ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού προγράµµατος σπουδών.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού προγράµµατος σπουδών. ΙΩΑΝΝΗΣ Ε. ΣΦΑΕΛΟΣ 004

Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α. Εισαγωγή στον πίνακα πυκνότητας. Χρονική εξέλιξη του τελεστή πυκνότητας 3. Ο πίνακας πυκνότητας στην Στατιστική Μηχανική 4. Πίνακας πυκνότητας για ελεύθερο σωμάτιο σε κουτί 5. Πίνακας πυκνότητας για ηλεκτρόνιο σε Μαγνητικό πεδίο 6. Γραμμικός αρμονικός ταλαντωτής 7. Η συνάρτηση του Wgr 8. Aνάπτυγμα διαταραχών του πίνακα πυκνότητας

. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΙΝΑΚΑ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ Όλα τα συστήµατα στην φύση υπακούουν στην Κβαντική Μηχανική. Ένα µετρήσιµο φυσικό µέγεθος ενός συστήµατος, είναι συνδεδεµένο µ έναν ερµιτιανό τελεστή, που ενεργεί στον χώρο Hlbrt. H κατάσταση ενός συστήµατος είναι ένα διάνυσµα Ψ> στον ίδιο χώρο Hlbrt. Αν x> είναι ένα διάνυσµα των τελεστών θέσης όλων των σωµατίων του συστήµατος, τότε η ποσότητα : Ψ(x) <x Ψ> είναι η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος στην κατάσταση Ψ>, η οποία µας δίνει την πλήρη περιγραφή της κατάστασης. Κάθε στιγµή, η κυµατοσυνάρτηση Ψ ενός πραγµατικά αποµονωµένου συστήµατος, µπορεί να γραφεί σαν γραµµική υπέρθεση ενός πλήρους ορθοκανονικού συνόλου από στάσιµες κυµατοσυναρτήσεις {φ } : Ψ = cφ (.) όπου c είναι ένας µιγαδικός αριθµός και είναι συνάρτηση του χρόνου. Ο δείκτης παριστάνει ένα σύνολο από κβαντικούς αριθµούς, που είναι ιδιοτιµές κάποιων επιλεγµένων δυναµικών τελεστών. Το τετράγωνο της απόλυτης τιµής του µιγαδικού c είναι η πιθανότητα ώστε σε µια µέτρηση, να βρούµε το σύστηµα να έχει τους κβαντικούς αριθµούς. Στην Στατιστική Μηχανική έχουµε να κάνουµε πάντα µε συστήµατα, που αλληλεπιδρούν µε το εξωτερικό περιβάλλον. Μπορούµε να θεωρήσουµε το σύστηµα συν το εξωτερικό περιβάλλον σαν ένα πραγµατικά αποµονωµένο σύστηµα. Η κυµατοσυνάρτηση Ψ για το ολικό σύστηµα, θα εξαρτάται τόσο από τις συντεταγµένες του συστήµατος, όσο και από τις συντεταγµένες του εξωτερικού περιβάλλοντος. Θεωρούµε τώρα ένα κβαντοµηχανικό σύστηµα, που περιγράφεται από ένα πλήρες σύνολο διανυσµάτων x>, ενώ το υπόλοιπο σύµπαν περιγράφεται από ένα πλήρες σύνολο διανυσµάτων Χ>. Η πιο γενική κυµατοσυνάρτηση, που µπορούµε να γράψουµε θα έχει την µορφή: Ψ>= C j x > X j > (.) j Nα σηµειώσουµε ότι Cj Cj * αντιστοιχεί στην πιθανότητα να βρίσκεται το σύστηµα στην κατάσταση x> και το υπόλοιπο σύµπαν στην κατάσταση Χ>. 3

