Дефиниција функције више променљивих Околина тачке R График и линије нивоа функције : Дефиниција Величина се назива функцијом променљивих величина и на скупу D ако сваком уређеном пару D по неком закону коресподенције одговара нека одређена вредност променљиве : D RR ={ : R R} E R RR D E R Дефиниција Скуп свих уређених парова за које у смислу закона коресподенције постоји R = назива се област дефинисаности функције = Дефиниција Скуп свих реалних бројева који у смислу закона коресподенције одговарају свим могућим уређеним паровима из области дефинисаности D функције = представља скуп вредности функције = Дефиниција Функција : D E је једнозначна ако D! D = Дефиниција Ако свакој уређеној -торки G по неком закону коресподенције одговара реалан број = кажемо да је функција променљивих R G E R График функције Дефиниција Ниво линијом функције = назива се скуп тачака у равни O за које функција има исту вредност тј важи = Скуп ниво линија за више различитих константних вредности чини мрежу ниво линија функције =
Околина тачке Кружна околина: Скуп свих тачака М таквих да је d < тј да важи { : } Тај скуп је унутрашњост круга са центром у тачки и полупречником Квадратна околина: Скуп тачака М за које важи { : } Тачка се налази у пресеку дијагонала квадрата а страница квадрата има дужину Околина у -димензионом простору: - d = сфера са центром у тачки и полупречником < - { : } пресеком дијагонала у хиперкоцка странице са центром
Гранична вредност функције више променљивих Непрекидност Низ тачака у равни O задаје се преко бројних низова { } и { } Дефиниција Низ тачака конвергира тачки ако d Тачка је гранична тачка низа тачака Теорема Неопходан и довољан услов да низ тачака конвергира тачки јесте да Доказ довољан услов: Претпоставомо да важи Како је d = неопходан услов: Претпоставимо Из тога следи да d = Како је Дефиниција Ако за произвољан низ тачака из области дефинисаности који конвергира ка тачки низ одговарајућих вредности увек конвергира истом броју тада се тај број назива граничном вредношћу функције у тачки l l Непрекидност функција више променљивих Дефиниција За функцију = = дефинисану у тачки и некој њеној околини кажемо да је непрекидна у ако је l l тј ако за свако > постоји => тако да је
Ако је функција више променљивих дефинисана у области G кажемо да је непрекидна на области ако је непрекидна у свакој тачки те области Ако функција више променљивих није дефинисана у или не важи l тада функција има прекид у Дефиниција За функцију = = кажемо да је равномерно непрекидна на области D ако за свако > постоји => тако да за произвољне тачке из D важи d
Тотални и парцијални прираштаји функције више променљивих Дефиниција парцијалних извода првог реда прираштај аргумента у тачки је = прираштај аргумента у тачки је = Дефиниција Тотални прираштај функције = у тачки је где је са координатама = + и = + Ако се мења једна од променљивих а друга је фиксирана добијамо парцијалне прираштаје по и Дефиниција Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима независне променљиве кад оне теже нули тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције у тачки Ознаке: cos l cos l Геометријско тумачење: За функцију више променљивих: cos l
4 Дефиниција парцијалних извода првог реда функције више променљивих Парцијални изводи вишег реда Дефиниција Ако постоје коначне граничне вредности количника парцијалних прираштаја функције у тачки са одговарајућим прираштајима независне променљиве кад оне теже нули тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције у тачки Ознаке: cos l cos l Геометријско тумачење: За функцију више променљивих: cos l За функцију = њени парцијални изводи и су такође функције параматра и Парцијални изводи парцијалних извода су парцијални изводи другог реда функције = : извод другог реда по ; мешовити парц изводи II реда извод другог реда по Парцијални изводи III реда су парцијални изводи по и за парцијалне изводе II реда Парцијални изводи -тог реда су парцијални изводи по и за парцијалне изводе --ог реда
