Περιεχόμενα 7 Περιγραφή συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης 1 71 Γενικά 1 72 Περιγραφή γραμμικών συστημάτων με τη βοήθεια μεταβλητών κατάστασης 2 721 Περίληψη γνωστών μεθόδων περιγραφής 2 722 Κατάσταση και μεταβλητή κατάστασης 3 73 Εξισώσεις κατάστασης γραμμικών συστημάτων με πολλαπλά σήματα εισόδου και εξόδου 17 74 Ορισμός της κατάστασης 22 75 Παράσταση των εξισώσεων κατάστασης ως διάγραμμα ροής μητρώων 23 76 Εξισώσεις κατάστασης σύνθετων συστημάτων 24 761 Συνδεσμολογία σε σειρά 24 762 Κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης από περίπλοκα διαγράμματα βαθμίδων με εφαρμογή των μητρώων ζεύξης 27 77 Κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης από την αρχική διαφορική εξίσωση ή τη συνάρτηση μεταφοράς 38 771 Τυπικός τρόπος (1 ης μορφής) 40 772 Τυπικός τρόπος (2 ης μορφής) 44 773 Η μέθοδος διαχωρισμού σε μερικά κλάσματα 52 774 Μέθοδος προσομοίωσης με ανατροφοδότηση 57 78 Παραδείγματα εφαρμογών προσδιορισμού των εξισώσεων κατάστασης γραμμικών συστημάτων 61 79 Προσδιορισμός της συμπεριφοράς του συστήματος στην περιοχή του χρόνου από τη λύση της ανυσματικής διαφορικής εξίσωσης 68 791 Επίλυση της ανυσματικής ΔΕ με ολοκλήρωση 68 7911 Επίλυση της q = αq + bu με ολοκληρωτικό συντελεστή 68 7912 Επίλυση της ανυσματικής Δ Ε 70 7913 Ιδιότητες της Φ(t) 72 7914 Η φυσική έννοια του θεμελιακού μητρώου Φ(t) 74 792 Επίλυση της ανυσματικής ΔΕ μέσω της κανονικής μορφής 79 7921 Δομή του μητρώου του συστήματος A 79 i
7922 Υπολογισμός του θεμελιακού μητρώου με το μετασχηματισμό ομοιότητας 84 7923 Μετασχηματισμός των εξισώσεων κατάστασης στην κανονική μορφή 85 793 Διερεύνηση της ευστάθειας γραμμικών χρονικά αναλλοίωτων συστημάτων με τη βοήθεια των εξισώσεων κατάστασης 95 7931 Διερεύνηση της ευστάθειας συστημάτων με τη βοήθεια της ιδιοκατανομής του μητρώου συστήματος 95 7932 Εισαγωγή της συνάρτησης Lyapunov για τη διερεύνηση της ευστάθειας συστημάτων 96 794 Ρυθμισιμότητα και παρατηρησιμότητα συστημάτων αυτόματης ρύθμισης 105 7941 Ρυθμισιμότητα συστημάτων 105 7942 Κριτήρια για τη ρυθμισιμότητα 106 7943 Παρατηρησιμότητα συστημάτων 109 7944 Κριτήρια για την παρατηρησιμότητα 110 795 Διαχωρισμός ενός συστήματος στη βάση της ρυθμισιμότητας και της παρατηρησιμότητας 111 710 Τοποθέτηση πόλων για το σχεδιασμό ρυθμιστών ανατροφοδότησης 116 711 Παραδείγματα σε Matlab 121 712 Ασκήσεις κεφαλαίου 124 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 125 ii
Περιγραφή συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης 7 71 Γενικά Η μέθοδος περιγραφής του χώρου κατάστασης (state-space) ενός συστήματος μπορεί να ερμηνευτεί και ως μέθοδος περιγραφής δυναμικών συστημάτων με μεταβλητές κατάστασης Η συγκεκριμένη μέθοδος εμφανίζεται σήμερα ως η πλέον ενδεδειγμένη για την ανάλυση και σύνθεση συστημάτων αυτόματης ρύθμισης με τη βοήθεια Ηλεκτρονικών Υπολογιστών (Η/Υ) Το βασικό πλεονέκτημα της μεθόδου περιγραφής του χώρου κατάστασης έναντι γνωστών κλασικών μεθόδων όπως η συνάρτηση μεταφοράς, η συχνοτική απόκριση κλπ, είναι ότι διερευνά και την εσωτερική δομή του συστήματος σε σχέση με το σήμα εισόδου και εξόδου, προϋπόθεση που είναι αναμφισβήτητα απαραίτητη στην περίπτωση σχεδιασμού ανάλυσης ή σύνθεσης περίπλοκων συστημάτων Με την εφαρμογή του μητρώου ανυσμάτων προκύπτει μια συνοπτική αλγεβρική παρουσίαση της περιγραφής των συστημάτων και πιο εύχρηστη στην εφαρμογή Η/Υ Επειδή στη συγκεκριμένη περίπτωση τα μητρώα που προκύπτουν είναι μητρώα με πραγματικούς σταθερούς συντελεστές, η περαιτέρω επεξεργασία του συστήματος εξισώσεων, με σκοπό την ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς του συστήματος ή τη διερεύνηση της ευστάθειας ακόμα και κατά το σχεδιασμό του συστήματος είναι σχετικά εύκολη με τη χρήση Η/Υ 1
Ενότητα 72 2 72 Περιγραφή γραμμικών συστημάτων με τη βοήθεια μεταβλητών κατάστασης 721 Περίληψη γνωστών μεθόδων περιγραφής Όπως είναι γνωστό για τη μαθηματική περιγραφή γραμμικών χρονικά αναλλοίωτων συστημάτων υπάρχουν περισσότερες δυνατότητες Ένα τέτοιο σύστημα που να ανταποκρίνεται πλήρως στα προαναφερόμενα n τάξης με ένα σήμα εισόδου u και ένα σήμα εξόδου x α μπορεί να περιγραφεί πλήρως με τους ακόλουθους τρόπους: 1 Με τη (ΔΕ) αυτού: a n x (n) (t) + a n 1 x (n 1) (t) + + a 1 ẋ(t) + a 0 x(t) = b m u (m) (t) + b m 1 u (m 1) (t) + + a 1 u(t) + b 0 u(t) (71) 2 Με τη συνάρτηση μετάβασης αυτού h(t) δηλαδή την απόκριση του συστήματος στη βηματική αλλαγή του συστήματος εισόδου 3 Με τη συνάρτηση βάρους του συστήματος g(t), δηλαδή την απόκριση αυτού στην παλμική διέγερση του σήματος εισόδου 4 Τη συχνοτική απόκριση G(jω) ή F (jω) 5 Τη συνάρτηση μεταφοράς G(s) = β ms m + β m 1 s m 1 + + β 1 s + β 0 α n s n + α n 1 s n 1 + + α 1 s + α 0 (72) Οι περιπτώσεις 1 μέχρι 3 ανήκουν στις μεθόδους περιγραφής συστημάτων στη χρονική περιοχή ενώ η συνάρτηση μεταφοράς 5 είναι γνωστή ως η μέθοδος περιγραφής συστημάτων στην s-περιοχή Για τον μηχανικό αυτόματης ρύθμισης παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για το σχεδιασμό συστημάτων ΣΑΡ οι μέθοδοι περιγραφής συστημάτων που περιλαμβάνουν στην ανάλυση τους και την εσωτερική δομή του συστήματος Τη δυνατότητα αυτή παρέχει η διαφορική εξίσωση που προκύπτει από θεωρητική ανάλυση του συστήματος στη χρονική περιοχή και η συνάρτηση μεταφοράς στην s-περιοχή Οι
Ενότητα 72 3 δύο μέθοδοι δίνουν τις ίδιες πληροφορίες για το σύστημα και συνεπώς θεωρούνται ισοδύναμες Για ένα σύστημα n τάξης η απευθείας κατάστρωση της διαφορικής εξίσωσης είναι σχετικά δύσκολη αν όχι αδύνατη και συνήθως πρέπει να αναπτυχθεί από τις διαφορικές εξισώσεις επιμέρους συστημάτων, κατά κανόνα πρώτης τάξης Τελικά όμως προκύπτει μία διαφορική εξίσωση που βασίζεται σε διάφορες απλουστεύσεις οι οποίες δεν ισχύουν στην πράξη με αποτέλεσμα η συνισταμένη διαφορική εξίσωση να μην περιγράφει πλήρως το σύστημα Στη συγκεκριμένη περίπτωση τίθεται λοιπόν το ερώτημα κατά πόσο η διαφορική εξίσωση (71) η οποία συνδέει την είσοδο με την έξοδο του συστήματος είναι η ενδεδειγμένη και για τη δομική περιγραφή του συστήματος Το δεύτερο ερώτημα είναι μήπως το σύστημα διαφορικών εξισώσεων χαμηλότερης τάξης, συνήθως πρώτης τάξης, αποτελεί μια μέθοδο περιγραφής και της εσωτερικής δομής συστημάτων και μάλιστα με μεγαλύτερη αξιοπιστία; Τα δύο προαναφερόμενα ερωτήματα έρχεται να απαντήσει η μέθοδος δομικής περιγραφής συστημάτων με μεταβλητές κατάστασης που θα περιγραφεί στη συνέχεια με τη μορφή παραδειγμάτων 722 Κατάσταση και μεταβλητή κατάστασης Η μέθοδος περιγραφής ΣΑΡ με τις μεταβλητές κατάστασης δίνει τη δυνατότητα εξέτασης της δυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος σε σχέση με το σήμα εισόδου-εξόδου, καθώς επίσης τη συμπεριφορά του συστήματος σε σχέση με την εσωτερική δομή αυτού Ο χώρος που ορίζεται από τις μεταβλητές κατάστασης ως συντεταγμένες ονομάζεται χώρος κατάστασης Στο σχήμα 71 δίνεται ένας ταλαντωτής ελατηρίου-μάζας Η δύναμη τριβής που δημιουργείται από την πλευρική οδήγηση της μάζας M είναι ανάλογη της ταχύτητας Ως σήμα εισόδου του θεωρούμενου γραμμικού συστήματος μπορεί να είναι μια εξωτερική δύναμη η οποία μετακινεί τη μάζα M Σύμφωνα με τους βασικούς κανόνες της φυσικής και μηχανικής, οι κύριες μεταβλητές του συστήματος του 71 είναι η μετατόπιση της μάζας X(t) και η ταχύτητα
