ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. R = x,y,z :a x b, a y b, a z b. είναι τυχαίες διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α i,b i ] (i=1,2,3) της µορφής
|
|
- ŌΣίμων Κουταλιανός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Εστω ( x, y, z) {( ) } R = x,y,z :a x b, a y b, a z b. = είναι µια διαµέριση του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R, όπου οι x, y, z είναι τυχαίες διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α i,b i ] (i=,,) της µορφής { a x x... x b}, { a y y... y b } = = < < < = = = < < < =, x N y M z { a z z... z b} = = < < < =. K Ορίζουµε ένα πλέγµα επιπέδων x = xn, y= ym, z= zk ( n=,..., N, m=,..., M, k =,..., K) παραλλήλων προς τα επίπεδα Οyz, Οxz και Oxy αντιστοίχως που διαµερίζουν το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R σε N M K το πλήθος ορθογώνια παραλληλεπίπεδα Ω nmk,, όγκου ( )( )( ) V = x x y y z z = dx dy dz nmk,, n+ n m+ m k+ k n m k, όπου n=,..., N, m=,..., M, k =,..., K. Αν και τότε ορίζουµε { nmk} M = sup f( x, y, z) : ( x, y, z) Ω nmk,,,, { nmk} m = inf f( x, y, z) : ( x, y, z) Ω, nmk,,,, N M K Lf = sup ( mn, m, k Vn, m, k) : οποιαδηποτε διαµεριση της R n= m= k= και
2 N M K U f = inf Mn m k Vn m k : οποιαδηποτε διαµεριση της R n= m= k= (,,,,). Σηµειώνουµε ότι οι αριθµοί U f και L f υπάρχουν πάντα και καλούνται ανώτερο και κατώτερο ολοκλήρωµα Darboux της f επί της R. Ορισµός 5. Έστω f : R είναι φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R. Αν U = L = λ, f f τότε λέµε ότι η f είναι ολοκληρώσιµη κατά Riemann επί του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R και γράφουµε. f ( x, y, z ) dxdydz = λ R Ισοδύναµα λέµε ότι υπάρχει το τριπλό ολοκλήρωµα της f στο R. Πολλές φορές χρησιµοποιείται και ο ακόλουθος ορισµός (που είναι ισοδύναµος µε τον ορισµό 5.): Έστω f : R είναι µια φραγµένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R, είναι οποιαδήποτε διαµέριση του R σε στοιχειώδη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα Ω n,m,k και ( x n,y m, z k) είναι τυχαίο σηµείο του Ω n,m,k. Εστω { δ nmk,, n N m M k M } = max : =,...,, =,...,, =,..., είναι το µέγιστο πλάτος της, όπου Αν υπάρχει το όριο { PP P P nmk} δ = max :, Ω. nmk,,,, lim N- M- K- n= m= k= ( ( n m k ) n,m,k ) f x,y,z V = λ ανεξάρτητα της επιλογής της διαµέρισης και της επιλογής των σηµείων ( x n,y m, z k), τότε λέµε ότι υπάρχει το τριπλό ολοκλήρωµα της f στο R και γράφουµε
3 . f ( x, y, z ) dxdydz = λ R Θεώρηµα 5. Έστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R εκτός ενδεχοµένως από ένα υποσύνολο Π R αµελητέου όγκου (π.