα τα σώματα Σ, Σ τα σώματα επιταχύνονται. Ν Ν Θ. Φ. Μ. Θ. Ι. k F Σ Σ F ελ F w w Μεθοδικό Φροντιστήριο Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: Δ. Γούναρη 0, Γλυφάδα, Τηλ:

195 Στη Θέση Φυσικού Μήκους η δύναμη του ελατηρίου που ασκείται μόνο στο σώμα Σ μηδενίζεται και αλλάζει φορά. Οπότε το Σ αρχίζει να επιβραδύνεται ενώ το Σ από εκεί και μετά εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση καθώς: ΣF x = 0. Διαφορετικά, το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον xox υπό την επίδραση της F, όσο τα σώματα είναι σε επαφή. Άρα: ΣF x = D x F = D x, όπου x η απόσταση από τη Θέση Ισορροπίας (που ταυτίζεται με τη Θέση Φυσικού Μήκους). Επομένως στη Θέση Ισορροπίας, αφού x = 0 έχουμε: F = 0. Άρα, η δύναμη επαφής μεταξύ των σωμάτων μηδενίζεται και το Σ αποκολλάται από το Σ. Δ. Στην Θέση Ισορροπίας η μέγιστη ταχύτητα του Σ είναι: υ ax = ω A υ ax = ω d = 5 0,4 = /ec με D = ολ ω η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης και D = k Άρα k = ολ ω ω = Κ ολ = 00 4 = 5 rad/ec Μετά την αποκόλληση αλλάζει η μάζα του ταλαντούμενου συστήματος και D = ω k = ω ω = k = 0 rad ec η νέα κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης του Σ. Στην ΘΦΜ υ ax = υ ax ω A = ω A 5 0,4 = 0 A A = 0, το καινούργιο πλάτος της ταλάντωσης του Σ. Δ3. υ = υ ax S Σ Σ 3 Μεθοδικό Φροντιστήριο Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: Δ. Γούναρη 0, Γλυφάδα, Τηλ:

196 Αρχή διατήρησης της ορμής για την πλαστική κρούση. Ρ αρχ = Ρ + δεξιά τελ υ ax + 0 = ( + 3 ) V σ 3 = 5 V σ V σ = 6 5 /ec και το ποσοστό της κινητικής που μετατράπηκε σε θερμότητα κατά την πλαστική κρούση είναι: π% = Κ αρχ συστ Κ τελ συστ Κ αρχ συστ 00% = υ ax ( + 3 ) V σ 00% υ ax 36 = 00% = ( 36 4 ) 00% = % = 40% Δ4. k δέκτης υ ax S πηγή V συσ Σ + Σ 3 Σ Θ. Ι. Η πηγή κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα V συσ. Ο δέκτης κινείται προς τα αριστερά και εκτελεί ταλάντωση και τη στιγμή που διέρχεται από τη Θ. Ι έχει τη μέγιστη ταχύτητα υ ax = /ec. Από το φαινόμενο Doppler (πηγή απομακρύνεται, παρατηρητής απομακρύνεται) f Δέκτη = υ HX υ ax υ HX + V συσ f f Δέκτη = = 690Hz 5 Επιμέλεια: Μπάμπης Μπέσης, Χαρίλαος Τσαγκαράκης, Στέφανος Μαυρογιώργης, Αντώνης Παρασκευάς, Ιωάννης Τριανταφύλλου Μεθοδικό Φροντιστήριο Βουλιαγμένης & Κύπρου, Αργυρούπολη, Τηλ: Δ. Γούναρη 0, Γλυφάδα, Τηλ:

