Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία και ευθύνεται για τα κύρια χαρακτηριστικά του συστήματος. Το πλήρες φυσικό σύστημα, συνήθως, παρουσιάζει μικρές διαφορές στις φυσικές του ιδιότητες σε σχέση με αυτές που προβλέπουν οι λύσεις της «κύριας» Χαμιλτονιανής. Ένα παράδειγμα είναι οι ενεργειακές στάθμες του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου. Η κύρια Χαμιλτονιανή περιέχει μία αλληλεπίδραση, την δύναμη Coulom ανάμεσα στο πρωτόνιο και το ηλεκτρόνιο και προβλέπει ότι οι ενεργειακές στάθμες εξαρτώνται μόνο από τον κβαντικό αριθμό που περιγράφει την ακτινική κίνηση. Στην πραγματικότητα, γνωρίζουμε ότι το φάσμα του υδρογόνου παρουσιάζει μία λεπτή υφή, στην οποία οι γραμμές = παρουσιάζουν μικρές αλλά μετρήσιμες αποκλίσεις από την βασική πρόβλεψη της τιμής της ενέργειας για =. Αυτές οι αποκλίσεις μπορούν να περιγραφούν με την εισαγωγή πρόσθετων όρων στην Χαμιλτονιανή. Οι όροι αυτοί επηρεάζουν την συνολική ενέργεια του συστήματος πολύ λιγότερο από την «κύρια» Χαμιλτονιανή και γι αυτό είναι σύνηθες να αποκαλούνται «διαταραχές» του συστήματος, όνομα ενδεικτικό της μικρής αλλαγής που επιφέρουν στο συνολικό σύστημα. Μαθηματικά, εισάγουμε ένα νέο όρο στην Χαμιλτονιανή ως εξής: H ˆ H ˆ H ˆ H ˆ ˆ (.) Ο πρόσθετος όρος Hˆ ˆ θεωρείται μικρός ως προς την κύρια Χαμιλτονιανή, Ĥ. Φορμαλιστικά, λέμε ότι η παράμετρος λ είναι πολύ μικρή. Θεωρούμε ότι οι ιδιοτιμές και οι ιδιοκαταστάσεις της Ĥ είναι γνωστές: Hˆ E (.) Το ερώτημα είναι πώς να λύσουμε το πλήρες πρόβλημα, δηλ. να βρεθούν οι ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της Ĥ : Hˆ ˆ E (.) Προσεγγιστική επίλυση του προβλήματος όταν δεν υπάρχει εκφυλισμός Εφόσον γνωρίζουμε τη λύση του προβλήματος (.) έχουμε στη διάθεσή μας μια βάση και επομένως μπορούμε να γράψουμε: c ( ) (.4) όπου οι συντελεστές στο ανάπτυγμα δίνονται από τη σχέση: c ( ) (.5) Στους συντελεστές αυτούς έχουμε συμπεριλάβει ρητά την εξάρτηση από τη σταθερά λ, η οποία χαρακτηρίζει την «ισχύ» της διαταραχής. Εάν μπορούσαμε να λύσουμε το πλήρες πρόβλημα (.) το αποτέλεσμα θα είχε (προφανώς) εξάρτηση από την εν λόγω σταθερά και αυτό ακριβώς σημειώσαμε στην (.5). Στους αλγεβρικούς χειρισμούς που ακολουθούν είναι πολύ βολικό να απομονώσουμε από την επαλληλία (.4) την κατάσταση που αντιστοιχεί στη λύση του αδιατάρακτου προβλήματος:
