Κυρτότητα και εφαρµογές. Ανισότητες Jensen

Transcript

1 Κυρτότητα και εφαρµογές. ίεται η συάρτηση: αποδείξετε ότι σε κάθε τιµ του 6α 9α α 4α R =, R α, η ψ =. Να έει έα σηµείο καµπς, το οποίο βρίσκεται πάω στη παραβολ. Α η συάρτηση είαι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R και για κάθε R ισύει: [ ] = e m ( m ) m όπου m R, τότε α δείξετε ότι η γραφικ παράσταση της δε έει σηµεία καµπς :, είαι δύο φορές παραγωγίσιµη. Να αποδείξετε ότι η. Μια συάρτηση συάρτηση [ ] = ln, στρέφει τα κοίλα προς τα άω, α και µόο α ισύει: [ ], γιακάθε Να βρείτε το µέγιστο διάστηµα, στο οποίο η συάρτηση = ln( ) στρέφει τα κοίλα προς τα άω Αισότητες Jensen 4. Έστω συάρτηση παραγωγίσιµη σ έα διάστηµα και, µε Α) Α η στρέφει τα κοίλα προς τα άω στο, α δείξετε ότι ισύει: > Β) Α η στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο, α δείξετε ότι ισύει: < 5. είξτε ότι για κάθε * α R και * α α Ν, ισύει: ( e ) ( e ) > 6. Να δείξετε ότι: α) η συάρτηση ln β) α β α β α β > = είαι κυρτ στο (, ) α β για κάθε α, β (, ) µε α < β.

2 ΘΕΩΡΗΜΑ De L Hospital η Περίπτωση: Μορφ Απευθείας το θεώρηµα η Περίπτωση: Μορφ Τότε µορφς (η περ.) η Περίπτωση: Μορφ µορφς e e = Τότε = οπότε γίεται της = e οπότε γίεται της ln e και εφαρµόζουµε το καόα του De L Hospital για το εκθέτη (εκτός του e στηριζόµαστε στη αέεια της e ) 4 η Περίπτωση: Μορφ Α είαι κλάσµατα, τότε κάουµε πράξεις (οµώυµα) οπότε οδηγούµαστε σε έα κλάσµα της µορφς (η περ.) e ηµ ) 4) e ) 5) 7) ηµ 8) ) ) ln ln( συ( α) ) 5) ln συ β ( ) ) ln Ασκσεις ( συ) ) ln ( ηµ ) ( ηµ) ln 6) ηµ 4) ( ) π εφ 9) ) e συ e Απατσεις: ):, ):, ): -, 4):, 5):, 6):, 7):, 8):, 9):, ):, ):, ):, ): ½, 4): /π, 5): α / β

3 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ Κατακόρυφες ασύµπτωτες Έστω συάρτηση και η γραφικ της παράσταση. Η ευθεία = θα λέµε ότι είαι µια κατακόρυφη ασύµπτωτη της α και µόο α ισύει: =± Παρατρηση: Οι κατακόρυφες ασύµπτωτες παρατηρούται στα που είαι άκρα αοικτώ διαστηµάτω του πεδίου ορισµού (π.. τιµές που µηδείζου το παραοµαστ τιµές που µηδείζου λογαριθµιζόµεη ποσότητα κλπ.) στα σηµεία στα οποία η συάρτηση δε είαι συες. Οριζότια ασύµπτωτη Η ευθεία ψ=β λέγεται οριζότια ασύµπτωτη της ( ) = β Πλάγια ασύµπτωτη (στο στο - ) α: Η ευθεία ψ=λβ λέγεται πλάγια ασύµπτωτη της [ λ β ] ( ) = ΚΑΙ ΙΣΧΥΕΙ : στο (ατίστοια στο - ) α: λ= β= [ ( ) λ]

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΩ ΣΤΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ DLH ( ) ίοται οι συαρτσεις, :(, ) µε = ln ln για κάθε > Α η ευθεία ψ = είαι ασύµπτωτη της στο α βρείτε τη ασύµπτωτη της στο. ( ) ίεται η συάρτηση : R R και η ( e ) εφάπτεται της =. Α η ευθεία ψ = στο =,α βρείτε τη ασύµπτωτη της στο. ( ) Έστω µια συες συάρτηση : R R για τη οποία ισύει ηµ e = ηµ e για κάθε R. Να βρείτε τη τιµ. ( 4 ) Έστω µια συες συάρτηση : R R για τη οποία ισύει ( συ ) = ln( ) για κάθε >. Να βρείτε τη τιµ. ( 5 ) ίεται η συάρτηση µε τύπο =. ln (α) Να µελετσετε τη ως προς τη µοοτοία. (β) Να βρείτε το σύολο τιµώ της. (γ) Να λύσετε τη αίσωση : ln <. ( 6 ) ίεται η συάρτηση : R R η οποία είαι δύο φορές παραγωγίσιµη για τη οποία ισύου : = και (α) = για κάθε R.Να βρείτε τα όρια : (β). ( 7 ) ίεται η συάρτηση : R R η οποία είαι παραγωγίσιµη για τη οποία ισύου : = = και =. Να βρείτε τα όρια : (α) συ (β) συ

5 ( 8 ) Έστω η ρητ συάρτηση Q = όπου ( ) = α α K α α και. Να σολιάσετε τη ύπαρξη και το είδος τω ασυµπτώτω της Q σε σέση µε τους βαθµούς και µ τω πολυωύµω () και (). ( 9 ) Να ετοπίσετε τις συαρτσεις τω οποίω οι γραφικές παραστάσεις µπορεί α έου διαφορετικ πλάγια ασύµπτωτη στο και στο ( α µη έου στο αλλά α έου στο ). ( ) Να βρείτε τις γραφικές παραστάσεις τω συαρτσεω: α) ( ) = e β) = e γ) = ln 4 δ) ( ) = ε) = εφ στ) = σφ αφού πρώτα προσδιορίσετε τις ασύµπτωτές τους. ( ) Να βρείτε τη τιµ του α R ώστε η α έει στο ασύµπτωτη τη ευθεία: ψ=-5 της ( ) = α ( ) Έστω ότι η ευθεία ε ψ=5 είαι ασύµπτωτη της γραφικς παράστασης µίας συάρτησης στο α) Να βρείτε τα όρια, [ ] β) Να βρείτε το µ R α ισύει: µ 4 = ( ) ίοται οι συαρτσεις: = * = α α, α R Να βρείτε τη τιµ του α, ώστε το ακρότατο της κατακόρυφη ασύµπτωτη της και α βρίσκεται πάω στη Α α=, α αποδείξετε ότι υπάρει κοιό σηµείο τω και στο οποίο αυτές έου κοι εφαπτοµέη