Ένα σηµείο που πρέπει να υπενθυµίσουµε είναι, η καθαρή ή η µεικτή κατάσταση στην οποία λέµε ότι βρίσκεται κάποιο σύστηµα. Αν το κβαντικό σύστηµα περιγράφεται από µία µοναδική κυµατοσυνάρτηση, τότε βρίσκεται σε καθαρή κατάσταση. Αυτό συµβαίνει αν έχουµε µετρήσει και γνωρίζουµε όλες τις ιδιοτιµές ενός πλήρους συνόλου συµβιβαστών φυσικών µεγεθών. Αν αυτό δεν έχει συµβεί, τότε το σύστηµα θα βρίσκεται σε µια όχι πλήρως γνωστή κατάσταση, που την ονοµάζουµε µεικτή κατάσταση. Αντί για µια µοναδική κυµατοσυνάρτηση, η δυναµική κατάσταση του συστήµατος αυτού θα πρέπει να περιγράφεται από ένα στατιστικό µείγµα κυµατοσυναρτήσεων. Στην Κβαντική Στατιστική Μηχανική, η περιγραφή της δυναµικής κατάστασης ενός συστήµατος, γίνεται µε την βοήθεια του πίνακα πυκνότητας, που είναι απαραίτητος για την περιγραφή συστηµάτων, που βρίσκονται σε µεικτή κατάσταση και της συνάρτησης διαµερισµού. Η γνώση τους µας επιτρέπει να υπολογίσουµε την µέση τιµή µιας οποιασδήποτε ποσότητας που αφορά το σύστηµα, καθώς και τις πιθανότητες των διαφόρων τιµών αυτών των ποσοτήτων. Έστω Α ένας τελεστής, που περιγράφει µια φυσική ποσότητα ενός συστήµατος. Η µέση τιµή αυτής της ποσότητας ως προς την κατάσταση Ψ> είναι εξ ορισµού : <Α> = <Ψ Α Ψ>, οπότε µε την βοήθεια της σχέσης (.) έχουµε : <Α> = j m j m C C * jcm X j x A xm X = C * j j m * C j m δ j x = C * A x m m j jc mj C m m X j X x A x (.3) Ορίζουµε σαν πίνακα πυκνότητας : ρ = C C = όπου ρ είναι ο τελεστής πυκνότητας πιθανότητας. Από τις σχέσεις (.3), (.4) βρίσκουµε : <Α>= ρ m x A xm = xm ρ x x A xm = m m xm ρ x x A xm = xm ρa xm = Tr[ ρa] (.5) m m m j j mj x A x = m * x ρ x (.4) όπου λάβαµε υπόψιν την ιδιότητα της πληρότητας των ιδιοσυναρτήσεων : x x =, όπου ο µοναδιαίος τελεστής. m 4

Όπως φαίνεται από την (.4) ο τελεστής ρ είναι ερµιτιανός. Κατά συνέπεια, µπορεί να διαγωνοποιηθεί µ ένα µοναδιακό µετασχηµατισµό. Επίσης, µπορεί να βρεθεί ένα πλήρες ορθοκανονικό σύνολο ιδιοσυναρτήσεων > µε πραγµατικές ιδιοτιµές w, δηλαδή : ρ = w (.6) όπου w εκφράζει το στατιστικό βάρος της καθαρής κατάστασης >, δηλαδή την πιθανότητα να βρεθεί το σύστηµα σ αυτή την κατάσταση, οπότε φυσικά : 0 w µε w =. Aν όλες οι τιµές των w εκτός από µία είναι µηδενικές, τότε λέµε ότι το σύστηµα βρίσκεται σε µια καθαρή κατάσταση, αλλιώς βρίσκεται σε µια µεικτή κατάσταση.προφανώς στην καθαρή κατάσταση θα έχουµε w =, οπότε σύµφωνα µε την (.6) έχουµε : ρ = pur><pur. Eπίσης, σύµφωνα µε την (.4) για την καθαρή κατάσταση θα έχουµε : ρj = <x ρ xj> = <x pur><pur xj> = <x pur>(<xj pur>) *. Eίναι εύκολο να δείξουµε ότι για µια καθαρή κατάσταση η ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι : ρ = ρ. Γενικότερα, για µεικτές καταστάσεις έχουµε : * ρj = wk x k x j k k Αναφέρουµε τώρα σύµφωνα µε τις σχέσεις (.4), (.5) και (.6) µερικές ιδιότητες. ) <Α> = Tr[ρΑ] = j ρ A j = w = j A j wδ j A j j <Α> = j w A (.7) Αφού < Α > είναι η αναµενόµενη τιµή του τελεστή Α όταν το σύστηµα βρίσκεται στην ιδιοκατάσταση, η ιδιοτιµή w, µπορεί να ερµηνευθεί ως η πιθανότητα να βρεθεί το σύστηµα στην ιδιοκατάσταση αυτή. ) Έστω Α ο µοναδιαίος τελεστής. Σ αυτή την περίπτωση θα έχουµε : <Α> = <Ψ Α Ψ> = <Ψ Ψ> =. Αλλά : <Α> = Tr[ρΑ] = Trρ = j j j ρ j = w < j >< j>= wδ jδ j = w. Άρα από τις δύο τελευταίες σχέσεις που καταλήξαµε, βρίσκουµε : w = (.8) και Trρ = (.9) j j 5

