1ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ Σχ. Έτος

1ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ Σχ. Έτος 2013-2014 ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ ( PROJECT )

Περιεχοό μενα Ποιοι είμαστε... Σελίδα 1 Η άποψη του κόσμου... Σελίδα 2 Οι Εφαρμογές των Μαθηματικών... Σελίδα 8 Τα μαθηματικά στην Βιολογία και την Φυσική... Σελίδα 9 Τα μαθηματικά στην Ιατρική, την Αστρονομία και την Μετεωρολογία... Σελίδα 10 Τα μαθηματικά στην Αρχιτεκτονική, την Τέχνη και την Μουσική... Σελίδα 11 Τα μαθηματικά στην Γεωδαισία... Σελίδα 12 Η Εξέλιξη των Μαθηματικών... Σελίδα 14 Τα Μαθηματικά στην Αρχαία Ελλάδα... Σελίδα 17 Τα συστήματα αρίθμησης στην Αρχαία Ελλάδα... Σελίδα 17 Οι επιφανέστεροι Έλληνες μαθηματικοί... Σελίδα 18 Πηγές Βιβλιογραφία.. Σελίδα 20

Οι μαθητές του 1 ου ΓΕΛ Λιβαδειάς που συμμετείχαμε στην Ερευνητική Εργασία με θέμα «Τα Μαθηματικά στη ροή του χρόνου και οι Εφαρμογές τους» Ανδρέου Ανδρέας Ανδρέου Χριστίνα Αυγέρης Δημήτριος Γεωργάκης Αθανάσιος Ευταξίας Αναστάσιος Ζαχαροδήμου Λουκία Άννα Κατσούλης Γεώργιος Κοϊτσάνου Δήμητρα Κόκκορης Μάριος Κουκούτση Κωνσταντίνα Κωτσαδάμ Ελένη Μιχάλης Θέμης Πανταζάκου Ζωή Πούλος Ιωάννης Σκουρογιάννης Αναστάσιος Σπιθάκης Γεώργιος Ταγκαλέγκας Ανδρέας Τόλια Φιλιώ Τσαμπάση Γεωργία Άννα Επιβλέπων Καθηγητής : Κασούτσας Αιμίλιος -1-

Η αά ποψη του κοά σμου Αποφασίσαμε να διανείμουμε ερωτηματολόγια με θέμα τα Μαθηματικά και τη χρησιμότητά τους στην καθημερινότητα του ανθρώπου προκειμένου να δούμε την άποψη της κοινής γνώμης. Η Ερευνητική Ομάδα μας ήταν υπεύθυνη για την συγγραφή των ερωτηματολογίων, την διανομή, τη συλλογή τους αλλά και την καταγραφή των αποτελεσμάτων τους. Το ερωτηματολόγιο αποτελούνταν από 13 ερωτήσεις μέσω των οποίων αποσκοπούμε να «φέρουμε στο φως» την άποψη των ανθρώπων για τα Μαθηματικά στη σύγχρονη κοινωνία. Τα ερωτηματολόγια απαντήθηκαν από 100 άτομα εκ των οποίων 50 ήταν άνδρες και 50 γυναίκες ενώ υπήρχαν και 4 άκυρα απαντημένα ερωτηματολόγια. Στη συνέχεια σας παραθέτουμε τα αποτελέσματα που συλλέξαμε και καταγράψαμε με τη μορφή γραφημάτων: 1. Ποια είναι η σχέση σου με τα Μαθηματικά; 4 3 1 Άνδρας Γυναίκα Με ενδιαφέρουν πολύ Ενδιαφέροντα αλλά όχι σε μεγάλο βαθμό Υποχρέωση αλλά όχι προσωπικό ενδιαφέρον Καμία απολύτως Στην συγκεκριμένη ερώτηση παρατηρούμε σε ποσοστό επί της εκατό του κάθε φύλου ξεχωριστά, ότι οι άνδρες και γυναίκες ισοψηφούν με τις γυναίκες στην απάντηση που δήλωναν ότι τους ενδιαφέρουν πολύ τα Μαθηματικά. Στη δεύτερη απάντηση υπερισχύουν οι άνδρες οι οποίοι απαντούν σε μεγαλύτερο ποσοστό ότι βρίσκουν τα Μαθηματικά ενδιαφέροντα αλλά όχι σε μεγάλο βαθμό. Άνδρες και γυναίκες απαντούν σε ίδιο ποσοστό ότι βλέπουν τα Μαθηματικά μόνο ως υποχρέωση και δεν αποτελούν προσωπικό ενδιαφέρον για αυτούς, ενώ περισσότερες γυναίκες απαντούν ότι δεν έχουν καμία σχέση με τα Μαθηματικά σε σχέση με τους άνδρες. Παρατηρούμε ότι το μεγαλύτερο μέρος του πληθυσμού εκδηλώνει ένα σημαντικό ενδιαφέρον στα -2-

Μαθηματικά και, παρότι σε ελάχιστο βαθμό, οι άνδρες προτιμούν λίγο περισσότερο τα Μαθηματικά από τις γυναίκες. 2. Σε ποιο βαθμό πιστεύεις ότι χρειάζονται τα Μαθηματικά στην επαγγελματική αποκατάσταση; 5 4 3 1 Πολύ Μέτρια Λίγο Καθόλου Άνδρας Γυναίκα Εδώ παρατηρούμε πως δεν ισχύουν τα ίδια για τους άνδρες και τις γυναίκες καθώς το μεγαλύτερο ποσοστό των ανδρών πιστεύει ότι τα Μαθηματικά χρειάζονται πολύ στην επαγγελματική αποκατάσταση ενώ οι γυναίκες επιλέγουν στην πλειοψηφία τους το μέτρια ως απάντησή τους. Επιπλέον, οι άνδρες υπερισχύουν στο καθόλου παρότι είναι εκείνοι που έχουν επιλέξει σε μεγαλύτερο βαθμό από ότι οι γυναίκες την απάντηση πολύ. 3. Σε ποιο βαθμό πιστεύεις ότι χρειάζονται τα Μαθηματικά στην καθημερινότητα του ανθρώπου; 5 4 3 1 Πολύ Μέτρια Λίγο Καθόλου Άνδρας Γυναίκα Μία ακόμη ερώτηση στην οποία φαίνεται η μεγαλύτερη κλίση και προτίμηση των μαθηματικών από τους άνδρες σε σχέση με τις γυναίκες, αν και δεν παρατηρείται μεγάλη διαφορά στις πρώτες δύο απαντήσεις στις γυναίκες. Αντίθετα, οι άνδρες έχουν επιλέξει με σχετικά μεγάλη διαφορά από τις άλλες, την πρώτη απάντηση. -3-

