Κεθάλαιο 3: Υποδείγμαηα ενδογενούρ οικονομικήρ μεγεθύνζεωρ

Παλεπηζηήκην Ισαλλίλσλ, Τκήκα Οηθνλνκηθψλ Δπηζηεκψλ Μεηαπηπρηαθφ Πξφγξακκα Σπνπδψλ, Μάζεκα: Μαθξννηθνλνκηθή Γηδάζθσλ: Γεκήηξηνο Φαηδεληθνιάνπ α/α 7 Κεθάλαιο 3: Υποδείγμαηα ενδογενούρ οικονομικήρ μεγεθύνζεωρ 3.1 Ειζαγωγή Τα ππνδείγκαηα πνπ έρνπκε εμεηάζεη κέρξη ηψξα θαηαιήγνπλ ζην ζπκπέξαζκα φηη ν ξπζκφο κεγεζχλζεσο ηεο παξαγσγηθφηεηαο ηεο εξγαζίαο (r Y/L ) εμαξηάηαη κφλν απφ κία εμσγελή κεηαβιεηή, ην ξπζκφ κεγεζχλζεσο ηεο ηερλνινγηθήο πξνφδνπ (g), ε ζπκπεξηθνξά ηεο νπνίαο δελ εμεγείηαη απφ απηά ηα ππνδείγκαηα. Τν ραξαθηεξηζηηθφ απηφ δελ είλαη ηθαλνπνηεηηθφ φρη κφλν απφ ζεσξεηηθή, αιι νχηε απφ πξαθηηθή ζθνπηά. Γηα παξάδεηγκα, ζ απηά ηα ππνδείγκαηα δελ θαίλεηαη πψο ε νηθνλνκηθή πνιηηηθή ζα κπνξνχζε λα επεξεάζεη ην ξπζκφ r Y/L. Σ απηφ ην θεθάιαην ζα εμεηάζνπκε ππνδείγκαηα φπνπ ε ζπκπεξηθνξά ηνπ ξπζκνχ r Y/L εμεγείηαη ελδνγελψο, δειαδή απφ κεηαβιεηέο πνπ πξνζδηνξίδνληαη εληφο απηψλ ησλ ππνδεηγκάησλ, θαη άξα κπνξεί λα επεξεαζζεί απφ ηελ νηθνλνκηθή πνιηηηθή. 1 3.2 Απλά ςποδείγμαηα ενδογενούρ οικονομικήρ μεγεθύνζεωρ με ένα ηομέα παπαγωγήρ 3.2.1 Το ςπόδειγμα ΑΚ Τν απινχζηεξν ππφδεηγκα ελδνγελνχο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο είλαη ην γλσζηφ σο «ςπόδειγμα ΑΚ», ην φλνκα ηνπ νπνίνπ νθείιεηαη ζηε κνξθή ηεο ζπλαξηήζεσο παξαγσγήο πνπ ρξεζηκνπνηείηαη, ε νπνία είλαη γξακκηθή. Σπγθεθξηκέλα, Υ() = A(), A > 0, (3.1) φπνπ ην A παξηζηάλεη ην επίπεδν ηεο ηερλνινγίαο θαη ππνηίζεηαη φηη είλαη ζηαζεξφ, δειαδή g = 0. Σηα Κεθάιαηα 1-2, φηαλ g = 0, είδακε φηη r Y/L = 0, ελψ εδψ ζα δνχκε φηη r Y/L > 0. Γειαδή, νηθνλνκηθή κεγέζπλζε κπνξεί λα ππάξμεη αθφκε θαη φηαλ δελ ππάξρεη ηερλνινγηθή πξφνδνο. Ο ιφγνο είλαη φηη ζην ππφδεηγκα ΑΚ ηφζν ην νξηαθφ φζν θαη ην κέζν πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ δελ είλαη θζίλνληα, αιιά ζηαζεξά: Υ/ Κ = Υ/Κ = Α. 2 Σπλεπψο, φπσο ζα δνχκε ακέζσο παξαθάησ, ν ξπζκφο κεγεζχλζεσο ηνπ, r, δελ κεηψλεηαη θαζψο απμάλεηαη ην, αιιά παξακέλεη ζηαζεξφο. Όπσο ζεκεηψλνπλ νη Barro θαη Sala-i-Marin (1995, ζει. 39), ε απνπζία ηεο θζίλνπζαο νξηαθήο απνδφζεσο ηνπ θεθαιαίνπ, ζε νπνηνδήπνηε επίπεδν θαη αλ ρξεζηκνπνηείηαη απηφ, θαίλεηαη σο κία κε ξεαιηζηηθή ππφζεζε. Ωζηφζν, αλ ζεσξήζνπκε φηη ε έλλνηα «θεθάιαην» πεξηιακβάλεη φρη κφλν ην θπζηθφ, αιιά θαη ην αλζξψπηλν θεθάιαην, ηφηε ε ππφζεζε απηή θαζίζηαηαη πην εχινγε. Όπσο θαη ζηα πξνεγνχκελα δχν θεθάιαηα, ππνζέηνπκε θαη εδψ φηη έρνπκε έλα κφλν ηνκέα παξαγσγήο, δειαδή ε νηθνλνκία παξάγεη έλα «πξντφλ», ην νπνίν κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί (κία πξνο κία κνλάδα) γηα θαηαλάισζε ή επέλδπζε. Σην Τκήκα 3.3 ζα 1 Τν θεθάιαην απηφ βαζίδεηαη θπξίσο ζηα βηβιία ησλ D. Romer (2006) θαη R. Barro and X. Sala-i-Marin (1995). 2 Σηα Κεθ. 1-2, φπνπ είρακε θζίλνληα νξηαθά πξντφληα, ην r Y κπνξεί λα είλαη ζεηηθφ κφλν αλ g > 0. Γηφηη, θαζψο ην Κ απμάλεη, ην ΜΡΚ θζίλεη, νπφηε ζα θζάζεη ζ έλα ζεκείν φπνπ ΜΡΚ = 0, ζχκθσλα κε ηε ζπλζήθε Inada (1.11β). Απφ εθεί θαη πέξα, εθφζνλ ε αχμεζε ηνπ L είλαη δεδνκέλε (r L = n), νηθνλνκηθή κεγέζπλζε κπνξεί λα πξνέιζεη κφλν απφ ηε βειηίσζε ηεο ηερλνινγίαο. 1

ππνζέζνπκε δχν ηνκείο παξαγσγήο, ηνλ παξαδνζηαθφ ηνκέα παξαγσγήο πξντφληνο θαη ηνλ ηνκέα παξαγσγήο λέσλ ηερλνινγηψλ. Γηαηξψληαο ηελ Δμ. (3.1) κε L(), πξνθχπηεη φηη y = A, (3.2) φπνπ y = Υ/L θαη = Κ/L. Γηαηξψληαο ηελ Δμ. (1.22) κε, πξνθχπηεη φηη r = sf()/ (n + g + δ). (3.3) Αληηθαζηζηψληαο ζηελ Δμ. (3.3) φπνπ f() = A θαη g = 0, πξνθχπηεη φηη r = sa (n + δ). Απφ ηελ εμίζσζε απηή, είλαη θαλεξφ φηη αλ sα > n + δ, ηφηε ν ξπζκφο απμήζεσο ηνπ, r, ζα είλαη ζηαζεξφο θαη ζεηηθφο, ότι κεδεληθφο. Καη εθφζνλ ππνζέηνπκε φηη g = 0, απφ ηελ Δμ. (3.2) πξνθχπηεη φηη r y = r. Σπλεπψο, κε ηελ πξνυπφζεζε φηη sα > n + δ, ζην ππφδεηγκα ΑΚ έρνπκε r = r y = r Y/L = sa (n + δ) > 0, (3.4) παξά ην γεγνλφο φηη g = 0 θαη αλεμαξηήησο ηνπ επηπέδνπ ηνπ θεθαιαίνπ πνπ ρξεζηκνπνηείηαη. Η δπλακηθή ζπκπεξηθνξά ηνπ ππνδείγκαηνο ΑΚ παξνπζηάδεηαη ζην Γηάγξακκα 3.1. sa, δ+n r > 0 γηα θάζε ηηκή ηνπ sα δ + n Γηάγξακκα 3.1. Η δπλακηθή ζπκπεξηθνξά ηνπ ππνδείγκαηνο ΑΚ Η βαζηθή δηαθνξά, ινηπφλ, κεηαμχ ηνπ λενθιαζηθνχ ππνδείγκαηνο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο θαη ηνπ ππνδείγκαηνο ΑΚ είλαη φηη ζην ηειεπηαίν ππάξρεη νηθνλνκηθή κεγέζπλζε αθφκε θαη φηαλ g = 0. Μία δεχηεξε δηαθνξά είλαη φηη ζην ππφδεηγκα ΑΚ ν ξπζκφο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο (r Y/L ) εμαξηάηαη απφ ην επίπεδν ηεο ηερλνινγίαο (Α) θαη απφ ηηο παξακέηξνπο ζπκπεξηθνξάο s, n θαη δ [βι. Δμ. (3.4)]. Σπλεπψο, αλ, γηα παξάδεηγκα, ε θπβέξλεζε κπνξέζεη λα βειηηψζεη ην ζχζηεκα παξαγσγήο θαη δηαδφζεσο ηεο γλψζεσο, θαηνρπξψζεη θαιχηεξα ηα δηθαηψκαηα ηδηνθηεζίαο (propery righs) θαη, γεληθψηεξα, βειηηψζεη ην ζεζκηθφ πιαίζην θαη ηε δεκφζηα ππνδνκή, αλ δειαδή απμήζεη ην Α (βι. ηέινο ηνπ Τκήκαηνο 1.5), ηφηε ζα επηηχρεη κία κφληκε αχμεζε ηνπ r Y/L. Ωο έλα δεχηεξν παξάδεηγκα, αλ ε θπβέξλεζε πείζεη ην θνηλφ λ απμήζεη κφληκα ηε κέζε ξνπή γηα απνηακίεπζε (s), ηφηε ζα επηηχρεη κία μόνιμη αχμεζε ηνπ r Y/L, ελψ ζην ππφδεηγκα Solow-Swan, ε αχμεζε ηνπ r Y/L ζα ήηαλ κφλν πξνζσξηλή (βι. Τκήκα 1.4). Μία ηξίηε δηαθνξά είλαη φηη ην ππφδεηγκα ΑΚ δελ πξνβιέπεη ζχγθιηζε (απφιπηε ή ππφ ζπλζήθε), εθφζνλ εδψ έρνπκε φηη (r Y/L )/ (Y/L) = 0. Έζησ φηη έρνπκε κία νκάδα ρσξψλ πνπ έρνπλ ηα ίδηα δηαξζξσηηθά ραξαθηεξηζηηθά (θαη άξα ίδηεο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ Α, s, n θαη δ), αιιά δηαθέξνπλ σο πξνο ηελ αξρηθή ηηκή ηνπ, (0), θαη άξα δηαθέξνπλ θαη σο πξνο ηελ αξρηθή 2

