6 Εξαναγκασμένη ροή αέρα 6.1 Εισαγωγή Όταν θέτουμε σε κίνηση κάποια μόρια ενός ρευστού μέσω μιας αντλίας ή ενός φυσητήρα, η κίνηση μεταδίδεται και στα υπόλοιπα μόρια του ρευστού μέσω των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των μορίων. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει καμιά δύναμη μεταξύ των μορίων του ρευστού (μηδενικό ιξώδες) τότε το ρευστό λέγεται ιδανικό και η ταχύτητα του στη διατομή ενός κυλινδρικού αγωγού είναι ομοιόμορφη (εμβολική ροή). Βέβαια αυτό θα σήμαινε ότι το ρευστό κινείται πάνω στο τοίχωμα με κάποια μη μηδενική ταχύτητα. Στην πραγματικότητα αυτό είναι αδύνατο να συμβεί. Η πράξη έχει δείξει ότι ένα ρευστό έχει πάντα μηδενική ταχύτητα στο σημείο επαφής του με ένα στερεό. Η εξήγηση σε μοριακό επίπεδο είναι ότι το πρώτο στρώμα μορίων του ρευστού που βρίσκεται σε επαφή με το στερεό ακινητοποιείται λόγω των ελκτικών δυνάμεων με τα μόρια του στερεού. Αυτό το ακίνητο στρώμα έλκει τις υπόλοιπες στοιβάδες των μορίων του ρευστού και τις επιβραδύνει με αποτέλεσμα τη δημιουργία μιας κατανομής ταχυτήτων (προφίλ) στη διατομή του αγωγού. Η παραπάνω θεωρία δεν έχει ποτέ αποδειχτεί με αυστηρό τρόπο αλλά η πράξη δείχνει ότι η ταχύτητα ενός ρευστού στο σημείο επαφής με ένα στερεό είναι πάντα μηδενική (συνθήκη μη ολίσθησης). Όταν ο αριθμός Reynolds (N Re ) για την ροή ενός ρευστού σε έναν κυλινδρικό αγωγό είναι μικρότερος από το 2000, η ροή στον αγωγό είναι πάντα στρωτή. Κατά τη στρωτή ροή, το προφίλ της ταχύτητας του ρευστού δεν αλλάζει με το χρόνο. Για N Re > 2000, η ροή είναι συνήθως τυρβώδης (μπορεί να είναι και στρωτή για 2000 < Ν Re < 10000, εξαρτάται και από άλλους παράγοντες). Κατά την τυρβώδη ροή, η ταχύτητα του ρευστού σε κάθε σημείο δεν είναι σταθερή αλλά μεταβάλλεται χρονικά με πολύ μεγάλη συχνότητα. Έτσι και το προφίλ της ταχύτητας μεταβάλλεται από στιγμή σε στιγμή. Σε αυτήν την περίπτωση αυτό που ορίζουμε σαν τοπική ταχύτητα και χρησιμοποιούμε για την κατασκευή του προφίλ της ταχύτητας είναι ο μέσος χρονικά όρος της ταχύτητας για χρονικό διάστημα πολύ μεγαλύτερο από την περίοδο των διαταραχών της ταχύτητας (π.χ. για 1 s). Στο Σχήμα 6.1 φαίνονται τα ακτινικά προφίλ της ταχύτητας σε έναν κυλινδρικό αγωγό ακτίνας R για στρωτή ροή (πραγματικό προφίλ) και τυρβώδη ροή σε διαφόρους Ν Re (μέσο χρονικά προφίλ). Η μέγιστη ταχύτητα επιτυγχάνεται στον άξονα συμμετρίας (r = 0) του αγωγού. Η τυρβώδη ροή όπως φαίνεται δημιουργεί πιο ομοιόμορφα προφίλ ταχύτητας από αυτό της στρωτής ροής, τάση που εντείνεται όσο ο Ν Re αυξάνει. Μια ροή ενός ρευστού λέγεται ασυμπίεστη και η πυκνότητα του ρευστού μπορεί να θεωρηθεί σταθερή στο πεδίο ροής όταν: (1) το ρευστό είναι ασυμπίεστο (π.χ. υγρά) ή (2) όταν το ρευστό είναι συμπιεστό (π.χ. αέρια) αλλά οι διαφορές πίεσης που οφείλονται στην ροή είναι αμελητέες σε σχέση με την πίεση του ρευστού. Μπορεί να αποδειχτεί ότι το κριτήριο (2) ισχύει για τα αέρια σε ταχύτητες μέχρι και το 30% της ταχύτητας του ήχου. Έτσι για όλες τις πρακτικές εφαρμογές η ροή των αερίων μπορεί να θεωρηθεί ασυμπίεστη παρόλο που αυτά είναι συμπιεστά. Μ. Κώστογλου 54