5 Довољан услов за Доказ Теорема Ако су мешовити парцијални изводи II реда и функције у свакој тачки области D онда је у свакој унутрашњој тачки те области функције непрекидне Доказ: Нека је произвољна тачка у унутрашњости области D Онда је и цео правоугаоник где је + + + + у области D за довољно мале и Посматрајмо израз: Нека је где су и параметри Тада је А = + - Према Лагранжевој теореми о средњој вредности по : А = + При томе је Применом Лагранжеве теореме о средњој вредности по добија се: тј Слично: и су параметри Тада је А = + - Ако се два пута примени Лагранжева теорема о средњој вредности прво по па по добија се Због непрекидности функција и добија се кад да је
6 Дефиниција диференцијабилности функције више променљивих Довољан услов диференцијабилности Доказ Теорема Ако функција = у некој тачки и некој њеној околини има парцијалне изводе који су непрекидни у тада где зависе од и кад Доказ: На основу дефиниције тоталног прираштаја парцијални прираштај по парцијални прираштај по у тачки + у тачки Применом Лагранжеве теореме: тј добија се где је < < < < при чему + + кад Због непрекидности парцијалних извода у тачки важи и тј кад Теорема Ако су у тачки непрекидни парцијални изводи тада је и функција непрекидна у тачки Доказ: Према теореми и функције и сва четири сабирка теже нули кад Како је према дефиницији тоталног прираштаја то је l Дефиниција Ако тотални прираштај функције = у тачки може да се напише у облику где кад тада је функција = диференцијабилна у тачки Свака функција која у има непрекидне парцијалне изводе је диференцијабилна у тој тачки
7 Тотални диференцијал функције више променљивих Диференцијали вишег реда Дефиниција За функцију = која је диференцијабилна у тачки главни део тоталног прираштаја се зове тотални диференцијал Ознака: d d d где пишемо d = d = Код диференцијабилне функције = d + + кад Код функције променљивих = ако су сви парцијални изводи = непрекидни у некој тачки израз d d d представља главни део прираштаја функције = и зове се тотални диференцијал дате функције d Слично као и код функције две променљиве може се показати да је разлика d између тоталног прираштаја и тоталног диференцијала дате функције бесконачно мала вишег реда у односу на растојање d Правила за рад са диференцијалима за функције и v више променљивих: Такође ако је d = d+d тада је d v d v d v d dv dv vd vd dv v и То се може видети ако узмемо напр d = d = и d = d = На основу теореме d где је d d d Тако се добија приближна формула
Диференцијали вишег реда Дефиниција Диференцијалом другог реда функције = назива се диференцијал тоталног диференцијала дате функције тј d = dd који се израчунава уз претпоставку да су d и d константни Ако су d и d константни dd = dd = па је d d d d d d d d d d d d d d d d d dd dd d Када су мешовити парцијални изводи непрекидни тј једнаки онда је d dd d d -Трећи дифернцијал; диференцијал тог реда: d = dd ; d = dd - под претпоставком да су d и d константни За непрекидне мешовите парцијалне изводе: d dd d d d d -За функцију три параметра = други диференцијал је једнак кад су мешовити парцијални изводи непрекидни: dd dd dd d d d d Напомена: Ако је Cd dd d d онда се може показати да је C
8 Потребан и довољан услов да израз d + Q d представља тотални диференцијал функције Доказ *не треба већ неколико година*
9 Диференцијали вишег реда функције више променљивих Дефиниција Диференцијалом другог реда функције = назива се диференцијал тоталног диференцијала дате функције тј d = dd који се израчунава уз претпоставку да су d и d константни Ако су d и d константни dd = dd = па је d d d d d d d d d d d d d d d d d dd dd d Када су мешовити парцијални изводи непрекидни тј једнаки онда је d dd d d -Трећи дифернцијал; диференцијал тог реда: d = dd ; d = dd - под претпоставком да су d и d константни За непрекидне мешовите парцијалне изводе: d dd d d d d -За функцију три параметра = други диференцијал је једнак кад су мешовити парцијални изводи непрекидни: dd dd dd d d d d Напомена: Ако је Cd dd d d онда се може показати да је C
Парцијални изводи сложене функције Ако је дата функција = v где су и v функције независно променљивих и тј = v = v тада је сложена функција аргумената и v Израчунаћемо и под претпоставком да v = v = v имају непрекидне парцијалне изводе диференцијабилне су Ако се аргумент фиксира а има прираштај онда су прираштаји функција и v по променљивој : и v Прираштај функције = v по променљивој због диференцијабилности v v v дељењем са добија се v v v Како су функције = и v = v непрекидне ако онда и v а такође Како је l l v v l заменом у претходном изразу се добија v v Слично ако се аргумент фиксира а има прираштај онда се добија v v У општем случају = = = може се доказати тј k k И k =
Теорема о егзистенцији имплицитне функције Доказ Теорема Ако је дата једначина = и ако функција има следећа својства: су дефинисане и непрекидне у правоугаонику R : a a b b = За = cos је монотоно растућа или опадајућа функција по -тада ће једначином = у неком правоугаонику R : бити дефинисана имплицитна функција која је непрекидна и непрекидно диференцијабилна у интервалу + и при томе је = Доказ: Претпоставимо да је > Због непрекидности постоји околина тачке например квадрат са страницом чије се дијагонале секу у у којој у свим тачкама важи > - За = функција кад варира од до + = < за < < > за < < + - < Због непрекидности функције је непрекидна по променљивој за фиксирано = па у довољно малој околини + тачке важи < за свако + - + > слично као и малопре за фиксирано = + постоји довољно мала околина + тако да + > за свако + За = { } важи < + > за свако + - Ако за произвољно * + мењамо од до + тада је * непрекидна функција променљиве која на крајевима одсечка N * N * + има вредности различитог знака По Коши Болцановој теореми постоји * + такво да је * * = Како је * по то је * јединствено = * + : * * =
- Како је * произвољно изабрано + + : = тј на правоугаонику R : једначина = дефинише као имплицитну функцију од = и при том због = важи =
Тангентна раван и нормала површи Ако пресечемо површ S равнима = и = D добијамо криве L и L на површи S Њихове тангенте у заједничкој тачки S T и T имају једначине = = = = где је g T O g T O Дефиниција Нека је S глатка површ а L и L криве дуж којих равни = и = секу S Раван која садржи тангенте T и T тих кривих у њиховој заједничкој тачки зове се тангентна раван површи S у тачки На основу једначина за T и T добија се једначина тангентне равни је пројекција тачке на раван O Дефиниција Права N која је у датој додирној тачки глатке површи S и њене тангентне равни нормална на ову раван зове се нормала површи S у датој тачки вектор правца нормале има координате - па је једначина те праве Ако је глатка површ S дата једначином = где је = тада па је Према томе једначина тангентне равни површи S у је а једначина нормале површи S у је
При томе вредности извода треба узети у тачки Теорема Ако крива L лежи на површи S тада тангента криве L у тачки припада тангентној равни површи S у тачки Доказ: Нека је површ S задата са = а крива L параметарски са = = = тако да за = : = = = тј крива пролази кроз тачку Ако L лежи на S онда = па важи d d d d d d тј Како ово важи за све тачке криве L важи и за па је Лева страна једнакости је скаларни производ вектора r и вектора при чему су вредности пројекције координате тангентног вектора криве L у а вектор e ортогоналан на тангентну раван површи S у тачки На основу једнакости вектори и r су ортогонални а то значи да r припада тангентној равни
Векторска функција скаларног аргумента Нека је дата векторска функција r = r дефинисана и непрекидна у некој просто повезаној области простора R Вектор r = O је радијус вектор тачке Ако може да се успостави веза између координата тачке и неког параметра [ ] R: = = = где су непрекидне функције параметра тада су те једначине параметарске једначине криве L коју описује крај вектора r = r чији је почетак фиксиран за утврђену тачку када се параметар непрекидно мења на интервалу Тако добијена крива L се назива ходограф векторске функције r = r Ако се векторска функција напише у развијеном облику r= + + k онда како су координате векторске функције непрекидне функције по то је l l l а за вектор r k кажемо да је гранична вредност вектора r = r тј l r r l r r Одавде се добија l и l r r Дефиниција Ако су и + две тачке криве L са радијус векторима r и r+ тада је r+ r = r прираштај векторске функције r који одговара прираштају параметра а вектор r r r представља средњу брзину промене векторске функције r на интервалу и орјентисан је на ону страну на коју параметар расте Дефиниција Претпоставимо да је векторска функција r непрекидна у интервалу [ ] Ако постоји l количника r када тада се та гранична вредност зове извод векторске функције r по скаларној променљивој dr d r r l l r r Вектор d dr тј r је тангентни вектор криве L и има правац тангенте на ходографу а смер на ону страну на коју параметар расте Дефиниција Ако је векторска функција r диференцијабилна главни део њеног прираштаја r представља диференцијал векторске функције r dr dr r r d d
4 Скаларно поље Дефиниција Ако је у простору променљивих R { : R} у свакој тачки неке просто повезане области задата вредност скаларне величине која зависи од координата тачке тада кажемо да је у области задато скаларно поље а функција је скаларна функција тачке Скаларна функција је стационарна ако не зависи од времена Ако зависи и од и од она је нестационарна Дефиниција Ниво-површ скаларног поља представља скуп тачака области у којима функција има исту константну вредност = C Кроз сваку тачку поља у којој је непрекидна и једнозначна функција пролази по једна и само једна ниво-површ
5 Извод функције више променљивих у смеру датог вектора Веза градијента и извода у смеру датог вектора Доказ Нека је функцијом задато поље у области и нека из произвољне тачке полази вектор s а њему одговарајући јединични вектор јe or s = s cos cos cos Нека је + + + тачка вектора s на растојању s од полазне тачке тада s Одавде се добија cos cos cos тј s cos s s s s cos s cos Дефиниција Средња брзина промене скаларне функције = у смеру вектора s је изражена са где је = + + + s s Дефиниција Ако постоји гранична вредност средње брзине кад s тада се та s гранична вредност зове извод скаларне функције извод скаларног поља у тачки у смеру вектора s и означава: l s s s Ако је функција непрекидна и има непрекидне парцијалне изводе у области тада је њен тотални прираштај где је o o o па кад добија се o s кад s После дељења израза са s s s s s s s s cos cos cos cos cos cos не зависи од s кад s То значи да постоји s cos cos cos Тиме је доказана Теорема Ако је функција диференцијабилна у свакој тачки тада постоји извод у смеру произвољног вектора s и координате вектора s = or s cos cos cos s где су cos cos cos
Теорема Ако је у скаларном пољу функције дефинисано поље градијента k grad тада је извод s у смеру вектора s једнак пројекцији вектора grad на вектор s Доказ Ако је s = or s = cos + cos + cos k s = онда је s s s cos cos cos grad cos grad grad одакле cos grad s што значи да је s пројекција вектора grad на вектор s
6 Градијент функције више променљивих Веза градијента и извода у смеру датог вектора Доказ Можемо сматрати да је cos cos cos cos cos cos s = s што даје повод за следећу дефиницију Дефиниција Градијент функције у тачки је вектор чије су координате вредности парцијалних извода у датој тачки : k grad где је набла тзв Хамилтонов оператор За функцију више променљивих: Дефиниција Градијент функције у тачки је вектор e e e grad где су e e e вектори ортонормиране базе простора R Ако је функција диференцијабилна у свакој тачки скаларног поља области онда у свакој тачки постоји grad тако да је дефинисано векторско поље градијента у Теорема Ако је у скаларном пољу функције дефинисано поље градијента k grad тада је извод s у смеру вектора s једнак пројекцији вектора grad на вектор s Доказ Ако је s = or s = cos + cos + cos k s = онда је s s s cos cos cos grad cos grad grad одакле cos grad s што значи да је s пројекција вектора grad на вектор s