ηηκή ηεο κέζεο παξαγσγηθφηεηαο ηεο εξγαζίαο (Y/L) [βι. Δμ. (3.2)]. Δθφζνλ ην ππφδεηγκα ΑΚ πξνβιέπεη φηη ε νηθνλνκία θάζε ρψξαο ζα κεγεζχλεηαη κε ηνλ ίδιο ξπζκφ, sa (n + δ), αλεμαξηήησο ηνπ αξρηθνχ επηπέδνπ ηνπ ηεο θάζε ρψξαο, έπεηαη φηη δελ ππάξρεη απφιπηε ζχγθιηζε. Γηα λα δνχκε φηη δελ ππάξρεη νχηε ππφ ζπλζήθε ζχγθιηζε, αξθεί λα παξαηεξήζνπκε φηη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο (3.1), Υ() = A(), είλαη κία ζπλάξηεζε ηεο κνξθήο Cobb-Douglas, φπνπ νη ειαζηηθφηεηεο ηνπ πξντφληνο σο πξνο ην θεθάιαην θαη ηελ εξγαζία είλαη, αληηζηνίρσο, α = 1 θαη 1 α = 0. Σπλεπψο, απφ ηελ Δμ. (1.78), β = (1 α)(n + g + δ), πξνθχπηεη φηη ν ζπληειεζηήο ηεο ηαρχηεηαο ζπγθιίζεσο είλαη β = 0. Η αηηία γηα ηελ έιιεηςε ζπγθιίζεσο ζην ππφδεηγκα ΑΚ είλαη φηη ην ΜΡΚ δελ είλαη θζίλνλ, αιιά ζηαζεξφ. Αο ζεκεησζεί δε φηη ε έιιεηςε ζπγθιίζεσο είλαη έλα ζνβαξφ κεηνλέθηεκα ηνπ ππνδείγκαηνο ΑΚ, δηφηη ε ππφ ζπλζήθε ζχγθιηζε απνηειεί έλα εκπεηξηθφ γεγνλφο, ην νπνίν φκσο ην παξφλ ππφδεηγκα αδπλαηεί λα εξκελεχζεη. Σην επφκελν ηκήκα παξνπζηάδεηαη έλα ππφδεηγκα πνπ δηνξζψλεη απηφ ην κεηνλέθηεκα. 3.2.2 Μία βεληίωζη ηος ςποδείγμαηορ ΑΚ, η οποία επιηπέπει ζύγκλιζη Αλ ππάξρεη ηζνξξνπία ζηαζεξήο θαηαζηάζεσο, ηφηε, εμ νξηζκνχ, ην r είλαη ζηαζεξφ. Απφ ηελ Δμ. (3.3), φπνπ g = 0, είλαη θαλεξφ φηη ε ηθαλή θαη αλαγθαία ζπλζήθε γηα λα έρνπκε r > 0 είλαη f()/ > (n + δ)/s γηα θάζε επίπεδν ηνπ. 3 Αλ, αληί ηεο ζπλζήθεο Inada (1.17β), lim f '( ) 0, ππνζέζνπκε φηη lim f '( ) 0, ηφηε lim f ( ). Σπλεπψο, κε βάζε ηνλ θαλφλα ηνπ l Hôpial, πξνθχπηεη φηη lim [ f ( ) / ] = lim f '( ) > 0. Υπφ απηέο ηηο πξνυπνζέζεηο, θαη ζχκθσλα κε ηελ Δμ. (3.3) κε g = 0, ε ζπλζήθε γηα λα έρνπκε r > 0 γηα θάζε επίπεδν ηνπ είλαη lim[ f ( ) / ] lim f '( ) ( n δ) / s 0. (3.5) Η αληηθαηάζηαζε ηεο ζπλζήθεο Inada (1.17β) κε ηε ζπλζήθε lim f '( ) 0 ζεκαίλεη φηη, γηα πνιχ κεγάιεο ηηκέο ηνπ, ε θζίλνπζα νξηαθή απφδνζε ηνπ θεθαιαίνπ παχεη λα ηζρχεη: γηα ζρεηηθά κηθξέο ηηκέο ηνπ, ε νξηαθή απφδνζε ηνπ θεθαιαίνπ κπνξεί λα είλαη αχμνπζα ή θζίλνπζα, αιιά, γηα πνιχ κεγάιεο ηηκέο ηνπ, είλαη έλαο ζεηηθφο αξηζκφο. Η θαηάξγεζε ηεο ππνζέζεσο ηνπ θζίλνληνο νξηαθνχ πξντφληνο ηνπ θεθαιαίνπ γηα κεγάιεο ηηκέο ηνπ, ε νπνία έγηλε κε ηελ αληηθαηάζηαζε ηεο ζπλαξηήζεσο παξαγσγήο (1.8) κε ηελ (3.1), είλαη ε αηηία πνπ εδψ κπνξεί λα ππάξμεη ελδνγελήο νηθνλνκηθή κεγέζπλζε, παξά ην γεγνλφο φηη g = 0. Μία ζπλάξηεζε παξαγσγήο πνπ ηθαλνπνηεί ηε ζπλζήθε (3.5), νπφηε r > 0 γηα θάζε επίπεδν ηνπ, θαη ηαπηφρξνλα νδεγεί ζε ζχγθιηζε, είλαη ε αθφινπζε, ε νπνία ζπλδπάδεη ηηο ζπλαξηήζεηο ΑΚ θαη Cobb-Douglas, παξνπζηάδεη ζηαζεξέο απνδφζεηο θιίκαθαο θαη ζεηηθέο θαη θζίλνπζεο απνδφζεηο ηεο εξγαζίαο θαη ηνπ θεθαιαίνπ: Υ = F(, L) = A + ΒΚ α L 1 α, A > 0, Β > 0, 0 < α < 1. (3.6) Σε θαηά θεθαιήλ κεγέζε, ε ζπλάξηεζε απηή γξάθεηαη σο εμήο: y = f() = A + Β α. (3.7) 3 Η ππφζεζε «γηα θάζε επίπεδν ηνπ» γίλεηαη, δηφηη ζην Κεθάιαην 1 ην κέζν πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ, f()/, ήηαλ θζίλνπζα ζπλάξηεζε ηνπ, νπφηε, θαζψο ην, ην f()/ 0. Βι. Δμ. (1.72). 3

1 ) Η (3.7) δελ ηθαλνπνηεί ηε ζπλζήθε Inada (1.17β), δηφηη lim f '( ) lim[ A αb ( α ] = Α > 0. Δπίζεο, γηα ην κέζν πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ, ηζρχεη φηη lim [f()/] = lim [A + Β (1 α) ] = Α. Σπλεπψο, ε ζπλζήθε (3.5) ηθαλνπνηείηαη αλ Α > (n + δ)/s, ή sα > (n + δ), νπφηε r > 0 θαη r y > 0 γηα θάζε επίπεδν ηνπ. Γειαδή, ππάξρεη νηθνλνκηθή κεγέζπλζε θαη ρσξίο ηερλνινγηθή πξφνδν (g = 0). Η ζπκπεξηθνξά ηεο Δμ. (3.3), γηα g = 0, θαίλεηαη ζην Γηάγξακκα 3.2, φπνπ, θαζψο ην ηείλεη ζην άπεηξν, ην sf()/ = s[a + Β (1 α) ], πνπ είλαη θζίλνπζα ζπλάξηεζε ηνπ, ηείλεη ζην επίπεδν sα. Δθφζνλ, φκσο, ππνζέηνπκε φηη sα > n + δ, έπεηαη φηη r > 0 αθφκε θαη φηαλ. sa, n+δ, sf()/ 2 (0) 1 (0) r > 0 sf()/ = s[α + Β (1 α) ] sα n + δ Γηάγξακκα 3.2. Η δπλακηθή ηνπ ππνδείγκαηνο κε ζπλάξηεζε παξαγσγήο ηελ (3.6) Τν Γηάγξακκα 3.2 δελ δείρλεη κφλνλ φηη r > 0, αθφκε θαη φηαλ (ππφ ηελ πξνυπφζεζε φηη sα > n + δ), αιιά δείρλεη θαη φηη ππάξρεη απφιπηε θαη ππφ ζπλζήθε ζχγθιηζε. Αλ δχν νηθνλνκίεο, 1 θαη 2, έρνπλ ηα ίδηα δηαξζξσηηθά ραξαθηεξηζηηθά, αιιά δηαθέξνπλ σο πξνο ηελ αξρηθή ηηκή ηνπ, π.ρ. 2 (0) < 1 (0), ηφηε r 2 > r 1. Κάζε κία απφ ηηο θακπχιεο πνπ δείρλεη ην Γηάγξακκα 3.2 ηζρχεη θαη γηα ηηο δχν νηθνλνκίεο, εθφζνλ απηέο ππνηίζεηαη φηη είλαη ίδηεο φζνλ αθνξά ηηο παξακέηξνπο s, Α, n θαη δ. Δπεηδή, φκσο, 2 (0) < 1 (0), είλαη θαλεξφ απφ ην Γηάγξακκα 3.2 φηη r 2 > r 1. Ο ιφγνο γηα ηνλ νπνίν απνθαηαζηάζεθε ε ηδηφηεηα ηεο ζπγθιίζεσο, ε νπνία δελ ππήξρε ζην Τκήκα 3.2.1, είλαη φηη ην κέζν πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ, f()/, είλαη θαη πάιη θζίλνπζα ζπλάξηεζε ηνπ, ελψ ζην Τκήκα 3.2.1 ήηαλ ζηαζεξή ζπλάξηεζε, f()/ = Α. 3.3 Υποδείγμαηα με δύο ηομείρ παπαγωγήρ: πποϊόνηορ και έπεςναρ και ηεσνολογίαρ (R & D) 3.3.1 Υποθέζειρ Δηζάγνπκε ηψξα έλα λέν ηνκέα παξαγσγήο, απηφλ ηεο παξαγσγήο λέσλ ηερλνινγηψλ, νπφηε έρνπκε δχν ηνκείο παξαγσγήο: ηνλ παξαδνζηαθφ, ν νπνίνο παξάγεη ην γλσζηφ καο κέρξη ηψξα πξντφλ (Υ), ήηνη ηα παξαδνζηαθά αγαζά θαη ππεξεζίεο, θαη ηνλ ηνκέα παξαγσγήο λέσλ ηερλνινγηψλ, ηνλ νπνίν ζα ζπκβνιίδνπκε κε R & D (απφ ην Research and Developmen). Σηνλ ηνκέα R & D, ε εξγαζία, ην θεθάιαην θαη ε ηερλνινγία ζπλδπάδνληαη γηα λα παξαρζνχλ λέεο ηερλνινγίεο ή βειηηψζεηο ηεο ππάξρνπζαο ηερλνινγίαο. (Δπαλαθέξνπκε, δειαδή, ηελ ππφζεζε φηη ππάξρεη ηερλνινγηθή πξφνδνο, g > 0.) Υπνζέηνπκε φηη ε παξαγσγή ηφζν ηνπ πξντφληνο φζν θαη ησλ λέσλ ηερλνινγηψλ γίλεηαη θαηά ηξφπν πξνζδηνξηζηηθφ (deerminisic), δειαδή κεραληθφ, ρσξίο απνθιίζεηο θαη αβεβαηφηεηεο. Η ππφζεζε απηή δηθαηνινγείηαη απφ ην γεγνλφο φηη δελ αλαθεξφκαζηε ζηε βξαρπρξφληα πεξίνδν, φπνπ πξάγκαηη ππάξρνπλ απνθιίζεηο απφ ην 4