3) Σύµφωνα µε την σχέση (.4), τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα πυκνότητας είναι : * ρ = C C = ρ C 0, οπότε : ρ = < ρ > = Τrρ =. j j = j j j Άρα: 0 ρ. Αυτό είναι συµβιβαστό µε την προφανή φυσική ερµηνεία των διαγωνίων στοιχείων ρ, που εκφράζουν την πιθανότητα που υπάρχει να βρούµε ένα τυχαίο µέλος του συνόλου µας στην ιδιοκατάσταση >. 4) Χρησιµοποιώντας την διαγώνια αναπαράσταση, συµπεραίνουµε ότι : Tr(ρ ) Τrρ = (.0) Αυτή η σχέση ισχύει σε κάθε αναπαράσταση, αφού το ίχνος ενός πίνακα παραµένει αναλλοίωτο κάτω από ένα µοναδιακό µετασχηµατισµό. Στην ειδική περίπτωση, που το σύστηµα βρίσκεται σε καθαρή κατάσταση θα ισχύει : Tr(ρ ) = Τrρ =. Μπορούµε να πούµε λοιπόν, ότι η εξίσωση : Tr(ρ ) = αποτελεί κριτήριο του αν το σύστηµα βρίσκεται σε καθαρή κατάσταση ή όχι. 6

. ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ Η χρονική εξέλιξη του τελεστή ρ µπορεί να φανεί αµέσως από την εξίσωση Schrodgr : Η (t)> = ħ (t)> ή <(t) Η = -ħ <(t) (.) t t Σύµφωνα µε την (.6), καθώς ο χρόνος αλλάζει, οι δυνατές καταστάσεις του συστήµατος αλλάζουν επίσης, οπότε : ρ(t) = w ( t) >< ( t) (.) ιαφορίζοντας την (.) ως προς τον χρόνο και λαµβάνοντας υπόψιν τις σχέσεις (.) παίρνουµε : ρ = [( w ( t) > ) < ( t) + w ( t) > ( < ( t) )] = t t t [ w H ( t) >< ( t) w ( t) >< ( t) H ] = ħ ρ ( Hρ ρh ) = [ H, ρ] (.3) ħ t ħ Η γενική λύση αυτής της εξίσωσης είναι : + ρ ( t) = U ( t) ρ(0) U ( t) (.4) όπου U(t) είναι ο τελεστής χρονικής εξέλιξης και ρ (0) = w (0) >< (0) (.5) Αν η Hamltoa είναι ανεξάρτητη από τον χρόνο, τότε ισχύει : U ( t) = xp( Ht / ħ) (.6) και U + ( t) = xp( Ht / ħ) (.7) Η σχέση (.3) είναι η εξίσωση κίνησης του πίνακα πυκνότητας και είναι γνωστή και σαν εξίσωση του Louvll. Μοιάζει µε την εξίσωση κίνησης του Ηsbrg, αλλά έχει διαφορετικό πρόσηµο από εκείνη στο δεύτερο µέλος. Από την σχέση (.3) βρίσκουµε εύκολα την εξίσωση κίνησης για την µέση τιµή ενός φυσικού µεγέθους. Έστω Α ένας τελεστής, που δεν εξαρτάται εκπεφρασµένα από τον χρόνο, οπότε : ρ < A>= Tr(ρ Tr( A Tr( A[ H, ρ]) = Tr([ A, H ] ρ) t t Α) = ) = (.8) t ħ ħ όπου έχουµε χρησιµοποιήσει το γεγονός ότι το ίχνος του γινοµένου δύο πινάκων δεν εξαρτάται από την σειρά των παραγόντων. 7