c ( ) c ( ) ( ) ( ) c c c ( ) (.6) Για συντομία γραφής ξεχωρίζουμε τους όρους μέσα στην παρένθεση γράφοντας d ( ) (.7) και Με τον διαχωρισμό αυτόν θα υπολογίσουμε πρώτα την κατάσταση (.7) (δηλαδή τους συντελεστές d = c / c) και στη συνέχεια τον συντελεστή c χρησιμοποιώντας τη σχέση κανονικοποίησης: Η βασική υπόθεση στην οποία θα στηριχθούμε για να κάνουμε τους υπολογισμούς μας είναι ότι οι συντελεστές d μπορούν να αναπτυχθούν σε άπειρη σειρά ως προς το λ: Το ότι δεν θα πρέπει να υπάρχει σταθερός όρος στο ανάπτυγμα αυτό προκύπτει αμέσως από την (.6): όταν η επίδραση της διαταραχής σβήσει ( ) η λύση του προβλήματος είναι γνωστή:. Επομένως θα πρέπει να ισχύει c d, Αντικαθιστώντας το ανάπτυγμα (.) στη σχέση (.7) παίρνομε: d d () ()... ή, για συντομία, () ()... (.) Θα ξεκινήσουμε με την παρατήρηση ότι η (.) θα πρέπει να ικανοποιεί την πλήρη εξίσωση (.): Hˆ ˆ E (.) και επομένως Hˆ ˆ d E d E E d ( ) E E ˆ d ˆ Η τελευταία σχέση δεν είναι τίποτα άλλο παρά η εξίσωση ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων της πλήρους Hamltoa γραμμένη με τη βοήθεια της ανάλυσης (.) και θα είναι η αφετηρία όλων των υπολογισμών που θα ακολουθήσουν. Εάν προβάλουμε την (4) στο άνυσμα παίρνομε όπου για λόγους οικονομίας της γραφής γράφουμε το στοιχείο πίνακα ˆ (.5) Yιοθετώντας την υπόθεση (.) παίρνουμε: () E E d O( ) ή, πιο απλά, = c ( λ) φ (.8) φ φ = = c c = (.9) φ φ () () ()... d d d d (.) (.) E E d (.4) E E E E O( ) (.6) () ()
Στην τελευταία σχέση το σύμβολο O( ) σημαίνει ότι οι όροι που ακολουθούν είναι (το λιγότερο) ανάλογοι του. Μαθηματικά, προφανώς θα ισχύει: O( ) lm. Το αποτέλεσμα στην (.6) μας λέει πότε η υπόθεση (.) έχει κάποια πρακτική αξία: αν οι όροι που ακολουθούν τον πρώτο είναι σημαντικά μικρότεροι απ αυτόν τότε η εμφάνιση του δυναμικού μπορεί να θεωρηθεί μια μικρή διαταραχή του αρχικού προβλήματος και το αποτέλεσμα (.6) μπορεί να θεωρηθεί μια αξιόπιστη προσέγγιση του πλήρους αποτελέσματος. Από τη σχέση (.6) μπορούμε να διαβάσουμε τη διόρθωση πρώτης τάξης στην ενεργειακή στάθμη E : () ˆ ˆ E H (.7) () Για να βρούμε τη διόρθωση δεύτερης τάξης χρειαζόμαστε τον συντελεστή d. Γυρίζουμε στην αφετηριακή σχέση (.) και την προβάλουμε σε κάποια από τις καταστάσεις : d E E d l l Με την υπόθεση (.) θα πάρουμε: () () () () () d E E C E E d E... d... (.8) l Εξισώνοντας τους ομοβάθμιους όρους στην (.8) βρίσκουμε: d () E E (.9) Αν δεν έχουμε εκφυλισμό δηλαδή αν E E η σχέση (.9) δίνει: () ˆ d E E E E και () () () () d d E l l l l d l E E E E l E E E E l E E Με τη βοήθεια της (.) βρίσκομε και τη διόρθωση δεύτερης τάξης στην ενεργειακή στάθμη E : () () E d E E E E (.) Με τα αποτελέσματα (.) και (.) έχουμε υπολογίσει και τη διόρθωση που έχει επιφέρει η διαταραχή στην αρχική κατάσταση: () () d (.4) E E () () l l d (.5) l E E E E l E E l d E E d E d (.) () () () () l l l l (.) (.)
