, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση +g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( g) ( ) ( ) g ( ). Μονάδες 9 Α. Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και [, ]. Πότε λέμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο [α, β]; Μονάδες 6 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο. β) Αν () και συνεχής στο [α,β] τότε ()d. γ) Αν μια συνάρτηση δεν μηδενίζεται στο πεδίο ορισμού της τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο σε αυτό. δ) Αν () για κάθε στο (, ) και () για κάθε στο (, ) τότε το ( ) είναι τοπικό μέγιστο της. ε) Αν η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ τότε υποχρεωτικά () για κάθε. Μονάδες Θέμα Β Έστω η συνάρτηση (). Β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6 Β. Να βρεθούν τα διαστήματα που η συνάρτηση είναι κοίλη, κυρτή καθώς και τα σημεία καμπής της, αν υπάρχουν. Μονάδες 5 Σελίδα από

2 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 Β. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Μονάδες 7 Β4. Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα Β, Β, Β να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Μονάδες 7 Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση: e, () με για την οποία ln, ισχύει () () για κάθε (,). Γ. Να αποδείξετε ότι α=. Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο. Μονάδες Γ. Να υπολογίσετε το όριο lim (). Μονάδες 4 Γ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από το γράφημα της, τον άξονα ' και τις ευθείες και e. Μονάδες 7 Γ5. Αν να αποδείξετε ότι η εξίσωση () ( ) ( ) ( ) έχει μοναδική ρίζα στο (, ). Μονάδες 5 Θέμα Δ Δίνεται συνάρτηση : συνεχής με (), ( ) και τέτοια ώστε: (), για κάθε. () 5 Δ. Να εξετάσετε την ως προς την μονοτονία και να βρείτε το πρόσημο αυτής. Μονάδες Δ. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της. Μονάδες Σελίδα από

3 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 Δ. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να προσδιορίσετε την. Μονάδες 6 Δ4. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει τρεις τουλάχιστον διαφορετικές ρίζες k, k, k με k k k. Μονάδες 7 Δ5. Να βρείτε το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που ορίζεται από την c, τον άξονα και τις ευθείες:, Μονάδες 7 Απαντήσεις Θέμα Α Α. Για, ισχύει : ( g)() ( g)( ) () g() ( ) g( ) () ( ) g() g( ) Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε : ( g)() ( g)( ) () ( ) g() g( ) lim lim lim ( ) g ( ) δηλαδή ( g) ( ) ( ) g ( ) Α. Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο (α, β) και επιπλέον ισχύει () ( ) lim και Α. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Λ, ε) Λ () ( ) lim Σελίδα από

4 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 Θέμα Β Β. Πρέπει το υπόριζο να είναι μη αρνητικό, δηλαδή: και είναι: επομένως ισχύει για όλους τους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή A. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: () ( ) ( ) (). Είναι: (). Ισχύει: () επίσης () χ - + () - + () Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], ενώ γνησίως φθίνουσα στο [, ). Η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για =- με τιμή: ( ) ( ) ( ). Είναι: lim() lim ( ) lim ( ) ( ) lim() lim ( ) lim ( ) Επομένως για το σύνολο τιμών της συνάρτησης έχουμε: ((, )) (lim(),lim()) (, ) Σελίδα 4 από ([, )) [( ),lim()) [, )

5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το ( ) ((, )) ([, )) [, ). Β. Η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( ) ( ) ( ) Επομένως: () δηλαδή η συνάρτηση () είναι κυρτή. ( ) Β. Η είναι συνεχής στο άρα δεν έχει κατακόρυφες. Για πλάγιες στο έχουμε: ( ) ( ) () lim lim lim(() ) lim(() ) lim( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Επομένως η ασύμπτωτη είναι η : y. Για πλάγιες στο έχουμε: ( ) () lim lim lim(() ) lim(() ) lim( ) Σελίδα 5 από

6 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) ( ( ) ) Επομένως η ασύμπτωτη είναι η : y. B4. Η συνάρτηση είναι φθίνουσα και κυρτή (, ], αύξουσα και κυρτή [, ), παρουσιάζει ελάχιστο για με τιμή( ) και ασύμπτωτες τιςy στο, y στο. Άρα συγκεντρωτικά: Επομένως η γραφική της παράσταση είναι η ακόλουθη: Θέμα Γ Γ. Ισχύει () () για κάθε (,) άρα η παρουσιάζει στο ακρότατο. Το είναι εσωτερικό σημείο του (,). Η είναι παραγωγίσιμη στο ως γινόμενο πολυωνυμικής και εκθετικής. Συνεπώς ισχύει το Θεώρημα Fermat, άρα () Σελίδα 6 από

7 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 Για κάθε η είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο πολυωνυμικής και εκθετικής με () e e e () απορρίπτεται αφού από υπόθεση ή. Για και για κάθε έχουμε: () e Η είναι συνεχής ως γινόμενο πολυωνυμικής και εκθετικής. Η είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο πολυωνυμικής και εκθετικής με () e e e () e () e Συνεπώς η παρουσιάζει για = μέγιστο το () άρα για κάθε ισχύει () (). Άτοπο γιατί από υπόθεση () () άρα η τιμή απορρίπτεται. Για και για κάθε έχουμε: () e () e e e () e () e Συνεπώς η παρουσιάζει για = ελάχιστο το () άρα για κάθε ισχύει () () άρα η τιμή είναι δεκτή. e, Γ. Για η συνάρτηση γίνεται: () ln, Για κάθε η είναι συνεχής ως γινόμενο πολυωνυμικής και εκθετικής. Για κάθε η είναι συνεχής ως λογαριθμική. lim () lim e lim () limln άρα lim() lim() () () Σελίδα 7 από

