ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ () ΘΕΜΑ Α Α. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες Α. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ; Μονάδες 5 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν, τότε ) = ( ν ( ) ν, ν * β. Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof), τότε ορίζεται και η (hog)of και ισχύει ho(gof) = (hog)of συν - γ. lim = ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ. Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστημα και α, β, γ, β τότε ισχύει f ()d = f ()d + ε. Αν <α<, τότε lim α = α γ α β γ f ()d Μονάδες ΘΕΜΑ Β Έστω w = +, όπου μιγαδικός αριθμός με Β. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς και για τους οποίους ισχύει w= Μονάδες 6 Β. Αν = +i και = -i είναι οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β, τότε να αποδείξετε ότι = = - 8 Μονάδες 6 Β. Αν και είναι οι μιγαδικοί αριθμοί του προηγούμενου ερωτήματος, τότε να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, και = στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Μονάδες 8 Β. Αν =, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός w είναι πραγματικός. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f() = - ln(e +), Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη. Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 8 f () < f() + ln, για κάθε (,+ ) Μονάδες ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (-,+ ) για την οποία ισχύει: f (t) dt = ( ln( ) ), > - + ln( + ). Να αποδείξετε ότι f () =, > - + Μονάδες 6. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι: (+) e e +, για κάθε > - Μονάδες 6. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία = e- Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Να αποδείξετε ότι: (+) = + f() = f(), >- και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση (+) = +, >- έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις = και = Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα.. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙ ΕΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία Σχολικού βιβλίου σελ. 7 Α. Θεωρία Σχολικού βιβλίου σελ. 7 Α. α. Σ, β. Σ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Λ ΘΕΜΑ Β w = +, Β. w= + = + = Δ= 6= ( ± ) ±. = = = + i = i
Β. ( ) i i i i = + = + + + = = + i 9 i= 8. Ομοίως: ( ) i i i i = i 9+ i= 8. = = + = Άρα: = = 8 ος τρόπος + = = = = = 8 + = Β. Έστω Α (, ) η εικόνα του Β(, ) η εικόνα του 8 = = = Γ(,) η εικόνα του. ΑΒ = = + i i = i = i = ΑΓ = = + i = + i = + = =. / ( ) i ( ) i ( ) ΒΓ = = = = + = = Άρα ( ΑΒ ) = ( ΑΓ ) = ( ΒΓ ) = δηλαδή ΑΒΓ ισόπλευρο. Β. = = = = = Είναι: w= + = + = + = = + = + = + = w δηλαδή w= w άρα w
ΘΕΜΑ Γ ( ) ln ( ) f = e +, Η f είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών f δύο φορές παραγωγίσιμη στο με : e e e f ( ) ( e + = + ) = = = e + e + e + e + () ( e + ) ( e + ) e f ( ) = = e + e + Γ. Είναι: f ( ) = για κάθε αφού e + Οπότε f γνησίως αύξουσα στο. Γ. e για κάθε Είναι: f ( ) κάθε. e = Άρα f κοίλη στο. Γ. ( ) e + για κάθε αφού e και ( e + ) για f ( ) f ( ) + ln, f ( ) f ( ) ln,. Έστω: g( ) f ( ) f ( ) ln = με. Οι f, f ορίζονται σε όλο το. Η g είναι συνεχής για αφού οι f, f είναι συνεχείς σε όλο το. Η g παραγωγίσιμη για αφού η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με g ( ) = ( ) f ( ) + ( f ( ) ) f ( ) ( ln ) = f ( ) + f ( ) f ( ) = f ( ) αλλά f ( ). Οπότε g για κάθε δηλαδή g Οπότε ( ) g για ln ln δηλαδή g( ) g( ) f f για κάθε f f + για κάθε. για κάθε άρα και για
ΘΕΜΑ Δ Αφού f συνεχής για ( ( ) ln + ) είναι παραγωγίσιμη για. η f () t dt είναι παραγωγίσιμη, όπως και η Δ. Οπότε: f () t dt = ( ln + ) για. ( ) = ( + ) ( ( + )) f ln ln f ln + ln ( + ) f ( ) = για. + Δ. ( ) ( ) = ( + ) ( + ) Η f είναι συνεχής για ως πηλίκο συνεχών. f παραγωγίσιμη για με: ( ) ( ln ( + ) ) ( + ) ln ( + ) ( + ) ( + ) f = = ( + ) ln( + ) ln + = + =, + + ( ) Έστω: ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) f ln + ln ln + ln + ln e + e e.. e + f f Άρα: f όταν (, e ] + και όταν - [ e, ) ln e e e έχει μέγιστη τιμή την f ( e ) = = δηλαδή f ( ) e e + Θέλω να δείξω ότι: ( ) + για κάθε + για = e η f για κάθε e
ln e + ln ( ) ln e e ( ) ( ) ( + ) ln ( + ) + για κάθε ln + + ln e για κάθε e για κάθε + e f ( ) για κάθε που ισχύει όπως δείξαμε πιο πάνω. e Δ. ( ) f = ln + = ln + = ln + = = δεκτή αφού e Άρα: Ε( Ω ) = f ( ) d Για [, e ] f άρα e f ( ) f ( ) f ( e ) f ( ). Άρα f ( ) για [, e ] ( ) e ( ) ln + e ( ln ( ) ) Ε Ω = d = + d = + e = ln ( + ) = ( ln e ln ) = τ.μ. Δ. Είναι: f ( ) f ( ) ( + ) ( + ) = ln ln = + + ln ( + ) ln = + ln + = + ln ( ) + ( ) + ln + = ln (Η ln είναι " " ) + = Οπότε: ( ) f ( ) f ( ) + =, + = και Αφού ισχύει η παραπάνω ισοδυναμία, οι δυο εξισώσεις ( ) + f ( ) = f (, ) είναι ισοδύναμες για δηλαδή έχουν τις ίδιες λύσεις.
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η εξίσωση f ( ) f ( ) λύσεις τις = και =. Για f ( ) f ( = έχει ακριβώς δυο = : = ) ισχύει, άρα το = είναι λύση εξίσωσης. ( + ) ( + ) ln ln Για = : f ( ) = f ( ) = + + ln ln ln / ln = = / εξίσωσης. Το, e, = ανήκει στο ( ] f ( ) f ( ) Το = ανήκει στο ( ] f ( ) f ( ) Οπότε η εξίσωση f ( ) f ( ) = ισχύει μόνο για =. = ισχύει μόνο για =. άρα και η ( ) + που ισχύει άρα το = είναι λύση της όπου η f είναι και συνεχής, άρα το e, +, όπου η f είναι και συνεχής, άρα το = έχει ακριβώς δύο ρίζες τις = και = + = έχει και αυτή ακριβώς δυο ρίζες τις = και =. Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη