Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του. Η ακτίνα καμπυλότητας του κύκλου είναι ίση με την ακτίνα του R. Επομένως, ξεκινάμε με την ανάλυση με την κυκλική κίνηση, όχι απαραίτητα ομαλή. Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος που κινείται σε κύκλο, έστω κατά τη φορά της θετικής γωνίας, και κέντρο Κ που ταυτίζεται με το σημείο αναφοράς, είναι r Rcos i Rsin j R(cos i sin j ) όπου R είναι η ακτίνα του και είναι η γωνιακή θέση όπως συνήθως ορίζεται αναφορικά με τον θετικό x άξονα. Το μοναδιαίο ακτινικό διάνυσμα στη θέση του σώματος είναι r cos i sin j και (στην κυκλική κίνηση) είναι ίσο με N, όπου N είναι το μοναδιαίο διάνυσμα που είναι κάθετο στην ταχύτητα του σώματος στη δεδομένη θέση. Παρατηρούμε φυσικά ότι r R r, και δεν ξεχνάμε ότι η ακτίνα R του κύκλου είναι σταθερή σε όλα τα σημεία, επομένως δεν εξαρτάται από το χρόνο καθώς το σώμα διατρέχει τον κύκλο.
Το διάνυσμα της ταχύτητας του σώματος είναι dr dr d R R ( sin i cos j ) Το διάνυσμα sin i cos j είναι το γωνιακό μοναδιαίο διάνυσμα στη θέση του σώματος. Ταυτίζεται με το εφαπτομενικό μοναδιαίο διάνυσμα (στην κυκλική κίνηση): T. Η ποσότητα d / είναι φυσικά η γωνιακή ταχύτητα ω του σώματος. Παρατηρούμε ότι dr και R Αξίζει να θυμόμαστε ότι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος είναι =Rω. Ομοίως βρίσκουμε ότι d r Δηλαδή, βρίσκουμε ότι η παράγωγος του κάθε μοναδιαίου είναι ένα διάνυσμα παράλληλο στο άλλο μοναδιαίο. Αυτό είναι αναμενόμενο διότι ξέρουμε ότι η παράγωγος ενός διανύσματος σταθερού μήκους είναι ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό. Μπορούμε τώρα να γράψουμε το διάνυσμα της επιτάχυνσης αναλυμένο σε αυτά τα μοναδιαία διανύσματα: d d a R R r Αν σε αυτή τη σχέση αντικαταστήσουμε ω=/r έχουμε d a r R
Όμως T και r Nοπότε έχουμε d a T N R Η σχέση αυτή που αποδείχτηκε εδώ για την κυκλική κίνηση ισχύει σε κάθε κίνηση με την ακόλουθη ερμηνεία. Σε κάθε σημείο μιας λείας καμπύλης υπάρχει ένας μοναδικός κύκλος ο οποίος περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο στρίβει η καμπύλη στο δεδομένο σημείο. Αυτός ο κύκλος είναι ο κύκλος καμπυλότητας της τροχιάς στο δεδομένο σημείο, και είναι γενικά διαφορετικός για κάθε διαφορετικό σημείο. Η ακτίνα αυτού του κύκλου ονομάζεται ακτίνα καμπυλότητας. Το κέντρο του κύκλου είναι το κέντρο καμπυλότητας της τροχιάς στο δεδομένο σημείο. Για μια καμπύλη y=f(x) δίνεται από τη σχέση 1 f ( x) R (1 [ f ( x)] ) 3/ Με βάση αυτή την έννοια, η επιτάχυνση σε μία γενική τροχιά μπορεί να αναλυθεί σε: (Ι) Μια συνιστώσα που είναι παράλληλη της ταχύτητας τη δεδομένη στιγμή. Αυτή η συνιστώσα αλλάζει το μέτρο της ταχύτητας, δηλαδή το επιταχύνει ή το επιβραδύνει χωρίς να του αλλάζει την κατεύθυνση. (ΙΙ) Μια συνιστώσα που είναι κάθετη στην ταχύτητα τη δεδομένη στιγμή, ακριβώς όπως στην κυκλική κίνηση, η οποία αλλάζει την κατεύθυνση της κίνησης του σώματος χωρίς να του αλλάζει το μέτρο της ταχύτητας. Αυτή η συνιστώσα είναι η στιγμιαία κεντρομόλος επιτάχυνση /R, όπου R είναι φυσικά η ακτίνα καμπυλότητας στο δεδομένο σημείο, και έχει κατεύθυνση προς το κέντρο καμπυλότητας στο δεδομένο σημείο της τροχιάς.
Συμπεραίνουμε ότι κατά τον ίδιο τρόπο που η πληροφορία για την ταχύτητα κατά μήκος μιας τροχιάς είναι ενσωματωμένη στην αναπαράσταση της τροχιάς ως διαδοχή μικρών ευθύγραμμων τμημάτων, έτσι η πληροφορία για την επιτάχυνση είναι μεταφέρεται από την αναπαράσταση της τροχιάς ως διαδοχή μικρών κυκλικών τόξων στη θέση των ευθύγραμμων τμημάτων. Παράδειγμα Η τροχιά ενός σώματος δίνεται από το διάνυσμα θέσης 1 r t i at j όπου > και a> είναι η αρχική ταχύτητα στην οριζόντια διεύθυνση και η σταθερή επιτάχυνση στην κατακόρυφη διεύθυνση αντίστοιχα. Να βρεθούν η εφαπτομενική και η κεντρομόλος συνιστώσα της επιτάχυνσης και η ακτίνα καμπυλότητας. Η ταχύτητα είναι dr i at j Από αυτό το διάνυσμα μπορούμε να βρούμε το μέτρο της ταχύτητας a t το εφαπτομενικό μοναδιαίο T i at j και το κάθετο μοναδιαίο N at i j κατά μήκος της τροχιάς. Το ολικό πρόσημο του κάθετου είναι αυθαίρετο ως εδώ. Πρέπει να διαλεχτεί ώστε το διάνυσμα να δείχνει προς το κέντρο καμπυλότητας. Αν διαλεχτεί λάθος, η κεντρομόλος βγαίνει με ανάποδο πρόσημο. Θα το παίρνουμε πάντα + για ευκολία και θα δουλεύουμε με απόλυτες τιμές.
Η επιτάχυνση είναι a a j. Από εδώ έχουμε ότι η εφαπτομενική συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι at at (και ισούται με d/ όπως μπορούμε νε ελέγξουμε) και κεντρομόλος συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι a N a η οποία ισούται φυσικά με /R όπου R η ακτίνα καμπυλότητας. Επομένως βρίσκουμε ότι 3 R a δηλαδή ( ) R a t a 3/ Σε μεγάλους χρόνους έχουμε 3 R ~ at Στο όριο t= έχουμε R= : τα τόξα του κύκλου καμπυλότητας έχουν γίνει ευθείες. Αυτό δε σημαίνει ότι η παραβολική τροχιά έγινε ευθεία στο. Σημαίνει ότι, ασυμπτωτικά, ο ρυθμός αλλαγής κατεύθυνσης της τροχιάς γίνεται.