(Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 5 6 6 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Μέση και Στιγμιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Διαφορικές & Ολοκληρωτικές Εξισώσεις Κίνησης Σταθερή Επιτάχυνση Κατακόρυφη Ρίψη ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Διάνυσμα Θέσης Μετατόπιση Διανυσματικός Ορισμός Ταχύτητας Επιτάχυνσης Καμπυλόγραμμη Κίνηση Εφαπτομενική και Κάθετη Συνιστώσα της Επιτάχυνσης ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κυκλική Κίνηση Κίνηση Βλημάτων Παραμετρικές Εξισώσεις Εξισώσεις Τροχιάς Shis STILIARIS, UoA 5-6
(Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 5 6 6 ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΩΝ ALONSO FINN HALLIDAY RESNICK WALKER YOUNG FREEDMAN ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ 5., 5.,, 5.3, 5.4.,.,.3,.4,.5,.6,.7,.8,.9.,,.,.3,.4,.5,.6 ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ 5.5, 5.6, 5.8, 5. 4., 4., 4.3, 4.4 3.,, 3. ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 5.9, 5. 4.7 3.4 ΚΙΝΗΣΗ ΒΛΗΜΑΤΩΝ 5.7 4.5, 4.6 3.3 Shis STILIARIS, UoA 5-6
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΤΑΧΥΤΗΤΑ Μέση Ταχύτητα: Μετατόπιση (Δ) σε δοσμένο χρονικό διάστημα (Δ) O A Δ B Δs Δ Στιγμιαία Ταχύτητα: To όριο της μέσης ταχύτητας για Δ Δ lim Δ lim Δ Δ Δ d Υπολογισμός της μετατόπισης από την συναρτησιακή εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο d Shis STILIARIS, UoA 5-6 3
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Μέση Επιτάχυνση: Μέση αλλαγή της ταχύτητας (Δ) σε δοσμένο χρονικό διάστημα (Δ) O A Δ Δ B Δ Δ Στιγμιαία Επιτάχυνση: To όριο της μέσης επιτάχυνσης για Δ Δ lim Δ lim Δ Δ Δ d Υπολογισμός της ταχύτητας από τη χρονική εξάρτηση της επιτάχυνσης d Shis STILIARIS, UoA 5-6 4
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ: ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Στιγμιαία Επιτάχυνση: Δεύτερη παράγωγος της θέσης ως προς τον χρόνο d d d d Υπολογισμός της ταχύτητας από τη χωρική εξάρτηση της επιτάχυνσης d d d d d d d d Shis STILIARIS, UoA 5-6 5
ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Στην ομαλά επιταχυνόμενη ευθύγραμμη κίνηση ισχύει σταθερά ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) Shis STILIARIS, UoA 5-6 6
ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ c cons ( () ( () Shis STILIARIS, UoA 5-6 7
ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ consn Απαλοιφή του χρόνου ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Στη σχέση αυτή καταλήγουμε και με την ολοκλήρωση: ( ) d d d d ( ) ( ) Shis STILIARIS, UoA 5-6 8
ΟΜΑΛΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Απαλοιφή της επιτάχυνσης ( ) consn Στη σχέση αυτή καταλήγουμε και με την παρακάτω ολοκλήρωση, κάνοντας χρήση του εμβαδού του τραπεζίου στο διάγραμμα (): d d Shis STILIARIS, UoA 5-6 9
ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΠΤΩΣΗ Οι εξισώσεις της κίνησης για σταθερή επιτάχυνση μπορούν να εφαρμοστούν στην περίπτωση της ελεύθερης πτώσης (επιτάχυνση g 9.8 ms ). Κατακόρυφη βολή g Η g g g Υπολογισμός μεγίστου ύψους Η m H g ( /g) H g g g g Shis STILIARIS, UoA 5-6 H g
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ Διάνυσμα Θέσης z î ĵ zkˆ Δ Δ Δ ( Δ î ( ) ( kˆ ) î ĵ z kˆ î ĵ z )î ( Δ ĵ Μετατόπιση Δzkˆ )ĵ (z z )kˆ Δ Δ Δ î Μέση Ταχύτητα Δ ĵ Δ Δzkˆ Δ Δ î Δ Δ ĵ Δz kˆ Δ lim Δ Δ Δ d d Ταχύτητα ( î ĵ zkˆ ) Shis STILIARIS, UoA 5-6 d î d ĵ dz kˆ