αλακελφκελν απνηέιεζκα, αιιά ζηε καθξνρξφληα πεξίνδν, φπνπ νη επηδξάζεηο ησλ πξφζθαηξσλ δηαηαξάμεσλ εμαθαλίδνληαη θαη ην επίπεδν ηνπ πξντφληνο εμαξηάηαη κφλν απφ ηηο ππάξρνπζεο πνζφηεηεο ησλ ζπληειεζηψλ παξαγσγήο θαη απφ ην επίπεδν ηεο ηερλνινγίαο. Υπνζέηνπκε επίζεο φηη νη ζπλαξηήζεηο παξαγσγήο θαη ησλ δχν ηνκέσλ είλαη ηεο κνξθήο Cobb-Douglas, φπνπ φκσο ηψξα νη εθζέηεο δελ είλαη απαξαίηεην λα αζξνίδνπλ ζηε κνλάδα. Τέινο, ππνζέηνπκε φηη ην πνζνζηφ ηνπ εηζνδήκαηνο πνπ απνηακηεχεηαη, s, είλαη κία εμσγελήο ζηαζεξά (φπσο ήηαλ θαη ζην ππφδεηγκα Solow-Swan) θαη φηη ηα πνζνζηά ηεο εξγαζίαο θαη ηνπ θεθαιαίνπ πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζηνλ ηνκέα R & D, α L θαη α, αληίζηνηρα, είλαη επίζεο εμσγελείο ζηαζεξέο. Σπλεπψο, ηα πνζνζηά ηεο εξγαζίαο θαη ηνπ θεθαιαίνπ πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζηνλ παξαδνζηαθφ ηνκέα είλαη 1 α L θαη 1 α, αληίζηνηρα. Δθφζνλ ε ρξήζε ηεο ππάξρνπζαο ηερλνινγίαο απφ ηνλ έλα ηνκέα δελ απνθιείεη ηελ ηαπηφρξνλε ρξήζε ηεο θαη απφ ηνλ άιιν, έπεηαη φηη θαη νη δχν ηνκείο ρξεζηκνπνηνχλ ην ππάξρνλ επίπεδν ηερλνινγίαο, Α. Γη απηφ ην ιφγν, ην ίδην επίπεδν ηεο κεηαβιεηήο A() εκθαλίδεηαη θαη ζηηο δχν ζπλαξηήζεηο παξαγσγήο [θαη φρη α Α A() ζηε κία θαη (1 α Α )A() ζηελ άιιε, φπσο γίλεηαη κε ηελ εξγαζία θαη ην θεθάιαην]. Σε ζπλερή ρξφλν, νη ζπλαξηήζεηο παξαγσγήο ησλ δχν ηνκέσλ είλαη θαη Υ() = [(1 α )()] α [A()(1 α L )L()] 1 α, 0 < α < 1, (3.8) A () = Β[α ()] β [α L L()] γ A() θ, Β > 0, β 0, γ 0. (3.9) Αο ζεκεησζεί φηη ε (3.9) απνηειεί ζπλάξηεζε παξαγσγήο, δηφηη A () = κεηαβνιή ζην ππάξρνλ επίπεδν ηερλνινγίαο = παξαγσγή λέσλ ηερλνινγηψλ. Β είλαη κία παξάκεηξνο κεηαηνπίζεσο (shif parameer), ε νπνία παξηζηάλεη ηελ επίδξαζε άιισλ παξαγφλησλ (εθηφο ηνπ θεθαιαίνπ, ηεο εξγαζίαο θαη ηνπ ππάξρνληνο επηπέδνπ ηεο ηερλνινγίαο) ζηελ πξφνδν ηεο ηερλνινγίαο. Γηα παξάδεηγκα, αλ ε θπβέξλεζε ή ε Δπξσπατθή Έλσζε θαζηεξψζεη έλα ζεκαληηθφ βξαβείν γηα θάζε λέα αλαθάιπςε, ηφηε, γηα θάζε επίπεδν ησλ κεηαβιεηψλ, L θαη A, αλακέλεηαη λα θαηαβιεζεί κεγαιχηεξε πξνζπάζεηα απφ ηνπο εξεπλεηέο γηα λέεο αλαθαιχςεηο. Αο ζεκεησζεί φηη γηα ηε ζπλάξηεζε παξαγσγήο ηνπ ηνκέα R & D δελ ππνζέηνπκε ζηαζεξέο απνδφζεηο θιίκαθαο. Δμεγνχκε ηνπο ιφγνπο. Όπσο ζεκεηψζακε ζην Τκήκα 1.2, ε ππφζεζε ησλ ζηαζεξψλ απνδφζεσλ θιίκαθαο ζεκαίλεη φηη αλ π.ρ. δηπιαζηαζζνχλ νη πνζφηεηεο ησλ εηζξνψλ, νη επηπιένλ απηέο πνζφηεηεο ζα ρξεζηκνπνηεζνχλ θαηά ηνλ ίδην ηξφπν φπσο θαη νη πξνεγνχκελεο, νπφηε ην πξντφλ ζα δηπιαζηαζζεί. Σηελ παξνχζα ζπδήηεζε, σζηφζν, απηφ ζεκαίλεη φηη αλ δηπιαζηαζζνχλ νη πνζφηεηεο ησλ εηζξνψλ, ζα παξαρζεί δχν θνξέο ε ίδηα ηερλνινγία, πνπ είλαη ζαλ λα έρεη παξαρζεί κία κφλν θνξά. Σηελ πξάμε, ίζσο παξαρζεί θαη θάηη θαηλνχξγην, έηζη ψζηε λ απμεζεί ην ππάξρνλ επίπεδν ηεο ηερλνινγίαο, φρη φκσο θαη λα δηπιαζηαζζεί. Σπλεπψο, δελ πξέπεη λ απνθιείζνπκε ην ελδερφκελν ησλ θθινοςζών αποδόζεων κλίμακαρ (diminishing reurns o scale). Οχηε, φκσο, πξέπεη λ απνθιείζνπκε ην ελδερφκελν ησλ αςξοςζών αποδόζεων κλίμακαρ (increasing reurns o scale), δηφηη ε ζπλεξγαζία θαη ε αληαιιαγή ηδεψλ κεηαμχ δηπιαζίνπ αξηζκνχ εξεπλεηψλ πνπ εξγάδνληαη ζηνλ ίδην ρψξν κπνξεί λα νδεγήζεη ζε σπερδηπιαζηαζκφ ηνπ επηπέδνπ ηεο ηερλνινγίαο. Δπίζεο, ν δηπιαζηαζκφο ησλ εηζξνψλ κπνξεί λα θνζηίζεη ιηγψηεξν απ φ,ηη θφζηηζε ε ίδξπζε ησλ αξρηθψλ κνλάδσλ παξαγσγήο, αλ π.ρ. απνθεπρζνχλ λέα έμνδα ηδξχζεσο, νπφηε νη πφξνη απηνί κπνξνχλ λα ρξεζηκνπνηεζνχλ παξαγσγηθά. Σπλεπψο, είλαη δπλαηφ κε ηηο επηπξφζζεηεο εηζξνέο λα επηηεπρζεί θαιχηεξν απνηέιεζκα απ φ,ηη επεηεχρζε κε ηηο αξρηθέο, θαη λα έρνπκε αχμνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο. Σηελ παξάκεηξν θ, ε νπνία δελ έρεη ζρέζε κε ηελ παξάκεηξν θ ηνπ Κεθαιαίνπ 2, θαη ε νπνία αληαλαθιά ηελ επίδξαζε ηεο ππάξρνπζαο ηερλνινγίαο ζηελ παξαγσγή λέαο, δελ επηβάιινπκε 5

πεξηνξηζκνχο. Γηα λα θαηαιάβνπκε ην λφεκα ηνπ θ, αο πξνζέμνπκε θαη αξρήλ φηη ζη αξηζηεξά ηεο Δμ. (3.9) έρνπκε ηε μεηαβολή ζην ππάξρνλ επίπεδν ηεο ηερλνινγίαο. (Σπγθεθξηκέλα, θ είλαη ε ειαζηηθφηεηα ηνπ A σο πξνο Α.) Δπνκέλσο, θ > 0 ζεκαίλεη φηη φζν κεγαιχηεξν είλαη ην επίπεδν ηεο ππάξρνπζαο ηερλνινγίαο ηφζν κεγαιχηεξεο είλαη νη απμήζεηο ηεο. Απηφ κπνξεί λα ζπκβεί φηαλ ε ππάξρνπζα ηερλνινγία είλαη πςεινχ επηπέδνπ θαη ζπκβάιιεη πνιχ ζηελ παξαγσγή λέαο ηερλνινγίαο. Δλψ, θ < 0 ζεκαίλεη φηη φζν κεγαιχηεξν είλαη ην επίπεδν ηεο ππάξρνπζαο ηερλνινγίαο ηφζν κηθξφηεξεο είλαη νη απμήζεηο ηεο. Απηφ κπνξεί λα ζπκβεί φηαλ ε ππάξρνπζα ηερλνινγία είλαη πνιιή κελ ζε πνζφηεηα, νπφηε έρνπλ ιάβεη ρψξα ζρεδφλ φιεο νη εχθνιεο αλαθαιχςεηο, αιιά είλαη ρακεινχ επηπέδνπ θαη δελ βνεζά ζηελ παξαγσγή λέαο ηερλνινγίαο, νπφηε νη απμήζεηο ηεο ηερλνινγίαο είλαη ζεηηθέο κελ, αιιά κηθξέο. Παξαθάησ ζα ππνζέζνπκε φηη θ < 1 θαη θ + β < 1. Όπσο θαη ζην Κεθάιαην 2, ράξηλ απιφηεηαο, ππνζέηνπκε φηη δ = 0, νπφηε ε Δμ. (1.18), () = sυ() δκ(), γξάθεηαη σο () = sυ(). (3.10) Δπίζεο, φπσο θαη ζηα Κεθάιαηα 1 θαη 2, ππνζέηνπκε φηη ν πιεζπζκφο κεγεζχλεηαη κ έλα ζηαζεξφ ξπζκφ, n, ν νπνίνο είλαη ζεηηθφο θαη εμσγελψο δεδνκέλνο, δειαδή L () /L() = n, n 0. (3.11) Με ηηο εμηζψζεηο απηέο, «θιείλεη» ην ππφδεηγκα, δειαδή γηα θάζε κεηαβιεηή πνπ εκθαλίδεηαη ζ απηφ έρνπκε θαη κία εμίζσζε πνπ καο ιέγεη πψο πξνζδηνξίδνληαη νη ηηκέο ηεο κεηαβιεηήο απηήο. Αο ζεκεησζεί φηη νη ζπληειεζηέο παξαγσγήο θεθάιαην (Κ) θαη ηερλνινγία (Α) νλνκάδνληαη παπαγόμενοι ζςνηελεζηέρ (produced facors), επεηδή παξάγνληαη ελδνγελψο απφ ην ζχζηεκα, φπσο δείρλνπλ νη Δμ. (3.9) θαη (3.10). Δλψ, φπσο δείρλεη ε Δμ. (3.11), ν ζπληειεζηήο εξγαζία (L) παξάγεηαη εμσγελψο, γη απηφ θαη νλνκάδεηαη μη παπαγόμενορ ζςνηελεζηήρ (non-produced facor). Άιια παξαδείγκαηα κε παξαγνκέλσλ ζπληειεζηψλ είλαη ην έδαθνο θαη νη κε αλαλεψζηκνη θπζηθνί πφξνη, ηνπο νπνίνπο ζπλαληήζακε ζην Τκήκα 1.8. 3.3.2 Η δςναμική ηων πςθμών μεγεθύνζεωρ ηων μεηαβληηών Α και Κ Σην ππφδεηγκα Solow-Swan είρακε κία κφλν κεηαβιεηή απνζέκαηνο (soc variable), ην θεθάιαην (Κ), ελψ ηψξα έρνπκε δχν: ην θεθάιαην (Κ) θαη ηελ ηερλνινγία (Α). Αο κειεηήζνπκε ηε ζπκπεξηθνξά ησλ ξπζκψλ κεγεζχλζεσο ησλ δχν απηψλ κεηαβιεηψλ, r θαη g, αληίζηνηρα, θαη αο πξνζπαζήζνπκε λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο. Αληηθαζηζηψληαο ηελ (3.8) ζηελ (3.10), πξνθχπηεη φηη () = s(1 α ) α (1 α L ) 1 α () α A() 1 α L() 1 α. (3.12) Θέηνληαο ζηελ (3.12) φπνπ s(1 α ) α (1 α L ) 1 α = c > 0 θαη δηαηξψληαο ηελ κε Κ(), πξνθχπηεη φηη r = c () α 1 A() 1 α L() 1 α ή r () = c [A()L()/()] 1 α, (3.13) φπνπ r () = () /(). Πξνθαλψο, εθφζνλ c > 0 θαη [A()L()/()] 1 α > 0, έπεηαη φηη r () > 0, νπφηε κπνξνχκε λα ινγαξηζκίζνπκε ηελ (3.13). Τν απνηέιεζκα είλαη 6