Ενότητα 72 4 Σχήμα 71: Ταλαντωτής ελατηρίου-μάζας r k M f u(t) αυτής V (t) με τις ακόλουθες σχέσεις: dx(t) dt = V (t) (73) dv (t) M + fv (t) + KX(t) = U(t) (74) dt Από τις σχέσεις (73) και (74) προκύπτει η συνισταμένη διαφορική εξίσωση (ΔΕ): M d2 X(t) dt 2 + f dx(t) dt + KX(t) = U(t) (75) Η χρονική συμπεριφορά και συνεπώς και η δυναμική συμπεριφορά του συστήματος προσδιορίζεται με τη λύση της ΔΕ (75) Για τη λύση της ΔΕ απαιτούνται εκτός από τη ΔΕ και τη χρονική συμπεριφορά του σήματος εισόδου U(t), οι αρχικές συνθήκες της ΔΕ που στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι: X(t 0 ) και V (t 0 ) = dx(t) dt t=t0 Διαπιστώνεται λοιπόν ότι οι μεταβλητές των οποίων απαιτούνται οι αρχικές συνθήκες στη χρονική στιγμή t = t 0, για τη λύση της ΔΕ (75) είναι ακριβώς εκείνες για τις οποίες ισχύει το αρχικό σύστημα ΔΕ πρώτης τάξης με τις σχέσεις (73) και
Ενότητα 72 5 (74), δηλαδή: Ẋ(t) = V (t) (76) V (t) = K M X(t) f M V (t) + 1 M U(t) (77) έτσι διαπιστώνεται ότι για τη λύση απαιτούνται οι αρχικές συνθήκες X(t 0 ) και V (t 0 ) Στην περίπτωση που ενδιαφέρουν μόνο οι ελεύθερες κινήσεις του συστήματος τότε δεν υπάρχει σήμα εισόδου, δηλαδή U(t) = 0 Ελεύθερες κινήσεις είναι εκείνες που κάνει το σύστημα όταν το φέρουμε για μια και μόνο στιγμή στη συγκεκριμένη αρχική κατάσταση X(t 0 ) και V (t 0 ) μετά το αφήσουμε ελεύθερο Για παράδειγμα θα μπορούσε αρχικά η μάζα M να μετατοπιστεί κατά X(t 0 ) από την κατάσταση ηρεμίας της Αφήνοντας στη συνέχεια τη μάζα M ελεύθερη προκαλείται η ελεύθερη κίνηση με τις αρχικές συνθήκες (X(t 0 ), 0) Η ελεύθερη κίνηση μπορεί να εκφραστεί πιο κατανοητά με το γνωστό από προηγούμενα μαθήματα της ΑΡ επίπεδο φάσης σχήμα 72 Η τροχιά της φάσης με παράμετρο τον χρόνο περιγράφει μονοσήμαντα την ελεύθερη κίνηση που αντιστοιχεί στις συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες Οι στιγμιαίες τιμές των μεταβλητών φάσης X και V που αντιστοιχούν σε κάθε χρονικό σημείο t t 0, προσδιορίζονται από την προβολή των σημείων επί των συντεταγμένων Σχήμα 72: Τροχιά της φάσης με παράμετρο τον χρόνο, για αρχικές συνθήκες (X(t 0 ), 0) V X Το σύνολο των σημείων X(t) και V (t) ως προς τον χρόνο μας δίνει την καμπύλη του ανύσματος-ταχύτητας
Ενότητα 72 6 Η παράσταση στο επίπεδο φάσης παρέχει πληροφορίες σχετικά με την έκβαση της ελεύθερης κίνησης ή της κατάστασης του ταλαντωτή ελατηρίου-μάζας Είναι γνωστό ότι η προαναφερόμενη μέθοδος εξέτασης των συστημάτων μπορεί να επεκταθεί και σε μη μηχανικά συστήματα δεύτερης τάξης Θα πρέπει επίσης να αναφερθεί ότι οι μεταβλητές φάσης X(t) και V (t) του προαναφερόμενου παραδείγματος βρίσκονται σε άμεση σχέση με την ενέργεια που αποθηκεύει το σύστημα σε κάθε χρονική στιγμή t t 0 και προσδιορίζεται από την ακόλουθη σχέση: W (t) = W δυν (t) + W κιν (t) = 1 2 KX2 (t) + 1 2 MV 2 (t) (78) Η προαναφερόμενη μέθοδος ανάλυσης ή σύνθεσης των συστημάτων μπορεί να εφαρμοστεί ομοιότυπα ακόμη και στις περιπτώσεις εκείνες που δεν έχουμε παρόμοιες φυσικές σχέσεις στο σύστημα Βασικά το σύστημα περιγράφεται μαθηματικά με δύο ΔΕ πρώτης τάξης Οι δύο μεταβλητές που εμφανίζονται στη ΔΕ με την πρώτη παράγωγο αυτών είναι ακριβώς εκείνες που πρέπει να είναι γνωστές στην αρχική κατάσταση t = t 0, ώστε, από το σύστημα ΔΕ πρώτης τάξης, να προσδιοριστούν οι ελεύθερες κινήσεις του συστήματος, ή στην περίπτωση που υπάρχει σήμα εισόδου U(t) να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος Οι μεταβλητές αυτές στο εξής θα ονομάζονται μεταβλητές κατάστασης Επομένως από κάθε ΔΕ όπως αυτή της σχέσης (71) που περιγράφει ένα γραμμικό σύστημα δεύτερης τάξης: a 2 Ẍ(t) + a 1 Ẋ(t) + a 0 X(t) = U(t) (79) με απλή αντικατάσταση: X(t) = q 1 (t) Ẋ(t) = q 2 (t) (710) (711)
Ενότητα 72 7 προκύπτει το ακόλουθο σύστημα δύο ΔΕ πρώτης τάξης: q 1 (t) = q 2 (t) a 2 q 2 (t) + a 1 q 2 (t) + a 0 q 1 (t) = U(t) Λύνοντας ως προς q 2 έχουμε την ακόλουθη παράσταση που είναι όμοια με αυτές των σχέσεων (76) και (77): q 1 (t) = q 2 (t) q 2 (t) = a o a 2 q 1 (t) a 1 a 2 q 2 (t) + 1 a 2 U(t) (712) (713) Οι μεταβλητές κατάστασης q 1 (t) και q 2 (t) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παράσταση του επιπέδου φάσης ή γενικά για την παράσταση του επιπέδου κατάστασης, όπου η συμπεριφορά του συστήματος δεν εκφράζεται με τις αντίστοιχες τροχιές Η κατάσταση αυτή ή το επίπεδο κατάστασης προέκυψε από την εν μέρη κατ αναλογία και εν μέρη κατά γενίκευση του όρου των μεταβλητών φάσης που εξετάζει η θεωρία της μηχανικής Η νέα αυτή θεώρηση πραγμάτων θεωρείται επιβεβλημένη από το γεγονός ότι οι μεταβλητές φάσης της μηχανικής έχουν συγκεκριμένη σημασία ενώ στη γενική περίπτωση περιγραφής συστημάτων οι μεταβλητές αυτές μπορούν να παραστήσουν οποιαδήποτε φυσική μεταβλητή, όπως θερμοκρασία, πίεση, συγκέντρωση, ένταση και τάση ρεύματος, ή ακόμη και μεγέθη υπολογιστικά μη εκφραζόμενα φυσικά τα οποία λαμβάνουν συνάρτηση μεταβλητών κατάστασης Η συγκεκριμένη μέθοδος που εξετάστηκε στην περίπτωση συστημάτων δεύτερης τάξης μπορεί κατά αντιστοιχία να επεκταθεί και σε συστήματα n τάξης εισάγοντας μεταβλητές κατάστασης q n (t) Με την ακόλουθη τυπική αντικατάσταση: q 1 (t) = X(t), q 2 (t) = Ẋ(t),, q n(t) = dn 1 X(t) dt n 1 = X (n 1) (t) (714) μπορεί από κάθε ΔΕ n τάξης: a n X (n) + a n 1 X (n 1) + + a 1 Ẋ + a 0 X = U (715)
