ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι αριθμω:, α συγκριεται = {,-,-1,0,1,, }. τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ Το συολο τω ρητω αριθμω: = {ρ/ρ= μ, με μ και * }. 3 3. Το συολο τω αρρητω αριθμω: {x/ το x σε δεκαδικη μορφη εχει απειρα δεκαδικα σημεια με μη περιοδικο τμημα}. Το συολο τω πραγματικω αριθμω είαι η εωση του συολου τω ρητω και αρρητω αριθμω. Το συολο τω περιττω αριθμω: {1,3,5, } η {+1/οπου }. Το συολο τω αρτιω αριθμω: {0,,4, } η {/οπου }. Π α ρ α δ ε ι γ μ α 1. Α α,β,γ είαι διαδοχικοι φυσικοι α δειξετε ότι: α+β+γ είαι πολλαπλασιο του 3.. Α ο αριθμος α είαι αρρητος τοτε και ο αριθμος α-3 είαι επισης αρρητος. 1. Αφου οι αριθμοι α,β,γ είαι διαδοχικοι φυσικοι τοτε: β=α+1 και γ=α+ Οποτε: α+β+γ=α+(α+1)+(α+)=3α+3=3(α+1)=3κ (οπου κ=α+1) Αρα α+β+γ είαι πολλαπλασιο του 3.. Εστω ότι ο αριθμος α-3 είαι ρητος. Τοτε α-3=ρ, οπου ρ είαι ρητος αριθμος. Όμως α-3=ρ α=ρ+3 ατοπο, γιατι: α είαι αρρητος αριθμος α - 3 είαι αρρητος αριθμος. ρ + 3 είαι ρητος αριθμος Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Ατιμεταθετικη α+β=β+α α.β=β.α Προσεταιριστικη α+(β+γ)=(α+β)+γ α.(β.γ)=(α.β).γ Επιμεριστικη α.(β+γ)=α.β+α.γ Ουδετερο στοιχειο α+0=α α.1=α Ατιθετος (προσθ) Ατιστροφος (πολ) α+(-α)=0 α. 1 =1, α 0 α Π α ρ α δ ε ι γ μ α Α οι αριθμοι α,β ειαι πραγματικοι και ισχυει: α=β και 5α-6β-(γ+δ-1)=-β, α δειχτει οτι οι αριθμοι γ και δ ειαι ατιθετοι. Αφου α=β τοτε η δοσμεη ισοτητα γιεται: 5α-6α-(γ+δ-1)=-α H Εοια του διαυσματος 5α-6α-γ-δ+)=-α 5α-5α-γ-δ=0 -γ-δ=0 -(γ+δ)=0 γ+δ=0 Αρα οι αριθμοι γ και δ ειαι ατιθετοι.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Σ υ ε π ε ι ε ς α = β α + γ = β + δ α ± γ = β ± γ α = β γ = δ α.γ = β.δ α.γ = β.γ, γ 0 α.0=0 α.β=0 α=0 η β=0 α.β 0 α 0 και β 0 α.(-1)=-α ( α).β=-α.β ( α).(-β)=α.β (α+β)=-α-β α β α ± β α γ α.δ ± β.γ ± =, γ 0 ± =, β.δ 0 γ γ γ β δ β.δ 1 1 1 α γ α.γ =., α.β 0. =, β.δ 0 α.β α β β δ β.δ Η αφαιρεση οριζεται μεσω της προσθεσης: α-β=α+(-β) Η διαιρεση οριζεται μεσω του πολλαπλασιασμου: α:β=α. 1, β 0 β I δ ι ο τ η τ ε ς Α α λ ο γ ι ω α γ α γ α β = α.δ = β.γ (β.δ 0) = = (β.γ.δ 0) β δ β δ γ δ α γ δ γ α γ α + β γ + δ = = (α.β.δ 0) = = (β.δ 0) β δ β α β δ β δ α γ α γ α + γ α γ α + β α + γ = = = [β. δ(β + δ) 0] = = β δ β δ β + δ β δ α - β γ - δ α Λογος του α ως προς β λεγεται το πηλικο. β α γ Ααλογια λεγεται η ισοτητα δυο λογω, εστω : = β δ Οι αριθμοι α, β,γ,δ λεγοται οροι της ααλογιας. Οι αριθμοι α,δ λεγοται ακροι οροι της ααλογιας. Οι αριθμοι β,γ λεγοται μεσοι οροι της ααλογιας. (β.δ 0, α β, γ δ) α β Στη περιπτωση που η ααλογια ειαι της μορφης = ο αριθμος β λεγεται μεσος αα - β γ λογος τω α και γ. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Α οι αριθμοι α,β,γ ειαι ααλογοι τω αριθμω 3,,1 ατιστοιχα και ισχυει: α-β+γ=6, α βρεθου οι α, β και γ. Αφου οι αριθμοι α,β,γ είαι ααλογοι τω αριθμω 3,,1 ατιστοιχα τοτε: α = β = γ (1) β -β γ γ Επισης ισχυει : = και = - 1 α-β+γ=6 α -β γ α - β + γ 6 Οποτε η (1) γιεται : = = = = =. 3-3 - + 3. 3 1
