ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν υπάρχει. x 0 y 0. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο x y f(x, y) = x 4, όταν (x, y) (0, 0), + y 0, όταν (x, y) = (0, 0). (α) Για κάθε (u, v) R με (u, v) (0, 0) να υπολογιστεί το όριο lim t 0 f(tu, tv). (β) Είναι η f συνεχής στο σημείο (0, 0); 3. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο f(x, y) = x + xy +. Αν v = ( 1, ) και x = (1, 1), να υπολογιστεί η κατευθυνόμενη παράγωγος f (x; v). 4. Να υπολογιστεί σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της η παράγωγος της συνάρτησης f : R R με τύπο f(y) = y 0 e x y dx. 5. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο (α) Είναι η f συνεχής στο σημείο (0, 0); (β) Είναι η f διαϕορίσιμη στο σημείο (0, 0); x 3 xy f(x, y) = x, όταν (x, y) (0, 0), + y 0, όταν (x, y) = (0, 0). 6. Να υπολογιστεί ο ιακωβιανός πίνακας της συνάρτησης f : R R με τύπο στο σημείο (1, ). f(x, y) = (xy, x + y) 7. Εστω f : R 3 R μια διαϕορίσιμη συνάρτηση και h : R 3 R η συνάρτηση με τύπο h(r, ϕ, θ) = f(r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ). 1
Να υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι των μερικών παραγώγων της f. h r, h ϕ, h θ της h (σε κάθε σημείο) συναρτήσει 8. Να ευρεθεί η εξίσωση του εϕαπτομένου επιπέδου στο σημείο (1, π, 1) του γραϕήματος {(x, y, z) R 3 : z = sin(xy)}. 9. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο (x y) 1 sin, όταν x y, f(x, y) = x y 0, όταν x = y. (α) Είναι η f C 1, δηλαδή συνεχώς διαϕορίσιμη; (β) Ποιά είναι η εξίσωση του εϕαπτομένου επιπέδου στο σημείο (0, 0, 0) του γραϕήματος της f; 10. Να αποδειχθεί οτι αν c R, τότε οποιαδήποτε C συνάρτηση u : R R της μορϕής u(x, t) = g(x + ct), όπου g : R R είναι κάποια C συνάρτηση, ικανοποιεί την κυματική διαϕορική εξίσωση c u x = u t. 11. Εστω a 0 και b 0. Αν f : R R είναι η C συνάρτηση με τύπο f(x, y) = e ax +by, να ευρεθούν τα κρίσιμα σημεία της f και τα σημεία στα οποία παρουσιάζει τοπικό ακρότατο. 1. Να ευρεθούν τα κρίσιμα σημεία, τα σημεία τοπικών ακροτάτων και τα σαμάρια της C συνάρτησης f : R R όταν (α) f(x, y) = y x(x 1), (β) f(x, y) = x(y + 1) x y. 13. Εστω f : R 3 R η C συνάρτηση με τύπο f(x, y, z) = x + y z. Να αποδειχθεί οτι το (0, 0, 0) είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f, αλλά η f δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε αυτό. 14. Να αποδειχθεί οτι σε κάθε τρίγωνο με γωνίες A, και Γ ισχύει οτι Για ποιά τρίγωνα ισχύει η ισότητα; sin A sin sin Γ 1 8. 15. Να ευρεθούν τα κρίσιμα σημεία, τα σημεία τοπικών ακροτάτων και τα σαμάρια της C συνάρτησης f : R R με f(x, y) = xye 1 (x +y )
και να αποδειχθεί οτι f(x, y) 1 e για κάθε (x, y) R. 16. Να ευρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή που παίρνει η συνάρτηση f : R R με f(x, y) = x ye (x+y) στο κλειστό και ϕραγμένο σύνολο = {(x, y) R : x + y 4 και x 0, y 0}. 17. Να ευρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f : R 3 R με τύπο f(x, y, z) = x y + z πάνω στο ελλειψοειδές S = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = }. 18. Να ευρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή που παίρνει η τετραγωνική μορϕή f(x, y, z) = x + y + z xy + 4xz + 4yz πάνω στη σϕαίρα S = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 1}. 