Εξισώσεις του Maxwell

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΣΥΡΜΑΤΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εισαγωγή στα Η/Μ Κύματα Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Εξισώσεις του Maxwell Τα χρονικά μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία ακολουθούν κάποιους φυσικούς νόμους, που περιγράφονται από ένα σύνολο εξισώσεων γνωστές ως εξισώσεις Maxwell. Το ηλεκτρικό πεδίο και το μαγνητικό πεδίο H είναι διανυσματικά πεδία και γενικά έχουν πλάτος και κατεύθυνση που μεταβάλλονται με τις τρεις χωρικές συντεταγμένες x,y,z καθώς και με τη χρονική μεταβλητή t. 1

Συντακτικές Σχέσεις 3 Ισχύουν οι σχέσεις = και = όπου μ ο 4π*10 7 (Henry/m) η μαγνητική διαπερατότητα του κενού και ε ο 10 9 /36π (Farad/m) η διηλεκτρική επιτρεπτότητα του κενού. Γενικά ισχύει = και = Όταν οι μ,ε είναι βαθμωτές ποσότητες τότε το μέσο καλείται ισοτροπικό και τα διανύσματα B(D) και H() είναι παράλληλα. Νόμος του Faraday 4 Ένα χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο γεννά ένα ηλεκτρικό πεδίο. Αποτελεί δηλαδή πηγή στροβιλισμού που παράγει ηλεκτρικό πεδίο που παρουσιάζει περιστροφή. =- t

Μαγνητική Επαγωγή 5 Κατεύθυνση Κίνησης Μαγνήτη S N G Κατεύθυνση Κίνησης Μαγνήτη Κατεύθυνση Κίνησης Μαγνήτη S N S N Μαγνητική Επαγωγή 6 3

Επαγόμενο Ηλεκτρικό Πεδίο 7 Κατεύθυνση Κίνησης Μαγνήτη S N Επιφάνεια πραγματική ή και φανταστική Νόμος του Gauss 8 Η απόκλιση του ηλεκτρικού πεδίου, δηλαδή η ηλεκτρική ροή που εξέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια με όγκο V, είναι ίση με το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται από την κλειστή αυτή επιφάνεια. Αν ρ αναπαριστά την πυκνότητα φορτίου εκφρασμένη σε culmb/m 3, τότε η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το Νόμο του Gauss για την ηλεκτρική ροή είναι ( ) = = 4

Πηγές Μαγνητικού Πεδίου 9 Για να ολοκληρωθεί η αναπαράσταση των Η/Μ φαινομένων πρέπει να συσχετίσουμε την περιστροφή και την απόκλιση του μαγνητικού πεδίου με τις πηγές του. Η πηγή στροβιλισμού που προκαλεί την περιστροφή του μαγνητικού πεδίου είναι το ρεύμα. Ο νόμος του Ampere είναι η πρώτη έκφραση αυτής της διαπίστωσης και αφορά σταθερά ρεύματα. Ο Maxwell επέκτεινε τις πιθανές πηγές εισάγοντας την έννοια της χρονικά μεταβαλλόμενης ηλεκτρικής ροής ως πηγή χρονικά μεταβαλλόμενου μαγνητικού πεδίου και κατά συνέπεια επέκτεινε την εφαρμογή του νόμου του Ampere σε χρονικά μεταβαλλόμενες συνθήκες. Νόμος Ampere Maxwell 10 5

Υπόθεση Maxwell για Ρεύμα Μετατόπισης 11 Η πυκνότητα του ρεύματος μετατόπισης προτάθηκε από τον Maxwell ως η χρονική μεταβολή της ηλεκτρικής μετατόπισης, δηλαδή d = = t t Η υπόθεση ότι ένα χρονικά μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο είναι ισοδύναμο με μια πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος και ως τέτοια παράγει μαγνητικό πεδίο, οδήγησε, σε συνδυασμό με το νόμο του Faraday, στις κυματικές εξισώσεις. Αναγκαιότητα για Ρεύμα Μετατόπισης 1 Το ολοκλήρωμα του μαγνητικού πεδίου στην κλειστή καμπύλη abcda, θα πρέπει με βάση το νόμο του Ampere να δίνει το ρεύμα που διέρχεται από οποιαδήποτε επιφάνεια έχει όριο την καμπύλη αυτή. b S S 1 a c d 6