Ενότητα 72 8 να προκύψει το σύστημα των ακόλουθων n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: q 1 = q 2 q 2 = q 3 q n 1 = q n q n = a o a n q 1 a 1 a n q 2 a n 1 a n q n + 1 a n U (716) Οι n μεταβλητές κατάστασης q 2 (t), i = 1, 2,, n που προκύπτουν με την εφαρμογή της προαναφερόμενης μεθόδου είναι ακριβώς εκείνες οι μεταβλητές των οποίων οι αρχικές συνθήκες πρέπει να είναι γνωστές αν θα επιθυμούσαμε να λύσουμε τη διαφορική εξίσωση (715) με την κλασσική μέθοδο Βέβαια δεν είναι πάντα δυνατό με αυτή τη γενική μέθοδο εισαγωγής των μεταβλητών κατάστασης, να υπάρξει για κάθε μεταβλητή κατάστασης και η αντίστοιχη φυσική έννοια αυτής Οι μεταβλητές κατάστασης αποτελούν όμως ένα πλήθος από μεταβλητές των οποίων πρέπει να είναι γνωστές οι τιμές τους στη χρονική στιγμή t = t 0, ώστε με ταυτόχρονη γνώση των ΔΕ του συστήματος και του σήματος εισόδου αυτού U(t), να είναι δυνατός ο προσδιορισμός της δυναμικής συμπεριφοράς του συστήματος για όλες τις τιμές t t 0 Το πλήθος των μεταβλητών q i (t) μπορεί να παραστεί και με το ακόλουθο άνυσμα: q 1 (t) q 2 (t) q(t) = q n (t) (717)
Ενότητα 72 9 Στην περίπτωση του ταλαντωτή ελατηρίου-μάζας (σχήμα 71) οι δύο μεταβλητές κατάστασης ήταν ταυτόσημες με τις δύο μεταβλητές φάσης: q 1 (t) = X(t) q 2 (t) = V (t) Στο επίπεδο φάσης (σχήμα 72) ο δείκτης με αρχή των συντεταγμένων V, X και τέλος την κατάσταση (X(t), V (t)) του συστήματος στο συγκεκριμένο σημείο t t 0, μπορεί να θεωρηθεί ως ένα άνυσμα Επειδή ο χρόνος t είναι παράμετρος της τροχιάς της φάσης, η κορυφή του δείκτη του ανύσματος με μεταβαλλόμενο τον χρόνο κινείται επί της τροχιάς της φάσης Το συγκεκριμένο άνυσμα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: q(t) = X(t) = q 1 (t) V (t) 1 2 (t) Σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t 1 t 0 ο δείκτης του ανύσματος κατάστασης q υποδεικνύει ένα σημείο στο επίπεδο φάσης, φυσικά στη συγκεκριμένη περίπτωση θα πρέπει να μιλάμε για επίπεδο κατάστασης πια και όχι επίπεδο φάσης, το οποίο αντιπροσωπεύει την κατάσταση του συστήματος στη συγκεκριμένη χρονική στιγμή Οι δύο μεταβλητές κατάστασης που είναι ταυτόχρονα και στοιχεία του ανύσματος κατάστασης q προσδιορίζονται από την προβολή στους άξονες του επιπέδου κατάστασης Η επέκταση αυτή της γεωμετρικής θεώρησης σε συστήματα ανώτερης τάξης για ένα άνυσμα κατάστασης n διαστάσεων q, κατ αντιστοιχία με το άνυσμα της σχέσης (717) του οποίου ο δείκτης με μεταβαλλόμενο το χρόνο t περιγράφει στον n-διάστατο χώρο ένα επίπεδο κατάστασης Τα στοιχεία αυτού του ανύσματος κατάστασης στον n-διάστατο χώρο κατάστασης είναι οι μεταβλητές κατάστασης q i (t) του συστήματος Η γεωμετρική αυτή θεώρηση είναι σαφής και πιο κατανοητή για n = 3 Η γεωμετρική αυτή θεώρηση εξηγεί την ευρέως χρησιμοποιούμενη ορολογία «περιγραφή του χώρου κατάστασης» συστημάτων αυτόματης ρύθμισης Η συγκεφαλαίωση των μεταβλητών κατάστασης στο άνυσμα κατάστασης αποτελεί κατά κάποιο τρόπο τη βάση ώστε το σύστημα των n διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης, με την εισαγωγή του μητρώου ανυσμάτων, να παρίσταται ως μια γραμμική διαφορικά εξίσωση ανυσμάτων Για παράδειγμα από τη σχέση (716)
Ενότητα 72 10 προκύπτει η ακόλουθη παράσταση του μητρώου ανυσμάτων: d dt q 1 (t) q 1 (t) q 2 (t) q 2 (t) = = q n (t) q n (t) 0 1 0 0 0 0 1 0 a 0 a n a 0 a n a 2 a n a n 1 a n q 1 (t) 0 q 2 (t) 0 + U(t) 1 q n (t) a n dq(t) dt = q(t) = A q(t) + βu(t) (718) Το μητρώο A είναι ένα τετραγωνικό της μορφής (n, n), το οποίο στο εξής θα ονομάζεται μητρώο συστήματος Το άνυσμα β με n στοιχεία είναι το σύστημα εισόδου του συστήματος Το q είναι το γνωστό ήδη άνυσμα κατάστασης με τα n στοιχεία και τις μεταβλητές κατάστασης q i του συστήματος Το n είναι η τάξη του συστήματος οπότε σύμφωνα με τα προαναφερόμενα ένα σύστημα n τάξης έχει και n μεταβλητές κατάστασης Από τα προαναφερόμενα εύκολα συμπεραίνεται ότι με την τυπική εισαγωγή των μεταβλητών κατάστασης σύμφωνα με την (714), καθίσταται δυνατό για ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα n τάξης με μία είσοδο u, το οποίο περιγράφεται με μία διαφορική εξίσωση τύπου (715), να προσδιοριστεί η περιγραφή του χώρου κατάστασης υπό μορφή ανυσματικής εξίσωσης, q(t) = Aq(t) + βu(t) κατ αντιστοιχία με τη σχέση (718) τα n 2 στοιχεία a ij του μητρώου συστήματος A και τα n στοιχεία του ανύσματος εισόδου β μπορούν να προσδιοριστούν μονοσήμαντα από τους συντελεστές της ΔΕ (715) ή και αντίστροφα Ως έκφραση του αναλλοίωτου του περιγραφόμενου συστήματος, είναι σταθερά τα στοιχεία των A και β Συμπεραίνεται λοιπόν ότι οι σχέσεις (715) και (718) είναι δύο μαθηματικά ισοδύναμες σχέσεις για ένα και το αυτό σύστημα, φυσικά ενός συγκεκριμένου τύπου συστημάτων Επομένως η περιγραφή του χώρου κατάστασης (718) αποτελεί μία μέθοδο περιγραφής συστημάτων στην περιοχή του χρόνου και όπως θα αποδειχθεί και στη συνέχεια η μέθοδος αυτή αποτελεί ένα σοβαρό εργαλείο επίλυσης προβλημάτων της αυτόματης ρύθμισης και ιδιαίτερα επίλυσης προβλημάτων που έχουν σχέση με τον σχεδιασμό βέλτιστων συστημάτων ρύθμισης
Ενότητα 72 11 Για τον ταλαντωτή ελατηρίου-μάζας η περιγραφή του χώρου κατάστασης δίνεται από την ακόλουθη σχέση: q 1 (t) = 0 1 q 1 (t) q 2 (t) K f + 0 u(t) 1 q M M 2 (t) M q(t) = Aq(t) + βu(t) (719) Στη συγκεκριμένη περίπτωση το άνυσμα κατάστασης q περιέχει την μεταβλητή εξόδου του συστήματος που ενδιαφέρει τον δρόμο x(t), ως πρώτο στοιχείο q 1 = x Η ανυσματική ΔΕ (719) δίνει μόνο μία σχέση που υφίσταται μεταξύ της εισόδου του συστήματος u(t) στη συγκεκριμένη περίπτωση η δύναμη που δρα, και την κατάσταση q ή την παράγωγο αυτής q Η σχέση μεταξύ εισόδου και εξόδου που εκφράζεται άμεσα στη σχέση (75) δεν εκφράζεται εξίσου άμεσα και από τη σχέση (719) και το σήμα εξόδου που ενδιαφέρει δίνεται από την ακόλουθη σχέση: x(t) = q 1 (t) = [ ] 1 0 q 1 (t) q 2 (t) x(t) = C T q(t) (720) Συμπεραίνεται λοιπόν ότι στην περίπτωση που απαιτείται ειδική αναφορά στη σχέση που διέπει την είσοδο και έξοδο ενός συστήματος που εκφράζεται με περιγραφή του χώρου κατάστασης, τότε εκτός από την ανυσματική διαφορική εξίσωση, q(t) = Aq(t) + βu(t) απαιτείται και η εξίσωση εξόδου του συστήματος που δίνεται από την ακόλουθη σχέση: n x(t) = C T q(t) = C i q i (t) (721) i=1 Κάθε σήμα εισόδου x(t) ενός γραμμικού συστήματος, της μορφής όπως αυτών που προαναφέρθηκαν, είναι δυνατό να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των μεταβλητών κατάστασης όπως αυτή της σχέσης (721)