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 Αρα α = α = 3. α = 6 3 β -β = = β =. - β = 4 γ γ = = γ = 1. γ = 1. Δ υ α μ ε ι ς 1. Ορισμοι Για κάθε α και Για κάθε α Α α Α α * + * +. Ιδιοτητες μ μ+ α α = α μ μ- α : α = α μ μ (α ) = α (α β) = α β α α ( ) = β β α - β ( ) = β α κ (-α) = α * * + και * και μ, * + οριζουμε: α = α.α α ( παραγοτες), >1 οριζουμε: αº= 1 και οριζουμε: α = α και x πραγματικος τοτε οριζεται η δυαμη κ κ+1 κ+1 (-α) = -α 3. Παρατηρηση α=β τοτε α =β μ μ α - 1 = α x α και είαι x α > 0. x²+y²=0 (x=0 και y=0) Α καποιος αριθμος εχει πολύ μικρη η πολύ μεγαλη απολυτη τιμη, μπορει α γραφτει σε τυποποιημεη μορφη: α.10, με 1 α < 10 και ακεραιο. Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να λυθει η εξισωση: (x-1) +(y-3) = 0. Ειαι (x - 1) = 0 x - 1 = 0 x = 1 (x - 1) + (y - 3) = 0 και και και (y - 3) = 0 y - 3 = 0 y = 3
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 4 Τ α υ τ ο τ η τ ε ς (α±β)²=α²±αβ+β² (χρησιμη : α²+β²=(α+β)²-αβ) α²-β²=(α+β)(α-β) (α+β+γ)²= α²+β²+γ²+αβ+αγ+βγ α³±β³=(α+β)( α² αβ+β²)=(α±β)³ 3αβ(α±β) (α±β)³=α³±3α²β+3αβ²±β³ (α+β)⁴=α⁴+4α³β+6α²β²+4αβ³+β⁴ (α-β)⁵=α⁵-5α⁴β+10α³β²-10α²β³+5αβ⁴-β⁵ α -β =(α-β)( α -1 +α - β+ +αβ - +β -1 ) α +β =(α+β)( α -1 -α - β+ -αβ - +β -1 ), ( περιττος φυσικος) α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ= 1 [(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²] α³+β³+γ³-3αβγ=(α+β+γ)(α²+β²+γ²-αβ-αγ-βγ)= 1 (α+β+γ)[(α-β)²+(β-γ)²+(γ-α)²] α³+β³+γ³-3αβγ, α α+β+γ=0 η α=β=γ (Euler) Π α ρ α δ ε ι γ μ α 1. Να λυθει η εξισωση: (x-) 3 +(6-x) 3 +(x-4) 3 =0 Παρατηρουμε ότι: (x-)+(6-x)+(x-4)=x-+6-x+x-4=0 (Α α+β+γ=0 τοτε α 3 +β 3 +γ 3 =3αβγ Euler) Οποτε η εξισωση γιεται: x - = 0 x = x = 3(x-).(6-x).(x-4)=0 6 - x = 0 x = 6 x = 3 x - 4 = 0 x = 4 x = 4. Να παραγοτοποιηθει η παρασταση: 9 x -.6 x +4 x Είαι 9 x -.6 x +4 x =(3 ) x -.(.3) x +( ) x = (3 x ) -. x.3 x +( x ) = (3 x - x ) Η Α π ο δ ε ι ξ η σ τ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Καθε τι εο που δημιουργειται στα Μαθηματικα ειαι μια αληθης προταση, που ομως πρεπει α στηριζεται σε αλλες γωστες αληθεις προτασεις. Η αληθεια ομως μιας προτασης - θεωρηματος προκυπτει μεσα απο τη διαδικασια της αποδειξης. Οι κυριοτερες μεθοδοι αποδειξης ειαι: α. Ε υ θ ε ι α Α π ο δ ε ι ξ η β. Α π ο δ ε ι ξ η σ ε Α τ ο π ο
