ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ. Α. Βασικές σχέσεις της μηχανικής στερεού σώματος

Transcript

1 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ Α. Βασικές σχέσεις της μηχανικής στερεού σώματος Α. Γωνίες Euler Στη Δυναμική Πτήσης απαιτείται συχνά ο μετασχηματισμός μεγεθών από ένα σύστημα αξόνων σε άλλο. Γενικά η διαδικασία συσχετισμού ενός μεγέθους ή μεταβλητής από ένα σύστημα αξόνων σε ένα άλλο γίνεται με πολύ συγκεκριμένο τρόπο και μάλιστα με τη βοήθεια κάποιων γωνιών που ονομάζονται γωνίες Euler. Σχήμα ΠΑΡ.Α. Γωνίες Euler - Μετασχηματισμός συντεταγμένων Το σχήμα ΠΑΡ.Α. απεικονίζει το γήινο σύστημα (ΟxΕyΕzΕ) του οποίου η αρχή των αξόνων ταυτίζεται με το κέντρο βάρους του αεροσκάφους P. Σε αυτό το σημείο μετονομάζεται σε (Pxyz). O προσανατολισμός του σωματόδετου συστήματος (Pxyz) Oxbybzb, σε σχέση με το (Pxyz) περιγράφεται με τη βοήθεια τριών διαδοχικών περιστροφών ως προς τις γωνίες ψ, θ και φ. Περιστροφή : το σύστημα (Pxyz) περιστρέφεται περί του άξονα z με γωνία Ψ ή γωνία πορείας. Η θετική φορά αυτής της γωνίας φαίνεται στο σχήμα ΠΑΡ.Α.. Το νέο σύστημα που προκύπτει μετονομάζεται (Px2y2z2). x cos Ψ sin Ψ 0 x Ε x Ε [ y ] = [ sin Ψ cos Ψ 0] [ y Ε ] = T 3 (Ψ) [ y Ε ] z 0 0 z Ε z Ε Περιστροφή 2: το σύστημα (Px2y2z2) περιστρέφεται περί του άξονα y2 με γωνία Θ, δηλαδή τη γωνία πρόνευσης. Η θετική φορά αυτής της

2 γωνίας φαίνεται στο σχήμα ΠΑΡ.Α.. Το νέο σύστημα που προκύπτει μετονομάζεται (Px3y3z3). x 2 cos Θ 0 cos Θ x x [ y 2 ] = [ 0 0 ] [ y ] = T 2 (Θ) [ y ] z 2 sin Θ 0 cos Θ z z Περιστροφή 3: το σύστημα (Px3y3z3) περιστρέφεται περί του άξονα x3 με γωνία Φ, τη γωνία κλίσης. Η θετική φορά αυτής της γωνίας φαίνεται επίσης στο σχήμα ΠΑΡ.Α.. Το νέο σύστημα που προκύπτει μετονομάζεται στο σωματόδετο (Pxyz) Oxbybzb, δηλαδή σε αυτό το σημείο επιτυγχάνεται η ταύτιση του γήινου με το προσδεμένο σύστημα στο αεροσκάφος. x 3 x 0 0 x 2 x 2 [ y 3 ] [ y] = [ 0 cos Φ sin Φ] [ y 2 ] = T (Φ) [ y 2 ] z 3 z 0 sin Φ cos Φ z 2 z 2 Τότε συνδυάζοντας και τους τρείς μετασχηματισμούς: x x Ε [ y] = T (Φ)T 2 (Θ)T 3 (Ψ) [ y Ε ] z z Ε Α2. Χρονικές παράγωγοι και ρυθμοί μεταβολής ως προς αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων Στο σχήμα ΠΑΡ.Α.2, εικονίζεται το σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων ΟΒΧΒΥΒΖΒ με συνεχή γραμμή στην αρχική του θέση και με διακεκομμένη γραμμή σε νέα θέση ΟΒΧ ΒΥ ΒΖΒ, μετά από περιστροφή του κατά γωνία θ. Για λόγους απλότητας του σχήματος, η περιστροφή γίνεται περί τον άξονα ΟΒΖΒ. Το σημείο P έχει μετακινηθεί σε νέα θέση P. H μετακίνησή του προκύπτει σαν σύνδεση δύο κινήσεων: Μιας περιστροφής κατά θ περί τον άξονα ΟΒΖΒ (Διάνυσμα PA ), λόγω περιστροφής του σώματος Β με γωνιακή ταχύτητα ω και μιας μεταβολής της απόστασής του από την αρχή ΟΒ του ΟΒΧΒΥΒΖΒ, λόγω της σχετικής κίνησης που πραγματοποιεί το P στο σωματόδετο σύστημα ΟΒΧΒΥΒΖΒ P P = OP OP = PA + AP

3 Σχήμα ΠΑΡ.Α.2 Μεταβολές ενός σημείου P ενός σώματος Β το οποίο μεταφέρεται και στρέφεται ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς ΟΙΧΙΥΙΖΙ. Το ΟΒΧΒΥΒΖΒ είναι ένα σωματόδετο σύστημα αναφοράς. (Για λόγους απλότητας του σχήματος, η γωνιακή ταχύτητα βρίσκεται στον άξονα ΟΒΖΒ. Ταχύτητα: Η ταχύτητα vp ορίζεται: P P v p= lim Δt 0 Δt = lim Δt 0 PA Δt + lim Δt 0 θ = lim Δt 0 Δt Ο ΒΑ + lim Δt 0 ΑP Δt = lim Δt 0 ΑP Δt 0 θ Ο Β Α Δt + lim Δt Δt 0 ΑP 0 [ dr B dt ] = v P = ω r B + v B I όπου ο όρος [ dr B ] παριστάνει τη συνολική μεταβολή ως προς τον χρόνο ενός dt I διανύσματος r B του σωματόδετου συστήματος συντεταγμένων ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Επιτάχυνση: Με εντελώς ανάλογο τρόπο, μπορεί να αποδειχθεί ότι συνολικός ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας v P είναι: d dt [v B] I = v B + ω v B = a B + ω v B Στροφορμή: Με εντελώς ανάλογο τρόπο, μπορεί να αποδειχθεί ότι συνολικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής είναι: d dt [Η] I = d dt [Η] Β + ω Η = Η + ω Η Β. Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων Ο σκοπός της επίλυσης είναι η εξαγωγή μιας μαθηματικής περιγραφής της μεταβολής όλων των μεταβλητών απόκρισης (εξόδου) ενός δυναμικού συστήματος συναρτήσει του χρόνου, μετά από την εφαρμογή εντολών (διεγέρσεων, εξόδων), καθώς και στη συνέχεια η εκτίμηση της ευστάθειας του δυναμικού συστήματος. Αυτή η μαθηματική περιγραφή, ονομάζεται και (δυναμικό) «μοντέλο» του δυναμικού συστήματος. Χαρακτηριστικό κλασσικό παράδειγμα εφαρμογής των μεθόδων επίλυσης αποτελεί η δυναμική πτήσης. Οι σχέσεις που χαρακτηρίζουν τη δυναμική πτήσης απεικονίζονται συνοπτικά στο δομικό διάγραμμα του σχήματος Β, όπου οι μεταβλητές απόκρισης (εξόδου) του αεροσκάφους είναι τα κινηματικά του μεγέθη, όπως αυτά ορίσθηκαν στην παράγραφο 3.2. Οι είσοδοι (διεγέρσεις) που θεωρούνται, είναι οι εντολές στα πηδάλια αεροδυναμικού ελέγχου και στον κινητήρα. Προφανώς υπάρχουν περισσότεροι του ενός συνδυασμοί εισόδων εξόδων. Το μαθηματικό μοντέλο της δυναμικής του αεροσκάφους, είναι το σύνολο των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους. Στη γενική περίπτωση, μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα συστήματα διαφορικών εξισώσεων που υπολογίσθηκαν στο κεφάλαιο 3. Εφόσον το μαθηματικό μοντέλο που επιλέγεται είναι εκείνο των αποσυζευγμένων εξισώσεων μικρών διαταραχών, δεν υφίσταται συνάρτηση μεταφοράς που να συσχετίζει διαμήκεις μεταβλητές εισόδου με εγκάρσιες μεταβλητές εξόδου και το αντίστροφο. Αυτό φυσικά δεν ισχύει όταν το αεροσκάφος περιγράφεται από το μη γραμμικό πλήρως συζευγμένο σύστημα

4 εξισώσεων ή από το πλήρως συζευγμένο σύστημα μικρών διαταραχών, όπως συνήθως συμβαίνει με τα ελικόπτερα. Σχήμα ΠΑΡ.Β. Σχηματική απεικόνιση του μοντέλου δυναμικής συμπεριφοράς αεροσκάφους Στα πλαίσια του συγγράμματος, χρησιμοποιούνται δύο βασικές μέθοδοι έκφρασης και επίλυσης των εξισώσεων κίνησης: συναρτήσεις μεταφοράς, ανάλυση στον χώρο κατάστασης. Οι δύο μέθοδοι είναι γενικά αλληλένδετες και ο διαχωρισμός γίνεται κυρίως για τον λόγο ότι η μέθοδος του χώρου κατάστασης έχει συγκεντρωμένες όλες τις πληροφορίες του συστήματος και μπορεί να καταχωρηθεί ταχύτερα ως έχει, σε λογισμικά όπως το Matlab και να γίνει επίλυση, εκμεταλλευόμενοι τα πολλά εργαλεία απεικόνισης και επεξεργασίας που παρέχει ένα τέτοιο λογισμικό. Σημαντικό πρόσθετο πλεονέκτημα της ανάλυσης στον χώρο κατάστασης, είναι η δυνατότητα εφαρμογής της και σε μη γραμμικά συστήματα, σε αντίθεση με τις συναρτήσεις μεταφοράς. Β.. Ορισμός και ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace αποτελεί ένα ευρέως διαδεδομένο εργαλείο στην επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Η εφαρμογή του βασίζεται στη μετατροπή της διαφορικής εξίσωσης σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων των οποίων η επίλυση μπορεί να γίνει εύκολα με τη χρήση υπολογιστών. Επιπλέον, η σχέση απόκρισης εισόδου-εξόδου, μπορεί εύκολα να περιγραφεί με τη χρήση συναρτήσεων μεταφοράς. Στη συνέχεια, η χρονική απόκριση μπορεί να υπολογισθεί με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της συνάρτησης μεταφοράς για την είσοδο που ενδιαφέρει. Επιπλέον, ο υπολογισμός της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος παρέχει το βασικό εργαλείο για τον σχεδιασμό ενός συστήματος ανάδρασης (feedback control system). Ο μετασχηματισμός Laplace μιας συνάρτησης f(t) ορίζεται ως εξής: L[f(t)] = F(s) = f(t)e st dt 0 όπου s = σ + jω Ενώ ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace: L [F(s)] = f(t) = c+j 2πj F(s)est ds c j Έτσι, έχουν δημιουργηθεί πίνακες με τους μετασχηματισμούς διάφορων μορφών συναρτήσεων και με ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, ώστε αυτός να είναι εύκολα και άμεσα εφαρμόσιμος. Στον πίνακα ΠΑΡ.Β. παρουσιάζεται ο μετασχηματισμός Laplace των πιο συχνά χρησιμοποιούμενων συναρτήσεων.

