ανάλυση, σχόλια και ροεκτάσεις με αφορμή ααντήσεις μαθητών σε ερωτήματα μαθηματικών ου διατυώθηκαν για εργασία στη σχολική τάξη (αραδείγματα αό τα μαθηματικά του λυκείου) του Δημητρίου Ντρίζου σχολικού συμβούλου Μαθηματικών Σημειώσεις υό ροετοιμασία, Δεκέμβριος 010
Λίγα λόγια γι αυτές τις Σημειώσεις Τα αραδείγματα ου συμεριλάβαμε στις Σημειώσεις αυτές εστιάζονται κυρίως στην διερεύνηση, τον σχολιασμό και την αοτίμηση ααντήσεων μαθητών σε ερωτήματα, ου ροτάθηκαν κατά τη διδασκαλία των μαθηματικών σε τμήματα λυκείων. Και αρθρώνονται ως εξής: Στην αρχή αρουσιάζεται ένα θέμα (με εντελώς λιτή διατύωση) ου δόθηκε για εργασία σε μαθητές. Καταγράφονται στη συνέχεια οι ααντήσεις τους. και έ- ειτα διατυώνονται ερωτήματα με στόχο την ανάτυξη ενός διαλόγου στο λαίσιο της αξιολόγησής τους. Τέλος ροστίθενται διάφορες αρατηρήσεις και ορισμένες ενδιαφέρουσες μαθηματικές ροεκτάσεις. [Οι Σημειώσεις αυτές υόκεινται σε συνεχείς βελτιώσεις και συμληρώνονται με νέα θέματα] Δ.Ν., Δεκέμβριος 010
Ένα θέμα στην διάταξη των ραγματικών αριθμών [Δ.Ν., Άλγεβρα Α Λυκείου, 010α] Θέμα: Έστω 1< x < και 4 < y < 5 1 y 3 α. Να αοδείξετε ότι < < x β. Να αοδείξετε ότι 9 < 6x 7y < γ. Να βρείτε τα όρια 1 μεταξύ των οοίων εριέχεται η τιμή της αράστασης 6x Προβληματισμός Για το γ. ερώτημα του αραάνω θέματος δόθηκαν αό μαθητές της Α Λυκείου οι εόμενες ααντήσεις: Πρώτη αάντηση ( ) 6x = x 6x + 7y Πολ/ζοντας εί -1 τα μέλη της ανισότητας του β. ερωτήματος αίρνουμε < 6x + 7y < 9 Και εειδή οι ομοιόστροφες ανισότητες 1< x< και < 6x + 7y < 9 έχουν θετικά μέλη, τις ολ/ζουμε κατά μέλη και αίρνουμε < 6x < 58 Δεύτερη αάντηση Τα μέλη της ανισότητας 1< x < είναι θετικά, οότε 1 < x < δηλαδή 1< x < 4. Στη συνέχεια ολ/ζοντας εί -6 τα μέλη της 1< x < 4 ροκύτει 4 < 6x < 6: (1) Πολ/ζοντας εί 7 τα μέλη της 1< x< αίρνουμε 7 < 7x < 14 Οι ανισότητες 7 < 7x < 14 και 4 < y < 5 είναι ομοιόστροφες με θετικά μέλη, οότε με ολ/σμό κατά μέλη έχουμε 8 < 7xy < 70: () Τέλος, με ρόσθεση κατά μέλη των ομοιόστροφων ανισοτήτων (1) και () ροκύτει 4 < 6x < 64 Ερωτήματα Όως αρατηρείτε οι δύο ααντήσεις καταλήγουν σε διαφορετικά όρια μεταξύ των οοίων εριέχεται η τιμή της αράστασης 6x 1 Εν ροκειμένω με τη λέξη όρια εννοούμε άκρα ανοικτού διαστήματος. Σημειώνουμε ότι η ίδια λέξη χρησιμοοιείται με το ίδιο ακριβώς νόημα και αό τη συγγραφική ομάδα του σχολικού βιβλίου της Άλγεβρας Α Λυκείου: άσκηση 4 της Α ομάδας στην σελ. 36 (έκδ. 010). 3