lnr () = lnc + (1 α)[lna() + lnl() ln()]. Παξαγσγίδνληαο ηελ ηειεπηαία σο πξνο ην ρξφλν θαη ζέηνληαο g() = A () /A(), πξνθχπηεη φηη r () /r () = (1 α)[g() + n r ()]. (3.14) Η δπλακηθή ηνπ ξπζκνχ κεγεζχλζεσο ηνπ θεθαιαίνπ, r, θαίλεηαη ζην Γηάγξακκα 3.3, ζηνλ νξηδφληην άμνλα ηνπ νπνίνπ κεηξείηαη ην g θαη ζηνλ θάζεην κεηξείηαη ην r. Απφ ηελ (3.14) είλαη θαλεξφ φηη ε γξακκή r () = g() + n (3.15) απνηειεί ην γεσκεηξηθφ ηφπν (γ.η.) ησλ ζεκείσλ φπνπ r () = 0, δειαδή φπνπ ν ξπζκφο r () παξακέλεη ζηαζεξφο. Πξνθαλψο, ε γξακκή απηή ηέκλεη ηνλ θάζεην άμνλα ζην ζεκείν r = n θαη έρεη θιίζε 1. Απφ ηελ (3.14) είλαη επίζεο θαλεξφ φηη γηα r () < g() + n, δειαδή ζηα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη θάησ απφ ηε γξακκή (3.15) ηνπ Γηαγξάκκαηνο 3.3, έρνπκε φηη r () > 0, νπφηε ην r () απμάλεη ελψ, γηα r () > g() + n, δειαδή ζηα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη πάλσ απφ ηε γξακκή (3.15), έρνπκε φηη r () < 0, νπφηε ην r () κεηψλεηαη. Σην Γηάγξακκα 3.3, νη θαηεπζχλζεηο απηψλ ησλ κεηαβνιψλ δείρλνληαη κε βέιε. r r = g + n r 0) ( ( r 0) n ( r 0) 0 g Γηάγξακκα 3.3. Η δπλακηθή ηνπ ξπζκνχ κεγεζχλζεσο ηνπ θεθαιαίνπ, r Γηα λα κειεηήζνπκε ηε δπλακηθή ηνπ ξπζκνχ κεγεζχλζεσο ηεο ηερλνινγίαο, g() = A () /A(), δηαηξνχκε ηελ Δμ. (3.9) κε A(). Τν απνηέιεζκα είλαη g() = c Α () β L() γ A() θ 1, (3.16) φπνπ c Α = Βα β α Lγ. Πξνθαλψο, c Α > 0 θαη () β L() γ A() θ 1 > 0, νπφηε g() > 0. Μπνξνχκε, ζπλεπψο, λα ινγαξηζκίζνπκε ηελ (3.16). Τν απνηέιεζκα είλαη lng() = lnc Α + βln() + γlnl() + (θ 1)lnA(). 7

Παξαγσγίδνληαο ηελ ηειεπηαία σο πξνο ην ρξφλν, πξνθχπηεη φηη g () /g() = βr () + γn + (θ 1)g(). (3.17) Η δπλακηθή ηνπ ξπζκνχ κεγεζχλζεσο ηεο ηερλνινγίαο, g, θαίλεηαη ζην Γηάγξακκα 3.4. Όπσο θαη ζην Γηάγξακκα 3.3, ζηνλ νξηδφληην άμνλα κεηξείηαη ην g θαη ζηνλ θάζεην κεηξείηαη ην r. Απφ ηελ (3.17) είλαη θαλεξφ φηη φηαλ βr () + γn + (θ 1)g() = 0 ή r () = -γn/β + [(1 θ)/β]g(), (3.18) ηφηε g () = 0. Γειαδή, ε γξακκή (3.18) είλαη ν γ.η. ησλ ζεκείσλ φπνπ ν ξπζκφο κεγεζχλζεσο ηεο ηερλνινγίαο, g, είλαη ζηαζεξφο. Η γξακκή απηή ηέκλεη ηνλ θάζεην άμνλα φηαλ r = -γn/β θαη έρεη θιίζε (1 θ)/β. Σην Γηάγξακκα 3.4, ε ελ ιφγσ γξακκή έρεη ζεηηθή θιίζε, επεηδή ππνηίζεηαη φηη θ < 1. Απφ ηηο Δμ. (3.17)-(3.18), είλαη επίζεο θαλεξφ φηη, γηα r () > -γn/β + [(1 θ)/β]g(), δειαδή ζηα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη πάλσ απφ ηε γξακκή (3.18) ηνπ Γηαγξάκκαηνο 3.4, ηζρχεη φηη g () > 0, νπφηε ην g() απμάλεη ελψ, γηα r () < -γn/β + [(1 θ)/β]g(), δειαδή ζηα ζεκεία πνπ βξίζθνληαη θάησ απφ ηε γξακκή (3.18), έρνπκε φηη g () < 0, νπφηε ην g() κεηψλεηαη. r r = -γn/β + [(1 θ)/β]g (g 0) (g 0) (g 0) -γn/β 0 g Γηάγξακκα 3.4. Η δπλακηθή ηνπ ξπζκνχ κεγεζχλζεσο ηεο ηερλνινγίαο, g Πξηλ παξαζηήζνπκε ηηο γξακκέο (3.15) θαη (3.18) ζην ίδην δηάγξακκα, ηίζεηαη ην αθφινπζν εξψηεκα: πνηά απφ ηηο δχν απηέο γξακκέο έρεη κεγαιχηεξε θιίζε; Όπσο είδακε, ε θιίζε ηεο γξακκήο (3.18) είλαη (1 θ)/β, ελψ ε θιίζε ηεο γξακκήο (3.15) είλαη 1. Σπλεπψο, αλ (1 θ)/β > 1, ή (1 θ) > β, ή θ + β < 1, ηφηε ε γξακκή (3.18) ζα έρεη κεγαιχηεξε θιίζε απφ ηε γξακκή (3.15). Η πεξίπησζε απηή παξηζηάλεηαη ζην Γηάγξακκα 3.5 παξαθάησ. Πξηλ θζάζνπκε ζ απηφ ην δηάγξακκα, φκσο, αο ξσηήζνπκε: Έρεη θάπνηα νηθνλνκηθή έλλνηα ε ζπλζήθε θ + β < 1; Όπσο είλαη θαλεξφ απφ ηελ Δμ. (3.9), αλ θ + β < 1, ηφηε, ζηνλ ηνκέα R & D, έρνπκε θζίλνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο σο πξνο ηνπο παξαγνκέλνπο ζπληειεζηέο παξαγσγήο Κ θαη Α. Καη επεηδή ζηνλ ηνκέα ηνπ πξντφληνο έρνπκε ζηαζεξέο απνδφζεηο θιίκαθαο σο πξνο απηνχο ηνπο δχν ζπληειεζηέο [βι. Δμ. (3.8)], έπεηαη φηη, γηα ηελ νηθνλνκία σο ζχλνιν, ε ζπλζήθε θ + β < 1 ζεκαίλεη φηη ππάξρνπλ θζίλνπζεο απνδφζεηο θιίκαθαο σο πξνο Κ θαη Α. 8

Όπσο είλαη θαλεξφ απφ ηηο Δμ. (3.13) θαη (3.16), νη αξρηθέο ηηκέο ησλ g θαη r πξνζδηνξίδνληαη απφ ηηο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ ηνπ ζπζηήκαηνο, θαζψο θαη απφ ηηο αξρηθέο ηηκέο ησλ A, L θαη. Τν Γηάγξακκα 3.5 θαλεξψλεη φηη νπνηεζδήπνηε θαη αλ είλαη νη αξρηθέο ηηκέο ησλ g θαη r, ε νηθνλνκία ζπγθιίλεη ηειηθά ζην ζεκείν Ε, φπνπ r g 0. Έζησ g * * θαη r νη ηηκέο ησλ g θαη r ζην ζεκείν Ε. Σπλεπψο, κε βάζε ηηο Δμ. (3.15) θαη (3.18), ζην ζεκείν Ε ηζρχεη φηη θαη r * = g * + n (3.19) r * = -γn/β + [(1 θ)/β]g *. (3.20) r r * g E 0 r = 0 n -γn/β 0 g g * Γηάγξακκα 3.5. Η δπλακηθή ησλ ξπζκψλ κεγεζχλζεσο r θαη g, ππνζέηνληαο φηη θ + β < 1 Λχλνληαο ην ζχζηεκα ησλ Δμ. (3.19)-(3.20), ππνινγίδνπκε g * = (β + γ)n/(1 β θ). (3.21) Αο δνχκε ηψξα φηη g * = r Y/L * = ξπζκφο κεγεζχλζεσο ηνπ πξντφληνο θαηά εξγαδφκελν ζε ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο. Λνγαξηζκίδνπκε ηελ (3.8): lnυ() = α[ln(1 α ) + ln()] + (1 α)[lna() + ln(1 α L ) + lnl()]. (3.22) Παξαγσγίδνληαο ηελ (3.22) σο πξνο ην ρξφλν, παίξλνπκε r Υ = αr + (1 α)g + (1 α)n ή r Υ n = αr + (1 α)g αn. Αιιά, r Υ n = r Υ/L, νπφηε ε ηειεπηαία εμίζσζε γξάθεηαη σο εμήο: r Υ/L = αr + (1 α)g αn. (3.23) Αληηθαζηζηψληαο ζηελ (3.23) φπνπ r = g + n [Δμ. (3.15)], πξνθχπηεη φηη r Υ/L = α(g + n) + (1 α)g αn = g. Σπλεπψο, εθφζνλ r Υ/L = g, ε (3.21) γξάθεηαη θαη σο εμήο: r Υ/L * = (β + γ)n/(1 β θ). (3.24) 9