4. Πόσο πιστεύεις ότι βοήθησαν τα Μαθηματικά στην ανάπτυξη των άλλων επιστημών; 5 4 3 Άνδρας Γυναίκα 1 Πολύ Αρκετά Λίγο Καθόλου Εδώ παρατηρούμε ότι συμπίπτουν οι απόψεις των 2 φύλων καθώς σε αρκετά μεγάλο ποσοστό συμφωνούν ότι υπήρξε σημαντικός ο ρόλος των μαθηματικών στην ανάπτυξη των άλλων επιστημών. 5. Πιστεύεις ότι με την πολύ καλή γνώση και αντίληψη των Μαθηματικών συνεπάγεται και αρίστευση στους υπόλοιπους τομείς της ζωής; Στη συγκεκριμένη ερώτηση φαίνεται για μία ακόμη φορά πως οι άνδρες έχουν λίγο μεγαλύτερη εκτίμηση στα Μαθηματικά και 1 στη χρησιμότητά τους στην καθημερινότητα του ανθρώπου καθώς και Ναι Όχι στο πως αυτά συμβάλλουν στην ποιότητα ζωής του ανθρώπου σε σχέση με τις γυναίκες. 6. Ποια είναι η άποψή σου για τους διαγωνισμούς των Μαθηματικών; 7 6 5 4 3 Άνδρες Γυναίκες 5 45% 4 35% 3 25% 15% 1 5% Αναγκαίοι Σημαντικοί Χρήσιμοι μόνο σε μικρή μερίδα ανθρώπων Περιττοί Άνδρες Γυναίκες -4-

Παρατηρούμε εδώ ότι η πλειοψηφία των ανδρών και των γυναικών επιλέγει το ότι οι Μαθηματικοί διαγωνισμοί είναι χρήσιμοι μόνο σε μικρή μερίδα ανθρώπων το οποίο βέβαια σημαίνει ότι βοηθούν τους ανθρώπους οι οποίοι ενδιαφέρονται για τα Μαθηματικά. Παρόλα αυτά εξακολουθούν οι άνδρες να απαντούν σε μεγαλύτερο ποσοστό από τις γυναίκες σε ερωτήσεις που δείχνουν κάποια προτίμηση προς τα Μαθηματικά. 7. Πιστεύεις ότι τα Μαθηματικά της Αρχαίας Ελλάδος έχουν κάποια σχέση με τα σύγχρονα Μαθηματικά; 10 8 Η συγκεκριμένη ερώτηση έδωσε σαφή αποτελέσματα καθώς οι συμμετέχοντες στην έρευνα έχουν την αντίληψη πως τα Μαθηματικά της Αρχαίας Ελλάδας συντέλεσαν στην ανάπτυξη της σύγχρονης μαθηματικής επιστήμης. 6 4 Ναι Όχι Άνδρες Γυναίκες 8. Σε ποιο βαθμό πιστεύεις ότι υπήρξε ανάπτυξη της Μαθηματικής Επιστήμης στην Αρχαία Ελλάδα; 4 35% 3 25% 15% 1 5% Πολύ Μέτρια Λίγο Καθόλου Άνδρες Γυναίκες Ενδιαφέρον είχε η συγκεκριμένη ερώτηση όπου απαντήθηκε από τους περισσότερους άνδρες ότι η ανάπτυξη των Μαθηματικών στην Αρχαία Ελλάδα ήταν μεγάλη, ενώ οι γυναίκες απάντησαν ότι αναπτύχθηκαν σε μέτριο βαθμό. Παρόλα αυτά περισσότερες ήταν οι γυναίκες που επέλεξαν το «λίγο» ως απάντησή τους και λιγότερες το «καθόλου», κάτι που μπορεί να σημαίνει ότι υπάρχει μια μικρή μερίδα ανδρών η οποία είναι λίγο αποστασιοποιημένη από τα Μαθηματικά. -5-

9. Η υποχρεωτική εκπαίδευση επαρκεί για τις μαθηματικές ανάγκες του μέσου πολίτη; Εδώ, όπως παρατηρείται, δεν διαφέρουν σε πολύ μεγάλο βαθμό οι απαντήσεις του «Ναι» με το «Όχι» τόσο στους άνδρες, όσο και στις γυναίκες. 6 5 4 3 1 Ναι Όχι Άνδρες Γυναίκες 10. Πιστεύεις ότι στο Δημοτικό (Πρωτοβάθμια Εκπ/ση) παρέχονται οι κατάλληλες βάσεις στα Μαθηματικά; 6 Η συγκεκριμένη απάντηση εφόσον τα 5 περισσότερα ερωτηματολόγια 4 απαντήθηκαν από άτομα ηλικίας 10- Άνδρες 3 17 ετών, που σημαίνει ότι πρόσφατα Γυναίκες φοίτησαν στην πρωτοβάθμια 1 εκπαίδευση και πλέον έχουν την κρίση να απαντήσουν την Ναι Όχι συγκεκριμένη ερώτηση, είναι μια έγκυρη απάντηση που δύσκολα μπορούν να αμφισβητηθούν τα αποτελέσματά της. Όπως λοιπόν φαίνεται οι περισσότεροι πιστεύουν πως παρέχονται οι κατάλληλες βάσεις στα Μαθηματικά από το Δημοτικό αν και είναι σημαντικό να σημειώσουμε πως πάνω από το 1/3, που αποτελεί ένα αξιοπρεπές ποσοστό του συνόλου, υποστηρίζει το αντίθετο.. 11. Πόσο ελκυστικός είναι ο τρόπος διδασκαλίας των Μαθηματικών; 3 25% 15% 1 Άνδρες Γυναίκες 5% Πολύ Αρκετά Λίγο Καθόλου -6-

Η συγκεκριμένη ερώτηση είναι η μόνη όπου δεν παρουσιάζονται μεγάλες διαφορές ανάμεσα στις απαντήσεις και η γνώμη του κόσμου για τη διδασκαλία των Μαθηματικών τείνει περισσότερο προς το μέτριο. Δηλαδή δεν φαίνεται το μεγαλύτερο μέρος των ανθρώπων να είναι ικανοποιημένοι από τη σύγχρονη διδασκαλία των Μαθηματικών, δίχως όμως να την απορρίπτουν τελείως. 12. Πόσο βοηθούν στη διάδοση των Μαθηματικών τα σύγχρονα μέσα διδασκαλίας κατά τη γνώμη σου; 4 3 1 Άνδρες Γυναίκες Πολύ Αρκετά Λίγο Καθόλου Επίσης, εδώ παρατηρείται ότι τα σύγχρονα μέσα διδασκαλίας των Μαθηματικών δεν ικανοποιούν τον πληθυσμό. 6 5 13. Πιστεύεις ότι η Ιστορία των Μαθηματικών θα μπορούσε να βοηθήσει στη διδασκαλία των Μαθηματικών; 4 3 1 Ναι Όχι Άνδρες Γυναίκες Τέλος, το μεγαλύτερο μέρος του πληθυσμού πιστεύει πως η Ιστορία των Μαθηματικών θα μπορούσε να συμβάλει στη διδασκαλία τους, αν και σημαντικό μέρος διαφωνεί.. -7-

Εφαρμογεές των Μαθηματικωώ ν Με αφορμή τις απαντήσεις στα ερωτηματολόγια και με στόχο να απαντήσουμε και τις δικές μας απορίες, αναζητήσαμε τις εφαρμογές των Μαθηματικών στη καθημερινότητα μας. Παρότι πολλοί άνθρωποι δεν αντιλαμβάνονται ότι τα μαθηματικά είναι αναγκαία στην ζωή μας, στην ουσία παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο, γιατί έχουν μορφωτικούς, πρακτικούς και πολιτισμικούς σκοπούς. Για παράδειγμα, μέσω των μαθηματικών οι μαθητές αποκτούν έναν επιστημονικό τρόπο σκέψης και αντιμετώπισης πραγματικών καταστάσεων, γιατί επιλύοντας προβλήματα, επιστρατεύουν πολλές διανοητικές λειτουργιές, όπως αυτές της κρίσης, της φαντασίας και της αυτενέργειας. Άλλα χαρακτηριστικά παραδείγματα της χρησιμότητας των μαθηματικών στην καθημερινή ζωή είναι ο υπολογισμός του βάρους μας, του ύψους μας, των χρημάτων που πληρώνουμε ή μας πληρώνουν μέχρι το σκορ ενός αγώνα μπάσκετ. Ακόμη, το ποσοστό ενός πολιτικού κόμματος, το μέγεθος ενός σεισμού, την θερμοκρασία του σώματός μας. Επίσης, χρειάζονται στην παραγωγική διαδικασία και στο εμπόριο. Τα μαθηματικά συνδέονται όμως και με την τέχνη και με την αρχιτεκτονική λόγω γεωμετρικών σχημάτων. Στη μουσική, ο ρυθμός είναι γραμμένος σε κλασματική μορφή. Στον τομέα της τεχνολογίας τα μαθηματικά είναι απαραίτητα. Ειδικά οι τομείς της πληροφορικής, της μηχανικής και της κρυπτογραφίας απαιτούν εξειδικευμένη γνώση μαθηματικών. Ακόμη, έχουν τεράστιο αντίκτυπο και σε άλλες θετικές επιστήμες όπως της φυσικής, της χημείας, της βιολογίας και της ιατρικής. Χάρη στα μαθηματικά, παίρνουμε πληροφορίες ή και προβλέψεις που αφορούν την φύση και τα καιρικά φαινόμενα. Για παράδειγμα η μαθηματική γεωγραφία ασχολείται με την μελέτη της γης σαν ουράνιο σώμα, τη θέση της μέσα στο Σύμπαν, τις δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ αυτής και των άλλων ουράνιων σωμάτων, τις κινήσεις κλπ. Εξετάζει επίσης τις μαθηματικές σχέσεις που συναντιούνται στο σύμπαν, την εξήγηση των γεωμετρικών σχημάτων των πλανητών και γαλαξιών, τα είδη των νεφελωμάτων, το λόγο ύπαρξης δορυφόρων και κομητών κλπ. Ας δούμε μερικές εφαρμογές σε συγκεκριμένους κλάδους : ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΦΥΣΙΚΗ Βιολογία Για την πληρέστερη κατανόηση των βιολογικών φαινομένων, που σχετίζονται με την ζωή, είναι αναγκαία η αρωγή της επιστήμης των μαθηματικών. Τη λειτουργική σύνδεση των δύο επιστημών, γενετικής και μαθηματικών, εκφράζουν οι πίνακες που περιέχουν -8-