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 α. Ε υ θ ε ι α Α π ο δ ε ι ξ η (Π α ρ α δ ε ι γ μ α) Α α + β+γ = 0 α αποδειχθει οτι α + β + γ = 3αβγ ΥΠΟΘΕΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Αποδειξη α+β+γ =0 β. Α π ο δ ε ι ξ η σ ε Α τ ο π ο (Π α ρ α δ ε ι γ μ α) Α α ακεραιος και α αρτιος α δειχθει οτι α αρτιος ΥΠΟΘΕΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Αποδειξη α+β =-γ (α+β) 3 =(-γ) 3 α 3 +3α β+3αβ +β 3 =-γ 3 α 3 +β 3 +γ 3 =-3αβ(α+β) α 3 +β 3 +γ 3 =-3αβ(-γ) α 3 +β 3 +γ 3 =3αβγ Εστω α ΟΧΙ αρτιος, δηλαδη α περιττος της μορφης α=κ+1, κ. Εχουμε :α = (κ+1) =( κ + κ )+1=λ+1, λ. λ Δηλαδη α περιττος. Αυτο ομως ειαι α τ ο π ο (αδυατο) γιατι ο α ειαι αρτιος. Αρα η παραδοχη οτι ο ακεραιος α ειαι περιττος ειαι λαθος. Οποτε ο ακεραιος α ειαι αρτιος Ξεκιαμε απο τη υποθεση και με διαδοχικους συλλογισμους, στηριζομεοι στις ιδιοτητες τω πραξεω και σε καοες της λογικης, μετα απο καποια βηματα καταληγουμε στο συμπερασμα. Υποθετουμε οτι δ ε ισχυει το συμπερασμα. Με ορθους συλλογισμους και με λογικα βηματα καταληγουμε σε κατι που ερχεται σε ατιθεση με τα δεδομεα του προβληματος ή σε κατι που δε ισχυει (α τ ο π ο ) Ααφερουμε γιατι φτασαμε σε ατοπο και συμπεραιουμε τη α- ληθεια της αποδεικτεας προτασης.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Να δειξετε οτι : το αθροισμα δυο αρτιω αριθμω ειαι αριθμος αρτιος. το γιομεο δυο διαδοχικω ακεραιω αριθμω ειαι αριθμος αρτιος. Εστω οι δυο αρτιοι αριθμοι : α = κ καιβ = λ (κ, λ ). Τοτε κ+λ= α + β = κ + λ = (κ + λ) =, που σημαιει οτι α + β αρτιος αριθμος. Εστω οι δυο διαδοχικοι ακεραιοι αριθμοι ειαι : α και β. Α ο α ειαι αρτιος τοτε : α = κ και β = κ + 1 (κ ). Οποτε α β = κ(κ + 1) = 4κ + κ = (κ + κ) =, που σημαιει οτι α β ειαι αρτιος. κ +κ= Α ο α ειαι περιττος τοτε : α = κ + 1 και β = κ + (κ ). Οποτε κ +3κ+1=μ = (κ + 1)(κ + ) = 4κ + 6κ + = (κ + 3κ + 1) = μ α β μ, που σημαιει οτι α β ειαι αρτιος αριθμος. λ - 1 Διεται η παρασταση : Α = 1 λ - λ Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες εχει οημα η παρασταση. Να βρειτε το λ ωστε ο αριθμος Α α ειαι ισος με το ατιστροφο του. Για α εχει οημα η παρασταση Α, πρεπει : λ 0 λ 0 λ 0 1 λ 1, λ - 0 (λ - 1)(λ + 1) 0 λ λ -1 Aρα Α εχει οημα για καθε λ - {-1, 0, 1}. Ειαι λ - 1 λ - 1 λ (λ - 1) λ Α = = = = 1 λ - 1 λ - (λ - 1) (λ + 1) λ + 1 λ λ Αφου λ 0 ο αριθμος Α εχει ατιστροφο. Για α ειαι ισος με το ατιστροφο του πρεπει : λ Α.Α = 1 Α = 1 = 1 λ λ + 1 = λ + λ + 1 (δεκτο). 1 λ = -
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Εστω οτι ο αριθμος α ειαι αρρητος. Να δειξετε οτι και ο αριθμος 4α - 1 ειαι αρρητος. Εστω οτι ο αριθμος 4α - 1 = ρ, οπου ρ ρητος. ρ + 1 Τοτε, 4α - 1 = ρ 4α = ρ + 1 α = 4 ρ + 1 Ομως ο αριθμος ειαι ρητος οποτε και ο α ειαι ρητος. Ατοπο γιατι απ'τη υποθεση ο α 4 ειαι αρρητος. Αρα, ο αριθμος 4α - 1 ειαι αρρητος. Εστω οι αριθμοι x, y, z που ειαι ααλογοι τω αριθμω 1,,3 ατιστοιχα. Α 3x + y - z = 0 (1), τοτε α βρεθου οι αριθμοι x, y, z. Ειαι (απο τις ιδιοτητες τω ααλογιω) (1) x y z 3x y -z 3x y -z 3x + y - z 0 = = = = = = = = = = = 0 1 3 1.3. -. 