Η Δμ. (3.24) δηεπθξηλίδεη ηελ έλλνηα «ενδογενήρ μεγέθςνζη». Σηα Κεθάιαηα 1 θαη 2, είρακε r Υ/L = g, φπνπ ην g ήηαλ κία εμσγελήο ζηαζεξά. Σην παξφλ ππφδεηγκα, ην νπνίν είλαη έλα ππφδεηγκα ελδνγελνχο κεγεζχλζεσο, ηζρχεη κελ θαη πάιη φηη r Υ/L = g, αιιά ηψξα ην g είλαη ελδνγελήο κεηαβιεηή, δειαδή εμεγείηαη απφ ην ππφδεηγκα [βι. Δμ. (3.21)]. Σχκθσλα κε ηελ Δμ. (3.24), ζε ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο, ν ξπζκφο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο, δειαδή ν ξπζκφο κεγεζχλζεσο ηνπ πξντφληνο θαηά εξγαδφκελν (ή ηεο κέζεο παξαγσγηθφηεηαο ηεο εξγαζίαο), r Υ/L*, είλαη αχμνπζα ζπλάξηεζε ηνπ ξπζκνχ κεγεζχλζεσο ηνπ εξγαηηθνχ δπλακηθνχ, n θαη κάιηζηα, αλ n = 0, ηφηε r Υ/L = 0. Δθ πξψηεο φςεσο, ην απνηέιεζκα απηφ θαίλεηαη κε ξεαιηζηηθφ, δηφηη, θαηά κέζν φξν, νη ρψξεο κε πςεινχο ξπζκνχο κεγεζχλζεσο ηνπ εξγαηηθνχ δπλακηθνχ δελ έρνπλ θαη πςεινχο ξπζκνχο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο. Αλ φκσο εξκελεχζνπκε ηνλ φξν «ηερλνινγία» σο «γλψζε», ε νπνία, φηαλ παξάγεηαη, δηαρέεηαη ζε φιεο ηηο ρψξεο, ηφηε ην g θαη ην r Υ/L κπνξνχλ λα ζεσξεζνχλ φηη αλαθέξνληαη ζηελ παγκόζμια νηθνλνκία. Με απηή ηελ «νπηηθή γσλία», ην αλσηέξσ απνηέιεζκα παχεη λα είλαη κε ξεαιηζηηθφ. Απιψο ζεκαίλεη φηη ηαρχηεξε αχμεζε ηνπ πιεζπζκνχ ηνπ πιαλήηε νδεγεί ζε ηαρχηεξε αχμεζε ηεο παξαγσγηθφηεηαο, επεηδή π.ρ. ε αχμεζε ηνπ αξηζκνχ ησλ αλζξψπσλ κπνξεί λα γίλεη αηηία γηα πεξηζζφηεξεο αλαθαιχςεηο. Απφ ηελ Δμ. (3.24), είλαη επίζεο θαλεξφ φηη νη παξάκεηξνη β, γ θαη θ επηδξνχλ ζεηηθά ζην r Υ/L*. Απηφ ζα έπξεπε λ αλακέλεηαη, δηφηη, φπσο θαίλεηαη απφ ηελ Δμ. (3.9), απηέο νη παξάκεηξνη κεηξνχλ ηηο επηδξάζεηο ησλ κεηαβιεηψλ Κ, L θαη Α, αληίζηνηρα, ζηελ παξαγσγή ηεο γλψζεσο. Όζν πην ηζρπξέο είλαη απηέο νη επηδξάζεηο ηφζν πςειφηεξνο ζα είλαη ν ξπζκφο κεγεζχλζεσο ηεο γλψζεσο. Όκσο, γηαηί δελ εκθαλίδνληαη θαη νη παξάκεηξνη α θαη α L ζηελ (3.21) [θαη ηελ (3.24)]; Θα πεξίκελε θαλείο φηη φζν κεγαιχηεξα είλαη ηα πνζνζηά ηνπ θεθαιαίνπ θαη ηεο εξγαζίαο πνπ απαζρνινχληαη ζηνλ ηνκέα R & D ηφζν κεγαιχηεξν λα είλαη ην g * (άξα θαη ην r Υ/L* ). Άιισζηε, απφ ηελ (3.16), g() = c Α () β L() γ A() θ 1, φπνπ c Α = Βα β α Lγ, είλαη θαλεξφ φηη κία αχμεζε ηνπ α ή ηνπ α L νδεγεί ακέζσο ζε κία αχμεζε ηνπ g(). Σηα πιαίζηα ελφο απινπζηέξνπ ππνδείγκαηνο, ν Romer (2006, ζ. 105) ζεκεηψλεη φηη ε κε εκθάληζε ησλ παξακέηξσλ α θαη α L ζηελ (3.21) νθείιεηαη ζηελ ππφζεζε φηη θ + β < 1, πνπ ζεκαίλεη φηη θ < 1 (εθφζνλ β 0). Σπλεπψο, φπσο θαίλεηαη απφ ηελ (3.16), g() = c Α () β L() γ A() θ 1, ε αξρηθή αχμεζε ηνπ g(), ε νπνία νθείιεηαη ζε κία αχμεζε ηνπ α ή ηνπ α L θαη ε νπνία νδεγεί ζε πςειφηεξν επίπεδν γλψζεσο, A(), δελ ζα δηαηεξεζεί ζηε καθξνρξφληα πεξίνδν. Γηφηη, ζχκθσλα πάληα κε ηελ (3.16), φηαλ θ < 1, ηφηε ην πςειφηεξν επίπεδν ηνπ A() κεηψλεη ην g(). 3.4 Η έννοια ηηρ «γνώζεωρ» και οι πποζδιοπιζηικοί παπάγονηερ ηων α και α L 3.4.1 Γενικά Σην Τκήκα 3.3, ηα s, α θαη α L ζεσξήζεθαλ φηη είλαη εμσγελείο παξάκεηξνη. Σην Κεθάιαην 2, είδακε έλα ηξφπν κε ηνλ νπνίν ζα κπνξνχζακε λα θαηαζηήζνπκε ην s ελδνγελή κεηαβιεηή. Δδψ, αο εμεηάζνπκε κε ζπληνκία πψο πξνζδηνξίδνληαη ηα α θαη α L, πνπ είλαη ηα πνζνζηά ηνπ θεθαιαίνπ θαη ηεο εξγαζίαο πνπ απαζρνινχληαη ζηνλ ηνκέα R & D, φπνπ παξάγεηαη «γλψζε», ην επίπεδν ηεο νπνίαο ζπκβνιίδνπκε κε Α. Η «γλψζε» έρεη πνιιέο κνξθέο. Μπνξεί λα θπκαίλεηαη απφ θαζαξά ζεσξεηηθή, φπσο π.ρ. έλα καζεκαηηθφ ζεψξεκα, κέρξη ηελ εθαξκνζκέλε ζηελ παξαγσγή ησλ βαζηθψλ εηδψλ ηεο θαζεκεξηλφηεηαο. Καη θπζηθά νη παξάγνληεο πνπ πξνζδηνξίδνπλ ηε ζπζζψξεπζε γλψζεσο ηεο κηαο κνξθήο κπνξεί λα δηαθέξνπλ απφ απηνχο κηαο άιιεο κνξθήο. Σε φξνπο ησλ Δμ. (3.8)-(3.9), ηα α θαη α L κπνξεί λα δηαθέξνπλ απφ κνξθή ζε κνξθή γλψζεσο. 10

Μπνξνχκε λα ππνζέζνπκε, σζηφζν, φηη φιεο νη κνξθέο γλψζεσο έρνπλ έλα θνηλφ ραξαθηεξηζηηθφ: είλαη μη ανηαγωνιζηικέρ (nonrival). Γειαδή, ε ρξήζε κίαο ζπγθεθξηκέλεο κνξθήο γλψζεσο απφ έλα άηνκν ή νξγαληζκφ δελ απνθιείεη ηελ ηαπηφρξνλε ρξήζε ηεο ίδηαο κνξθήο γλψζεσο απφ άιια άηνκα ή νξγαληζκνχο. [Δλψ, ηα ηδησηηθά αγαζά είλαη ανηαγωνιζηικά (rival), θαζφηη ε ρξήζε π.ρ. ελφο αεξηνχρνπ πνηνχ απφ έλα άηνκν απνθιείεη ηελ ηαπηφρξνλε ρξήζε ηνπ απφ άιιν άηνκν.] Σπλεπψο, ε παξαγσγή θαη ε δηάδνζε ηεο γλψζεσο δελ κπνξεί λα βαζίδεηαη ζε αληαγσληζηηθέο αγνξέο. Άπαμ θαη παξαρζεί ε γλψζε, ε δηάδνζή ηεο ζε πνιινχο ρξήζηεο κπνξεί λα γίλεη κε νξηαθφ θφζηνο πνπ πξνζεγγίδεη ην κεδέλ, νπφηε ε ηηκή ηεο ζε κία αληαγσληζηηθή αγνξά ζα ήηαλ πεξίπνπ κεδέλ, θαη άξα δελ ζα ππήξρε ην θίλεηξν ηνπ ρξεκαηηθνχ θέξδνπο γηα λα παξαρζεί ε γλψζε. Δθφζνλ, φκσο, ζηελ πξαγκαηηθφηεηα παξάγεηαη γλψζε, έπεηαη φηη είηε απηή πσιείηαη ζε ηηκή πνπ ππεξβαίλεη ην νξηαθφ θφζηνο, είηε ην θίλεηξν γηα ηελ παξαγσγή ηεο δελ είλαη ην άκεζν θέξδνο, αιιά θάηη άιιν, φπσο π.ρ. ε θήκε. Ωο έλα βαζκφ, ζπκβαίλνπλ θαη ηα δχν. Όζνλ αθνξά ην πξψην, αο ζεκεησζεί φηη, αλ θαη ε γλψζε είλαη κε αληαγσληζηηθή, ελ ηνχηνηο ε ρξήζε ηεο κπνξεί κεξηθέο θνξέο λ απνθιεηζζεί απφ φζνπο δελ είλαη δηαηεζεηκέλνη λα πιεξψζνπλ θάπνην ηίκεκα γηα λα ηελ απνθηήζνπλ. Οη παηέληεο θαη ηα ζπγγξαθηθά δηθαηψκαηα απνηεινχλ παξαδείγκαηα ηξφπσλ κε ηνπο νπνίνπο επηηπγράλεηαη ν ελ ιφγσ απνθιεηζκφο. Ο βαζκφο ζηνλ νπνίν είλαη δπλαηφο απηφο ν απνθιεηζκφο αλακέλεηαη λα επεξεάδεη ζεκαληηθά ηελ απφθιηζε ηνπ ππνδείγκαηνο ηεο παξαγσγήο θαη δηαδφζεσο ηεο γλψζεσο απφ απηφ ηνπ ηειείνπ αληαγσληζκνχ. Γηα παξάδεηγκα, αλ κία κνξθή γλψζεσο δελ κπνξεί λα απνθιεηζζεί απφ θαλέλα, ηφηε ίζσο λα κελ παξαρζεί απφ ηδηψηεο. Σ απηή ηελ πεξίπησζε, ε παξαγσγή γλψζεσο είλαη πηζαλφ λα ρξεκαηνδνηεζεί απφ θπβεξλήζεηο ή άιινπο νξγαληζκνχο θνηλνχ νθέινπο, ή απφ δσξεηέο. Αλ, φκσο, κπνξεί σο έλα βαζκφ λ απνθιεηζζεί, ηφηε ππάξρεη ην θίλεηξν ηνπ θέξδνπο θαη ζα παξαρζεί απφ ηδηψηεο. Σ απηή ηελ πεξίπησζε, ηα α θαη α L ζα είλαη ζεηηθνί αξηζκνί, ην δε κέγεζφο ηνπο ζα εμαξηάηαη απφ ηε δηαθνξά κεηαμχ ησλ απνδφζεσλ ηνπ θεθαιαίνπ θαη ηεο εξγαζίαο πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζηελ παξαγσγή αγαζψλ θαη ησλ απνδφζεσλ ηνπ θεθαιαίνπ θαη ηεο εξγαζίαο πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζηνλ ηνκέα R & D. Αθνινπζεί έλα παξάδεηγκα παξαγσγήο γλψζεσο φπνπ α = α L = 0. 3.4.2 Μαθαίνονηαρ ζηην ππάξη (learning by doing) Πνιιέο θνξέο ε γλψζε απνθηάηαη ζηελ πξάμε, θαηά ηε δηάξθεηα ηεο παξαγσγήο αγαζψλ θαη ππεξεζηψλ, νπφηε δελ ρξεηάδεηαη λα αθηεξσζνχλ εξγαζία θαη θεθάιαην εηδηθά γηα ηελ παξαγσγή γλψζεσο. Σ απηή ηελ πεξίπησζε, α = α L = 0, πνπ ζεκαίλεη φηη ην 100% ηεο εξγαζίαο θαη ηνπ θεθαιαίνπ ρξεζηκνπνηνχληαη γηα ηελ παξαγσγή πξντφληνο (Υ). Σπλεπψο, αληί ηεο (3.8), ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο ηψξα είλαη Υ() = () α [A()L()] 1 α, 0 < α < 1. (3.25) Όζν γηα ηελ παξαγσγή γλψζεσο, αο ππνζέζνπκε, ράξηλ απιφηεηαο, φηη απηή πξαγκαηνπνηείηαη κφλν θαηά ηε δηαδηθαζία παξαγσγήο θεθαιαηνπρηθψλ αγαζψλ, νπφηε ην επίπεδφ ηεο εμαξηάηαη απφ ην απφζεκα θεθαιαίνπ. Σπγθεθξηκέλα, ππνζέηνπκε φηη A() = Β() θ, Β > 0, θ > 0. (3.26) Απφ ηελ εμίζσζε απηή πξνθχπηεη φηη g () /g() = r () /r (), νπφηε, αληί ησλ δχν θακππιψλ, (3.14) θαη (3.17), πνπ είρακε ζην Τκήκα 3.3.2, εδψ ζα έρνπκε κία κφλν ηέηνηα θακπχιε, ηελ (3.30) (βι. παξαθάησ). Τν ππφδεηγκα «θιείλεη» κε ηηο Δμ. (3.10) θαη (3.11). 11