σχήματα- εικόνες και μαθηματικούς τύπους, με σκοπό την πιο αποτελεσματική κατανόηση των φαινομένων εκείνων που απασχολούν συνολικά την επιστήμη της βιολογίας. Χαρακτηριστικό παράδειγμα που χρησιμοποιεί η γενετική( κλάδος της βιολογίας), για την μελέτη των φαινομένων της κληρονομικότητας και των νόμων της είναι οι χρωματοσωμικοί συνδυασμοι. Συνδυαστική πολυπλοκότητα και ποικιλομορφία: Οι οργανισμοί καταπλήσσουν για την πολυπλοκότητα,ποικιλία μορφών, μεγέθους και ιδιαίτερων χαρακτηριστικών. Η μοριακή βιολογία και η γενετική μελετούν και εξηγούν που οφείλεται η πολυπλοκότητα, ποικιλομορφία και ποικιλία οργανισμών, λαμβάνοντας υπόψη τα κοινά τους χαρακτηριστικά που είναι τα μακρομόρια DNA- RNA- πρωτεϊνες. Τα τρια αυτά μακρομόρια έχουν πάντοτε μια διαδοχική γραμμική ροή στην πληροφορία DNA RNA πρωτεϊνες. Για να εξηγήσουμε πού οφείλεται η μεγάλη ποικιλία γνωρισμάτων σε οργανισμούς που ανήκουν στο ίδιο είδος, θα μας βοηθήσει η λέξη κλειδί που λέγεται ''συνδυαστική'', η οποία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις διατάξεις, τις μεταθέσεις και συνδυασμούς ορισμένου αριθμού αντικειμένων. Φυσική Η μαθηματική φυσική αναφέρεται στην ανάπτυξη μαθηματικών μεθόδων για την εφαρμογή σε προβλήματα της φυσικής. Η σχεση των μαθηματικών και της φυσικής είναι πολύ στενή, αφού στην ουσία ξεκίνησαν ως ενιαία επιστήμη από τότε που ο άνθρωπος συνειδητοποίησε την ανάγκη της κατανόησης του κόσμου που τον περιβάλλει. Σιγά σιγά όμως η συνεχής πρόοδος του ανθρώπου στις επιστήμες δημιούργησε την ανάγκη της διάσπασής τους μέσω εξειδίκευσης που αποτέλεσε βασικό συντελεστή προόδου. Επίσης, η πλήρης μαθηματικοποίηση της Φυσικής από την εποχή του Γαλιλαίου και μετέπειτα έδωσε την εντύπωση ότι τα μαθηματικά είναι ''ο εργάτης'', και μόνο, της Φυσικής, κάτι που δε συνάδει με την ιστορική αλήθεια, αφού από την εποχή του Αρχιμήδη έχουμε περιπτώσεις κατανόησης μαθηματικών εννοιών με την χρήση βασικών θεμελιωδών αρχών της Φυσικής. Δηλαδή η Φυσική υπήρξε σε πολλές περιπτώσεις ''εργαλείο'' στα χέρια των μαθηματικών. -9-

ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ, ΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑ Αστρονομία Η Αστρονομία ως επιστήμη με την πρόοδο των φυσικομαθηματικών επιστημών έλαβε δια μέσου των αιώνων τόση ευρύτητα ώστε να καταταχθεί στις φυσικές επιστήμες αλλά και να κατατμηθεί σε επιμέρους άλλους σημαντικούς κλάδους. Ο Πυθαγόρας διατυπώνει την εξαιρετικά απλή σχέση που εμπεριέχει μόνον τους αριθμούς 1, 2, 3, 4 της «ιερής τετρακτύος» των Πυθαγορείων και το άθροισμά τους, τον «τέλειο» αριθμό 10. Στον Πυθαγόρα και τους μαθητές του οφείλουμε την εξήγηση των εκλείψεων και των φάσεων της Σελήνης. Διατύπωσαν δε για πρώτη φορά νόμους για την κίνηση των πλανητών και την απόσταση τους από τον Ήλιο. Τα στοιχεία που αναπτύσσονται στην πυθαγόρεια αριθμοσοφία επαληθεύονται σήμερα από τις αντίστοιχες θετικές επιστήμες. Ιατρική Τα μαθηματικά αποτελούν ένα από τους στυλοβάτες της ιατρικής επιστήμης. Οι βασικές επιστημονικές αρχές της στηρίζονται σε μαθηματικά πρότυπα. Δεν νοείται επιστημονική σκέψη χωρίς τη θεώρηση της από μαθηματική σκοπιά. Είναι αλήθεια για παράδειγμα ότι η ιατρική φυσική, δεν νοείται χωρίς μαθηματική υποδομή. ΜΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΙΑΤΡΙΚΗ Η έλλειψη είναι μια πολύ χρήσιμη και πρακτική κωνική τομή. Μια ιδιότητα της εξαιρετικά χρήσιμη, είναι η ανακλαστικη. Σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή ένα ηχητικό κύμα ή μια φωτεινή ακτίνα που ξεκινούν από τη μία εστία μιας έλλειψης, ανακλώμενα σε αυτήν, διέρχονται από την άλλη εστία. Η μοναδική αυτή ιδιότητα της έλλειψης, ενέπνευσε τους επιστήμονες να κατασκευάσουν μια συσκευή για τη θεραπεία των νεφρικών και χολικών πετρών. Μετεωρολογία Το 1587 στο βιβλίο ''Οι μαθηματικές αρχές της φυσικής φιλοσοφίας'' του Ισαάκ Νεύτωνα διατυπώθηκε η άποψη ότι η φύση έχει νόμους και τους νόμους αυτούς μπορούμε να τους αποκαλύψουμε και να τους περιγράψουμε με μαθηματικές μεθόδους. Ο Νεύτωνας περιέγραψε τους φυσικούς νόμους χρησιμοποιώντας πολύπλοκες μαθηματικές εξισώσεις, οι οποίες όχι μόνο συσχέτιζαν διάφορες φυσικές παραμέτρους μεταξύ τους, αλλά επιπλέον υπολόγιζαν και τους ρυθμούς μεταβολής αυτών. Οι εξισώσεις που περιέχουν -10-

