ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 85 8 ΣΦΑΙΡΙΚΑ Η/Μ ΚΥΜΑΤΑ ασαιρικά κύµατα Φαντασείτε µια σηµειακή πηγή (πχ ταλαντούµενο σηµειακό ορτίο) που πάλλεται σ ένα σηµείο του χώρου Τα κύµατα που διαδίδονται προς όλες τις διευύνσεις µέσα σε ένα οµογενές και ισότροπο µέσο α έχουν σαν µέτωπα σαιρικές επιάνειες Ενώ στα επίπεδα κύµατα έχουµε Ε(x, y, z, ), στα σαιρικά κύµατα είναι: (,) µε x y z ( ) / Η κυµατική εξίσωση: x y z στην περίπτωση σαιρικών συντεταγµένων όπου ( x cs,, y z cs ) γίνεται: Σχήµα 9 Λόγω σαιρικής συµµετρίας όµως (,,, )(, ) Συνεπώς τα και είναι µηδέν και η παραπάνω εξίσωση γράεται: Μετά από πράξεις στα α' µέλος, η εξίσωση αυτή διαδοχικά γράεται ( ) ) ( Επειδή το είναι ανεξάρτητο του η προηγούµενη εξίσωση γράεται: ( ) ( ) Η γενική λύση αυτής είναι :
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 86 f ( ) g( ) (, ) f ( ) g ( ) g ( ) Η δεύτερη λύση ενώ είναι µαηµατικά αποδεκτή δεν έχει υσικό περιεχόµενο και πρέπει να απορριεί Η µέχρι τώρα εµπειρία δείχνει ότι όταν επιταχύνονται ορτία (που είναι οι πηγές Η/Μ κυµάτων) τα κύµατα που δηµιουργούνται έχουν διεύυνση ώστε να αποµακρύνονται από τα ορτία Άρα δεχόµαστε κύµατα που γεννώνται από µία πηγή και διαδίδονται προς τα έξω Πρέπει να σηµειώσουµε ότι αυτή είναι µια επιπρόσετη συνήκη που δεν προκύπτει από τις f ( ) εξισώσεις του Maxwell Θα έχουµε λοιπόν: (,) ιαπιστώνουµε ότι το πλάτος του σαιρικού κύµατος είναι αντιστρόως ανάλογη του Ένα άλλο πρόβληµα της λύσης αυτής είναι ότι στη έση 0 y() Στο επίπεδο αυτής της συζήτησης α εωρούµε την παραπάνω λύση για όλο το χώρο εκτός από τη έση 0 βκυλινδρικά κύµατα Φανταστείτε µια γραµµική πηγή (πχ µια οµογενή γραµµική κατανοµή ορτίου ) που πάλλεται Προανώς τα µέτωπα των κυµάτων είναι κυλινδρικές επιάνειες µε γενέτειρα την ευεία πάνω στην οποία βρίσκονται τα ορτίαη λαπλασιανή σε κυλινδρικές συντεταγµένες έχει την έκραση : ( ) z Λόγω συµµετρίας έχουµε: () (,, z ) () οπότε η κυµατική εξίσωση τελικά γράεται: ( ) Βρίσκεται ότι η λύση της εξίσωσης αυτής για αρκετά µεγάλα είναι: f (,) ( ) και για αρµονικό κύµα (,) ( ) Σχήµα 0 Σχήµα ιαπιστώνουµε ότι το πλάτος των κυλινδρικών κυµάτων είναι αντιστρόως ανάλογο της τετραγωνικής ρίζας της απόστασης Μεταβολή του πλάτους µε την απόσταση για διάορα είδη κυµάτων Ισχύει V όπου :η πυκνότητα ενέργειας
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 87 Η ενέργεια που περνά από την ισοασική επιάνεια Α σε χρόνο d είναι d dv Ad και συνεπώς ο ρυµός µεταβολής της ενέργειας α είναι : d A d Aυ d d όπου υ : η ταχύτητα του κύµατος i Επίπεδα κύµατα Σύµωνα µε το εώρηµα διατήρησης της ενέργειας (Σχήµα ) που περνά από δύο διαδοχικές επιάνειες Α και Α στη µονάδα του χρόνου : d d A A A A d,υ υ υ υ σταερο d Στο επόµενο κεάλαιο α δούµε ότι και εποµένως: σταερ επιπεδο Στα επίπεδα κύµατα το πλάτος διατηρείται σταερό αού οι ισοασικές επιάνειες του κύµατος (επίπεδες) διατηρούν σταερό