197 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΜΑΪΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Στις ερωτήσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση. A. Σε μία φθίνουσα ταλάντωση στην οποία το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο α) η περίοδος δεν διατηρείται για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης b β) όταν η σταθερά απόσβεσης b μεγαλώνει, το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα γ) η κίνηση μένει περιοδική για οποιαδήποτε τιμή της σταθεράς απόσβεσης δ) η σταθερά απόσβεσης b εξαρτάται μόνο από το σχήμα και τον όγκο του σώματος που ταλαντώνεται. Μονάδες 5 A. Όταν ένα κύμα αλλάζει μέσο διάδοσης, αλλάζουν α) η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και η συχνότητά του β) το μήκος κύματος και η συχνότητά του γ) το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσής του δ) η συχνότητα και το πλάτος του κύματος. Μονάδες 5 A3. Το δοχείο του σχήματος είναι γεμάτο με υγρό και κλείνεται με έμβολο Ε στο οποίο ασκείται δύναμη F. Σχήμα Όλα τα μανόμετρα,, 3, 4 δείχνουν πάντα α) την ίδια πίεση, όταν το δοχείο είναι εντός του πεδίου βαρύτητας β) την ίδια πίεση, όταν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας γ) διαφορετική πίεση, αν το δοχείο βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας δ) την ίδια πίεση, ανεξάρτητα από το αν το δοχείο είναι εντός ή εκτός του πεδίου βαρύτητας. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

198 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ A4. Ένας δίσκος στρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η τιμή της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με τον χρόνο παριστάνεται στο διάγραμμα του σχήματος. Σχήμα Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή; α) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αυξάνεται στο χρονικό διάστημα από t έως t. β) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t είναι μικρότερο από το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t 4. γ) Τη χρονική στιγμή t 3 η γωνιακή επιτάχυνση είναι θετική. δ) Το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης τη στιγμή t έχει αντίθετη κατεύθυνση από την κατεύθυνση που έχει η γωνιακή επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t 4. Μονάδες 5 Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Ένα σύνθετο κύμα μπορούμε να το θεωρήσουμε ως αποτέλεσμα της επαλληλίας ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων με επιλεγμένα πλάτη και μήκη κύματος. β) Στα εγκάρσια μηχανικά κύματα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. γ) Το σύστημα ανάρτησης του αυτοκινήτου είναι ένα σύστημα αποσβεννύμενων ταλαντώσεων. δ) Η εξίσωση της συνέχειας στα ρευστά είναι άμεση συνέπεια της αρχής διατήρησης ενέργειας. ε) Σκέδαση ονομάζεται κάθε φαινόμενο του μικρόκοσμου στο οποίο τα «συγκρουόμενα» σωματίδια αλληλεπιδρούν με σχετικά μικρές δυνάμεις για πολύ μικρό χρόνο. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

199 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΘΕΜΑ Β Β. Από το θέμα Β, το ερώτημα Β ακυρώνεται. Οι μονάδες του ερωτήματος Β κατανέμονται αντίστοιχα στα ερωτήματα Β και Β3 ως εξής: Bα μονάδες 4 Bβ μονάδες 8 B3α μονάδες 4 B3β μονάδες 9 Β. Δύο σύγχρονες πηγές όμοιων κυμάτων Π και Π δημιουργούν στην επιφάνεια ηρεμούντος υγρού εγκάρσια κύματα ίδιου πλάτους ταλάντωσης Α. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε κάποιο σημείο Ρ της επιφάνειας του υγρού, σε τέτοιες αποστάσεις από τις πηγές, ώστε τα κύματα να συμβάλλουν στο σημείο Ρ με διαφορά φάσης π/3 rad. Το πλάτος ταλάντωσης του φελλού που βρίσκεται στο σημείο Ρ μετά τη συμβολή των κυμάτων είναι ίσο με: i. Α 3 ii. Α iii. Α. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 4 Μονάδες 8 Β3. Στον οριζόντιο σωλήνα, του σχήματος 3, ασυμπίεστο ιδανικό ρευστό έχει στρωτή ροή από το σημείο Α προς το σημείο Β. Σχήμα 3 Η διατομή Α Α του σωλήνα στη θέση Α είναι διπλάσια από τη διατομή Α Β του σωλήνα στη θέση Β. Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου στο σημείο Α έχει τιμή ίση με Λ. Η διαφορά της πίεσης ανάμεσα στα σημεία Α και Β είναι ίση με: i. 3Λ 4 ii. 3Λ iii. Λ. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