ТеоремаСмер градијента функције grad се у свакој тачки подудара са смером нормале на ниво површ скаларног поља која пролази кроз ту тачку Доказ Једначина ниво-површи кроз је = = а једначина нормале на нивоповрш кроз је : N при чему је век нормале Особине градијента: + = + k k k C = C C = cos k C C C C C k C = k k k 4 = k k k
7 Тејлорова и Маклоренова формула функције више променљивих R: Функција једне променљиве = која околини неке тачке има непрекидне изводе закључно са изводом реда + може се апроксимирати Тејлоровим полиномом -тог степена у околини те тачке: R!!! где је што се другачије може записати: R!!! Функција са два или више параметара која у околини неке тачке има непрекидне парцијалне изводе до реда + може се такође апроксимирати полиномом -тог степена R : Уочимо помоћну функцију при чему сматрамо да су Δ Δ Тачка за свако ] [ припада одсечку Ако претпоставимо да функција у околини тачке има непрекидне парцијалне изводе до + реда онда се за изводе помоћне функције добија: - - [] Индуктивно се закључује - [] Теорема о средњој вредности Ако је у некој околини тачке функција непрекидна и има непрекидне парцијалне изводе и тада је за неко
Доказ Према Лагранжевој теореми за функцију једне променљиве Из тога следи за неко што је требало доказати Теорема Тејлорова формула Ако су у околини тачке парцијални изводи функције до + реда непрекидни тада је! d d d а! при чему је R d Доказ Развијањем функције у Маклоренов полином добија се!!!! R са грешком записаном у Лагранжевом облику L За = : R! L R!!! Према дефиницији функције L R! d d d [ ] d [] [ ] L одакле следи тврђење! R
R : Тејлорова формула -тог степена за функцију са променљивих има исти облик као и за функцију две променљиве d d!! d R! R! [ ] Такође се може доказати да је R o кад где је
8 Дефиниција локалног екстремума функције више променљивих Неопходни услови Доказ Дефиниција Функција = има у тачки локални максимум ако у свим тачкама из неке околине тачке има мање вредности него у тачки тј ако за сваку тачку S важи < где је S = { : < } а локални минимум ако у свим тачкама околине има веће вредности него у тј ако за сваку тачку S важи > Локални максимуми и минимуми су локални екстремуми Теорема неопходан услов Ако функција = има екстремум у тачки и ако су јој парцијални изводи непрекидни у тој тачки онда су сви парцијални изводи функције = у тачки једнаки нули тј Доказ Фиксирајмо све променљиве екстремумом за осим једне произвољне Тада је у околини тачке функција једне променљиве са Према теореми о неопходном услову функције једне променљиве њен извод у тој тачки је једнак Како је извод функције за једнак парцијалном изводу функције = по променљивој у тачки и како је избор променљиве произвољан тврђење важи Последица Ако функција = има непрекидне парцијалне изводе у целој области дефинисаности сви кандидати за екстремум се налазе међу решењима система Решења система се називају стационарне тачке
9 Довољан услов за локални екстремум функције више променљивих Силвестеров критеријум R : Теорема Претпоставимо да у некој околини области D којој припада тачка функција = има непрекидне парцијалне изводе закључно са изводима трећег реда и претпоставимо да је стационарна тачка тј Ако означимо C онда: Ако је C и < функција у има максимум Ако је C и > функција у има минимум Ако је C функција у нема екстремум 4 Ако је C тада је за одређивање карактера стационарне тачке потребно испитивање извода вишег реда Доказ Из Тејлоровог полинома другог реда у околини Пеанов обл остатка: = =! где кад Ако је O онда је cos s па је! C s s / s s cos cos C s s cos C