3 3 4-6 3 + 4-6 1 Αρα x = 0 1 x = 0 y = 0 y = 40 Eπαληθευση : 3x + y - z = 3.0 +.40 -.60 = 60 + 80-10 z z = 60 = 0 3 Να παραγοτοποιηθου οι παραστασεις : A = 5-15 + 9 Eιαι x x x B = (α - β) + (β - γ) + (γ - α) Να λυθει η εξισωση : (x + ) + (4x - 1) + (10-5x) = 0 x x x x x x x x x x x x Α = 5-15 + 9 = (5 ) - (5 3) + (3 ) = (5 ) - 5 3 + (3 ) = (5-3 ) x x (Η ταυτοτητα : (α - β) = α - αβ + β, με α = 5,β = 3 ) Επειδη : (α - β) + (β - γ) + (γ - α) = α - β + β - γ + γ - α = 0, τοτε B = (α - β) + (β - γ) + (γ - α) (Ισχυει : α x + y + z = 0 τοτε x Eιαι = 3(α - β)(β - γ)( γ - α) 3 3 + y + z 3 (x + ) + (4x - 1) + (10-5x) = 0 (αφου x + + 4x - 1 + 10-5x = 0) x + = 0 3(x + )(4x - 1)(10-5x) = 0 4x - 1 = 0 10-5x = 0 (Ισχυει : α x + y + z = 0 τοτε x + y + z = 3xyz) = 3xyz) x = - x = 3 x =
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 +1 Να δειξετε οτι ο αριθμος 4 αριθμος. - 1 ειαι πολλαπλασιο του 3, α ειαι θετικος ακεραιος -1 - - -1 Ισχυει : α - β = α + α β +... + αβ + β (1) Οποτε (1) +1 +1 +1-1 -1 4-1 = 4-1 =(4-1)(4 + 4.1 +... + 4.1-1 -1 = 3(4 + 4.1 +... + 4.1 + 1 ) = 3κ το θετουμε κ (οπου κ θετικος ακεραιος) +1 Αρα ο αριθμος 4-1 ειαι πολλαπλασιο του 3. Πρεπει + 1 ) = x - 1 x - x Για ποιες τιμες του x οριζοται τα κλασματα Α = και Β = x(x - ) (x - 1)(x + 1) Να δειξετε οτι οι Α, Β ειαι ατιστροφοι. x(x - ) 0 x 0 και x (x - 1)(x + ) 0 x 1 και x - x - 1 x - x (x -1)(x + 1) x(x - ) ΑΒ = = = 1, αρα x(x - ) (x - 1)(x + 1) x(x - ) (x -1)(x + 1) Α,Β ατιστροφοι.
AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Να δειξετε οτι : το αθροισμα δυο περιττω αριθμω ειαι αριθμος αρτιος. το γιομεο δυο διαδοχικω αρτιω αριθμω ειαι αριθμος αρτιος. το γιομεο δυο διαδοχικω περιττω αριθμω ει - αι αριθμος περιττος. Περιττος : +1 Αρτιος : Διαδοχικοι : Περιττοι : -1, +1, +3 Αρτιοι: -,, + 1 λ - Διεται η παρασταση : Α = λ λ - 1 Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες εχει οημα η παρασταση. Να βρειτε το λ ωστε ο αριθμος Α α εχει ατι - στροφο το αριθμο. Εστω x, y, z oι γωιες εος τριγωου που ειαι αα - λογες τω αριθμω, 3, 4 ατιστοιχα. Να βρεθου οι γωιες του τριγωου. Εστω οτι ο αριθμος 3α - 6 ειαι αρρητος. Να δειξετε οτι και ο αριθμος α ειαι αρρητος. Να παραγοτοποιηθου οι παραστασεις : A = 16 + 1 + 9 x x x B = (α - β) + (β - γ) + (γ - α), α α + β + γ = 0 Γ = (α - 3) + (3β - ) + (4γ - 5), α α + 3β + 4γ = 10 Να λυθει η εξισωση : (3x - 10) + (4 - x) + (6 - x) = 0 3 7x + (x 3 3 + 4) = 64(1 + x) Πρεπει οι ποροομαστες α ειαι διαφοροι του μηδεος. α, β ειαι ατιστροφοι α: αβ = 1. Εφαρμοστε τη γωστη μεθοδο του βοηθητικου αγωστου στις ααλογιες. Εφαρμοστε απαγωγη σε ατοπο. Ισχυει : α x + y + z = 0 τοτε x + y + z = 3xyz (α + β) = α + αβ + β +1 Να δειξετε οτι ο αριθμος 5-1 ειαι πολλαπλασιο του 4, α ειαι θετικος ακεραιος αριθμος. Φερουμε τις παραστασεις στη μορφη α β και καουμε χρηση γωστω ταυτοτητω. Α z = y, α δειχτει οτι οι αριθμοι: α = x-3y+4z και β = y-x-z ειαι ατιθετοι. α και β ειαι ατιθετοι α: α+β=0