Οι τελευταίες σχέσεις δίνουν, σε προσέγγιση δεύτερης τάξης, την κατάσταση. Για να βρούμε την κανονικοποιημένη ιδιοκατάσταση του πλήρους προβλήματος χρειαζόμαστε και τον συντελεστή c. Σύμφωνα με την ως τώρα ανάλυση ξέρουμε ότι () () () ()...... Επομένως () () O O E E ( ) ( ) (.6) c / O E E ( ) Για να φτάσουμε στο τελευταίο αποτέλεσμα χρησιμοποιήσαμε την προσέγγιση: x / ( x) x που ισχύει για x. Συνοψίζοντας, με την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχει εκφυλισμός, έχουμε βρεί: (.7) E E O( ) E E l l E E l E E E E l E E O( ) (.8) E E. Παράδειγμα Θα καταλάβουμε καλύτερα τα προηγούμενα αποτελέσματα αν λύσουμε με τη βοήθεια της θεωρίας διαταραχών ένα πρόβλημα το οποίο μπορούμε να λύσουμε και πλήρως. Έστω, η Hamltoa a Hˆ, a, a (.9) Οι ιδιοκαταστάσεις και οι ιδιοτιμές στη συγκεκριμένη περίπτωση μπορούν να βρεθούν ακριβώς: είναι αρκετό να λύσουμε το πρόβλημα: a x x a E x E a y y a E y Για να έχει λύση το τελευταίο ομογενές σύστημα θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών να μηδενίζεται και επομένως οι ιδιοτιμές είναι: 4
E a, E a (.) Οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις βρίσκονται από τις σχέσεις : a E x y, x y Έτσι οι κατάσταση και που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές E και E είναι, (.) όπου, Έστω τώρα ότι και a (ώστε ο δεύτερος όρος στη Hamltoa (.9) να μπορεί να θεωρηθεί μικρή διαταραχή του πρώτου). Από τις σχέσεις (.) θα πάρουμε: E a O( ) (.) E a O( ) Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε για τις ιδιοκαταστάσεις (.): 8 O( ) O( ) (.) 8 Σημείωση: για να καταλήξουμε στις παραπάνω σχέσεις γράψαμε: 4 4 4 8 4 4 4 Στη συνέχεια γράφουμε: και επομένως:, 8 8 8. 8 5
και αντίστοιχα για το. 8 ( ) ( ) O O 8 O( ) Μπορούμε τώρα να συγκρίνουμε τα αποτέλεσμα (6) και (7) με αυτά που θα πάρουμε εφαρμόζοντας τα συμπεράσματα της θεωρίας διαταραχών: Έχουμε ένα σύστημα δύο καταστάσεων. Τα ιδιοανύσματα της αρχικής αδιατάρακτης Hamltoa είναι τα και, με ιδιοτιμές είναι E και E αντίστοιχα. Στη βάση αυτή ο όρος της διαταραχής αναπαρίσταται από τον πίνακα a Hˆ ˆ a και επομένως: a,. Μετά από αυτά μπορούμε αμέσως να διαβάσουμε τις σχέσεις (.): E E E E E E O( ) a O( ) E E O( ) a O( ) Όπως επίσης και τις σχέσεις (.) και αντίστοιχα για την : E E E E E E O( ) E E 8 4 O ( ) (.4) (.5) E E E E E E E E ( ) ( ) 4 (.6) O O 8 6
