ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Ορισµός Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο του πεδίου ορισµού της, ότα υπάρχει στο R, το lim ( ( Το όριο αυτό οοµάζεται παράγωγος της στο και συµβολίζεται µε '(. Συεπώς θα έχουµε '( lim ( ( ( Α στη παραπάω ισότητα θέσουµε όπου h, τότε αφού θα είαι h και έτσι θα έχουµε τη γωστή από το βιβλίο της Γεικής Παιδείας ισοδύαµη µορφή '( lim h ( h ( ( h Ο τύπος ( χρησιµοποιείται κυρίως σε ασκήσεις όπου ατί του τύπου της δίεται µία συαρτησιακή σχέση, όπως π.χ η ασκ.β/ του σχολικού βιβλίου. Μπορούµε επίσης α συµβολίσουµε µε (µεταβολή του και µε ( ( οπότε µπορούµε α έχουµε και τη µορφή ( ( '( lim ( d Η παράγωγος επίσης ατί για το '( συµβολίζεται και µε /. d
Προφαώς από τη θεωρία τω ορίω γωρίζουµε ότι Η είαι παραγωγίσιµη σε έα εσωτερικό σηµείο εός διαστήµατος του πεδίου ορισµού της, α υπάρχου στο R και είαι ίσα µεταξύ τους τα πλευρικά όρια lim ( (, lim ( (. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Εά η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο, τότε ο αριθµός '( εκφράζει το συτελεστή διεύθυσης λ της εφαπτοµέης της C στο σηµείο ( ( Α. Εποµέως η εξίσωση εφαπτοµέης της, C στο σηµείο Α ( (, θα δίεται από τη σχέση y '( ( ( Ο αριθµός '( λέγεται και κλίση της C στο σηµείο Α. Με βάση το ορισµό της παραγώγου η στιγµιαία ταχύτητα εός κιητού τη χροική στιγµή t, θα δίεται από τη παράγωγο της συάρτησης θέσης του S (t τη χροική στιγµή t. Θα έχουµε δηλαδή u ( t s'( t
Παράγωγος και συέχεια Θεώρηµα Α µία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη σε έα σηµείο, τότε θα είαι και συεχής στο σηµείο αυτό. Απόδειξη lim Αρκεί α δείξουµε ότι ( ( ( ( το ορισµό της συέχειας. ( lim, σύµφωα µε Έτσι για, θα έχουµε lim ( ( ( ( (, εποµέως ( ( ( ( lim ( '( lim Συεπώς είαι ( ( ( ( lim ( ( lim, δηλαδή η συάρτηση είαι συεχής στο. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το ατίστροφο του προηγούµεου θεωρήµατος ΕΝ ισχύει κατ αάγκη, αφού µπορεί η α είαι συεχής σε κάποιο σηµείο, αλλά α µη είαι παραγωγίσιµη σε αυτό.
4 Χαρακτηριστικό παράδειγµα τέτοιας συάρτησης είαι η (, η οποία είαι συεχής στο, αλλά όχι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, όπως αποδεικύεται <,, ( Η συάρτηση είαι συεχής στο, γιατί ( ( lim lim, δηλαδή έχουµε ( ( lim Η συάρτηση ΕΝ είαι παραγωγίσιµη στο, γιατί ( ( ( ( lim lim lim lim Ισχύει όµως το εξής Α η συάρτηση δε είαι συεχής στο, τότε δε θα είαι και παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό.
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο Λ Α Θ Ο Σ ( (. Α είαι lim,τότε η συάρτηση δε είαι παραγωγίσιµη στο. Α η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο R, τότε θα ισχύει lim h ( h ( ( h ( h lim h h. Α ( e, τότε '( lim h e h e h.4 Α µία συάρτηση είαι συεχής στο, τότε ορίζεται πάτα η εφαπτοµέη της C στο σηµείο Μ ( (,.5 Η εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης της στο σηµείο Μ ( ( έχει άλλο κοιό σηµείο µε τη C.,, δε.6 Για µία συάρτηση ισχύει ( (, ( δέχεται οριζότια εφαπτοµέη. '( e, τότε η C στο σηµείο 5
.7 Η συάρτηση, της οποίας η γραφική παράσταση δίεται στο σχήµα, έχει εφαπτοµέη στο ( (,..8 Η εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης µιας σταθερής συάρτησης σε οποιοδήποτε σηµείο της, συµπίπτει µε τη γραφική παράσταση της συάρτησης..9 Α δύο συαρτήσεις τέµοται, τότε στο κοιό τους σηµείο δέχοται πάτα κοιή εφαπτοµέη. 6
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ. Η γραφική παράσταση της συάρτησης δέχεται οριζότια εφαπτοµέη στο σηµείο Μ ( (,, ότα ισχύει Η είαι συεχής στο Το είαι άκρο του πεδίου ορισµού της συάρτησης είαι '( ( ( είαι lim.. Η συάρτηση στο πεδίο ορισµού της στο (, στο στο (, (, (, [, σε καέα σηµείο του πεδίου ορισµού της. είαι παραγωγίσιµη. Η γραφική παράσταση [,π] C της συάρτησης ( και της ευθείας (ε µε συτελεστή διεύθυσης φαίεται στο διπλαό σχήµα. Το σηµείο ( ( εφαπτοµέη της ηµ, λ, Α, στο οποίο η C είαι παράλληλη στη ευθεία (ε έχει τετµηµέη 6 π 4 π π π π. 4 7
. Α η ευθεία µε εξίσωση y είαι εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης στο σηµείο της (, ( α Η τιµή ( είαι ίση µε β Η κλίση της στο είαι ίση µε Α τότε 7 6 - -4 5. ( (.4 Α είαι, τότε lim '( Η είαι συεχής στο '( ε ισχύει καέα από τα παραπάω..5 Ποια από τις επόµεες γραφικές παραστάσεις ατιστοιχεί σε συάρτηση παραγωγίσιµη στο ; 8
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ.6 Υπολογίστε, εφόσο υπάρχου, τις παραγώγους τω συαρτήσεω α, στο. β (, στο. (.7 Να εξετάσετε α είαι παραγωγίσιµη στο η συάρτηση µε ( ηµ..8 Ν αποδείξετε ότι είαι παραγωγίσιµη στο σηµείο η συάρτηση συ, (,..9 Α η συάρτηση είαι συεχής στο, α αποδείξετε ότι η συάρτηση g( ηµ (, είαι παραγωγίσιµη στο.. Θεωρούµε τη συάρτηση µε, (., < Ν αποδείξετε ότι η δε είαι παραγωγίσιµη στο σηµείο, εώ είαι συεχής στο σηµείο αυτό.. Η συάρτηση είαι ορισµέη στο R και για κάθε R ισχύει η σχέση ( ηµ (. Αποδείξτε ότι η είαι παραγωγίσιµη στο σηµείο. 9
. Α για µία συάρτηση ισχύει ότι ( h 4 5h h, για κάθε h R, α αποδείξετε ότι α ( 4 β '( 4.. ίεται η συάρτηση : R R µε ( 4 g(. Α στο 4 η g είαι συεχής και η παραγωγίσιµη, δείξτε ότι η εξίσωση g ( έχει ρίζα το αριθµό 4..4 Έστω η συάρτηση µε α 4 ( ηµ β,,. Να βρείτε τους > α, β R, ώστε η α είαι παραγωγίσιµη στο..5 Οµοίως α βρεθού οι α, β, γ R ώστε η µε α β, (, γ, < >, α είαι παραγωγίσιµη στο..6 Α η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο R, τότε αποδειχθεί ότι lim ( (.7 Να βρείτε τη εξίσωση εφαπτοµέης της ορίζεται, ότα α, ( β (,. '(. ( C στο σηµείο Α ( (,, εφόσο.8 Οµοίως α εξετάσετε α υπάρχει εφαπτοµέη για τη α ( ηµ στο. β g( 5 στο 5.
.9 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συάρτησης ( συ, στο σηµείο π Μ, π έχει εφαπτοµέη που σχηµατίζει µε τους άξοες τρίγωο εµβαδού τ. µ.. 8. Έστω συάρτηση τέτοια ώστε για κάθε R α ισχύει α ( β ( ( ( (. γ Η είαι παραγωγίσιµη στο. (. είξτε ότι δ Η C έχει εφαπτοµέη στο, της οποίας α βρεθεί η εξίσωση.. Α η συάρτηση είαι άρτια και στο έχει κλίση ίση µε κλίση της συάρτησης στο., α βρείτε τη. Α είαι ( y ( ( y, για κάθε, y R και υπάρχει συάρτηση g µε ( g( για κάθε και g(, α αποδείξετε ότι η είαι παραγωγίσιµη σε κάθε lim R και ότι '( (.