Ενότητα 72 12 Το άνυσμα C T ονομάζεται άνυσμα εξόδου Τα στοιχεία του ανύσματος εξόδου C i είναι σταθερά για τα συστήματα που είναι αναλλοίωτα στο χρόνο Από τα προαναφερόμενα συμπεραίνεται ότι κατά την ανάλυση ενός συστήματος ανώτερης τάξης η συνισταμένη διαφορική εξίσωση δεν είναι δυνατό να προκύψει σ ένα μόνο βήμα Σύμφωνα με την εσωτερική δομή του συστήματος η συνισταμένη διαφορική εξίσωση του συστήματος προκύπτει από την απαλοιφή των ενδιάμεσων μεταβλητών στις επί μέρους διαφορικές εξισώσεις οι οποίες συνήθως είναι πρώτης τάξης Με την εισαγωγή όμως της μεθόδου περιγραφής του χώρου κατάστασης αποδεικνύεται ότι η θεωρητική ανάλυση και σύνδεση συστημάτων με την προαναφερόμενη μέθοδο στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές φαίνεται πιο εύκολη σε σχέση με τη γνωστή μέθοδο της συνισταμένης διαφορικής εξίσωσης το γεγονός αυτό επιβεβαιώνεται και από την εξέταση του σταθερά διεγειρόμενου κινητήρα συνεχούς τάσης του σχήματος 73 Σχήμα 73: Σταθερά διεγειρόμενος κινητήρας συνεχούς ρεύματος με φορτίο i L A R A u e M ω J L u e = J A D Για την εξέταση του συστήματος του σχήματος 73 ισχύουν τα ακόλουθα: Ο άξονας δεν υφίσταται καμία στρέψη και συνεπώς η σταθερά στρέψης του ελατηρίου είναι C r Η δύναμη τριβής που δημιουργείται από την περιστροφική κίνηση είναι ανάλογη της ταχύτητας περιστροφής ω με τον συντελεστή D Η περιοχή εργασίας για την οποία ισχύει η γραμμικότητα της τάσης εισόδου u(t) και του σήματος εξόδου, αριθμός στροφών n = (30/π)ω, δεν θα την υπερβεί το σύστημα Για την ανάλυση του συγκεκριμένου παραδείγματος ακολουθείται η παρακάτω μέθοδος:
Ενότητα 72 13 1 Βασική εξίσωση για την ηλεκτρική πλευρά του συστήματος: di(t) u(t) = L A + R A i(t) + e(t) dt e(t) = c ϕ ω(t) = C e ω(t) 2 Βασική εξίσωση για τη ροπή που παράγει ο κινητήρας: M(t) = C ϕ Φi(t) = C m i(t) 3 Βασική εξίσωση για το μηχανικό μέρος του συστήματος M(t) = (J A + J L ) dω(t) dt J A + J L = J + Dω(t) Επομένως το σύστημα του σχήματος 73 περιγράφεται αρχικά από τις δύο ακόλουθες ΔΕ: u(t) = L A di(t) dt + R A i(t) + C e ω(t) (722) C m i(t) = J dω dt + Dω(t) (723) Η πρώτη ΔΕ προκύπτει από την εφαρμογή των βασικών κανόνων του ηλεκτρικού κυκλώματος του κινητήρα και η δεύτερη από περιστροφική κίνηση Για την εισαγωγή των μεταβλητών κατάστασης στο συγκεκριμένο σύστημα, υπάρχουν προφανώς οι δύο ακόλουθοι τρόποι: Πρώτος τρόπος Επειδή οι δύο ΔΕ (722) και (723) που καταστρώθηκαν με εφαρμογή των βασικών φυσικών κανόνων είναι ήδη πρώτης τάξης, είναι δυνατή η άμεση μετατροπή αυτών στη μέθοδο περιγραφής του χώρου κατάστασης: di(t) dt dω(t) dt = R A L A i(t) C e L A ω(t) + 1 L A u(t) = C m J i(t) D J ω(t)
Ενότητα 72 14 Οι δύο μεταβλητές i και ω, δηλαδή ένταση του στάτορα και ταχύτητα περιστροφής που εμφανίζονται με την πρώτη παράγωγο αυτών αποτελούν τις μεταβλητές κατάστασης του ανύσματος κατάστασης: i(t) q(t) = (724) ω(t) Έτσι προκύπτει η ακόλουθη ανυσματική ΔΕ d dt i(t) = R L A A C ω(t) mj C e 1 L A i(t) + L A (725) D ω(t) 0 J Το σήμα εξόδου «αριθμός στροφών» εκφράζεται ως γραμμική σχέση των μεταβλητών κατάστασης q 1 = i, q 2 = ω ως ακολούθως: x(t) = n(t) = [ ] i(t) 0 30 π (726) ω(t) Επομένως σύμφωνα με τον προαναφερόμενο πρώτο τρόπο προκύπτει η ακόλουθη περιγραφή του χώρου κατάστασης του συστήματος του σχήματος 73 i q =, A = R A /L A ω C m /J C e /L A, β = 1/L A, CT = D/J 0 [ ] 0 30/π (727) Δεύτερος τρόπος Για το ίδιο σύστημα (σχήμα 73) θα καταστρωθεί μια δεύτερη περιγραφή του χώρου κατάστασης με μία πιο γενική μέθοδο
Ενότητα 72 15 Από τις δύο ΔΕ (722) και (723) με απαλοιφή της ενδιάμεσης μεταβλητής i(t) θα καταστρωθεί μία συνισταμένη ΔΕ δεύτερης τάξης του ω(t): L A J d 2 ( ω C m dt + RA J 2 C m + L ) ( ) AD dω C m dt + RA D + C e ω = u (728) C m Η σχέση (728) είναι του τύπου της σχέσης (79) και συνεπώς μπορεί με την τυπική εισαγωγή των μεταβλητών κατάστασης, q 1 (t) = ω(t), q 2 (t) = ω(t), να μεταφερθεί στη μορφή των σχέσεων (712) και (713) με την αντίστοιχη περιγραφή του χώρου κατάστασης Οπότε εκφραζόμενη με το μητρώο ανυσμάτων προκύπτει η ακόλουθη σχέση: d dt ω(t) = ω(t) 0 1 ω(t) ) + 0 + D ω(t) J R AD+C m C e L A J ( R A L A C m L A J u(t) (729) Οι δύο μεταβλητές κατάστασης του συστήματος, γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση του άξονα του κινητήρα, είναι και σ αυτή την περίπτωση πραγματικά φυσικά μεγέθη Το σήμα εξόδου αριθμός στροφών n του άξονα του ηλεκτρικού κινητήρα, εκφράζεται ως γραμμική σχέση των μεταβλητών κατάστασης q 1 = ω και q 2 = ω με την ακόλουθη σχέση: [ ] ω(t) x(t) = n(t) = 30/π 0 (730) ω(t) Επομένως με την εφαρμογή του δεύτερου τρόπου προκύπτει για το σύστημα του σχήματος 73 η ακόλουθη περιγραφή χώρου κατάστασης: ω q =, A = ω 0 1 R AD+C m C e L A J ( R A L A + D J ), β = 0 C m L A J, CT = [ ] 30/π 0 (731)
Ενότητα 72 16 Διαπιστώνεται ότι η περιγραφή του χώρου κατάστασης ενός συστήματος δεν είναι μονοσήμαντη αλλά υπάρχει κάποια ελευθερία στην εισαγωγή των μεταβλητών κατάστασης Πρέπει όμως να τονιστεί ότι η εφαρμογή του γενικού «δεύτερου τρόπου» σε συστήματα ανώτερης της δεύτερης τάξης οδηγεί συνήθως σε μεταβλητές κατάστασης που δεν έχουν αντίστοιχη φυσική επεξήγηση Το γεγονός αυτό αποτελεί σοβαρό μειονέκτημα στον σχεδιασμό ΣΑΡ και ιδιαίτερα στην περίπτωση σχεδιασμού και κατασκευής βέλτιστων ΣΑΡ, που στη βάση των μεταβλητών κατάστασης απαιτείται η μέτρηση πολλών, συνήθως όλων, των μεταβλητών κατάστασης Η προαναφερόμενη αναγκαιότητα της μέτρησης της κατάστασης βρίσκει ανταπόκριση ακόμη και στην περίπτωση συστημάτων ανώτερης τάξης στην εφαρμογή του «πρώτου δρόμου» Σε συνδυασμό μάλιστα με την αποθηκευμένη ενέργεια του υπό εξέταση συστήματος δίνεται η δυνατότητα μια γενικότερης αντιμετώπισης του συστήματος Για ένα μεγάλο αριθμό συστημάτων και από τεχνικής πλευράς πολύ σημαντικής ομάδας συστημάτων, ηλεκτρομηχανικά, ηλεκτρικά και συστήματα χημικής τεχνολογίας, είναι δυνατό η δυναμική συμπεριφορά του συστήματος να συνδυαστεί άμεσα με την αποθηκευμένη στο σύστημα ενέργεια Είναι γνωστό ότι κάθε μεταβατικό φαινόμενο ή κάθε μεταβολή της δυναμικής του συστήματος οφείλεται στην νέα κατανομή της ενέργειας στο σύστημα Ο αριθμός των ανεξάρτητων δυνατοτήτων αποθήκευσης ενέργειας σε ένα σύστημα είναι ίσος του αριθμού των μεταβλητών κατάστασης και συνεπώς ίσος της τάξης του συστήματος Όταν οι ενέργειες που αποθηκεύει το σύστημα μπορούν να εκφραστούν με τετράγωνο αντίστοιχων φυσικών μεγεθών, και αυτό είναι δυνατό για τα προαναφερόμενα συστήματα και το παράδειγμα (σχήμα 73), σ αυτά τα φυσικά μεγέθη υπάρχουν και οι μεταβλητές κατάστασης Με την προαναφερόμενη σκέψη δίνεται στη συνέχεια μία νέα διάσταση στην ανάλυση ΣΑΡ Το σύστημα του σχήματος 73 με την προϋπόθεση, ότι C r, έχει τις δύο ακόλουθες ανεξάρτητες ενέργειες αποθηκευμένες (χώρηση ενέργειας): i) Η αυτεπαγωγή του κυκλώματος του στάτορα του ηλεκτρικού κινητήρα αποθηκεύει την μαγνητική ενέργεια 1 2 L Ai 2 (t)