ρυθμούς μεταβολής είναι γνωστές σαν διαφορικές εξισώσεις και αποτελούν το βασικότερο μαθηματικό εργαλείο για την περιγραφή των κινήσεων της ατμόσφαιρας. Μπορεί να θεωρηθεί ότι η ατμόσφαιρα και η Γη αποτελούν ένα κλειστό σύστημα το οποίο ακολουθεί μια μοναδική και θεωρητικά προβλέψιμη πορεία. Από μια γνωστή αρχική κατάσταση της ατμόσφαιρας σε μια δεδομένη χρονική στιγμή ( που γίνεται από τις παρατηρήσεις καιρού ) προσδιορίζεται η μελλοντική της κίνηση, δηλαδή γίνεται πρόγνωση. Αυτή γίνεται μέσω υπολογιστικών μηχανών που τρέχουν συγκεκριμένα μαθηματικά μοντέλα. Με άλλα λόγια οι υπολογιστές λύνουν μια σειρά από πολύπλοκες εξισώσεις, όπου τον ρόλο των διάφορων παραμέτρων παίζουν χαρακτηριστικά της ατμόσφαιρας ( υγρασία του αέρα, θερμοκρασία, ταχύτητα ανέμου κ.α). Τα αποτελέσματα που παίρνουμε είναι υπό μορφή χαρτών και διαγραμμάτων. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ,ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΜΟΥΣΙΚΗ Τέχνη Πηγή έμπνευσης στην τέχνη αποτέλεσε η γεωμετρία. Οι καλλιτέχνες που επηρεάστηκαν από τα μαθηματικά, αναμφισβήτητα, ανέβασαν κατά πολύ τον πήχη στη τέχνη, δημιούργησαν καλλιτεχνικά ρεύματα και τάσεις και πέρασαν στην αιωνιότητα μέσα από τη δουλειά τους. Δεν γνωρίζουμε, αν τα μαθηματικά υπήρξαν τα εργαλεία στην ανάπτυξη της τέχνης ή η τέχνη είναι φυσική προέκταση των μαθηματικών. Οπωσδήποτε, όμως, η φιλοσοφία των μαθηματικών οδηγεί στην τέχνη. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά στη τέχνη. Είναι σχεδόν βέβαιο ότι απέδιδαν μαγικές ιδιότητες στην χρυσή τομή - χρυσό λόγο και τους έκαναν χρήση στο χτίσιμο των μεγάλων πυραμίδων. Οι μαθηματικές αναλογίες του αγάλματος '' Δορυφόρος'' του αρχαίου γλύπτη Πολυκλείτου, χρησιμοποιήθηκαν ως πρότυπο απεικόνισης του ανθρωπίνου σώματος από την κλασσική Ελλάδα μέχρι την ύστερη Αναγέννηση. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η ''Μόνα Λίζα'' του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Αρχιτεκτονική Πολλοί καλλιτέχνες και αρχιτέκτονες του 20ου αιώνα προσάρμοσαν τα έργα τους ώστε να προσεγγίζουν την χρυσή αναλογία ιδίως στη μορφή του χρυσού ορθογωνίου παραλληλογράμμου, στο οποίο ο λόγος της μεγαλύτερης πλευράς προς την μικρότερη είναι η χρυσή τομή πιστεύοντας ότι αυτή η αναλογία είναι αισθητικά ευχάριστη. Η χρυσή τομή έχει χρησιμοποιηθεί επίσης για την ανάλυση των αναλογιών φυσικών -11-

αντικειμένων καθώς και τεχνητών συστημάτων όπως οι οικονομικές αγορές. Ο Χρυσός Αριθμός «φ» θεωρούνταν από τους αρχαίους Έλληνες ως θεϊκή αναλογία και η εφαρμογή του σε καλλιτεχνικά δημιουργήματα ή κατασκευές οδηγούσε σε άριστα αποτελέσματα. Την χρυσή τοµή εισήγαγε και υπολόγισαν οι αρχαίοι Έλληνες, όµως το Φ το γνώριζαν και το αξιοποίησαν στα αρχιτεκτονήµατα τους και αρκετοί άλλοι λαοί του αρχαίου κόσµου. Συµβολίζεται µε το γράµµα Φ προς τιµήν του Φειδία, τον γνωστότερο γλύπτη της ελληνικής αρχαιότητας, και τον σηµαντικότερο της κλασικής περιόδου, ο οποίος ήταν ο πρώτος που τον χρησιµοποίησε. Χαρακτηριστικό παράδειγμα της χρυσής αναλογίας αποτελεί ο Παρθενώνας, του οποίου οι διαστάσεις έχουν λόγο «φ».. Μουσική Η a priori εποπτεία που διαθέτουμε για τον χρόνο φαίνεται πως αποτελεί τη βάση, την απαρχή τόσο της μουσικής όσο και της μαθηματικής εμπειρίας μας. Η μουσική αποτελεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα, ίσως το πρώτο, ποσοτικοποίησης ενός ποιοτικού φαινομένου μέσω των μαθηματικών. Ο ρυθμός και η αρμονία είναι οι δύο βασικές συνιστώσες κάθε μουσικής έκφρασης. Ο ρυθμός είναι η πρώτη μουσική κατάκτηση για τον άνθρωπο, όπως ακριβώς ο αριθμός είναι η πρώτη, η θεμελιώδης μαθηματική κατασκευή. Ο ρυθμός και ο αριθμός έχουν κοινή καταγωγή, την οποία έλκουν από την κατάτμηση του χρόνου και την 1-1 αντιστοιχία των χρονικών στιγμών με γεγονότα. Το μουσικό μέτρο, το οποίο είναι απαραίτητο για την εκτέλεση ενός μουσικού θέματος, δηλώνεται μέσω ενός κλάσματος, ενός αριθμού δηλαδή ο οποίος καθοδηγεί το ρυθμό. Η αρμονία μαθηματικοποιείται και ερμηνεύεται μέσα σε ένα πλήθος από μεταφυσικές δοξασίες, από τους Πυθαγόρειους και καθορίζει, μέχρι τον Μεσαίωνα, την αντίληψη που έχουμε για το τι σημαίνει αρμονία. Η σύγχρονη αντίληψη για την αρμονία προκύπτει μέσα από τη χρήση ενός ισχυρότατου μαθηματικού "εργαλείου", της ανάλυσης Fourier. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ. Γεωδαισία Με τον όρο Γεωδαισία χαρακτηρίζεται η επιστήμη της γεωγραφίας που έχει ως κύριο αντικείμενο τον προσδιορισμό του σχήματος ολόκληρης της γήινης επιφάνειας ή ορισμένων τμημάτων της, με το πεδίο βαρύτητας της Γης (ή τμημάτων της) καθώς και με τις μεταβολές αυτών στο χρόνο. Χαρακτηριστικός είναι ο "ομφαλός της Γης" που βρίσκεται στο Αρχαιολογικό Μουσείο των Δελφών που φέρει το αρχαιότερο ανάγλυφο γεωδαιτικό δίκτυο. Ιδρυτής και θεωρητικά πατέρας της Γεωδαισίας θεωρείται ο -12-