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Παραγωγίσιµες συαρτήσεις-παράγωγος συάρτηση Ορισµοί Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο (α,β, εά είαι παραγωγίσιµη σε κάθε ( β α,. Μία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο [α,β], εά είαι παραγωγίσιµη σε κάθε ( β α, και επιπλέο ισχύου lim α ( ( α R, α lim β ( β ( β R Παράγωγος Συάρτηση Έστω συάρτηση ορισµέη σε έα σύολο Α και έστω Α έα υποσύολο του Α για κάθε του οποίου η είαι παραγωγίσιµη. Ορίζεται τότε µία έα συάρτηση που συµβολίζεται µε Έχουµε συεπώς ' και καλείται πρώτη παράγωγος της. ': Α' '( R Με αάλογο τρόπο µπορούµε α ορίσουµε και τη παράγωγο της ' που λέγεται δεύτερη παράγωγος της και συµβολίζεται µε ''. Επαγωγικά µπορεί α οριστεί και η -οστή παράγωγος της, η οποία θα συµβολίζεται µε (, δηλαδή ( ( [ ] ' ( (
Παράγωγοι µερικώ βασικώ συαρτήσεω Η σταθερή συάρτηση (, c c R είαι παραγωγίσιµη µε ( ' c ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για, υπολογίζω το ( ( c c, συεπώς ( ( lim lim Η ταυτοτική συάρτηση (, είαι παραγωγίσιµη στο R µε ( ' ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για, υπολογίζω το ( (, συεπώς ( ( lim lim Η συάρτηση {} * (, N είαι παραγωγίσιµη στο R, µε ( ' ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για, υπολογίζω το ( ( ( ( Εποµέως θα έχουµε ( lim lim ( (
4 Η συάρτηση ΑΠΟ ΕΙΞΗ ( είαι παραγωγίσιµη στο (, ( ' και ισχύει Πράγµατι, α είαι έα σηµείο του(,, τότε για ισχύει ( ( Εποµέως θα έχουµε ( ( ( ( ( ( lim ( ( lim Παρατήρηση Στο, η ( ΕΝ είαι παραγωγίσιµη αφού lim ( ( lim lim. 5 Η συάρτηση ( ηµ είαι παραγωγίσιµη στο R µε ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για R και h ισχύει ( h h Εποµέως θα έχουµε lim h lim h ( ηµ ( h h ηµ συh ηµ h ( h ( ηµ συ ( συh h ( h lim h lim h '. ηµ ηµ συh συ ηµ hηµ h ηµ h συ h συh ηµ h ηµ συ h h ηµ h συ ηµ συ συ h 4
6 Η συάρτηση ( συ, είαι παραγωγίσιµη στο R, µε ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για R και h ισχύει ( h h Εποµέως θα έχουµε ( συ συ ( h h ( h ( συh h h ' ( συ ηµ συ συ συhηµ ηµ hσυ h ηµ h ηµ h ( συ ( συh lim h h συ ηµ ηµ lim h h lim ηµ h ηµ h 7 Η συάρτηση ( e είαι παραγωγίσιµη στο R µε ( e ' e 8 Η συάρτηση ln ( είαι παραγωγίσιµη στο (, ln ( ' µε 5
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο- Λ Α Θ Ο Σ. Στη συάρτηση 4 ( υπάρχου σηµεία της C στα οποία οι εφαπτόµεες είαι παράλληλες.4 Α η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο, τότε θα είαι [ ] ' '( (. dc.5 Ισχύει, όπου c σταθερά και R. d π.6 Α ( ηµ, τότε '..7 Η συάρτηση ( log, > είαι παραγωγίσιµη στο (, '(. ln µε.8 Η ευθεία (ε στο σχήµα είαι εφαπτοµέη της C. Ισχύει ( 6
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ.9 Να υπολογίσετε, εά ορίζεται, τη παράγωγο τω ακόλουθω συαρτήσεω α, < ( β, ηµ, γ (, > συ, π ( ηµ, > π δ (..4 ίεται η συάρτηση α Να βρείτε τη παράγωγο της., < (., β Να εξετάσετε τη ' ως προς τη συέχεια..4 ίεται η συάρτηση µε ( και η ευθεία ε:. y Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης της.4 Έστω η συάρτηση C η οποία είαι κάθετη στη ε. ( και Α ( 4α, α, όπου α>, έα σηµείο της γραφικής παράστασης της συάρτησης. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α ( 4α, α και Β( α, α Α. 8 εφάπτεται της γραφικής παράστασης στο σηµείο.4 Θεωρούµε τη συάρτηση µε 4 (. (,- α Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης της C η οποία διέρχεται από το σηµείο β Να βρείτε τη εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης η οποία έχει κλίση ίση µε -4..44 ίεται η συάρτηση µε ( καθώς και η ευθεία ε: y. 7
α Να βρεθεί, α υπάρχει, σηµείο της C στο οποίο η εφαπτοµέη διέρχεται απ τη αρχή τω αξόω β Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτοµέης της C η οποία είαι κάθετη στη (ε γ είξτε ότι υπάρχου δύο εφαπτόµεες της C παράλληλες σε κάθε ευθεία κάθετη στη (ε..45 ίοται οι συαρτήσεις ( ln και g ( e. α Να βρεθεί η παράγωγος της g β Να προσδιοριστού οι εφαπτόµεες της γραφικής παράστασης C της g,στα κοιά της σηµεία µε τη ευθεία y. γ Να βρεθού οι κάθετες στις εφαπτόµεες του β στα κοιά της C µε τη y..46 ίεται η παραγωγίσιµη συάρτηση : 4 '(, R. α Υπολογίστε τη ''( β Να λύσετε τη εξίσωση '( ''( γ Α Α( '(, εξίσωση εφαπτοµέης ε της R R για τη οποία ισχύει, είαι το κοιό σηµείο τω C ', C '', α βρείτε τη C ' στο σηµείο Α δ Να βρείτε τις τετµηµέες τω κοιώ σηµείω της ε µε τη C ''..47 Αποδείξτε ότι δε υπάρχει εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης, ( στο σηµείο Μ(,., >.48 Αποδείξτε ότι ο άξοας ' είαι εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης h µε h( ηµ. 8
9 ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ Καόες Παραγώγισης Θεώρηµα (Παράγωγος αθροίσµατος Α οι συαρτήσεις g, είαι παραγωγίσιµες στο, τότε και η συάρτηση g είαι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ( '( '( ( ' g g ΑΠΟ ΕΙΞΗ Για, θα έχουµε ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( g g g g g g Εποµέως θα έχουµε ( ( '( '( ( ( ( ( ( ( lim lim lim g g g g g Γεικεύοτας α g, παραγωγίσιµες για, τότε θα ισχύει ( '( '( ( ' g g Ο παραπάω καόας επεκτείεται και για περισσότερες από παραγωγίσιµες συαρτήσεις, και έτσι µπορούµε α έχουµε ( ( ( ( ( ' ' ' ' κ κ Θεώρηµα (Παράγωγος γιοµέου Α οι συαρτήσεις g, είαι παραγωγίσιµες στο, τότε και η συάρτηση g είαι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ( '( ( ( '( ( ' g g g
Ο καόας επεκτείεται και για περισσότερες από παραγωγίσιµες συαρτήσεις. Έτσι για παραγωγίσιµες συαρτήσεις h g,,, θα έχουµε [ ]( ( ( [ ] '( ( ( ( '( ( ( ( '( '( ( ( ( '( ( ( '( '( ( ( ( ' h g h g h g h g h g g h g h g h g Πόρισµα Α c R και παραγωγίσιµη συάρτηση σε έα διάστηµα, τότε και η c είαι επίσης παραγωγίσιµη στο και ισχύει ( '( ( ' c c Θεώρηµα (Παράγωγος πηλίκου Α οι συαρτήσεις g, είαι παραγωγίσιµες στο, τότε και η συάρτηση g είαι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ( [ ] ' ( '( ( ( '( g g g g Εποµέως, α η είαι παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα, µε (,, τότε και η είαι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ( ( '( ' Παράγωγοι µερικώ βασικώ συαρτήσεω Η συάρτηση (, N είαι παραγωγίσιµη στο * R µε ( ( ' ' '(
Συεπώς για το οποιοδήποτε κ Z η κ ( είαι παραγωγίσιµη στο * R µε κ ' κ ( κ π Η συάρτηση ( εφ, R κ π είαι παραγωγίσιµη µε ( ' εφ συ ηµ Πράγµατι, α θέσουµε εφ και εφαρµόσουµε το καόα παραγώγισης του συ πηλίκου, θα έχουµε ( ' ' ( ηµ συηµ ( συ ' ' ηµ συ ηµ εφ συ συ συ συ Η συάρτηση ( σφ, { κ π} R είαι παραγωγίσιµη µε ( σφ ' ηµ Προκύπτει µε παρόµοιο τρόπο µε τη προηγούµεη, α θέσουµε όπου και εφαρµόσουµε το καόα παραγώγισης του πηλίκου. συ σφ ηµ
Παράγωγος σύθετης συάρτησης Θεώρηµα Α η συάρτηση g είαι παραγωγίσιµη στο και η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο g (, τότε και η συάρτηση g είαι παραγωγίσιµη στο και ισχύει ' ( g '( g( g'( ( ηλαδή προηγείται η παράγωγος της θεωρώτας ως αεξάρτητη µεταβλητή το g ( και πολλαπλασιάζουµε επί τη παράγωγο της g στο. Παραδείγµατα ' ( 8 ( ( 48 ( 8 7 ' 7 ' ' ( ηµ 4 ( ηµ 4 ηµ 4 ' ' ( e e ( ( e συ ηµ 4 συ ηµ 4 Καόας της αλυσίδας Γεικά α g παραγωγίσιµη στο και παραγωγίσιµη στο g (, τότε η g είαι παραγωγίσιµη στο, µε ' ( g ( '( g( g'(,. Α θέσουµε τώρα όπου u g(, τότε y ( u ( g( και έχουµε dy d dy du du d dy Προσοχή! Το ΕΝ είαι πηλίκο, αλλά σύµβολο. d