Μήως εντοίζετε κάοιο σημείο ή κάοια σημεία των ααντήσεων στα οοία γίνεται λάθος; Πως θα αντιμετωίζατε ως αξιολογητής τις δύο αραάνω ααντήσεις; Μήως έχετε να ροτείνετε κάοια βελτίωση στη διατύωση του γ. ερωτήματος; Σχόλια και μαθηματικές ροεκτάσεις α. Το γεγονός ότι οι δύο αραάνω ααντήσεις καταλήγουν σε διαφορετικά όρια μεταξύ των οοίων εριέχεται η τιμή της αράστασης 6x οφείλεται στο ότι οι αοδείξεις με συνεαγωγές ροσδιορίζουν κατά κανόνα υερσύνολο τιμών, άρα και "ευρύτερα" άνω και κάτω όρια και όχι άντα τα ίδια (καθώς αυτά εξαρτώνται τελικά αό τον τρόο με τον οοίο δημιουργούμε την αράσταση 6x, εφαρμόζοντας διαδοχικά κατάλληλες ιδιότητες της διάταξης των ραγματικών αριθμών). Όσον αφορά δε την αξιολόγηση των δύο αραάνω ααντήσεων, σημειώνουμε ότι και οι δύο είναι σωστές και λήρως αοδεκτές. β. Με σκοό την ικανοοίηση της μαθηματικής εριέργειας (και μόνο) α- ναζητήσαμε τα "στενότερα" δυνατά όρια μεταξύ των οοίων εριέχεται η τιμή της αράστασης 6x με 1 x < < και 4 < y < 5. Είναι ροφανές ότι μια τέτοια αναζήτηση αρουσιάζει ενδιαφέρον μόνο για εμάς τους μαθηματικούς. και βέβαια σε καμιά ερίτωση για τη διδασκαλία των μαθηματικών σε μαθητές της Α Λυκείου! ( ) f x, y = 6x, με 1< x < και 4 < y < 5 ( ) ( ) inf f x, y ; 1< x <, 4 < y < 5 = lim 6x = x 1 y 4 ( ) ( ) sup f x, y ; 1< x <, 4 < y < 5 = lim 6x = 46 x y 5 4
Είλυση τριγωνομετρικής εξίσωσης (*) [Δ.Ν., Άλγεβρα Β Λυκείου, 010β] Θέμα: Να λύσετε την εξίσωση ηµ x + = 1, x R Προβληματισμός Αό μαθητές της Β Λυκείου δόθηκαν οι εόμενες ααντήσεις: Πρώτη αάντηση ηµ x + = 1 x + = ( k + 1) +, όου το k διατρέχει το Z 8 8 3 x = k + 8 3 x = k + 4 11 x = k + : (1) Δεύτερη αάντηση ηµ x + = 1 x + = k, όου το k διατρέχει το Z 8 x = k 4 5 x = k : () Τρίτη αάντηση Οι ερισσότεροι μαθητές έλυσαν την εξίσωση ηµ x + = 1 με τον αλγόριθμο είλυσης εξισώσεων μορφής στο βιβλίο τους, και κατέληξαν στις λύσεις: σύμφωνα ηµ x = ηµθ, ου ροτείνεται 11 x = k + ή 5 x = k 5
Ερωτήματα Όως αρατηρείτε οι δύο ρώτες ααντήσεις καταλήγουν σε διαφορετικούς γενικούς τύους έκφρασης των ριζών της αραάνω εξίσωσης. Μήως εντοίζετε λάθη ή διαιστώνετε αραλείψεις; Εκτιμάτε ότι "χάνονται" κάοιες ρίζες της εξίσωσης; Πως θα αντιμετωίζατε ως αξιολογητής τις δύο ρώτες ααντήσεις; Σχόλια Ο τύος (1) ροσδιορίζει με εριγραφή το σύνολο των ριζών της εξίσωσης ηµ x + = 1, x R, σύμφωνα με την ρώτη αάντηση. Θέτοντας k = 0, ± 1, ±, ± 