χ. το Π µπορεί να είναι είτε αριθµήσιµο πλήθος σηµείων, είτε πεπερασµένη ένωση τµηµατικά λείων καµπύλων, είτε επιφάνεια z = g( x, y), όπου g συνεχής συνάρτηση). Τότε η f είναι ολοκληρώσιµη στο R. Ο ορισµός του ολοκληρώµατος Riemann επεκτείνεται και σε µη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα ως εξής: Εστω f : είναι µια φραγµένη συνάρτηση πάνω σ ένα κλειστό και φραγµένο στερεό µε το σύνορό του να είναι σύνολο αµελητέου όγκου. Αφού το είναι φραγµένο υπάρχει ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει εξ ολοκλήρου το στερεό. Ορίζουµε την επέκταση της f στο ως εξής: f ( xyz,, ), ( xyz,, ) gxyz (,, ) =. (), ( x, yz, ) R\ Αν η g είναι ολοκληρώσιµη στο R, τότε ορίζουµε f ( x, y, z) dxdydz = g( x, y, z) dxdydz. Σηµείωση. Αποδεικνύεται ότι η τιµή του τριπλού ολοκληρώµατος g ( x, y, z ) dxdydz είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R. Ετσι µπορούµε να δώσουµε τον R ακόλουθο Ορισµός 5. Θα λέµε ότι µια φραγµένη συνάρτηση f : είναι ολοκληρώσιµη πάνω σ ένα κλειστό και φραγµένο στερεό µε σύνορο αµελητέου όγκου, αν η επέκταση της f (όπως στην ()) είναι ολοκληρώσιµη κατά Riemann πάνω σ ένα (άρα και σε κάθε) ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει το. R
4 Ιδιότητες του ολοκληρώµατος Εστω f, g: είναι ολοκληρώσιµες συναρτήσεις πάνω σε κλειστό και φραγµένο στερεό µε σύνορο αµελητέου όγκου. Αναφέρουµε χωρίς απόδειξη τις κάτωθι ιδιότητες: Η συνάρτηση k f λ g ( k, λ ) και ισχύει + είναι ολοκληρώσιµη στο ( k f + λ g )( x, y, z) dxdydz = k f ( x, y, z) dxdydz + λ g( x, y, z) dxdydz Οι συναρτήσεις f g, f, και f είναι ολοκληρώσιµες επί του g υπό την προϋπόθεση ότι είναι καλά ορισµένες στο. Αν η f είναι ολοκληρώσιµη επί του και η g: f( ) είναι συνεχής στο f() τότε και η σύνθεση αυτών g f είναι ολοκληρώσιµη επί του. Η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιµη επί του και ισχύει Αν f ( xyz,, ) gxyz (,, ) f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz. ( x,y,z) τότε ισχύει f ( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz. Αν = και = (ή γενικότερα το σύνολο είναι αµελητέου όγκου), τότε f ( x, y, z ) dxdydz = f ( x, y, z ) dxdydz f ( x, y, z ) dxdydz +. Γενικότερα, αν ισχύει, τότε f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dxdydz + f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz. 4
5 f x, y,z dxdydz =. Αν είναι σύνολο αµελητέου όγκου τότε ( ) Αν m f( x, y, z) M, τότε ισχύει m V f ( x, y, z) dxdydz M V όπου V είναι ο όγκος του στερεού., Θεώρηµα 5. (Μέσης Τιµής) Εστω f, g: είναι ολοκληρώσιµες συναρτήσεις πάνω σε κλειστό και φραγµένο στερεό µε σύνορο αµελητέου όγκου και έστω ότι η g είναι µη αρνητική συνάρτηση επί του. Tότε υπάρχει πραγµατικός αριθµός µ: inf f µ sup f έτσι ώστε ( f g)( x, y, z) dxdydz = µ g( x, y, z) dxdydz. Επιπλέον αν η f είναι συνεχής επί του και το είναι και * * συνεκτικό, τότε υπάρχει P έτσι ώστε µ = f ( P ) και * ( f g)( x, yz) dxdydz = f ( P ) g( x, y, z) dxdydz.. Υπολογισµός τριπλού ολοκληρώµατος Α. Πάνω σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Για τον υπολογισµό του τριπλού ολοκληρώµατος πάνω σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ισχύει το ακόλουθο: Θεώρηµα 5. (Fubini) Εστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο {( ) } R = x,y,z :a x b,a y b, a z b. Τότε οι µερικές συναρτήσεις b g yz = f xyzdx, (, ) (,, ) a b g x z = f x y z dy, (, ) (,, ) a (, ) = b (,, ) a g x y f x y z dz 5