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 55 1 0.8 στρωτή ροή / 0.6 0.4 N Re = 4000 N Re = 1.1x10 5 0.2 N Re = 3.2x10 6 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 r/r ΣΧΗΜΑ 6.1. Ακτινική κατανομή ταχύτητας σε σωλήνα για διάφορους αριθμούς Reynolds (N Re ). 6.2 Τύποι μανομέτρων για ροή αερίου Γενικά τα μανόμετρα τύπου U μετράνε τη διαφορά πίεσης που εξασκείται στα δύο σκέλη του μανομέτρου μέσω της μέτρησης της διαφοράς στάθμης ενός ρευστού στα δύο σκέλη. Αυτή η διαφορά στάθμης και κατά συνέπεια η ευαισθησία του μανόμετρου εξαρτάται από την διαφορά πυκνότητας των ρευστών που συνυπάρχουν στο μανόμετρο. Στην Άσκηση 4 είδαμε το μανόμετρο νερού-αέρα και το μανόμετρο υδραργύρου-νερού το οποίο χρησιμοποιείται για μεγάλες πτώσεις πίεσης (σε ροές νερού). Σε αυτή την άσκηση θα δούμε διάφορα μανόμετρα που χρησιμοποιούνται για μικρές πτώσεις πίεσης (σε ροές αερίου). P atm P atm P A P B μανόμετρο δύο υγρών h A h B Ροή αέρα A B P atm ha,1 h Β,1 μανόμετρο δεξαμενής ΣΧΗΜΑ 6.2. Μανόμετρο δύο υγρών και μανόμετρο δεξαμενής.
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 56 6.2.1 ΜΑΝΟΜΕΤΡΟ ΔΥΟ ΥΓΡΩΝ Στο Σχήμα 6.2 φαίνεται το μανόμετρο δύο υγρών. Συνήθως τα δύο υγρά είναι το νερό και ένα λάδι ελαφρύτερο του νερού. Τα δύο υγρά έχουν διαφορά πυκνότητας μικρότερη από του συστήματος νερού-αέρα οπότε το μανόμετρο αυτό μπορεί να μετρήσει πολύ μικρότερες πιέσεις από το μανόμετρο αέρα-νερού. Τα μανόμετρα του Σχήματος 6.2 έχουν το ένα άκρο τους σε ατμοσφαιρική πίεση οπότε στην ουσία μετράνε την στατική πίεση στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Η πίεση στο Α υπολογίζεται ως: P = ( ρw ρl)gha PA = P atm + ( ρw ρ L)ghA (6.1) όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητα, P atm η ατμοσφαιρική πίεση, h A η ένδειξη του μανομέτρου και ρ w, ρ L οι πυκνότητες του βαρύτερου και του ελαφρύτερου ρευστού αντίστοιχα. Η διαφορά πίεσης θα δίνεται ως: P = ( ρw ρl)gha PA P B = ( ρw ρl)g(ha h B) (6.2) 6.2.2 ΜΑΝΟΜΕΤΡΟ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ Το μανόμετρο δεξαμενής φαίνεται επίσης στο Σχήμα 6.2. Κατά βάση είναι ένα μανόμετρο αέρα-νερού με πολλά σκέλη του οποίου το ένα σκέλος είναι μια δεξαμενή ανοικτή στην ατμόσφαιρα. Με αυτόν τον τρόπο είναι δυνατή η ταυτόχρονη λήψη της στατικής πίεσης σε πολλά σημεία κατά μήκος της ροής του αέρα. Η ένδειξη h A,1 είναι η διαφορά της στάθμης του νερού στο σωληνάκι από την στάθμη του νερού στη δεξαμενή. Η στατική πίεση P Α υπολογίζεται ως: P=ρH20ghA,1 PA = Patm +ρ H20ghA,1 (6.3) Επειδή η στάθμη στη δεξαμενή δεν μετράται άμεσα χρησιμοποιούμε ένα σωληνάκι ανοιχτό στην ατμόσφαιρα το οποίο μας δίνει το ύψος του υγρού στη δεξαμενή. 