ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΤΗΣΗΣ 3B: ΓΡΑΜΜΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΠΟΣΥΖΕΥΓΜΕΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΣΥΝΟΨΗ Μόνιμη κατάσταση και κατάσταση διαταραχής Γραμμικοποίηση των κινηματικών και των αδρανειακών όρων Γραμμικοποίηση των αεροδυναμικών όρων Οι γραμμικές συνιστώσες της βαρυτικής δύναμης Γραμμικοί όροι του αεροδυναμικού ελέγχου και της ώσης Εξίσωση ισορροπίας στη μόνιμη κατάσταση αντιστάθμισης Οι εξισώσεις κίνησης για μικρές διαταραχές Αποσυζευγμένες εξισώσεις κίνησης

Μόνιμη κατάσταση και κατάσταση διαταραχής Ι Μεταβλητές στην μόνιμη αντισταθμισμένη κατάσταση πτήσης: δείκτης e (equilibrium). Το αεροσκάφος θεωρείται αρχικά ότι βρίσκεται σε κατάσταση μόνιμης αντισταθμισμένης και ευθύγραμμης συμμετρικής πτήσης, (όχι κατ ανάγκη οριζόντιας), χωρίς κλίση, εκτροπή ή πλαγιολίσθηση: β e = V e = 0 και Φ e = Ψ e = 0 Επειδή το αεροσκάφος βρίσκεται σε ομαλή ευθύγραμμη πτήση: U e = V e = W e = P e = Q e = R e = Φ e = Θ e = Ψ e = 0 Το μέγεθος των μεταβολών (διαταραχών) u, v, w, p, q, r των κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους στα πλαίσια της γραμμικής θεώρησης της δυναμικής πτήσης θεωρείται μικρό, έτσι ώστε να ισχύουν οι βασικές αρχές της θεωρίας μικρών διαταραχών. Γραμμικές ταχύτητες Γωνιακές ταχύτητες Αντισταθμισμένη ισορροπία U e V e =0 W e U=U e +u V=v W=w P e =0 Q e =0 R e =0 P=p Q=q R=r Γωνίες Θ e Φ e = 0 Ψ e = 0 Θ=Θ e +θ Φ=φ Ψ=ψ Κατάσταση διαταραχής U = u P = p Θ = θ V = v Q = q Φ = φ W = w R = r Ψ = ψ

Μόνιμη κατάσταση και κατάσταση διαταραχής ΙΙ Ολική ταχύτητα στην αντιστάθμιση: V Te = U e, 0, W T e W e = V Te sin α e και U e = V Te cos α e Οx w του αεροδυναμικού συστήματος έχει την διεύθυνση του σχετικού ανέμου W e = 0 και U e = V Te Μετά τη διαταραχή η νέα ολική ταχύτητα V T βρίσκεται στον νέο «διαταραγμένο» άξονα x w. Διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης: w α = arctan U e + u w (α σε rad) U e επειδή α [rad]<< tan(α) = sin(α) = α. Γωνία ίχνους πτήσης στην αντιστάθμιση: γ e = Θ e α e Γωνία ίχνους πτήσης: γ = Θ α Οριζόντια αντισταθμισμένη πτήση (γ e =0): Θ e = α e

Γραμμικοποίηση των κινηματικών και των αδρανειακών όρων - Ι Υπόθεση μικρών διαταραχών: u, v, w οι p, q, r μικρές οι όροι που περιέχουν γινόμενα και τετράγωνα των ποσοτήτων αυτών (μη γραμμικοί) αποτελούν ποσότητες 2 ης τάξης και μπορούν να αμεληθούν στους υπολογισμούς. Μικρές γωνίες διαταραχών: cos δ 1 και sin(δ) δ (δ σε rad) Διαταραχές γωνιακών ταχυτήτων : p = φ ψ sin Θ e q = Θ r = ψ cos Θ e Για οριζόντια (ή σχεδόν οριζόντια) πτήση, προσεγγιστικά: p = φ, q = θ, r = ψ

Γραμμικοποίηση των κινηματικών και των αδρανειακών όρων - ΙΙ Υποθέτοντας σταθερή ατμοσφαιρική κατάσταση, οι δυνάμεις λόγω ατμοσφαιρικών αναταράξεων μπορούν να αμεληθούν: X d = Y d = Z d = L d = M d = N d = 0 Τότε οι γενικευμένες εξισώσεις κίνησης γίνονται: X = m u = X a + X g + X c + X p Y = m v + r U e = Y a + Y g + Y c + Y p Z = m W q U e = Z a + Z g + Z c + Z p L = I x p I xz r = L a + L g + L c + L p M = I y q = M a + M g + M c + M p N = I z r I xz p = N a + N g + N c + N p