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 10 Δ ι α τ α ξ η Π ρ α γ μ α τ ι κ ω Α ρ ι θ μ ω Ο αριθμος α λεγεται μεγαλυτερος απ το αριθμο β, α και μοο η διαφορα α-β ειαι θετικος αριθμος (α-β > 0). Συμβολιζουμε: α > β Ο αριθμος α βρισκεται δεξιοτερα του β στο αξοα τω πραγματικω. - β α + Ο αριθμος α λεγεται μικροτερος απ το αριθμο β, α και μοο η διαφορα α-β ειαι αρητικος αριθμος (α-β < 0). Συμβολιζουμε: α < β Ο αριθμος α βρισκεται αριστεροτερα του β στο αξοα τω πραγματικω. - α β + Ι δ ι ο τ η τ ε ς Α α > β και β > γ, τοτε α > γ. Α α > β, τοτε: α ± γ > β ± γ. αγ > βγ Α γ > 0 τοτε: α > β α β > γ γ Α γ < 0 τοτε: α > β αγ < βγ. Α α > β και γ > δ, τοτε: α + γ > β + δ. Α α > β και γ > δ, τοτε: α.γ > β.δ (α,β,γ,δ θετικοι αριθμοι). * Α α,β θετικοι και, τοτε: α > β α > β ΔΕΝ αφαιρουμε- διαιρουμε κατα μελη αισοτητες Π α ρ α δ ε ι γ μ α 1. Α α+β=6 α αποδειξετε ότι: α.β 9 α +β 18 Είαι α+β=6 β=6-α (1) α.β 9 (1) α(6-α) 9 6α-α 9 α -6α+9 0 (α-3) 0, που αληθευει. α +β 18 (1) α +(6-α) 18 α +36-1α+α 18 α +36-1α+α -18 0 α +18-1α 0 (α -6α+9) 0 (α -6α+9) 0 (α-3) 0, που αληθευει.. Να συγκριετε τους αριθμους: Α=α -αβ+β (α - β) και Β=. Θα ελεγξουμε τη διαφορα τω δυο αριθμω, προκειμεου α βρουμε ποιος είαι μεγαλυτερος. Είαι Α-Β = α -αβ+β (α - β) α - αβ + β - α + αβ - β α + β - = = 0 Δηλαδη, Α-Β 0 Α Β Η ισοτητα ισχυει ότα: α = β = 0.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 11 Δ ι α σ τ η μ α τ α Πρακτικα διαστημα ειαι εα κομματι της ευθειας x x τω πραγματικω αριθμω δηλαδη εα συμπαγες συολο αριθμω. Τα διαστηματα οριζοται με τη βοηθεια μιας αισωσης και στο παρακατω πιακα βλεπουμε τα ειδη αυτω. αισωση διαστημα (με άκρα α, β) συμβολισμος α x β κλειστο διαστημα [α, β] α < x < β αοικτο διαστημα (α, β) α < x β αοικτο αριστερα, κλειστο δεξια (α, β] α x < β κλειστο αριστερα, αοικτο δεξια [α, β) α x κλειστο αριστερα, μη φραγμεο αω [α, + ) α < x αοικτο αριστερα, μη φραγμεο αω (α, + ) x β μη φραγμεο κατω, κλειστο δεξια (-,β] x < β μη φραγμεο κατω, αοικτο δεξια (-,β) x το συολο τω πραγματικω (-, )