Πηγές και Μαγνητικό Πεδίο 13 Για την περιστροφή του μαγνητικού πεδίου συνεπώς μπορούμε να γράψουμε = + t Επειδή τα δυαδικά των ηλεκτρικών φορτίων, δηλαδή τα μαγνητικά φορτία δεν υφίστανται ως απομονωμένα μαγνητικά μονόπολα στη φύση, συμπεραίνουμε ότι η απόκλιση της μαγνητικής επαγωγής B είναι πάντοτε μηδενική. Νόμος του Gauss για τη Μαγνητική Ροή 14 Η μαγνητική ροή που εξέρχεται από μια κλειστή επιφάνεια είναι πάντοτε μηδενική = Άρα οι γραμμές μαγνητικής ροής είναι πάντα κλειστές αφού δεν υπάρχουν φορτία στα οποία θα μπορούσαν να καταλήγουν. Ο αριθμός δηλαδή των γραμμών της μαγνητικής ροής που εισέρχονται σε μια περιοχή ισούται με τον αριθμό των γραμμών που εξέρχονται. 0 7

Εξισώσεις Maxwell 15 Για ένα χώρο ελεύθερο από ρεύματα πηγών και κινούμενων φορτίων Νόμος Ampere Maxwell Faraday Gauss για ηλεκτρική ροή Gauss για μαγνητική ροή Διαφορική Μορφή (Σημειακές σχέσεις) = + t =- t = = 0 Εξισώσεις Maxwell 16 Για ένα χώρο ελεύθερο από ρεύματα πηγών και κινούμενων φορτίων Νόμος Ampere Maxwell Faraday Gauss για ηλεκτρική ροή Gauss για μαγνητική ροή ò C Ολοκληρωτική Μορφή dl æ = ò ö ç + ds= I Sçè t ø ò C ò dl=-ò ds= V S t S ò ds = dv = Q ò S V ds = 0 ttal 8

Νόμος Διατήρησης Φορτίου 17 Οι πυκνότητες ρεύματος και φορτίου συνδέονται με το νόμο διατήρησης του φορτίου, σύμφωνα με τον οποίο Το συνολικό φορτίο σε ένα απομονωμένο σύστημα παραμένει σταθερό d ò ds =- dv S dt ò é ( ) dv ds ù ê = ëò ú V ò S û =- t Γέννηση Η/Μ Κυμάτων 18 9

Ημιτονοειδής Χρονική Μεταβολή 19 Συνήθως τα πεδία παράγονται από ρεύματα και δυναμικά με ημιτονοειδή χρονική μεταβολή, δηλαδή ( r, t) = Ε ( r) cs( t) ή ( r, t) = ( r) sin( t) Αν χρησιμοποιήσουμε την αναπαράσταση φασιθετών, γράφουμε ( r, t) = Re{ ( r) e jt } ΠΡΟΣΟΧΗ : Η έκφραση (r) είναι ανεξάρτητη του χρόνου Φασιθέτες και Πεδία 0 Τα πεδία είναι διανυσματικά ( r, t) = xˆ ( r, t) + yˆ ( r, t) + zˆ ( r, t) x y z () = ˆ () + ˆ () + ˆ () r x r y r z r x y z Επιπλέον τα πεδία είναι μιγαδικά () r = () r + () r = () r j e x xr xi x () r = () r + () r = () r j e y yr yi y () r = () r + () r = () r j e z zr zi z j ( r) x j () r y j () r z 10

Φασιθέτες και Πεδία 1 j t e x x j x x e x x jt jx ( r) jt x r, t = Re{ x r e } = Re{ x( r) e e } ( ) ( ) () r cs ét () r ù = x ë + x û Εξισώσεις Maxwell με Φασιθέτες ΠΡΟΣΟΧΗ : Θεωρώ χώρο ελεύθερο από κάθε είδους φορτία ή ρεύματα αγωγιμότητας =- t = t = 0 = 0 e t jt = j e jt =- j B H= D = 0 B = 0 j D 11

3 Η/Μ Κύματα Κυματική Εξίσωση 4 Με συνδυασμό των εξισώσεων του Maxwell προκύπτει για το ηλεκτρικό πεδίο - = 0 - = t t όπου u 1 1 =» = -9-7 10 4 10 36 η ταχύτητα διάδοσης στο κενό. 8 3 10 sec 0 m 1

Εξίσωση του Helmhltz 5 Αν χρησιμοποιήσουμε τους αντίστοιχους φασιθέτες προκύπτει η εξίσωση Helmhltz Ε+ Ε= 0 Η+ Η= 0 Στην πράξη λύνουμε την εξίσωση για το ένα πεδίο και στη συνέχεια υπολογίζουμε το άλλο πεδίο. Χρησιμοποιώντας τον κυματικό αριθμό + = 0 k k f = = = = u u Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης 6 + = + + + = x y z k k 0 Μια κατάλληλη λύση είναι της μορφής j x = Ae - kr j y = Be - kr j z = Ce - kr k= xˆk + yˆk + zˆk r= xˆx + yˆ y+ zˆz x y z Θέτουμε ˆ ˆ ˆ = xa+ yb+ zc () r= - e j kr 13

Επίπεδα Κύματα 7 Η διανυσματική εξίσωση + = + + + = x y z k k 0 ισχύει για κάθε συνιστώσα του πεδίου, δηλαδή x y z i i i 0,, i k i xyz Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης Με τη μέθοδο διαχωρισμού των μεταβλητών, θεωρούμε x f x g y h z Αντικαθιστώντας στη διαφορική εξίσωση 0 ghf fhg fgh k fgh Διαιρώντας με fgh f g h f g h k 0 Σελίδα 8 14

Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης Η εξίσωση αυτή διαχωρίζεται σε 3 εξισώσεις f d f kx kx f 0 f dx g d g ky 0 kyg g dy h d h kz k 0 zh h dz όπου k x, k y, k z, οι σταθερές διαχωρισμού k k k k x y z Σελίδα 9 Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης Οι εξισώσεις αυτές είναι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις ης τάξης. Αν γράψουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση της πρώτης, αντικαθιστώντας f =ξ, τότε ξ =-k x, που έχει δύο λύσεις μιγαδικές ξ 1 =jk x =ξ * =(-jk x ) *. Άρα για την πρώτη διαφορική εξίσωση έχουμε λύσεις της μορφής e ±jk x x και για τις άλλες δύο e ±jk y y και e ±jk z z Άρα μια κατάλληλη λύση για τη συνιστώσα Ε x είναι της μορφής jk x jky jkz Ae x x y z Σελίδα 30 15

Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης Η λύση αυτή μεταφράζεται ως η x συνιστώσα ενός κύματος που διαδίδεται στην κατεύθυνση που ορίζει το διάνυσμα διάδοσης k= xˆk + yˆk + zˆk x y z γιατί το εσωτερικό γινόμενο με το διάνυσμα θέσης r= xˆx+ yˆ y+ zˆz είναι k r= kx+ ky + kz x y z που είναι k φορές η κάθετη απόσταση από την αρχή των αξόνων σε ένα επίπεδο κάθετο στο διάνυσμα k. Σελίδα 31 Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης Το διάνυσμα διάδοσης γράφεται k= nˆk= nˆ kx + ky + kz Άρα για τη x συνιστώσα του πεδίου μπορούμε να γράψουμε - j Όμοια Αν θέσουμε Τότε = Ae kr x j y = Be - kr ˆ ˆ ˆ = xa+ y B+ zc ( ) r= - e j z = Ce - kr j kr Σελίδα 3 16

Επίλυση Κυματικής Εξίσωσης 33 Ξεκινώντας από την τρίτη εξίσωση του Maxwell Καταλήγουμε στην jkr ( e ) - -jkr = 0 = e = 0 k = Δηλαδή το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου είναι κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης. 0 34 Επίπεδα Κύματα Ισοφασικές Επιφάνειες Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία k r= σταθερά δηλαδή η φάση είναι σταθερή, είναι επίπεδο και μάλιστα κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης Το επίπεδο αυτό αποτελεί μια ισοφασική επιφάνεια για το ηλεκτρικό πεδίο που δίνεται από την εξίσωση j r= - kr () e 17

Ομοιόμορφα Επίπεδα Κύματα 35 Ομοιόμορφα καλούνται τα κύματα που το πλάτος τους είναι σταθερό σε όλη την ισοφασική επιφάνεια. Π.χ. κύμα διαδίδεται στον άξονα z, ˆ z k= zk Το είναι κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης, δηλ. ανήκει στο επίπεδο xy και έχει συνιστώσες x, y μόνο. Το κύμα είναι επίπεδο, άρα kr = k zx ˆ ˆx+ k zy ˆ ˆ y+ k zz ˆ ˆz= k z Επειδή είναι ομοιόμορφο, το πλάτος είναι σταθερό στο επίπεδο xy άρα δεν μπορεί να εξαρτάται από τα x,y, δηλ. r = z = xˆ z + yˆ z ( ) ( ) ( ) ( ) x y Εγκάρσια Η/Μ Κύματα (ΤΕΜ) 36 Υπολογίζουμε και το μαγνητικό πεδίο από την εξίσωση περιστροφής Προκύπτει =- j B=-j H ( ˆ ) H= n όπου 1 Z = =» 10» 377 Y η χαρακτηριστική αντίσταση του κενού Ohm 18

Εγκάρσια Η/Μ Κύματα (Ρυθμός ΤΕΜ) 37 Η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι κάθετη στο ηλεκτρικό πεδίο και την κατεύθυνση διάδοσης. Τα δύο πεδία βρίσκονται στο ισοφασικό επίπεδο του σχήματος. Τα ισοφασικά επίπεδα είναι παράλληλα. -jkr jt ( r, t) = Re{ e e } = Re ˆn -j( kr -t) { e } ( t k r) ( k r t) = cs - = cs - Ρυθμοί (mdes) Η/Μ Πεδίων 38 Ένας ρυθμός (mde) είναι μια συγκεκριμένη σχέσηδιάταξη στο χώρο του του H. Δεδομένου ενός προβλήματος οριακών Η/Μ συνθηκών υπάρχουν συνήθως πολλές διατάξεις Η/Μ πεδίων που ικανοποιούν τις κυματικές εξισώσεις, τις εξισώσεις του Maxwell και τις οριακές συνθήκες. Όλες αυτές οι διατάξεις λύσεις για τα Η/Μ πεδία καλούνται ρυθμοί (mdes). Ο ρυθμός ΤΕΜ είναι μια λύση όπου και H, σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, περιέχονται σε ένα τοπικό επίπεδο το οποίο είναι ανεξάρτητο του χρόνου, και κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης. 19

Μήκος Κύματος 39 Η απόσταση που πρέπει να ταξιδέψει το κύμα ώστε να μεταβληθεί η φάση του κατά π, δηλαδή k r= k ˆ ˆ n r= = k όπου θεωρήσαμε ότι παρατηρούμε το κύμα στη διεύθυνση της διάδοσης. Αντικαθιστώντας για k παίρνουμε c = = = = k f c Ταχύτητα Φάσης 40 Η ταχύτητα που πρέπει να έχει παρατηρητής στον άξονα y ώστε σε χρόνο λ /c να καλύψει απόσταση λ y. v p y y c c cs c c cs 0

Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 41 Διάδοση στην κατεύθυνση του άξονα z, δηλαδή δεν υπάρχει εξάρτηση από τις μεταβλητές x,y. kr = k z Επιπλέον θεωρούμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο έχει μόνο x συνιστώσα, δηλαδή () () () - r = z = xˆ z = xˆ Ae Αντίστοιχα προκύπτει για το μαγνητικό πεδίο A - H( z) = yˆ e jk z = yˆ Hy ( z) Z x j kz Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 4 Αν Α πραγματικός και + jt { x } (, ) = xˆ (, ) = xˆre ( ) zt zt ze x é æ z ö ù = xˆ Acs( t- k ) ˆ z = xacs t- ê çè u ë øú û jt { y } (, ) = yˆ (, ) = yˆre ( ) zt zt H ze y A A é æ zö ù = yˆ cs( t- k ) ˆ z = y cs t- Z Z ê çè u ë øú û 1

Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 43 Η λύση για το ηλεκτρικό πεδίο είναι μια συνάρτηση που ταξιδεύει προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα z με ταχύτητα u. é æ z ö ù Πράγματι, η συνάρτηση cs t - ê ç u υποδεικνύει ë è øú û ότι όσο αυξάνεται το z τόσο μειώνεται η τιμή του ορίσματος. Για να διατηρήσουμε σταθερό το όρισμα θα πρέπει σε χρόνο Δt να έχουμε μετατόπιση κατά Δz με ταχύτητα u, ώστε ( ) ( + ) z z z z t+ t - = t- = σταθερά t= u u u Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 44

Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 45 x x t = Σταθερό H y z y Για να εκφράσουμε μαθηματικά την όδευση του κύματος x( zt, + t) = x( z- zt, ) = x( z- ctt, ) ή ( zt, ) = ( z-zt, - t) = ( z-ctt, -t) x x x Παράδειγμα Επίπεδου Η/Μ Κύματος 46 x zt, 3

Αντίθετα οδεύοντα κύματα 47 Μια πιο πλήρης επίλυση της κυματικής εξίσωσης δίνει κύματα που οδεύουν σε αντίθετες κατευθύνσεις () + -jkr - + jkr r = e + e 1 ˆ kr kr Hr n Z + + -j - + j () = ( e - e ) H 1 1 n ˆ = ˆ Z H n = Z + + + - - - Στάσιμα κύματα 48 Υποθέτουμε σημείο στο χώρο όπου υπάρχουν δύο αντίθετα οδεύοντα κύματα. Αποδεικνύεται jt ( r, ) = Re ( r) = Re ( r) όπου jt- Εr ( ) t é e ù é e ù ëê úû êë úû + - + - + - ( - ) + - ( + ) ( ) ( ) { t 0} = + + cs k r cs - tan é ê ë ( k r) -1 0 = Σε δεδομένη θέση η περιβάλλουσα r δεν εξαρτάται από το χρόνο (παραμένει σταθερή στο χώρο), και το κύμα καλείται στάσιμο κύμα. tan ù ú û () 4

Στάσιμα κύματα 49 Ο λόγος της μέγιστης προς την ελάχιστη τιμή καλείται λόγος στάσιμων κυμάτων (Standing Wave Rati) και συμβολίζεται SWR - 1+ + - + () 1 max SWR = r r () = + 1 min = + - - = + - - 1- + όπου ο συντελεστής ανάκλασης = - 0 + 0 Στάσιμα κύματα 50 Λόγος Στασίμων κυμάτων Συντελεστής ανάκλασης 1 SWR 0 1 0 SWR 1 Ένα απλό οδεύον κύμα 1 SWR Πλήρως στάσιμο (ίσα πλάτη) 5

Στάσιμα κύματα 51 Περίπτωση πλήρως στάσιμου κύματος =1 + + () = + cs( ) r kr + - = + é + ( ) ù ( ) = ë 1+ cs k r û = cs k r ( ) ( ) + - = cs k r = cs k r Ένα σημείο σταθερής φάσης δεν μετατοπίζεται στο χώρο με την πάροδο του χρόνου. Στάσιμα κύματα 5 6

Στάσιμα κύματα 53 3j j Στάσιμα κύματα 54 30 j 1 j 7

Ισχύς και Ενέργεια Η/Μ Πεδίου 55 Θεώρημα Pynting : Το διάνυσμα Pynting σε κάθε σημείο του χώρου, είναι ένα μέτρο του ρυθμού της ενεργειακής ροής ανά μονάδα επιφάνειας στο σημείο αυτό. = Η κατεύθυνση της ροής είναι κάθετη στα διανύσματα, και ταυτίζεται με την κατεύθυνση του διανύσματος. 56 Χρονική Μέση Τιμή Διανύσματος Pynting Υπολογίζεται στη διάρκεια μιας περιόδου 1 () Re * Pav r = é() r H () r ù êë úû Είναι η πυκνότητα ισχύος ή η χρονική μέση τιμή του ρυθμού ροής της ενέργειας ανά μονάδα επιφάνειας Έχει μονάδα Watt/m. Εξαιρετικά χρήσιμο μέγεθος για τον υπολογισμό της ισχύος που ακτινοβολεί μια κεραία. Ισχύει P () r nˆ nˆ av = = Z 8

57 Πόλωση Η/Μ Κυμάτων Γραμμική Κυκλική Ελλειπτική Πόλωση Η/Μ Κυμάτων 58 Η πόλωση ενός ομοιόμορφου επίπεδου κύματος είναι ο γεωμετρικός τόπος που διαγράφεται από το άκρο του διανύσματος του ηλεκτρικού πεδίου. Αφού το ηλεκτρικό πεδίο είναι πάντα κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης, ο γεωμετρικός τόπος διαγράφεται σε επίπεδο κάθετο στην κατεύθυνση διάδοσης. Η πόλωση συνεπώς αναφέρεται στη χρονική μεταβολή του ηλεκτρικού πεδίου σε κάποιο σταθερό σημείο στο χώρο. Περιγράφει τόσο τη χρονικά μεταβαλλόμενη κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου όσο και το πλάτος του. 9

Πόλωση Η/Μ Κυμάτων 59 Υπάρχουν 3 κατηγορίες πόλωσης Γραμμική Κυκλική Ελλειπτική (γενική περίπτωση) -jkr jt ( r, t) = Reé e e ù ê ë ú û -j kr jt = Reé( xˆ yˆ zˆ x y z ) e e ù ê + + ë úû Θεωρώ διάδοση κατά μήκος του άξονα z και επιπλέον παρατηρούμε το ηλεκτρικό πεδίο για z=0 nˆ = zˆ = 0 z = 0 k r = 0 z Πόλωση Η/Μ Κυμάτων 60 Γενικά οι συνιστώσες x,y του ηλεκτρικού πεδίου είναι μιγαδικές jx = e x y x = e y j y ( 0, t) = ( 0, t) + ( 0, t) x y jx jt j y jt = Re é ˆ Re ˆ x e e ùx é y e e ù êë úû + ê ú y ë û = cs t+ + t+ ( ) xˆ cs( ) x x y y Όλες οι περιπτώσεις πόλωσης προκύπτουν επιλέγοντας κατάλληλες τιμές για τα πλάτη και τις φάσεις yˆ 30

Γραμμική Πόλωση 61 Θεωρούμε ότι x y Άρα x y ( 0, t) = cs( t+ ) x ( 0, t) = cs( t+ ) y xˆ yˆ ( 0, t) = + cs( t+ ) x Δηλαδή ευθεία γραμμή που σχηματίζει γωνία ψ ως προς τον άξονα x, ίση με τη φάση του πεδίου. y Γραμμική Πόλωση 6 x cst x 0,t y cst y æy ( 0, t 1 ) æ ö - ö -1 y = tan tan = ç ( 0, t) ç è x ø è x ø 31

Γραμμική Πόλωση 63 Αν επιλέγαμε ή τότε x y y x y x ( 0, t) = cs( t+ ) x xˆ ( 0, t) = cs( t+ + ) yˆ =- cs( t+ ) y y yˆ Γραμμική Πόλωση 64 0,t x x cst y cst y Αν επιλέγαμε μηδενισμό της x, ή της y συνιστώσας τότε το ηλεκτρικό πεδίο θα είχε μόνο την συνιστώσα y ή x αντίστοιχα. 3

Κυκλική (Ωρολογιακή) Πόλωση 65 Αν υποθέσουμε ότι Τότε Άρα x y ( 0, t) = cs( t) x 0 y xˆ æ ö ç çè ø x y ( 0, t) = cs ç t- yˆ = sin( t) ( 0, t) = é ù é ù y ( 0, t -1 ) -1 sin( t) -1 = tan tan tan étan( t) ù ê = = = t ( 0, t) ú ê cs( t) ú ë û ê x ú ê ú ë û ë û yˆ Κυκλική (Ωρολογιακή) Πόλωση 66 x y 33

Κυκλική (Ανθωρολογιακή) Πόλωση 67 Αν υποθέσουμε ότι Τότε Άρα x y ( 0, t) = cs( t) x 0 y x y xˆ æ ö ç çè ø ( 0, t) = csçt+ yˆ =- sin( t) yˆ ( ) 0, t = και =- t Κυκλική (Ανθωρολογιακή) Πόλωση 68 x y 34

Ελλειπτική Πόλωση 69 Αν αντί για ίσα πλάτη θεωρήσουμε x 1 y 1 x y 0 Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων από τα οποία διέρχεται το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου είναι έλλειψη με μεγάλο ημιάξονα που συμπίπτει με τον άξονα x και μέγεθος ( 0,t) = 1+ Και μικρό ημιάξονα που συμπίπτει με τον άξονα y και ( 0,t) = 1- max min Ελλειπτική (Ωρολογιακή) Πόλωση 70 x 1 0,t max y 0,t min 35