Πξνθεηκέλνπ λα ππνινγίζνπκε ην ξπζκφ νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο ζε ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο, αξρίδνπκε κε αληηθαηάζηαζε ηεο (3.26) ζηελ (3.25): Υ() = () α [Β() θ L()] 1 α ή Αληηθαζηζηψληαο ηελ (3.27) ζηελ (3.10), () Γηαηξψληαο ηελ (3.28) κε (), πξνθχπηεη φηη Υ() = Β 1 α () α + θ(1 α) L() 1 α. (3.27) = sυ(), πξνθχπηεη φηη () = sβ 1 α () α + θ(1 α) L() 1 α. (3.28) r () = sβ 1 α () α + θ(1 α) 1 L() 1 α. (3.29) Τν δεμηφ ζθέινο ηεο (3.29) είλαη ζεηηθφο αξηζκφο, νπφηε ζα είλαη θαη r > 0. Δπνκέλσο, ινγαξηζκίδνληαο ηελ (3.29) θαη παξαηεξψληαο φηη α + θ(1 α) 1 = (1 α)(1 θ), ην απνηέιεζκα είλαη lnr () = ln(sβ 1 α ) (1 α)(1 θ)ln() + (1 α)lnl(). Παξαγσγίδνληαο ηελ ηειεπηαία σο πξνο ην ρξφλν, πξνθχπηεη φηη r () /r () = (1 α)(1 θ)r () + (1 α)n. (3.30) Πνιιαπιαζηάδνληαο ηελ (3.30) κε r (), πξνθχπηεη φηη r () = (1 α)nr () (1 α)(1 θ)r () 2. (3.31) Οη αξρηθέο ηηκέο ησλ κεηαβιεηψλ θαη L θαη νη ηηκέο ησλ παξακέηξσλ πξνζδηνξίδνπλ ηελ αξρηθή ηηκή ηνπ r κέζσ ηεο (3.29). Η Δμ. (3.31) πξνζδηνξίδεη ηε κεηέπεηηα εμέιημε ηνπ r. Δθφζνλ 0 < α < 1, έπεηαη φηη ην πξφζεκν ηνπ ζπληειεζηή (1 α)(1 θ) ζηελ (3.31) εμαξηάηαη απφ ην αλ θ < 1 ή θ > 1. Γηα θ < 1, ε θακπχιε (3.31) παξνπζηάδεηαη ζην Γηάγξακκα 3.6, ζηνλ νξηδφληην άμνλα ηνπ νπνίνπ κεηξείηαη ην r, ελψ ζηνλ θάζεην κεηξείηαη ην r. r 0 n/[2(1 - θ)] Ε r * = n/(1 θ) r Γηάγξακκα 3.6. Η δπλακηθή ηνπ r γηα θ < 1 12

Η θιίζε ηεο θακπχιεο (3.31) είλαη r () / r () = (1 α)[n 2(1 θ)r ()]. Απφ ηελ εμίζσζε απηή είλαη θαλεξφ φηη γηα n > 2(1 θ)r () ή r () < n/[2(1 θ)], ε θιίζε ηεο θακπχιεο (3.31) είλαη ζεηηθή, ελψ γηα r () > n/[2(1 θ)], ε θιίζε είλαη αξλεηηθή. Δπεηδή δε, γηα θ < 1, 2 r () / r () 2 = 2(1 α)(1 θ) < 0, έπεηαη φηη ε θακπχιε (3.31) είλαη απζηεξψο θνίιε. Δμ νξηζκνχ, γηα λα είλαη έλα ζεκείν επί ηεο θακπχιεο (3.31) ζεκείν ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο, ζα πξέπεη ζ απηφ ην ζεκείν λα ηζρχεη φηη r = 0, δειαδή ζην ζεκείν απηφ ζα πξέπεη ε θακπχιε (3.31) λα ηέκλεη ηνλ νξηδφληην άμνλα. Όπσο δείρλεη ην Γηάγξακκα 3.6, ππάξρνπλ δχν ηέηνηα ζεκεία, ην (0, 0) θαη ην Ε. Όπσο είδακε πην πάλσ, φκσο, r () > 0 [βι. ακέζσο κεηά ηελ (3.29)], πνπ ζεκαίλεη φηη, ζηελ πξαγκαηηθφηεηα, ε θακπχιε (3.31) δεν πεξλά απφ ην ζεκείν (0, 0), νπφηε απηφ απνθιείεηαη λα είλαη ζεκείν ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο. Σπλεπψο, αο εμεηάζνπκε ην άιιν ζεκείν ηνκήο ηεο (3.31) κε ηνλ νξηδφληην άμνλα, ην ζεκείν Ε. Δθφζνλ εθεί ηζρχεη φηη r = 0, έπεηαη, κε βάζε ηελ (3.31), φηη ηζρχεη ε εμίζσζε (1 α)nr () (1 α)(1 θ)r () 2 = 0, ε νπνία γξάθεηαη θαη σο εμήο: (1 α)r ()[n (1 θ)r ()] = 0. Δθφζνλ, φκσο, r () > 0, απφ ηελ ηειεπηαία εμίζσζε πξνθχπηεη φηη n (1 θ)r () = 0 ή Όπσο είλαη θαλεξφ απφ ηελ (3.31), ε νπνία γξάθεηαη θαη σο r * = n/(1 θ). (3.32) r () = (1 α)r ()[n (1 θ)r ()], γηα r () < n/(1 θ), έρνπκε φηη r () > 0, νπφηε ην r () απμάλεη ελψ, γηα r () > n/(1 θ), έρνπκε φηη r () < 0, νπφηε ην r () κεηψλεηαη. Γειαδή, νπνηαδήπνηε θαη αλ είλαη ε αξρηθή ηηκή * ηνπ r, ηειηθά ζπγθιίλεη ζηελ ηηκή r = n/(1 θ), φπνπ ε νηθνλνκία βξίζθεηαη ζε ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο (ζεκείν Ε ηνπ Γηαγξάκκαηνο 3.6). Γηα λα ππνινγίζνπκε ην ξπζκφ νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο, r Y/L, ινγαξηζκίδνπκε ηελ (3.27), Υ() = Β 1 α () α + θ(1 α) L() 1 α, νπφηε πξνθχπηεη φηη lnυ() = ln(β 1 α ) + [α + θ(1 α)]ln() + (1 α)lnl(). (3.33) Παξαγσγίδνληαο ηελ (3.33) σο πξνο ην ρξφλν, παίξλνπκε r Υ = [α + θ(1 α)]r + (1 α)n ή r Υ n = [α + θ(1 α)]r αn. Αιιά, r Υ n = r Υ/L, νπφηε ε ηειεπηαία εμίζσζε γξάθεηαη σο εμήο: r Υ/L = [α + θ(1 α)]r αn. (3.34) 13

Αληηθαζηζηψληαο ζηελ (3.34) φπνπ r = n/(1 θ) [Δμ. (3.32)], πξνθχπηεη ν ξπζκφο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο ζε ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο: r Υ/L * = θn/(1 θ). (3.35) Μία εηδηθή πεξίπησζε απηνχ ηνπ ππνδείγκαηνο πξνθχπηεη φηαλ θ = 1 θαη n = 0. 4 Σ απηή ηελ πεξίπησζε, ε (3.27) γξάθεηαη σο Υ() = b(), b = Β 1 α L 1 α, (3.36) φπνπ ν φξνο L 1 α ζπκπεξηιακβάλεηαη ηψξα ζηε ζηαζεξά b, δηφηη, εθφζνλ ππνζέηνπκε φηη n = 0, έπεηαη φηη ην εξγαηηθφ δπλακηθφ είλαη ζηαζεξφ δηαρξνληθά. Αλ ζηελ Δμ. (3.36) ρξεζηκνπνηεζεί ην ζχκβνιν Α ζηε ζέζε ηνπ b, ηφηε ε (3.36) γξάθεηαη σο Υ() = Α(), πνπ είλαη ην ππφδεηγκα Α, ην νπνίν εμεηάζακε ζην Τκήκα 3.2, αλ θαη ππφ δηαθνξεηηθέο ππνζέζεηο. (Δθεί ππνζέζακε έλα κφλν ηνκέα παξαγσγήο, α = 1 θαη n > 0.) Αληηθαζηζηψληαο ηελ (3.36) ζηελ (3.10), () ή, δηαηξψληαο ηελ (3.37) κε (), = sυ(), πξνθχπηεη φηη () = sb(), (3.37) r = sb. (3.38) Γειαδή, ην θεθάιαην κεγεζχλεηαη κε ζηαζεξφ ξπζκφ sb. Καη επεηδή απφ ηελ (3.36) είλαη θαλεξφ φηη r Υ = r, έπεηαη φηη r Υ = r Υ/L = sb. (3.39) Δθφζνλ ν ξπζκφο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο (r Υ/L ) εμαξηάηαη απφ παξακέηξνπο ζπκπεξηθνξάο (s θαη b), έπεηαη φηη έρνπκε θη εδψ έλα παξάδεηγκα ππνδείγκαηνο ελδνγελνχο κεγεζχλζεσο 3.5 Ένα ςπόδειγμα ενδογενούρ οικονομικήρ μεγεθύνζεωρ με απιζηοποιηηική ζςμπεπιθοπά ηος νοικοκςπιού Σηα Τκήκαηα 3.1-3.4, ε κέζε ξνπή πξνο απνηακίεπζε (s) ζεσξήζεθε εμσγελήο, φπσο θαη ζην ππφδεηγκα Solow-Swan. Δδψ ζα εμεηάζνπκε ην ππφδεηγκα Α κε δχν ηνκείο παξαγσγήο, ην νπνίν πξνέθπςε ζην Τκήκα 3.4.2 σο εηδηθή πεξίπησζε ηνπ ππνδείγκαηνο «καζαίλνληαο ζηελ πξάμε» γηα θ = 1 θαη n = 0 [βι. Δμ. (3.36)], φπνπ φκσο ζα ππνζέζνπκε φηη ην s πξνζδηνξίδεηαη ελδνγελψο, απφ ηελ αξηζηνπνηεηηθή ζπκπεξηθνξά ησλ λνηθνθπξηψλ, φπσο ζην Κεθάιαην 2. Όπσο θαη ζηα πξνεγνχκελα, ράξηλ απιφηεηαο, ζα ππνζέζνπκε θαη πάιη φηη δ = 0. Όπσο ζην ππφδεηγκα Ramsey-Cass-oopmans, ππνζέηνπκε φηη έρνπκε έλα αληηπξνζσπεπηηθφ λνηθνθπξηφ πνπ δε γηα πάληα θαη απνθαζίδεη γηα ηε ζεκεξηλή θαη ηε κειινληηθή θαηαλάισζή ηνπ 4 Γηα θ = 1 θαη n = 0, ε (3.35) δελ ηζρχεη, δηφηη ε εμίζσζε απηή πξνήιζε απφ ηελ (3.32), ε νπνία πξνήιζε απφ ηε δηαίξεζε ηεο εμηζψζεσο n (1 θ)r () = 0 κε 1 θ. Αλ, φκσο, θ = 1, ε δηαίξεζε απηή δελ γίλεηαη. Δπίζεο, ε (3.32) πξνήιζε απφ κία αλάιπζε ε νπνία ππνζέηεη φηη n > 0. Σπλεπψο, ε Δμ. (3.39) (βι. παξαθάησ) δελ κπνξεί λα ζεσξεζεί σο εηδηθή πεξίπησζε ηεο (3.35). 14