200 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Μονάδες 4 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Σώμα Σ μάζας βρίσκεται στο σημείο Α λείου κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου ( ΑΓ ). Η ακτίνα ΟΑ είναι οριζόντια και ίση με R= 5. Το σώμα αφήνεται να ολισθήσει κατά μήκος του τεταρτοκυκλίου. Φθάνοντας στο σημείο Γ του τεταρτοκυκλίου, το σώμα συνεχίζει την κίνησή του σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής μ=0,5. Αφού διανύσει διάστημα S =3,6, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά στο σημείο Δ με σώμα Σ μάζας =3, το οποίο τη στιγμή της κρούσης κινείται αντίθετα ως προς το Σ, με ταχύτητα μέτρου U =4/, όπως φαίνεται στο σχήμα 4. Σχήμα 4 Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ στο σημείο Γ, όπου η ακτίνα ΟΓ είναι κατακόρυφη. Μονάδες 5 Γ. Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων των σωμάτων Σ και Σ αμέσως μετά την κρούση. Μονάδες 8 Γ3. Δίνεται η μάζα του σώματος Σ, =3kg. Να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Σ κατά την κρούση (μονάδες 3) και να προσδιορίσετε την κατεύθυνσή της (μονάδες ). Μονάδες 5 Γ4. Να υπολογίσετε το ποσοστό της μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ κατά την κρούση. Μονάδες 7 Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0/. Θεωρήστε ότι η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

201 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΘΕΜΑ Δ Ομογενής κύλινδρος μάζας Μ=Kg και ακτίνας R=0, αφήνεται να κυλήσει, χωρίς να ολισθαίνει, κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 ο. Ο άξονας του κυλίνδρου παραμένει οριζόντιος κατά την κίνησή του, όπως φαίνεται στο σχήμα 5. Σχήμα 5 Να υπολογίσετε: Δ. Το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Μονάδες 6 Δ. Το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου τη χρονική στιγμή που έχει εκτελέσει Ν= π περιστροφές. Μονάδες 7 Δ3. Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου, τη χρονική στιγμή κατά την οποία η κατακόρυφη μετατόπιση του κέντρου μάζας του είναι h=,. Μονάδες 6 Δ4. Την ελάχιστη τιμή του συντελεστή της οριακής στατικής τριβής, ώστε να κυλίεται στο κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. Μονάδες 6 Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 / η ροπή αδράνειας ομογενούς κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι CM = MR ημ30 =, ο συν 30 =. ο 3 ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

202 ΜΟΝΟ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. β Α. γ Α3. β Α4. δ Α5. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β Β. ΑΚΥΡΩΘΗΚΕ π Δφ Δφ Τ Β. ω = Δt = = 3 = Δt ω π 6 Τ T u T λ t - t = r - r = = π λ A = A συν A = Α 3 (i) λ 6 Α Α =AΒ Β3. Εξίσωση συνέχειας : Π = Π Α Αυ Α = AΒυΒ υ Β = υ Α Bernoulli : P A + ρ υ Α = P Β + ρ υ Β P A - P Β = ρ υ Β - ρ υ Α P A - P Β = 4 ρ υ Α - ρ υ Α = 3 ρ υ Α = 3Λ (ii) ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 - ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ - ΤΗΛ

203 ΘΕΜΑ Γ. ΑΔΜΕ από τη θέση Α στη θέση Γ: Κ Γ Α + U A = Κ Γ + UΓ gr = υ υ = gr υ Γ = 0 / Γ Γ. ΘΜΚΕ από τη θέση Γ στη θέση Δ : Κ Τ - Κ Α = -W T υ - υ Γ = - Τ x υ = 8 / Γ - υ = υ - υ + + υ = υ = υ = υ = - υ + υ υ = - 0 / υ = υ = υ = υ = / ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 - ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ - ΤΗΛ

204 Γ3. Ρ = Ρ Τ - Ρ αρχ Ρ = υ - (- υ ) Ρ = 6 + ΔΡ = 8 Kg / K - Κ υ - υ Γ4. 00% = 00% = 00% Κ 64 υ Κ 00% = 56,5% Κ ΘΕΜΑ Δ Δ. F = M α c Wx - T στ = M α c T στ = Mgημφ - M α c τ = Ι α γων Tστ R = MR α γων T στ = MR αγων Mgημφ - M α c = MR α γων 3 0 α c = gημφ α c = / 3 00 α γων = αc R α γων = rad/ 3 ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 - ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ - ΤΗΛ