3,... βρίσκουμε το σύνολο αυτό με αναγραφή των στοιχείων του. Και ανάλογα βρίσκουμε με αναγραφή και το σύνολο των ριζών ου ροκύτουν αό τον τύο () της δεύτερης αάντησης. Η σύγκριση των αραάνω συνόλων (με τη μορφή της αναγραφής των στοιχείων τους) μάς ειτρέει να αοφανθούμε ότι όλες οι ααντήσεις των μαθητών είναι αόλυτα σωστές. Αν μάλιστα μορούσαμε να εξασφαλίσουμε με βεβαιότητα ότι οι δύο ρώτες ααντήσεις των μαθητών δεν δόθηκαν στο λαίσιο "τυφλής" αομνημόνευσης τύων, τότε μάλλον ρέει να δεχτούμε ότι οι εν λόγω μαθητές έχουν αισθητοοιήσει λήρως τη διαδικασία αντιστοίχισης των σημείων της ευθείας των ραγματικών αριθμών στα σημεία του τριγωνομετρικού κύκλου: μια γνώση ουσιαστική και μάλιστα κομβικού χαρακτήρα για την τριγωνομετρία. Ένας άλλος τρόος ροσδιορισμού των ριζών με αναγραφή (Δ.Ν.) Ζητάμε τις ρίζες της εξίσωσης: ηµ x + = 1, x R Καταρχήν θεωρούμε δύο διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης ηµ x = 1, για αράδειγμα τις 3 και 3 Στη συνέχεια αναζητούμε τα x για τα οοία: x + = και 8 11 5 x + =. Βρίσκουμε x =, x = 8 Οι αριθμοί 11 5 και είναι ροφανώς δύο διαδοχικές ρίζες της εξίσω- σης ηµ x 11 5 + = 1, με αόσταση δ = = 6
Λόγω της εριοδικότητας της συνάρτησης ηµ, το σύνολο των ζητούμενων ριζών αοτελείται αό τους αριθμούς: 11 11 11 11 11 11 11..., 3 δ, δ, δ,, + δ, + δ, + 3 δ,... Και με αντικατάσταση της αριθμητικής τιμής του δ βρίσκουμε με αναγραφή τις ζητούμενες ρίζες: 37 1 5 11 7 43...,,,,,,,... Στο εόμενο σχήμα αρουσιάζονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y1 = ηµ x + και y = 1. Οι τετμημένες των κοινών τους σημείων αεικονίζουν τις ρίζες της εξίσωσης y 1 = y ηµx 8 1 xk 5, kακέραιος 69 53 37 1 5 11 7 43 59 75 91 107 y. 1.5 0.5 1. 0. 0.5 1. 1.5. O x. 1.5 1. 0.5 0. 0.5 1. 1.5. 69 53 37 1 5 11 7 43 59 75 91 107 7
Είλυση τριγωνομετρικής εξίσωσης (**) [Δ.Ν., Άλγεβρα Β Λυκείου, 010γ] Θέμα: Να λύσετε την εξίσωση ηµ x = συνx, x R Περιγραφή σχεδίου διδασκαλίας Κατά τη διδασκαλία της ενότητας είλυση βασικών τριγωνομετρικών εξισώσεων (άλγεβρα β λυκείου) ένας καθηγητής αοφάσισε να αφιερώσει μία λήρη διδακτική ώρα στη μελέτη τού αραάνω θέματος. Το σχέδιό του ήταν ακριβώς το εξής: Σε έναν διαρκή διάλογο με τους μαθητές του θα αναζητούσαν ρώτα διάφορους τρόους είλυσης της αραάνω εξίσωσης. Έειτα θα σχεδίαζαν ροσεκτικά, στο ίδιο σύστημα αξόνων, τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y 1 = ηµ x και y = συνx, και στη συνέχεια θα ακολουθούσε συζήτηση με στόχο να εμεδώσουν οι μαθητές τη σχέση των κοινών σημείων των γραφικών αραστάσεων με τις ρίζες της εξίσωσης y1 = y (διασύνδεση της γεωμετρικής εοτείας με την συνακόλουθη αλγεβρική σκέψη). Σημειώνουμε εδώ ότι το σχέδιο του καθηγητή υλοοιήθηκε σε γενικές γραμμές με ικανοοιητικά αοτελέσματα, και μάλιστα με άνεση χρόνου. Ακολουθούν τρεις ααντήσεις μαθητών οι οοίες αρουσιάστηκαν στον ίνακα της τάξης: Πρώτη αάντηση ηµ x συνx συν = x = συνx x = k + x ή x = k + x, k Z x = k + ή 0x = k Άρα x = k + 4 Δεύτερη αάντηση ηµ x = συνx ηµ x = ηµ x x = k + x ή x = k + + x x = k + ή 0x = k + 8
Άρα x = k + 4 Τρίτη αάντηση ηµ x ηµ x = συνx = 1 εφx = 1 x = k +, k Z συνx 4 Ερωτήματα Πως αξιολογείτε το σχέδιο του καθηγητή; Εκτιμάτε ότι στο χρόνο μιας διδακτικής ώρας η τάξη των μαθητών θα έ- ρεε να ασχοληθεί με ερισσότερα θέματα; Στις ααντήσεις των μαθητών μήως διαιστώνετε αραλείψεις; Πως θα αντιμετωίζατε ως αξιολογητής τις τρεις αραάνω ααντήσεις; 9
Αναζήτηση ορίου συνάρτησης σε x 0 R [Δ.Ν., Μαθημ. Κατεύθ. Γ Λυκείου, 010δ] Θέμα: Έστω η συνάρτηση ( ) f x = x + x Να βρείτε, αν υάρχει, το lim f ( x) 10 100 x 10 Προβληματισμός Μετά τη διδασκαλία της έννοιας του ορίου συνάρτησης σε σημείο x0 R, σε τμήμα μαθηματικών κατεύθυνσης γ λυκείου, τέθηκε ρος τους μαθητές το αραάνω θέμα, και ένας αό αυτούς έδωσε την εόμενη αάντηση: ( ) = ( + ) lim f x lim 10 x x 100 x 10 x 10 = + lim 10 x lim x 100 x 10 x 10 = 10 10 + 100 100 = 0+ 0 = 0 Ερωτήματα Με αφορμή την αάντηση αυτή ο καθηγητής ζήτησε αό τον ίδιο μαθητή να βρεί και το εδίο ορισμού της f. Tι ιστεύετε ότι ήθελε να ελέγξει α- κριβώς ο καθηγητής με το συγκεκριμένο ερώτημα; Ας δούμε όμως και κατά όσον το ίδιο το ερώτημα, όως ακριβώς διατυώθηκε, είναι μαθηματικά αοδεκτό: Οοιαδήοτε συζήτηση ερί του ορίου μιας συνάρτησης f σε κάοιο x 0 ροϋοθέτει ότι το εδίο ορισμού της εν λόγω συνάρτησης εριέχει ένα τουλάχιστον ανοικτό διάστημα με ένα άκρο το x 0. Και δεδομένης αυτής της ροϋόθεσης (το όριο να είναι lim f x, το οοίο καλώς ορισμένο) μορούμε έειτα να αναζητήσουμε το ( ) x x0 φυσικά μορεί να υάρχει (και να το βρούμε) ή να μην υάρχει. Υ αυτήν λοιόν την έννοια το αραάνω ερώτημα μάλλον θα έρεε να διατυώνεται διαφορετικά. Ποια θα έρεε να ήταν η διατύωση του ερωτήματος, έτσι ώστε να ζητείται με σαφήνεια (και κατά τρόο μαθηματικά ορθό) αυτό ακριβώς ου ο καθηγητής ήθελε να ελέγξει; 10