Εξετάζουµε τώρα την περίπτωση, που ένα σύστηµα βρίσκεται σε ισορροπία, οπότε οι µέσες τιµές των φυσικών µεγεθών είναι σταθερές. Άρα : ρ t = 0 (.9) Κατά συνέπειαν, σύµφωνα µε την σχέση (.3) θα έχουµε : [ρ,η] = 0 (.0) και ρ = ρ(η) (.) Οι παραπάνω σχέσεις (.0) και (.) αποτελούν το κβαντοµηχανικό ανάλογο του θεωρήµατος του Louvll της κλασσικής στατιστικής µηχανικής για την σταθερότητα των κατανοµών πιθανοτήτων. Ειδικότερα, αν θεωρήσουµε σαν βάση τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας: > = Ε>, τότε σ αυτή την αναπαράσταση η Hamltoa H και ο τελεστής πυκνότητας ρ έχουν διαγώνια µορφή : Η = Eδ ή = E E >< H E (.) ρm = ρ(e)δm ή = ( E ) E >< ρ f E (.3) Ως γνωστόν, τα διαγώνια στοιχεία ρ παριστάνουν την πιθανότητα να βρούµε ένα τυχαίο µέλος του συνόλου µας στην ιδιοκατάσταση Ε. Η ακριβής µορφή αυτής της συνάρτησης f(ε) εξαρτάται από το είδος του συνόλου, που θα χρησιµοποιήσουµε. 8

3. O ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Όταν φ> είναι µια ιδιοσυνάρτηση και Ε είναι η αντίστοιχη ιδιοτιµή της Hamltoa Η του συστήµατος, η πιθανότητα ώστε το σύστηµα να βρίσκεται στην κατάσταση φ> είναι: Q βe, όπου Q είναι η συνάρτηση διαµερισµού, που δίνεται από την σχέση : β E Q = -βf = Tr -βh και β = / kt, όπου k η σταθερά του = Boltzma και F η ελεύθερη ενέργεια Hlmholtz. Έτσι ο πίνακας πυκνότητας είναι : = w ϕ >< ϕ βe ρ, όπου w = Q (3.) Eπειδή Η φ> = Ε φ>, µπορούµε να γράψουµε την (3.) ως εξής : oπότε τελικά έχουµε : H ρ = ϕ >< ϕ Q β = βh ρ = (3.3) βh Tr βh (3.) Q Η µέση ενέργεια U του συστήµατος, µπορεί να γραφεί ως εξής : βh Tr[ H ] U = TrρH = (3.4) βh Tr[ ] Ας θεωρήσουµε τον πίνακα πυκνότητας σαν µια συνάρτηση του β, τότε στην κανονική συλλογή (συλλογή που αλληλεπιδρά µε το περιβάλλον, ανταλλάσσοντας µόνο ενέργεια), ισχύει η σχέση : βh ρ( β ) = (3.5) βh Tr( ) Για να απλοποιήσουµε την κατάσταση ορίζουµε τον µη κανονικοποιηµένο πίνακα πυκνότητας : ρ β ( ) = (3.6) U βh Αντί του συµβόλου ρ U (β ) θα χρησιµοποιήσουµε παρακάτω το ρ. Στην αναπαράσταση της ενέργειας η σχέση (3.6) γράφεται : E ρ δ β j = (3.7) ιαφορίζοντας την σχέση (3.7) βρίσκουµε : j 9

ρ j βe = δ j E = Eρj (3.8) β Η εξίσωση (3.8) ισοδυναµεί µε την διαφορική εξίσωση : ρ = Hρ (3.9) β που έχει την προφανή αρχική συνθήκη : ρ(0) =. Σαν εφαρµογή του τελευταίου, θεωρούµε το πρόβληµα του µονοδιάστατου ελεύθερου σωµατιδίου. Xρησιµοποιώντας την Hamltoa του ελεύθερου σωµατιδίου στην αναπαράσταση των θέσεων, η (3.9) γίνεται : ρ( x, x ; β ) ħ = β m x ρ( x, x ; β ) (3.0) Η σχέση (3.0) είναι µια διαφορική εξίσωση τύπου διάχυσης και η λύση της είναι : m m ρ( x, x ; β ) = xp ( )( x x πħ β ħ β ) (3.) Ο συντελεστής της (3.) είναι κατάλληλα επιλεγµένος ώστε να ισχύει η αρχική συνθήκη : ρ ( x, x ; β = 0) = δ ( x x ). 0

4. ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ EΛΕΥΘΕΡΟ ΣΩΜΑΤΙΟ ΣΕ ΚΟΥΤΙ Έστω ένα ελεύθερο σωµάτιο µάζας m, σ ένα κυβικό κουτί πλευράς L. H Hamltoa αυτού του σωµατίου είναι : p ħ H = = m m (4.) Οι ιδιοσυναρτήσεις της Hamltoa, που ικανοποιούν τις περιοδικές οριακές συνθήκες : φ(x+l,y,z) = φ(x,y+l,z) = φ(x,y,z+l) = φ(x,y,z) είναι : µε αντίστοιχες ιδιοτιµές : όπου : ϕ E ( r ) = xp( k. r) 3 / (4.) L ħ k E = (4.3) m π k ( k x, k y, k z ) = ( x, y, z ) L (4.4) Οι κβαντικοί αριθµοί x,y,z είναι ακέραιοι. Για το κυµατάνυσµα k ισχύει : π k = (4.5), L όπου ένα διάνυσµα µε ακέραιες συνιστώσες 0, ±, ±,... Προχωράµε τώρα στον υπολογισµό των στοιχείων του πίνακα πυκνότητας ρ του συστήµατος στην κανονική συλλογή, θεωρώντας την αναπαράσταση των θέσεων, σύµφωνα µε την σχέση : < r < r ρ r >= Tr( βh βh r > ) (4.6) Για τον αριθµητή της σχέσης (4.6) έχουµε : β H β E β E ϕ ϕ < r r >= < r E> < E r >= ( r ) ( r ) E E E E (4.7) Αντικαθιστούµε τώρα στην (4.7) τις σχέσεις (4.) και (4.3), οπότε έχουµε : β ħ < r r >= k + k r r β H xp[.( )] 3 L k m (4.8)

Μπορούµε στην σχέση (4.8), να αντικαταστήσουµε κατά προσέγγιση το άθροισµα µε ολοκλήρωµα, καθώς για µεγάλους όγκους οι γειτονικές ιδιοτιµές του κυµατανύσµατος k βρίσκονται πολύ κοντά και έτσι το ενεργειακό φάσµα είναι σχεδόν συνεχές. 3 Λαµβάνοντας υπόψη και την σχέση (4.5) και ότι V = L, παίρνουµε: β H βħ 3 < r r >= xp[ k + k.( r r )] d k 3 ( ) (4.9) π m Χρησιµοποιούµε τώρα το γνωστό ολοκλήρωµα : + 3 d r xp( ar π + β r ) = ( ) a οπότε η σχέση (4.9) γίνεται : < r 3 / β xp( ) 4a m 3 / m r >= ( ) xp[ ( r r ) ] πβħ βħ βh (4.0) (4.) Μένει τώρα να υπολογίσουµε τον παρανοµαστή της σχέσης (4.6) που είναι η συνάρτηση διαµερισµού : Tr( β 3 m H H 3 / ) = < r r > d r = V ( ) πβħ (4.) β Aντικαθιστώντας τις σχέσεις (4.) και (4.) στην (4.6) καταλήγουµε: m < r ρ r >= r r V βħ xp[ ( ) ] (4.3) Με βάση αυτή την σχέση µπορούµε να υπολογίσουµε την µέση τιµή της ενέργειας : ħ m 3 r r= r < H >= U = Tr( ρh ) = { xp[ ( r r ) ]} d r mv βħ m m 3 = {[3 ( r r ) ]xp[ ( r r ) ]} r= r d r βv βħ βħ 3 3 = = β kt (4.4)

5. ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΓΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΟ ΣΕ ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕ ΙΟ Ως γνωστόν, η ενέργεια αλληλεπίδρασης µεταξύ ενός χωρικά οµοιογενούς µαγνητικού πεδίου Β και µιας κατανοµής φορτίου, που χαρακτηρίζεται από µια µαγνητική διπολική ροπή µ είναι : H = µ. Β (5.) Για µικροσκοπικά σωµατίδια όπως τα ηλεκτρόνια, η µαγνητική διπολική ροπή είναι : µ = S (5.) mc όπου S το σπιν του σωµατιδίου. Αν χρησιµοποιήσουµε τους πίνακες του Paul τότε έχουµε : ħ σ S = (5.3) Από τις σχέσεις (5.), (5.), (5.3) βρίσκουµε : H ( B. B µ σ ) όπου η ποσότητα B = (5.4) ħ = mc µ είναι η µαγνητόνη του Bohr. Χωρίς βλάβη της γενικότητας ορίζουµε ως z-διεύθυνση την διεύθυνση του µαγνητικού πεδίου. Οπότε: H = µ σ (5.5), όπου = σ z 0 0. Άρα ο πίνακας πυκνότητας στην κανονική συλλογή θα είναι : β H β Bµ B ( ) 0 ( ρ) = = β H β Bµ B β Bµ B β Bµ B Tr( ) + 0 Για την µέση τιµή του σz έχουµε : β Bµ B β Bµ B < σ z >= Tr( ρσ z ) = = tah( β Bµ B ) β Bµ B β Bµ B + (5.6) (5.7) B B z 3

6. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Θεωρούµε την περίπτωση ενός γραµµικού αρµονικού ταλαντωτή, του οποίου η Hamltoa είναι : ħ H = + mω q m q (6.) Οι ιδιοτιµές αυτής της Hamltoa είναι οι γνωστές : E = ( + ) ħ ω, = 0,,,... (6.) Οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις είναι : mω / 4 H ( ξ ) (/ ) ξ ϕ( q) = ( ) / πħ (!) mω / όπου ξ = ( ) q (6.4) και ħ ξ d ξ H ( ξ ) = ( ) ( ) (6.5) dξ (6.3) όπου Η(ξ) είναι τα πολυώνυµα Hrmt. O πίνακας στοιχείων του τελεστή xp(-βη) στην αναπαράσταση γενικευµένων συντεταγµένων είναι : / β H β E < q q >= ϕ ( q) ϕ ( q ) = = 0 m (/ )( ) ( / ) H ( ) H ( ) ξ ξ ω ξ ξ + + β ħ ω πħ = 0 (!) (6.6) Ο υπολογισµός του αθροίσµατος στην σχέση (6.6) είναι αρκετά επίπονη διαδικασία, οπότε θα την παραλείψουµε. Το αποτέλεσµα στο οποίο καταλήγουµε είναι : β H < q q >= / m ħ xp ( q q ) tah ( q q ) coth mω ω βω βωħ = π sh( β ω) + + ħ ħ 4ħ (6.7) Σύµφωνα µε αυτή την σχέση, βρίσκουµε την συνάρτηση διαµερισµού του γραµµικού αρµονικού ταλαντωτή : / H m m xp ( ) tah β ω ω βωħ < q q>= q π sh( β ω) ħ ħ 4ħ 4

/ ω ω βω m m q ħ = xp tah π sh( β ω) ħ ħ ħ Άρα : + / + β H β H mω mωq βħω Tr( ) = < q q> dq= xp tah dq π sh( β ω) ħ ħ ħ = = sh βħω (/ ) βħω βħω (6.8) Εποµένως για την ίδια χρονική στιγµή, ο πίνακας πυκνότητας του ταλαντωτή µε γενικευµένη συντεταγµένη στην γειτονιά της συγκεκριµένης τιµής q, θα είναι : / ω mωq βωħ m xp tah β H q q π sh( β ω) < > q ρ q ħ ħ ħ < >= = β H Tr( ) sh( βħω) / tah βħω xp mω q tah mω βħω = πħ ħ (6.9) Στο κλασσικό όριο ( βωħ << ), η κατανοµή γίνεται καθαρά θερµική, ελεύθερη από κβαντικές επιδράσεις. Στην περίπτωσή µας θα έχουµε: tah( βħω) βħ ω, οπότε η σχέση (6.9) γίνεται : / mω mω q < q ρ q> xp π kt kt kt mω. / µε διάχυση: ( / ) Για την άλλη ακραία περίπτωση όπου (6.0) βωħ >>, η κατανοµή γίνεται καθαρά κβαντοµηχανική, ελεύθερη από θερµικές επιδράσεις. Στην περίπτωσή µας θα έχουµε: οπότε η σχέση (6.9) γίνεται : / mω mω q < q ρ q> xp πħ ħ ( ħ / mω ). tah( ) βħ ω, (6.) / µε διάχυση: Η µέση ενέργεια του ταλαντωτή θα δίνεται από την σχέση: 5

H < H >= l Tr( β ) = ħω coth( βħ ω) (6.) β Αν λάβουµε υπόψιν την σχέση (6.), η σχέση (6.9), γράφεται : / mω mω q < q ρ q>= xp π < H > < H > (6.3) Με την βοήθεια της τελευταίας σχέσης, µπορούµε να υπολογίσουµε την µέση τιµή της δυναµικής ενέργειας του ταλαντωτή : / + mω mω q < mω q >= xp mω q dq= < H > π < H > (6.4) < H > Εποµένως, η µέση τιµή της κινητικής ενέργειας του ταλαντωτή θα πρέπει να είναι ίση µε < H >, δηλαδή : ħ < >= < H > m q (6.5) 6

7. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΥ WIGNER O πίνακας πυκνότητας µπορεί να γραφεί στην αναπαράσταση των θέσεων και στην αναπαράσταση των ορµών αντίστοιχα ως εξής : β E * ρ( x, x ) ϕ ( x) ϕ ( x ) = (7.) ħ ρ( p, p ) = ϕ ( p) ϕ ( p ) = ρ( x, x ) dxdx (7.) Τα διαγώνια στοιχεία : β E * ( / )( p. x p. x ) ρ( x, x) P( x) (7.3) παριστάνουν την πιθανότητα εύρεσης του σωµατιδίου στην θέση x (παραµελώντας την σταθερά κανονικοποίησης /Trρ). Οµοίως τα διαγώνια στοιχεία: ρ( p, p) P( p) (7.4) είναι ανάλογα µε την πιθανότητα να βρεθεί το σωµατίδιο στην p στον χώρο των ορµών. Η έκφραση (7.4) χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό της µέσης τιµής της κινητικής ενέργειας : (, )( p Tr[( p / m) ρ] ρ p p p / m )( dp / πħ ) (7.5) m Tr[ ρ] ρ( p, p)( dp / πħ) = = Στην κλασσική µηχανική, η συνάρτηση πυκνότητας f(p,x) στον χώρο των φάσεων έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : P( p) = f ( p, x) dx dp P( x) = f ( p, x) πħ (7.6) Η ερώτηση που τίθεται τώρα, είναι αν υπάρχει κάποια συνάρτηση f (p,x) στην κβαντοµηχανική, που να ικανοποιεί τις σχέσεις (7.6). Η απάντηση είναι ότι, υπάρχει και ονοµάζεται συνάρτηση Wgr f w (p,x) : ρ ( p/ ) fw( p, x) = ( x+, x ) d ħ (7.7) Aυτή η συνάρτηση παράγεται θεωρώντας την ρ(x,x ), σαν µια συνάρτηση του (x+x )/ και του (x-x )/. Σ αυτή την περίπτωση γράφουµε το (x+x )/ σαν x και κάνουµε µετασχηµατισµό Fourr ως προς (x-x )/. Για να δούµε, πως η εξίσωση (7.7) ικανοποιεί τις σχέσεις (7.6). 7

dp ( p/ ħ) dp fw( p, x) = ρ( x+, x ) d= πħ πħ = ρ( x+, x ) δ ( ) d= ρ( x, x) = P( x) Παρατηρούµε από το αποτέλεσµα, ότι ικανοποιείται η δεύτερη εξίσωση από τις (7.6). Ακολούθως, µε την βοήθεια των σχέσεων (7.), (7.4) έχουµε : = ρ = ρ = ( / ħ) p( x x ) P( p) ( p, p) ( x, x ) dxdx p/ ħ ρ( y+, y ) dyd= fw( p, y) dy όπου έχουµε κάνει τις εξής αλλαγές µεταβλητών : x= y+ x = y Από τις εξισώσεις (7.6) παρατηρούµε ότι, αν η h(p,x) είναι είτε µια συνάρτηση µόνο του p είτε µια συνάρτηση µόνο του x, τότε : dp h( p, x) = fw( p, x) h( p, x) dx πħ (7.8) Όµως, η σχέση (7.8) δείχνει ότι δεν είναι αληθής για µια γενική συνάρτηση h(p,x). Μολονότι η συνάρτηση του Wgr f w (p,x) ικανοποιεί τις σχέσεις (7.6), δεν µπορεί να θεωρηθεί σαν η πιθανότητα να βρεθεί το σωµατίδιο στην θέση x και µε ορµή p, γιατί η f w (p,x) µπορεί να γίνεται αρνητική για κάποιες τιµές των x και p. 8

8. ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ Όπως έχουµε αναφέρει, ο πίνακας πυκνότητας στην στατιστική µηχανική ικανοποιεί την εξίσωση : ρ = Hρ β (8.) Υπάρχουν πολύ λίγες Hamltoas, για τις οποίες µπορεί να λυθεί η εξίσωση (8.) επακριβώς. Η λύση επιτυγχάνεται επίσης µε την θεωρία διαταραχών. Ας υποθέσουµε ότι το φυσικό σύστηµα που µελετάµε, χαρακτηρίζεται από την Hamltoa : Η = Ηο + Η (8.) όπου Ηο είναι η αδιατάρακτη Hamltoa και Η η διαταραχή, υποθέτοντας ότι η Η είναι πολύ µικρή σε σύγκριση µε την Ηο, δηλαδή ισχύει: Η << Ηο. Για την αδιατάρακτη Hamltoa η (8.) γράφεται : ρ0 = H 0 ρ 0 β (8.3) Ο σκοπός µας είναι να βρούµε µια προσέγγιση του πίνακα πυκνότητας ρ, χρησιµοποιώντας τον ρο. Βέβαια, αναµένουµε ο ρ να o είναι κοντά στον ρ o = β H. Άρα, αναµένουµε το Ho β ρ να µεταβάλλεται πολύ αργά µε το β, οπότε : Hoβ Hoβ Hoβ ρ Hoβ Hoβ Hoβ ( ρ) = Ho ρ+ = Hoρ Hρ = Hρ β β (8.4) Ολοκληρώνουµε την εξίσωση (8.4) από 0 µέχρι το β, H χρησιµοποιώντας την γνωστή σχέση : β o ρ =, για β = 0. Εποµένως: ιαιρούµε την σχέση (8.5) µε β 0 [ Ho β ( )] Ho β β d ( ) H 0 o β ρ β β = ρ β = ρ( β ) β β Hoβ Hoβ ρ( β ) = H ρ( β ) dβ (8.5) β β 0 0 Ho β, οπότε παίρνουµε : Ho ρ( β ) = Hρ( β ) dβ β Ho β Ho β ρ( β ) = ρ ( β ) ρ ( β β ) ρ( β ) β (8.6) o o H d 0 9

Ο τελευταίος όρος της σχέσης (8.6) είναι µικρός εφόσον η διατάραξη Η είναι µικρή, οπότε αποτελεί έναν διορθωτικό όρο στην προσέγγιση της εξίσωσης ρ ρo. Αν ο διορθωτικός όρος είναι µικρός, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε µια προσέγγιση ρ(β ) για να βρούµε µια πιο πολύ ακριβή προσέγγιση του ρ(β). Για παράδειγµα, αν κάνουµε την προσέγγιση ρ( β ) ρ ( β ), τότε έχουµε : β ρ( β ) = ρ ( β ) ρ ( β β ) H ρ ( β ) dβ (8.7) o o o 0 Με την βοήθεια της εξίσωσης (8.7) σαν µια νέα προσέγγιση του ρ(β ), µπορούµε να βρούµε µια ακόµη καλύτερη προσέγγιση του ρ(β). Συνεχίζοντας µε αυτό τον τρόπο παίρνουµε : ρ( β ) = ρ ( β ) dβ [ ρ ( β β ) H ρ ( β )] + β β 0 0 β o o o 0 + dβ dβ [ ρ ( β β ) H ρ ( β β ) H ρ ( β )] o o o β β β (8.8) dβ dβ dβ [...] +... 0 0 0 Μπορούµε εύκολα να ξαναγράψουµε την εξίσωση (8.8) στην αναπαράσταση των θέσεων. Για παράδειγµα : ρ( x, x ; β ) =< x ρ( β ) x > ρ ( x, x ; β ) β 0 ( ) < x ρ ( β β ) x >< x dx H ρ ( β ) x > dβ o όπου έχουµε χρησιµοποιήσει την σχέση : Αν Η = V(x), τότε : + x >< x dx = οπότε η εξίσωση (8.9) γίνεται : < x H ρ ( β ) x >= V ( x ) ρ ( x, x ; β ) o + β o o o 0 o o o o (8.9) ρ( x, x ; β ) = ρ ( x, x ; β ) ρ ( x, x ; β β ) V ( x ) ρ ( x, x ; β ) dβ dx +... (8.0) 0

ANAΦΟΡΕΣ. Statstcal Mchacs (A st of Lcturs) R. P. Fyma. Thrmodyamcs ad Statstcal Mchacs Grr Ns Stockr 3. Fld Quatzato Grr R. 4. Εισαγωγή στην Κβαντική Μηχανική «Κ. Ε. Βαγιονάκης» 5. Statstcal Mchacs R. K. Pathra 6. Physcal Rvw A 67, 007 (003) Igmar Bgssso ad Asa Ercsso 7. Th dsty matrx ad dsty oprator Mark Tuckrma