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ kˆ dz ĵ d î d ) zkˆ ĵ ( î d d Ταχύτητα Ταχύτητα z z kˆ ĵ î Δ Δ Δ Μέση Μέση Επιτάχυνση Επιτάχυνση kˆ d ĵ d î d ) kˆ ĵ î ( d d lim z z Δ Δ Δ Επιτάχυνση Επιτάχυνση z z kˆ ĵ î Shis STILIARIS, UoA 5-6
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ T Κατά τη κίνηση του σώματος από το Α στο Β η μετατόπιση ΔsΔ πάνω στην καμπύλη δίνεται από το τόξο ΑΒ. Δ Δ lim lim Δ Δ Δ Δs Δ lim lim Δs Δs Δ Δs Δ Δs Δ Στο όριο αυτό το Δs Δ γίνεται ίσο με το μέτρο Δ, Δ οπότε ο πρώτος όρος αντιπροσωπεύει ένα μοναδιαίο διάνυσμα, εφαπτόμενο στη διαδρομή (καμπύλη) που περιγράφει την κίνηση του σώματος. Δ d lim ût Δs Δs d ds ût ût Δs ds lim Δ Δ Shis STILIARIS, UoA 5-6 3
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ T N C Σώμα κινείται στην τροχιά C και τη χρονική στιγμή έχει ταχύτητα και επιτάχυνση. Η επιτάχυνση έχει πάντα κατεύθυνση προς τα κοίλα της τροχιάς. Μπορούμε να αναλύσουμε την επιτάχυνση σε δύο κάθετες συνιστώσες: Σε μια εφαπτομενική στην τροχιά και σε μια κάθετη συνιστώσα. T Εφαπτομενική Επιτάχυνση: Αλλαγή στο μέτρο της ταχύτητας N Κάθετη Επιτάχυνση: Αλλαγή στη διεύθυνση της ταχύτητας Shis STILIARIS, UoA 5-6 4
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ û T û T ' d d d (ût ) ût dû T û N dφ ût ' û T dût Όταν η τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη, τότε το μοναδιαίο διάνυσμα u T αλλάζει κατεύθυνση και η παράγωγός του ως προς τον χρόνο υπολογίζεται ως εξής: dût ût dφ ûn dφ ûn û όπου το μοναδιαίο διάνυσμα u N, το οποίο εισάγεται για να καθορίσει την κατεύθυνση της μεταβολής du T είναι κάθετο στο u T, δηλαδή κάθετο στην εφαπτομενική διεύθυνση της τροχιάς. Έτσι: N dφ dût dφ dφ ds dφ dφ dût ûn dφ ûn ûn ûn ûn ds ds ρdφ û N ρ Shis STILIARIS, UoA 5-6 5
ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ d d d (ût ) ût dû T û T d û N ρ û T d û N ρ T N Εφαπτομενική επιτάχυνση T : Ρυθμός αλλαγής του μέτρου της ταχύτητας. Σε περίπτωση ομαλής καμπυλόγραμμης κίνησης (μέτρο ταχύτητας σταθερό), η εφαπτομενική επιτάχυνση T εξαφανίζεται. Κάθετη επιτάχυνση N : Αλλάζει την κατεύθυνση της ταχύτητας. Σε ευθύγραμμη κίνηση η ακτίνα καμπυλότητας ρ απειρίζεται,, οπότε η κάθετη επιτάχυνση μηδενίζεται. Shis STILIARIS, UoA 5-6 6
ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ θ R Κυκλική Κίνηση: Η τροχιά είναι κύκλος σταθερής ακτίνας R,, οπότε η ταχύτητα είναι πάντα εφαπτομένη της κυκλικής τροχιάς και κάθετη στην επιβατική ακτίνα. Το μέτρο της ταχύτητας θα δίνεται από: ds d ω dθ (R θ ) R Η ποσότητα dθ/ θ/ ονομάζεται γωνιακή ταχύτητα ω dθ Η γωνιακή ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος με μέτρο ω, διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο κίνησης και φορά καθοριζόμενη από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Μονάδα γωνιακής ταχύτητας: d/s s Shis STILIARIS, UoA 5-6 7
ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ R ω R θ α Η κυκλική κίνηση στο χώρο μπορεί να περιγραφεί από το διάνυσμα θέσης. Όπως είναι προφανές από το παραπάνω σχήμα ισχύει γενικά: ω dθ ω sinα ω(sin) ωr R Shis STILIARIS, UoA 5-6 8