205 Δθ Δ. N = = Δθ = 4 rad π π π 00 3 Δθ = αγων t 4 = t t =,44 t =, 00 Kg L = Iω = MR αγωνt L = 0,, L = 0,4 3 h h Δ3. ημφ = = x x x = h x,4 x =,4 x = αc t t = t = t =, α 0 c dk dt 3 0 = M gημφ υ c = M gημφ αc t = 0, 3 dk = 40 J/ dt 0 Δ4. T = M α = = στ c 3 0 Ν 3 0 T 3 0 Ν μ 3 9 στ Tστ μν μ μ μ ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 - ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ - ΤΗΛ

206 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Θέμα Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΜΑΪΟΥ 06 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Στις ερωτήσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση. A. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα του διεγέρτη είναι μεγαλύτερη της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτή. Αν μειώνουμε συνεχώς τη συχνότητα του διεγέρτη, τότε το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης α) θα μένει σταθερό β) θα αυξάνεται συνεχώς γ) θα μειώνεται συνεχώς δ) αρχικά θα αυξάνεται και μετά θα μειώνεται. Μονάδες 5 A. Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού υλικού μπορεί να είναι ίσος με α) 0,5 β), γ),5 δ),5 /. Μονάδες 5 A3. Ένα σώμα Σ εκτελεί σύνθετη αρμονική ταλάντωση ως αποτέλεσμα δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και x έχουν εξισώσεις σύνθετης αρμονικής ταλάντωσης είναι α) x Α ημω t β) x 4Α ημωt π γ) x 3Α ημω t δ) x Α ημωt π. Α ημω t και x 3Α ημωt π. Η εξίσωση της Μονάδες 5 A4. Κατά τη διάδοση ενός κύματος σε ένα μέσο, από το ένα σημείο του μέσου σε κάποιο άλλο μεταφέρεται α) μόνο ενέργεια β) ενέργεια και ύλη γ) ενέργεια και ορμή δ) ορμή και ύλη. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

207 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδι ό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τ η λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Όταν τα αμορτισέρ ενός αυτοκινήτου παλιώνουν και φθείρονται, η τιμή της σταθεράς απόσβεσης ελαττώνεται. β) Όταν ένα ηλεκτρικό φορτίο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά, τότε εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. γ) Στη διάχυση του φωτός οι ανακλώμενες ακτίνες είναι παράλληλες. δ) Όταν μια μονοχρωματική ακτινοβολία διαδοθεί από το κενό σε κάποιο οπτικό μέσο, το μήκος κύματος παραμένει το ίδιο. ε) Όταν ένα ποδήλατο κινείται προς το νότο, η στροφορμή των τροχών ως προς τον άξονα περιστροφής είναι ένα διάνυσμα με κατεύθυνση προς την ανατολή. Μονάδες 5 Θέμα Β Β. Στο κύκλωμα του σχήματος ο μεταγωγός μ βρίσκεται αρχικά στη θέση Α και το πηνίο διαρρέεται από ρεύμα σταθερής έντασης. Τη χρονική στιγμή t = 0 ο μεταγωγός μεταφέρεται ακαριαία στη θέση Β και το κύκλωμα εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση. Το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι: i. π LC ii. π LC iii. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. π LC Μονάδες Μονάδες 4 Β. Ένα απλό αρμονικό κύμα που διαδίδεται σε ελαστικό μέσο έχει εξίσωση της μορφής t x y Αημπ T λ. Για να είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος διπλάσια από τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου, θα πρέπει να ισχύει: i. λ π Α ii. λ π Α iii. λ 4 π Α. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μονάδες β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

