ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009
ελίδα 2 από 9
ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ νξίδνπλ νη πιεπξέο B, A θαη AB ηνπ ηξηγώλνπ (αληίζηνηρα), ηόηε ηα ζεκεία 1, 1 θαη 1 είλαη ζπλεπζεηαθά. Απόδεημε Τν ηεηξάπιεπξν AB1 1 είλαη εγγξάςηκν, νπόηε: Bˆ ˆ 1 1 1 xˆ. Τν ηεηξάπιεπξν AB είλαη εγγεγξακκέλν, νπόηε: ˆ ˆ 1 xˆ. Τν ηεηξάπιεπξν B είλαη εγγξάςηκν, νπόηε: Bˆ ˆ ŷ. 1 1 1 1 1 Από ην νξζνγώλην ηξίγσλν 1, έρνπκε: xˆ ŷ 90. Άξα 1 Bˆ 1 1 180. Δειαδή ηα ζεκεία 1, B1, 1 είλαη ζπλεπζεηαθά. 1.2 ΓΧΝΙΑ ΔΤΘΔΙΧΝ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη δύν δηαθνξεηηθά ζεκεία ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Οη επζείεο Simpsn πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα δύν ζεκεία ζρεκαηίδνπλ γσλία πνπ ηζνύηαη κε ην κηζό ηνπ ηόμνπ πνπ δεκηνπξγνύλ ηα δύν δηαθνξεηηθά ζεκεία. Απόδεημε: Έζησ, δύν ζεκεία ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ AB θαη ( ),( ) νη αληίζηνηρεο επζείεο Simpsn. Οη γσλίεο πνπ ζρεκαηίδνπλ νη δύν επζείεο Simpsn ελίδα 3 από 9
είλαη xˆ ŷ ή 180 ( xˆ ŷ ) (βιέπε ζην ζρήκα). Θα απνδείμνπκε όηη νπνηαδήπνηε εγγεγξακκέλε γσλία πνπ βαίλεη ζην ηόμν κε άθξα ηα ζεκεία, είλαη xˆ ŷ ή 180 ( xˆ ŷ ). Τν ηεηξάπιεπξν B 1 1 είλαη εγγξάςηκν, νπόηε B ˆ 1 ŷ θαη από ην νξζνγώλην ηξίγσλν 1 έρνπκε: ˆ 1 90 ŷ (1). Τν ηεηξάπιεπξν 2 2 είλαη εγγξάςηκν, νπόηε B ˆ 2 xˆ θαη από ην νξζνγώλην ηξίγσλν 2 έρνπκε: ˆ 2 90 xˆ ( 2 ). Από ηηο ζρέζεηο ( 1),( 2 ) έρνπκε: ˆ 180 ( xˆ ŷ ). 1.3 ΚΑΘΔΣΔ ΔΤΘΔΙΔ SIMSON Οη επζείεο Simpsn πνπ αληηζηνηρνύλ ζε αληηδηακεηξηθά ζεκεία ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηξηγώλνπ AB είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο. Απόδεημε 1 ε : Φξεζηκνπνηνύκε ην απνηέιεζκα ηνπ πξνεγνύκελνπ πξνβιήκαηνο. ελίδα 4 από 9
ΔΤΘΔΙΔ SIMSON Απόδεημε 2: Αξθεί λα απνδείμνπκε όηη xˆ ŷ 90. Από ην εγγξάςηκν ηεηξάπιεπξν 2 2 έρνπκε: ŷ ˆ ˆ 2 90 2 Από ην εγγξάςηκν ηεηξάπιεπξν 1 1 έρνπκε: xˆ ˆ ˆ 1 90 1 Επεηδή όκσο ˆ ˆ 90, έρνπκε ηειηθά xˆ ŷ 90. 1.4 ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΔ ΔΤΘΔΙΧΝ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν, ην νξζόθεληξό ηνπ θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ ε πξνέθηαζε ηεο θαζέηνπ από ην πξνο ηε ηέκλεη ην πεξηγεγξακκέλν θύθιν ζην ζεκείν N, ηόηε ε είλαη παξάιιειε πξνο ηελ επζεία Simsn ( ) πνπ αληηζηνηρεί ζην ζεκείν θαη ε επζεία Simsn δηρνηνκεί ην ηκήκα. Απόδεημε: Από ην εγγξάςηκν ηεηξάπιεπξν 1 1 έρνπκε: ˆ ˆ 1 1 1 (1). Από ηηο εγγεγξακκέλεο γσλίεο πνπ βαίλνπλ ζην ηόμν έρνπκε: ˆ ˆ ( 2 ). Από ηηο ζρέζεηο ( 1) θαη ( 2 ) έρνπκε ˆ ˆ 1 1, νπόηε //( ). ελίδα 5 από 9