Ενότητα 73 17 ii) Το σύνολο της περιστρεφόμενης μάζας με τη ροπή αδράνειας J αποθηκεύει την κινητική ενέργεια 1 2 Jω2 (t) Το σύστημα είναι δεύτερης τάξης και ως μεταβλητές κατάστασης επιλέγονται τα φυσικά μεγέθη i(t) και ω(t) τα οποία στις σχέσεις των αποθηκευμένων ενεργειών εμφανίζονται στο τετράγωνο: q 1 (t) = i(t), q 2 (t) = ω(t) Είναι γνωστό ότι και οι δύο μεταβλητές κατάστασης μπορούν να μετρηθούν με μεγάλη ευχέρεια Από τις εξισώσεις που περιγράφουν το σύστημα στο συγκεκριμένο παράδειγμα, σχέσεις (722) και (723) προσδιορίζεται μια ανυσματική ΔΕ τύπου: d dt i(t) = a 11 a 12 i(t) + β 1 u(t) ω(t) a 21 a 22 ω(t) β 2 και για το συγκεκριμένο παράδειγμα είναι η σχέση (725) 73 Εξισώσεις κατάστασης γραμμικών συστημάτων με πολλαπλά σήματα εισόδου και εξόδου Γενικά για κάθε γραμμικό στο χρόνο αναλλοίωτο σύστημα n τάξης με m σήματα εισόδου μπορεί να καταστρωθεί το ακόλουθο σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: q 1 = a 11 q 1 + a 12 q 2 + + a 1n q n + β 11 u 1 + β 12 u 2 + + β 1m u m q 2 = a 21 q 1 + a 22 q 2 + + a 2n q n + β 21 u 1 + β 22 u 2 + + β 2m u m q n = a n1 q 1 + a n2 q 2 + + a nn q n + β n1 u 1 + β n2 u 2 + + β nm u m (732) εκφραζόμενο με το μητρώο ανυσμάτων προκύπτει η ακόλουθη ανυσματική ΔΕ: q = Aq + βu (733)
Ενότητα 73 18 όπου: q 1 q 2 q είναι το άνυσμα κατάστασης, q = q n (n,1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A είναι το μητρώο του συστήματος, A = a n1 a n2 a nn β 11 β 12 β 1m β 21 β 22 β 2m B είναι το μητρώο εισόδου, B = β n1 β n2 β nm (n,n) (n,m) Γενικά κάθε μεταβλητή κατάστασης q i δεν αποτελεί οπωσδήποτε και ένα σήμα εξόδου του συστήματος, ακόμη πρέπει να τονιστεί ότι κάθε μεταβλητή κατάστασης δεν παριστάνει οπωσδήποτε και ένα πραγματικό φυσικό μέγεθος του συστήματος Μόνο γενικά μπορεί να θεωρηθεί ότι τα σήματα εξόδου ενός συστήματος παριστάνουν φυσικά μεγέθη Για παράδειγμα αν δεχτούμε ότι ένα σύστημα έχει r σήματα εξόδου, τότε στο συγκεκριμένο γραμμικό σύστημα πρέπει τα r μεγέθη εξόδου να μπορούν να σχηματιστούν από γραμμικό συνδυασμό συγκεκριμένων μεταβλητών κατάστασης (επειδή ισχύει η αρχή υπέρθεσης) Επομένως είναι δυνατό κάθε σήμα εξόδου, για παράδειγμα το K σήμα εξόδου ενός γραμμικού συστήματος, να παραστεί με την ακόλουθη σχέση: n X K = C Ki q i και K = 1, 2,, r i=1 Στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι ορισμένα στοιχεία C Ki ίσα με μηδέν
Ενότητα 73 19 Σε μερικές σπάνιες περιπτώσεις οι μεταβλητές εξόδου (σήματα εξόδου) μπορούν να εξαρτώνται άμεσα από συγκεκριμένες μεταβλητές εισόδου (σήματα εισόδου) του συστήματος, οπότε για το K σήμα εξόδου ισχύει: n m X K = C Ki q i + d Kj u j i=1 j=1 Στην προηγούμενη σχέση πολλοί συντελεστές d kj είναι επίσης ίσοι με μηδέν Από τα προαναφερόμενα συμπεραίνεται ότι για τον υπολογισμό των r μεταβλητών εξόδου ενός γραμμικού στο χρόνο αναλλοίωτου συστήματος ισχύει το ακόλουθο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων: X 1 = c 11 q 1 + c 12 q 2 + + c 1n q n + d 11 u 1 + d 12 u 2 + + d 1m u m X 2 = c 21 q 1 + c 22 q 2 + + c 2n q n + d 21 u 1 + d 22 u 2 + + d 2m u m X r = c r1 q 1 + c r2 q 2 + + c rn q n + d r1 u 1 + d r2 u 2 + + d rm u m (734) Στη συνέχεια δίνεται η σχέση (734) εκφραζόμενη με τα μητρώα A και D: x = Cq + Du (735) όπου: C = (C ij ) (r, n) το μητρώο εξόδου και D = (d ij ) (r, m) το μητρώο εισόδου του συστήματος Γενικά πρέπει να σημειωθεί ότι τα μητρώα C και D περιέχουν συνήθως πολλά μηδενικά στοιχεία Ένα γραμμικό αναλλοίωτο στο χρόνο σύστημα με πολλαπλές εισόδους και εξόδους περιγράφεται στη γενικότερη περίπτωση με τις ακόλουθες εξισώσεις κατάστασης: q = Aq + Bu, X = Cq + Du
Ενότητα 73 20 Επειδή το σύστημα είναι αναλλοίωτο στο χρόνο τα στοιχεία των μητρώων A, B, C, και D είναι σταθερά Ο αριθμός των μεταβλητών κατάστασης q i, δηλαδή ο αριθμός των στοιχείων του ανύσματος κατάστασης q, προσδιορίζει την τάξη του συστήματος και συνεπώς προσδιορίζει ταυτόχρονα και τον αριθμό σειρών του τετραγωνικού μητρώου A και τις στήλες των B και C Στη συνέχεια εξετάζεται το ηλεκτρικό σύστημα του σχήματος 74 Σχήμα 74: Ηλεκτρικό δίκτυο i R L1 L 1 u L 1 2 i 2 U 1 C u C U 2 Οι μεταβλητές εισόδου και εξόδου του ηλεκτρικού δικτύου του σχήματος 74 είναι αντίστοιχα: u = u 1, x = u L1 u 2 u c Το σύστημα έχει τις τρεις ακόλουθες ανεξάρτητες μεταξύ τους αποθήκες ενέργειας: L 1 : E 1 = 1 2 L 1i 2 1 L 2 : E 2 = 1 2 L 2i 2 2 C : E 3 = 1 2 Cu2 c Συμπεραίνεται ότι το σύστημα είναι τρίτης τάξης και για την περιγραφή του απαιτούνται τρεις μεταβλητές κατάστασης Ως μεταβλητές κατάστασης επιλέγονται οι τρεις μεταβλητές που υπάρχουν για τον προσδιορισμό των ενεργειών (μεταβλητές στο τετράγωνο) οι οποίες μπορούν να μετρηθούν με μεγάλη ευκολία: i 1 q 1 q = i 2 = q 2 u c q 3 (736)
Ενότητα 73 21 Στη συνέχεια δίνονται οι βασικές εξισώσεις που προκύπτουν από την εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff στο ηλεκτρικό δίκτυο του σχήματος 74 u 1 = i 1 R + L 1 di 1 dt + u c u 2 = L 2 di 2 dt + u c du c dt = 1 C (i 1 + i 2 ) (737) (738) (739) Με ανασχηματισμό των σχέσεων (737), (738) και (739) προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις με τις μεταβλητές κατάστασης: di 1 dt = R L 1 i 1 1 L 1 u c + 1 L 1 u 1 di 2 dt = 1 L 2 u c + 1 L 2 u 2 du c dt = 1 C i 1 + 1 C i 2 (740) (741) (742) με τις διαφορικές εξισώσεις ανυσμάτων: d dt i 1 R L 1 0 1 1 L 1 i 1 L 1 0 u 1 i 2 = 0 0 1 L 2 i 2 + 1 0 L 2 u 2 1 1 u c 0 u C C c 0 0 q = Aq + Bu (743) Τα μεγέθη (σήματα) εξόδου δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: x 1 = u L1 = L 1 di 1 dt, x 2u c (744) Το μέγεθος εξόδου x 2 είναι το ίδιο με τη μεταβλητή κατάστασης q 3 = u c Το μέγεθος εξόδου (σήμα) x 1 δεν προκύπτει άμεσα και συνεπώς, σύμφωνα με τα προαναφερόμενα μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των μεταβλητών κατάστασης
Ενότητα 75 22 και των μεγεθών (σημάτων) εισόδου: x 1 = u L1 = R i1 u c + u 1 (745) Επομένως για το άνυσμα των σημάτων εισόδου του συστήματος του σχήματος 74 ισχύει: u L1 = R 0 1 i 1 i 2 + 1 0 u 1 (746) u c 0 0 1 0 0 u 2 u c x = Cq + Du 74 Ορισμός της κατάστασης Σύμφωνα με τα προαναφερόμενα είναι δυνατό με τη βοήθεια των μεταβλητών κατάστασης να περιγραφούν πλήρως γραμμικά στον χρόνο αναλλοίωτα συστήματα Στον χρόνο t 0 κατάστασης ενός συστήματος είναι το μικρότερο πλήθος δεδομένων, συνήθως ένα πλήθος από αριθμούς q 1 (t 0 ), q 2 (t 0 ), από τους οποίους είναι δυνατός ο μονοσήμαντος προσδιορισμός της συμπεριφοράς του συστήματος για όλες τις τιμές του t t 0 Προϋπόθεση για τη μονοσήμαντη περιγραφή της συμπεριφοράς του συστήματος είναι ότι πρέπει να είναι γνωστές όλες οι εξωτερικές επιρροές (σήματα εισόδου) που επιδρούν στο σύστημα για όλες τις τιμές t t 0 Η πληροφορία που περιέχει το πλήθος των αριθμών q 1 (t 0 ), q 2 (t 0 ), είναι ακριβώς εκείνο που πρέπει να είναι γνωστό για την περιγραφή του συστήματος για τιμές (t t 0 ), ώστε με γνώση του ανύσματος εισόδου u(t) και των λειτουργικών εξισώσεων, να καθίστανται δυνατός ο προσδιορισμός της συμπεριφοράς του συστήματος για τιμές t t 0 Με τον ορισμό αυτό για την κατάσταση ενός συστήματος διαπιστώνεται η γενικά ισχύ της μεθόδου για τα μη γραμμικά συστήματα Η μέθοδος περιγραφής συστημάτων με τις μεταβλητές κατάστασης μπορεί να εφαρμοστεί και σε συστήματα ασυνεχή ως προς το χρόνο Στη συγκεκριμένη περίπτωση οι λειτουργικές εξισώσεις των ασυνεχών ως προς το χρόνο συστημάτων δεν είναι διαφορικές εξισώσεις αλλά εξισώσεις διαφορών