εξής Παράγωγοι µερικώ ακόµη βασικώ συαρτήσεω Με εφαρµογή του καόα παραγώγισης σύθετης συάρτησης, αποδεικύοται και τα Η συάρτηση α (, α R Z είαι παραγωγίσιµη στο (, µε ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ισχύει ως γωστό ότι α e a ln α ' α ( α, εποµέως θα έχουµε α ' α ln ' α ln ' α α α ( ( e e ( α ln α Η συάρτηση ( α, µε <α είαι παραγωγίσιµη στο R µε ΑΠΟ ΕΙΞΗ α Ισχύει ως γωστό α e, οπότε ln ( α ' α lnα ' lnα ' lnα ' ( α ( e e ( lnα α lnα. Η συάρτηση ( ln,µε * R είαι παραγωγίσιµη στο * R µε ΑΠΟ ΕΙΞΗ Α > Α < ' ', τότε ( ln ( ln ', τότε ( ln ln( ' ( ln ' ' ( (
Παρατηρήσεις για ασκήσεις που αφορού εφαπτοµέη καµπύλης Ότα ζητείται η εξίσωση εφαπτοµέης της C που διέρχεται από το σηµείο Α (, y θα εξετάζουµε α Α το σηµείο Α είαι το σηµείο επαφής, δηλαδή αήκει στη C, τότε θα έχουµε τη γωστή µας εξίσωση y ( '( (. β Α το Α δε είαι το σηµείο επαφής, τότε υποθέτουµε έα σηµείο Μ ως το σηµείο επαφής, γράφουµε τη εξίσωση εφαπτοµέης για το σηµείο αυτό και απαιτούµε οι συτεταγµέες του Α α επαληθεύου τη εξίσωση. Χαρακτηριστικό παράδειγµα βλέπουµε στη άσκηση /9. Κοιή εφαπτοµέη δύο καµπυλώ ιακρίουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις: α Α έχουµε ευθεία που είαι κοιή εφαπτοµέη δύο καµπυλώ C, C g σε κοιό του σηµείο τότε θα ισχύου οι σχέσεις g( και ( g'( ( ' Χαρακτηριστικό παράδειγµα βλέπουµε στη άσκηση /4. β Έστω ευθεία (ε που εφάπτεται δύο καµπυλώ C, C g σε διαφορετικά σηµεία Α ( (, ( (, Για τη Για τη Β αυτώ., C η εξίσωση εφαπτοµέης στο Α θα είαι ( y '( '( ( y ( '( C g η εξίσωση εφαπτοµέης στο Β θα είαι ( y g'( g'( g( y g( g'( Για α ταυτίζοται οι παραπάω θα πρέπει ( g'( και '( g( g'( ' ( 4
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο- Λ Α Θ Ο Σ.49 Η συάρτηση ( α, < α είαι παραγωγίσιµη στο R µε '( α.5 Α η συάρτηση είαι πολυωυµική -βαθµού, τότε η ' θα είαι επίσης πολυωυµική - βαθµού..5 Α η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο R, τότε ισχύει ( ( ( ' ( '(.5 Α '(, τότε θα είαι πάτα (.5 Η συάρτηση ( α, α R είαι παραγωγίσιµη στο (,.54 Για µία άρτια συάρτηση που είαι παραγωγίσιµη στο R, ισχύει ότι η ' θα είαι περιττή. 5
.55 Οι εφαπτοµέες τω γραφικώ παραστάσεω τω συαρτήσεω (, g(, h( στα σηµεία τοµής τους µε τη ευθεία, είαι παράλληλες..56 Α συ (, τότε ( '..57 Α (, τότε ( '( 4 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ.58 Η εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης ( ln, στο Α, είαι κάθετη στη ευθεία µε εξίσωση y. Το θα σηµείο ( ( είαι ίσο µε 5 5 4.59 Οι συαρτήσεις, g είαι παραγωγίσιµες στο R και ισχύει ( g'(, για κάποιο R. Τότε g( ( '( g''( ' '( g'( για κάθε R οι εφαπτόµεες τω είαι παράλληλες. C, C στα σηµεία ( ( g και ( g(,, ' ατίστοιχα, 6
.6 Η εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης της συάρτησης ( ηµ στο σηµείο της π Α, έχει εξίσωση y π y π y καµία από αυτές..6 Α για τις συαρτήσεις, g ισχύου ( και g '( '(, τότε η ' ( ( g είαι ίση µε 9 8 6 5.6 Η κλίση της εφαπτοµέης της γραφικής παράστασης της συάρτησης π ( ηµ στο σηµείο Α(, είαι π π -π π.6 ίεται η συάρτηση ( 5 6 9. Η πέµπτη παράγωγος της συάρτησης είαι ίση µε 5 7
.6 Α ( e, τότε η ( ( θα ισούται µε e e ( e e e.64 Έα σφαιρικό µπαλόι φουσκώει µε σταθερή παροχή αέρα. Τότε η ακτία του R συαρτήσει του χρόου µπορεί α δίεται από τη γραφική παράσταση 8
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ.65 Να υπολογίσετε τη παράγωγο τω επόµεω συαρτήσεω α γ ( συ e ηµ β ( ln ηµ ( δ ( ln συ ε ( ηµ 4 συ στ e (. ln.66 Οµοίως α υπολογιστεί η παράγωγος τω συαρτήσεω α ( ( συ β (. ηµ 5 γ ( συ εφ δ ( εφ( ln ε ηµ ( συ συ( ηµ ( στ ( ln(..66 Α είαι y e, α δειχθεί ότι ισχύει η σχέση y'' y' y..67 Να υπολογίσετε τη παράγωγο τω ακόλουθω συαρτήσεω α ( ( β ( γ (..68 Έστω η συάρτηση µε συ, (,. Να δειχθεί ότι η είαι παραγωγίσιµη στο R. ηµ συ αποδειχθεί ότι συ ηµ.69 Α (, (, π π π π '. 9
.7 Έστω η συάρτηση µε (. Να εξετάσετε α υπάρχει σηµείο του διαγράµµατος της τέτοιο ώστε η εφαπτοµέη στο σηµείο αυτό α Να είαι παράλληλη προς τη ευθεία y. β Να είαι παράλληλη προς το άξοα '. π γ Να σχηµατίζει γωία µε το άξοα '. δ Να διέρχεται από το σηµείο Α(,..7 είξτε ότι υπάρχει εφαπτοµέη του διαγράµµατος της ( 6 4, στη οποία είαι κάθετη η ευθεία ε: y. Ποιο είαι το σηµείο επαφής και ποια η εξίσωση της εφαπτοµέης;.7 Έστω C η γραφική παράσταση της συάρτησης ( α β 9. Να προσδιορίσετε τους α,β R ώστε το σηµείο Α(,- αήκει στη C και η εφαπτοµέη της Cστο σηµείο Α α έχει συτελεστή διεύθυσης το αριθµό -..7 Να υπολογίσετε τους α,β R ώστε α εφάπτεται η γραφική παράσταση της συάρτησης ( α β στη ευθεία y 7στο σηµείο Α(,5. συα.74 ίεται η συάρτηση (. Υπολογίστε το α R ώστε η εφαπτοµέη στη γραφική παράσταση της στο σηµείο της Α(, α έχει κλίση. e α.75 Βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης της γραφικής παράστασης της συάρτησης ( 6, που περά από το σηµείο Α(,.
.76 ίοται οι συαρτήσεις µε ( και g µε αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω g (. Ν, g έχου έα µόο κοιό σηµείο στο οποίο οι εφαπτόµεες τω γραφικώ παραστάσεω είαι κάθετες..77 Η γραφική παράσταση της συάρτησης σηµείο Α(,5 και η κλίση της εφαπτοµέης της α,β R. α ( β διέρχεται από το C στο Α είαι 4. Προσδιορίστε τους.78 Να βρείτε τη εξίσωση του κύκλου του παρακάτω σχήµατος..79 Να εξετάσετε α υπάρχει κοιή εφαπτοµέη τω γραφικώ παραστάσεω τω συαρτήσεω ( και g (..8 ίεται η συάρτηση ( α β γ δ, α. Να βρείτε τη συθήκη για τα α,β,γ R, ώστε η εφαπτοµέη. C α µη έχει σε καέα σηµείο της οριζότια.8 είξτε ότι η ευθεία y α β, εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συάρτησης α β στο σηµείο τοµής της µε το y ' y. ( ( α
.8 Ν αποδειχθεί ότι οι εφαπτόµεες στις γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω ( e και g ( e στα σηµεία τους µε κοιή τετµηµέη είαι κάθετες..8 Έστω οι συαρτήσεις, g ορισµέες στο R µε τη g παραγωγίσιµη και για κάθε R α ισχύου οι σχέσεις: ( g( και g' ( g(. Να δείξετε ότι οι εφαπτόµεες τω γραφικώ παραστάσεω τω και g στα σηµεία ( α, ( α ( α, g( α Ν ατίστοιχα είαι α κάθετες και Μ και β τέµου το άξοα ' σε δύο σηµεία που η µεταξύ τους απόσταση είαι σταθερή..84 Για τη παραγωγίσιµη συάρτηση ισχύει η σχέση ( (, R Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµέη της γραφικής παράστασης στο σηµείο (, ( είαι κάθετη στη ευθεία y..85 Έστω η συάρτηση µε ηµ ( (,, α Να βρείτε τη παράγωγο της. β Ν αποδείξετε ότι η ' είαι συεχής στο. lim γ Να βρείτε το (..86 Βρείτε τη παράγωγο τω συαρτήσεω α (, > ln γ ( ( (ln, >. β (, > συ δ ( (ln, >.
.87 Να βρείτε πολυώυµο P ( δευτέρου βαθµού τέτοιο ώστε για κάθε R α ισχύει P ( P'( P''(..88 ίεται η συάρτηση ( α e β e γ e. είξτε ότι ( ( 6 ''( '( 6 (..89 Α ( ln, α βρείτε τις συαρτήσεις g( ( '( g( '( ( g( ln( '(ln..9 ίεται η συάρτηση (, >. είξτε ότι η εφαπτοµέη της C στο σχηµατίζει µε τους άξοες τρίγωο εµβαδού Ε τ. µ. 4.9 α Α P ( πολυώυµο βαθµού, παράγοτας του P (, α και µόο α P ( α P'( α. β Να βρείτε τις τιµές τω, είαι τότε αποδείξετε ότι το ( α α β R ώστε το πολυώυµο ( είαι παράγοτας του πολυωύµου P( α β, N, >..9 Έστω Α( (, Β( (, σηµεία της γραφικής παράστασης της, συάρτησης ( β γ. Ν αποδείξετε ότι η εφαπτοµέη της C στο σηµείο της Μ,, είαι παράλληλη προς τη ΑΒ.