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να αποδειξετε οτι : α + β α + β α + β + γ + 3 (α + β + γ) α β +, α α > 0 και β > 0 β α Ειαι 4α + 4β α + β + 4αβ α + β α + β α + β α + β + αβ 4 α + β - 4αβ 0 (α + β - αβ) 0 (α + β) 0, Ειαι α + β + γ + 3 (α + β + γ) α + β + γ + α + β + γ (α - α + ) + (β - β + 1) + (γ - γ + 1) 0 (α - 1) + (β - 1) + (γ - 1) 0, που αληθευει. Ειαι 1 3 α > 0 α β α β + αβ. + αβ..αβ α + β β > 0 β α β α που αληθευει. Ισχυει : Α α + β = και γ + δ = 4, α δειξετε οτι : αγ + βδ 3 (α - γ) 0 α - αγ + γ 0 (β - δ) 0 β - βδ + δ 0 αγ + βδ α + γ + β + δ (αγ + βδ) + 4 που αληθευει. αβ α + β - αβ 0 (α - β) 0, κ - λ Α 1 κ 4 και λ 3, μεταξυ ποιω αριθμω βρισκεται ο αριθμος ; κλ Ειαι (+) α - αγ + γ + β - βδ + δ 0 1 κ 4 1 κ 16 (1) λ 3 4 λ 9-9 -λ -4 () Απο (1) + () κατα μελη, προκυπτει : - 8 κ - λ 1 (3) 1 1 1 1 1 κ 4 1 1 κ 4 4 κ ( 4) 1 1 1 1 1 1 λ 3 λ 3 3 λ (5) 1 1 1 Απο (4).(5) κατα μελη, προκυπτει : 1 κλ (6) Απο (3).(6) κατα μελη, προκυπτει τελικα : -8 κ - λ 1 κ - λ - 6 1 κλ 3 κλ αγ + βδ 3
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 13 Να αποδειξετε οτι : (α + β) α - αβ + β 4 1 α 4 4 + α 4 α + β < 1, α α > 1 και β > 1 1 + αβ Ολα στο μεγαλο μελος και καταληγουμε σε κατι αληθιο. Α πολλαπλασιασουμε με θετικο αριθμο τα μελη αισοτητας, δε αλλαζει η φορα της. Α x + y = 1 και z + ω = 5, α δειξετε οτι : xz + yω 3 Α 1 α και 3 β 4, μεταξυ ποιω αριθ - μω βρισκοται οι παραστασεις : α + β α + β α - β αβ α +β β A 3α < β α αποδειξετε οτι : α < < 4 3 Α α,β,γ > 0, τοτε α δειξετε οτι : α +1 α (α +1)(β +1)(γ +1) 8αβγ Να δειξετε οτι: α - 4α+5 > 0 β +6β+11 > 0 Α α>β>γ τότε α δείξετε ότι : (α-β)(β-γ)(γ-α) < 0 Ισχυει: (α-β) = α -αβ + β και (α-β) 0 Προσθεση κατα μελη τω δοσμεω αφου τις μετασχηματισουμε καταλληλα. Προσθετουμε διαδοχικα α και β στη δοσμεη σχεση και... Ολα στο πρωτο μελος για τη πρωτη και... Για τη δευτερη χρησιμοποιουμε τη πρωτη και... Μετασχηματιζω το α μελος σε αθροισμα θετικω και... Βρειτε το προσημο τω διαφορω με τη βοηθεια της δοσμεης σχεσης και...
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 14 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η Ορισμος Για κάθε πραγματικο αριθμο α οριζουμε τη απολυτη τιμη του ως: α = α α α 0 -α α α < 0 Σ υ ε π ε ι ε ς Ο ρ ι σ μ ο υ α 0, η απολυτη τιμη του α είαι μη αρητικος αριθμος. - α α α α = α, -α = α, α v = αβ = α. β α α = β β α - β α±β α + β α < β α²< β² α + β =0 α=0 και β=0 Α θ > 0 ισχυου: 1. x < θ -θ < x < θ v α, α =α με β 0. x > θ x < -θ η x > θ x = ± θ α θ > 0 η εξισωση x =θ x = 0 α θ = 0 αδυατη α θ < 0 Α Α(α,0) και Β(0,β) σημεια του x x τοτε d(α,β)= a-β. Α θ > 0 τοτε x < θ - θ < x < θ x <θ x <θ x <θ x -θ <0 (x+θ)(x-θ)<0 (x-θ< x+θ) x + θ > 0 x > - θ - θ < x < θ x - θ < 0 x < θ Α θ > 0 τοτε x > θ x < - θ η x > θ x > θ x > θ x > θ x -θ > 0 (x+θ)(x-θ)>0 x + θ < 0 x + θ > 0 x < -θ x > -θ η η x < - θ η x > θ x - θ < 0 x - θ > 0 x < θ x > θ α+β α + β α+β α + β α+β ( α + β ) (α+β) α + α β + β α +αβ+β α + αβ +β αβ αβ αβ αβ που αληθευει. Σημειωση: Η ισοτητα ισχυει α οι α,β ειαι ομοσημοι.