5 Οι βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace συνοψίζονται στον επόμενο πίνακα ΠΑΡ.Β.2.

6 Πίνακας ΠΑΡ.Β. Μετασχηματισμός Laplace των συνηθέστερων συναρτήσεων

7 Πίνακας ΠΑΡ.Β.2 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace

8 Β.2. Γενικά για τις συναρτήσεις μεταφοράς Β.2.. Ορισμός Πόλοι και μηδενιστές Έστω το γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα που ορίζεται με τη διαφορική εξίσωση, όπως παρουσιάζεται στο [0]: a n d n y dt n + a n d n y dt n + + a 2 = b m d m u dt m + b m d 2 y dt 2 + a dy dt + a 0y d m u dt m + + b 2 d 2 y dt 2 + b du dt + b 0u ή αλλιώς: a n y (n) (t) + a n y (n ) (t) + + a 2 y (t) + a y (t) + a 0 y(t) = b m u (m) (t) + b m u (m ) (t) + + b 2 u (t) + b u (t) + b 0 u(t) Ο μετασχηματισμός Laplace για μηδενικές αρχικές συνθήκες προκύπτει: a n s n Y(s) + a n s n Y(s) + + a 2 s 2 Y(s) + a sy(s) + a 0 Y(s) = b m s m U(s) + b m s m U(s) + + b 2 s 2 U(s) + b su(s) + b 0 U(s) για y (n) (0) = y (n ) (0) = = y (0) = y(0) = u (n) (0) = u (n ) (0) = = u (0) = u(0) = 0 Εξάγοντας κοινούς παράγοντες προκύπτει: Y(s)(a n s n + a n s n + + a 2 s 2 + a s + a 0 ) = U(s)(b m s m + b m s m + + b 2 s 2 + b s + b 0 ) Τότε η συνάρτηση μεταφοράς είναι: G(s) = Y(s) U(s) = b ms m + b m s m + + b 2 s 2 + b s + b 0 a n s n + a n s n + + a 2 s 2 + a s + a 0 = K(s z )(s z 2 ) (s z m ) (s p )(s p 2 ) (s p n ) όπου Κ: κέρδος Δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς είναι ο λόγος του μετασχηματισμού Laplace της συνάρτησης εξόδου προς τον μετασχηματισμό της συνάρτησης εισόδου και εκφράζει τις ιδιότητες του συστήματος, ανεξάρτητα από τη συνάρτηση εισόδου. Κανονικές ονομάζονται οι συναρτήσεις μεταφοράς στις οποίες: m = n όπου m, n ακέραιοι εκθέτες Κάποιες φορές στις συναρτήσεις μεταφοράς του αεροσκάφους εμφανίζονται μη κανονικές μορφές (για παράδειγμα η απόκριση της επιτάχυνσης σε σχέση μ ένα τυχαίο σήμα εισόδου). Η χαρακτηριστική εξίσωση ορίζεται εξισώνοντας τον παρονομαστή της ΣΜ με το μηδέν: a n s n + a n s n + + a 2 s 2 + a s + a 0 = (s p )(s p 2 ) (s p n ) = 0 Οι n ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης δηλαδή του πολυωνύμου του παρονομαστή- ονομάζονται πόλοι του συστήματος. Εξισώνοντας τον αριθμητή της ΣΜ με το μηδέν: b m s m + b m s m + + b 2 s 2 + b s + b 0 = (s z )(s z 2 ) (s z m ) = 0 Προκύπτουν οι m ρίζες του πολυωνύμου του αριθμητή της συνάρτησης μεταφοράς, οι οποίες ονομάζονται μηδενιστές του συστήματος. Β.2.2. Συστήματα 2 ης τάξης Ένα τέτοιο σύστημα είναι το κλασσικό μηχανικό σύστημα «μάζα-αποσβεστήραςελατήριο». Η ανάλυση του συστήματος αυτού περιέχει βασικές ορολογίες και έννοιες χρησιμότατες στη μοντελοποίηση ακόμα και συστημάτων μεγαλύτερης τάξης, όπως θα γίνει προφανές σε μεταγενέστερο στάδιο. Η χαρακτηριστική εξίσωση ενός συστήματος 2 ης τάξης εκφράζεται ως εξής:

9 Δ(s) = (s p )(s p 2 ) = s 2 + 2ζω n s + ω 2 n = 0 Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης υπολογίζονται ως: p,2 = ζω n ± ω n ζ 2 όπου ζ: απόσβεση, ωn: φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση. Ανάλογα με την τιμή της απόσβεσης, υπάρχουν τέσσερις βασικές περιπτώσεις ριζών/πόλων που αντιστοιχούν σε τέσσερις περιπτώσεις αποκρίσεων: ) ζ = 0: μηδενική απόσβεση Επ άπειρον ταλάντωση Συζυγείς πόλοι πάνω στον φανταστικό άξονα. p,2 = ±jω n 2) 0 < ζ < : υπό-απόσβεση - αποσβενόμενη ταλάντωση - μιγαδικοί συζυγείς πόλοι. p,2 = ζω n ± jω n ζ 2 ή p,2 = σ α ± jω d ω d = ω n ζ 2 αποσβενόμενη φυσική συχνότητα σ α = ζω n σταθερά εξασθένησης Τ = = χρονική σταθερά σ α ζω n 3) ζ = : κρίσιμη απόσβεση - καθόλου ταλάντωση- πραγματικοί και ίσοι πόλοι. p = p 2 = ω n 4) ζ > : υπέρ-απόσβεση - καθόλου ταλάντωση πραγματικοί, άνισοι και αρνητικοί πόλοι. p,2 = ζω n ± ω n ζ 2 B.2.3. Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο και η έννοια του τόπου των ριζών Έστω το σύστημα ελέγχου με ανάδραση του σχήματος ΠΑΡ.Β.2: Σχήμα ΠΑΡ.Β.2. Σύστημα ελέγχου με ανάδραση Ο μετασχηματισμός Laplace της εξόδου, εκφράζεται ως: G c (s)g p (s) Y(s) = + G c (s)g p (s)h(s) R(s) Η ΣΜ του κλειστού βρόχου ορίζεται ως: Y(s) R(s) = G c (s)g p (s) + G c (s)g p (s)h(s) ενώ η ΣΜ ανοιχτού βρόχου: Β(s) E(s) = G c(s)g p (s)h(s) όπου Gc: ΣΜ του κατευθυντή,

10 Gp: ΣΜ της εγκατάστασης, Η: ΣΜ ανάδρασης. Θέτοντας: G(s) = G c (s)g p (s) η χαρακτηριστική εξίσωση γίνεται: + G(s)H(s) = 0 G(s)H(s) = Καθώς η G(s)H(s) είναι μιγαδική ποσότητα, εξισώνοντας τα μέτρα και τις γωνίες των δύο μελών, προκύπτουν οι εξής συνθήκες: ) Συνθήκη μέτρου: G(s)H(s) = 2) Συνθήκη γωνίας: G(s)H(s) = ±π(2k + ), k = 0,,2 Οι τιμές si που ικανοποιούν και τις δύο συνθήκες, δηλαδή οι ρίζες τις χαρακτηριστικής, αποτελούν τους πόλους κλειστού βρόχου του συστήματος. Ο τόπος των ριζών αντιστοιχεί στα σημεία που ικανοποιούν μόνο τη συνθήκη γωνίας. Η χαρακτηριστική εξίσωση μπορεί να εκφραστεί ως: + G(s)H(s) = + Κ Ζ(s) P(s) = 0 όπου Κ: κέρδος ανοιχτού βρόχου, Ζ(s) = (s+z)(s+z2)...(s+zi) με z τους μηδενιστές ανοιχτού βρόχου, P(s) = s n (s+p)(s+p2)...(s+pi) με p τους πόλους ανοιχτού βρόχου. Το κέρδος ανοιχτού βρόχου, υπολογίζεται ως εξής: γινόμενο αποστάσεων πόλων Κ = γινόμενο αποστάσεων μηδενιστών K = sn s + p s + p 2... s + p i s + z s + z 2... s + z j Η παράσταση του τόπου των ριζών γίνεται στο μιγαδικό επίπεδο. Για ένα σύστημα 2ης τάξης όπως παρουσιάστηκε στην προηγούμενη παράγραφο, ανάλογα με την απόσβεση υπάρχουν διάφορες περιπτώσεις πόλων. Ειδικά στη περίπτωση για 0<ζ<: p,2 = ζω n ± jω n ζ 2 ή p,2 = σ α ± jω d Στο σχήμα ΠΑΡ.Β.3 φαίνεται πως καθορίζονται τα δυναμικά χαρακτηριστικά ζ, ωn στο μιγαδικό επίπεδο. Για την απόσβεση ζ ισχύει: ζ = cos θ Δηλαδή ο συντελεστής απόσβεσης είναι θετικός στο αριστερό ημιεπίπεδο. Για αυτό η ύπαρξη πόλων στο δεξιό ημιεπίπεδο είναι άμεση ένδειξη ασταθούς συστήματος. Ανάλογα στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα ισχύει ότι ζ=, ενώ στον φανταστικό άξονα ζ=0. Η φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση ωn ισούται με το μέτρο του μιγαδικού πόλου. Για πιο λεπτομερή και εκτεταμένη ανάλυση για τη χάραξη του τόπου των ριζών και τη σημασία του, ο αναγνώστης παραπέμπεται στη βιβλιογραφία.