6 είναι συνεχείς επί των ορθογωνίων χωρίων D, [ a, b ] [ a, b ] D = [ a, b ] [ a, b ] και D [ a, b ] [ a, b ], επιπλέον, =, = αντιστοίχως και b ( ) f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dz dxdy D a, b ( ) ( ) b f ( xyzdydxdz,, ) (,, ) D f xyzdxdydz a D. a = =,, Το Θεώρηµα 5. µας λέει ότι τα τριπλά ολοκληρώµατα πάνω σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα µπορούν να υπολογισθούν ολοκληρώνοντας αρχικά ως µία τυχαία µεταβλητή (κρατώντας τις υπόλοιπες δύο σταθερές) οπότε καταλήγουµε σε διπλό ολοκλήρωµα επί ορθογωνίου χωρίου. Στη συνέχεια ολοκληρώνουµε ως προς κάποια από τις εναποµείναντες µεταβλητές (κρατώντας την άλλη σταθερή) και καταλήγουµε σε ολοκλήρωµα συνάρτησης µιας µεταβλητής. Β. Πάνω σε φραγµένο στερεό Ορισµός 5. Εστω είναι κλειστό και φραγµένο στερεό του το σύνορο του οποίου έχει αµελητέο όγκο. Τότε το καλείται κανονικό ως προς y εάν (α) το εσωτερικό του είναι ένα µη κενό συνεκτικό σύνολο και η προβολή του στο xz επίπεδο είναι χωρίο κανονικό, είτε ως προς x, είτε ως προς z (β) κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των y η οποία διέρχεται και από το εσωτερικό του έχει δύο µόνον κοινά σηµεία µε το σύνορο του. Με όµοιο τρόπο ορίζουµε ότι το είναι κανονικό ως προς x ή ως προς z. Aν το είναι κανονικό και ως προς x και ως προς y και ως προς z θα λέµε απλά ότι το είναι κανονικό σύνολο. Θεώρηµα 5.4 Έστω f : είναι µία συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγµένο στερεό µε σύνορο αµελητέου όγκου και έστω ότι τα χωρία D, D και D είναι οι ορθογώνιες xy xz yz 6
7 προβολές του στερεού πάνω στα επίπεδα Oxy, Οxz και Oyz αντίστοιχα. (i) Αν το είναι κανονικό ως προς x στερεό της µορφής {( ) ( ) yz ( ) ( )} = x, y,z : y,z D, g y,z x g y,z, όπου g, g: Dyz είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο µεταβλητών πάνω στο χωρίο D yz, τότε g ( y, z) ( (, ) ) f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dx dydz. D g y z (ii) Αν το είναι κανονικό ως προς y στερεό της µορφής yz {( ) ( ) xz ( ) ( )} = x, y,z : x,z D, h x,z y h x,z όπου h, h: Dxz είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο µεταβλητών πάνω στο χωρίο D, τότε xz h ( x, z) ( (, ) ) f ( x, y, z) dxdydz = (,, ) f x y z dy dxdz D. h x z (iii) Αν το είναι κανονικό ως προς z στερεό της µορφής xz {( ) ( ) xy ( ) ( )} = x,y,z : x,y D, k x,y z k x,y όπου k, k: Dxy είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο µεταβλητών πάνω στο χωρίο D xy, τότε k ( x, y) ( (, ) ) f ( x, y, z) dxdydz = (,, ) f x y z dz dxdy D. k x y xy (iv) Aν το είναι κανονικό στερεό και άρα µπορεί να εκφρασθεί είτε µέσω της µορφής (i) είτε µέσω της (ii), είτε µέσω της (iii), τότε k ( x, y) ( (, ) ) f ( x, y, z) dxdydz = f ( x, y, z) dz dxdy D k x y xy 7
