Υδροδυναμική Περιγραφή της ροής Μορφές ροών Είδη ροών Εξίσωση συνέχειας Εξίσωση ενέργειας Bernoulli
Υδροδυναμική - γενικά Ρευστά σε κίνηση Τμήματα με διαφορετικές ταχύτητες και επιταχύνσεις Αλλαγή μορφής Όπως στην Δυναμική, η μάζα αντιστέκεται στην επιτάχυνση Μελέτη της δυναμικής και της κινηματικής κατάστασης τάσεις δυνάμεις παραμορφώσεις
Περιγραφή της ροής Κάθε στοιχειώδης όγκος έχει κάθε χρονική στιγμή ορισμένη ταχύτητα θέση μέγεθος Ροϊκό στοιχείο ds σε χρόνο dt. Ροϊκές γραμμές ροϊκά νήματα ή φλέβες Μηχανική του συνεχούς μέσου: άπειρα στοιχεία με κινηματικά και δυναμικά ροϊκά μεγέθη. Η θέση του στοιχείου καθορίζεται από την επιβατική ακτίνα.
Περιγραφή της ροής 2 Ταχύτητα του στοιχείου: W = W(r, t) Μόνιμη ροή: W = W(r) Euler (ροϊκή κατάσταση σε σημείο στον t) Lagrange (παρακολούθηση στοιχείου στον χώρο)
Περιγραφή της ροής 3 Τροχιά (pathline) = γεωμετρικός τόπος θέσεων στοιχείου Ροϊκές γραμμές (streamlines) = δίνουν τη μορφή της ροής σε ορισμένο χρόνο και ταχύτητα εφαπτομένη σε κάθε σημείο τους Τροχιές και ροϊκές γραμμές συμπίπτουν σε σταθερή στρωτή ροή
Περιγραφή της ροής 4 Τροχιά (pathline) = γεωμετρικός τόπος θέσεων στοιχείου Ροϊκές γραμμές (streamlines) = δίνουν τη μορφή της ροής σε ορισμένο χρόνο και ταχύτητα εφαπτομένη σε
Περιγραφή της ροής - 5 Τροχιά (pathline) = γεωμετρικός τόπος θέσεων στοιχείου Ροϊκές γραμμές (streamlines) = δίνουν τη μορφή της ροής σε ορισμένο χρόνο και ταχύτητα εφαπτομένη σε κάθε σημείο τους
Μορφές ροών - 1
Μορφές ροών - 2
Είδη ροών
Βασικές αρχές που διέπουν την κίνηση του ρευστού Μάζας - Συνέχειας Ενέργειας Ορμής
Εξίσωση συνέχειας ή αρχή διατήρησης της μάζας
Εξίσωση συνέχειας ή αρχή διατήρησης της μάζας
Εξίσωση ενέργειας κατά μήκος μιάς γραμμής ροής (κατά Euler) Το πρισματικό στοιχείο κινείται κατά μήκος μιάς γραμμής ροής. Δυνάμεις στο στοιχείο πίεσης βαρύτητας τριβής Εξισορρόπισή τους από: αδράνειας p ζ φ p ΧdA η p + Χds χ ΧdA s θ ψ ρ Χg ΧdA Χds Χcos α -R m. b (αμελητέα αρχικά)
Εξίσωση ενέργειας: Επεξηγήσεις p: πίεση s: διάστημα A: επιφάνεια ρ: πυκνότητα m: μάζα b: επιτάχυνση Η δύναμη βαρύτητας προέκυψε ως εξής: γ ΧV Χcos α = ρ Χg ΧdA Χds Χcos α Η δύναμη αδράνειας, η οποία είναι στην ουσία το αποτέλεσμα των υπολοίπων, Τροποποιείται ως εξής: m Χb = ρ ΧV Χb = ρ ΧdΑ Χds Χcos α
Εξίσωση ενέργειας: Αθροισμα δυνάμεων p ζ φ p ΧdA η p + Χds χ ΧdA + ρ Χg ΧdΑ Χds Χcos α R = m Χb s θ ψ p p ΧdA p ΧdA Χds ΧdA + ρ Χg ΧdΑ Χds Χcos α = ρ ΧdΑ Χds Χb s Διαιρωντας δια ρ.da : p Χds Χ+ g Χds Χcos α = ds Χb ρ Χ s p du Χ+ g Χds Χcos α = ds Χ Αντικαθιστώντας την επιτάχυνση : ρ dt Αλλά : Και : d( u 2 ) 2 Χds du 1 = 2 Χu Χdu = Χdu ή ds Χ = Χd ( u 2 ) dt dt 2 ds Χcos α = dz
οπότε η εξίσωση ενέργειας γίνεται dp 1 dp 1 g Χdz = d ( u 2 ) ή g Χdz d ( u 2 ) = 0 ρ 2 ρ 2 ζp 1 2φ p u2 ή d η + g Χz + u χ = 0 ή + g Χz + = ct 2 ψ ρ 2 θρ ή, διαιρώντας διά g : p u2 + z+ = ct γ 2 Χg
Εξίσωση ενέργειας - Bernoulli p u2 + z+ = ct γ 2 Χg Προϋποθέσεις: ασυμπίεστο ρευστό, ρ σταθερό μόνιμη ροή, u σταθερή στο ίδιο σημείο δεν υπάρχει μίξη υγρών ρευστό μη συνεκτικό, δηλαδή ροή μη-ιξώδης, δηλαδή ιξώδη φαινόμενα αμελητέα
Εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli Γραμμή ενέργειας. Σε τέλεια υγρά, σταθερή U2/2g: κινητική ενέργεια Πιεζομετρικό ύψος p/γ+y, πιεζομετρική γραμμή p/γ: ύψος πίεσης, ενέργεια αποθηκευμένη λόγω της πίεσης p1 U12 p 2 U 22 y1 + + = H1 = y 2 + + + hl = H 2 + hl γ 2g γ 2g y ή z: ύψος θέσης, δυναμική ενέργεια
Εφαρμογές Bernoulli Η πίεση p διαμορφώνεται ανάλογα με τις υπόλοιπες παραμέτρους, δηλαδή την θέση κατά την κατακόρυφη έννοια z, και την ταχύτητα u η οποία επιβάλλεται από την διατομή και την εξίσωση της συνέχειας. Δηλαδή στο σχήμα, στη διατομή 2, η πίεση θα έπεφτε και άλλο εάν: είχαμε «ανηφόρα», είχαμε ακόμα μικρότερη διατομή, είχαμε απώλειες ενέργειας.
Εφαρμογές Bernoulli 2 οι απώλειες, τοπικές και γραμμικές: παρατηρείστε την πορεία της γραμμής ενέργειας και της πιεζομετρικής
Παράδειγμα Bernoulli: σωλήνας μεταβλητής διαμέτρου 1/2 Δεδομένης της va, να βρεθεί η διαφορά πιέσεων μεταξύ Α και Β. Αυξάνεται ή μειώνεται? Απαραίτητες προϋποθέσεις: ίδια γραμμή ροής, σταθερή ροή, ασυμπιεστότητα, αμελητέες απώλειες τριβών ως προς τις δυνάμεις αδράνειας Εξίσωση Bernoulli μεταξύ των σημείων Α και Β:
Παράδειγμα Bernoulli: σωλήνας μεταβλητής διαμέτρου 2/2 Η παροχή είναι σταθερή και επομένως:
Εφαρμογές Bernoulli 3
Ασκηση