11 Σχήμα ΠΑΡ.Β.3 Παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο. Συνοπτικά, κάθε κλάδος του τόπου ριζών ξεκινά από ένα πόλο όπου Κ=0 και καταλήγει σε ένα μηδενιστή, όπου Κ=. Όσο πιο κοντά στον φανταστικό άξονα βρίσκεται ο πόλος τόσο πιο ασταθές γίνεται το σύστημα. Στη τομή του τόπου των ριζών με τον φανταστικό άξονα, υφίσταται ένα κρίσιμο κέρδος Κcrit το οποίο αν ξεπεραστεί, το σύστημα γίνεται ασταθές εφόσον περνάμε πλέον στο δεξιό ημιεπίπεδο. Στις εφαρμογές της δυναμικής πτήσης, ο στόχος είναι η κατάλληλη επιλογή/σχεδιασμός των κατευθυντών και του κέρδους, ώστε να επιτυγχάνονται ικανοποιητικά δυναμικά χαρακτηριστικά και παράλληλα να αυξάνεται η ευστάθεια του συστήματος. Ειδικά στα απλά συστήματα, αυτό επιτυγχάνεται με τη μέθοδο τοποθέτησης πόλων. B.2.4. Απόκριση συχνότητας-διαγράμματα Bode Η έννοια απόκριση συχνότητας, αναφέρεται στην απόκριση μόνιμης κατάστασης (t ) ενός συστήματος το οποίο έχει ημιτονοειδή είσοδο σταθερού εύρους και της οποίας η συχνότητα μπορεί να μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή. Η χρήση της μεθόδου αυτής έχει κάποια βασικά πλεονεκτήματα: Γνωρίζοντας τα χαρακτηριστικά της απόκρισης συχνότητας του ανοιχτού βρόχου ενός γραμμικού συστήματος κλειστού βρόχου, μπορεί να διερευνηθεί η απόλυτη και σχετική ευστάθεια του. Το κριτήριο της ευστάθειας δεν απαιτεί τον προσδιορισμό των πόλων του συστήματος. Έστω σύστημα, με συνάρτηση μεταφοράς G(s), είσοδο x(t), και έξοδο y(t). Η απόκριση συχνότητας του συστήματος προκύπτει αντικαθιστώντας στη σμ τη μιγαδική μεταβλητή s που εισάγεται από τον μετασχηματισμό Laplace, με τη φανταστική μεταβλητή jω, όπου ω [rad/sec] είναι η συχνότητα εφόσον η είσοδος είναι ημιτονοειδής συνάρτηση: x(t) = X sin ωt και η ΣΜ ως ο λόγος δύο πολυωνύμων του s:

12 G(s) = Y(s) X(s) = b ms m + b m s m + + b 2 s 2 + b s + b 0 a n s n + a n s n + + a 2 s 2 + a s + a 0 N(s) = (s p )(s p 2 ) (s p n ) Η απόκριση μόνιμης κατάστασης ενός ευσταθούς ΓΧΑΣ σε μια ημιτονοειδή είσοδο, είναι ανεξάρτητη των αρχικών συνθηκών οι οποίες και υποτίθενται μηδενικές. Αντικαθιστώντας το s, η ΣΜ που είναι μιγαδική ποσότητα, γράφεται: G(jω) = G(jω) e jφ όπου G(jω) το μέτρο και φ η γωνιά της ΣΜ: G(jω) = (πραγματικό μέρος) 2 + (φανταστικό μέρος) 2 φ = G(jω) = tan πραγματικό μέρος ( φανταστικό μέρος ) Εφόσον από τη μιγαδική ανάλυση ισχύει: G( jω) = G( jω) e jφ = G(jω) e jφ Προκύπτει η απόκριση μόνιμης κατάστασης στη μορφή: y(t) = X G(jω) sin(ωt + φ) = Y sin(ωt + φ) Δηλαδή η έξοδος του συστήματος, είναι επίσης ημιτονοειδής με συχνότητα ίδια με τη συχνότητα της εισόδου, ενώ γενικά έχει διαφορετικό πλάτος (μέτρο) και διαφορά φάσης από την είσοδο. φ < 0 : Υπολειπόμενη φάση (phase lag). φ > 0 : Προπορευόμενη φάση (phase lead). Η παράσταση μιας ημιτονοειδούς ΣΜ μπορεί να γίνει σε δύο διαφορετικά διαγράμματα που απεικονίζουν το μέτρο και τη γωνία φάσης συναρτήσει της συχνότητας. Για τον σκοπό αυτό έχει καθιερωθεί το λογαριθμικό διάγραμμα Bode. Τα διαγράμματα Bode χαράζονται σε ημιλογαριθμικό χαρτί, με τη συχνότητα στη λογαριθμική κλίμακα και το μέτρο (db) και τη γωνία φάσης ( ) στη γραμμική κλίμακα. Η τυπική παράσταση του λογαριθμικού μέτρου είναι 20log0 G(jω) και εκφράζεται σε μονάδες decibel (db). Ορίζονται επίσης, τα διαστήματα των συχνοτήτων ως εξής: Δεκάδα: ω 0ω Οκτάβα: ω 2ω όπου ω τυχαία συχνότητα.

13 Σχήμα ΠΑΡ.Β.4. Ημιλογαριθμικά διαγράμματα Bode Έστω το σύστημα ελέγχου με ανάδραση: Σχήμα ΠΑΡ.Β.5. Σύστημα ελέγχου με ανάδραση Ο μετασχηματισμός Laplace της εξόδου, εκφράζεται ως: G c (s)g p (s) Y(s) = + G c (s)g p (s)h(s) R(s) Το βασικό πλεονέκτημα των διαγραμμάτων Bode, είναι η μετατροπή των γινομένων του μέτρου, σε άθροισμα. Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα διαγράμματα Bode των βασικών παραγόντων που πιθανόν να συνθέτουν κάποια ΣΜ: Κέρδος Κ: Εφόσον είναι ένας σταθερός αριθμός, η τιμή του σε db είναι: 20 log 0 K Δηλαδή η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου, είναι μια οριζόντια ευθεία στα 20log0K db, ενώ ανάλογα αν το κέρδος είναι μεγαλύτερο ή μικρότερο της μονάδας η

14 τιμή σε decibel είναι αντίστοιχα θετική ή αρνητική. Προφανώς ο παράγοντας του κέρδους έχει φάση φ=0. Επίσης, δεκαπλασιασμός του κέρδους συνεπάγεται αύξηση 20 db αφού: 20 log 0 0 n K = 20 log 0 K + 20n Επίσης, ισχύει για τους αντίστροφους παράγοντες: 20 log 0 K = 20 log 0 K Παράγοντες ολοκλήρωσης /jω: Το λογαριθμικό μέτρο προκύπτει: 20 log 0 jω = 20 log 0 jω = 20 log 0 ω [db] Δηλαδή η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι μια ευθεία με κλίση - 20dB/δεκάδα ή -6 db/οκτάβα, ενώ για ω= μηδενίζεται. Όσον αφορά τη γωνία φάσης: φ = 90 Άρα είναι μια οριζόντια ευθεία στις -90 μοίρες. Αν ο παράγοντας είναι υψωμένος σε δύναμη, δηλαδή (/jω) n, τότε: 20 log 0 ( n jω ) = 20 n log 0 ω [db] Άρα η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι ευθεία κλίσης -20n db/δεκάδα και για τη γωνία φάσης, μια οριζόντια ευθεία στις φ = -90n. Παράγοντες παραγώγισης jω: Το λογαριθμικό μέτρο προκύπτει: 20 log 0 jω = 20 log 0 ω [db] Δηλαδή η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι μια ευθεία με κλίση +20dB/δεκάδα ή +6 db/οκτάβα, ενώ για ω= μηδενίζεται. Όσον αφορά τη γωνία φάσης: φ = +90 Άρα είναι μια οριζόντια ευθεία στις 90 μοίρες. Αν ο παράγοντας είναι υψωμένος σε δύναμη, δηλαδή (jω) n, τότε: 20 log 0 (jω) n = 20 n log 0 ω [db] Άρα η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι ευθεία κλίσης 20n db/δεκάδα και για τη γωνία φάσης, μια οριζόντια ευθεία στις φ = 90n. Παράγοντες ης τάξης /(+jωτ): Το λογαριθμικό μέτρο προκύπτει: 20 log 0 + jωτ = 20 log 0 + ω 2 T 2 [db] Για χαμηλές συχνότητες (ω << /Τ), προσεγγιστικά: 20 log 0 = 0 [db] Δηλαδή η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι μια οριζόντια ευθεία στα 0 db. Για ψηλές συχνότητες (ω >> /Τ), προσεγγιστικά: 20 log 0 ωτ [db] Εφόσον: ω = Τ 0 db ω = 0 20 db Τ Άρα η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι ευθεία με κλίση -20 db/δεκάδα. Δηλαδή ο παράγοντας αυτό προσεγγίζεται από δύο ασύμπτωτες ευθείες, οι οποίες