208 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Β3. Μία ακτίνα μονοχρωματικού φωτός διαδίδεται μέσα από τρία διαφορετικά οπτικά μέσα (), (), (3) όπως φαίνεται στο σχήμα. Για τις γωνίες του σχήματος δίνεται ότι θ 3 > θ > θ. Για τους δείκτες διάθλασης n, n, n 3 των μέσων (), (), (3), αντίστοιχα, ισχύει ότι i. n < n 3 ii. n > n 3 iii. n = n 3 α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Μονάδες 4 Β4. Ένα μεταλλικό νόμισμα εκσφενδονίζεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ 0 και αρχική γωνιακή ταχύτητα ω 0. Αν η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα τότε, όταν το νόμισμα φτάσει στο ανώτατο ύψος i. θα σταματήσει να περιστρέφεται ii. θα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μικρότερη της αρχικής iii. θα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ίση της αρχικής. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Μονάδες 5 Θέμα Γ Λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους l =, και μάζας M = kg μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο, ο οποίος διέρχεται από το σημείο Ο σε απόσταση l/3 από το άκρο Α της ράβδου. Το άκρο Γ της ράβδου συνδέεται με αβαρές νήμα που σχηματίζει γωνία φ = 30 ο με τη ράβδο, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα συνδεδεμένο σε σταθερό σημείο Δ όπως στο σχήμα. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

209 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Το σύστημα αρχικά ισορροπεί σε οριζόντια θέση. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται. Γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στη ράβδο πριν κοπεί το νήμα. Μονάδες 6 Γ. Να υπολογίσετε α) τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της β) τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου τη χρονική στιγμή κατά την οποία κόβεται το νήμα. Μονάδες 8 Γ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του άκρου Γ της ράβδου τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ράβδος διέρχεται για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση. Μονάδες 6 Γ4. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου τη χρονική στιγμή που διέρχεται για πρώτη φορά από την κατακόρυφη θέση. Δίνονται: η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς το κέντρο μάζας της η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 0 /, Θέμα Δ ημ30, ο I Μονάδες 5 M CΜ, συν 30 ο 3 Τα σώματα Σ, μάζας = kg, και Σ, μάζας = 3 kg, του σχήματος είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο και εφάπτονται μεταξύ τους. Το σώμα Σ είναι δεμένο στην άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 00 N/. Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά d = 0,4 από τη θέση φυσικού μήκους, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

210 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Κάποια χρονική στιγμή το νήμα κόβεται και το σύστημα των σωμάτων Σ και Σ κινείται προς τα δεξιά. Μετά την αποκόλληση το σώμα Σ συνεχίζει να κινείται σε λείο δάπεδο και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με το σώμα Σ 3, μάζας 3 = kg. Δ. Να προσδιορίσετε τη θέση στην οποία θα αποκολληθεί το σώμα Σ από το σώμα Σ, τεκμηριώνοντας την απάντησή σας. Μονάδες 6 Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας του σώματος Σ, καθώς και το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα εκτελεί το σώμα Σ αφού αποκολληθεί από το σώμα Σ. Μονάδες 6 Δ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συσσωματώματος των σωμάτων Σ και Σ 3 μετά την κρούση. Μονάδες 6 Δ4. Να υπολογίσετε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμική ενέργεια κατά την κρούση. Μονάδες 7 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 0.00 π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

211 ΜΟΝΟ ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β) ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. δ Α. γ Α3. δ Α4. γ Α5. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Λάθος, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β. i = Iσυνωt συνωt = ± ωt = 0 ή Τ π LC ωt = π t = t = t = π LC (ii) Β. u = u λ f = ω A λ f = πfa λ = 4πA (iii) ax Β3. nell : n ημθ = n ημθ A 3 nell : n ημθ = n ημθ B 3 3 n ημθ n ημθ = n ημθ = n > n (ii) n3 ημθ Β4. Δεν ασκείται στο σώμα δύναμη που να μεταβάλει τη στροφική κίνηση. Άρα το σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση με το ω σταθερό. Άρα δεv σταματά να περιστρέφεται (iii) ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 - ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ - ΤΗΛ

212 ΘΕΜΑ Γ 0 τ 0 = 0 Mg - - T ημ30 Γ. - = 0 T = 5 N 3 3 Ο Γ M 0 c Ο Γ. α) I = I + M - = M + I = 0,6 kg 3 36 Στ = I α γων Mg β) - = I α γων α 3 γων =,5 rad ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 - ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ - ΤΗΛ

213 Γ3. ΑΔΜΕ : Κ + U = Κ + U I I II II 0 = Iω - Mg 6 ω = 5 rad u Γ = ω 3 u Γ = ω - 3 u = 4 Γ Γ4. ΘΕΜΑ Δ dl dl = τ = M g ημ0 dt dt 6 0 dl dt kg = 0 Δ. Στο σώμα Σ ασκείται η δύναμη επαφής Ν που παίζει το ρόλο της F επ. Άρα πρέπει Ν =. ω. x, όπου N = 0 x = 0 Άρα στη Θ.Ι. ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 - ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ - ΤΗΛ