Γραμμικοποίηση των αεροδυναμικών όρων Διαταραγμένη κίνηση μικρού εύρους Μέθοδος που εισάχθηκε πρώτα από τον Bryan (1911): Υποτίθεται ότι οι όροι των αεροδυναμικών δυνάμεων και ροπών, εξαρτώνται μόνο από τις μεταβλητές κίνησης και τις παραγώγους αυτών. Μαθηματικά εκφράζεται ως ένα άθροισμα από σειρές Taylor: Ενδεικτικά ο αεροδυναμικός όρος Χ a στην εξίσωση της αξονικής δύναμης: Χ a = Χ ae + X X u + HODT u + u v v + HODT v + X X w + HODT w + w p p + HODT p + X X q + HODT q + q r r + HODT r + X u u + HODT u + X v v + HODT v +σειρές με όρους w, p, q, r +σειρές με όρους παραγώγων μεγαλύτερης τάξης X ae : σταθερός όρος, αεροδυναμικές δυνάμεις στην μόνιμη αντισταθμισμένη κατάσταση πτήσης, ΗΟΤD: όροι με παραγώγους ανώτερης τάξης.

Γραμμικοποίηση των αεροδυναμικών όρων Οι μεταβλητές κίνησης είναι μικρές ποσότητες μόνο οι πρώτοι όροι σε κάθε μια από τις πιο πάνω σειρές θα έχουν σημαντικό μέγεθος. Οι μόνες αξιοσημείωτες σειρές που περιλαμβάνουν παραγώγους μεγαλύτερης τάξης και που συχνά λαμβάνονται υπόψη, είναι αυτές της επιτάχυνσης w. Χ a = X ae + X a u + X a v + X a w + X a p + X a q + X a r + X a u v w p q r ή με εναλλακτικό συμβολισμό Χ a = X ae + X u u + X v v + X w w + X p p + X q q + X r r + X w w Όμοια και οι υπόλοιποι αεροδυναμικοί όροι (Y a, Z a, L a, M a,n a ). w w X u = X u, X v = X v, X w = X w,... κλπ : «αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας». Το σύμβολο «~» (περισπωμένη), δηλώνει ότι πρόκειται για διαστατές μεταβλητές. Για παράδειγμα, η παράγωγος X u έχει μονάδες μέτρησης δύναμης προς ταχύτητας, δηλαδή: Ν m/sec2 = kg = kg 1 ft/sec2 slug m/sec m/sec sec ft/sec

Οι γραμμικές συνιστώσες της βαρυτικής δύναμης Όμοια με τις αδρανειακές δυνάμεις, γραμμικοποιούνται και οι βαρυτικές δυνάμεις: Z g = Z ge + Z g θ θ + Z g φ φ + = Z ge mgθsinθ e cos φ mgφ cos Θ e sinφ Διαταραχές θ,φ είναι μικρές: Z g = Z ge mgθ sin Θ e mgφ 2 = Z ge mgθ sin Θ e Στις εξισώσεις κίνησης μικρών διαταραχών: Μόνιμη αντισταθμισμένη πτήση πτέρυγες οριζόντιες (Φ e =0) στην αρχική συμμετρική κατάσταση πτήσης συνιστώσες του βάρους εμφανίζονται μόνο στο επίπεδο συμμετρίας: X ge Y ge Z ge = mgsinθ e 0 mgcosθ e X g Y g Z g = mg sin Θ e mgθ cos Θ e mgψ sin Θ e + mgφ cos Θ e mg cos Θ e mgθ sin Θ e Επιπλέον, επειδή η αρχή του σωματόδετου συστήματος ταυτίζεται με το κέντρο βάρους, δεν υφίσταται ροπή λόγω κάποιας συνιστώσας του βάρους, ως προς οποιονδήποτε άξονα, άρα: L g = M g = N g = 0