15 τέμνονται στη λεγόμενη συχνότητα θλάσης ωb=/τ. Σε αυτή τη συχνότητα υφίσταται και η μεγαλύτερη απόκλιση από την πραγματική καμπύλη και είναι περίπου 3 db. Όσον αφορά τη γωνία φάσης: ω = 0 φ = 0 φ = tan (ωτ) = { ω = ω b = T φ = 45 ω = φ = 90 Δηλαδή η καμπύλης της φάσης είναι ασυμπτωτική ως προς τις ευθείες που αντιστοιχούν στις 0 και -90, ενώ περνά από τις -45 στη συχνότητα θλάσης. Η γωνία φάσης φ = -45 που αντιστοιχεί στη συχνότητα θλάσης ονομάζεται σημείο ανάκαμψης. Αν ο παράγοντας είναι υψωμένος σε δύναμη, δηλαδή [/(+jωt)] -n, τότε: n 20 log 0 ( + jωτ ) = 20 n log 0 + ω 2 T 2 [db] Με την ίδια λογική προκύπτουν δύο ασύμπτωτες ευθείες, η χαμηλών συχνοτήτων οριζόντια στα 0 db και των υψηλών συχνοτήτων κλίσης -20n db/δεκάδα ενώ η γωνία φάσης, μεταβάλλεται φ = 0-90n. Το σφάλμα που υπεισέρχεται, είναι n φορές μεγαλύτερο. Παράγοντες ης τάξης +jωτ: Το λογαριθμικό μέτρο προκύπτει: db. 20 log 0 + jωτ = 20 log 0 + ω 2 T 2 [db] Για χαμηλές συχνότητες (ω << /Τ) προσεγγιστικά: 20 log 0 = 0 [db] Δηλαδή η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι μια οριζόντια ευθεία στα 0 Για ψηλές συχνότητες (ω >> /Τ) προσεγγιστικά: 20 log 0 ωτ [db] Εφόσον: ω = Τ 0 db ω = 0 20 db Τ Άρα η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι ευθεία με κλίση 20 db/δεκάδα. Δηλαδή ο παράγοντας αυτό προσεγγίζεται από δύο ασύμπτωτες ευθείες, οι οποίες τέμνονται στη λεγόμενη συχνότητα θλάσης ωb=/τ. Σε αυτή τη συχνότητα υφίσταται και η μεγαλύτερη απόκλιση από την πραγματική καμπύλη και είναι περίπου 3 db. Όσον αφορά τη γωνία φάσης: ω = 0 φ = 0 φ = tan (ωτ) = {ω = ω b = T φ = 45 ω = φ = 90 Δηλαδή η καμπύλης της φάσης είναι ασυμπτωτική ως προς τις ευθείες που αντιστοιχούν στις 0 και 90, ενώ περνά από τις 45 στη συχνότητα θλάσης. Η γωνία φάσης φ = 45 που αντιστοιχεί στη συχνότητα θλάσης ονομάζεται σημείο ανάκαμψης. Αν ο παράγοντας είναι υψωμένος σε δύναμη, δηλαδή (+jωτ) n, τότε: 20 log 0 ( + jωτ) n = 20 n log 0 + ω 2 T 2 [db] Με την ίδια λογική προκύπτουν δύο ασύμπτωτες ευθείες, η χαμηλών συχνοτήτων οριζόντια στα 0 db και των υψηλών συχνοτήτων κλίσης 20n db/δεκάδα ενώ η γωνία φάσης, μεταβάλλεται φ = 0 90n. Το σφάλμα που υπεισέρχεται, είναι n φορές μεγαλύτερο.

16 db. Παράγοντες 2 ης τάξης [( jω ) 2 + 2ζ ( jω ) + ] : ω n ω n Το λογαριθμικό μέτρο προκύπτει: 20 log 0 ( ω2 2 ω2 ) + ( 2ζω 2 ) [db] n ω n όπου ωn η συχνότητα θλάσης. Για χαμηλές συχνότητες (ω << ωn), προσεγγιστικά: 20 log 0 = 0 [db] Δηλαδή η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι μια οριζόντια ευθεία στα 0 Για ψηλές συχνότητες (ω >> ωn), προσεγγιστικά: Εφόσον: 40 log 0 ( ω ω n ) [db] 40 log 0 ( 0ω ) = log ω 0 ( ω ) n ω n Άρα η λογαριθμική καμπύλη του μέτρου είναι ευθεία με κλίση 40 db/δεκάδα. Οι δύο ασύμπτωτες ευθείες, τέμνονται στη συχνότητα θλάσης ω=ωn ενώ είναι ανεξάρτητες από την τιμή του ζ. Αυτό όμως δεν ισχύει για την ακριβή καμπύλη όπως φαίνεται και στο σχήμα. Η γωνία φάσης, αντικαθιστώντας u=ω/ωn προκύπτει ως: φ = tan 2ζu u 2 Επίσης, ορίζεται η συχνότητα συντονισμού: ω r = ω n 2ζ 2 Β.3. Κανόνας του Cramer Ο κανόνας του Cramer, είναι μια μέθοδος ταυτόχρονης επίλυσης ενός σετ γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Το σύστημα γράφεται στη μορφή: A n n x = y όπου x, y: διανύσματα μεταβλητών (n x ), Α: πίνακας συντελεστών. Τότε: x y y x 2 { } = Α y 2 { } = adj(a) det(a) { y 2 } x n y n y n δηλαδή: adj(a) = C T όπου C ij = ( ) i+j M ij det(a) = A M A 2 M 2 + ± A n M n M M 2 M 3 ±M n M 2 M 22 M 23 M 2n C = M 3 M 32 M 33 ±M 3n [ ±M n M n2 ±M n3 M nn ]

17 M M 2 M 3 ±M n M 2 M 22 M 32 M n2 C T = M 3 M 23 M 33 ±M n3 = adj(a) [ ±M n M 2n ±M 3n M nn ] Άρα προκύπτει για κάποιο στοιχείο i του διανύσματος x : x i = M iy + M 2i y M ni y n A M A 2 M 2 + ± A n M n, i =,2,, n όπου Aij: στοιχείο του πίνακα Α στη γραμμή i, στήλη j, Mij: υποορίζουσες πίνακα Α (Ορίζουσα του υποπίνακα που δημιουργείται αν διαγραφεί η γραμμή i και η στήλη j). Δηλαδή καταλήγει στον υπολογισμό n υποοριζουσών για κάθε στοιχείο i του διανύσματος x, ενώ πρέπει να δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στα πρόσημά τους ανάλογα με το άθροισμα (i + j). Β.4. Περιγραφή στον χώρο κατάστασης Ο αριθμός των μεταβλητών που απαιτείται ώστε να περιγραφεί πλήρως η κίνηση του συστήματος εξαρτάται από τους βαθμούς ελευθερίας που έχει το σύστημα. Έτσι, η κίνηση του συστήματος περιγράφεται από ένα πολυδιάστατο διάνυσμα που ονομάζεται χώρος κατάστασης και στο οποίο ο αριθμός των μεταβλητών κατάστασης ισούται με τον αριθμό των διαστάσεων. Η εξίσωση κίνησης ή διαφορετικά η εξίσωση κατάστασης ενός γραμμικού και χρονικά αμετάβλητου συστήματος, όπως παρουσιάζεται στο [], γράφεται: x (t) = Ax(t) + Bu(t) όπου x(t): διάνυσμα στήλη των n μεταβλητών κατάστασης που ονομάζεται διάνυσμα κατάστασης (state vector), u(t): διάνυσμα στήλη των m μεταβλητών κατάστασης που ονομάζεται διάνυσμα εισόδου (input vector), A: (n x n) μήτρα κατάστασης (state matrix), B: (n x m) μήτρα εισόδου (input matrix). Με τον ορισμό χρονικά αμετάβλητο σύστημα, εννοείται ότι τα στοιχεία των πινάκων Α και Β είναι συναρτήσεις σταθερές, ανεξάρτητες του χρόνου. Η εξίσωση κατάστασης, είναι το ισοδύναμο σε μορφή πίνακα ενός συστήματος n γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Για πολλά συστήματα ορισμένες από τις μεταβλητές κατάστασης μπορεί να μην είναι δυνατόν να καθοριστούν άμεσα. Έτσι, απαιτείται μια δεύτερη εξίσωση ώστε να καθοριστούν οι μεταβλητές εξόδου του συστήματος. Η εξίσωση εξόδου γράφεται στη γενική μορφή : y(t) = Cx(t) + Du(t) όπου y(t): διάνυσμα στήλη των r μεταβλητών εξόδου που ονομάζεται διάνυσμα εξόδου (output vector), C: (r x n) μήτρα εξόδου (output matrix), D: (r x m) άμεση μήτρα. Τυπικά ισχύει r = n, ενώ για γραμμικά και χρονικά αμετάβλητα συστήματα οι μήτρες C και D έχουν σταθερά στοιχεία. Οι δύο παραπάνω εξισώσεις όταν χρησιμοποιηθούν συγχρόνως περιγράφουν πλήρως το σύστημα. Για τα περισσότερα

18 προβλήματα που αφορούν τα αεροσκάφη μας διευκολύνει η επιλογή των μεταβλητών εξόδου ως μεταβλητές κατάστασης, δηλαδή: y(t) = x(t) και r = n Επομένως: [C] = [I] (n x m) μοναδιαία μήτρα, [D] = [0] (n x m) μηδενική μήτρα. Εν τέλει το σύστημα παίρνει την ακόλουθη μορφή: x (t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Ix(t) = x(t) Β.4.. Επίλυση και χρονική απόκριση συστήματος Εκτελώντας τον μετασχηματισμό Laplace στην εξίσωση κατάστασης, λαμβάνεται το σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: s x(t) = AX(s) + BU(s) (si A)X(s) = BU(s) Η πλήρης λύση του συστήματος προκύπτει από το άθροισμα της μερικής λύσης xc(t) και της ειδικής λύσης xp(t). Η μερική λύση προκύπτει από την επίλυση της ομογενούς εξίσωσης x = Ax με x(0) γνωστό, μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace: X(s) = (si A) x(0) x c (t) = L [(si A) ]x(0) Επειδή όμως μπορεί να αποδειχθεί ότι: (si A) = Ι s + Α s 2 + Α2 s 3 + L [(si A) ] = I + At + 2! (At)2 + = e At όπου η e Αt ονομάζεται εκθετική μήτρα. Τότε η λύση της ομογενούς καταλήγει στην: x c (t) = e At x(0) Από την επίλυση της μη-ομογενούς εξίσωσης κατάστασης x (t) = Ax(t) + Bu(t) και υποθέτοντας μια λύση της μορφής xp(t)=e At P(t) εξάγεται η ειδική λύση ως: x p (t) = e A(t τ) Bu(τ)dτ 0 Πλέον η πλήρης λύση προκύπτει: x(t) = x c (t) + x p (t) t t x(t) = e At x(0) + e A(t τ) Bu(τ)dτ 0 και y(t) = Cx(t) + Du(t) Β.4.2. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος προκύπτει ως εξής: Det(sI A) = (s λ )(s λ 2 ) (s λ n ) = 0 Οι ρίζες λ,λ2,...,λn της χαρακτηριστικής εξίσωσης ονομάζονται ιδιοτιμές του πίνακα Α ή πόλοι του συστήματος. Οι πόλοι ενός συστήματος, δηλαδή οι ιδιοτιμές καθορίζουν την ευστάθεια ή/και τη συμπεριφορά και μεταβατική απόκριση του. Ο υπολογισμός των ιδιοδιανυσμάτων προκύπτει από τη σχέση: ( λ n I + Α)Φ n = 0 όπου για κάθε ιδιοτιμή λn υπάρχει ένα ιδιοδιάνυσμα Φn:

19 Φ n Φ 2n Φ n = { } και Φ n, Φ 2n,, Φ nn εξαρτώμενες μεταξύ τους τιμές Φ nn Και ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων του οποίου η κάθε στήλη είναι το Φn της λ n ιδιοτιμής: Φ Φ 2 Φ n Φ V = [ 2 Φ 22 Φ 2n ] Φ n Φ n2 Φ nn Β.4.3. Διαγωνοποίηση μήτρας κατάστασης Α-Εκθετικός πίνακας Από τη θεωρία της ομοιότητας παραστάσεων για ένα σύστημα στον χώρο κατάστασης, προκύπτει μετασχηματισμός, ο οποίος μετατρέπει ένα πίνακα Α σε ένα διαγώνιο πίνακα Λ και δίνεται από το εξής θεώρημα: Έστω σταθερός πίνακας Αnxn με διακεκριμένες ιδιοτιμές λ,λ2,...,λn και πίνακα ιδιοδιανυσμάτων Vnxn. Ισχύει: Λ nxn = V A V όπου Λnxn ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιμών: λ λ Λ n n = λ n 0 [ λ n ] Τότε πολλαπλασιάζοντας κατάλληλα δεξιά και αριστερά, προκύπτει: Α nxn = V Λ V e At = V e Λt V όπου e Λt ο εκθετικός πίνακας: e Λt = e λ t e λ 2t e λ n t e λ nt] [ Ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον πίνακα των ιδιοδιανυσμάτων V, δίνει το μητρώο των ιδιοσυναρτήσεων: F = Ve Λt Θέτοντας: V = [ w T w T n ] Η λύση της ομογενούς x = Ax με x(0) γνωστό: x(t) = e At x(0) = e λ it Φ i w i T x(0) n i= n x(t) = e λ it Φ i β i Για αυτή τη μορφή της λύσης μπορεί να σχολιαστεί: e λit : καθορίζει τη μορφή της χρονικής απόκρισης. i=

20 Φi: καθορίζει το μέγεθος της συνεισφοράς της κάθε κατάστασης στη μορφή της απόκρισης. βi: καθορίζει το μέγεθος της διέγερσης της μορφής λόγω της αρχικής συνθήκης. Ενώ ανάλογα με τη μορφή της ιδιοτιμής: λi πραγματική: αύξουσα ή φθίνουσα εκθετική απόκριση, λi μιγαδική: αύξουσα ή φθίνουσα αποσβενόμενη εκθετική ημιτονοειδής απόκριση. Β.4.4. Κατευθυντές ανάδρασης-τοποθέτηση πόλων Για την επίτευξη της απαιτούμενης ευστάθειας και συμπεριφοράς του συστήματος πρέπει να γίνει κατάλληλη επιλογή της θέσης των πόλων του, δηλαδή των ιδιοτιμών. Ο σχεδιασμός ενός κατευθυντή, όπως παρουσιάζεται στο [] έχει σκοπό να δίνει τη δυνατότητα μετατόπισης των πόλων. Ο κατευθυντής ουσιαστικά είναι μια κατάλληλη συνάρτηση μεταφοράς ή απλά ένα κέρδος που πολλαπλασιάζεται στο σήμα που λαμβάνεται από το σύστημα και ανατροφοδοτείται (feedback) στο σήμα εισόδου. Σχήμα ΠΑΡ.Β.6 ΣΑΕ με ανατροφοδότηση του πλήρους διανύσματος κατάστασης. Επιλέγοντας το κέρδος του μπορεί να επιτευχθεί η επιθυμητή μετατόπιση των πόλων. Στο τυπικό σύστημα που φαίνεται στο σχήμα ΠΑΡ.Β.6, για μοναδική είσοδο u, είσοδο αναφοράς r και D=[0], ισχύει: u = r K x όπου το κέρδος: x x 2 x = { } K = {k k 2 k n } R xn x n Για r=0, ένας τέτοιος κατευθυντής ονομάζεται ρυθμιστής. Πλέον οι εξισώσεις κατάστασης για τον κλειστό βρόγχο γίνονται: x = Ax + B(r K x) x = (A BK)x + Br x = A ctrl x + Br y = Cx Τότε η χαρακτηριστική εξίσωσης του συστήματος: Det(sI A ctrl ) = 0 Αφού υπολογιστεί η παράσταση της χαρακτηριστικής εξίσωσης, προφανώς μπορούν να επιλεγούν τα κατάλληλα k, k2... ώστε να προκύψουν οι επιθυμητοί πόλοι. Β.4.5. Ελεγξιμότητα Απαραίτητη προϋπόθεση για την εφαρμογή της μεθόδου τοποθέτησης πόλων, είναι η ελεγξιμότητα του συστήματος, δηλαδή του ζεύγους (Α,Β). Ελεγξιμότητα σημαίνει ότι

21 είναι δυνατός ο ορισμός n ανεξάρτητων διανυσμάτων ελέγχου, τα οποία καλύπτουν όλο τον χώρο κατάστασης. Ο πίνακας ελεγξιμότητας Q, ορίζεται ως: Q = [ B A B A 2 B A n B ] Για να είναι το σύστημα πλήρως ελέγξιμο, πρέπει να ισχύει: rank(q) = n Ο βαθμός (rank), ενός πίνακα, αντιστοιχεί στον μέγιστο τετραγωνικό υποπίνακα του που είναι ομαλός. Η εύρεση του βαθμού είναι κοπιαστική διαδικασία και γίνεται συνήθως με Η/Υ. Συγκεκριμένα για το λογισμικό Matlab, υπάρχουν οι εξής σχετικές εντολές: rank(q): υπολογίζει τον βαθμό του πίνακα. Q=ctrb(A,B): υπολογίζει τον πίνακα ελεγξιμότητας. Β.5. Σχέση μεταξύ εξισώσεων κατάστασης και μήτρας μεταφοράς Από τον μετασχηματισμό Laplace του συστήματος των εξισώσεων κατάστασης: (si A)X(s) = BU(s) X(s) = (si A) BU(s) Αντικαθιστώντας το διάνυσμα κατάστασης x(t) στην εξίσωση εξόδου: Y(s) = CX(s) Προκύπτει: Y(s) = C(sI A) BU(s) Έτσι, ορίζεται η μήτρα μεταφοράς, δηλαδή ο λόγος του διανύσματος εξόδου προς το διάνυσμα εισόδου, ως εξής: G(s) r m = Y(s) U(s) = C (si A) B Η οποία μήτρα μεταφοράς περιέχει όλες τις συναρτήσεις μεταφοράς του συστήματος των r μεταβλητών εξόδου προς τις m μεταβλητές εισόδου : N (s) N 2 (s) N m(s) Δ(s) Δ(s) Δ(s) N 2 (s) N 22 (s) G(s) = N 2m(s) Δ(s) Δ(s) Δ(s) N r (s) N (s) N rm(s) [ Δ(s) Δ(s) Δ(s) ] Γ. Οι συναρτήσεις μεταφοράς του αεροσκάφους Στο κεφάλαιο 3, διατυπώθηκαν οι αποσυζευγμένες διαμήκεις εξισώσεις κίνησης μικρών διαταραχών: mu X uu X ww (X q mw e )q X w w + mgθcosθ e = X δe δ e + X δp δ p Z uu Z ww (Z q + mu e )q + (m Z w )w + mgθsinθ e = Z δe δ e + Z δp δ p I y q M uu M ww M qq M w w = M δe δ e + M δp δ p Και επιπλέον: q = θ L[q] = L[θ ] = sθ(s) Μετασχηματίζοντας κατά Laplace τις εξισώσεις αυτές, προκύπτει: (ms X u)u(s) (X w + X w s)w(s) [(X q mw e )s + mgcosθ e ]θ(s) = X δe δ e (s) + X δp δ p (s) Z uu(s) [(Z w m)s + Z w]w(s) [(Z q + mu e )s + mgsinθ e ]θ(s) = Z δe δ e (s) + Z δp δ p (s) M uu(s) (M w s + M w)w(s) + (I y s 2 M qs)θ(s) = M δe δ e (s) + M δp δ p (s) Το σετ αυτό των εξισώσεων, μπορεί να γραφτεί σε μητρωϊκή μορφή ως εξής:

22 (ms X u) (X w + X w s) [(X q mw e )s + mgcosθ e ] u(s) [ Z u [(Z w m)s + Z w] [(Z q + mu e )s + mgsinθ e ]] { w(s) } M u (M w s + M w) (I y s 2 M θ(s) qs) X δe X δp δ e (s) = [ Z δe Z δp ] { δ p (s) } M δe M δp Πλέον είναι δυνατή η εξαγωγή των ΣΜ προς την επιθυμητή είσοδο, μηδενίζοντας την άλλη. Για παράδειγμα οι ΣΜ προς το πηδάλιο ανόδου-καθόδου προκύπτει μηδενίζοντας το δp(s), τότε το σύστημα γίνεται: (ms X u) (X w + X w s) [(X q mw e )s + mgcosθ e ] u(s) [ Z u [(Z w m)s + Z w] [(Z q + mu e )s + mgsinθ e ]] { w(s) } M u (M w s + M w) (I y s 2 M qs) θ(s) X δe = [ Z δe ] {δ e (s)} M δe Για να εκφραστεί το σύστημα στη μορφή Αnxnx=y και να μπορεί να εφαρμοστεί ο κανόνας του Cramer, διαιρείται με την είσοδο δe(s) και το σύστημα γίνεται: u(s) (ms X u) (X w + X w s) [(X q mw e )s + mgcosθ e ] δ e (s) w(s) [ Z u [(Z w m)s + Z w] [(Z q + mu e )s + mgsinθ e ]] δ M u (M w s + M w) (I y s 2 e (s) M qs) θ(s) X δe = [ Z δe ] M δe Τότε, εφαρμόζοντας τον κανόνα του Cramer προκύπτουν οι ΣΜ: u(s) δ e (s) = N δ u e (s) w(s) Δ(s) δ e (s) = N δ w e (s) θ(s) Δ(s) δ e (s) = N δ θ e (s) Δ(s) Ενώ προκύπτει άμεσα: q(s) δ e (s) = N q δ e (s) Δ(s) = s θ(s) δ e (s) Γ.. Πολυώνυμα αριθμητών διαμήκων ΣΜ ως προς την εντολή του πηδαλίου ανόδου-καθόδου u = [(Z w m)s + Z w] [(Z q + mu e )s + mgsinθ e ] (M w s + M w) (I y s 2 X δe M qs) (X w + X w s) [(X q mw e )s + mgcosθ e ] (M w s + M w) (I y s 2 Z δe M qs) (X w + X w s) [(X q mw e )s + mgcosθ e ] + [(Z w m)s + Z w] [(Z q + mu e )s + mgsinθ e ] M δe N δe { δ e (s)}