6.2.3 ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΜΑΝΟΜΕΤΡΟ Το κεκλιμένο μανόμετρο είναι ένα απλό μανόμετρο τύπου U το οποίο έχει στο ένα σκέλος του μια δεξαμενή και το άλλο σκέλος του είναι κεκλιμένο ώστε να μεγαλώνει η διακριτική ικανότητα στην ανάγνωση του. Συνήθως του υγρό του κεκλιμένου μανόμετρου είναι κάποιο λάδι (για μικρή πυκνότητα-μεγάλη ευαισθησία). Αν λ είναι η ένδειξη στον βαθμονομημένο σωλήνα του μανομέτρου και φ είναι η γωνία του σωλήνα με το οριζόντιο επίπεδο τότε με απλή τριγωνομετρία προκύπτει h = λ ημ(φ) Η διαφορά πίεσης στο κεκλιμένο μανόμετρο του Σχήματος 6.3 υπολογίζεται ως: P= Po Pi =ρ oilgh =ρoilg ληµ ( ϕ ) (6.4) Είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι και στα τρία είδη μανομέτρων που παρουσιάζονται
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 57 εδώ η στάθμη της δεξαμενής μεταβάλλεται με τη μεταβολή της πίεσης και κανονικά θα πρέπει αυτή η μεταβολή να λαμβάνεται υπόψη στη μέτρηση του h. Επειδή όμως η επιφάνεια της δεξαμενής είναι πολύ μεγαλύτερη από τη διατομή των σωλήνων του μανομέτρου, μπορούμε να αγνοήσουμε τη μεταβολή της στάθμης στη δεξαμενή, με αμελητέο σφάλμα. Παραδείγματος χάρη στο μανόμετρο δεξαμενής του εργαστηρίου η ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής είναι 545 φορές μεγαλύτερη από την ελεύθερη επιφάνεια του σωλήνα του μανομέτρου. 6.3 Σωλήνας Pitot Ο σωλήνας Pitot είναι μια συσκευή η οποία μπορεί να μετρήσει τοπικά την ταχύτητα ενός αερίου (ενώ οι συσκευές της Άσκησης 5 μετράνε μόνο μέσες ταχύτητες στη διατομή). Ο σωλήνας Pitot τοποθετείται μέσα στην ροή όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.3. Η εξίσωση του Bernoulli πάνω στην ροϊκή γραμμή που συνδέει τα σημεία i και ο δίνει: 2 2 ρo ρi Po + = Pi + (6.5) 2 2 Στο σημείο εισόδου στον σωλήνα Pitot η ταχύτητα είναι 0 (δεν υπάρχει διέξοδος για την ροή του ρευστού στον σωλήνα). Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο ανακοπής. Από την εξίσωση (6.5) προκύπτει ότι η ταχύτητα στο i, την οποία θέλουμε να μετρήσουμε δίνεται ως: i = 2(Po P) i ρ (6.6) Η διαφορά πίεσης P i -P o μετριέται απευθείας σε κεκλιμένο (όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.3) ή σε απλό ορθό μανόμετρο. Το ένα σκέλος του μανομέτρου είναι συνδεδεμένο με τον σωλήνα Pitot (για την P o ) ενώ το άλλο είναι συνδεδεμένο με τον αγωγό κοντά στον σωλήνα Pitot (για την P i ). P i Σωλήνας Pitot i o r r=0 h λ P o κεκλιμένο μανόμετρο φ ΣΧΗΜΑ 6.3. Κεκλιμένο μανόμετρο και σωλήνας Pitot.