Όπως είναι προφανές, τα αποτελέσματα συμπίπτουν. Η περίπτωση του εκφυλισμού Τα αποτελέσματα που παρουσιάσαμε πριν έχουν μια σημαντική προϋπόθεση: Στο σύστημα που εξετάζουμε δεν πρέπει να παρουσιάζεται εκφυλισμός. Με άλλα λόγια οι διαφορετικές καταστάσεις πρέπει να έχουν διαφορετικές ενέργειες. Αν δεν είναι έτσι τότε οι προηγούμενοι υπολογισμοί έχουν πρόβλημα. Πράγματι, η διόρθωση πρώτης τάξης της ιδιοκατάστασης,. () E E δεν έχει κανένα νόημα (πολύ δε περισσότερο νόημα μικρής διόρθωσης) αν στο άθροισμα εμφανίζονται όροι για τους οποίους E E ακόμα και αν. Για να καταλάβουμε τι συμβαίνει ας γυρίσουμε στο προηγούμενο παράδειγμα αλλάζοντάς το έτσι ώστε να παρουσιαστεί εκφυλισμός: a Hˆ a (.7) Είναι τώρα προφανές ότι τα ανύσματα και της ˆ H έχουν την ίδια ιδιοτιμή. Και όχι μόνον αυτό: οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τους είναι ιδιοκατάσταση της Ĥ και μάλιστα με την ίδια ιδιοτιμή! [Αποδείξτε το]. Επομένως, δεν έχουμε πρόβλημα μόνο με τον μηδενισμό των παρονομαστών: είναι, επιπλέον, αυθαίρετο το να θεωρήσουμε ως προσέγγιση μηδενικής τάξης του το και του το όπως κάναμε με τις σχέσεις (.5) και (.6). Η διαπίστωση αυτή είναι γενικής ισχύος: Ας πούμε ότι μια ενεργειακή στάθμη E έχει εκφυλισμό τάξης, με άλλα λόγια ότι υπάρχουν διαφορετικές καταστάσεις οι οποίες έχουν την ίδια ενέργεια E. Μπορείτε να σκεφτείτε ότι τα διανύσματα αυτά φτιάχνουν έναν διανυσματικό χώρο (υποχώρο του συνολικού χώρου καταστάσεων) διάστασης (στο παράδειγμα που αναφέραμε ο εν λόγω υποχώρος είναι όλος ο χώρος καταστάσεων του αδιατάρακτου συστήματος). Κάθε στοιχείο του υποχώρου αυτού είναι ιδιοάνυσμα της Ĥ με την ίδια ιδιοτιμή. Υπάρχουν, επομένως, άπειροι τρόποι να διαλέξουμε,,,... ορθοκανονικά ανύσματα για να φτιάξουμε τη βάση του εν λόγω υπόχωρου. Συμπερασματικά: Η βάση που χρησιμοποιούμε στο ανάπτυγμα (7) ή (8) δεν είναι καθορισμένη. Μπορούμε να τη διαλέξουμε με άπειρους διαφορετικούς τρόπους. Με ποιό κριτήριο, άραγε, θα κάνουμε την επιλογή; Προφανώς θα πρέπει να διαλέξουμε εκείνη τη βάση που θα μας λύσει το πρόβλημα του μηδενισμού των παρανομαστών! Ας δούμε πως θα ποσοτικοποιήσουμε τις παραπάνω παρατηρήσεις. Καταρχή πρέπει να ξεκαθαρίσουμε τον συμβολισμό μας. Όταν δεν είχαμε εκφυλισμό γράφαμε τις ιδιοκαταστάσεις του αδιατάρακτου συστήματος που αντιστοιχούσαν στις ιδιοτιμές E. Αντίστοιχα γράφαμε την ιδιοκατάσταση του πλήρους συστήματος η οποία, αν σβήναμε τη διαταραχή, θα κατέληγε στην 7
και σημειώναμε E την ιδιοτιμή της. Στην περίπτωση που εξετάζουμε τώρα θα γράφουμε,,,... τις ιδιοκαταστάσεις του αδιατάρακτου συστήματος που έχουν ενέργεια E. Έτσι ο δείκτης θα έχει να κάνει με την ενέργεια και ο δείκτης θα αριθμεί τα εκφυλισμένα ιδιοανύσματα. Αντίστοιχα θα γράφουμε την ιδιοκατάσταση του πλήρους συστήματος η οποία θα συνδέεται, αν σβήσει η διαταραχή, με την ιδιοκατάσταση του αδιατάρακτου συστήματος. Η ενέργεια που αντιστοιχεί στο θα σημειώνεται με E αφού, είναι δυνατόν, οι καταστάσεις του πλήρους συστήματος να μην είναι πια εκφυλισμένες. Αφετηρία