εµβαδό ii Σαιρικά κύµατα Σύµωνα µε το εώρηµα διατήρησης της ενέργειας (Σχήµα 3) : υ υ,a 4π,A A A 4π 4 4 υ υ π π σαιρικο iii Κυλινδρικά κύµατα Σύµωνα µε το εώρηµα διατήρησης της ενέργειας (Σχήµα 4) : υ υ,a π l,a π l A A l l υ υ π π κυλινδρικο A l A Σχήµα Σχήµα 3 Σχήµα 4 Άσκηση: Πώς αντιλαµβάνεστε τη ράση:«σε αρκετά µεγάλη απόσταση από την ακτινοβολούσα πηγή, το Η/Μ κύµα είναι, µε καλή προσέγγιση, ένα επίπεδο κύµα»; Υπόδειξη: Τα δύο παρακάτω σχήµατα (Σχήµα 5 και Σχήµα 6) επιβεβαιώνουν τον παραπάνω ισχυρισµό Σε αρκετά µεγάλη απόσταση από την πηγή, η ισοασική επιάνεια τείνει προς επίπεδη (Η ενέργεια όµως του σαιρικού κύµατος, διαχέεται προς όλες τις διευύνσεις Για µεγάλες αποστάσεις το µισό της ενέργειας που περνά από τη σαιρική ισοασική επιάνεια είναι το αντίστοιχο που περνά από την «ισοδύναµη» επίπεδη ισοασική επιάνεια Σχολιάστε)
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 88 Για µεγάλα η µεταβολή του / είναι πολύ µικρή, δηλαδή το / είναι περίπου σταερό Με άλλα λόγια ο ρυµός µεταβολής του πλάτους, µικραίνει ταχύτερα από τη µεταβολή του, (αού, 0) Τα παραπάνω επιχειρήµατα µπορούν άνετα να επεκταούν και για την περίπτωση κυλινδρικού κύµατος Η σωστότερη διατύπωση της ράσης είναι η εξής :«Σε αρκετά µεγάλη απόσταση από την ακτινοβολούσα πηγή, ένα περιορισµένο τµήµα του σαιρικού ή του κυλινδρικού κύµατος είναι ισοδύναµο µε περιορισµένο κύµα» 0 Λύσεις των µη οµογενών εξισώσεων ρ µε () ô ε A A µε µ J () ô Ως γνωστόν η λύση µιας µη οµογενούς εξίσωσης είναι το άροισµα της γενικής λύσης της αντίστοιχης οµογενούς και µιας ειδικής λύσης της µη οµογενούς Η οµογενής της () είναι η µε ô 0 Θεωρώντας σαιρική συµµετρία (µε το ορτίο στην αρχή των συντεταγµένων) η γενική λύση της (3) α είναι της µορής : f(- µε ) (,) (4) f(- ) µε ή (,) Στη λύση αυτή η συνάρτηση f(- µε ) είναι αυαίρετη Θα µπορούσε όµως να εκλεγεί έτσι ώστε να ικανοποιείται η (3) Πράγµατι λαµβάνοντας υπόψη ότι ένα (3)
ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 89 q στατικό ορτίο δηµιουργεί ένα δυναµικό, εύκολα α µπορούσε να 4 π ε q(- ) µε αποδεχεί κανείς µια λύση της µορής : (,) 4πε Αν ρ :η πυκνότητα ορτίου µιας κατανοµής τότε προανώς η παραπάνω λύση ρ(- ) µε γενικεύεται ως εξής: (,) dv V 4πε Σκεπτόµενοι τώρα ότι µια µεταβολή στις πηγές στη έση α γίνει αισητή στη έση ύστερα από χρόνο - /, η γενική λύση της (), παίρνει την έκραση: ρ(, - µε - ) (,) dv π (5) 4 ε V - Αντίστοιχα µπορεί να βρεεί ότι η γενική λύση της () είναι: µ J (, - µε - ) A (,) dv 4 π (6) - V Οι σχέσεις (5) και (6) είναι γνωστές σαν καυστερηµένα δυναµικά (eaded penials) Η υσική τους σηµασία είναι πολύ ενδιαέρουσα Υποδηλώνουν ότι σε ένα ορισµένο σηµείο για µια δοσµένη χρονική στιγµή τα δυναµικά προσδιορίζονται από τα ορτία και τα ρεύµατα που υπήρχαν σε κάποια προηγούµενη στιγµή - µε Μ άλλα λόγια µια µεταβολή που συµβαίνει στις πηγές στη έση γίνεται αισητή στη έση µετά από χρόνο - µε