8 xz h( x, z) g( y, z) ( f ( xyzdydxdz,, ) (, ) ) ( (,, ) (, ) ) D h x z f xyzdxdydz D. g y z = = yz Σηµείωση: Το δυσκολότερο µέρος υπολογισµού ενός τριπλού ολοκληρώµατος είναι η εύρεση των ορίων ολοκλήρωσης. Αν το στερεό δεν είναι κανονικό ούτε ως προς x ούτε ως προς y ούτε ως προς z προσπαθούµε να το εκφράσουµε ως ένωση κανονικών στερεών ξένων µεταξύ τους ανά δύο. Στη συνέχεια δουλεύουµε σε κάθε κανονικό στερεό ξεχωριστά. Έστω είναι στερεό κανονικό ως προς z. Tότε για να υπολογίσουµε τα όρια ολοκλήρωσης στο f ( x, y, z ) dxdydz εργαζόµαστε ως εξής: Παίρνουµε τυχαία ευθεία L παράλληλη µε τον άξονα z z (ή κάθετη στο επίπεδο Οxy) που να διαπερνά τo στερεό κατά τη διεύθυνση αύξησης των z. Ολοκληρώνουµε την f ως προς z από την τιµή z=g (x,y) µέσω της οποίας η ευθεία L εισέρχεται στo στερεό ως την τιµή z= g (x,y) µέσω της οποίας η ευθεία L εξέρχεται από το στερεό. Τα χωρίο D xy προκύπτει από την oρθογώνια προβολή του στερεού στο επίπεδο Οxy. Eφαρµογές του τριπλού ολοκληρώµατος (α) Εστω είναι κλειστό και φραγµένο στερεό µε σύνορο αµελητέου όγκου. Tότε το τριπλό ολοκλήρωµα V =, dxdydz ισούται µε τον όγκο του στερεού. (β) Εστω ρ : (, + ) είναι πυκνότητα µάζας που κατανέµεται µε συνεχή τρόπο επί στερεού. Τότε το τριπλό ολοκλήρωµα M ρ( x, y, z) dxdydz = 8
9 ισούται µε τη συνολική µάζα του. Επιπλέον το κέντρο βάρους (x,y,z ) του δίνεται από τις σχέσεις x M xρ( x, y, z) dxdydz M yρ( x, y, z) dxdydz = =, y = = M ρ( x, y, z) dxdydz M ρ( x, y, z) dxdydz yz xz, z M xy = = M zρ( x, y, z) dxdydz ρ( x, y, z) dxdydz όπου οι M yz, M xz και M xy είναι οι ροπές ης τάξης του.. Αλλαγή συστήµατος συντεταγµένων Θεώρηµα 5.5 Εστω F :T G είναι ένα συνεχώς διαφορίσιµο και αντιστρέψιµο πεδίο επί κλειστού και φραγµένου τόπου T της µορφής δηλαδή ( ) ( u,v,w) = ( x,y,z) = x( u,v,w ),y( u,v,w), z( u,v,w) F, x x x u v w D( x,y,z) F ( ) = = u v w ( u,v,w) Du,v,w ( ) J P y y y z z z u v w G. Αν f : G είναι µία συνεχής συνάρτηση, τότε G ( ) ( ) D x,y,z f ( x, y,z) dxdydz = f ( x( u,v,w ), y( u,v,w), z( u,v,w) ) dudvdw T Du,v,w (α)μετασχηµατισµός σε κυλινδρικές συντεταγµένες. Σ αυτή την περίπτωση έχουµε: άρα: συνφ -ρηµφ D( x,y,z ) = ηµφ ρσυνφ = ρσυν φ+ ρηµ φ= ρ, D( ρ,φ,z) 9
10 ( ) ( ) f x, y,z dxdydz = f ρσυνφ, ρηµφ,z ρdρdφdz. G (β) Μετασχηµατισµός σε σφαιρικές συντεταγµένες. Στην περίπτωση αυτή έχουµε: συνθηµφ -rηµθηµφ rσυνθσυνφ D( x,y,z ) = ηµθηµφ rσυνθηµφ rηµθσυνφ D( r,θ,φ) συνφ -rηµφ = r ηµφ, όπου ϕ π και θ < π. Αρα συνεπώς ( ) ( ) D x,y,z r ηµφ D r,θ,φ =, ( ) = ( ) G T f x,y,z dxdydz f rσυνθηµφ, rηµθηµφ,rσυνφ r ηµφdrdθdφ Σηµείωση. Oταν έχουµε µη γνήσια τριπλά ολοκληρώµατα εργαζόµαστε όπως στην περίπτωση των διπλών ολοκληρωµάτων. Παρατήρηση. O ορισµός των τριπλών ολοκληρωµάτων µπορεί να γενικευθεί και σε χώρους περισσοτέρων διαστάσεων. Τότε έχουµε τα λεγόµενα πολλαπλά ολοκληρώµατα. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωµα. xydxdzdy Λύση. H oλοκλήρωση γίνεται επί ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου οπότε έχουµε ( ) x ( ) xydx dzdy = y dzdy y y dzdy = y yz 9y 6y = dz dy = dy = dy 5y 5 = dy =. 4 4