19. Εστω n και x i R, i = 1,,..., n. Να ευρεθούν η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος x 1 + x + + x n υπό τη συνθήκη x 1 + x + + x n = 1. 0. Να ευρεθεί το προς το σημείο (, 4) R εγγύτερο σημείο του κύκλου με εξίσωση x + y = 30, καθώς και το πιό απομακρυσμένο. 1. Να ευρεθούν τα σημεία της έλλειψης με εξίσωση 17x + 1xy + 8y = 100 που έχουν τη μέγιστη και την ελάχιστη απόσταση από το σημείο (0, 0) του R.. Να ευρεθεί η ελάχιστη απόσταση των σημείων του μοναδιαίου κύκλου S 1 = {(x, y) R : x + y = 1} από τα σημεία της υπερβολής Y = {(x, y) R : xy = 1, x > 0}. 3. Να υπολογιστεί η μέγιστη τιμή της συνάρτησης F (x, y, z) = log x + log y + 3 log z, πάνω στο σϕαιρικό χωρίο S = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 5R, x > 0, y > 0, z > 0}, όπου R > 0. Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του υπολογισμού αυτού, να αποδειχθεί οτι για κάθε a > 0, b > 0 και c > 0 ισχύει ( a abc 3 7 + b + c ) 5. 5 4. Αν = {(x, y) R : x y 1 και 1 x 1}, να υπολογιστεί το (x + y)dxdy. 3
5. Να υπολογιστεί ο όγκος του συνόλου = {(x, y, z) R 3 : 0 y 4 x z, x 0 και z 0}. 6. Αν = {(x, y) R : 1 x 1, 0 y x }, να υπολογιστεί το (x + y)dxdy. 7. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου = {(x, y) R : x + 1 y 9 x, x }. 8. Να υπολογιστεί ο όγκος του συνόλου = {(x, y, z) R 3 : x 0 y 0 και 0 z 4 4x 4y }. 9. Να υπολογιστεί xydxdy, όπου είναι το τετράγωνο με κορυϕές τα σημεία (0, 0), (1, 1), (, 1) και ( 1, 1). 30. Να υπολογιστεί xdxdy, όπου είναι το τετράγωνο με κορυϕές τα σημεία (1/, 0), (1, 1/), (1/, 1) και (0, 1/). 31. Αν = {(x, y) R : x + y 1}, να υπολογιστεί το e x+y dxdy. 3. Αν = {(x, y) R : 0 x y, 0 y 1}, να υπολογιστεί το e (x 1) dxdy. 33. Να υπολογιστεί yzdxdy, όπου = {(x, y, z) R 3 : z x z, 0 y z και 0 z 1}. 34. Αν a > 0, b > 0 και = {(x, y) R : a x + y b, y 0}, να υπολογιστεί το e (x +y ) (x + y )dxdy. 35. Αν = {(x, y) R : 4x + 9y 36, x > 0, y > 0}, να υπολογιστεί το (3x + y)dxdy. 36. Εστω οτι = {(x, y) R : x xy + y 1}. (α) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του. 4
(β) Να υπολογιστεί το xydxdy. 37. Αν = {(x, y, z) R 3 : x + y + z και x + y z}, να υπολογιστεί το zdxdydz. 38. Αν a > b > 0, να υπολογιστεί ο όγκος του συνόλου = {(x, y, z) R 3 : x + y + z a και x + y b }. 39. Αν R > 0 και = {(x, y, z) R 3 : x + y + z R, 0 x y και z 0}, να υπολογιστεί το 4zdxdydz. 40. Εστω a > 0, b > 0 και c > 0. Αν f : [0, 1] R είναι μια συνεχής συνάρτηση και να αποδειχθεί οτι = {(x, y, z) R 3 : x a + y b + z c 1}, ( ) x f a + y b + z c dxdydz = 4πabc 1 0 t f(t)dt. Ειδικά, ο όγκος του στερεού ελλειψοειδούς είναι 4 3 πabc. 41. Αν = {(x, y, z) R 3 : x + y + z 4 και x + y 1}, να υπολογιστεί το 1 x + y + z dxdydz. 4. Αν = {(x, y, z) R 3 : 1 x + y 4, 0 x y και 0 z 1}, να υπολογιστεί το (x + y )dxdydz. 43. Να υπολογιστεί ο όγκος του συνόλου = {(x, y, z) R 3 : x + y z 6 x y }. 44. Αν f : [ 1, 1] R είναι μία συνεχής συνάρτηση και = {(x, y) R : x + y 1}, να αποδειχθεί οτι 1 f(x + y)dxdy = f(t)dt. (Υπόδειξη: Θεωρείστε τον μετασχηματισμό g : R R με g(x, y) = (x + y, y x) και βρείτε το χωρίο g().) 1 5