23 w = Z u [(Z q + mu e )s + mgsinθ e ] M u (I y s 2 X δe M qs) + (ms X u) [(X q mw e )s + mgcosθ e ] M u (I y s 2 Z δe M qs) (ms X u) [(X q mw e )s + mgcosθ e ] Z u [(Z q + mu e )s + mgsinθ e ] M δe N δe θ = Z u [(Z w m)s + Z w] X δe M u (M w s + M w) N δe (ms X u) (X w + X w s) M u (M w s + M Z δe w) + (ms X u) (X w + X w s) Z u [(Z w m)s + Z M δe w] Οι διαμήκεις συναρτήσεις μεταφοράς ως προς την ώση, προκύπτουν θεωρώντας ότι το πηδάλιο ανόδου-καθόδου διατηρείται σταθερά στη θέση αντιστάθμισης, δηλαδή δe(s)=0 και αντικαθιστώντας το δp(s) στη θέση του δe(s). Στη συνέχεια οι παράγωγοι ευστάθειας X δe, Ζ δe και Μ δe αντικαθίστανται αντίστοιχα από τις X δp, Ζ δp και Μ δp. Γ.2. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο διαμήκων ΣΜ Δ(s) = (ms X u) [(Z w m)s + Z w] [(Z q + mu e )s + mgsinθ e ] (M w s + M w) (I y s 2 M qs) +(X w + X w s) Z u [(Z q + mu e )s + mgsinθ e ] M u (I y s 2 M qs) [(X q mw e )s + mgcosθ e ] Z u [(Z w m)s + Z w] M u (M w s + M w) Γ.3. Σύνοψη Πλήρως ανεπτυγμένες συναρτήσεις μεταφοράς αεροσκάφους ως προς το σωματόδετο σύστημα αξόνων του Ακολουθώντας τη διαδικασία που αναπτύχθηκε πιο πάνω, εξάγονται και οι εγκάρσιες διεύθυνσης συναρτήσεις μεταφοράς. Πλέον αναπτύσσοντας τις ορίζουσες και εκτελώντας τις απαραίτητες πράξεις, μπορούν να διατυπωθούν όλες οι συναρτήσεις μεταφοράς του αεροσκάφους ως προς το σωματόδετο σύστημα αξόνων του, υπό τη μορφή πολυωνύμων του s με σταθερούς συντελεστές. Γ.3.. Διαμήκεις συναρτήσεις μεταφοράς ως προς το σωματόδετο σύστημα αξόνων του αεροσκάφους u(s) δ e (s) = N δ u e (s) w(s) Δ(s) δ e (s) = N δ w e (s) θ(s) Δ(s) δ e (s) = N δ θ e (s) q(s) Δ(s) δ e (s) = s θ(s) δ e (s) Δ(s) = Α s 4 + Β s 3 + C s 2 + D s + Ε A = mi y (m Z w ) B = I y (X uz w X w Z u) mi y (X u + Z w) mm w (Z q + mu e ) mm q(m Z w ) C = I y (X uz w X wz u) + (X um w X w M u)(z q + mu e ) + Z u(x w M q X qm w ) +(X um q X qm u)(m Z w ) + m(m qz w M wz q) + mw e (M w Z u M uz w ) +m 2 (M w g sin Θ e + W e M u U e M w) D = (X um w X wm u)(z q + mu e ) + (M uz w M wz u)(x q mw e )

24 +M q(x wz u X uz w) + mg cos Θ e [M w Z u + M u(m Z w )] +mg sin Θ e (X w M u + X um w + mm w) E = mg sin Θ e (X wm u X um w) + mg cos Θ e (M wz u M uz w) N u δe (s) = Α s 3 + B s 2 + C s + D A = I y (m Z w ) X δe + I y X w Z δe B = [ I y Z w M w (Z q + mu e ) M q(m Z w )]X δe +[I y X w X w M q + M w (X q mw e )]Z δe +[(X q mw e )(m Z w ) + X w (Z q + mu e )]M δe C = [Z wm q M w(z q + mu e ) mg sin Θ e M w ]X δe +[M w(x q mw e ) X wm q mg cos Θ e M w ]Z δe +[X w(z q + mu e ) Z w(x q mw e ) mg cos Θ e (m Z w ) mg sin Θ e X w ]M δe D = M wmg sin Θ e X δe M wmg cos Θ e Z δe + (Z wmg cos Θ e X wmg sin Θ e )M δe N w δe (s) = Α s 3 + B s 2 + C s + D A = mi y Z δe B = I y Z ux δe (I y X u + mm q)z δe + m(z q + mu e )M δe C = [M u(z q + mu e ) Z um q]x δe + [X um q M u(x q mw e )]Z δe +[Z u(x q mw e ) X u(z q + mu e ) m 2 g sin Θ e ]M δe D = M umg sin Θ e X δe + M umg cos Θ e Z δe + (X umg sin Θ e Z umg cos Θ e )M δe N θ δe (s) = Α s 2 + Β s + C N q δe (s) = s N θ δe (s) A = mm w Z δe + m(m Z w )M δe B = [Z u M w + M u(m Z w )]X δe + (mm w X um w X w M u)z δe +[ X u(m Z w ) Z ux w mz w]m δe C = (Z um w M uz w)x δe + (X wm u M wx u)z δe + (X uz w Z ux w)m δe Όμοια οι πιο πάνω συναρτήσεις μεταφοράς περιγράφουν την απόκριση ως προς την ώση του κινητήρα εφόσον αντικατασταθεί το σύμβολο δ e με το σύμβολο δ p στις αεροδυναμικές παραγώγους και τις παραγώγους ελέγχου ώστε να προκύψουν οι: u(s) δ p (s) = N δ u p (s) Δ(s) w(s) δ p (s) = N δ w p (s) Δ(s) θ(s) δ p (s) = N δ θ p (s) Δ(s) q(s) δ p (s) = s θ(s) δ p (s) Γ.3.2.Εγκάρσιες-διεύθυνσης συναρτήσεις μεταφοράς ως προς το σωματόδετο σύστημα αξόνων του αεροσκάφους v(s) δ a (s) = N δ v a (s) φ(s) Δ(s) δ a (s) = N φ (s) δ a ψ(s) Δ(s) δ a (s) = N ψ (s) δ a Δ(s) p(s) δ a (s) = s φ(s) r(s) δ a (s) δ a (s) = s ψ(s) δ a (s) Δ(s) = s (A s 4 + B s 3 + C s 2 + D s + E) A = m(i x I z I 2 xz )

25 B = Ỹ v (I x I z I 2 xz ) m(i x Ñ r + I xz L r) m(i z L p + I xz Ñ p ) C = Ỹ v (I x Ñ r + I xz L r) + Ỹ v (I z L p + I xz Ñ p ) (Ỹ p + mw e )(I z L v + I xz Ñ v ) +(Ỹ r mu e )(I x Ñ v + I xz L v) + m(l pñ r L rñ p ) D = Ỹ v (L rñ p L pñ r ) + (L vñ r L rñ v )(Ỹ p + mw e ) +(Ỹ r mu e )(L pñ v L vñ p ) mg cos Θ e (I z L v + I xz Ñ p ) mg sin Θ e (I x Ñ v + I xz L v) E = mg cos Θ e (L vñ r L rñ v ) + mg sin Θ e (L pñ v L vñ p ) N v δa (s) = s (Α s 3 + Β s 2 + C s + D) A = (I x I z I 2 xz ) Ỹ δa B = [ I x Ñ r I z L p I xz (L r + Ñ p )]Ỹ δa +[I z (Ỹ p + mw e ) + I xz (Ỹ r mu e )]L δa +[I x (Ỹ r mu e ) + I xz (Ỹ p + mw e )]Ñ δa C = [(L pñ r L rñ p )]Ỹ δa +[Ñ p (Ỹ r mu e ) Ñ r (Ỹ p + mw e ) + mg(i z cos Θ e + I xz sin Θ e )]L δa +[L r(ỹ p + mw e ) L p(ỹ r mu e ) + mg(i x sin Θ e + I xz cos Θ e )]Ñ δa D = (Ñ p mg sin Θ e Ñ r mg cos Θ e )L δa + (L rmg cos Θ e L pmg sin Θ e )Ñ δa N φ δa (s) = A s 3 + B s 2 + C s + D N p δa (s) = s N φ δa (s) A = mi z L δa + mi xz Ñ δa B = (I z L v + I xz Ñ v )Ỹ δa (I z Ỹ v + mñ r )L δa + (ml r I xz Ỹ v )Ñ δa C = (L rñ v L vñ r )Ỹ δa + (Ñ r Ỹ v Ñ v Ỹ r + mu e Ñ v )L δa +(L vỹ r L rỹ v mu e L v)ñ δa D = mg sin Θ e Ñ v L δa + mg sin Θ e L v Ñ δa N ψ δa (s) = A s 3 + B s 2 + C s + D N r δa (s) = s N ψ δa (s) A = mi xz L δa + mi x Ñ δa B = (I x Ñ v + I xz L v)ỹ δa + (mñ r I xz Ỹ v )L δa (ml p + I x Ỹ v )Ñ δa C = (L vñ p L pñ v )Ỹ δa + (Ñ v Ỹ p Ñ p Ỹ v + mw e Ñ v )L δa + (L pỹ v L vỹ p mw e L v)ñ δa D = mg cos Θ e Ñ v L δa mg cos Θ e L v Ñ δa Όμοια οι πιο πάνω συναρτήσεις μεταφοράς περιγράφουν την απόκριση ως προς πηδάλιο διεύθυνσης εφόσον αντικατασταθεί το σύμβολο δa με το σύμβολο δr στις αεροδυναμικές παραγώγους και τις παραγώγους ελέγχου ώστε να προκύψουν οι: v(s) δ r (s) = N δ v r (s) φ(s) Δ(s) δ r (s) = N φ δ r (s) ψ(s) Δ(s) δ r (s) = N ψ δ r (s) Δ(s) p(s) δ r (s) = s φ(s) δ r (s) r(s) δ r (s) = s ψ(s) δ r (s)