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 58 6.4 Θεωρία για Ροή Αερίου σε Αγωγό 6.4.1 ΠΤΩΣΗ ΠΙΕΣΗΣ ΓΙΑ ΡΟΗ ΑΕΡΙΟΥ ΣΕ ΑΓΩΓΟ Σύμφωνα με αυτά που συζητήθηκαν στην Άσκηση 4, η πτώση πίεσης λόγω τριβών για ένα τμήμα οριζόντιου κυλινδρικού αγωγού μήκους L και διαμέτρου D = 2R, στο οποίο ρέει αέριο, δίνεται από την σχέση: 2 L ρ P= f ave (6.7) D 2 όπου ρ είναι η πυκνότητα του αερίου, και f είναι ο συντελεστής τριβής (Fanning), ο οποίος είναι συνάρτηση του N Re και της τραχύτητας ε του αγωγού και μπορεί να βρεθεί από το Διάγραμμα Α.1 ή την εξίσωση (4.5) της Άσκησης 4. Η μέση ταχύτητα και ο αριθμός Re υπολογίζονται ως εξής: 4m& = ρπ D ave 2 (6.8) N Re Dρ = µ ave (6.9) όπου m& είναι η μαζική παροχή του αερίου και μ είναι το ιξώδες του. Στα υγρά τόσο η πυκνότητα όσο και το ιξώδες δεν εξαρτώνται από την πίεση οπότε η παραπάνω σχέσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν απευθείας. Για τα αέρια όμως ενώ το ιξώδες πρακτικά δεν εξαρτάται από την πίεση, δεν συμβαίνει το ίδιο με την πυκνότητα η οποία είναι ανάλογη με την πίεση σύμφωνα με το νόμο των ιδανικών αερίων MP B ρ= RT όπου Μ Β είναι το μοριακό βάρος του αερίου. Το ερώτημα είναι ότι δεδομένου η πίεση μεταβάλλεται στα δύο άκρα Α και Β του τμήματος αγωγού μήκους L έτσι ώστε ΔP = P A -P B και κατά συνέπεια μεταβάλλεται και η πυκνότητα, ποια πυκνότητα πρέπει να χρησιμοποιηθεί στις σχέσεις (6.7), (6.8) και (6.9); Η απάντηση είναι ότι πρέπει να χρησιμοποιηθεί η μέση πυκνότητα ανάμεσα στα σημεία Α και Β δηλαδή: M (P + P) 2RT B A B ρ= (6.10) Αυτός ο υπολογισμός απαιτεί βέβαια μια επαναληπτική διαδικασία αλλά στην πράξη η διαφορά ΔP είναι τόσο μικρή σε σχέση με την πίεση του αερίου ώστε μπορεί να αγνοηθεί και να θεωρηθεί η πυκνότητα του αερίου σταθερή κατά μήκος της ροής δηλαδή η ροή είναι ασυμπίεστη παρότι το ρευστό είναι συμπιεστό.
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 59 6.4.2 ΜΕΤΡΗΣΗ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΣΤΟΝ ΑΓΩΓΟ Ο σωλήνας Pitot μπορεί να κινηθεί πάνω σε μια κατακόρυφη διάμετρο του αγωγού. Η εκάστοτε θέση του εκφράζεται μέσω της παραμέτρου y η οποία παίρνει τιμές από 0 έως y και εκφράζει την απόσταση από την κατώτερη δυνατή θέση του σωλήνα. Σημειώνεται ότι ο σωλήνας Pitot δεν μπορεί να φτάσει πολύ κοντά στο τοίχωμα λόγω της πεπερασμένης διαμέτρου του. Ο άξονας του αγωγού θα βρίσκεται στο σημείο y=y /2 Έτσι έχουμε: r= y y 2 και διαιρώντας με την ακτίνα R προκύπτει: y r 1 = y (6.11) R R 2 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6.4) και (6.6) προκύπτει ότι: = 2ρoilg ληµ ( ϕ) ρ (6.12) Αν ονομάσουμε λ την ένδειξη του μανομέτρου για y = y /2 (r = 0) (ή εναλλακτικά τη μέγιστη τιμή του λ που δίνει ο Pitot) με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει: λ = λ 1/2 (6.13) Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (6.11) και (6.13) οι μετρήσεις λ ως προς y που λαμβάνονται από το σωλήνα Pitot μετατρέπονται σε τιμές / ως προς r/r. Ο αριθμός N Re για την ροή αέρα σε αγωγούς διαμέτρου της τάξης των cm είναι πολύ πάνω από 2000 οπότε η ροή είναι τυρβώδης. Μια προσεγγιστική μορφή του προφίλ της ταχύτητας κατά την τυρβώδη ροή σε κυλινδρικό αγωγό είναι: r = 1 R a (6.14) όπου ο εκθέτης a εξαρτάται από τον N Re. Λογαριθμίζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης λαμβάνουμε: r ln( ) = aln(1 ) (6.15) R