μας είναι και πάλι το ανάπτυγμα της (.4): Η διαφορά με την εξίσωση (.4) είναι ότι τώρα έχουμε πολλαπλά ανύσματα τα οποία αναπτύσσονται ως γραμμικοί συνδυασμοί των και γι αυτό το λόγο οι συντελεστές του αναπτύγματος έχουν δύο δείκτες (ο πρώτος δείκτης μας δίνει το αρχικό κατάσταση. ενώ ο δεύτερος δείκτης δίνει την Εδώ πρέπει να σημειωθεί με έμφαση ότι τα διανύσματα που απαρτίζουν την βάση του υποχώρου είναι πλήρως αδιευκρίνηστα Αυτό σημαίνει ότι αν η κατάσταση με ενέργεια E παρουσιάζει εκφυλισμό τάξης, τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα που χρησιμοποιούμε στην (.8) αποτελούν μια ορθοκανονική βάση στον -διάστατο διανυσματικό υποχώρο και αυτό είναι όλο! Απομονώνουμε, όπως και πριν, την κατάσταση η οποία συνδέεται με την όταν : Ο συντελεστής A θα προσδιοριστεί και πάλι από την συνθήκη. Το επόμενο βήμα είναι η αντικατάσταση της (.9) στην πλήρη εξίσωση ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων (). Το αποτέλεσμα είναι ( ) ( ) E E C E E C E E Προβάλοντας την (.4) στον άξονα παίρνουμε Αναπτύσσοντας τους συντελεστές C σε σειρά ως προς τη παράμετρο λ: η (.4) δίνει ( ) A όπου A (.8), (.9) A C C ( ) ( ) (.4) ˆ C ˆ C ˆ (.4) E E C C () () C C C... (.4) () () E E C C O( ) 8
Η σχέση αυτή είναι η αντίστοιχη της σχέσης (.6) που είχαμε βρεί στην περίπτωση του μη εκφυλισμού. Μάλιστα η διόρθωση πρώτης τάξης φαίνεται να έχει την ίδια μορφή. Η (σημαντική) διαφορά είναι ότι τώρα τα ανύσματα βάσης που χρειάζονται για τον υπολογισμό του στοιχείου πίνακα ˆ (.44) παραμένουν αδιευκρίνιστα. Παίρνοντας την προβολή της (.4) σε κάποιον από τους άξονες με : Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα (.4) και εξισώνοντας τους ομοβάθμιους όρους στην εξίσωση (.45) παίρνουμε τις συνθήκες (.46) και Η (.46) πρώτη από τις σχέσεις αυτές μας δίνει μια πολύτιμη πληροφορία: Η βάση,,,... πρέπει να επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε ο πίνακας να είναι διαγώνιος! Αν αυτό γίνει τότε η διόρθωση πρώτης τάξης στην ενέργεια E E E O( ) (.4) () () ( ) ( ) ( ) s s s s s s (.45) C E E C C () () () () s s είναι, από τη σχέση (.44), τα στοιχεία της διαγωνίου δηλαδή οι ιδιοτιμές του πίνακα. C E E C (.47) Το ερώτημα που τίθεται τώρα είναι: είναι δυνατόν η διαγωνιοποίηση του πίνακα (πράγμα ισοδύναμο με την εύρεση των ιδιοανυσμάτων του) να μας προσδιορίσει με μοναδικό τρόπο τα στοιχεία της βάσης,,,... ; Η απάντηση είναι καταφατική αρκεί όλες του οι ιδιοτιμές να είναι διαφορετικές. Σε αντίθετη περίπτωση, αν, δηλαδή, υπάρχει εκφυλισμός και στα ιδιοανύσματα του, είναι φανερό ότι τα ανύσματα που αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιμή μπορούν να επιλεγούν με άπειρους τρόπους! Ας