ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι: x > - α β Αν α < 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι: x < - α 3 3. Αν α = 0 και β > 0 τοτε η ανισωση αληθευει για κάθε x Αν α = 0 και β < 0 τοτε η ανισωση είναι αδυνατη Αν α = 0 και β = 0 τοτε η ανισωση είναι αδυνατη Μορφη: αx + β < 0 με α,β β Αν α > 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι: x < - α β Αν α < 0 τοτε το συνολο των λυσεων της ανισωσης ειναι: x > - α Αν α = 0 και β > 0 τοτε η ανισωση αδυνατη Αν α = 0 και β < 0 τοτε η ανισωση ειναι αληθευει για καθε x Αν α = 0 και β = 0 τοτε η ανισωση ειναι αδυνατη Παρατηρησεις 1. 0.x > κ ειναι αδυνατη αν κ > 0 ενώ αληθευει για καθε x αν κ < 0.. 0.x < κ αληθευει για καθε x αν κ > 0 ενω ειναι αδυνατη αν κ < 0. 3. 0.x > 0 ειναι αδυνατη 4. 0.x < 0 ειναι αδυνατη M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς 1 ο υ β α θ μ ο υ ) 5x + 1 x + 1 x + 1 Να λυθει η ανισωση : < + 6 3 1ο Βημα : Πολλαπλασιαζουμε ολους τους ορους με το Ε.Κ.Π. (απαλοιφη παρονομαστων). 5x + 1 x + 1 x + 1 6. < 6. + 6. 5x + 1 < 3.(x + 1) +.(x + 1) 6 3 ο Βημα : Απαλοιφουμε τις παρενθεσει ς (επιμεριστικη ιδιοτητα). 5x + 1 < 3x + 3 + 4x + 3ο Βημα : Xωριζουμε γνωστους απο αγνωστους (στο πρωτο μελος οι αγνωστοι). 5x - 3x - 4x < 3 + - 1 4ο Βημα : Κανουμε πραξεις σε καθε μελος. - x < 4 5ο Βημα : Διαιρουμε με τον συντελεστη του αγνωστου (και το προσημο του). Αν το προσημο του συντελεστη ειναι " - ", αλλαζει φορα η ανισωση. -x 4 > H Εννοια x > του - - - διανυσματος Στη περιπτωση που : 0.x > α, τοτε η ανισωση ειναι "αδυνατη" αν α > 0, "αληθευει για καθε x" αν α < 0. 0.x < α, τοτε η ανισωση ειναι "αδυνατη" αν α < 0, "αληθευει για καθε x" αν α > 0.
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς π α ρ α μ ε τ ρ ι κ η ς ) Να λυθει η ανισωση : λ (x - 1) x - 3λ + για τις διαφορες τιμες του λ. 1ο Βημα : M ε πραξεις, φερνουμε την ανισωση σε μορφη Α.x > < B, με Α, Β παραγοντοποι - ημενα. λ (x - 1) x - 3λ + λ x - λ x - 3λ + λ x - x λ - 3λ + (λ - 1)x λ - 3λ + (λ + 1)(λ - 1)x (λ - 1)(λ - ) (Ι) ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι μεγαλυτερος του μηδενος, B οποτε εχουμε λυση, την : x > < (χωρις να αλλαζει φορα η ανισωση). A λ - Για (λ + 1)(λ - 1) > 0, δηλαδη για λ < -1 η λ > 1, η (Ι) εχει την λυση : x λ + 1 3ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι μικροτερος του μηδενος, ο - B ποτε εχουμε λυση, την : x > < (αλλαζει φορα η ανισωση). A λ - Για (λ + 1)(λ - 1) < 0, δηλαδη για - 1 < λ < 1, η (Ι) εχει την λυση : x λ + 1 4ο Βημα : Υποθετουμε οτι ο συντελεστης του αγνωστου ειναι ισος με μηδεν. Για (λ + 1)(λ - 1) = 0, δηλαδη για λ = 1 η λ = -1, εχουμε : Για λ = 1 η (Ι) γινεται : 0.x (1-1)(1 - ) 0.x 0.(-1) 0.x 0, οποτε η ανισωση αληθευει για καθε x. Για λ = -1 η (Ι) γινεται : 0.x (-1-1)(1 - ) 0.x (-).(-1) 0.x, οποτε η ανισωση ειναι αδυνατη. M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς μ ε ι δ ι α α π ο λ υ τ α ) x - 1 1 - x Να λυθει η ανισωση : + < -x + -7 3 1ο Βημα : Μετατρεπουμε ολα τα απολυτα, ωστε να γινουν ιδια ( εχουμε το δικαιωμα να αλ - λαξουμε τα προσημα ενος απολυτου καθως και να βγαλουμε κοινο παραγοντα). x - 1 x - 1 + <. x - 1-7 3 ο Βημα : Λυνουμε σαν ανισωση 1ου βαθμου με αγνωστο το απολυτο. x - 1 x - 1 6. + 6. < 6.. x - 1-6.7. x - 1 +3. x - 1 < 1. x - 1-4 3. x - 1 +3. x - 1-1. x - 1 < - 4-7. x - 1 < - 4 x - 1 < 6 3ο Βημα : Εχοντας υποψιν οτι : θ > 0 ισχυει : - θ < f(x) < θ. α. f(x) < θ, τοτε αν : θ < 0 η ανισωση ειναι αδυνατη. λυνουμε την ανισωση. θ > 0 ισχυει : f(x) < -θ η f(x) > θ. β. f(x) > θ, τοτε αν : θ < 0 η ανισωση αληθευει για καθε x. - 6 < x - 1 < 6-6 + 1 < x - 1 + 1 < 6 + 1-5 < x < 7.
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 3 M ε θ ο δ ο ς ( Λ υ σ η α ν ι σ ω σ η ς μ ε δ ι α φ ο ρ ε τ ι κ α α π ο λ υ τ α ) Να λυθει η ανισωση : x - 1 + x - 4 < 1 1ο Βημα : Βρισκουμε τις τιμες που μηδενιζουν καθε απολυτο και σχηματιζουμε πινακα προσημων των απολυτων, για το καθε διαστημα που δημιουργηθηκε. x-1 μηδενιζει για x=1 x-4 μηδενιζει για x= ο Βημα : Λυνουμε την ανισωση ξεχωριστα σε καθε διαστημα που δημιουργηθηκε και συναληθευουμε τη λυση με το συγκεκριμενο διαστημα. Για x < 1, η ανισωση γινεται : - x + 1 - x + 4 < 1 -x - x < 1-1 - 4-3x < - 4 x <. 3 4 Πρεπει : x < 1 και x <, οποτε x < 1. 3 Για 1 x <, η ανισωση γινεται : x - 1 - x + 4 < 1 x - x < 1 + 1-4 -x < - x <. Πρεπει : 1 x < και x <, οποτε 1 x <. Για x, η ανισωση γινεται : x - 1 + x - 4 < 1 x + x < 1 + Αρα η λ υση ε ιναι : (-,1)U[1, ) = (-, ) η x <. x - 1 + x-1 -x-1 x+1 x+1 x-4 -x-4 -x-4 x+4 1 + 4 3x < 6 x < (δεν συναληθευει). 4
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 x + 3 x + 1 3 + x Να λυθει η ανισωση : - 4 3 x + x x x + 1 Να βρεθει που συναληθευουν οι ανισωσεις : - 1 - < 0 4 3 5 15 Eιναι ΕΚΠ=1 x + 3 x + 1 3 - x x + 3 x + 1 3 + x - 1. - 1. 1. 6(x + 3) - 3(x + 1) 4(3 + x) 4 3 4 3 6x + 18-3x - 3 1 + 4 6x - 3x - 4x 1-18 + 3 -x -3 x 3 Ειναι x + x x + x - 1 1. - 1. 1 4 3 4 3 3(x + ) - 4x 1 3x + 6-4x 1 x x + 1 x x + 1 3x - (x + 1) < 0 3x - x - 1 < 0 - < 0 15. - 15. < 0 5 15 5 15 x -6 -x 6 1 1-6 x < x < 1 x < x - 1 < 6 x - 0 x - 3 < -3 x - 4 x - 4 4 - x x - 8 x - 5 > -1 x - 6 > x - 7 + 3 4 (+1) x - 1 < 6-6 < x - 1 < 6-6 + 1 < x - 1 + 1 < 6 + 1-5 < x < 7 x - 0 x - = 0 x = x - 4 < -3 ειναι αδυνατη αφου - 3 < 0 και x - 4 > 0 x - 4 ( x - 4 η x - 4 -) x 6 η x x - 5 > -1 αληθευει για καθε πραγματικο x αφου - 1 < 0 και x - 5 > 0 x - 6 > x - 7 x - 6 > x - 7 (x - 6) > (x - 7) x - 1x + 36 > x - 14x + 49 x > 13 13 x > α = -α x - 4 4 - x x - 8 x - 4 -(x - 4) (x - 4) + + 3 4 3 4 x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 x - 4 + 6. + 6. 6. 3 4 3 x - 4 +3 x - 4 3 x - 4 x - 4 0 x - 4 = 0 x = 4
Να λυθει η ανισωση : λ(x - λ) < 3(x - 3) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 Ειναι λ(x - λ) < 3(x - 3) λx - λ < 3x - 9 λx - 3x < λ - 9 (λ - 3)x < (λ + 3)(λ - 3) (Ι) (λ + 3)( λ - 3) Για λ - 3 > 0, δηλαδη για λ > 3, η (Ι) αληθευει, οταν : x > x > λ + 3 λ - 3 (λ + 3)( λ - 3) Για λ - 3 < 0, δηλαδη για λ < 3, η (Ι) αληθευει, οταν : x < λ - 3 Για λ - 3 = 0, δηλαδη για λ = 3, τοτε η (Ι) γινεται : 0.x < (3 + 1)(3-3) 0.x < 0, αδυνατη Να βρεθει ο ακεραιος αριθμος, για τον οποιο : αν του προσθεσουμε το μισο του γινεται μικροτερος του 16. 1 αν του προσθεσουμε το του γινεται μεγαλυτερος του 11. 5 Εστω x ο ζητουμενος ακεραιος αριθμος. Τοτε, συμφωνα με τα δοσμενα : x < λ + 3 x x 3 x + < 16.x +. <.16 x < x + x < 3 3x < 3 3 55 3 < x < x x 5x + x > 55 6x > 55 55 6 3 x + > 11 5.x + 5. > 5.11 x > 5 5 6 55 3 Oποτε, ο ακεραιος που βρισκεται μεταξυ των και, ειναι ο x = 10. 6 3 1 x + 3 < 5 3- x - 4 6 x + 3-1 x -4 x + 3 1 η η 1 x + 3 < 5 x (-8, -4]U[-, ). x + 3 < 5 x + 3 1 x - -5 < x + 3 < 5-8 < x < 3- x - 4 6-6 3- x - 4 6-9 - x - 4 3-3 x - 4 9 1 x x - 4-3 η x - 4-3 η 5 1 7 13 7 x [-, ]U[, ]. x - 4 9 x - 4 3 x -9 < x - 4 9 5 13 - x
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 6 Να λυθει η ανισωση : 3 x - 1 - x - < 3x Τα απολυτα μηδενιζουν για x = 1 και x =. Οποτε θα εξετασουμε την ανισωση στα διαστη - ματα : (-,1), [1, ) και [, + ). Στο : (-,1) ειναι : x - 1 = -x + 1, x - = -x + και η ανισωση γινεται : 1 3(-x + 1) - (-x + ) < 3x -3x + 3 + x - < 3x -5x + 1 < 0 x < -, 5 1 που συναληθευει με το πιο πανω διαστημα για x < -. 5 Στο :[1, ) ειναι : x - 1 = x - 1, x - = -x + και η ανισωση γινεται : 3(x - 1) - (-x + ) < 3x 3x - 3 + x - < 3x x < 5, που συναληθευει με το πιο πανω διαστημα για 1 x <. Στο :[, + ) ειναι : x - 1 = x - 1, x - = x - και η ανισωση γινεται : 3(x - 1) - (x - ) < 3x 3x - 3 - x + < 3x -x < 1 x > -1, που συναληθευει με το πιο πανω διαστημα για x. 1 Aρα η ανισωση αληθευει για x (-, - )U[1, + ). 5
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 5x + 6 x x - 1-4 8 3 9 x + 10 x - 7 > + 4 9 3 Να βρεθει που συναληθευουν οι ανισωσεις : x - 1 x + 1 x x + 1 x + x - και - 3 6 4 8 8 x + 1 x + 1 (x - 1) + 5 > x(x - 1) + 4x και 5 λx - 1 λx λ + x + >, λ 1 6 4(x - 1) - (x - λ) > 3(x + λ) - λ, λ H κυρια Σ. απεκτησε τη πρωτη κορη της οταν ηταν 19 χρονων και τη δευτερη κορη της 7 χρονια αργο - τερα. Αν η ηλικια της κυριας Σ. σημερα ειναι μεγαλυτερη των 49 χρονων, το αθροισμα των ηλικιων των τριων γυναικων, ση - μερα, ειναι μικροτερο απο 106 χρονια. Ποια ειναι η σημερινη ηλικια τους (σε ακεραια χρονια); Να βρεθουν τρεις διαδοχικοι αρτιοι αριθμοι, για τους οποιους : το αθροισμα τους ειναι μικροτερο του 5. η διαφορα του μεγαλυτερου απ'το αθροισμα των αλ - λων δυο ειναι μεγαλυτερη του 3. Οταν πολλαπλασιαζουμε και τα δυο μελη μιας ανισωσης με θετικο αριθμο, δεν αλλαζει η φορα της ανισωσης. Οταν πολλαπλασιαζουμε και τα δυο μελη μιας ανισωσης με αρνητικο αριθμο, αλλαζει η φο - ρα της ανισωσης. Φερνουμε την ανισωση εστω στη μορφη : Α.x > B (I) η < η η (παραγοντοποιημενα τα Α και Β). Θεωρουμε x την ηλικια της Σ. Σχηματιζουμε τις δυο ανισω - σεις, συμφωνα με τα δοσμενα. Συναληθευουμε τις λυσεις των δυο ανισωσεων. Θεωρουμε x τον ζητουμενο α - ριθμο. Σχηματιζουμε τις δυο ανισω - σεις, συμφωνα με τα δοσμενα. Συναληθευουμε τις λυσεις των δυο ανισωσεων. Να βρεθουν οι σημερινες ηλικιες του κυριου Τ. και του γιου του, αν : η σημερινη ηλικια του κυριου Τ. ειναι διπλασια της ηλικιας του γιου. το αθροισμα των ηλικιων τους σημερα ειναι μικρο - τερο του 76. το αθροισμα των ηλικιων τους προπερσι ηταν μεγα - λυτερο του 70. Θεωρουμε x την ηλικια τουτ. Σχηματιζουμε τις δυο ανισω - σεις, συμφωνα με τα δοσμενα. Συναληθευουμε τις λυσεις των δυο ανισωσεων.
AΛYTΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 x + 3 < 3 x - 4 0 3x + < 0 4x - 8 5x - 1 > -1 x + 1 > x - 3x - +4 6-3x - - 3x - > - 4 3 Ισχυει : Αν x < θ, θ > 0 τοτε : - θ < x < θ Αν x > θ, θ > 0 τοτε : x > θ η x < -θ - 1 x - < 3 1- x - 3 5 x + 1 - x - 1 x + 1 - x - 4 1 x - 1 +3 x + < 0 - x + 1 < 3 Ισχυει : Αν x < θ, θ > 0 τοτε : - θ < x < θ Αν x > θ, θ > 0 τοτε : x > θ η x < - θ Bρισκουμε τις τιμες του x που μηδενιζουν τα απολυτα και ε - ξεταζουμε την ανισωση στα δι - αστηματα που σχηματιζονται απ'αυτες τις τιμες και...
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 9 Τ ρ ι ω ν υ μ ο Πολυωνυμικη συναρτηση δευτερου βαθμου, λεγεται καθε συναρτηση με μορφη: f(x) = αx² + βx + γ με α,β,γ και α 0. Tριωνυμο, λεγεται η αλγεβρικη παρασταση: αx² + βx + γ με α 0. Διακρινουσα και ριζες του τριωνυμου ειναι η διακρινουσα και οι ριζες της αντιστοιχης εξισωσης δευτερου βαθμου: αx²+βx+γ=0 Μορφη τριωνυμου Αν Δ > 0 τοτε το τριωνυμο αx²+βx+γ με α 0 εχει δυο ριζες ανισες στο, τις x 1, x και: αx² + βx + γ = α(x - x 1 )(x - x ). Αν Δ = 0 τοτε το τριωνυμο αx²+βx+γ με α 0 εχει διπλη ριζα, την x 0 = -β α και : β αx ² +βx + γ = α x + α = α(x - x 0). Αν Δ < 0 τοτε το τριωνυμο αx²+βx+γ με α 0 γινεται: β Δ αx² + βx + γ = α x + + α. 4α Π ρ ο σ η μ ο Τ ρ ι ω ν υ μ ο υ Προσημο τριωνυμου Αν Δ > 0 τοτε το τριωνυμο αx²+βx+γ με α 0 και ριζες x 1 < x : ειναι ετεροσημο του α, αν x 1 < x < x ειναι ομοσημο του α, αν x < x 1 η x > x Αν Δ = 0 τοτε το τριωνυμο αx²+βx+γ με α 0 ειναι ομοσημο του α Αν Δ < 0 τοτε το τριωνυμο αx²+βx+γ με α 0 ειναι ομοσημο του α Επιλυση ανισωσεων της μορφης: Α(x) > 0 : αναγεται στην επιλυση της: A(x).B(x) > 0 B(x) Α(x) 0 : αναγεται στην επιλυση της: A(x).B(x) 0 B(x) Α(x) < 0 B(x) : αναγεται στην επιλυση της: A(x).B(x) < 0 Α(x) 0 : αναγεται στην επιλυση της: A(x).B(x) 0 B(x) Σημειωση: Σε ανισωσεις της μορφης: Α(x) < > Γ(x) δεν κανουμε ποτε απαλοιφη B(x) παρονομαστων. Φερνουμε τα παντα στο πρωτο μελος, κανουμε ομωνυμα και χρησιμοποιουμε μια απ τις πιο πανω μορφες.