.9 Θεωρούµε τη συάρτηση ( α Να βρείτε τις εφαπτοµέες της όπου α. C στα σηµεία Α ( α, ( α και Β ( α, ( α, β Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο τω σηµείω τοµής τω παραπάω εφαπτόµεω, ότα α. ( ln α.94 ίεται η συάρτηση (, α >, >. α Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτοµέης της C στο σηµείο ( (, β Να αποδείξετε ότι όλες οι παραπάω εφαπτόµεες στο σηµείο ( ( µεταβάλλεται το α, διέρχοται από το ίδιο σηµείο. καθώς,.95 Έστω πολυωυµική συάρτηση για τη οποία ισχύου '(4 και ( '( (, για κάθε R. α Να βρεθεί ο τύπος της β Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτοµέης της C που είαι παράλληλη στη ευθεία y..96 Θεωρούµε µία συάρτηση παραγωγίσιµη στο R για τη οποία ισχύει α Να δείξετε ότι ( α ( y y e ( y e ( y α,, y R β Να δείξετε ότι η C περά από τη αρχή τω αξόω γ Να δείξετε ότι '( ( '( e, για το τυχαίο R. 4
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 4 Ο Ρυθµός Μεταβολής Ορισµός Α δύο µεταβλητά µεγέθη, y συδέοται µεταξύ τους µε µία σχέση της µορφής y (, όπου παραγωγίσιµη συάρτηση στο, τότε ο ρυθµός µεταβολής, του y ως προς στο, είαι η παράγωγος της στο, δηλαδή το (. ' Από τη Φυσική γωρίζουµε ότι, ρυθµός µεταβολής του διαστήµατος είαι η ταχύτητα, εώ ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας είαι η επιτάχυση. ds u(t du και a(t. dt dt 5
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ.97 Η θέση εός κιητού πάω σε έα άξοα τη χροική στιγµή t δίεται µε τη βοήθεια του τύπου S ( t t t t 4. όπου t ο χρόος σε sec. Να υπολογίσετε τη ταχύτητα του κιητού τις χροικές στιγµές t sec και t sec διαύσει το κιητό στο χρόο τω πρώτω δευτερολέπτω. ατιστοίχως, καθώς και το συολικό διάστηµα που έχει.98 Το κόστος παραγωγής εός προϊότος δίεται από τη σχέση K ( 5 994 995, εώ η είσπραξη από τη πώληση του προϊότος από τη σχέση: E ( 594. Να βρείτε για ποιες τιµές του R ο ρυθµός µεταβολής του κέρδους είαι αρητικός..99 Α ο ρυθµός µεταβολής του κόστους παραγωγής εός προϊότος είαι ίσος µε το ρυθµό µεταβολής της είσπραξης από τη πώληση του, α βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής του κέρδους.. Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του όγκου µίας σφαιρικής µπάλας χιοιού ως 5 προς το χρόο t, ότα η ακτία της δίεται από το τύπο r 5 t, t.. Έα µεγάλο σφαιρικό µπαλόι χάει αέρα µε ρυθµό. cm. sec α Να υπολογίσετε πόσο γρήγορα µειώεται η ακτία του τη χροική στιγµή που η ακτία είαι 4 cm. β Ποιος είαι τότε ο ρυθµός µεταβολής της επιφάειας του; 6
. Μία ραδιεεργός ουσία διασπάται σύµφωα µε το όµο N ( t.t N e, όπου t ο χρόος σε δευτερόλεπτα και Ν η ποσότητα της ουσίας που υπάρχει τη χροική στιγµή t σε mg. α Να υπολογίσετε τη ταχύτητα διάσπασης αά πάσα χροική στιγµή β Υπολογίστε τη χροική στιγµή κατά τη οποία έχει αποµείει η µισή ποσότητα από τη αρχική, τη ταχύτητα διάσπασης γ Σε ποια χροική στιγµή ο ρυθµός µεταβολής θα µηδειστεί;. Υλικό σηµείο Μ κιείται πάω στη γραφική παράσταση της συάρτησης (. Α η τετµηµέη του σηµείου Μ µεταβάλλεται µε ρυθµό 4cm, α βρείτε sec τη χροική στιγµή t που είαι 4 το ρυθµό µεταβολής α Της τεταγµέης y του σηµείου Μ β Της γωίας που σχηµατίζεται από τη διαυσµατική ακτία ΟΜ και το θετικό ηµιάξοα O..4 Οι διαστάσεις ΑΒ και Α εός ορθογωίου ΑΒΓ αυξάοται µε ρυθµούς ατίστοιχα t m και sec t m σε χρόο sec sec t. Α κατά τη χροική στιγµή t είαι (ΑΒ4m και (Α m, α υπολογιστεί ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού Ε του ορθογωίου ΑΒΓ ότα t sec..5 Έα σηµείο Ρ κιείται πάω στη έλλειψη µε εξίσωση y. Α κατά 6 5 τη χροική στιγµή t η τετµηµέη του σηµείου είαι και η τεταγµέη του µειώεται µε ρυθµό 5, α βρείτε το ρυθµό µεταβολής της τετµηµέης. 7
.6 Προβολέας είαι τοποθετηµέος στο έδαφος σε απόσταση 5m από έα τοίχο. Έας άθρωπος ύψους,8m βαδίζει προς το προβολέα µε ταχύτητα m. Να sec υπολογίσετε τη ταχύτητα µε τη οποία µεγαλώει το ύψος της σκιάς του στο τοίχο, ότα απέχει από το προβολέα m..7 Μία πέτρα ρίχεται στη ήρεµη επιφάεια της λίµης και δηµιουργεί κυκλικά κύµατα που αυξάου σταθερά τη περίµετρο τους µε ρυθµό ds dt cm 8 π. sec α Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της ακτίας τω κυκλικώ κυµατισµώ β Βρείτε το ρυθµό µεταβολής της επιφάειας που περικλείει ο εξωτερικός (πρώτος κύκλος 5sec µετά τη πτώση της πέτρας..8 Μία δύαµη εφαρµόζεται σε κιητό που κιείται σε άξοα και του οποίου η απόσταση από τη αρχή Ο τη χροική στιγµή t δίεται από τη συάρτηση S ( t ln( t, t >, όπου t ο χρόος σε sec. α Να δείξετε ότι το κιητό δε ήτα σε κατάσταση ηρεµίας ότα εφαρµόστηκε η δύαµη. β Να δείξετε ότι η κίηση ήτα επιβραδυόµεη. γ Να βρείτε το µέτρο της ταχύτητας και της επιβράδυσης του κιητού, sec µετά τη εφαρµογή της δύαµης..9 Μια κωική δεξαµεή ύψους µ. και ακτίας 5µ. έχει κατακόρυφο άξοα και τη κορυφή προς τα κάτω. Νερό ρέει στη δεξαµεή µε ρυθµό 5 µ / min. Να υπολογίσετε το ρυθµό µεταβολής της στάθµης του ερού τη χροική στιγµή που αυτή είαι 6µ. 8
4. Έας πληθυσµός µεταβάλλεται σύµφωα µε τη σχέση N ( t όπου t t 9 ο χρόος σε λεπτά. Α οι φυσιολογικές απώλειες Μ κάθε λεπτό είαι αάλογες του τετραγώου του υπάρχοτα πληθυσµού µε συτελεστή ρυθµό µεταβολής τω απωλειώ Μ. κ, α βρείτε το. Στο παρακάτω σχήµα δίεται η γραφική παράσταση µιας συάρτησης (. Η καµπύλη C δέχεται σε κάθε σηµείο της (µη κατακόρυφη εφαπτοµέη. Οι 4 ευθείες ε : y 5 και ε : y είαι οι εφαπτόµεες της C στα σηµεία 5 5 Ο και Α ατίστοιχα. α Να βρείτε τις συτεταγµέες του σηµείου Α β Ποιος είαι ο ρυθµός αύξησης της ( για και 6 ;. Έα σηµείο (, y Μ κιείται στη γραφική παράσταση της συάρτησης (. Η τετµηµέη του σηµείου Μ αυξάεται µε ρυθµό cm / sec. dy α Να δειχθεί ότι: 6 4, όπου y (. dt β Να βρεθεί η τετµηµέη του σηµείου Μ τη χροική στιγµή t που η κλίση της γραφικής παράστασης της στο σηµείο Μ είαι ίση µε 5. γ Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της τεταγµέης του Μ τη χροική στιγµή t. 9
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 5 Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Θεώρηµα Rolle (Ειδική περίπτωση του Θ.Μ.Τ Έστω µία συάρτηση για τη οποία υποθέτουµε ότι Είαι συεχής στο [α,β] Είαι παραγωγίσιµη στο (α,β ισχύει ( α ( β Τότε υπάρχει τουλάχιστο έα ξ ( α, β τέτοιο ώστε '( ξ Γεωµετρική ερµηεία Ότα µία συάρτηση ικαοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος Rolle,αυτό σηµαίει ότι υπάρχει τουλάχιστο έα σηµείο της γραφικής της παράστασης στο οποίο µπορούµε α χαράξουµε οριζότια εφαπτοµέη. Θεώρηµα Μέσης Τιµής Έστω µία συάρτηση για τη οποία υποθέτουµε ότι Είαι συεχής στο [α,β] Είαι παραγωγίσιµη στο (α,β Τότε υπάρχει τουλάχιστο έα ξ ( α, β τέτοιο ώστε ( α ( β '( ξ. β α 4