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 60 Έστω ότι έχουμε N ζευγάρια i / και r i /R από τις μετρήσεις με τον σωλήνα Pitot. Τα σημεία αυτά μπορούν να προσεγγιστούν σύμφωνα με την εξίσωση (6.14) με μια ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. Σε αυτή την περίπτωση το a υπολογίζεται ως: a = N i= 1 i i ln( )ln(1 ) N i= 1 r R 2 i ln (1 ) r R (6.16) Έχοντας τον εκθέτη a μπορούμε να υπολογίσουμε το λόγο ave / από την σχέση R a 2 π (1 r/r) rdr 2 2 = = = π R a + 3a+ 2 a + 3a+ 2 ave 0 2 2 ave 2 (6.17) To όμως υπολογίζεται από την αντίστοιχη μέτρηση του σωλήνα Pitot = 2ρoilg ληµ ( ϕ) ρ (6.18) Οπότε από την σχέση (6.17) μπορεί να βρεθεί το ave. Βαλβίδες επιλογής Μέτρησης πίεσης Κεκλιμένο μανόμετρο Pitot Κεκλιμένο μανόμετρο 98 60 60 60 60 60 43 5.7 Ροή αέρα Σωλήνας Pitot ΣΧΗΜΑ 6.4. Συσκευή μακρύ σωλήνα. Οι διαστάσεις είναι σε cm. 6.5 Πειραματική διάταξη Η άσκηση αποτελείται από δύο συσκευές την συσκευή κοντού σωλήνα και τη συσκευή μακρύ σωλήνα. Και στις δύο συσκευές η ροή του αέρα μπορεί να μεταβληθεί, υπάρχει ένας σωλήνας
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 61 Pitot, ο οποίος μπορεί να κινηθεί κατά μήκος μιας διαμέτρου του σωλήνα και υπάρχει η δυνατότητα μέτρησης της πτώσης πίεσης κατά μήκος του σωλήνα. Το εύρος κίνησης του σωλήνα Pitot είναι y = 48 mm για την συσκευή του μακρύ σωλήνα και y =72 mm για την συσκευή του κοντού σωλήνα. Η συσκευή του μακρύ σωλήνα φαίνεται στο Σχήμα 6.4. Η ροή του αέρα παρέχεται από έναν φυσητήρα του οποίου η ισχύς ρυθμίζεται με ένα ποντενσιόμετρο. Έτσι, γυρνώντας το ποτενσιόμετρο μπορούμε να μεταβάλλουμε την παροχή του αέρα. Η πτώση πίεσης στον σωλήνα Pitot μετριέται με ένα κεκλιμένο μανόμετρο λαδιού (πυκνότητα λαδιού ρ oil1 = 800 kg m -3 = 0.8 g cm -3 ). Το μανόμετρο αυτό έχει σταθερή κλίση και η διαγράμμιση του αντιστοιχεί απευθείας σε ύψος ορθού μανομέτρου οπότε δεν χρειάζεται να χρησιμοποιηθεί η γωνία κλίσης στους υπολογισμούς. Επίσης υπάρχει ακόμα ένα κεκλιμένο μανόμετρο λαδιού (πυκνότητα λαδιού ρ oil2 = 784 kg m -3 = 0.784 g cm -3, διαγράμμιση σε ύψος ορθού μανομέτρου) το οποίο μετράει διαφορά πίεσης μεταξύ της ατμόσφαιρας και ενός από τα έξι σημεία κατά μήκος του αγωγού που φαίνονται στο Σχήμα 6.4. Το σημείο μέτρησης επιλέγεται μέσω ενός συστήματος από μικροβάνες. Η συσκευή του κοντού σωλήνα φαίνεται στο Σχήμα 6.5. Ο φυσητήρας σε αυτή τη συσκευή δίνει μια συγκεκριμένη παροχή αέρα (πρωτογενής παροχή) σε ένα μικρής διαμέτρου σωλήνα. Ρυθμίζοντας την θέση του στομίου αυτού του