θ R ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ομαλή κυκλική κίνηση: Η γωνιακή ταχύτητα ω παραμένει χρονικά σταθερή ω dθ/ θ/ cons Περίοδος Τ : Ο απαιτούμενος χρόνος για μια πλήρη περιστροφή ω π/τ πf Συχνότητα f : Αριθμός περιστροφών στη μονάδα του χρόνου f /T Για σταθερή γωνιακή ταχύτητα ισχύει: ω dθ dθ ω θ θ dθ ω θ θ ω θ θ ω Shis STILIARIS, UoA 5-6 9
ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Στη γενική περίπτωση της καμπυλόγραμμης κίνησης είδαμε ότι ισχύει: û T d û N ρ T N θ N T Τα u T και u N είναι μοναδιαία διανύσματα, εφαπτόμενο στην τροχιά και κάθετο αντίστοιχα. Στην περίπτωση κυκλικής κίνησης: Η ακτίνα καμπυλότητας ρ παραμένει σταθερή και ταυτίζεται με την ακτίνα του κύκλου R Η γραμμική ταχύτητα εκφράζεται μέσω της γωνιακής ω R Η γραμμική επιτάχυνση d/ ομοίως εκφράζεται από την γωνιακή d/ R dω/d d dω ω R ût ûn R ût ûn ρ R R dω u T ω R u N Shis STILIARIS, UoA 5-6
ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Η επιτάχυνση στην κυκλική κίνηση έχει δύο συνιστώσες T και N, εφαπτομενική και κάθετη στην τροχιά αντίστοιχα. dω R ût ω R û N θ N T Η εφαπτομενική συνιστώσα T είναι υπεύθυνη για την αλλαγή του μέτρου της ταχύτητας Η συνιστώσα N αντιστοιχεί στην κεντρομόλο επιτάχυνση ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Στην ειδική περίπτωση της ομαλής κυκλικής κίνησης, η ποσότητα dω/ ω/ μηδενίζεται με αποτέλεσμα να παραμένει μόνο η κεντρομόλος επιτάχυνση ω R, η οποία είναι ως προς το μέτρο σταθερή. dω R u T ω R u N ω R u N Shis STILIARIS, UoA 5-6
ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ θ Διανυσματικός Υπολογισμός Επιτάχυνσης Παρουσιάζεται εδώ μια εναλλακτική προσέγγιση υπολογισμού της επιτάχυνσης στην ομαλή κυκλική κίνηση. d d i d j d ( sinθ ) i d (cosθ) j Το μέτρο της ταχύτητας στην ομαλή κίνηση παραμένει σταθερό: dθ cosθ i dθ sinθ j ωcosθ i ωsinθ j ω R cosθ i ω Rsinθ j ω R cos θ sin θ ω R Shis STILIARIS, UoA 5-6
ΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗ Κίνηση σωματιδίου (χωρίς αντιστάσεις) σε κατακόρυφο επίπεδο όπου επιδρά μόνο η σταθερή επιτάχυνση της ελεύθερης πτώσης g. Το σώμα βάλλεται με αρχική ταχύτητα i υπό γωνία θ θ i î ĵ cosθ î sinθ ĵ Κατά τη διάρκεια της κίνησης το διάνυσμα θέσης καθώς και το διάνυσμα της ταχύτητας μεταβάλλονται συνεχώς, ενώ το διάνυσμα της επιτάχυνσης παραμένει σταθερό ( g).( Το βλήμα δεν έχει οριζόντια επιτάχυνση! Στην πλάγια βολή η οριζόντια και η κατακόρυφη κίνηση είναι ανεξάρτητες η μια από την άλλη. Shis STILIARIS, UoA 5-6 3
ΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗ Εξισώσεις της Κίνησης Οριζόντια Κίνηση ( cosθ ) Κατακόρυφη Κίνηση ( sinθ ) g g sinθ g ( ) ( sin ) g( ) θ Shis STILIARIS, UoA 5-6 4
ΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗ Εξίσωση της Τροχιάς Η εξίσωση της κίνησης που προκύπτει εάν συμπλέξουμε την οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της απόστασης, απαλείφοντας τον χρόνο από τις εξισώσεις αυτές. ( cosθ ) cosθ ( sin ) θ g ( sinθ ) cosθ ( nθ ) g cosθ ( cosθ ) Shis STILIARIS, UoA 5-6 5 g
ΠΛΑΓΙΑ ΒΟΛΗ Βεληνεκές Η οριζόντια απόσταση R που διανύει το βλήμα όταν επιστρέψει στο αρχικό ύψος εκτόξευσης. R ( cosθ ) Ο χρόνος πτήσης υπολογίζεται από την κατακόρυφη κίνηση, έτσι ώστε : ( θ sin ) g Απαλείφοντας τον χρόνο από τις παραπάνω εξισώσεις καταλήγουμε στην σχέση: R sinθ cosθ R sinθ g g Το μέγιστο βεληνεκές επιτυγχάνεται για βολή με θ 45 ο Shis STILIARIS, UoA 5-6 6