214 k Δ. u ax = A πριν u ax = / + k uax = A μετά A = 0, μετά Δ3. Από Α.Δ.Ο. προκύπτει u = ( + )u u =, / 3 σ σ Κ πριν - Κμετα Δ4. π% = 00% π% = 40% Κ πριν ΑΙΣΧΥΛΟΥ 6 - ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ - ΤΗΛ

215 Θέμα Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - NEO ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις Α-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση. A. Η σταθερά απόσβεσης b μιας φθίνουσας ταλάντωσης, στην οποία η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη της ταχύ τητας, α) εξαρτάται από την ταχύτητα του σώματος που ταλαντώνεται β) μειώνεται κατά τη διάρκεια της φθίνουσας ταλάντωσης γ) έχει μονάδα μέτρησης στο S.I. το kg δ) εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου μέσα στο οποίο γίνεται η φθίνουσα ταλάντωση. Μονάδες 5 A. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων, ίδιας διεύθυνσης και ίδιου πλάτους, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο και που οι περίοδοι τους Τ και Τ διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους, προκύπτει ταλάντωση μεταβλητού πλάτους με περίοδο Τ που είναι ίση με Τ Τ α) Τ ΤΤ β) Τ Τ Τ γ) δ) Τ Τ Τ Τ ΤΤ Τ Τ. Μονάδες 5 A3. Εγκάρσια μηχανικά ονομάζονται τα κύματα α) στα οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος β) στα οποία σχηματίζονται πυκνώματα και αραιώματα γ) στα οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος δ) που διαδίδονται στα αέρια. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

216 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - NEO ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ A4. Μια αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται, χωρίς τριβές, έχοντας τα χέρια της σε σύμπτυξη. Όταν η αθλήτρια, κατά την περιστροφή της, απλώσει τα χέρια της σε οριζόντια θέση, τότε α) η στροφορμή της μειώνεται β) η στροφορμή της αυξάνεται γ) η συχνότητα περιστροφής της αυξάνεται δ) η συχνότητα περιστροφής της μειώνεται. Μονάδες 5 Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδι ό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τ η λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσοτέρων κυμάτων στην ίδια περιοχή ενός ελαστικού μέσου ονομάζεται συμβολή. β) Η ταχύτητα ροής ενός ασυμπίεστου ιδανικού ρευστού κατά μήκος ενός σωλήνα που δεν έχει σταθερή διατομή, είναι μεγαλύτερη εκεί που πυκνώνουν οι ρευματικές γραμμές. γ) Η ροή ενός ρευστού είναι στρωτή, όταν παρουσιάζει στροβίλους. δ) Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος είναι διανυσματικό μέγεθος. ε) Σε μια κρούση αμελητέας χρονικής διάρκειας η δυναμική ενέργεια των σωμάτων, που εξαρτάται από τη θέση τους στο χώρο, δεν μεταβάλλεται. Μονάδες 5 Θέμα Β Β. Ένα μικρό σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, με εξισώσεις απομάκρυνσης x Αημω t και π x Α ημ(ω t ) και με ενέργειες ταλάντωσης Ε και Ε, αντίστοιχα. Οι ταλαντώσεις γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο και στην ίδια διεύθυνση. Η ενέργεια ταλάντωσης Ε της σύνθετης ταλάντωσης είναι ίση με Ε Ε i. Ε ii. Ε Ε Ε iii. α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε Ε Ε. Μονάδες Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