Γραμμικοί όροι του αεροδυναμικού ελέγχου Αεροδυναμικός έλεγχος πηδάλια ανόδου-καθόδου, κλίσης και εκτροπής. Δυνάμεις και ροπές λόγω αποκλίσεων των πηδαλίων μεταβολές στις αεροδυναμικές συνθήκες. Τα αποτελέσματα αυτών των αποκλίσεων, περιγράφονται ποσοτικά συναρτήσει των παραγώγων ευστάθειας του αεροδυναμικού ελέγχου, όμοια με τους αεροδυναμικούς όρους. Π.χ. η ροπή πρόνευσης λόγω του αεροδυναμικού ελέγχου: M c = M ce + M δa δ a + M δe δ e + M δr δ r M ce : σταθερή ροπή που απαιτείται από τις επιφάνειες ελέγχου για αντιστάθμιση. Η εξίσωση αυτή περιγράφει τις επιδράσεις των αεροδυναμικών επιφανειών ελέγχου σε σχέση με τις ισχύουσες συνθήκες ισορροπίας-αντιστάθμισης, Οι γωνίες ελέγχου δ a, δ e και δ r, μετρώνται σχετικά με τις γωνίες αντιστάθμισης δ a trim, δ etrim, δ rtrim αντίστοιχα. Όμοια προκύπτουν και οι ανάλογοι αεροδυναμικοί όροι στις υπόλοιπες εξισώσεις κίνησης.

Γραμμικοί όροι της ώσης Η ισχύς και επομένως η ώση Τ, ελέγχεται από τη γωνία του μοχλού ελέγχου της ισχύος δ p (μανέτα). T = T e + τ και T s δ p s = k τ 1 + st τ Π.χ. οριζόντια δύναμη λόγω της ώσης: X δp = Χ pe + X δp δ p X pe : σταθερή ώθηση του κινητήρα που απαιτείται κατά τη μόνιμη κατάσταση.

Εξίσωση ισορροπίας στη μόνιμη κατάσταση αντιστάθμισης Κατά τη μόνιμη αντισταθμισμένη πτήση όλες οι μεταβλητές της διαταραχής, καθώς και οι αντίστοιχες παράγωγοι τους είναι εξ ορισμού μηδενικές. Έτσι στη μόνιμη κατάσταση, οι γενικευμένες εξισώσεις κίνησης: X ae mgsinθ e + X ce + X pe = 0 Y ae + Y ce + X pe = 0 Z ae + mgcosθ e + Z ce + Z pe = 0 L ae + L ce + L pe = 0 M ae + M ce + M pe = 0 N ae + N ce + N pe = 0 Οι εξισώσεις αυτές είναι ουσιαστικά οι εξισώσεις στατικής ισορροπίας του αεροσκάφους

Οι εξισώσεις κίνησης για μικρές διαταραχές Εν τέλει, αντικαθιστώντας τις εκφράσεις των αεροδυναμικών όρων, των όρων βαρύτητας, ισχύος και αεροδυναμικού ελέγχου στις γενικευμένες εξισώσεις κίνησης και λαμβάνοντας υπόψη ότι οι μόνιμοι όροι των δυνάμεων και ροπών που εμφανίζονται λόγω αντιστάθμισης εξισορροπούνται λόγω των εξισώσεων στατικής ισορροπίας, προκύπτουν: m u X u u X v v X w w X p p ( X q mw e )q X r r X w w + mgθcosθ e = X δa δ a + X δe δ e + X δr δ r + X δp δ p m v Y u u Y v v Y w w Y p + mw e p Y q q Y r mu e r Y w w mgψsinθ e + mgφcosθ e = Y δa δ a + Y δe δ e + Y δr δ r + Y δp δ p Z u u Z v v Z w w Z p p Z q + mu e q Z r r + m Z w w + mgθsinθ e = Z δa δ a + Z δe δ e + Z δr δ r + Z δp δ p I x p I xz r L u u L v v L w w L p p L q q L r r L w w = L δa δ a + L δe δ e + L δr δ r + L δp δ p I y q M u u M v v M w w M p p M q q M r r M w w = M δa δ a + M δe δ e + M δr δ r + M δp δ p I z r I xz p N u u N v v N w w N p p N q q N r r N w w = N δa δ a + N δe δ e + N δr δ r + N δp δ p Είναι γραμμικές και σχηματίζουν ένα σύστημα έξι διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση ενός αεροσκάφους με τις u,v,w,p,q,r ως εξαρτημένες μεταβλητές. Οι εξισώσεις αυτές, προβλέπουν μέσω των όρων εξωτερικών διεγέρσεων στο δεξί τους μέλος, ότι η αλλαγή κατάστασης της πτήσης του αεροσκάφους, προέρχεται μόνο από ηθελημένη δράση του πιλότου -χειριστή ή «αυτόματου»- μέσω δράσης σε επιφάνεια αεροδυναμικού ελέγχου, ή μέσω μεταβολής ώθησης του κινητήρα.