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 10 Να λυθει η ανισωση : (x - 1)(x - x + 5)(-x + 5x - 6) 0 για x < 1 τοτε x - 1 < 0 x - 1 = 0 x = 1, οποτε για x > 1 τοτε x - 1 > 0 x - x + 5 = 0 τοτε Δ = (-) - 4.1.5 = 4-0 = -16 < 0 x - x + 5 > 0 για καθε x. - x + 5x - 6 = 0 : -5-5 + 1 Δ = 1 x = - x = -x + 5x - 6 > 0 για < x < 3 ± 1 x = -5-1 x = 3 -x + 5x - 6 < 0 για x < η x > 3 - x = - Συμφωνα με τα πιο πανω ο πινακας προσημων ειναι : x - 1 3 + x-1 - + + + x -x+5 + + + + -x +5x-6 - - + - Γ(x) + - + - (x + )(x + 6x + 9) x - 5x + 6 Να λυθει η ανισωση : 0 για x < - τοτε x + < 0 x + = 0 x = -, οποτε για x > - τοτε x + > 0 x + 6x + 9 = 0 (x + 3) = 0 x = -3 και Δ = 6-4.1.9 = 36-36 = 0, οποτε x + 6x + 9 > 0 για καθε x. 5 + 1 Δ = 1 x = x = 3 x - 5x + 6 > 0 για x < η x > 3 x - 5x + 6 = 0 5 ± 1 x = 5-1 x = x - 5x + 6 < 0 για < x < 3 x = H πιο πανω ανισωση ειναι ισοδυναμη με την : (x + )(x + 6x + 9)(x - 5x + 6) 0, αν x και x 3. Συμφωνα με τα πιο πανω ο πινακας προσημων ειναι : Aρα το συνολο λυσεων της ανισωσης ειναι : [1, ]U[3,+ ). x - -3-3 + x+ - - + + + x +6x+9 + + + + + x -5x+6 + + + - + Γ(x) - - + - + Aρα το συνολο λυσεων της ανισωσης ειναι : [-,)U(3, + ).
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 11 Να λυθει το συστημα : x - 1 > 0 x - x + 5 > 0 -x + 5x - 6 0 για x < 1 τοτε x - 1 < 0 x - 1 = 0 x = 1, οποτε για x > 1 τοτε x - 1 > 0 x - x + 5 = 0 τοτε Δ = (-) - 4.1.5 = 4-0 = -16 < 0, οποτε x - x + 5 > 0 για καθε x. - x oποτε -x + 5x - 6 > 0 για < x < 3 -x + 5x - 6 < 0 για x < η x > 3-5 + 1 Δ = 5-4 = 1 x = - x = + 5x - 6 = 0-5 ± 1 x = -5-1 x = 3 - x = - Συμφωνα με τα πιο πανω ο πινακας προσημων ειναι : x - 1 3 + x-1 - + + + x -x+5 + + + + -x +5x-6 - - + - Aρα το συνολο λυσεων της ανισωσης ειναι : [, 3].
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 (x - )(x + x - 8)(x + x + 1) > 0 (x - 1)(-x + x - 1)(x + 1) > 0 (x - 3)(x + 3x - 10)(-x + x - 10)(x - 4) 0 (x - )(x - 7x + 6)(-x - x + 8)(x - 1) > 0 Το τριωνυμο f(x) = αx + βx + γ, με ριζες τις x και x, με x < x 1 1 1 ειναι : ομοσημο του α αν Δ = 0 η Δ < 0 η Δ > 0 με x < x η x > x 1 ετεροσημο του α αν Δ > 0 με x < x < x (x - 1)(x - x + 1) -x + x + 6 0 10 x + x - 3 + < x - 3 x + x x - x - 6 Να λυθουν τα συστηματα : x - 3x + > 0 x - > 0 (Σ ) : x - 5x - 50 < 0 (Σ ) : 6x + 5x + 1 > 0 1 x - x - 15 > 0 -x + 5x - 6 0 x - > 0 (Σ 3) : x + 1 (x - 4)(x + x + 4 > 0 Το τριωνυμο f(x) = αx + βx + γ, με ριζες τις x και x, με x < x 1 Το τριωνυμο f(x) = αx + βx + γ, με ριζες τις x και x, με x < x 1 1 1 ειναι : ομοσημο του α αν Δ = 0 η Δ < 0 η Δ > 0 με x < x η x > x 1 ετεροσημο του α αν Δ > 0 με x < x < x 1 1 ειναι : ομοσημο του α αν Δ = 0 η Δ < 0 η Δ > 0 με x < x η x > x 1 ετεροσημο του α αν Δ > 0 με x < x < x