σωλήνα κατά μήκος του κύριου σωλήνα της συσκευής μεταβάλλεται και η παροχή του αέρα μέσα στον κύριο σωλήνα (μέσω της μεταβολή του δευτερογενούς ρεύματος αέρα που εισρέει από το περιβάλλον). Μανόμετρο Δεξαμενής Κεκλιμένο Μανόμετρο Pitot Δευτερογενής ροή αέρα 10 10 20 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 55 7.5 Σωλήνας Pitot δx ΣΧΗΜΑ 6.5. Συσκευή κοντού σωλήνα. Οι διαστάσεις είναι σε cm. Η συσκευή περιλαμβάνει έναν σωλήνα Pitot συνδεδεμένο με ένα κεκλιμένο μανόμετρο λαδιού (πυκνότητα λαδιού 784 kg m -3 = 0.784 g cm -3, διαγράμμιση σε ύψος ορθού μανομέτρου). Η στατική πίεση στα σημεία κατά μήκος του σωλήνα που φαίνονται στο Σχήμα 6.5 μετριέται μέσω ενός μανόμετρου δεξαμενής με νερό. 6.6 Πειραματική διαδικασία Μια ομάδα φοιτητών αναλαμβάνει τη συσκευή μακρύ σωλήνα και μια ομάδα τη συσκευή
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 62 κοντού σωλήνα. Για μια σειρά διαφορετικών παροχών αέρα οι οποίες καθορίζονται από τον υπεύθυνο της άσκησης, γίνονται τα εξής: α) Καταγράφεται το ισοδύναμο ύψος ορθού μανομέτρου για διάφορες θέσεις του σωλήνα Pitot κατά μήκος της διαμέτρου του σωλήνα της άσκησης. β) Καταγράφεται η ένδειξη των μανομέτρων για όλες τις θέσεις μέτρησης πίεσης κατά μήκος των σωλήνων. Αυτό αντιστοιχεί σε 17 μετρήσεις με το μανόμετρο δεξαμενής (16 κατά μήκος του σωλήνα συν μία για την ατμοσφαιρική πίεση) για την συσκευή κοντού σωλήνα και 5 μετρήσεις με το κεκλιμένο μανόμετρο χρησιμοποιώντας τις μικροβάνες για την συσκευή μακρύ σωλήνα. Επίσης καταγράφεται η θερμοκρασία του αέρα στην αρχή και το τέλος του πειράματος. 6.7 Παράδειγμα υπολογισμών Έστω ότι για την συσκευή του μακρύ σωλήνα και μια θέση λειτουργίας του φυσητήρα έχουν ληφθεί οι παρακάτω μετρήσεις (Πίνακας 6.1): ΣΤΑΤΙΚΕΣ ΠΙΕΣΕΙΣ ΣΩΛΗΝΑΣ PITOT Αριθμός πωμάτισης Ύψος μανομέτρου (mm) Διαμετρική απόσταση y (mm) Ύψος μανομέτρου h (mm) 1 14.7 0 9.2 2 12 5 12.4 4 6.5 10 13.8 5 3.7 15 15.6 6 1.7 20 15.8 3(ατμόσφαιρα) 0 25 15.4 30 14.2 35 13.2 40 12.2 45 10.8 Έστω ότι ο μέσος όρος της θερμοκρασίας του αέρα στην αρχή και το τέλος των πειραμάτων είναι 25 C. Η πυκνότητα και το ιξώδες του αέρα σε αυτή την θερμοκρασία βρίσκονται από τους πίνακες στο Παράρτημα και είναι ρ = 1.184 kg m -3 και μ= 1.83 10-5 Pa.s (1 Pa.s = 1 kg m -1 s -1 ). Δεδομένου ότι τα κεκλιμένα μανόμετρα της άσκησης δίνουν απευθείας το μανομετρικό ύψος του αντίστοιχου ορθού μανομέτρου, το γινόμενο λ ημ(φ) στις εξισώσεις του κεκλιμένου μανομέτρου μπορεί να αντικατασταθεί με h. Πρώτα προσπαθούμε να βρούμε την κατανομή της ταχύτητας από τα δεδομένα του σωλήνα Pitot. Το μέγιστο ύψος μανομέτρου είναι h = 15.8 mm και R = D/2 = 28.5 mm. Για το σημείο y = 0 έχουμε 1/2 1/2 h 9.2 = = = 0.763 h 15.8 y r 1 1 48 = y = 0 = 0.842 R R 2 28.5 2