Αποσυζευγμένες εξισώσεις κίνησης Οι εξισώσεις των μικρών διαταραχών, περιγράφουν την απόκριση του αεροσκάφους συναρτήσει των διαταραχών σε όλες τις κατευθύνσεις και περιστροφές περί όλους τους άξονες. Για τα περισσότερα αεροσκάφη όμως κατά τη μεταβατική κίνηση των μικρών διαταραχών, η σύζευξη των διαμηκών-εγκάρσιων εξισώσεων είναι αμελητέα Δυνατή η αποσύζευξη του συστήματος σε δύο επί μέρους συστήματα εξισώσεων, τα οποία αφορούν ξεχωριστά την κίνηση σε διάμηκες και εγκάρσιο επίπεδο, μέσω κάποιων πρόσθετων παραδοχών. Αποσυζευγμένη διαμήκης κίνηση: η κίνηση του αεροσκάφους που προκύπτει ως απόκριση του αεροσκάφους σε μια διαταραχή που εφαρμόστηκε κατά το διάμηκες επίπεδο συμμετρίας Οxz. Αποσυζευγμένη εγκάρσια κίνηση και η ανάλογη κίνηση ως προς τη διεύθυνση περιλαμβάνει μόνο την κίνηση του αεροσκάφους ως προς την περιστροφή, την εκτροπή και την πλαγιολίσθηση.

Διαμήκεις εξισώσεις κίνησης Η κίνηση στο διάμηκες επίπεδο περιγράφεται από τις εξισώσεις της αξονικής δύναμης X, της κάθετης δύναμης Z και της ροπής πρόνευσης M μόνο. Από τη στιγμή που δεν υπάρχει εγκάρσια κίνηση του αεροσκάφους, οι εγκάρσιες μεταβλητές κίνησης v, p, r, καθώς και οι παράγωγοι αυτών είναι μηδενικές. Οι αεροδυναμικές παράγωγοι σύζευξης είναι τόσο μικρές ώστε μπορούν να αγνοηθούν: X v = X p = X r = Z v = Z p = Z r = M v = M p = M r = 0 Γενικά οι αποκλίσεις των πηδαλίων κλίσεως και εκτροπής δεν προκαλούν κίνηση στο διάμηκες επίπεδο συμμετρίας: Διαμήκεις εξισώσεις κίνησης: X δa = X δr = Z δa = Z δr = M δa = M δr = 0 m u X u u X w w ( X q mw e )q X w w + mgθcosθ e = X δe δ e + X δp δ p Z u u Z w w Z q + mu e q + m Z w w + mgθsinθ e = Z δe δ e + Z δp δ p I y q M u u M w w M q q M w w = M δe δ e + M δp δ p

Εγκάρσιες-διεύθυνσης εξισώσεις κίνησης Η κίνηση στο εγκάρσιο επίπεδο περιγράφεται από τις εξισώσεις της πλάγιας δύναμης Υ, της ροπής περιστροφής L και της ροπής εκτροπής Ν μόνο. Επειδή δεν υφίσταται διαμήκης κίνηση, οι διαμήκεις μεταβλητές κίνησης u, w, q καθώς και οι αντίστοιχες παράγωγοί τους είναι μηδενικές. Οι αεροδυναμικές παράγωγοι σύζευξης είναι τόσο μικρές ώστε μπορούν να αγνοηθούν: Y u = Y w = Y w = Y q = L u = L w = L w = L q = N u = N w = N w = N q = 0 Ανάλογα, επειδή η άτρακτος είναι συμμετρική, η απόκλιση του πηδαλίου ανόδουκαθόδου και οι μεταβολές της ώσης δεν προκαλούν εγκάρσια κίνηση ή ανάλογη κίνηση ως προς την εκτροπή, ενώ οι συζευγμένες αεροδυναμικές παράγωγοι ελέγχου, μπορούν επίσης να ληφθούν μηδενικές: Y δe = Y δp = L δe = L δp = N δe = N δp = 0 Εξισώσεις εγκάρσιας - διεύθυνσης μη συμμετρικής κίνησης: m v Y v v Y p + mw e p Y r mu e r mgψsinθ e + mgφcosθ e = Y δa δ a + Y δr δ r I x p I xz r L v v L p p L r r = L δa δ a + L δr δ r I z r I xz p N v v N p p N r r = N δa δ a + N δr δ r