Ενότητα 75 23 75 Παράσταση των εξισώσεων κατάστασης ως διάγραμμα ροής μητρώων Σύμφωνα με τα προαναφερόμενα ένα γραμμικά αναλλοίωτο σύστημα με m εισόδους, r εξόδους και n τάξης μπορεί να περιγραφεί με τις μεταβλητές κατάστασης με τις ακόλουθες σχέσεις: q = Aq(t) + Bu(t) x(t) = Cq(t) + Du(t) (747) Οι δύο εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν ως ένα διάγραμμα ροής μητρώων (σχήμα 75) Σχήμα 75: Διάγραμμα ροής μητρώων D u q q B (m, 1) (n, m) (r, m) (n, 1) (n, 1) C (r, n) x (r, 1) A (n, n) Από το σχήμα 75 προκύπτει ο τρόπος σχηματισμού των εξισώσεων κατάστασης (747), καθώς επίσης οι ίδιες οι εξισώσεις κατάστασης Τα αριστερά μέρη των εξισώσεων κατάστασης (747) δίνονται στο διάγραμμα ροής μητρώων (σχήμα 75) ως έξοδοι των σημείων άθροισης Η έξοδος κάθε βαθμίδας μητρώου προκύπτει ως μητρώο που βρίσκεται μέσα στη βαθμίδα ή άνυσμα που εισέρχεται στην βαθμίδα, δηλαδή ισχύει ο ακόλουθος γενικός κανόνας: Κατά την ανάγνωση των σχέσεων που διέπουν το διάγραμμα ροής μητρώων, η σειρά των παραγόντων στον πολλαπλασιασμό των μητρώων είναι αντίθετη της ροής του σήματος
Ενότητα 76 24 Το διάγραμμα ροής μητρώων περιέχει έναν «εσωτερικό βρόγχο» που εκφράζει την ομογενή ΔΕ ανυσμάτων: q = Aq Ο ολοκληρωτής που βρίσκεται στον εσωτερικό βρόγχο του διαγράμματος ροής μητρώων είναι συμβολικός και εκφράζει την μοναδική «χρονική πράξη» (τέλεση) που υπάρχει στο σύστημα Οι υπόλοιποι κλάδοι του διαγράμματος ροής μητρώων εκφράζουν καθαρά αλγεβρικές σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των ανυσμάτων των σημάτων Από τα προαναφερόμενα εύκολα συμπεραίνεται ότι η δυναμική συμπεριφορά και η ευστάθεια του συστήματος πρέπει να εξεταστούν σε σχέση με τον εσωτερικό βρόγχο και συνεπώς τα συγκεκριμένα συμπεράσματα μπορούν να προκύψουν από την εξέταση της ομογενούς ΔΕ του συστήματος ή από τη δομή του μητρώου του συστήματος A 76 Εξισώσεις κατάστασης σύνθετων συστημάτων Στην πράξη είναι πολύ συχνές εκείνες οι περιπτώσεις κατά τις οποίες ένα σύστημα αποτελείται από τη διασύνδεση περισσότερων υποσυστημάτων των οποίων τα μαθηματικά μοντέλα είναι γνωστά, δηλαδή είναι γνωστές οι ανυσματικές ΔΕ των υποσυστημάτων και ενδιαφέρει η ανυσματική ΔΕ του συστήματος που προκύπτει από τη σύνθεση των επιμέρους υποσυστημάτων 761 Συνδεσμολογία σε σειρά Με το παράδειγμα της εν σειρά συνδεσμολογίας δύο συστημάτων θα υποδειχθεί ο τρόπος προσδιορισμού της ανυσματικής ΔΕ του συστήματος, που προέκυψε από τη σύνθεση των δύο υποσυστημάτων, εφαρμόζοντας το διάγραμμα ροής μητρώων Δίνονται τα δύο ακόλουθα υποσυστήματα: Σύστημα 1 : q 1 = A 1 q 1 + B 1 u n 1 τάξης x 1 = C 1 q 1 m 1 εισόδους, r 1 εξόδους Σύστημα 2 : q 2 = A 2 q 2 + B 2 u 2 n 2 τάξης x 2 = C 2 q 2 m 2 = r 1 εισόδους, r 2 εξόδους Στη συγκεκριμένη περίπτωση ο αριθμός των εξόδων του πρώτου συστήματος είναι ίσος του αριθμού των εισόδων του δεύτερου συστήματος και συνεπώς ως συνθήκη
Ενότητα 76 25 ζεύξης ισχύει η ακόλουθη σχέση: x 1 = u 2 τύπου (r 1, 1) Στο σχήμα 76 δίνονται οι προαναφερόμενες σχέσεις των δύο συστημάτων ως διάγραμμα ροής μητρώων Σχήμα 76: Εν σειρά συνδεσμολογία δύο συστημάτων (i) u 1 q 1 q 1 x 1 u 2 q 2 q 2 x 2 B 1 C 1 B 2 C 2 A 1 A 2 (ii) u 1 B 1 q 1 q 1 C 1 B 2 q 2 q 2 C 2 x 2 A 1 A 2 (iii) u q q [0 ] C 2 x 0 A 1 0 B 2 C 1 A 2 Από το σχήμα 76 διαπιστώνεται ότι το άνυσμα q 1 επηρεάζει μέσω B 2 C 1 την παράγωγο q 2 Στη συγκεκριμένη περίπτωση πρέπει να σημειωθεί ότι τα μητρώα C 1 και B 2 στο διάγραμμα ροής μητρώων πρέπει να πολλαπλασιαστούν με τη σειρά που είναι αντίθετη της κατεύθυνσης της ροής του σήματος Επομένως το μητρώο ζεύξης είναι B 2 C 1, και είναι τύπου (n 2, n 1 ) Το άνυσμα κατάστασης του συνολικού συστήματος 76iii πρέπει να περιέχει τα ανύσματα κατάστασης των επιμέρους συστημάτων: q q = 1 q 2 (n 1 +n 2,1)
Ενότητα 76 26 Το άνυσμα εισόδου u του συνολικού συστήματος δίνεται από το άνυσμα εισόδου u 1 : u = u 1 αντίστοιχα ισχύει και για το άνυσμα εξόδου: x = x 2 Από το σχήμα 76ii προκύπτει η ακόλουθη ανυσματική ΔΕ: q 1 = A 1 q 1 + 0q 2 + B 1 u 1 q 2 = B 2 C 1 q 1 + A 2 q 2 + 0u 1 Λαμβάνοντας υπόψη ότι u 1 = u τότε οι προηγούμενες σχέσεις μπορούν να εκφραστούν με τα ακόλουθα μητρώα: q 1 = A 1 0 q 1 + B 1 u q 2 B 2 C 1 A 2 q 2 0 οπότε με q προκύπτει: A 1 0 q = q + B 1 u B 2 C 1 A 2 0 επομένως το μητρώο συστήματος της σε σειρά συνδεσμολογίας του πρώτου και δεύτερου υποσυστήματος δίνεται από την ακόλουθη σχέση: A 1 0 A = B 2 C 1 A 1 (n 1 +n 2,n 1 +n 2 ) Το μητρώο εισόδου της σε σειρά συνδεσμολογίας είναι: B = B 0 (n 1 +n 2,m 1 )
Ενότητα 76 27 Το 0 μητρώο της προηγούμενης σχέσης είναι τύπου (n 2, m 1 ) Σύμφωνα με το σχήμα 76ii ισχύει: x = 0q 1 + C 2 q 2 Εκφραζόμενη με μητρώο η προηγούμενη σχέση προκύπτει: x = ] [0 C 2 q [ 1 = q 2 0 C 2 ] q και συνεπώς για το μητρώο εξόδου της σε σειρά συνδεσμολογίας ισχύει: ] C = [0 C 2 (r 2,n 1 +n 2 ) Η 0-βαθμίδα που περιέχεται στην προηγούμενη σχέση είναι τύπου (r 2, n 1 ) διάγραμμα ροής μητρώων του συνολικού συστήματος δίνεται στο σχήμα 76iii Το Με την περιγραφή της σε σειρά συνδεσμολογίας δύο συστημάτων υποδείχτηκε ο τρόπος προσδιορισμού των εξισώσεων κατάστασης σύνθετων συστημάτων, τα οποία προκύπτουν από την συνδεσμολογία περισσότερων υποσυστημάτων Η ίδια διαδικασία με τα ίδια βήματα ακολουθείται και για τον προσδιορισμό των εξισώσεων κατάστασης της παράλληλης ή κυκλικής συνδεσμολογίας δύο υποσυστημάτων 762 Κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης από περίπλοκα διαγράμματα βαθμίδων με εφαρμογή των μητρώων ζεύξης Δίνεται το διάγραμμα βαθμίδων ενός περίπλοκου συστήματος με οποιεσδήποτε επιμέρους συνδεσμολογίες βαθμίδων, m εξωτερικές εισόδους και r εξόδους (σχήμα 77) Το σύστημα του σχήματος 77 αποτελείται από l συνδεδεμένα μεταξύ τους υποσυστήματα S i τα οποία έχουν από ένα σήμα εισόδου και εξόδου Σχήμα 77: Σύστημα περισσότερων μεταβλητών u 1 u 2 v i S i w i x 1 x 2 u m i = 1, 2,, l x r