Γεωµετρική ερµηεία Ότα µία συάρτηση ικαοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής, αυτό σηµαίει ότι υπάρχει τουλάχιστο έα σηµείο της γραφικής της παράστασης στο οποίο µπορούµε α χαράξουµε εφαπτοµέη παράλληλη προς τη «χορδή» που ορίζου τα σηµεία Α ( α, ( α και ( β, ( β Β. Παρατηρήσεις για ασκήσεις που αφορού σε ρίζες εξίσωσης Ότα ζητείται α αποδείξουµε ότι µία εξίσωση «έχει τουλάχιστο µία ρίζα», τότε ακολουθούµε έα από τους εξής τρόπους α Βρίσκουµε µία προφαή ρίζα, α αυτό είαι εύκολο β Χρησιµοποιούµε το Θεώρηµα Bolzano γ Υπολογίζουµε το σύολο τιµώ της και διαπιστώουµε ότι το αήκει σε αυτό δ Εφαρµόζουµε το θεώρηµα Rolle, αλλά για τη αρχική της (βλέπε εφαρµογή /σελ.47 ή άσκηση Β οµάδας σελ.49 Ότα ζητείται α αποδείξουµε ότι µία εξίσωση «έχει το πολύ µία ρίζα», τότε θα υποθέτουµε ότι έχει τουλάχιστο δύο ρίζες ρ,ρ, εφαρµόζουµε το θεώρηµα Rolle στο [ ρ,ρ ] και καταλήγουµε σε κάτι άτοπο(βλέπε άσκηση /5 του σχολικού βιβλίου. Ότα ζητείται α αποδείξουµε ότι µία εξίσωση «έχει ακριβώς µία ρίζα», τότε δείχουµε ότι έχει τουλάχιστο µία, µε µία από τις µεθόδους της παρατήρησης ( και στη συέχεια η µοαδικότητα µπορεί α προκύψει µε έα από τους ακόλουθους τρόπους: α Αποδεικύουµε ότι η είαι γησίως µοότοη και συεπώς - β Εφαρµόζουµε τη παρατήρηση (. 4
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο- Λ Α Θ Ο Σ. Α η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο R και ( α ( β, όπου α, β R, τότε '( για κάθε ( α, β..4 Α η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο R και R, τότε για κάθε R υπάρχει ξ R, ώστε ( ( ( ( ξ. '.5 Α η συάρτηση είαι συεχής στο [α,β] και παραγωγίσιµη στο (α,β, τότε υπάρχει έα µόο ξ ( α, β, ώστε ( α ( β '( ξ ( α β.6 Α είαι µία πολυωυµική συάρτηση, τότε µεταξύ δύο ριζώ της, υπάρχει µία τουλάχιστο ρίζα της '..7 Α είαι µία πολυωυµική συάρτηση, τότε µεταξύ δύο διαδοχικώ ριζώ της ', υπάρχει το πολύ µία ρίζα της..8 Α µία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο [α,β], τότε υπάρχει εφαπτοµέη της λ C στο Α ( (, µε ( α, β ( β ( α. β α,, η οποία α έχει συτελεστή διεύθυσης 4
.9 Υπάρχου συαρτήσεις για τις οποίες ισχύει το συµπέρασµα του θεωρήµατος Rolle, χωρίς α ισχύου όλες οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος.. Για τη συάρτηση του σχήµατος, υπάρχει τουλάχιστο έα σηµείο ( ξ, ( ξ Μ της C µε ξ ( α, β, όπου η εφαπτοµέη της, α είαι παράλληλη µε τη ΑΒ. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ. Μία συάρτηση έχει πεδίο ορισµού το [α,β]. Το θεώρηµα µέσης τιµής ισχύει για τη, ότα η είαι συεχής στο [α,β] η είαι παραγωγίσιµη στο (α,β η είαι παραγωγίσιµη στο (α,β και συεχής στα σηµεία α και β. η έχει ίσες τιµές στα α και β.. Το θεώρηµα µέσης τιµής του διαφορικού λογισµού για τη συάρτηση ( ln, για κάθε, > εξασφαλίζει έα ξ µεταξύ τω, ώστε α ισχύει ln ξ ln ln( ( ξ ξ ln( ξ ( ln ξ ( 4
. ίοται οι γραφικές παραστάσεις τω συαρτήσεω,,, 4. Αυτές που ικαοποιού τις υποθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο [ α, β] είαι οι και 4 µόο η 4 µόο η και και 4.4 Α µία συεχής και µη σταθερή συάρτηση στο [α,β], παραγωγίσιµη τουλάχιστο στο (α,β και ( α ( β, τότε για κάθε ( α, β υπάρχει ( α, β είαι '( ώστε '( για κάθε ( α, β είαι '( δε αληθεύει τίποτα από τα παραπάω. 44
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ.5 Να εξετάσετε α εφαρµόζεται το θεώρηµα Rolle για τη συάρτηση: α ( e, [,] β h (,, [, [,] Α αι, α βρείτε το ξ του θεωρήµατος..6 ίεται η συάρτηση µε ( ( α γ, [, ( β γ, [,] Υπολογίστε τους α,β,γ R ώστε α ισχύει για τη το θεώρηµα Rolle στο [,]...7 ίεται η συάρτηση ( log. α Να εξετάσετε α ισχύου οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [,] για τη συάρτηση αυτή β Να δείξετε ότι υπάρχει (, 9 loge ξ τέτοιο ώστε ξ. log.8 είξτε ότι υπάρχει σηµείο της γραφικής παράστασης της συάρτησης ( ( ln, µε τετµηµέη ξ (, στο οποίο η εφαπτοµέη είαι παράλληλη στο άξοα '. α β γ γ.9 ίεται η συάρτηση ( µ, όπου 4 α,β,γ,µ R και α. Α είαι α4β, τότε αποδείξετε ότι υπάρχει (, τέτοιο ώστε η εφαπτοµέη της '. C στο σηµείο της ( ( α είαι παράλληλη προς το, 45
. Α µία συάρτηση είαι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και µηδείζεται για τρεις διαφορετικές τιµές του, τότε α δείξετε ότι η εξίσωση α '(, έχει δύο τουλάχιστο ρίζες άισες β ''(, έχει µία τουλάχιστο ρίζα. 7. ίεται η συάρτηση ( µ, όπου µ R. Να δείξετε ότι η εξίσωση ( δε µπορεί α έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο(,.. α ίεται η συάρτηση ( α ( β µ αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ( α, β ( α µ β τέτοιο ώστε ξ. µ µ,, θετικοί ακέραιοι. Να β Να αποδείξετε ότι το παραπάω ξ χωρίζει το διάστηµα [α,β] σε λόγο µ, δηλαδή ισχύει ξα µ. β ξ 5. είξτε ότι η εξίσωση 5 έχει ακριβώς µία ρίζα στο (-,. 6.4 είξτε ότι η εξίσωση λ 6 έχει δύο το πολύ ρίζες στο (-,5..5 Α η συάρτηση είαι δύο φορές παραγωγίσιµη στο διάστηµα [ α, β] και ισχύου ( a ( β και '( α '( β, τότε αποδειχθεί ότι υπάρχου δύο τουλάχιστο σηµεία γ,δ ( α, β, τέτοια ώστε α ισχύει ''( γ ''( δ. 46
.6 Έστω, g συαρτήσεις συεχείς στο [α,β] και παραγωγίσιµες στο (α,β. Α είαι ( g, [ α, β] και '(, [ α, β] g καθώς και ( β g( α ( α g( β, τότε αποδειχθεί ότι υπάρχει έα τουλάχιστο (α,β τέτοιο ώστε '( g'( ( g(..7 Έστω η παραγωγίσιµη συάρτηση : α ( ( R R, για τη οποία ισχύει ( ( (, R. Να δείξετε ότι β υπάρχει τουλάχιστο έα (, ώστε α είαι ( ( γ υπάρχου ξ (,,, ξ, µε ξ ξ <, ώστε ( ξ '( ξ '..8 ίεται η µε ( 6. Να εξετάσετε α εφαρµόζεται στο [4,6]: α Το Θ. Rolle β Το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισµού. Ακολούθως α βρείτε το ξ όποιου θεωρήµατος εφαρµόζεται..9 Οµοίως για τις συαρτήσεις α ( β, ln, [, ] [,] [, (,], g (.,.4 Να δείξετε ότι ηµ ( α h < ηµα h συα, όπου π < α < α h <. 47
.4 Εφαρµόζοτας το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισµού στη συάρτηση ( ηµ, αποδείξετε ότι για κάθε α,β R ισχύει ηµα ηµβ α β..4 Ν αποδειχθού οι σχέσεις β α α e e β e < < e, α < β β α ηµβηµα π συβ < < συα, < α < β <. β α.4 Έστω συάρτηση παραγωγίσιµη στο [-,4] µε ( (4. είξτε ότι υπάρχει έα τουλάχιστο ξ (, και έα τουλάχιστο ( '( ξ '( ξ. ξ,4 τέτοιοι ώστε.44 Α η συάρτηση είαι συεχής στο[α,β], παραγωγίσιµη στο (α,β και ( α ( β, α δείξετε ότι υπάρχου ξ, ξ ( α, β τέτοιοι ώστε '( ξ '( ξ..45 Θεωρούµε τη συάρτηση ορισµέη, παραγωγίσιµη και µε συεχή παράγωγο στο διάστηµα [,]. Για τη ισχύου και τα εξής α 7 ( ( και β '( > 4 Να δείξετε ότι Υπάρχει τουλάχιστο έα (,, τέτοιο ώστε '(. Υπάρχει τουλάχιστο έα ξ (, τέτοιο ώστε '( ξ 4ξ. 48
.46 α είξτε ότι για κάθε R ισχύει. β Α παραγωγίσιµη συάρτηση στο R µε '(, δείξτε ότι για κάθε α, β R µε α<β ισχύει ( β ( a β α..47 Έστω συεχής συάρτηση στο [,] µε (. < '( <, δείξτε ότι < ( < 4. Α για κάθε (, ισχύει.48 Η συάρτηση είαι φορές παραγωγίσιµη στο [α,β] και οι αριθµοί α β,, ( α ( β προόδου. σηµείο. α Να δείξετε ότι οι αριθµοί είαι, µε τη σειρά που δίοται, διαδοχικοί όροι αριθµητικής α β α β α ( α και α β α β β ( β είαι ίσοι. β Να αποδείξετε ότι η δεύτερη παράγωγος της µηδείζεται σε έα τουλάχιστο.49 Έστω η πολυωυµική συάρτηση ( α α α α µε Να δείξετε ότι πραγµατικούς συτελεστές για τους οποίους ισχύει ότι α α α α. α Η εξίσωση ( έχει ως ρίζα το β Α η παραπάω εξίσωση έχει και άλλη θετική ρίζα θ, τότε η εξίσωση '( έχει µία τουλάχιστο θετική ρίζα. 49