Ερατοσθένης, όταν πρώτος αυτός μέτρησε την ακτίνα της Γης με ικανοποιητική ακρίβεια και μάλιστα με μέθοδο που δεν διαφέρει και πολύ από τη σύγχρονη. Η Γεωδαισία αποτελεί, στο πρακτικό της μέρος, μια συνδυασμένη εφαρμογή της τριγωνομετρίας και της γεωγραφίας με χρήση, όμως, ανώτερων μαθηματικών και, κυρίως, στατιστικών μεθόδων για τον υπολογισμό των απαιτούμενων μεγεθών. Μια γεωδαιτική πράξη μέτρησης έχει να κάνει με μετρήσεις γωνιών και αποστάσεων που με τις κατάλληλες πράξεις και στατιστικές μεθόδους μπορούν να αποδώσουν με προσδιορισμένη ακρίβεια, το ανάγλυφο της περιοχής (ή του αντικειμένου) που θέλουμε να αποτυπωθεί. Επίσης, ο τομέας της γεωδαισίας ασχολείται με όλο το επιστημονικό υπόβαθρο που αφορά στα συστήματα συντεταγμένων, στις γεωγραφικές προβολές και σε άλλα επιστημονικά πεδία που αφορούν στις μετρήσεις χωρικών στοιχείων. Ωστόσο, οι εφαρμογές των μαθηματικών έχουν τις ρίζες τους στην αρχαιότητα, αφού πριν από χιλιάδες χρόνια οι άνθρωποι οι οποίοι συλλέγαν την τροφή τους (γνωστοί και ως κυνηγοί-τροφοσυλέκτες) κατανοούσαν ασυνείδητα τις απλές μαθηματικές πράξεις. Η εξέλιξη των Μαθηματικών στην ανθρώπινη ιστορία έχει αρκετό ενδιαφέρον.. -13-

Η Εξεέλιξη των Μαθηματικωέ ν Ο άνθρωπος χρειάστηκε 1.000.000 χρόνια για να οδηγηθεί στην αφηρημένη έννοια των αριθμών. Ο Homo sapiens (300.000 χρόνια πριν) κάνει μια μικρή αρίθμηση με κλαδιά και είχε αναπτύξει την έννοια της αντιστοιχίας. Ο Homo sapiens sapiens (100.000 χρόνια πριν) χρησιμοποιεί κάποιες αριθμητικές λέξεις. Οι κυνηγοί-τροφοσυλλέκτες (70.000-20.000 χρόνια πριν) καταλάβαιναν την απλή πρόσθεση, τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση. Το μοίρασμα της τροφής τους σημαίνει ότι κατανοούσαν τη διαίρεση. Η παλαιότερη ένδειξη αριθμητικής καταγραφής βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη της Νότιας Αφρικής και είναι μια περόνη μπαμπουίνου με 29 εμφανείς εγκοπές που χρονολογείται από το 35.000 π.χ.. Άλλα κόκαλα, της νεολιθικής περιόδου, έχουν βρεθεί στη Δυτική Ευρώπη. Μια κερκίδα λύκου που βρέθηκε στην Τσεχία και χρονολογείται από το 30.000 π.χ. φέρει 55 εγκοπές σε δύο σειρές ανά πέντε, οι οποίες μάλλον αποτελούν καταγραφή θηραμάτων. Μέσω της αστρονομίας, της αστρολογίας ή της κοσμολογίας, ο ουρανός άσκησε τη μεγαλύτερη επίδραση στην εξέλιξη των μαθηματικών, όπως και οι απλές ανάγκες των ανθρώπων και τα προβλήματά τους που χρειάζονταν λύση. 2500 π.χ. Οι Σουμέριοι ζύγιζαν, υπολόγιζαν τη γη σε «σαρ», μετρούσαν τα υγρά σε «κα», χρησιμοποιούσαν κλάσματα και είχαν σύστημα αριθμών με βάση το 60. 2.000-538 π.χ. Οι Βαβυλώνιοι έφτασαν σε υψηλό επίπεδο μαθηματικής κουλτούρας, μεγαλύτερη των σύγχρονων Αιγυπτίων. Το Πυθαγόρειο θεώρημα το είχαν ανακαλύψει και οι Βαβυλώνιοι τον 16ο π.χ. αιώνα (1.000 χρόνια πριν από τη γέννηση του Πυθαγόρα). Οι Βαβυλώνιοι γνώριζαν τις τέσσερις πράξεις και τις ρίζες, λύνανε προβλήματα πρώτου και δεύτερου βαθμού, υπολόγιζαν εμβαδόν ορθογωνίων τριγώνων, παραλληλόγραμμων, τραπεζίων καθώς και το εμβαδόν του κύκλου (π = 3 αντί π=3,14). -14-