κε ηέηνην ηξφπν, ψζηε λα κεγηζηνπνηείηαη ε δηαρξνληθή ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηάο ηνπ ππφ ηνλ δηαρξνληθφ εηζνδεκαηηθφ ηνπ πεξηνξηζκφ. Υπνζέηνπκε αληαγσληζηηθή νηθνλνκία, νπφηε ην λνηθνθπξηφ ζεσξεί ην κηζζφ θαη ην επηηφθην σο δεδνκέλα (φπσο ζεσξεί θαη ηνλ αξρηθφ ηνπ πινχην σο δεδνκέλν). Δθφζνλ εδψ ππνζέηνπκε φηη ην κέγεζνο ηνπ πιεζπζκνχ είλαη ζηαζεξφ (n = 0), ην ππφδεηγκα απινπνηείηαη αθφκε πεξηζζφηεξν ζέηνληαο L/H = 1 ή L = H, πνπ ζεκαίλεη φηη θάζε λνηθνθπξηφ έρεη έλα κφλν κέινο. Η ζηηγκηαία ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο είλαη πάιη ε (2.7), φπνπ φκσο ε παξάκεηξνο θ αληηθαζίζηαηαη εδψ κε ηελ παξάκεηξν ζ, επεηδή ζ απηφ ην θεθάιαην ην θ έρεη άιιε ζεκαζία (βι. Τκήκα 3.3.1). Γειαδή, ε παξάκεηξνο ζ είλαη ν ζπληειεζηήο απνθπγήο ζρεηηθνχ θηλδχλνπ. Σπλεπψο, ε δηαρξνληθή ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο ηνπ «αληηπξνζσπεπηηθνχ» αηφκνπ είλαη U 0 e ρ 1 C( ) 1 ζ ζ d, ρ 0, ζ 0. (3.40) Αο δνχκε ηψξα ην δηαρξνληθφ εηζνδεκαηηθφ πεξηνξηζκφ ηνπ λνηθνθπξηνχ, Δμ. (2.17), ζε φξνπο παξνχζαο αμίαο θαηά ηε ρξνληθή ζηηγκή 0. Δθφζνλ L = H θαη ην λνηθνθπξηφ δελ αθήλεη αρξεζηκνπνίεηνπο πφξνπο, νπφηε ε (2.17) πξέπεη λα ηζρχεη κε ην ζχκβνιν ηεο ηζφηεηαο, έπεηαη φηη ε (2.17) γξάθεηαη σο εμήο: 0 e R( ) C( ) d (0) L 0 e R( ) W ( ) d, (3.41) φπνπ R ( ) r( ) (3.42) θαη r () είλαη ην κέζν πξαγκαηηθφ επηηφθην θαηά ην ρξνληθφ δηάζηεκα απφ 0 κέρξη. Δπίζεο, εθφζνλ, πξψηνλ, L = H δεχηεξνλ, ην L είλαη ζηαζεξφ (δηφηη ππνζέηνπκε φηη n = 0) ηξίηνλ, ην R() δίλεηαη απφ ηελ Δμ. (3.42) θαη, ηέηαξηνλ, ην λνηθνθπξηφ δελ αθήλεη αρξεζηκνπνίεηνπο πφξνπο έπεηαη φηη ε ζπλζήθε κε Ponzi παηγλίνπ, Δμ. (2.22), γξάθεηαη σο εμήο: lim e r ( ) ( ) 0, (3.43) απφ ηελ νπνία ην Η έρεη απαιεηθζεί σο ζηαζεξφ, εθφζνλ L = H θαη ην L ππνηίζεηαη φηη είλαη ζηαζεξφ. Υπφ ηηο παξαπάλσ πξνυπνζέζεηο, γλσξίδνπκε φηη ε εμίζσζε ηνπ Euler γηα ηελ θαηά θεθαιήλ θαηαλάισζε είλαη [βι. Δμ. (2.38α)] C ( ) r( ) C( ) ζ ρ. (3.44) Αο ζπκεζνχκε ηψξα φηη ζην ππφδεηγκα «καζαίλνληαο ζηελ πξάμε» ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο ηεο επηρεηξήζεσο i είλαη ε αθφινπζε: Υ i () = i () α [A()L i ()] 1 α, 0 < α < 1. (3.45) Η ζπλάξηεζε παξαγσγήο (3.45) δηαθέξεη απφ ηε ζπλάξηεζε παξαγσγήο (3.25) σο πξνο ην γεγνλφο φηη ε (3.25) είλαη ζπλάξηεζε ζσνολικής παξαγσγήο πξντφληνο, ελψ ε (3.45) είλαη ε ζπλάξηεζε παξαγσγήο πξντφληνο ηεο επηρεηξήζεσο i, φπνπ i θαη L i είλαη νη πνζφηεηεο θεθαιαίνπ θαη εξγαζίαο πνπ απαζρνιεί ε επηρείξεζε i γηα λα παξαγάγεη πξντφλ Υ i. A() είλαη ην 15

επίπεδν ηεο ηερλνινγίαο πνπ ππάξρεη ζ νιφθιεξε ηελ νηθνλνκία θαη πξνζδηνξίδεηαη απφ ην ζσνολικό θεθάιαην, (), κε βάζε ηε ζπλάξηεζε παξαγσγήο A() = Β(), Β > 0, (3.46) ε νπνία είλαη ε (3.26) κε θ = 1. Αληηθαζηζηψληαο ηελ (3.46) ζηελ (3.45), πξνθχπηεη φηη Υ i () = Β 1 α () 1 α i () α L i () 1 α. (3.47) Δθφζνλ ππνζέηνπκε αληαγσληζηηθή νηθνλνκία θαη αξηζηνπνηεηηθή ζπκπεξηθνξά, νη ζπληειεζηέο παξαγσγήο ακείβνληαη κε ηα νξηαθά ηνπο πξντφληα. Αο δνχκε πξψηα ηελ ακνηβή ηνπ ζπληειεζηή θεθάιαην. Τν νξηαθφ πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ ηεο επηρεηξήζεσο i, ΜΡΚ i, είλαη ΜΡΚ i = Υ i ()/ Κ i () = αβ 1 α () 1 α [ i ()/L i ()] (1 α). (3.48) Τψξα, επεηδή ππνζέηνπκε φηη φιεο νη επηρεηξήζεηο είλαη ίδηεο κεηαμχ ηνπο, έπεηαη φηη, ζε θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο, ζα έρνπλ φιεο ην ίδην νξηαθφ πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ. Αλ, φκσο, ην αξηζηεξφ ζθέινο ηεο Δμ. (3.48) είλαη ην ίδην γηα φιεο ηηο επηρεηξήζεηο, έπεηαη φηη θαη ην δεμηφ ζθέινο ζα είλαη ην ίδην, πνπ ζεκαίλεη φηη ν ιφγνο i ()/L i () ζα είλαη επίζεο ίδηνο γηα φιεο ηηο επηρεηξήζεηο θαη άξα ζα ηζνχηαη κε ηνλ αληίζηνηρν ιφγν γηα νιφθιεξε ηελ νηθνλνκία, /L. Σπλεπψο, εθφζνλ i ()/L i () = ()/L() θαη r() = ΜΡΚ i δ = ΜΡΚ i (εθφζνλ δ = 0), έπεηαη φηη ε (3.48) κπνξεί λα γξαθεί θαη σο εμήο: r() = ΜΡΚ i = αβ 1 α () 1 α [()/L()] (1 α) = αβ 1 α L 1 α = αb, (3.49) φπνπ b = Β 1 α L 1 α [βι. Δμ. (3.36)]. Απφ ηελ (3.49) πξνθχπηεη φηη, ππφ ηηο παξαπάλσ πξνυπνζέζεηο, ην πξαγκαηηθφ επηηφθην είλαη ζηαζεξφ θαη ίζν κε r αb. (3.50) Αο δνχκε ηψξα ηελ ακνηβή ηνπ ζπληειεζηή εξγαζία. Τν νξηαθφ πξντφλ ηεο εξγαζίαο ηεο επηρεηξήζεσο i, ΜΡL i, είλαη ΜΡL i = Υ i ()/ L i () = (1 α)β 1 α () 1 α [ i ()/L i ()] α. (3.51) Γηα ηνπο ίδηνπο ιφγνπο πνπ αλαθέξακε γηα ηελ απφδεημε ηεο Δμ. (3.49), φκσο, ηζρχεη θαη εδψ φηη i ()/L i () = ()/L() θαη W() = ΜΡL i. Σπλεπψο, ε (3.51) γξάθεηαη σο ή W() = (1 α)β 1 α () 1 α [()/L()] α = (1 α)β 1 α ()L α = (1 α)β 1 α ()L 1 α /L W() = (1 α)b()/l. (3.52) Δπηπιένλ, αο δνχκε γηαηί ε ζπλάξηεζε ζπλνιηθήο παξαγσγήο είλαη ζ απηή ηελ πεξίπησζε γξακκηθή, φπσο ε (3.36). Η Δμ. (3.47) γξάθεηαη θαη σο εμήο: Υ i () = Β 1 α () 1 α [ i ()/L i ()] α L i (). Όπσο είδακε, φκσο, i ()/L i () = ()/L(). Αληηθαζηζηψληαο απηφ ην απνηέιεζκα ζηελ ηειεπηαία εμίζσζε, πξνθχπηεη φηη Υ i () = Β 1 α () 1 α [()/L()] α L i () = Β 1 α ()L() α L i (). Αζξνίδνληαο γηα φιεο ηηο επηρεηξήζεηο, πξνθχπηεη φηη Σ i Υ i () = Β 1 α ()L() α Σ i L i () ή Υ() = Β 1 α ()L() α L(). Καη εθφζνλ ην L είλαη ζηαζεξφ, ε ηειεπηαία εμίζσζε γξάθεηαη θαη σο 16