26 Δ. Οι εξισώσεις κίνησης του αεροσκάφους στον χώρο κατάστασης Για να παρουσιαστεί ο τρόπος εξαγωγής της εξίσωση κατάστασης από τις εξισώσεις κίνησης του αεροσκάφους, θεωρούνται οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης που αναφέρονται στο σωματόδετο σύστημα αξόνων. Αυτές οι εξισώσεις μπορούν να ξαναγραφούν με τους όρους της επιτάχυνσης στο αριστερό μέρος ως ακολούθως: mu X w w = X uu + X ww + (X q mw e )q mgθcosθ e + X δe δ e + X δp δ p (m Z w )w = Z uu + Z ww + (Z q + mu e )q mgθsinθ e + Z δe δ e + Z δp δ p I y q M w w = M uu + M ww + M qqm δe δ e + M δp δ p Εφόσον περιγράφεται η διαμήκης κίνηση του αεροσκάφους με τέσσερις μεταβλητές κατάστασης δηλ. τις u, w, q και θ, απαιτούνται τέσσερις διαφορικές εξισώσεις. Έτσι, η επιπλέον εξίσωση θα είναι η βοηθητική εξίσωση που συσχετίζει τον ρυθμό πρόνευσης με τον ρυθμό μεταβολής της στάσης του αεροσκάφους, δηλαδή η παρακάτω εξίσωση που ισχύει για μικρές διαταραχές : θ = q Οι δύο πιο πάνω εξισώσεις, μπορούν να συνδυαστούν και να γραφούν στη μορφή μιας διανυσματικής-μητρικής διαφορικής εξίσωσης ως εξής : M x (t) = A x(t) + B u(t) όπου u w x(t) = { } και u(t) = { δ e q δ } p θ Οι πίνακες των συντελεστών για τις διαμήκεις εξισώσεις κίνησης M, A και Β, είναι: m X w m M = Z w M w I y 0 [ ] X u X w X q mw e mgcosθ e A = Z u Z w Z q + mu e mgsinθ e B Z δe Z δp = M u M w M q 0 M δe M δp [ ] [ 0 0 ] Η διαμήκης εξίσωση κίνησης, προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με το αντίστροφο μητρώο της μάζας Μ, δηλαδή: x (t) = Ax(t) + Bu(t) με x u x w x q x θ x δe x δp A = Μ Α z u z w z q z θ = [ m u m w m q m ] και B = M B z δe z δp = [ θ m δe m ] δp Οι συντελεστές της μήτρας κατάστασης Α περιλαμβάνουν τις συντετμημένες αεροδυναμικές παραγώγους ευστάθειας που αναφέρονται στο σωματόδετο σύστημα αξόνων. Η μήτρα εισόδου Β περιλαμβάνει τις παραγώγους ελέγχου πάλι σε συντετμημένη μορφή. Με όμοιο τρόπο προκύπτουν οι αντίστοιχοι πίνακες που αφορούν τις εγκάρσιες εξισώσεις κίνησης. X δe X δp

27 Δ.. Αδιαστατοποίηση των εξισώσεων κίνησης Η αδιαστατοποίηση των εξισώσεων, όπως παρουσιάζει ο Cook [3], αφορά κυρίως την απλοποίηση των εκφράσεων των παραγώγων ευστάθειας, όπως θα φανεί στη συνέχεια, ενώ παράλληλα παρέχουν μια πιο ποιοτική μορφή των αποκρίσεων των μεταβλητών κατάστασης. Θεωρούνται οι αποσυζευγμένες εξισώσεις κίνησης του αεροσκάφους: Χ = mu X uu X ww X qq X w w + mgθ = X δe δ e + X δp δ p Διαμήκεις { Ζ = Z uu Z ww (Z q + mu e )q + (m Z w )w = Z δe δ e + Z δp δ p Εγκάρσιες Μ = I y q M uu M ww M qq M w w = M δe δ e + M δp δ p Y = mv Ỹ v v (Ỹ p + mw e )p (Ỹ r mu e )r mgψsinθ e + mgφcosθ e = Ỹ δa δ a + Ỹ δr δ r L = I x p I xz r L vv L pp L rr = L δa δ a + L δr δ r { N = I z r I xz p Ñ v v Ñ p p Ñ r r = Ñ δa δ a + Ñ δr δ r Η παράμετρος αεροδυναμικής δύναμης με την οποία διαιρούνται οι εξισώσεις των δυνάμεων Χ,Υ και Ζ για να αδιαστατοποιηθούν είναι: 2 ρv T 2 e = Q [Ν] Το διάμηκες μήκος αναφοράς είναι η μέση αεροδυναμική χορδή c, ενώ το εγκάρσιο μήκος αναφοράς είναι το εκπέτασμα της πτέρυγας b. Έτσι, η παράμετρος αεροδυναμικής ροπής με την οποία διαιρείται η διαμήκης εξίσωση τις ροπής M για να αδιαστατοποιηθεί είναι: 2 ρv T 2 e c = Q c [Νm] Ενώ οι εγκάρσιες εξισώσεις των ροπών L και Ν διαιρούνται με την : 2 ρv T 2 e b = Q b [Nm] Όσον αφορά τη διαμήκη δυναμική, ορίζονται επίσης τα εξής μεγέθη: Q = 2 ρv 2 T e [ N m 2] m = m [sec] μ = m t t = 2 ρv T e 2 ρc m û = u V Te ŵ = w V Te q = q m [rad] i y = I y mc 2 όπου μ: σχετικός διαμήκης παράγοντας πυκνότητας, û, ŵ: αδιάστατες ταχύτητες, q : αδιάστατη γωνιακή ταχύτητα, t : αδιάστατος χρόνος, m: μάζα αεροσκάφους. Ενώ παραγωγίζοντας π.χ. την αδιάστατη ταχύτητα: u = du dt u = dû = d(u/v T e ) dt d(t/m ) = m du V Te dt u = Αντίστοιχα στην εγκάρσια δυναμική: όπου I x i x = mb 2 i z = I z mb 2 μ 2 = m v = 2 ρc i xz = I xz mb 2 m 2 ρv T 2 e v V Te p = p m r = r m u

28 ix, iz, ixz: αδιάστατες ροπές και γινόμενα αδρανείας, v : αδιάστατη ταχύτητα, p, r : αδιάστατες γωνιακές ταχύτητες, μ2: σχετικός εγκάρσιος παράγοντας πυκνότητας. Λαμβάνοντας για παράδειγμα την εξίσωση της συνιστώσας της δύναμης Χ και διαιρώντας με την παράμετρο της αεροδυναμικής δύναμης: C X = Χ Q = mu X uu X ww X qq X w w + mgθ = X δe δ e + X δp δ p 2 ρv T 2 e 2 ρv T 2 e Υποθέτοντας οριζόντια πτήση (L = W mg = ρv 2 T 2 e C L ) τότε βάσει των μεγεθών που έχουν οριστεί και σε αντιστοιχία με τους ορισμούς των αεροδυναμικών συντελεστών (CL, CD, CM) γίνεται: C X = u X u û X w ŵ X q q Χ w w + C 2 ρv T e 2 ρv T e 2 ρv T e c μ 2 ρc μ L θ = X δe δ e + X δp δ p 2 ρv T 2 e Η αδιάστατη εξίσωση γράφεται πλέον: w q C X = u Χ u û X w ŵ Χ w X μ q + C μ L θ = X δe δ e + X δp δ p Ενώ ορίζονται οι αδιάστατες παράγωγοι ευστάθειας: X u = X u X w = X w X q X 2 ρv q = Χ T e 2 ρv w = Χ w X δe X T e 2 ρv δe = X T e c 2 ρc δp = X δp 2 ρv T 2 e Όμοια αδιαστατοποιούνται και οι υπόλοιπες αποσυζευγμένες εξισώσεις κίνησης εισάγοντας και την υπόθεση ότι εκτός από οριζόντια πτήση, οι άξονες αναφοράς είναι οι άξονες ανέμου (Θe = We = 0): w q C X = u Χ u û X w ŵ Χ w X μ q + C μ L θ = X δe δ e + X δp δ p q w Διαμήκεις C Z = Z u û Z w ŵ Z q q + w Z μ w = Z μ δe δ e + Z δp δ p q q w C { Μ = i y M μ u û M w ŵ M q M μ w = M μ δe δ e + M δp δ p p r C Y = v Y v v Y p Y μ r r + C 2 μ L φ = Y δa δ a + Y δr δ r 2 p r p r Εγκάρσιες C L = i x i μ xz L 2 μ v v L p L 2 μ r = L 2 μ δa δ a + L δr δ r 2 r p p r C { N = i z i μ xz N 2 μ v v N p N 2 μ r = N 2 μ δa δ a + N δr δ r 2 Οι εκφράσεις των αδιάστατων παραγώγων παρουσιάζονται συνοπτικά στις αντίστοιχες παραγράφους που ακολουθούν. Δ.2. Διαμήκεις εξισώσεις κίνησης στο χώρο κατάστασης Με τη μεθοδολογία που αναπτύχθηκε στην εισαγωγή του παραρτήματος Δ, προκύπτει η διαμήκης εξίσωση κατάστασης στη μορφή x (t) = Ax(t) + Bu(t) ως εξής:

29 u x u x w x q x θ u w z u z w z q z θ w z δe { } = [ q m u m w m q m ] { } + [ θ q m δe m ] { δ e δp δ } p θ θ 0 0 Ενώ η εξίσωση εξόδου: u w y(t) = Ix(t) = [ ] { } q θ Παρατηρείται ότι οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης των μικρών διαταραχών περιγράφονται πλήρως από τις τέσσερις μεταβλητές κατάστασης u, w, q και θ. Η εξίσωση εξόδου, δείχνει ακριβώς ότι για την περίπτωση αυτή οι μεταβλητές εξόδου έχουν επιλεγεί ώστε να ταυτίζονται με τις τέσσερις μεταβλητές κατάστασης. Στη συνέχεια δίνονται οι πίνακες Μ, A και B, ως προς τις αδιάστατες παραγώγους ευστάθειας: M = m X w c V m Z w c V x δe x δp z δp 0 M w c I V y 0 0 [ ] X u X w X q c + m W e m gcosθ e V Te X δe V Te X δp A Z = u Z w Z q c + m U e m gsinθ e και B V = Te Z δe V Te Z δp M u M w M q c 0 V Te M δe V Te M δp [ ] [ 0 0 ] Δ.2.. Διαμήκεις συντετμημένες παράγωγοι ευστάθειας ως προς τις διαστατές παραγώγους ευστάθειας Αεροδυναμικές X w Z u x u = X u m + m(m Z w ) X w Z w x w = X w m + m(m Z w ) x q = X q mw e m + X w (Z q + mu e ) m(m Z w ) x θ = g cos θ e X w g sin Θ e m Z w Ελέγχου X w Z δe x δe = X δe m + m(m Z w ) X w Z δp x δp = X δp m + m(m Z w ) z u = Z u m Z w z w = Z w m Z w z q = Z q + mu e m Z w z θ = mg sin Θ e m Z w Z δe z δe = m Z w Z δp z δp = m Z w m u = M u I y + Z um w I y (m Z w ) m w = M w I y + Z wm w I y (m Z w ) m q = M q I y + (Z q + mu e )M w I y (m Z w ) m θ = mg sin Θ e M w I y (m Z w ) m δe = M δe I y + Z δe M w I y (m Z w ) m δp = M δp I y + Z δp M w I y (m Z w ) Δ.2.2. Διαμήκεις αδιάστατες παράγωγοι ευστάθειας ως προς τις διαστατές παραγώγους ευστάθειας Αεροδυναμικές

30 X u = X u Z u = Z u M 2 ρv u = M u T e 2 ρv T e 2 ρv T e c X w = X w Z w = Z w M 2 ρv w = M w T e 2 ρv T e 2 ρv T e c X q Z q M q X q = Z q = M 2 ρv q = T e c 2 ρv T e c 2 ρv T e c 2 X w = Χ w Z w M w Z w = M 2 ρc w = 2 ρc 2 ρc 2 Ελέγχου X δe = X δe 2 ρv T 2 e X δp = X δp Z δe = Z δp = Z δp Z δe 2 ρv T 2 e M δe = M δp = M δp c M δe 2 ρv T 2 e c Δ.3. Εγκάρσιες εξισώσεις κίνησης στον χώρο κατάστασης Αντίστοιχα οι εγκάρσιες εξισώσεις κατάστασης μπορούν να προκύψουν από τις εγκάρσιες εξισώσεις κίνησης (3.58) που αναφέρονται στο σωματόδετο σύστημα αξόνων και να παρασταθούν στη μορφή του χώρου κατάστασης ως εξής: y v y p y r y φ y ψ I v I p I r I φ I ψ n v n p n r n φ n ψ v v p p I δa I δr r = r + n δa n δr { δ a } φ φ δ r 0 0 { ψ } [ ] { ψ} [ 0 0 ] Σημειώνεται ότι, όταν οι εγκάρσιες εξισώσεις κίνησης αναφέρονται στους άξονες του ανέμου, οι εγκάρσιες εξισώσεις κίνησης ελαττώνονται από πέμπτης σε τέταρτης τάξης : v y v y p y r y φ v y δa y δr p I { } = [ v I p I r I φ p I ] { r n v n p n r n φ r } + [ δa I δr ] { δ a } n δa n δr δ r φ φ 0 0 Όμως σε αυτή την περίπτωση οι παράγωγοι αναφέρονται στους άξονες του ανέμου του αεροσκάφους και όχι στο σωματόδετο σύστημα και επομένως θα έχουν λίγο διαφορετικές τιμές. Ο ορισμός των συντετμημένων μορφών των παραγώγων ευστάθειας ως προς το σωματόδετο σύστημα, δίνεται επίσης στο παράρτημα Δ.3.. Στη συνέχεια δίνονται οι πίνακες Μ, Α και Β, ως προς τις αδιάστατες παραγώγους ευστάθειας: A = [ y δa y δr m I x I xz 0 0 M = 0 I xz I z [ ] Y v Y p b + m W e Y r b m U e m gcosθ e m gsinθ e L v L p b L r b 0 0 N v N p b N r b ]

31 V Te Y δa V Te Y δr B V = Te L δa V Te L δr V Te N δa V Te N δr [ 0 0 ] Δ.3.. Εγκάρσιες συντετμημένες παράγωγοι ευστάθειας ως προς τις διαστατές παραγώγους ευστάθειας Αεροδυναμικές y v = Ỹ v m y p = Ỹ p + mw e m l v = I zl v + I xz Ñ v n I x I z I2 v = I xñ v + I xz L v xz I x I z I2 xz l p = I zl p + I xz Ñ p n I x I z I2 p = I xñ p + I xz L p xz I x I z I2 xz y r = Ỹ r mu e l m r = I zl r + I xz Ñ r n I x I z I2 r = I xñ r + I xz L r xz I x I z I2 xz y φ = g cos Θ e l φ = 0 n φ = 0 y ψ = g sin Θ e l ψ = 0 n ψ = 0 Ελέγχου y δa = Ỹ δ a m y δr = Ỹ δ r m l δa = I zl δa + I xz Ñ δa n I x I z I2 δa = I xñ δa + I xz L δa xz I x I z I2 xz l δr = I zl δr + I xz Ñ δr n I x I z I2 δr = I xñ δr + I xz L δr xz I x I z I2 xz Δ.3.2. Εγκάρσιες αδιάστατες παράγωγοι ευστάθειας ως προς τις διαστατές παραγώγους ευστάθειας Αεροδυναμικές Ỹ v Y v = 2 ρv T e Ỹ p Y p = 2 ρv T e b Ỹ r Y r = 2 ρv T e b Ελέγχου Ỹ δ e Y δe = 2 ρv T e Y δp = Ỹ δ p 2 2 ρv T 2 e L v Ñ v L v = N v = 2 ρv T e b 2 ρv T e b L p Ñ p L p = N p = 2 ρv T e b 2 2 ρv T e b 2 L r Ñ r L r = N r = 2 ρv T e b 2 2 ρv T e b 2 L δe L δe = 2 ρv T 2 e b L δp = L δp 2 ρv T 2 e b Ñ δ e N δe = 2 ρv T 2 e b N δp = Ñ δ p 2 ρv T 2 e b Δ.4. Βορειοαμερικανική σημειολογία Συνδυάζοντας διάφορες πηγές [3], [5], [2], καταγράφονται οι εκφράσεις των παραγώγων ευστάθειας και ελέγχου, που χρησιμοποιούνται στη βορειοαμερικανική ανάλυση. Δ.4.. Διαμήκεις διαστατές παράγωγοι ευστάθειας ως προς τις αδιάστατες βορειοαμερικανικές παράγωγους ευστάθειας Αεροδυναμικές X u = Q(C D u + 2C D0 ) mu e [ sec ] Z u = Q(C L u + 2C L0 ) mu e [ sec ] X w = Q(C D α + 2C L0 ) mu e [ sec ] Z w = Q(C L α + 2C D0 ) mu e [ sec ] M u = C mu Qc U e I y [ ft sec ] M w = C mα Qc U e I y [ ft sec ]

32 X w = 0 [ ] Z w = 2 C L α Qc mu e 2 [ ] M w = 2 C m α Qc 2 U e 2 I y [ ft ] X α = 0 [ ft sec 2] Z α = U e Z w [ ft sec 2] M α = U e M w [ sec 2] X α = 0 [ ft sec Z α = U e Z w [ ft sec Μ α = U e M w [ sec X q = 0 Ελέγχου X δe = C Dδ e Q m [ ft sec ] Z q = 2 C L q Qc U e m [ ft sec 2] Z δe = C Lδ e Q m [ ft sec ] M q = 2 C m q Qc 2 U e I y [ sec ] [ ft sec 2] M δ e = C mδ e Qc 2 I y [ sec 2] Δ.4.2. Διαμήκεις συντετμημένες παράγωγοι ευστάθειας ως προς τις διαστατές βορειοαμερικανικές παραγώγους ευστάθειας Πρακτικά, οι παράγωγοι Ζq και Ζ w, συνεισφέρουν ελάχιστα στην απόκριση του αεροσκάφους και συνήθως αμελούνται. Η παραδοχή αυτή περιλαμβάνεται στις εκφράσεις των συντετμημένων παραγώγων που ακολουθούν και οι οποίες χρησιμοποιούνται κατά την έκφραση των εξισώσεων κίνησης στον χώρο κατάστασης. Αεροδυναμικές x u = X u z u = Ζ u m u = M u + M w Z u x w = X w z w = Z w m w = M w Z w + M w x q = 0 z q = U e m q = M w U e + M q x θ = g cos Θ e z θ = g sin Θ e m θ = M w g sin Θ e Ελέγχου x δe = X δe z δe = Z δe m δe = M δe + M w Z δe x δp = X δp z δp = Z δp m δp = M δp + M w Z δp Δ.4.3. Εγκάρσιες διαστατές παράγωγοι ευστάθειας ως προς τις αδιάστατες βορειοαμερικανικές παράγωγους ευστάθειας Αεροδυναμικές Y β = Q C y β m [ ft sec 2 ] Y v = Y β U e [ sec ] L β = Q b C l β I x [ sec 2] L v = Lβ U e [ ft sec ] N β = Q b C n β I z [ sec 2] N v = N β U e [ ft sec ] Y p = 2 Q b C yp m U e Y r = Q b C yr 2 m U e Ελέγχου Y δa = Q C y δ a m Y δr = Q C y δ r m [ ft sec ] [ ft sec ] [ ft sec 2] [ ft sec 2] L p = 2 Q b2 C l p I x U e [ sec ] L r = 2 Q b2 C l r I x U e [ sec ] L δa = Q b C l δ a I x [ sec 2] L δ r = Q b C l δ r I x [ sec 2] N p = 2 Q b2 C n p I x U e [ sec ] N r = 2 Q b2 C n r I x U e [ sec ] N δ a = Q b C n δ a I z [ sec 2] N δ r = Q b C n δ r I z [ sec 2] Δ.4.4. Εγκάρσιες συντετμημένες παράγωγοι ευστάθειας ως προς τις διαστατές βορειοαμερικανικές παραγώγους ευστάθειας Σύντομες εκφράσεις Αεροδυναμικές L v = L p = L v I xz L p I xz 2 /I x I z N v = 2 /I x I z N p = N v I 2 xz /I x I z N p I 2 xz /I x I z