Ενότητα 76 28 Συστήματα όπως το προαναφερόμενο συναντώνται πολύ συχνά κατά την θεωρητική ανάλυση συστημάτων Το πρόβλημα στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι, για παράδειγμα στη διάρκεια της φάσης προετοιμασίας σχεδιασμού ενός συστήματος με βέλτιστη ρύθμιση, η περιγραφή του συστήματος με τη βοήθεια μεταβλητών κατάστασης Κάθε επιμέρους σύστημα S i με τη βοήθεια του σύνθετου συστήματος περιγράφεται με μια συνάρτηση μεταφοράς, σύμφωνα με την ακόλουθη σχέση: w i (s) v i (s) = s i j=0 n i j=0 b ij s j a ij s j, s i n i (748) Οι ζεύξεις που υπάρχουν για τα l επιμέρους συστήματα υποδεικνύονται στο διάγραμμα βαθμίδων με τις γραμμές σήματος Η μεταφορά του περίπλοκου διαγράμματος βαθμίδων ενός σύνθετου συστήματος στη περιγραφή του χώρου κατάστασης του συνολικού συστήματος περιλαμβάνει τα ακόλουθα τρία βήματα: 1 Μεταφορά από τη μορφή περιγραφής των l υποσυστημάτων με τη συνάρτηση μεταφοράς, δίνεται από τη σχέση (748), στην περιγραφή με τη βοήθεια των μεταβλητών κατάστασης 2 Εντοπισμός των σχέσεων ζεύξης που υφίσταται μέσω γραμμών σημάτων στο διάγραμμα βαθμίδων και παράσταση αυτών υπό μορφή σχήματος 3 Κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης για το συνολικό σύστημα από τις l εξισώσεις κατάστασης για τα l υποσυστήματα που καταστρώθηκαν στο πρώτο βήμα, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις που προσδιορίστηκαν στο δεύτερο βήμα και το σχήμα ζεύξης του διαγράμματος Ο τρόπος επίλυσης του προβλήματος που απαιτεί το πρώτο βήμα εξηγείται στην παράγραφο 77 που ακολουθεί στη συνέχεια, όπου αναφέρονται οι πιο σημαντικές μέθοδοι κατάστρωσης των εξισώσεων κατάστασης ενός συστήματος με μία είσοδο και μία έξοδο το οποίο περιγράφεται με τη συνάρτηση μεταφοράς σύμφωνα με τη σχέση (748) Εφαρμόζοντας το πρώτο βήμα κατά κάποιο τρόπο ρουτίνας προκύπτουν οι εξισώσεις κατάστασης των l υποσυστημάτων s i : q i = A i q i + b i v i, i = 1, 2,, l (749)
Ενότητα 76 29 w i = C T i q i + d i v i, i = 1, 2,, l (750) Το άνυσμα κατάστασης q i του i υποσυστήματος περιέχει, σύμφωνα με την τάξη n i και n i μεταβλητές κατάστασης Για να συμπεριληφθούν οι σχέσεις ζεύξης (διασύνδεσης) και η μαθηματική περιγραφή αυτών υπάρχουν επίσης περισσότεροι τρόποι: Η είσοδος v i του i υποσυστήματος S i στο πολύπλοκο διάγραμμα βαθμίδων στη γενική περίπτωση μπορεί να παραστεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός όλων των εξωτερικών εισόδων u 1, u 2,, u m και ένας γραμμικός συνδυασμός όλων των εξόδων w j όλων των άλλων (l 1) υποσυστημάτων (σχήμα 78) Σχήμα 78: Για τη διέγερση ενός υποσυστήματος S i (i = 1, 2,, l) ως στοιχείο ενός πολύπλοκου διαγράμματος βαθμίδων e i1 u 1 i = 1, 2,, m e ij u j e im u m + + v i S i w i i = 1, 2,, l j i k i1 w 1 k ij w j k il w l + Η μαθηματική έκφραση των προαναφερόμενων είναι η ακόλουθη σχέση: m v i = e ij u j + j=1 l K ij w j (751) j=1 j i ή υπό μορφή ανυσμάτων: v i = e T i u + K T i w (752) όπου: ] e T i = [e i1 e i2 e im (753) ] K T i = [K i1 K i2 K i(i 1) 0 K i(i+1) K il (754)
Ενότητα 76 30 u είναι το άνυσμα των εξωτερικών εισόδων του συνολικού συστήματος και w το άνυσμα εξόδου των l υποσυστημάτων: u 1 w 1 u 2 w 2 u =, w = u m w l Η διέγερση του i υποσυστήματος που δίνεται στο σχήμα 78 και περιγράφεται με τις σχέσεις (751) και (752) προϋποθέτει ότι το i υποσύστημα δεν επιτρέπεται να έχει δική του «άκαμπτη» (k R = 1) ανατροφοδότηση, δηλαδή απαιτείται από το περίπλοκο διάγραμμα βαθμίδων να μην έχει κανένα υποσύστημα της μορφής όπως αυτό του σχήματος 79 Επειδή όμως η συγκεκριμένη περίπτωση στην πράξη συναντάται και μάλιστα τακτικά για αυτό το λόγο ακολουθείται η εξής μέθοδος Σχήμα 79: Υποσύστημα με άκαμπτη ανατροφοδότηση v i G i (s) w i v i Si Ο βρόχος με την «άκαμπτη» ανατροφοδότηση (σχήμα 79) αντικαθίστανται ως ένα i υποσύστημα S i με την συνολική συνάρτηση μεταφοράς αυτού: S i : w i (s) v i (s) = G i (s) 1 + v i G i (s) (755) Μετά την προαναφερόμενη αντικατάσταση των βρόχων με άκαμπτη ανατροφοδότηση, με τη συνολική συνάρτηση μεταφοράς (755) αυτών, εφαρμόζεται το πρώτο βήμα για την κατάστρωση των εξισώσεων κατάστασης (749), (750) Για τον προσδιορισμό των εξισώσεων κατάστασης: q = Aq + Bu (756)
Ενότητα 76 31 x = Cq + Du (757) του συνολικού συστήματος είναι σημαντικό να λεχθεί ότι το άνυσμα κατάστασης q του συνολικού συστήματος, σύμφωνα με τον ορισμό των μεταβλητών κατάστασης, αποτελείται από τα l ανύσματα κατάστασης q i των υποσυστημάτων: q = q 1 q 2 q l (758) Οι σχέσεις ζεύξης που υπάρχουν στο εξεταζόμενο διάγραμμα βαθμίδων μπορούν να εκφραστούν μόνο μέσων μητρώων A, B, C και D των εξισώσεων κατάστασης (756), (757) για το συνολικό σύστημα Με q από τη σχέση (758) και εφαρμογή των εξισώσεων (749), (750) και (752) που ισχύουν για κάθε υποσύστημα μπορούν να καταστρωθούν οι ακόλουθες εξισώσεις: q 1 q 2 q l = A 1 A 2 A l q 1 q 2 q l + β 1 β 2 β l e T 1 e T 2 e T l u + K T 1 K T 2 K T l w (759) δηλαδή: q = A D q + B D (Eu + Kw) (760) όπου: A D = διαγa i i = 1, 2,, l (761) B D = διαγβ i i = 1, 2,, l (762)
Ενότητα 76 32 και E = e T 1 e T 2 e T l = (e ij ) i = 1, 2,, l j = 1, 2,, m (763) και K = K T 1 K T 2 K T l = 0 K 12 K 1l K 21 0 K 2l K l1 K l2 0 (764) w 1 w 2 w l = C T 1 C T 2 C T l q 1 q 2 q l + d 1 d 2 d l e T 1 e T 2 e T l u + K T 1 K T 2 K T l w (765) δηλαδή: w = C D q + D D (Eu + Kw) (766) όπου: C D = διαγ C T i i = 1, 2,, l (767) D D = διαγ d i i = 1, 2,, l (768) Ο σχηματισμός των υπερ-διαγώνιων μητρώων A D, B D, και C D καθώς επίσης του διαγωνίου μητρώου D D είναι σχετικά εύκολος στη βάση των εξισώσεων κατάστασης (749), (750) για τα l υποσυστήματα Η κατάστρωση των μητρώων E και K που εκφράζουν τις ζεύξεις του πολύπλοκου διαγράμματος βαθμίδων, γίνεται ευκολότερη με το σχήμα 710 Οι ζεύξεις των υποσυστημάτων του εξεταζόμενου πολύπλοκου διαγράμματος βαθμίδων με τις m εξωτερικές εισόδους και οι ζεύξεις των υποσυστημάτων μεταξύ τους αναλύονται