11 x y z dxdydz,. Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωµα ( ) όπου είναι το φραγµένο στερεό µεταξύ των επιφανειών x=,y=,z=, y=x και z=x+y. Λύση. Εχουµε D x+ y ( ) ( x y z) dxdydz = ( x y z) dz dydx x+ y x z = xz yz dydx x = x y dydx xy y = x dx x x x x 8 = dx = = Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωµα xyzdxdydz, όπου είναι το στερεό µεταξύ των επιπέδων x=,y=,z= και x+y+z=. Λύση. Το στερεό είναι ένα πρίσµα το οποίο είναι κανονικό. yy ' zz ' xx ' Η oρθογώνια προβολή D του πρίσµατος στο επίπεδο Οxy προκύπτει θέτοντας z= στην x+y+z=, συνεπώς είναι το τρίγωνο µε πλευρές x=, y= και x+y=. Θεωρούµε ευθεία παράλληλη στον άξονα των z z όπως φαίνεται στο σχήµα. Αυτή πάντα εισέρχεται από την τιµή z= και εξέρχεται πάνω στην επιφάνεια z=-x-y. Aρα έχουµε x y ( ) x y z xyzdxdydz = xyzdz dxdy = xy dxdy D D 4
12 = xy( x y) dxdy D. Oπως είπαµε παραπάνω το χωρίο D είναι το τρίγωνο µε πλευρές x=, y= και x+y=. Με τη συνήθη ολοκλήρωση που µάθαµε για τα διπλά ολοκληρώµατα έχουµε ( ) x xy( x y) dxdy = xy( x y) dy dx = D Να υπολογισθεί ο όγκος που περικλείεται µεταξύ των επιφανειών µε εξισώσεις z=x +y και z=8-x -y. Λύση. Οι δύο επιφάνειες τέµνονται πάνω στην έλλειψη x +y =8-x - y x +y =4. Αρα η κοινή προβολή των επιφανειών αυτών στο επίπεδο Οxy είναι το χωρίο D= {( x, y): x + y 4}. Eχουµε λοιπόν: 8-x -y ( ) D = x +y. D V = dzdxdy 8 - x - 4y dxdy Με αλλαγή µεταβλητής στον κυκλικό δίσκο x = ρσυνθ ρηµθ, το χωρίο D µετασχηµατίζεται y = και έχουµε {(, ): [, ), } D = ρθ θ π ρ π ( 8-x -4y ) dxdy= ( 8-ρ ) dρdθ D 8π ρ =. 5. Υπολογίστε τον όγκο του στερεού που φράσσεται κάτω από το επίπεδο Οxy, πάνω από τη σφαίρα x +y +z =4α και πλευρικά από ρ =ασυνθ, θ -π/,π/, ( a > ). τον κύλινδρο [ ] 4
13 Λύση. Το στερεό είναι η τοµή των επιφανειών όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα (στο σχήµα θεωρήσαµε ενδεικτικά ότι a=):.5 z'z x'x To στερεό είναι κανονικό ως προς z. Aρα οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη στον άξονα z z εισέρχεται στο στερεό από την τιµή z= και εξέρχεται µέσω του άνω ηµισφαιρίου z= 4a x y. Επίσης φαίνεται από το σχήµα ότι η προβολή της πάνω στο επίπεδο Οxy είναι ο κύκλος ρ =ασυνθ, θ [-π/,π/] όπως φαίνεται στο σχήµα y'y ρ=ασυνθ για α= - - y'y 4 x'x - - Εφόσον η προβολή δίνεται σε πολικές συντ/νες είναι λογικό να χρησιµοποιήσουµε µετασχηµατισµό σε κυλινδρικές συντ/νες για να βρούµε τον όγκο του στερεού. Εχουµε x = ρσυνθ, y= ρσυνθ, z = z και λαµβάνοντας υπόψη ότι z = 4a x y = 4a ρ έχουµε: 4a -ρ dxdydz = ρdρdθdφ = dz ρdρdθ G D = = π/ ασυνθ π/ aσυνθ / 4α - ρ ρdρdθ d(4a - ρ ) dθ -π/ -π/ π/ / = (( 4a -4a συν θ) 8 a ) dθ -π/ 4