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 15 Για x και ρ > 0, ισχυει : 0 x - x < ρ x (x - ρ,x + ρ) x - ρ < x < x + ρ 0 0 0 0 0 Οι αριθμοι x που ικαοποιου τη σχεση x - x < ρ ειαι τα σημεια του διαστηματος (x - ρ,x + ρ) που εχει κετρο το x και ακτια ρ. 0 0 0 ρ μοαδες d(x,x ) ρ μοαδες ο xο -ρ x x ο xο -ρ x' Στη περιπ 0 x τωση που x = 0, ειαι : x < ρ x (-ρ,ρ) - ρ < x < ρ 0 Για x και ρ > 0, ισχυει : 0 x - x > ρ x (-,x - ρ)u (x + ρ,+ ) x < x - ρ η x > x + ρ 0 0 0 0 0 Οι αριθμοι x που ικαοποιου τη σχεση x - x > ρ ειαι τα σημεια Μ(x) του αξοα x'x που απεχου απ'το σημειο Κ(x ) αποσταση μεγαλυτερη του ρ. x' 0 d(x,x ο) ρ μοαδες ρ μοαδες x xο -ρ x ο xο -ρ Στη περιπτωση που x = 0, ειαι : x > ρ x < - ρ η x > ρ 0 x 0
Να αποδειξετε οτι : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 16 α + β Α α < 1 και β < 1, τοτε : < 1 1 + αβ Α α - 1 < και β - < 3, τοτε : α - β < 6 Ειαι Ετσι α < 1 α < 1 α < 1 α - 1 < 0 β < 1 β < 1 β < 1 1 - β > 0 α + β α + β < 1 < 1 α + β < 1 + αβ α + β < 1 + αβ 1 + αβ 1 + αβ (α + β) < (1 + αβ) α + β + αβ < 1 + αβ + α β α +β - 1 - α β < 0 α (1 - β ) - (1 - β ) < 0 (1 - β )(α - 1) < 0, που αληθευει λογω της (1). Ειαι α - 1 < - < α - 1 < - + 1 < α - 1 + 1 < + 1-1 < α < 3 β - < 3-3 < β - < 3-3 + < β - + < 3 + -1 < β < 5-1 < α < 3-1 < α < 3 (+) 4< 6-6 < α - β < 4-6 < α - β < 6 α - β < 6. 1 > -β > -5-5 < -β < 1 Να απλοποιηθει η παρασταση : Α = 3 α - β + 5 β - α - α + β + α - β, α α > β > 0. Να υπολογιστου οι τιμες του ακεραιου α, α : α - 5 = 5 - α και α - 3 = α - 3. Ειαι α > β α - β > 0 β < α β - α < 0 α > 0 α > 0 (+) α > 0 α > 0 (+) α + β > 0 α - β > 0 β > 0 β > 0 α > β α - β > 0 Ετσι, η παρασταση Α γιεται : Α = 3(α - β) + 5[-(β - α)] - (α + β) + (α - β) = 3α - 3β - 5β + 5α - α - β + α - β = 9α - 11β Αφου α < 5 3 α - 5 = 5 - α α - 5 < 0 α < 5 τοτε 3 α - 3 = α - 3 α - 3 0 α α ακεραιος Αρα οι τιμες του α ειαι :, 3 και 4. (1)
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17 Να αποδειξετε οτι : α β Α αβ 0, τοτε : + β α Α α - 1 1 και β + 1, τοτε : α - β 4 α α Ισχυει: = για αβ 0 β β και... Βρειτε πρωτα μεταξυ ποιω αριθμω βρισκοται οι α και β και... Να αποδειξετε οτι : 1 - α + 1 - β = α - β, α α < 1 < β. 1 - α + - β + 3 - γ = 6 + α + β + γ, α α < β < γ < 0. Να υπολογιστει η τιμη του ακεραιου α, α : 3α - 7 = 3α - 7 και α - 8 = 8 - α. Βρειτε το προσημο τω παραστασεω μεσα στα απολυτα και... Χρησιμοποιειστε το ορισμο της απολυτης τιμης και...
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 18 Ρ ι ζ ε ς Ορισμος Για κάθε θετικο πραγματικο αριθμο α και θετικο ακεραιο αριθμο, υπαρχει μοαδικος θετικος πραγματικος αριθμος x τετοιος ώστε x =α. Ο αριθμος x οομαζεται θετικη ιοστη ριζα του α και συμβολιζεται α Δηλαδη: Ιδιοτητες x =α x = * α με α,x 0 + μ μ α = α α β = αβ μ ( α ) = α Αποδειξη μ α = β α β. α = α α β = α μ μ α = α α = Α α 0 και β 0 τοτε α.β = α. β α.β = αβ α. β = α. β = αβ Αρα α.β = α. β οποτε και α.