217 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - NEO ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Β. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται χωρίς απώλειες ενέργειας σε γραμμικό ελαστικό μέσο που ταυτίζεται με τον άξονα x Οx προς τη θετική κατεύθυνση. Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα x Οx και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y Α ημω t. Στο διάγραμμα του σχήματος παριστάνεται η φάση των σημείων του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με την απόστασή τους x από την πηγή, τη χρονική στιγμή t =. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση με: i. υ = 0,8 / ii. υ = 5 / iii. υ =,5 / α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Μονάδες 6 Β3. Δοχείο με κατακόρυφα τοιχώματα περιέχει ένα ασυμπίεστο ιδανικό υγρό. Το ύψος του υγρού στο δοχείο είναι h, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο δοχείο ανοίγουμε μικρή οπή στο πλευρικό του τοίχωμα, σε ύψος y = h / από τη βάση του. Η φλέβα που δημιουργείται, συναντά το έδαφος σε οριζόντια απόσταση x από τη βάση του δοχείου. Η απόσταση x είναι ίση με : i. h ii. h / iii. h α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

218 Θέμα Γ ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - NEO ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Σώμα Σ, μάζας = kg, είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 00 N/. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α = 0,4, σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ έχει απομάκρυνση x A 3, κινούμενο κατά τη θετική φορά, συγκρούεται πλαστικά με σώμα Σ, μάζας = 3 kg. Το σώμα Σ κινείται, λίγο πριν την κρούση, με ταχύτητα υ = 8 / σε διεύθυνση που σχηματίζει γωνία φ (όπου συν φ ) με το 3 οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα 3. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει μετά την κρούση, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Γ. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος Σ λίγο πριν την κρούση (μονάδες 3) και την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση (μονάδες 4). Μονάδες 9 Γ. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. Μονάδες 8 Γ3. Να εκφράσετε την κινητική ενέργεια του συσσωματώματος σε συνάρτηση με την απομάκρυνση. Να σχεδιάσετε (με στυλό) σε βαθμολογημένους άξονες την κινητική ενέργεια του συσσωματώματος σε συνάρτηση με την απομάκρυνση. Μονάδες 8 Να θεωρήσετε ότι: η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. η θετική φορά είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 3. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

219 Θέμα Δ ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - NEO ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Ομογενής δίσκος Σ έχει μάζα Μ = 8 kg και ακτίνα R = 0,. Στο σημείο Β της κατακόρυφης διαμέτρου του δίσκου, που απέχει απόσταση d R από το οριζόντιο επίπεδο, είναι στερεωμένο οριζόντιο αβαρές μη εκτατό νήμα (). Το άλλο άκρο Α του νήματος () είναι ακλόνητα στερεωμένο, όπως φαίνεται στο σχήμα 4. Γύρω από την περιφέρεια του δίσκου Σ είναι τυλιγμένο πολλές φορές άλλο δεύτερο αβαρές μη εκτατό νήμα (), το οποίο διέρχεται από τροχαλία Σ, μάζας Μ = kg και ακτίνας R = 0,. Στο άλλο άκρο του νήματος () είναι συνδεδεμένο σώμα Σ 3, μάζας Μ 3 = kg. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί. Το τμήμα ΓΔ του νήματος () είναι οριζόντιο. 3 Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της τάσης που ασκεί το νήμα () στο δίσκο Σ. Μονάδες 8 Τη χρονική στιγμή t 0 = 0 το νήμα () κόβεται. Το σώμα Σ 3 κατέρχεται με επιτάχυνση. Η τροχαλία Σ αρχίζει να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από τον άξονά της και ο δίσκος Σ αρχίζει να κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. Δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του δίσκου Σ. Μονάδες Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας Σ τη χρονική στιγμή t =. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

220 ΑΡΧΗ 6ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - NEO ΣΥΣΤΗΜΑ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Δίνονται η ροπή αδρανείας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του I MR η ροπή αδρανείας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το κέντρο μάζας του η επιτάχυνση της βαρύτητας I g 0 /. MR Να θεωρήσετε ότι : η τριβή του νήματος () τόσο με το δίσκο Σ, όσο και με την τροχαλία Σ, είναι αρκετά μεγάλη ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. κατά τη διάρκεια όλου του φαινομένου, ο δίσκος παραμένει στο οριζόντιο επίπεδο, χωρίς να συγκρούεται με την τροχαλία. ο άξονας περιστροφής του δίσκου δεν αλλάζει κατεύθυνση, κατά τη διάρκεια της κίνησής του. το σώμα Σ 3 έχει αμελητέες διαστάσεις. η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 8.30 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 6ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙΔΕΣ

221

222

223

224

225

226