.5 ίεται η συάρτηση που είαι δύο φορές παραγωγίσιµη στο [ ] β βγ αγ αβ και ( α, ( β, ( γ, µε γ ( α, β α,, α >. Να δείξετε ότι α Υπάρχου κ ( α, γ και λ ( γ, β τέτοια ώστε ( ( κ ' κ και '( λ β Α η ευθεία που ορίζεται από τα σηµεία Α ( κ, ( κ και ( λ, ( λ τη αρχή τω αξόω, τότε υπάρχει ξ ( κ, λ τέτοιο ώστε ''( ξ κ ( λ λ Β διέρχεται από. 5
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 6 Συέπειες Του Θεωρήµατος Μέσης Τιµής Το Θ.Μ.Τ του διαφορικού λογισµού θεωρείται µία από τις πιο σηµατικές προτάσεις της Αάλυσης, καθώς µε τη βοήθεια του αποδεικύοται πολλά άλλα θεωρήµατα, όπως αυτά που θα γωρίσουµε παρακάτω. ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µία συάρτηση ορισµέη σε έα διάστηµα. Α Η είαι συεχής στο και '(, για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είαι σταθερή σε όλο το διάστηµα. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αρκεί α αποδείξουµε ότι για οποιαδήποτε ιακρίουµε λοιπό τις ακόλουθες περιπτώσεις, ισχύει ( ( α Α, τότε λόγω ορισµού της συάρτησης ( ( β Α <, τότε στο διάστηµα [ ] θεωρήµατος µέσης τιµής. Εποµέως, υπάρχει (, η ικαοποιεί τις υποθέσεις του ξ, τέτοιο, ώστε ( ( '( ξ ( Επειδή το ξ είαι εσωτερικό σηµείο του, ισχύει '( ξ, οπότε λόγω της (, θα είαι (. ( γ Α <, τότε οµοίως αποδεικύεται ότι ( (. Σε όλες εποµέως τις περιπτώσεις είαι (. ( 5
ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δύο συαρτήσεις, g ορισµέες σε έα διάστηµα. Α οι, g είαι συεχείς στο και '( g'(, για κάθε εσωτερικό σηµείο του τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε ΑΠΟ ΕΙΞΗ ( g( c α ισχύει Η συάρτηση g είαι συεχής στο και για κάθε εσωτερικό σηµείο ισχύει ' ( g ( '( g'( Εποµέως σύµφωα µε το παραπάω θεώρηµα, η συάρτηση g είαι σταθερή στο. Υπάρχει δηλαδή σταθερά c τέτοια ώστε για κάθε ( g( c α ισχύει Παρατήρηση Τόσο το θεώρηµα όσο και το πόρισµα που προηγήθηκα ισχύου µόο σε διάστηµα και όχι σε έωση διαστηµάτω, όπως άλλωστε φαίεται και στη επόµεη συάρτηση, < (, > Για τη συάρτηση αυτή είαι '( συάρτηση δε είαι σταθερή στο ( (,, για κάθε (, (,,., µολοότι η 5
Μοοτοία Συάρτησης ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µία συάρτηση, η οποία είαι συεχής σε έα διάστηµα. Α '( >, για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είαι γησίως αύξουσα στο. Α '( <, για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η είαι γησίως φθίουσα στο. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Θα αποδείξουµε ότι α '( > για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε η θα είαι γησίως αύξουσα στο. Έστω λοιπό, µε <. Αρκεί α δείξουµε ότι και ( ( <. Πράγµατι στο [ ] Θ.Μ.Τ και συεπώς θα υπάρχει τουλάχιστο έα ( '( ξ ( (, η ικαοποιεί τις προϋποθέσεις του ( '( ξ ξ, τέτοιο ώστε, οπότε και θα έχουµε ( ( Επειδή ξ εσωτερικό σηµείο του, τότε '( ξ > και, άρα ( (, δηλαδή < (. > Στη δεύτερη περίπτωση εργαζόµαστε ααλόγως. ( > Παρατήρηση Το ατίστροφο του παραπάω θεωρήµατος δε ισχύει, όπως φαίεται για παράδειγµα και από τη (, η οποία είαι γησίως αύξουσα στο R, µολοότι η παράγωγος της δε είαι υποχρεωτικά θετική, αφού '(. 5
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο- Λ Α Θ Ο Σ.5 ίεται µία συεχής συάρτηση, µε '( > για < < 7. Α ( 6, τότε µπορεί α είαι ( 5..5 Α για µία παραγωγίσιµη στο R συάρτηση, γωρίζουµε ότι '( e ηµ 4, τότε η συάρτηση είαι γησίως φθίουσα..5 Α για µία παραγωγίσιµη στο R συάρτηση, γωρίζουµε ότι είαι γησίως φθίουσα, τότε '(..54 Η συάρτηση ( είαι γησίως φθίουσα στο R..55 Α η συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο R, και η γραφική παράσταση της µοότοη. είαι αυτή του σχήµατος, τότε η δε είαι.56 Α το διάγραµµα C της παραγώγου µιας συάρτησης φαίεται στο διπλαό σχήµα, τότε η είαι γησίως αύξουσα στο R. 54
.57 Α '( 4, τότε η εξίσωση ( έχει το πολύ µία ρίζα..58 Α υπάρχει ( α, β µε '(, α,. τότε η είαι σταθερή στο [ β].59 Α, g παραγωγίσιµες συαρτήσεις στο[α,β] και γωρίζουµε ότι ( α g( α α και '( g'( κάθε [ α, β]., για κάθε ( α, β, τότε ( g(, για.6 Στο σχήµα φαίεται η γραφική παράσταση της Β ( t, όπου Β ( t είαι η συάρτηση του βάρους κάποιου αθρώπου που βρίσκεται σε δίαιτα, µετά από χρόο t. Τότε ο ρυθµός µείωσης του βάρους, στη αρχή µειώεται και µετά αυξάει. 55
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ.6 Α για τις παραγωγίσιµες συαρτήσεις, g ισχύει '( g'(,µε R, τότε ( g( c ( g( c ( g( c ( g( c καέα από τα προηγούµεα..6 Α µία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο R και γησίως αύξουσα, τότε '( >, για κάθε R '(, για κάθε R '( <, για κάθε R η ' δε διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R..6 Α η συάρτηση µε πεδίο ορισµού το (, έχει παράγωγο τη ( ln, τότε για τη µοοτοία της ισχύει.64 Από τις επόµεες συαρτήσεις γησίως µοότοη στο πεδίο ορισµού της είαι η ln ( ( ( α, < α < ( e. 56
.65 Α παραγωγίσιµη συάρτηση στο R µε '( < για κάθε R, τότε η αίσωση ( e > (, αληθεύει για (, (, < R καέα R..66 Μία συάρτηση είαι συεχής στο διάστηµα [,4], παραγωγίσιµη στο (,4 και ισχύει '( >, για κάθε (,4. Α ( α και (4 β, τότε α αβ α>β α<β δε µπορού α συγκριθού τα α,β β Η εξίσωση ( β α έχει µοαδική ρίζα στο (,4 έχει ακριβώς ρίζες στο (,4 έχει τουλάχιστο δύο ρίζες στο (,4 είαι αδύατη στο (,4.67 Α για µία συάρτηση ισχύει '( > α α, για κάθε (, α α > ( α < ( α ( α, όπου σε κάθε περίπτωση <α. α < (, τότε 57
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ.68 Α για τις συαρτήσεις, g ισχύου α '( g( και ( g '(, R β (, g(. g( Ν αποδείξετε ότι η συάρτηση [ ] [ ] κατόπι α βρεθεί ο τύπος της. h ( ( είαι σταθερή και.69 ανα βρείτε όλες τις καµπύλες y ( οι οποίες δέχοται εφαπτοµέη σε κάθε σηµείο τους µε συτελεστή διεύθυσης 4. β Να βρείτε ποια από τις καµπύλες που προσδιορίσατε διέρχεται από το σηµείο Μ(,..7 ίεται συάρτηση δύο φορές παραγωγίσιµη στο R για τη οποία γωρίζουµε ότι ''( (, R. α Α είαι ( ''(, α δείξετε ότι η συάρτηση ( '( ( ( h ( είαι σταθερή σε όλο το R και κατόπι α προσδιορίσετε τη τιµή της. β Α είαι g( ( α συβ ηµ, ( α, '( β, α δείξετε ότι g( η συάρτηση ( ( g '( είαι επίσης σταθερή σε όλο το R..7 Έστω οι παραγωγίσιµες στο R συαρτήσεις, g για τις οποίες ισχύου οι επόµεες προϋποθέσεις α ( και g (, για κάθε R. β ( g( γ '( και g( Να δείξετε ότι g'( ( 58
( g(, για κάθε R Υπολογίστε τους τύπους τω και g..7 Να βρείτε συάρτηση για τη οποία γωρίζουµε ότι α '( ln (, >, ( e. β '( (, >, ( e..7 Έστω, g δύο παραγωγίσιµες συαρτήσεις στο R για τις οποίες γωρίζουµε ότι: ''( g( ( g''(, '( g( ( g'( και g ( για κάθε R. Να αποδείξετε ότι υπάρχει λ R, τέτοιος ώστε ( g( λ για κάθε R..74 Έστω δύο συαρτήσεις g γωρίζουµε ότι ισχύου οι σχέσεις '( g(,, παραγωγίσιµες στο (, g'( (, ( e π, για τις οποίες g( e π g( e. h( ( e ηµ συ α Να δείξετε ότι η συάρτηση [ ] [ ] σταθερή στο (, β Να υπολογίσετε το τύπο τω, g είαι.75 Να µελετηθού ως προς τη µοοτοία οι συαρτήσεις α ( 9 β ( ( ( (. γ ( ( ( δ ( 5 6..76 Οµοίως και για τις συαρτήσεις α ( β ( γ 4 ( δ (. 5 4 59