14 π/ π/ 8a 8πa = ( 8 ) 8a ηµ θ a dθ = ηµ θdσυνθ + -π/ -π/ 8a π/ 8πa = ( ) -συν θ dσυνθ + -π/ π / 8a συν θ 8πa 8πa = συνθ - + = π / 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα zdxdydz +, όπου + είναι το θετικό ηµισφαίριο σφαίρας x + y + z = a, a >. Λύση. Χρησιµοποιούµε το µετασχηµατισµό σε σφαιρικές συντ/νες και έχουµε: π/ π a zdxdydz = + ( ( ) ) rσυνφ r ηµφdr dθdφ 4 4 πα π/ πα = ηµφσυνφdφ = Να υπολογισθεί µε τριπλή ολοκλήρωση ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες z = x + y, x + y = a και z=. Λύση. Το στερεό αποτελεί την τοµή της κωνικής επιφάνειας z = x + y και της κυκλικής κυλινδρικής επιφάνειας όπως ενδεικτικά φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα (για α=):. x + y = a
15 Το στερεό είναι άνω φραγµένο από την κωνική επιφάνεια, έχει ως παράπλευρη επιφάνεια τον κύλινδρο και είναι κάτω φραγµένο από το επίπεδο z=. Eχουµε λοιπόν x + y V = dxdydz = dz dxdy x y dxdy D = + D. Το χωρίο D είναι η προβολή του στερεού στο επίπεδο Οxy, συνεπώς D= ( x, y): x + y. Με µετασχηµατισµό είναι ο κυκλικός δίσκος { } σε πολικές συντ/νες παίρνουµε V π = ρ dρdθ = π. 8. Να υπολογισθεί µε τριπλή ολοκλήρωση ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες z = ( x + y ) και x + y + z = 6. Λύση. Το στερεό είναι άνω φραγµένο από το άνω ηµισφαίριο και κάτω φραγµένο από την κωνική επιφάνεια όπως φαίνεται στο κάτωθι σχήµα: H προβολή της τοµής των επιφανειών x + y + z = 6 στο επίπεδο Οxy είναι το χωρίο z x y = ( + ) και {(, ): 4} D= x y x + y το οποίο προκύπτει από την απαλοιφή του z από τις εξισώσεις των δύο επιφανειών. Εχουµε λοιπόν: dxdydz dz dxdy x y x y dxdy 6 x y ( + ) = = 6 ( + ) D x y D 45
16 ( ) / π 6 ρ ρ = ( 6 ρ ρ ) ρdρdθ π = 64 = π. 9. Υπολογίσετε το µη γνήσιο ολοκλήρωµα I = x + y + z + a dxdydz, a>. Λύση. Θεωρούµε το στερεό n {(, θφ, ) : n, θ π/, φ π/} = r r r όπου rn, n. Το στερεό n παριστάνει επιφάνεια σφαίρας κέντρου (,,) και ακτίνας r n για x, yz,. Τότε µε µετασχηµατισµό σε σφαιρικές συν/νες έχουµε: + a π / π / r n In = r ηµφdrd d r θ φ π / π / rn = r a + a ηµφdrdθdφ π π [ ] / rn r n = συνφ dr a dr r + a π r = rn a τοξεφ a r n π rn rn a π τοξεφ a π = + =+ a. 46
17 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα dxdydz, ( x+ y+ z+ ) όπου είναι το στερεό µεταξύ των επιπέδων x=,y=,z= και x+y+z=. Απάντ. 8 n 5 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα z x + y dxdydz, όπου είναι το στερεό µεταξύ των επιφανειών x +y =, z=x, z= (z ). π Aπάντ.. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα I = x + y + z dxdydz, όπου είναι το εσωτερικό της µοναδιαίας σφαίρας µε κέντρο το (,,). Aπάντ. 4 π 5 4. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα I το εσωτερικό του ελλειψοειδούς = xyzdxdydz, όπου είναι x y z + + = για x, yz,. a b c Aπάντ. abc Υπολογίστε µε τριπλή ολοκλήρωση τον όγκο του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες y= x, y= x, x+z =6, z =. 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα Aπάντ a b y x + y dzdydx, ( a, b> ) ax x. 47