8 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 άρα η είναι συνεχής και στο. Συνεπώς η είναι συνεχής στο. Γ. lim lim lim () (() ) (() ) αφού lim και lim(() ) με (() ) για κάθε (,) (,) από τοπικό ακρότατο, άρα lim. (() ) Γ4. Αφού η είναι συνεχής στο έχουμε e e e E () d () d () d ( )e d ln d όμως για κάθε [,] ισχύει e ( )e και για κάθε [,e] ισχύει e ln ln lne ln συνεπώς e E ( )e d lnd ( )e d ( ) e d ( )e e d e e e e e e e e e e e lnd lnd ln d e e τ. μ. Συνεπώς E ( )e d lnd e e Γ5. Από το ερώτημα α) η είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] k ( ) ( ), k ( ) ( ) και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) επίσης ( ) ( ), k ( ) ( ) e Σελίδα 8 από

9 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 και με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) τελικά ισχύει ( ) ( ) Η είναι συνεχής στο [, ] από το ερώτημα β) Ισχύει ( ) ( ) αφού η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ] (,] ( ) ( ) ( ) Επίσης ( ) ( ) άρα ισχύει το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), το μοναδικό στο (, ) γιατί η είναι γνησίως φθίνουσα σε αυτό. Θέμα Δ Δ. Η είναι συνεχής στο με () () 5 Άρα η γνησίως φθίνουσα στο Ισχύει () άρα για κάθε με () () () () () () για κάθε Δ. Η είναι παραγωγίσιμη στο ως σύνθεση, άθροισμα και πηλίκο 4()'() παραγωγίσιμων με () () 5 () 5 Επομένως: () () αφού 4 () για κάθε Ακόμα () 5 4()'() ''() () Σελίδα 9 από () 5 κάθε όπως προκύπτει από το (α) 4 () αφού () 5 για

10 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 Συνεπώς αφού συνεχής στο και () για κάθε (,) η κοίλη στο (,] αφού συνεχής στο και () για κάθε (, ) η κυρτή στο [, ) Η αλλάζει κυρτότητα εκατέρωθεν του και δέχεται εφαπτομένη στο Κ(,()) (αφού παραγωγίσιμη στο ) άρα η παρουσιάζει σημείο καμπής το Κ(,()) ή Κ(,) Δ. Αφού η γνησίως φθίνουσα στο είναι και «-», άρα αντιστρέφεται. Για κάθε έχουμε: () () () 5 () () 5 () () 5 () 6 () 5() 6 και αφού η () 5() 6 συνεχής στο ως σύνθεση άθροισμα και γινόμενο συνεχών από συνέπειες θεωρήματος μέσης τιμής θα ισχύει: () 5() 6 c, c και αφού () παίρνουμε: () 5() 8 c c 8 άρα () 5() 6 8 Στην παραπάνω σχέση θέτουμε () y (y) και έχουμε y 5y 6 (y) 8,y (αφού ( ) ) ή y 5y y 5 (y) (y) y, y επομένως (),, αφού ( ) 6 Δ4. Έχουμε: () () () Έστω w(), 6 Η w συνεχής στο ως σύνθεση και διαφορά άρα και στο [,] Σελίδα από

11 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ w( ) ( ) ( ) w() 6 6 δηλαδή w( )w() άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον k (,) τέτοιο ώστε w(k ) (k ) k 5 Παρατηρούμε ότι: w() 6 έστω k τότε w(k ) (k ) k Η w συνεχής στο ως σύνθεση και διαφορά άρα και στο [6,] 5 5 w(6) w() δηλαδή w(6)w() άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano οπότε υπάρχει ένα τουλάχιστον k (6,) τέτοιο ώστε w(k ) (k ) k Άρα η εξίσωση έχει τρεις τουλάχιστον διαφορετικές ρίζες k, k, k με k k k Δ5. Από το ερώτημα (α) έχουμε () και () για κάθε και αφού η συνεχής στο για το ζητούμενο εμβαδόν θα ισχύει: () E ()d ()d 5 Είναι () () και () 6 Στην σχέση () θέτουμε (t) (η συνεχής και «-» στο ) Σελίδα από

12 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ t t t t () d t t dt d t dt (t) τότε Τότε από () έχουμε: 5 E ()d ( (t))( t )dt t(t 5)dt 4 t 5 t(t 5)dt t 4 8 τ. μ Από το Μαθηματικό Τμήμα των Φροντιστηρίων Πουκαμισάς Ηρακλείου συνεργάστηκαν : Γ. Ανδρουλιδάκης, Μ. Βυνιχάκης, Α. Δουλγεράκης, Μ. Μπαρμπούνη, Ζ. Μπομπότη, Π. Σιδερής, Α. Τσιλιφώνης. Σελίδα από