Υ() = b(), b = Β 1 α L 1 α. (3.53) Τψξα, εθφζνλ ην πξαγκαηηθφ επηηφθην είλαη ζηαζεξφ θαη ίζν κε r αb [Δμ. (3.50)], απφ ηελ Δμ. (3.44) πξνθχπηεη φηη ε θαηά θεθαιήλ θαηαλάισζε απμάλεηαη κε ζηαζεξφ ξπζκφ, ν νπνίνο ηζνχηαη κε r C = ( r ρ)/ζ = (αb ρ)/ζ. (3.54) Αο ππνινγίζνπκε ην ξπζκφ απμήζεσο ηεο κέζεο ξνπήο γηα απνηακίεπζε, S/Y. Δθφζνλ S = Y C, έπεηαη φηη S/Y = 1 C/Y. Παξαγσγίδνληαο ηελ ηειεπηαία απηή εμίζσζε σο πξνο ην ρξφλν, πξνθχπηεη φηη d(s/y)/d = (Y C CY )/Y 2 = C /Y + (Y /Y)(C/Y). Γηαηξψληαο απηή ηελ εμίζσζε κε S/Y, πξνθχπηεη φηη r S/Y = C /S + r Y (C/S) = (C/S)( C /C r Y ) ή r S/Y = (C/S)(r C r Y ). (3.55) Σε ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο, ε κέζε ξνπή γηα απνηακίεπζε είλαη (εμ νξηζκνχ) ζηαζεξή, δειαδή r S/Y = 0. Σπλεπψο, κε βάζε ηελ (3.55), ζε ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο ζα πξέπεη λα ηζρχεη φηη r C = r Y. Απφ ηελ (3.53), φκσο, πξνθχπηεη φηη r Y = r Κ, εθφζνλ ην b είλαη ζηαζεξφ. Σπλεπψο, κε βάζε ηελ (3.54), θαη εθφζνλ n = 0 (νπφηε r Υ/L = r Y ), έπεηαη φηη ζε ηξνρηά ηζνξξφπνπ κεγεζχλζεσο, ζα πξέπεη λα ηζρχεη φηη r Υ/L = r Y = r Κ = r C = ( r ρ)/ζ = (αb ρ)/ζ. (3.56) Γηα λα ππάξρεη φλησο ηζνξξνπία, φκσο, ζα πξέπεη λα ηζρχεη θαη ε ζπλζήθε κε Ponzi παηγλίνπ, r Δμ. (3.43). Δθφζνλ ην πξαγκαηηθφ επηηφθην είλαη ζηαζεξφ, r() = r [Δμ. (3.50)] θαη () = (0) e [βι. Δμ. (0.5)], έπεηαη φηη ε ζπλζήθε (3.43) είλαη: r r r ( r r ) lim e ( ) lim e (0) e (0) lim e 0. (3.57) Γηα λα ηζρχεη ε ζπλζήθε (3.57), φκσο, πξέπεη λα ππνζέζνπκε φηη r > r Κ = r Y = r Υ/L = r C = (αb ρ)/ζ. (3.58) Αο δνχκε ηψξα φηη ε ηζνξξνπία πνπ πεξηγξάθεηαη απφ ηελ (3.56) είλαη κνλαδηθή. Αλ ην αξρηθφ επίπεδν θαηαλαιψζεσο, C(0), ήηαλ κεγαιχηεξν απφ εθείλν πνπ επηηξέπεη ζην Κ λ απμάλεηαη κε ξπζκφ r Κ = r C, αλ δειαδή r Κ < r C, ηφηε ην επίπεδν ηεο θαηά θεθαιήλ θαηαλαιψζεσο (C), ε νπνία απμάλεηαη κε ξπζκφ r C = (αb ρ)/ζ, ζα ήηαλ ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή κεγαιχηεξν απ φ,ηη είλαη φηαλ r Κ = r C, νπφηε ην αξηζηεξφ ζθέινο ηεο (3.41) ζα ήηαλ κεγαιχηεξν ηνπ δεμηνχ. Απηφ, φκσο, δελ είλαη εθηθηφ, εθφζνλ έηζη νη ρξήζεηο ππεξβαίλνπλ ηηο πεγέο. Αλ πάιη ην επίπεδν C(0) ήηαλ κηθξφηεξν ηνπ επηπέδνπ πνπ θάκλεη ην Κ λ απμάλεηαη κε ξπζκφ r Κ = r C, ηφηε ην επίπεδν ηεο C ζα ήηαλ κηθξφηεξν ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή, νπφηε ην αξηζηεξφ ζθέινο ηεο (3.41) ζα ήηαλ κηθξφηεξν ηνπ δεμηνχ, πνπ ζεκαίλεη φηη ηα λνηθνθπξηά αθήλνπλ αρξεζηκνπνίεηνπο πφξνπο, κία θαηάζηαζε πνπ έρνπκε απνθιείζεη. Τέινο, αο ζεκεησζεί φηη, εθφζνλ S = Ι = [Δμ. (2.46)] θαη Υ() = b() [βι. Δμ. (3.53)], έπεηαη φηη ε κέζε ξνπή πξνο απνηακίεπζε είλαη S/Y = /(b) = r Κ /b. Απφ ηελ (3.56), φκσο, γλσξίδνπκε φηη r Κ = (αb ρ)/ζ, νπφηε απφ ηελ ηειεπηαία εμίζσζε πξνθχπηεη φηη S/Y = (αb ρ)/(ζb). (3.59) 17

Απφ ηελ (3.59) είλαη θαλεξφ φηη αλ, γηα παξάδεηγκα, κεησζεί ν ππνθεηκεληθφο ξπζκφο πξνεμνθιήζεσο (ρ), ηφηε ζ απμεζεί ε κέζε ξνπή πξνο απνηακίεπζε, νπφηε ζ απμεζεί θαη ν ξπζκφο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο [βι. Δμ. (3.56)]. Ωο έλα άιιν παξάδεηγκα, αλ απμεζεί ην α, ζ απμεζεί θαη ε κέζε ξνπή πξνο απνηακίεπζε θαη άξα ζ απμεζεί ε ζπζζψξεπζε θεθαιαίνπ θαη ν ξπζκφο νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο. Γηφηη, φπσο γλσξίδνπκε απφ ηελ (3.49), r() = ΜΡΚ i = αb, νπφηε ε αχμεζε ηνπ α απμάλεη ην ηδησηηθφ νξηαθφ πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ. Τέινο, αο ζεκεησζεί φηη, εθφζνλ 0 < α < 1, έπεηαη φηη ε κέζε ξνπή πξνο απνηακίεπζε πνπ επηιέγνπλ ηα λνηθνθπξηά ζε κία αληαγσληζηηθή νηθνλνκία, S/Y = (αb ρ)/ζb [βι. Δμ. (3.59)], είλαη κηθξφηεξε απφ απηήλ πνπ ζα επέιεγε έλαο θαιφο θνηλσληθφο ζρεδηαζηήο, ν νπνίνο δελ ζα ειάκβαλε ππ φςε ηνπ ην ηδησηηθφ νξηαθφ πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ, ΜΡΚ i = αb, αιιά ην κοινωνικό, ΜΡΚ = b [βι. Δμ. (3.53)]. Σπλεπψο, ε κέζε ξνπή πξνο απνηακίεπζε πνπ ζα επέιεγε ζα ήηαλ (b ρ)/ζb > (αb ρ)/ζb, νπφηε ζα πεηχραηλε πςειφηεξν ξπζκφ κεγεζχλζεσο. Με άιια ιφγηα, ην απνηέιεζκα πνπ επηηπγράλεηαη απφ κία αληαγσληζηηθή νηθνλνκία δελ είλαη άξηζην θαηά Pareo. Ο ιφγνο είλαη φηη ππάξρνπλ ζεηηθέο εμσηεξηθέο επηδξάζεηο ζηελ παξαγσγή κίαο επηρεηξήζεσο, νη νπνίεο νθείινληαη ζηε ζπζζψξεπζε ηνπ ζπλνιηθνχ θεθαιαίνπ [βι. Δμ. (3.45) θαη (3.46)], αιιά ε επηρείξεζε δελ ηηο ιακβάλεη ππ φςε ηεο φηαλ κεγηζηνπνηεί ηα θέξδε ηεο. Ωο ζπλέπεηα, δελ επελδχεη αξθεηά, δηφηη δελ ππνινγίδεη ην θνηλσληθφ φθεινο πνπ ζα πξνθχςεη απφ ηηο δηθέο ηεο επελδχζεηο, νη νπνίεο ζπκβάιινπλ ζηε ζπζζψξεπζε θεθαιαίνπ θαη άξα γλψζεσο [βι. Δμ. (3.46)] ζηελ νηθνλνκία. Απηή ε ζπκπεξηθνξά ησλ επηρεηξήζεσλ, φκσο, δελ κεγηζηνπνηεί ηελ θνηλσληθή επεκεξία. Αληίζεηα, έλαο θαινθάγαζνο θνηλσληθφο ζρεδηαζηήο ζα ιάβεη ππ φςε ηνπ ηηο ζεηηθέο απηέο επηδξάζεηο, νπφηε ζα επελδχζεη πεξηζζφηεξν, επηηπγράλνληαο έηζη πςειφηεξν ξπζκφ νηθνλνκηθήο κεγεζχλζεσο. Η θπβέξλεζε κπνξεί λα εμαιείςεη απηή ηελ αλαπνηειεζκαηηθφηεηα, επηδνηψληαο θαηάιιεια ηελ παξαγσγή ησλ επηρεηξήζεσλ ή ηηο επελδχζεηο ηνπο, απμάλνληαο θαη απηφλ ηνλ ηξφπν ην ηδησηηθφ νξηαθφ πξντφλ ηνπ θεθαιαίνπ. Έηζη, νη επηρεηξήζεηο ζα έρνπλ θίλεηξν λ απμήζνπλ ηηο επελδχζεηο ηνπο, ην ζπλνιηθφ θεθάιαην ηεο νηθνλνκίαο ζ απμεζεί θαη ην απνηέιεζκα ηεο αληαγσληζηηθήο νηθνλνκίαο ζα είλαη θαη πάιη άξηζην θαηά Pareo. Γεληθά, νη ελ ιφγσ επηδνηήζεηο ζα πξέπεη λα ρξεκαηνδνηεζνχλ κε ηελ επηβνιή θαη απνθνπή θφξσλ (lump-sum axes), γηα λ απνθεπρζνχλ έηζη νη ζπλήζεηο ζηξεβιψζεηο πνπ πξνθαινχλ νη κεηαβνιέο ζηνπο θνξνινγηθνχο ζπληειεζηέο. Σην παξφλ ππφδεηγκα, σζηφζν, απηφ δελ είλαη απαξαίηεην, δηφηη ν εξγαδφκελνο δελ επηιέγεη ηελ πνζφηεηα εξγαζίαο πνπ ζα πξνζθέξεη, αιιά ηελ πξνζθέξεη αλειαζηηθά (ε αλάπαπζε ιείπεη απφ ηε ζπλάξηεζε ρξεζηκφηεηαο), νπφηε ν θαη απνθνπή θφξνο ηζνδπλακεί κε ην θφξν εηζνδήκαηνο. Γειαδή, ζε θάζε εξγαδφκελν, ηνπ νπνίνπ ν κηζζφο είλαη w, ε θπβέξλεζε επηβάιιεη έλα θνξνινγηθφ ζπληειεζηή η, νπφηε ν κεηά απφ θφξνπο κηζζφο είλαη (1 η)w. Βιβλιογπαθία Barro, R. and X. Sala-i-Marin, 1995, Economic Growh, McGraw-Hill, Singapore. Romer, D., 2006, Advanced Macroeconomics, 3 rd Ed., McGraw-Hill, Irwin, Boson. 18