.77 Οµοίως και για τις συαρτήσεις: α (. β (, >. γ ( συσυ, [, π]..78 ίεται η παραγωγίσιµη στο R συάρτηση για τη οποία είαι '( < για κάθε R. Να δείξετε ότι ( 4 ( < 6..79 ίεται η συάρτηση µε ( µ 6 µ µ, R, όπου η παράµετρος µ R. Να βρείτε τις τιµές του µ για τις οποίες η είαι γησίως αύξουσα στο R. 7.8 ίεται η συάρτηση µε ( µ, µ, R Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( δε µπορεί α έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο διάστηµα (,..8 ίεται η συάρτηση µε α Να εξεταστεί η ως προς τη µοοτοία ( α, α R. β είξτε ότι η εξίσωση ( έχει µια µόο ρίζα στο διάστηµα (,. 4.8 ίεται η συάρτηση ( λ, λ R α Να µελετηθεί η ως προς τη µοοτοία β είξτε ότι η εξίσωση ( έχει µία µόο ρίζα στο (,, µε <λ<..8 ίεται η συάρτηση µε ( ( ( N, µε. α Να µελετήσετε τη ως προς τη µοοτοία (, όπου β Να δείξετε ότι ( >, για R 6
.84 ίεται µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το [ 8,7], της οποίας η γραφική παράσταση φαίεται στο σχήµα. α Να µελετήσετε το πρόσηµο της ( β Να λύσετε τη αίσωση ( > γ Να βρείτε το πρόσηµο της ( και α σχηµατίσετε το πίακα µεταβολής της ( ( δ Α g ( e και h( ln[ ( ], ( 6, α εξετάσετε τις g, h ως προς τη µοοτοία και το πρόσηµο..85 ίεται η συάρτηση µε ( e ln(. α Να εξεταστεί η ως προς τη µοοτοία β είξτε ότι η εξίσωση (, έχει µοαδική ρίζα τη..86 Ν αποδείξετε ότι: αη συάρτηση 4 ( 4, R είαι γησίως αύξουσα στο R. βη εξίσωση: 4, έχει µοαδική ρίζα τη. 5.87 ανα µελετηθεί η µοοτοία της συάρτησης ( e. βνα λυθεί η εξίσωση ( λ λ ( 6λ 5 e e 6 λ λ λ 5, λ R. ( (.88 ίεται η συάρτηση µε ( ( e. α Να εξεταστεί ως προς τη µοοτοία η '. β Να εξεταστεί ως προς τη µοοτοία η. γ είξτε ότι για κάθε >, ισχύει ( e > e e. δ Να βρείτε το σύολο τιµώ της ε είξτε ότι η εξίσωση ( έχει µία ακριβώς ρίζα στο (,. 6
.89 ανα βρείτε τα διαστήµατα µοοτοίας της συάρτησης ( >. lnα lnβ β είξτε ότι για κάθε α, β ( e, µε α > β, ισχύει <. α β γ Να βρεθεί το σύολο τιµώ της συάρτησης g(, (, e]..9 ίεται η συάρτηση µε ( ln(. α Να εξεταστεί ως προς τη µοοτοία η. β Να βρείτε το σύολο τιµώ α [, e..9 Να βρείτε τα διαστήµατα µοοτοίας της συάρτησης ( π ln, και ακολούθως α δείξετε ότι π π e < e e π..9 είξτε ότι π α συ< ηµ,, π β εϕ >,, συ ln γ <, >..9 Ν αποδείξετε ότι α e >, R β η εξίσωση e, έχει ακριβώς µία ρίζα. 6
ότι.94 Α για τη συάρτηση : α Υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε α είαι β Α (, τότε (, R. R R ισχύει ( '( '(, R, α δείξετε ( ( c, R..95 Η αξία(σε χιλιάδες εός οικοπέδου t έτη µετά τη αγορά του, δίεται από το t τύπο P ( t. Να δείξετε ότι η αξία του οικοπέδου θα αυξάει συεχώς χωρίς t όµως α γίει µεγαλύτερη από το διπλάσιο της αρχικής του αξίας..96 είξτε ότι για κάθε > το διάγραµµα της συάρτησης 4 ( 9 6 6 βρίσκεται πάω από το '..97 ίεται η συάρτηση ( ln, >. α Να µελετηθεί η ως προς τη µοοτοία. β Να λυθεί η εξίσωση: (. γ είξτε ότι για κάθε > ισχύει ln. ln δ Να µελετηθεί ως προς τη µοοτοία η συάρτηση (, (,..98 Έστω παραγωγίσιµη συάρτηση µε πεδίο ορισµού το [,6]. Α η C περά από το σηµείο Α(, και ισχύει '( >, [,6] α Η συάρτηση β g ( >, [,6], α αποδείξετε ότι g( ( είαι γησίως αύξουσα στο [,6] γ Το σηµείο Β(6,8 δε αήκει στη γραφική παράσταση της συάρτησης. 6
.99 ίεται συάρτηση ορισµέη στο διάστηµα (,. Α η κλίση της συάρτησης σε κάθε είαι C στο σηµείο της Μ (, y, τότε ( και η ευθεία (ε: y e εφάπτεται της α Να προσδιορίσετε το σηµείο επαφής β Να βρείτε το τύπο της συάρτησης γ Να µελετήσετε τη συάρτηση ως προς τη µοοτοία και α βρείτε το σύολο τιµώ της. δ Να λύσετε τη εξίσωση: ln.. ίεται η συάρτηση :(, R, µε ( (. α Να δείξετε ότι η είαι γησίως φθίουσα. lim β Να υπολογιστού τα όρια ( και (. lim 64
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έοια τω τοπικώ ακροτάτω είαι ήδη γωστή και από τη ατίστοιχη εότητα της Γεικής παιδείας. Θα δώσουµε εδώ λίγο πιο εξειδικευµέα τους παρακάτω ορισµούς: ΟΡΙΣΜΟΣ Μία συάρτηση, µε πεδίο ορισµού Α, θα λέµε ότι παρουσιάζει στο Α τοπικό µέγιστο, ότα υπάρχει δ>, τέτοιο ώστε (, για κάθε Α ( δ, δ. ( Το λέγεται θέση ή σηµείο τοπικού µεγίστου, εώ το ( τοπικό µέγιστο της. ΟΡΙΣΜΟΣ Μία συάρτηση, µε πεδίο ορισµού Α, θα λέµε ότι παρουσιάζει στο Α τοπικό ελάχιστο, ότα υπάρχει δ>, τέτοιο ώστε (, για κάθε Α ( δ, δ. ( Το λέγεται θέση ή σηµείο τοπικού ελαχίστου, εώ το ( τοπικό ελάχιστο της. Ισχύου εδώ όλες οι παρατηρήσεις που έχου ααφερθεί στη ατίστοιχη εότητα του βιβλίου της Γεικής Παιδείας. 65
ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT Έστω µία συάρτηση ορισµέη σε έα διάστηµα και έα εσωτερικό σηµείο του. Α η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είαι και παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, τότε '(. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ας υποθέσουµε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό µέγιστο. Επειδή το είαι εσωτερικό σηµείο του και η συάρτηση παρουσιάζει σε αυτό τοπικό µέγιστο, τότε υπάρχει δ> τέτοιο ώστε ( δ δ, και ( (, για κάθε ( δ, δ Επειδή επιπλέο η είαι παραγωγίσιµη στο, ισχύει ότι Συεπώς, '( Α ( δ lim ( ( lim (. ( ( ( (,, τότε λόγω της (, θα είαι, οπότε και θα ( ( έχουµε '( lim (. ( (, τότε λόγω της (, θα είαι, οπότε και θα Α (, δ ( ( έχουµε '( lim (. Από τις ( και ( προκύπτει προφαώς ότι '(. Η απόδειξη είαι αάλογη ότα η συάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. 66
ΣΧΟΛΙΟ Σύµφωα µε το προηγούµεο θεώρηµα, τα εσωτερικά σηµεία του, στα οποία η ' είαι διαφορετική από το, δε είαι θέσεις τοπικώ ακροτάτω. Εποµέως οι πιθαές θέσεις τω τοπικώ ακροτάτω µιας συάρτησης σ έα διάστηµα είαι Τα εσωτερικά σηµεία του στα οποία '( Τα εσωτερικά σηµεία του στα οποία η δε παραγωγίζεται. Τα άκρα του διαστήµατος ( α αήκου στο πεδίο ορισµού της. Τα εσωτερικά σηµεία του στα οποία η δε παραγωγίζεται ή η παράγωγος της είαι ίση µε, λέγοται κρίσιµα σηµεία της στο διάστηµα. 67
ΘΕΩΡΗΜΑ(Κριτήριο πρώτης παραγώγου Έστω µία συάρτηση παραγωγίσιµη σε έα διάστηµα ( α, β, µε εξαίρεση ίσως έα σηµείο του, στο οποίο όµως η είαι συεχής. α Α '( > µέγιστο της. στο ( β Α '( < ελάχιστο της. στο ( γ Α η '( α, και '( < α, και '( > στο ( β, τότε το είαι τοπικό, στο ( β διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο ( α (, β, (, τότε το είαι τοπικό, (, τότε το δε είαι τοπικό ακρότατο και η συάρτηση είαι γησίως µοότοη στο (α,β. ( 68
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Ως γωστό α µία συάρτηση είαι συεχής σε έα κλειστό διάστηµα [α,β], τότε παρουσιάζει (ολικό µέγιστο και ελάχιστο ατίστοιχα. Για α προσδιορίσουµε τώρα τη ελάχιστη και τη µέγιστη αυτή τιµή εργαζόµαστε ως εξής Βρίσκουµε τα κρίσιµα σηµεία της Υπολογίζουµε τις τιµές της στα σηµεία αυτά καθώς και στα άκρα του διαστήµατος Από αυτές τις τιµές η µεγαλύτερη είαι το µέγιστο και η µικρότερη το ελάχιστο της συάρτησης. Ότα θέλουµε α δείξουµε µια αισοτική σχέση που περιέχει µία µεταβλητή, αρκεί α φέρουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος, α θεωρήσουµε κατάλληλη συάρτηση και α τη µελετήσουµε ως προς τη µοοτοία και τα ακρότατα. Συήθως από το ορισµό τω ολικώ ακροτάτω µπορεί α προκύψει η αισότητα που ζητούµε. 69
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο- Λ Α Θ Ο Σ. Για τη συάρτηση (, [,] ακρότατο. υπάρχει µόο έα τοπικό. Η συάρτηση π. ( e ηµ, π < <, παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο. ίοται οι συαρτήσεις, g που είαι παραγωγίσιµες στο πεδίο ορισµού τους. Α σε έα σηµείο παρουσιάζου και οι τοπικό µέγιστο, τότε και η συάρτηση g, εφόσο ορίζεται, θα παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο..4 Μία περιοδική συάρτηση µπορεί α έχει µόο έα τοπικό ακρότατο..5 Έα τοπικό µέγιστο µίας συάρτησης µπορεί α είαι µικρότερο από έα τοπικό ελάχιστο..6 Μία συάρτηση µπορεί α έχει τοπικό ακρότατο και σε έα σηµείο στο οποίο δε είαι συεχής. 7
.7 Α στο εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της ισχύει ότι '(, τότε το είαι τοπικό ακρότατο της..8 Α το διάγραµµα C της παραγώγου µιας συάρτησης φαίεται στο διπλαό σχήµα, τότε η έχει ακρότατο στο Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ.9 Η παράγωγος ' της συάρτησης είαι έα πολυώυµο τρίτου βαθµού. Η συάρτηση έχει τρία ακριβώς τοπικά ακρότατα έα ολικό µέγιστο και έα ολικό ελάχιστο τουλάχιστο τρία τοπικά ακρότατα έα µόο τοπικό µέγιστο και έα τοπικό ελάχιστο τρία το πολύ τοπικά ακρότατα.. Α η παραγωγίσιµη συάρτηση g( (, παρουσιάζει στο εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της τοπικό ακρότατο, τότε η '( είαι ίση µε 4-7
. Τα κρίσιµα σηµεία µιας συεχούς συάρτησης είαι θέσεις τοπικώ ελαχίστω της συάρτησης θέσεις τοπικώ µεγίστω της συάρτησης θέσεις τοπικώ ακροτάτω της συάρτησης υποψήφιες θέσεις τοπικώ ακροτάτω της συάρτησης τίποτα από τα παραπάω.. Α µία συάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε η εφαπτοµέη της ισχύει '( < C στο ( ( Α είαι παράλληλη προς το άξοα ', Η είαι γησίως αύξουσα στο πεδίο ορισµού της Υπάρχει διάστηµα της µορφής (α,β µε ( α, β α < < και '( < για < < β., ώστε '( > για. Α µία παραγωγίσιµη και µη σταθερή συάρτηση στο διάστηµα [α,β] δε παρουσιάζει ολικό ακρότατο στο β, τότε ισχύει '( >, για κάθε ( α, β ισχύει '(, για κάθε ( α, β υπάρχει έα τουλάχιστο ( α, β ώστε '( αποκλείεται η α µη παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο β. 7
.4 Η γραφική παράσταση C της παραγώγου µιας συάρτησης φαίεται στο διπλαό σχήµα. Τότε ισχύει ότι Η είαι γησίως αύξουσα στο (,] Η είαι γησίως φθίουσα µόο στο [, Η έχει τοπικό µέγιστο το σηµείο Η έχει τοπικό ελάχιστο το σηµείο Η είαι γησίως φθίουσα στο R. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ.5 Να βρεθού τα ακρότατα τω συαρτήσεω 4 α ( 8 5 β g ( 6 9..6 Να µελετηθεί ως προς τη µοοτοία και τα ακρότατα η συάρτηση (..7 Οµοίως και για τις συαρτήσεις α ( ηµ β g( συ 4 συ 5 γ h ( 4 5 δ P ( e ε t( ln.8 Να µελετηθεί ως προς τη µοοτοία και τα ακρότατα η συάρτηση, ( 4, < < 4., 4 6 7
.9 Να βρεθού τα τοπικά ακρότατα της συάρτησης ( συ µε [,π]. Ποιο είαι το σύολο τιµώ της ;. Να µελετηθού ως προς τη µοοτοία και τα ακρότατα οι συαρτήσεις α ( e, >, N β ( ln. Να βρείτε το λ R, ότα η συάρτηση µε παρουσιάζει ακρότατο στο. ( λ λ 7,. Α η συάρτηση ( α β γ δε παρουσιάζει ακρότατα, τότε α δείξετε ότι α < β.. ίεται η συάρτηση ( α, α α Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της συάρτησης. β Να δείξετε ότι τα τοπικά ακρότατα της αήκου στη καµπύλη µε εξίσωση y..4 Α µία συάρτηση είαι παραγωγίσιµη στο R και για κάθε R είαι ( ( 5, α δείξετε ότι η συάρτηση δε παρουσιάζει ακρότατο..5 Α η είαι παραγωγίσιµη στο R µε ( 5και για κάθε R ισχύει ( συ 6, α υπολογιστεί το '(..6 Α <α και για κάθε R ισχύει α, τότε α δείξετε ότι α e. 74
.7 Α παραγωγίσιµη συάρτηση στο R, έτσι ώστε α ισχύει α υπολογίσετε το (. π συ ( e, R..8 ίεται η συάρτηση µε (, [,] α Να δείξετε ότι η συάρτηση είαι γησίως αύξουσα και α βρείτε το σύολο τιµώ της β Να δείξετε ότι υπάρχει µοαδικό (,, τέτοιο ώστε γ Να δείξετε ότι υπάρχου τουλάχιστο δύο (, ' ' ( (, (, τέτοια ώστε α.9 ίεται η συάρτηση µε ( β, η οποία µηδείζεται στο και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο. α Να βρεθού οι α, β R β Να βρεθεί το είδος του ακροτάτου καθώς και η τιµή του.. ίεται η συάρτηση ( 5 6 λ, λ R. α Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της. β Α, είαι θέσεις τοπικώ ακροτάτω της, για ποια τιµή του λ R τα σηµεία O,, Α (, (, Β(, ( είαι συευθειακά; (. Ν αποδειχθεί ότι για κάθε α, β R, α η συάρτηση 4 ( α 6α β, δε µπορεί α έχει δύο διαφορετικές θέσεις τοπικώ ακροτάτω. 75
. ίεται η συάρτηση ( α β γ. Α το διάγραµµα της τέµει το άξοα ' στο σηµείο µε τετµηµέη - και δέχεται οριζότια εφαπτοµέη στο, α βρεθού οι α, β, γ R,ότα επιπλέο η παρουσιάζει ακρότατο στο.. Να βρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της α ( ηµ συ ( ηµ συ, β g( ( e, [,]. π α α.4 ίεται η µε ( e, >, α (, α είξτε ότι η παρουσιάζει µέγιστο στο α. β Α Μ(α είαι το µέγιστο της, τότε α βρείτε τη τιµή του α ώστε το Μ(α α γίεται ελάχιστο...5 α Να βρείτε τη ελάχιστη τιµή του α, ώστε για κάθε R, α ισχύει e α. β Α α, α µελετηθεί ως προς τη µοοτοία η συάρτηση g µε e g( α. e.6 ίεται ορθογώιο παραλληλόγραµµο µε σταθερή περίµετρο Π cm. Να βρεθεί ποιο απ τα ορθογώια αυτά έχει ελάχιστη διαγώιο. 76
.7 Μία βιοτεχία έχει διαπιστώσει ότι το κόστος της από τη παραγωγή µοάδω εός προϊότος µε > δίεται από τη συάρτηση T ( 5. Να βρείτε α Πόσα τεµάχια από το συγκεκριµέο προϊό πρέπει α κατασκευάζει ώστε α έχει ελάχιστο κόστος; β Το ελάχιστο κόστος..8 Το κόστος για τη παραγωγή και διάθεση µιας ηλεκτρικής συσκευής είαι c ευρώ το κοµµάτι. Α η τιµή πώλησης της µιας συσκευής διαµορφωθεί στα, τότε η α 5 εταιρία πωλεί β ( c συσκευές, όπου α,β είαι θετικές σταθερές. Σε ποια τιµή πρέπει α πωλήσει, για α εµφαίσει η εταιρία το µέγιστο κέρδος;.9 Η αύξηση του επιπέδου σακχάρεως στο αίµα εός διαβητικού µία ώρα µετά τη χορήγηση mgr ισουλίης δίεται από τη συάρτηση E (, 6. Για ποια δόση ο ρυθµός αύξησης είαι ελάχιστος;.4 Σε έα υποτασικό ασθεή µε αρχική πίεση Π χορηγούται διαφορετικά φάρµακα για τη υπόταση σε διαφορετικές ηµεροµηίες, τω οποίω οι δράσεις καθορίζοται από τις συαρτήσεις t Π ( t Π t e, όπου t ο χρόος δράσης και Π t t e t ( Π, όπου t ο χρόος δράσης και Να βρείτε α Ποιο φάρµακο εεργεί συτοµότερα; Π η πίεση Π η πίεση. β Ποιο είαι το πιο αποτελεσµατικό όσο αφορά στη άοδο της πίεσης; 77