Ελλειπτική (Ανθωρολογιακή) Πόλωση 71 1 x 0,t max y 0,t min Ελλειπτική Πόλωση 7 Αν x 1 y 1 x y 0 τότε στρέφεται η έλλειψη και ο μεγάλος ημιάξονας συμπίπτει με τον άξονα y, ενώ ο μικρός με τον άξονα x, παραμένοντας ωρολογιακή για 1 >, και ανθωρολογιακή για 1 <. Υπάρχει και η γενική περίπτωση όπου ο μεγάλος και ο μικρός άξονας της έλλειψης δεν συμπίπτουν με τους άξονες x,y, αλλά υπάρχει μια κλίση της έλλειψης για m x y m 0,1,,3,... 36

Ελλειπτική Πόλωση 73 x x x y y y y x Ελλειπτική Πόλωση 74 tan x y cs x y s x y x y 4 x y cs s 4 x y x y x y cs 1 A 1 B s sign x y 37

Ελλειπτική Πόλωση 75 Αν η διαφορά φάσης δεν είναι περιττό πολλαπλάσιο των 90 ο και x y 45 A 1cs B 1cs x Η φορά περιστροφής είναι ωρολογιακή αν sin 0 Και ανθωρολογιακή αν sin 0 x Σύνοψη Συνθηκών για Είδος Πόλωσης 76 Γραμμική Πόλωση έχουμε αν Μια από τις δύο συνιστώσες είναι μηδενική ή Η διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π, δηλαδή Κυκλική Πόλωση αν x y n n0,1,,... Τα πλάτη των δύο ορθογώνιων συνιστωσών είναι ίσα και η διαφορά φάσης είναι περιττό πολλαπλάσιο του π/ 1 x y n n 0,1,,... 38

Σύνοψη Συνθηκών για Είδος Πόλωσης 77 Ελλειπτική Πόλωση έχουμε αν Η διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών είναι περιττό πολλαπλάσιο του π/ και τα πλάτη δεν είναι ίσα, 1 x y n n 0,1,,... Ή ανεξαρτήτως των πλατών η διαφορά φάσης δεν είναι πολλαπλάσιο του π/ x y n n0,1,,... Σύνοψη για Φορά Περιστροφής 78 Η φορά περιστροφής προκύπτει παρατηρώντας το κύμα ενώ απομακρύνεται και περιστρέφοντας τη συνιστώσα που προηγείται προς τη συνιστώσα που έπεται. Η περιστροφή γίνεται πάντα προς τη μικρότερη γωνία που σχηματίζουν οι δύο συνιστώσες. Γενικά υπολογίζουμε x y Επίσης προσέξτε την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος και τοποθετήστε σωστά τις xyz ανάλογα με το δεξιόστροφο κοχλία. 39

Φορά Περιστροφής για Κυκλική Πόλωση 79 Α) Κατεύθυνση ẑ A.1) H συνιστώσα Ε x προηγείται x y n n0,1,,... Άρα στρέφω x προς y και έχω CW A.) H συνιστώσα Ε y προηγείται x y n n0,1,,... Άρα στρέφω y προς x και έχω CCW Φορά Περιστροφής για Κυκλική Πόλωση 80 B) Κατεύθυνση ẑ B.1) H συνιστώσα Ε x προηγείται x y n n0,1,,... Άρα στρέφω x προς y και έχω CCW B.) H συνιστώσα Ε y προηγείται x y n n0,1,,... Άρα στρέφω y προς x και έχω CW 40

Φορά Περιστροφής για Ελλειπτική Πόλωση 81 Ισχύουν τα ίδια με την κυκλική όταν τα πλάτη είναι διαφορετικά αλλά η διαφορά φάσης είναι περιττό πολλαπλάσιο του π/. Όταν n ẑ Α) Κατεύθυνση Α.1) x y 0 A.) 0 x y Η πόλωση είναι CW Η πόλωση είναι CCW ẑ B) Κατεύθυνση B.1) x y 0 B.) 0 x y Η πόλωση είναι CCW Η πόλωση είναι CW 8 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: +30 10 414759 e mail: kanatas@unipi.gr 41