Έζησ ην ζπκκεηξηθό ηνπ θαη ην ζπκκεηξηθό ηνπ H σο πξνο ηε. Τόηε ην ηεηξάπιεπξν είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην θαη ε είλαη κεζνθάζεηνο ησλ παξάιιεισλ πιεπξώλ ηνπ θαη. Από ην ηζνζθειέο ηξαπέδην έρνπκε: ˆ ˆ 1 1. Εθόζνλ //, ηα ηόμα θαη ζα είλαη ίζα, νπόηε νη εγγεγξακκέλεο γσλίεο πνπ βαίλνπλ ζε απηά είλαη ίζεο. Δειαδή ˆ ˆ 1 1. 1.5 ΟΜΟΙΟΘΔΣΗ ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ, είλαη ηα ζπκκεηξηθά ηνπ ζεκείνπ πξνο ηηο πιεπξέο,, 1 2, 3 αληίζηνηρα, ηόηε ηα 1, 2, 3 αλήθνπλ ζε επζεία ( ) ε νπνία δηέξρεηαη από ζηαζεξό ζεκείν (γηα ηηο δηάθνξεο ζέζεηο πνπ κπνξεί λα πάξεη ην ζεκείν επάλσ ζην πεξηγεγξακκέλν θύθιν ηνπ ηξηγώλνπ). Απόδεημε: Έζησ 1, 1, 1 ηα κέζα ησλ 1, 2, 3. Τόηε ηα 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζεκείνπ ζηηο πιεπξέο, θαη ηνπ ηξηγώλνπ αληίζηνηρα. Άξα ηα 1, 1, 1 ζα αλήθνπλ ζηελ επζεία Simsn ( ) πνπ αληηζηνηρεί ζην ζεκείν. Τα ζεκεία 1, 2, 3 ζα αλήθνπλ ζηελ επζεία ( ), πνπ είλαη ε νκνηόζεηε ηεο επζείαο ( ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν θαη ιόγν 2. ελίδα 6 από 9
ΔΤΘΔΙΔ SIMSON Γλσξίδνπκε όκσο (από ηε πξνεγνύκελε πξόηαζε) όηη ε επζεία Simsn ( ), δηρνηνκεί ην ηκήκα ( ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ). Άξα νη επζείεο ( ) (πνπ πξνθύπηνπλ από ηηο δηάθνξεο ζέζεηο ηνπ ζεκείνπ ζην πεξηγεγξακκέλν θύθιν ηνπ ηξηγώλνπ ), ζα πεξλάλε από ην. 1.6 ΑΚΗΗ (ΔΤΘΔΙΔ SIMSON) Οη πξνεθηάζεηο ησλ πςώλ 1, 1 θαη CC 1 ηέκλνπλ ηνλ πεξηγεγξακκέλν θύθιν ηνπ, ζηα ζεκεία 2, 2 θαη C 2 αληίζηνηρα. Οη επζείεο Simsn πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα ζεκεία 2, 2 θαη C 2, δεκηνπξγνύλ ηξίγσλν 3 3C3 ( βιέπε ζρήκα). Απνδείμηε όηη ηα βαξύθεληξα ησλ ηξηγώλσλ 1 1C1 θαη 3 3C3 ηαπηίδνληαη θαη νη επζείεο 2 3, 2 3 θαη C 2C3 ζπληξέρνπλ. Λύζε Επεηδή ηα ζπκκεηξηθά ηνπ νξζνθέληξνπ σο πξνο ηηο πιεπξέο ηξηγώλνπ βξίζθνληαη ζην πεξηγεγξακκέλν θύθιν ηνπ, έρνπκε: 1 μέσο 2 1C1 // 2C2 θαη κε όκνην ηξόπν έρνπκε 1C1 // 2C2 θαη 1 1 // 2 B2 C1 μέσο C2 (δειαδή ηα ηξίγσλα 1 1C1 θαη 2 2C2 έρνπλ ηηο πιεπξέο ηνπο παξάιιειεο). ελίδα 7 από 9
Από ηελ ηζόηεηα ησλ γσληώλ (πνπ ζεκεηώλνληαη ζην ζρήκα κε ηνπ αξηζκνύο 1,2,3,4 θαη 5) πξνθύπηεη όηη: 1C1 // 3C3 θαη κε αλάινγν ηξόπν θαηαιήγνπκε: 1C1 // 3C3 θαη 1 1 // 3 B3. Άξα ηα ηξίγσλα 1 1C1, 2 2C2 θαη 3 3C3 έρνπλ ηηο πιεπξέο ηνπο παξάιιειεο. Τα ηξίγσλα 1 1C1 θαη 2 2C2 είλαη νκνηόζεηα ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ C. Από ηα παξαιιειόγξακκα (πνπ δεκηνπξγνύληαη από ηηο παξαιιειίεο ησλ πιεπξώλ ησλ ηξηγώλσλ 1 1C1 θαη 3 3C3 ) ζπκπεξαίλνπκε όηη ηα ζεκεία 1, 1, C1 είλαη κέζα ησλ πιεπξώλ ηνπ ηξηγώλνπ 3 3C3. Άξα ηα ηξίγσλα 1 1C1 θαη 3 3C3 έρνπλ ην ίδην βαξύθεληξν. ελίδα 8 από 9
ΔΤΘΔΙΔ SIMSON Τα ηεηξάπιεπξα 2C2 3C3 θαη 2C2 3C3 είλαη παξαιιειόγξακκα, νπόηε νη δηαγώληέο ηνπο 2 3, 2 3 θαη C 2 C 3 δηρνηνκνύληαη θαη θαηά ζπλέπεηα ζπληξέρνπλ ζην κέζν ηνπ C 2 C 3. ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ... 3 1.1 ΕΥΘΕΙΑ SIMSON... 3 1.2 ΓΩΝΙΑ ΕΥΘΕΙΩΝ SIMSON... 3 1.3 Κάζεηεο Επζείεο Simsn... 4 1.4 Παξαιιειίεο Επζεηώλ Simsn... 5 1.5 Οκνηόζεηε Επζείαο Simsn... 6 1.6 ΑΣΚΗΣΗ (Επζείεο Simsn)... 7 ελίδα 9 από 9