Το αριθμητικό τους σύστημα είχε ως βάση το 60, ήταν μη ψηφιακό, θεσιακό, χωρίς υποδιαστολή και χωρίς μηδέν. Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστημα.το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα στο μέτρημα του χρόνου. 5000-332 π.χ. Οι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούν σύστημα αριθμών με βάση το 10. Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό, επαναληπτικό, μη θεσιακό. 2852 π.χ. Ο Κινέζικος πολιτισμός χρησιμοποιεί σύστημα αριθμών με βάση το 60. Κάνανε αστρονομικούς υπολογισμούς 1500 χρόνια πριν από τους αρχαίους Έλληνες. Γνώριζαν γραμμικές εξισώσεις, αόριστες εξισώσεις, αρνητικούς αριθμούς και το π.. Τα μαθηματικά τους ήταν ανώτερα των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων. Το παλαιότερο κινέζικο μαθηματικό κείμενο γράφτηκε μεταξύ του 500 και του 200 π.χ.. 600 π.χ. 300 μ.χ. Τα επιτεύγματα των Ελλήνων, για 1000 χρόνια επισκιάζουν όλα τα πνευματικά επιτεύγματα των επόμενων 1500 ετών όπως θα δούμε και αναλυτικότερα παρακάτω. 1410-1530 μ.χ. Οι Ίνκας έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το 10, για να παρακολουθούν τις καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού τους (Μέσα σε 200 χρόνια είχαν πληθυσμό 6-12.000.000 άτομα). Το αριθμητικό τους σύστημα βασιζόταν σε περίπλοκα συστήματα σπάγκων με κόμπους που χρησίμευαν για την καταχώρηση και αποθήκευση αριθμητικών πληροφοριών και ονομάζονταν κουιπού. Το σύστημά τους ήταν δεκαδικό, θεσιακό, μη ψηφιακό. Οι Ίνκας έκαναν τις πράξεις τους χρησιμοποιώντας ένα είδος άβακα, το γιουπάνα. Το γιουπάνα ήταν μια πλάκα χωρισμένη σε τετράγωνα πάνω -15-

στα οποία τοποθετούσαν σπόρους καλαμποκιού που τους μετακινούσαν από τετράγωνο σε τετράγωνο για να κάνουν τους λογαριασμούς τους. Η Πρώτη προσπάθεια εισαγωγής των Ινδοαραβικών αριθμητικών ψηφίων στην Ευρώπη έγινε από Ισλαμιστές μαθηματικούς (~1200 μ.χ.). Για να τα υιοθετήσουν όμως οι Ευρωπαίοι χρειάστηκαν ακόμα 400 χρόνια. Ακόμα και στο τέλος του 16ου αιώνα, η αποδοχή των αρνητικών αριθμών, των ρητών αριθμών (που ανακαλύφθηκαν τον 7 ο μ.χ. αιώνα) και του μηδέν δεν ήταν πλήρης. Όλα τα συστήματα του άνθρωπου περιλαμβάνουν την πενταδική, δεκαδική και εικοσαδική αρίθμηση. Επαναλαμβανόμενα θέματα των αριθμητικών συστημάτων του ανθρώπου είναι: μια βάση που σχετίζεται με την αρίθμηση με τα δάκτυλά μας (πέντε = ένα χέρι, δέκα = δύο χέρια, είκοσι = δάχτυλα των χεριών και των ποδιών), το σύστημα τιμής θέσης και το μηδέν. Σε όλη αυτή την πορεία των Μαθηματικών όμως, εξέχουσα θέση έχει η ανάπτυξη των επιστημών στην Αρχαία Ελλάδα. -16-

Τα Μαθηματικαά στην Αρχαιία Ελλαά δα Ένας μεγάλος αριθμός ερευνητών-ιστορικών θεωρούν ότι οι Βαβυλώνιοι, Αιγύπτιοι και Ινδοί όχι μόνον προηγήθηκαν των Ελλήνων στην αστρολογία (πρόδρομος της καθαρά ελληνικής αστρονομίας) και στα μαθηματικά, αλλά και ότι από αυτούς τα πήρανε οι Έλληνες. Από την άλλη ένα σεβαστό ποσό ερευνητών υποστηρίζει ότι οι Έλληνες ανέπτυξαν ανεξάρτητα την αστρολογία-αστρονομία και τα μαθηματικά από τους άλλους λαούς ή ακόμη και ότι οι Έλληνες δίδαξαν τους άλλους και δεν διδάχθηκαν για παράδειγμα ο Ορφέας (αστρολόγος-θεολόγος) στα Αργοναυτικά του γράφει: ΗΔ' ΟΣΟΝ ΑΙΓΥΠΤΩ ΙΕΡΟΝ ΛΟΓΟΝ ΕΞΕΛΟΧΕΥΣΑ δηλαδή: «Επίσης (σου είπα) και όσα ιερά λόγια διεκύρηξα στην Αίγυπτον», άρα πήγε στην Αίγυπτο και δίδαξε τα ιερά λόγια, δηλαδή θεολογία και αστρολογία (κατά πολλούς ο Ορφέας έζησε γύρω στο 5.000 πχ ή λίγο αργότερα). Ό,τι από τα δύο και αν ισχύει όμως το σίγουρο είναι ότι, από τον 10ο αι. πχ μέχρι και τον 6ο αι. μχ, με τον Εύδοξο, όπου και σβήνει οριστικά πλέον ο ελληνικός και ελληνορωμαϊκός κόσμος με τον Ιουστινιάνιο Κώδηκα ( Codex Justinianus) οι Έλληνες, επισκίασαν όλους τους άλλους λαούς στην Φυσική, Αστρονομία, Γεωμετρία και Αριθμητική (Άλγεβρα). Οι πρώτες γραφές που αναπτύχθηκαν στην Ελλάδα είναι αυτές της κρητομυκηναϊκής εποχής. Ειδικότερα οι γραφές αυτές είναι: α) Η ιερογλυφική ή εικονογραφική γραφή (2000 π.χ. 1750 π.χ.) β) Η Γραμμική Α (1750 π.χ. 1450 π.χ.) και γ) Η Γραμμική Β (1450 π.χ. 1200 π.χ.) Αντιστοίχως σε κάθε γραφή χρησιμοποιήθηκε και το ανάλογο σύστημα αρίθμησης, συγκεκριμένα: α) Το αριθμητικό σύστημα στην ιερογλυφική ή εικονογραφική γραφή β) Το αριθμητικό σύστημα της Γραμμικής Α γ) Το αριθμητικό σύστημα της Γραμμικής Β. Στην Κλασσική εποχή (480 πχ 323 πχ) χρησιμοποιήθηκε το λεγόμενο ακροφωνικό σύστημα αρίθμησης. Το τελευταίο ελληνικό σύστημα αρίθμησης είναι αυτό της Ελληνιστικής εποχής (323 πχ 31 πχ) -17-