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 63 Y1 = ln( ) = ln(0.763) = 0.27 r X1= ln(1 ) = ln(0.842) = 0.172 R Εφαρμόζοντας τα παραπάνω σε όλα τα ζεύγη (y,h) από τον σωλήνα Pitot κατασκευάζουμε τον πίνακα (Πίνακας 6.2): I Y h / r/r Y i X i 1 0 9.2 0.763 0.842-0.270-1.845 2 5 12.4 0.885 0.666-0.121-1.098 3 10 13.8 0.934 0.491-0.0676-0.675 4 15 15.6 0.993 0.315-0.00637-0.379 5 20 15.8 1 0.140 0-0.151 6 25 15.4 0.987 0.035-0.0128-0.0357 7 30 14.2 0.948 0.210-0.0533-0.236 8 35 13.2 0.914 0.385-0.0899-0.487 9 40 12.2 0.878 0.561-0.129-0.824 10 45 10.8 0.826 0.736-0.190-1.335 Ο εκθέτης a βρίσκεται από την εξίσωση (6.16) ως εξής: 10 XY i i i= 1 a = = 0.137 10 X i= 1 2 i Στη συνέχεια κατασκευάζεται το παρακάτω διάγραμμα όπου συγκρίνεται η πειραματική κατανομή της ταχύτητας που μετρήθηκε με τον σωλήνα Pitot με την θεωρητική προσέγγιση της. Οι κατανομές παρουσιάζονται για ολόκληρη τη διάμετρο του σωλήνα. Το διάγραμμα κατασκευάζεται ως εξής: τα πειραματικά σημεία λαμβάνονται με κατάλληλη τροποποίηση των δύο στηλών του Πίνακα 6.2, που φαίνονται δίπλα στο διάγραμμα. H θεωρητική καμπύλη κατασκευάζεται από την εξίσωση: r = 1 R a H μέγιστη και η μέση ταχύτητα στη διατομή του σωλήνα υπολογίζονται ως 2ρ gh 2800 9.81 15.8 10 ρ 1.184 3 oil = = = 14.472 m/s 2 214.472 = = = 11.91 m/s a + 3a+ 2 0.137 + 30.137 + 2 ave 2 2
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 64 Ο αριθμός Reynolds δίνεται ως: 3 Daveρ 57 10 11.91 1.184 Re= = = 43922 5 µ 1.83 10 1 0.8 / 0.6 0.4 0.2 θεωρητικό προφίλ πειραματικά σημεία r/r / -0.842 0.763-0.666 0.885-0.491 0.934-0.315 0.993-0.140 1 0.035 0.987 0.210 0.948 0.385 0.914 0.561 0.878 0.736 0.826 0-1 -0.5 0 0.5 1 r/r ΣΧΗΜΑ 6.6. Πειραματικά μετρημένη (σημεία) και προσεγγιστική (συνεχής γραμμή) κατανομή της ταχύτητας του αέρα πάνω σε μια διάμετρο του σωλήνα. Στη συνέχεια σχεδιάζεται ένα διάγραμμα του μανομετρικού ύψους ως προς την απόσταση από το πρώτο σημείο μέτρησης πίεσης (και οι δύο άξονες σε mm). Τα πειραματικά σημεία προσεγγίζονται από μια ευθεία της οποίας η απόλυτη κλίση αντιστοιχεί στον λόγο Δh/L. Στην συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε: Αριθμός πωμάτισης Απόσταση (cm) Μανομετρικό ύψος (mm) 1 0 14.7 2 60 12 4 180 6.5 5 240 3.7 6 300 1.7 3 343 0 Η κλίση της ευθείας βρίσκεται ίση με Δh/L = 0.0043, οπότε η πτώση πίεσης βρίσκεται από την σχέση: P h Pa = gρ H2O = 9.81 784 0.0043= 33 L L m
Άσκηση 6. Εξαναγκασμένη ροή αέρα 65 Τέλος ο συντελεστής τριβής θα είναι (γράφοντας την εξίσωση (6.7) ως προς f): 3 P 2D 257 10 f = = 33 = 2.24 10 L ρ 1.184 11.91 2 2 ave 2 Παρόμοια διαδικασία υπολογισμών ακολουθείται και για την περίπτωση του κοντού σωλήνα με τη διαφορά ότι τα σημεία πωμάτισης είναι 17, και για τον σωλήνα Pitot έχουμε y = 72mm και ρ oil = 784 kg m -3 = 0.784 g/cm 3. 6.8Απαιτούμενα άσκησης Για κάθε παροχή αέρα απαιτούνται τα ακόλουθα: 1) Να κατασκευαστεί ο Πίνακας 6.2. 2) Να υπολογιστούν τα a,, ave. 3) Να κατασκευαστεί το διάγραμμα του Σχήματος 6.6. 4) Να γίνει το διάγραμμα μανομετρικού ύψους - απόστασης και να βρεθεί η κλίση του 5) Να υπολογιστούν τα Ν Re, ΔP/L, f.