18 7. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα Aπάντ ab R R x y ( x + y ) dzdydx, ( R > ). R x Aπάντ. 8. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωµα π R 5 5 x y z ( ) + + dzdxdy επί της σφαίρας µε κέντρο το σηµείο (,,) και ακτίνα /. Απάντ. π 8 n 9. Εστω είναι η στερεά περιοχή που περικλείεται από τα παραβολοειδή z = x + y και z= 6 8x y. Υπολογίστε τους όγκους των δύο στερεών στα οποία χωρίζει ο κύλινδρος 9x + 4y = το στερεό. Απάντ. V = 48π και V = 6π 48
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. R = x,y,z : a x b, a y b, a z b.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 5.. Ορισμοί-Ιδιότητες Έστω f : R είναι φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Εστω x, y, z R = x,y,z : a x b, a y b, a z b. είναι μια διαμέριση του
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.. Ορισµοί-Ιδιότητες Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. είναι διαµερίσεις των κλειστών διαστηµάτων [α,b] και [c,d] αντιστοίχως της µορφής
. Ορισµοί-Ιδιότητες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Έστω f : R είναι µία φραγµένη συνάρτηση πάνω σε µία κλειστή ορθογώνια περιοχή Εστω (, y ) { } R =,y :a b, c y d. = είναι µια διαµέριση της ορθογώνιας περιοχής
Διαβάστε περισσότεραb proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
00 Υπολογισµός τριπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Στην παράγραφο αυτή θα δούµε πως µπορεί να χρησιµοποιηθεί το θεώρηµα Fubini για τον υπολογισµό τριπλών ολοκληρωµάτων. Ξεκινούµε µε την διατύπωση
Διαβάστε περισσότερα6. Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Dirichlet).
6 Αρµονικές συναρτήσεις και συνοριακά προβλήµατα (Diichlet) Aρµονικές συναρτήσεις Ορισµός 61 Εστω E είναι ανοικτό σύνολο και f : E είναι µια πραγµατική συνάρτηση δύο πραγµατικών µεταβλητών και y Θα λέµε
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα Διπλά Ολοκληρώματα Άσκηση (Υπολογισμός διπλού ολοκληρώματος- Αλλαγή
Διαβάστε περισσότερα5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
Διαβάστε περισσότεραx 3 D 1 (x 1)dxdy = dydx = (x 1)[y] x x 3 dx + x)dx = 3 x5
1 Επαναληπτικές Ασκήσεις 19-1-18 Διπλά Ολοκληρώματα 1. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα (x 1)dxdy όπου το χωρίο περιέχεται από τις καμπύλες y x και y x. Λύση Οι δύο καμπύλες τέμνονται στα σημεία όπου x x.
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα τριπλών oλοκληρωμάτων Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα I = x e + z dv όπου = [, ] [,] [,] Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Λογισμός 4. Ασκήσεις. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ.