Οι επιφανέστεροι Έλληνες μαθηματικοί ήταν οι: Θαλής ο Μιλήσιος (640-546 πχ), Kατάφερε, ανάμεσα σε πολλά άλλα, να υπολογίσει με όμοια τρίγωνα το 'Yψος των Πυραμίδων και να προβλέψει μία έκλειψη Ηλίου, τον Μάιο του 585 πχ. Αναξίμανδρος ο Μιλήσιος (611-546 πχ) Υπολόγισε, για πρώτη φορά με μαθηματική μέθοδο, την απόσταση του Ήλιου και της Σελήνης από τη Γη. Πυθαγόρας ο Σάμιος (580-500 πχ) Προσέφερε στα μαθηματικά το θεώρημα που φέρει το όνομά του. Υπολόγισε και μελέτησε τουλάχιστον τρία από τα πέντε κανονικά πολύεδρα (τετράεδρο, κύβο, δωδεκάεδρο). Κατασκεύασε την μουσική κλίμακα. Ευκλείδης - 'Aκμασε γύρω στο 300 π.χ. στην Αλεξάνδρεια, επί Πτολεμαίου του Α'. Κορυφαίος γεωμέτρης, συγγραφέας των γεωμετρικών "Στοιχείων" (Βάσεων), συγκέντρωσε, ταξινόμησε και κατέγραψε τις μέχρι τότε γεωμετρικές γνώσεις μαζί με τις δικές του, κατά τρόπο διδακτικά άψογο. Για την ζωή του δεν γνωρίζουμε τίποτα εκτός από το ότι σπούδασε στην Αθήνα και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Αρίσταρχος ο Σάμιος (περίπου 320-250 πχ) Πρωτοπόρος μαθηματικός και αστρονόμος έγινε γνωστός με την ανακάλυψη και προβολή του Ηλιοκεντρισμού. Η θεωρία του αυτή, της οποίας δεν σώθηκε απόδειξη, έλεγε ότι: "Η γη στρέφεται γύρω από τον άξονά της και γύρω από τον ακίνητο ήλιο, -18-

μαζί με τους πλανήτες, μέσα στην Απέραντη σφαίρα των απλανών" Υπατία (370-415 μχ) Δεν υπάρχουν στοιχεία, ότι η Υπατία ασχολήθηκε με μαθηματική έρευνα. Εντούτοις θεωρείται ότι βοήθησε τον πατέρα της στην παραγωγή μιας νέας έκδοσης των στοιχείων του Ευκλείδη που έχει γίνει η βάση για όλες τις πιο πρόσφατες εκδόσεις του Ευκλείδη. Αξίζει να σημειώσουμε ότι οι αρχαίοι Έλληνες δεν ξεχώριζαν Μαθηματικά, Φυσική, Αστρονομία, Φιλοσοφία αλλά καταπιάνονταν με όλα.. γι αυτό και σε όλους τους παραπάνω μπορούμε να βρούμε επιτεύγματα σε πολλούς τομείς. -19-

ΠΗΓΕΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ "ΤΑ ΟΡΦΙΚΑ", Ιωάννου Δ. Πασσά (Αθήναι-Εκδόσεις Εγκυκλοπαίδειας του «ΗΛΙΟΥ») «Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΑΡΙΘΜΟΣΟΦΙΑ», Ι. Δάκογλου, (Εκδόσεις Νέα Θέσις) http://www.ekivolos.gr/thetikes%20episthmes%20kai%20antoistixes%20efarmoges%20st hn%20arxaia%20ellada.htm http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/gr eeks.php http://www.telemath.gr/mathematical_articles/mathematical_articles_music/maths_artic les_music.php http://www.mathbooks.gr/fisika_math.html http://el.wikipedia.org/wiki/χρυσή_τομή http://el.wikipedia.org/wiki/μαθηματικά_και_τέχνη http://el.wikipedia.org/wiki/μαθηματική_φυσική http://el.wikipedia.org/wiki/γεωδαισία http://el.wikipedia.org/wiki/μαθηματική_γεωγραφία http://laikofrodistirio.blogspot.gr/p/blog-page_6324.html http://lit.ionio.gr/sozonp/history.html http://plinet.kas.sch.gr/project/attachments/article/99/parousiasi.pdf http://www.kolonmaths.com/ιστορία-των-μαθηματικών/ -20-