< : именилац разломка је мањи од а бројилац је већи јер је збир две величине које су а не могу бити истовремено : C cos s g cos C s s ; Зато се може написати где кад а не зависи од Добија се да је за довољно мало тј из чега следи да је тачка максимума C > : слично се добија да је C : ако претпоставимо да је > онда па је тачка минимума за се добија ако је C па је за C ако је и ако је g онда је C s Δ мења знак у зависности од φ што значи да нема екстремум у тачки - слично се добија и за < - ако је = онда мора бити [s cos C s ] а тј Када је φ довољно мало и мења знак и s такође мења знак док израз у малој загради који је тада приближно једнак не мења За важи α па α не утиче на знак израза Δ Следи да је у том случају знак израза Δ исти као и знак екстремума s 4 C : cos s па знак Δ зависи од α тј φ Како Δ мења знак у зависности од угла није тачка Ако је па је C s За cos s знак Δ зависи од α
R : Дефиниција Сума облика Q a назива се квадратна форма Векторски запис: T Q a a a a Напомена: Свакој квадратној форми одговара тачно једна симетрична матрица Q T тако да је Q T Q Ако је симетрична матрица онда је Q = Дефиниција За квадратну форму се каже да је Q кад год је Q кад год је позитивно дефинисана ако важи а негативно дефинисана ако је Пример Форма Q није позитивно дефинисана јер је Q док форма Q јесте јер је Q = само за а када је онда је Q > Теорема Силвестерова Нека је Q дата квадратна форма и Q одговарајућа симетрична матрица Q је позитивно дефинисана форма акко D > D > Q је негативно дефинисана форма акко D < - D > D D су главни минори матрице Q Напомена: Услов > C значи да је квадратна форма d C позитивно дефинисана Слично ако је < C други диференцијал је негативно дефинисана форма
Дефиниција условног екстремума функције више променљивих Неопходни услови условног ексремума функције : Доказ При одређивању екстремума неке функције која зависи од више независно променљивих често се појављују и неки допунски услови Екстремуми који задовољавају још неке допунске услове називају се условним екстремумима Биће описане методе за тражење екстремума функције при условима облика g = g = Уколико важи: g rag Експлицитно решавање нпр g g и ако је могуће претставити променљивих преко преосталих тражење условног екстремума се своди на тражење безусловног екстремума функције Лагранжова метода g g R : Неопходни услови Нека је дата функција = и услов = тако да и имају непрекидне парцијалне изводе у околини тачке која је условни екстремум = и да важи Према теореми о имплицитно задатој функцији условом = је задата функција = тако да је = па у тачки екстремума важи d d d d Диференцирањем услова = = добија се за све вредности које задовољавају услов Одатле за тачку важи d d d d d d
односно d d Изаберимо λ = λ тако да буде задовољен услов У том случају важи и Дакле у тачкама екстремума важе услови чиме је доказана следећа теорема: Теорема Неопходан услов да функција = при услову = има екстремум у некој тачки под претпоставком да и имају непрекидне парцијалне изводе у околини тачке и да је јесте да постоји такав реалан број λ да вредности λ задовољавају систем једначина Напомена Нека је L тзв Лагранжова функција Њени парцијални изводи су L L L што значи да се неопходни услови за условне екстремуме из горње теореме могу написати L L L
R : Уколико тражимо екстремуме функције при условима облика g = g = може се формирати одговарајућа Лагранжова функција g g L Следећа теорема даје неопходне услове за условни екстремум функције при задатим условима: Теорема Нека је екстремум функције при условима g = g = Ако претпоставимо да функције g g имају парцијалне изводе првог реда у околини тачке и да је g rag онда постоје вредности тако да важи g g L g g L g L g L
Довољан услов за условни ексремум функције више променљивих Доказ Нека функција са условима g = g = има у тачки условни екстремум и испуњава услове претходне теореме Нека је тачка таква да су у њој испуњени услови g = g = Онда је g g = = L прираштај Лагранжове функције само по променљивим Применом Тејлорове где је формуле под претпоставком да функције имају друге парц изводе L d L из чега следи теорема о довољним условима за условни екстремум: L Теорема Нека функције g g имају парцијалне изводе до другог реда и нека је стационарна тачка Лагранжеве функције Ако је L L d онда је условни минимум строги; d онда је условни максимум строги