β = α. β Α α 0 τοτε μ α = μ μ α μ α = α μ μ μ Αρα μ μ μ μ α = α = α = α μ μ α = α οποτε και α = α Π α ρ α δ ε ι γ μ α Να γραψετε χωρις ριζες τη παρασταση : 3 - μ 3 - = 1 + - = 1 + -.1. = (1 - ) = 1 - = - 1 Να βρεθει η τιμη της παραστασης : 7 45-3 15-6 5 7 45-3 15-6 5 = 7 9.5-3 5.5-6 5 = 7 9 5-3 5 5-6 5 = Ε.Κ.Π.(, 3, 6) = 6, οποτε 3 6. 4. 3 = 7.3. 5-3.5. 5-6 5 = 1 5-15 5-6 5 = 0 μ α μ β 3 6. 4. 3 6 3 6 6 6 3 6 4 6 5 6 3 4 5 6 1 6 6 =. 4 3 =. =.. = = ( ) = = Να γραψετε με ρητο παροομαστη τη παρασταση : 1 3-1 3 + 3 + 3 + 3 + =. = = = = 3-3 + ( 3 - )( 3 + ) ( 3) - ( ) 1 = 3 + 1 3-4 4 3 Να γραψετε με τη βοηθεια μιας ριζας τη παρασταση : 4 3 4 3 4 6 3 4 6 3 6 4 3 6 6.4 3 6 4 =. = = = = = 8
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19 Να βρεθει η τιμη της παραστασης : 3 6 Α = 8 + 3 5-3 - - 45 +. 4. 3 Ειαι 8 = 4. = 4. = 3 + 1 - = - = ( ) + 1 -.1. = ( - 1) = - 1 = = - 1, αφου > 1 45 = 9.5 = 9. 5 = 3 5 3 6 3 6 5. 4. 3 =.. = Οποτε η παρασταση γιεται.. =.. = = ( ) = 4 6 3 6 4 6 5 6 3 4 5 6 1 6 6 Α = + 3 5 - ( - 1) - 3 5 + 4 = - + + 4 = 6 Να βρεθει για ποια x οριζεται η παρασταση : 3 Α = 5- x - + x -x Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρασταση : 4 3 Β = 5 5 5 5 Να συγκριετε τους αριθμους : + 1 5-1 Για α οριζεται η παρασταση Α, πρεπει : 5- x - 0 x - 5-5 x - 5 x -x 0 x x x x, αληθευει για καθε x - 5 + x - + 5 + -3 x 7 Ειαι 4 3 4 3 4 6 3 4 6 3 6 4 9 5 5 5 5 = 5 5 5.5 = 5 5 5 = 5 5.5 = 5 5 Εστω : + 1 > 5-1 (1) Ειαι 5 > 5 > 5 - > 0 () Οποτε η (1) () + 1 > 5-1 5 - < ( 5 - ) < 5-5. + < 4 10 > 3 ( 10) > 3 4.10 > 9 40 > 9, που αληθευει. Αρα + 1 > 5-1
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 Να μετατραπου οι παραστασεις σε ισοδυαμες με ρητο παροομαστη : 3 Α = Β = Γ = 6 5 3 3 3 5-3 5-3 Ειαι 3 Α = = 6 5 3 6 3. 3 6 5 6 3. 3 6 6 6 6 = = = = 3 6 5 6 6 3.3 3 3 Ειαι ( 5 + 3) Β = = 5-3 ( 5-3) ( 5 + 3) ( 5 + 3) = = 5 + 3 Ειαι 3 ( 5) + 5. 3 + ( 3) = 5-3 ( 3 5-3 3) ( 3 5) + 3 5. 3 3 + ( 3 3) 3 3 Γ = = 3 3 3 ( 5 + 3) ( 5 + 3) = = = ( 5) - ( 3) 5-3 ( 5) + 5. 3 + ( 3) ( 5) + 5. 3 + ( 3) = = = 3 ( 5) - ( 3) 5-3 ( 5) + 5. 3 + ( 3) 3 = = ( 5) + 5. 3 + ( 3) = 3 5 + 3 15 + 3 9
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 Να βρεθει η τιμη τω παραστασεω : Α = ( 117-7 + 48)( 63-48) 3 Β = ( 4-5 81 + 375) 3 Γ = (4 3-5 7 + 3 40) : 8 Mετατρεψτε σε καταλληλα γιομεα τα υπορριζα και... Να καετε πραξεις μεταξυ τω ριζω και... Δ = 4 3-3 3 + 3 Ε = 14 + 6 5-14 - 6 5 3 3 Ζ = 0-14 + 0 + 14 Να βρεθει για ποια x οριζεται η παρασταση : Α = x - 1 + x - -4 Nα γραψετε, με τη βοηθεια μιας ριζας, τη παρα - σταση : 5 8 3 5 Β = Γ = 5 5 5 5 Να συγκριετε τους αριθμους : + 3 3 + Να μετατραπου οι παραστασεις σε ισοδυαμες με ρητο παροομαστη : α α - 1 Α = Β = Γ = 5 4 α 0, 0016 α - 1 α - β 1 - α + 1 + α - 1 Δ = Ε = Ζ = α + β 1 + α + 1 - α - 1 α - β 1 3 Η = Θ = Ι = 3 3 α - β 7-6 4-1 Το υπορριζο ειαι μη αρητικος αριθμος και... Χρησιμοποιειστε τη ιδιοτητα: μ μ α = α και... Θεωρειστε το εα μεγαλυτερο απ το αλλο και... Πολλαπλασιαστε με καταλληλη παρασταση, αριθμητη και παροομαστη, ωστε α προκυψει οπαροομαστης ρητος. Καετε χρηση δυαμεω και ταυτοτητω.