Ενότητα 76 33 ακολουθώντας την γραμμή του σήματος και τα αποτελέσματα καταχωρούνται στο ακόλουθο διάγραμμα (σχήμα 710) Σχήμα 710: Διάγραμμα έκφρασης των σχέσεων ζεύξης που υπάρχουν στο περίπλοκο διάγραμμα βαθμίδων u 1 u 2 u m e 11 e 12 e 1m e 21 e 22 e 2m e T 1 u e T 2 u S 1 k 12 k 1l k 21 S 2 k 2l e l1 e l2 e lm e T l u k l1 k l2 S l w 1 w 2 w l Το δεξιό μέρος του σχήματος 710 αντιπροσωπεύει το ζεύγος των υποσυστημάτων μεταξύ τους Τα S i υποσυστήματα βρίσκονται συμβολικά στην διαγώνιο του τετραγωνικού διαγράμματος (σχήμα 710) Σύμφωνα με τη σχέση (752) κάθε υποσύστημα S i διεγείρεται από δύο μέρη: 1 Από το γραμμικό συνδυασμό των εξωτερικών σημάτων εισόδου, e T i u 2 Από το γραμμικό συνδυασμό των σημάτων εξόδου όλων των άλλων υποσυστημάτων, K T i w Το πρώτο μέρος παριστάνεται με την παχιά οριζόντια γραμμή του διαγράμματος (σχήμα 710) Οι παχιές κάθετες γραμμές παριστάνουν τα σήματα εξόδου w i των υποσυστημάτων Κάθε σημείο διασταύρωσης των γραμμών υποδεικνύει μια δυνατότητα σύνδεσης μεταξύ δύο υποσυστημάτων και χαρακτηρίζεται με K ij Για παράδειγμα K l2 υπάρχει για τη δυνατότητα σύνδεσης «από το υποσύστημα 2 στο υποσύστημα l» ή «έξοδος w 2 του υποσυστήματος S 2 στην είσοδο v 1 του υποσυστήματος S 1» K 2l υπάρχει για τη δυνατότητα σύνδεσης «από το υποσύστημα l στο υποσύστημα 2» ή «έξοδος w 1 του υποσυστήματος S 1 στην είσοδο v 2 του υποσυστήματος S 2» Στην περίπτωση εκείνη που η συγκεκριμένη διασύνδεση δεν υπάρχει, δηλαδή δεν υπάρχει στο εξεταζόμενο διάγραμμα βαθμίδων, τότε το αντίστοιχο στοιχείο K ij
Ενότητα 76 34 είναι ίσο με μηδέν Όταν η διασύνδεση υπάρχει και μάλιστα με ένα συγκεκριμένο συντελεστή βάρους ή ενίσχυσης V, τότε για το συγκεκριμένο στοιχείο K ij αντιστοιχεί η τιμή του V Για το σκοπό αυτό ακολουθείται η γραμμή σήματος από S j προς S i στο διάγραμμα βαθμίδων και τοποθετείται ο συνισταμένος συντελεστής ζεύξης στη σωστή θέση του διαγράμματος (σχήμα 710) Ακολουθείται ο ίδιος τρόπος μέχρι όλοι οι (l 2 l)k ij συντελεστές ζεύξης από το διάγραμμα βαθμίδων προσδιοριστούν και περαστούν στις σωστές θέσεις στο δεξιό μέρος του διαγράμματος του σχήματος 710 Με το προαναφερόμενο τρόπο σχηματίζεται το διάγραμμα του σχήματος 710 το οποίο δίνει την πληροφορία για τις υπάρχουσες σχέσεις ζεύξης μεταξύ των υποσυστημάτων του σύνθετου συστήματος Το ζητούμενο μητρώο ζεύξης K, σχέση (764), προκύπτει από την «απεικόνιση» του δεξιού μέρους του διαγράμματος του σχήματος 710 Για το σκοπό αυτό γράφοντας μηδενικά στις θέσεις, όπου στο διάγραμμα του σχήματος 710 συμβολικά υπάρχουν τα l υποσυστήματα S i, δηλαδή στην κύρια διαγώνιο του διαγράμματος Με την προαναφερόμενη ασήμαντη τροποποίηση προκύπτει το μητρώο ζεύξης K (764) ως «απεικόνιση» του δεξιού μέρους του διαγράμματος (σχήμα 710) Ακριβώς αυτό το συγκεκριμένο βήμα δίνει στη μέθοδο την επιθυμητή ρουτίνα που θα επιθυμούσε ο κάθε μηχανικός κατά την εξέταση εφαρμοσμένων ΣΑΡ Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να εξηγηθεί το γεγονός ότι το αριστερό μέρος του διαγράμματος (σχήμα 710) παριστάνει την απεικόνιση του ζητούμενου μητρώου E, το οποίο προκύπτει από την εφαρμογή της προαναφερόμενης μεθόδου Τα σημεία διασταύρωσης των κάθετων γραμμών, παριστάνουν τα m εξωτερικά σήματα εισόδου του συνολικού συστήματος, με τις οριζόντιες γραμμές παριστάνονται με e ij Για τιμές e ij 0 σημαίνει ότι στη συγκεκριμένη θέση υπάρχει μια σύνδεση, γεγονός που υποδηλώνει επίσης ότι το εξωτερικό σήμα εισόδου u j συμμετέχει με τον συντελεστή βάρους e ij στον σχηματισμό του σήματος εισόδου v i του i υποσυστήματος S i Με αποτέλεσμα τα στοιχεία της i καθέτου του αριστερού μέρους του διαγράμματος (σχήμα 710) να σχηματίζουν το κάθετο άνυσμα e T i, σε τρόπο ώστε σύμφωνα
Ενότητα 76 35 με την (763) η απεικόνιση ολόκληρου του αριστερού μέρους του διαγράμματος να δίνει το ζητούμενο μητρώο ζεύξης E Μετά τον προσδιορισμό των μητρώων ζεύξης E και K μπορεί με εφαρμογή των (760) και (766) να καταστρωθεί η ανυσματική ΔΕ (756) για το συνολικό σύστημα Από τη σχέση (766) απαλείφεται το άνυσμα w: w = (I D D K) 1 C D q + (I D D K) 1 D D Eu (769) και εισάγεται στην (760) οπότε προκύπτει η ακόλουθη σχέση: q = { A D + B D K(I D D K) 1 C D q + B D [ E + K(I DD K) 1 D D E ]} u (770) δηλαδή: q = q + Bu όπου: A = A D + B D K(I D D K) 1 C D (771) [ B = B D E + K(I DD K) 1 D D E ] (772) Για την κατάστρωση της εξίσωσης των σημάτων εξόδου του συνολικού συστήματος, σύμφωνα με τη σχέση (757), τίθεται ως βάση η σχέση (769) Κάθε σήμα εξόδου του συνολικού συστήματος, επειδή πρόκειται για γραμμικό σύστημα, πρέπει να είναι δυνατή η έκφραση αυτού ως γραμμικός συνδυασμός των σημάτων εισόδου w j των l υποσυστημάτων * και συνεπώς ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις: l x i = a ij w j i = 1, 2,, r (773) j=1 *Με την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχει καμία άμεση σύνδεση μεταξύ οποιοδήποτε εξωτερικού σήματος εισόδου u i με ένα σήμα εξόδου x i του συνολικού συστήματος στο διάγραμμα βαθμίδων Η προαναφερόμενη περίπτωση είναι και η πιο συνηθισμένη για τα συστήματα που συναντώνται στην πράξη
Ενότητα 76 36 ή εκφραζόμενη με ανύσματα: x i = a T i w i = 1, 2,, r (774) όπου a T i [a i1 a i2 a il ] (775) Τα r σήματα εξόδου x i (σχήμα 77) σχηματίζουν το άνυσμα εξόδου x του συνολικού συστήματος, σε τρόπο ώστε οι r γραμμικοί συνδυασμοί (773) και (774) να μπορούν να εκφραστούν μαζί με τον ακόλουθο γραμμικό μετασχηματισμό: x = K A w (776) Για το μητρώο μετασχηματισμού K A ισχύει: a T 1 a T 2 K A = = (a ij ) a T r i = 1, 2,, r j = 1, 2,, l (777) και προσδιορίζεται στοιχείο προς στοιχείο από το διάγραμμα βαθμίδων όπως ακριβώς προσδιορίζεται και το μητρώο ζεύξης E Όπως το μητρώο ζεύξης E έτσι και το μητρώο μετασχηματισμού K A μπορεί να παραστεί στο διάγραμμα ζεύξης Για το σκοπό αυτό πρέπει το διάγραμμα ζεύξης του σχήματος 710 να συμπληρωθεί με το διάγραμμα του σχήματος 711 Μετά τον προσδιορισμό του μητρώου μετασχηματισμού K A, ακολουθώντας τις γραμμές του σήματος από τις εξόδους των υποσυστημάτων w j προς τις εξόδους του συνολικού συστήματος x i, μπορεί να καταστρωθεί η συνισταμένη εξίσωση εξόδου, σύμφωνα με τη σχέση (757), με τη βοήθεια των σχέσεων (769) και (776): x = K A (I D D K) 1 C D q + K A (I D D K) 1 D D Eu (778)
Ενότητα 76 37 Σχήμα 711: Συμπληρωματικό διάγραμμα για να ληφθούν υπόψη οι σχέσεις ζεύξης ενός πολύπλοκου διαγράμματος βαθμίδων u 1 u m e 11 e 1m S 1 k 1l E K e l1 e lm k l1 S l w 1 w l x1 a 11 a 1l K A a r1 a rl x r δηλαδή: x = Cq + Du όπου: C = K A (I D D K) 1 C D D = K A (I D D K) 1 D D E (779) (780) Ο αριθμητικός υπολογισμός των μητρώων A, B, C και D που περιγράφουν το συνολικό σύστημα συμπεριλαμβάνει και τον υπολογισμό του αντίστροφου (I D D K) Ακόμα και για την περίπτωση που το αντίστροφο του (I D D K) 1 υπάρχει για όλα τα πρακτικά πραγματικά συστήματα και τα συστήματα με φυσική έννοια, δηλαδή κάτω από τις συνθήκες της (748), ακόμα και τότε καθαρά από αριθμητική πλευρά, ο υπολογισμός αυτός αποτελεί και το αδύνατο σημείο της όλης μεθόδου για συστήματα μεγάλης κλίμακας (large-scale-systems) Αντίθετα στις περιπτώσεις εκείνες που συναντώνται συστήματα με διαγράμματα βαθμίδων τα οποία περιέχουν υποσυστήματα, δηλαδή συναρτήσεις μεταφοράς, των οποίων η δυναμική του παρονομαστή υπερισχύει συνολικά τότε απλουστεύεται