υποθέσουμε καταρχήν ότι όλες οι ιδιοτιμές του είναι διαφορετικές ή, διατυπωμένο αλλιώς, ότι η διόρθωση πρώτης τάξης στην ενέργεια αίρει πλήρως τον εκφυλισμό του αδιατάρακτου συστήματος. Στην περίπτωση αυτή ξέρουμε πλήρως τη βάση που χρησιμοποιούμε και έχουμε ήδη βρει τη διόρθωση πρώτης τάξης στην ενέργεια. Για να βρούμε τη διόρθωση δεύτερης τάξης στην ενέργεια χρειαζόμαστε, όπως είναι προφανές από τη σχέση (.4) δύο συντελεστές οι οποίοι συνδέονται () () μεταξύ τους με τη σχέση (.47) η οποία μπορεί να λυθεί (αφού E E για )και να μας δώσει : () () s C C (.48) s () () s E E Γυρίζοντας στην εξίσωση (.4) και προβάλοντας σε κάποιο από τα ανύσματα θα πάρουμε: s 9
Εξίσωση των όρων πρώτης τάξης στην τελευταία σχέση θα μας δώσει () C, E E E E Αντικαθιστώντας την τελευταία στη σχέση (.48) βρίσκουμε: C Μετά από αυτά έχουμε βρεί τη διόρθωση δεύτερης τάξης στην ενέργεια: Περνώντας στις διορθώσεις που αφορούν την ιδιοκατάσταση του πλήρους συστήματος: Από την προηγούμενη ανάλυση οι συντελεστές των όρων πρώτης τάξης είναι ήδη γνωστοί. Τον () συντελεστή C μπορούμε εύκολα να τον υπολογίσουμε από τη σχέση (55) αν εξισώσουμε τους όρους δεύτερης τάξης: Επομένως () Τέλος ο συντελεστής C θα βρεθεί από τη σχέση (.49) αν κρατήσουμε και όρους τρίτης τάξης. Με την ανάλυση (.4) η (.49) γράφεται:......... C C E E C C E () () () () () () () s s s s () () C C.. s s s s Οι όροι τρίτης τάξης μας δίνουν: Έτσι βρίσκουμε ότι: l (.49) C E E C C () s s l s l s s l s s s s () () () () E E E E E E E E s s (.5) (.5) s E E s O E E () () E E E E ( ) () () () C C C () C O( ) () () () () l () s s l l s s s l s C E C E E C C (.5) (.5) (.54) C C C C E () () () () () l s l l s s s s E E l s E E (.55) () () () () () () () s s C E C E C E C (.56) s
C C C E (.57) () () s s () () () () s E E Μετά την προηγούμενη ανάλυση έχουμε λύσει το πλήρες πρόβλημα με ακρίβεια δεύτερης είτε υπάρχει εκφυλισμός είτε όχι. Αυτό που έχουμε αφήσει εκτός συζήτησης είναι η περίπτωση που η διόρθωση πρώτης τάξης δεν αίρει πλήρως τον αρχικό εκφυλισμό. Σε μια τέτοια περίπτωση εκφράσεις σαν την (54) δεν έχουν νόημα: () () s s s C C s () () () () E E E E E E (.58) s s Το πρόβλημα αυτό δεν διαφέρει και πολύ από αυτό που έχουμε αντιμετωπίσει. Ας ξαναγράψουμε την τελευταία σχέση () ˆ ˆ s s s s C () () () () E E s E E E E s E E (.59) Η προηγούμενη εμπειρία μας λέει ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί εάν διαλέξουμε τα υπολοιπόμενα διανύσματα με τέτοιο τρόπο ώστε ο πίνακας που εμφανίζεται στην τελευταία σχέση να είναι διαγώνιος: ˆ ˆ s s s E E (.6) Δεν θα επιμείνουμε περισσότερο σ αυτή την κατεύθυνση αφήνοντας τις λεπτομέρειες σε μια από τις ασκήσεις που ακολουθούν.