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Λογισμός 4 Ασκήσεις Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 23 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6. a2 x 2 y 2. = y
ΛΥΣΕΙΣ 6. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - romba. 7.5. Θεωρούμε την παραμετρικοποίηση rx, y = x, y, a 2 x 2 y 2, όπου το x, y διατρέχει τον δίσκο στο xy-επίπεδο που ορίζεται από την x 2 +y 2 a 2.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9. Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος
9. Εµαδόν χωρίου Κεφάλαιο 9 Εφαρµογές του ορισµένου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο είδαµε ότι αν f είναι µια συνάρτηση συνεχής στο κλειστό και φραγµένο διάστηµα [α,] (α
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 8: Αλλαγή μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Αλλαγή μεταβλητών. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1
Περιεχόµενα Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα...................... i Κεφάλαιο Ολοκληρώµατα. ιπλό Ολοκλήρωµα Ι. Πάνω σε ορθογώνιο Εστω f : R α, β] γ, δ] R µία ϕραγµένη συνάρτηση στο ορθογώνιο R. Ορίζουµε
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορθογώνια Χωρία Ορισμός n f( x, y) da lim f( x, y ) = Α Α 0 k
Διαβάστε περισσότερα14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότερα< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ IV, /6/9 Θέμα 1. Εστω : a 1, β 1 ] R μια C 1 καμπύλη. Μια C 1 καμπύλη ρ : a, β] R λέγεται αναπαραμετρικοποίηση της αν υπάρχει h : a, β] a 1, β 1 ], 1 1 επί και
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση ΙI
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 9: Τριπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση ΙI
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα τριπλά ολοκληρώματα ορίζονται με τρόπο ανάλογο με τα διπλά ολοκληρώματα. Ισχύουν ανάλογα θεωρήματα ολοκληρωσιμότητας και ανάλογες ιδιότητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f,,
Διαβάστε περισσότερα1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Δεύτερο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Για την επίλυση της άσκησης και την εύρεση του ζητούμενου όγκου, αρχικά αναγνωρίζουμε ότι ο τόπος ολοκλήρωσης, είναι ο κύκλος x + y = b, ο οποίος
Διαβάστε περισσότεραΑλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi
8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Laplace- Σειρές Fourier. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις ιαφορικές Εξισώσεις- Μετασχηµατισµός Lplce- Σειρές Fourier Nικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 4 Περιεχόµενα Κεφάλαιο Επισκόπηση γνωστών εννοιών Σειρές πραγµατικών αριθµών Σειρές συναρτήσεων 3 Γενικευµένα
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 24, 25 Διπλό ολοκλήρωμα
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 4, 5 Διπλό ολοκλήρωμα Στο μαθήματα 4 και 5 ( //8, 6 //8 ), μιλήσαμε για το διπλό ολοκλήρωμα.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Προσεγγίστε τo ολοκλήρωμα ( + ) I d d με αθροίσματα iemann χωρίζοντας το πεδίο ολοκλήρωσης σε ίσα ορθογώνια.
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Taylor-Aκρότατα
KΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πλεγµένες συναρτήσεις- Ανάπτυγµα Talor-Aκρότατα 3 Πλεγµένες συναρτήσεις Σε πολλές περιπτώσεις συναντούµε µία (ή και περισσότερες) εξισώσεις µεταξύ διαφόρων µεταβλητών πχ της µορφής e + συν (
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα
Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε
Διαβάστε περισσότεραDIPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA
Kefˆlio 8 IPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ. 8. iplˆ oloklhr mt 8.. iplì olokl rwm se orjog nio Ορίζουμε πρώτα το διπλό ολοκλήρωμα (double integrl), R[,b]X[,d] d f(, ) da R πάνω
Διαβάστε περισσότεραk ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα
Κεφάλαιο 5 Πολλαπλά Ολοκληρώματα 5. Διπλά Ολοκληρώματα σε ορθογώνιο χωρίο. 5.. Εισαγωγή Έστω ότι η f (, ) είναι ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d (, ) A c a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραx y z η οποία ορίζεται στο χωρίο V
HY 111, Απειροστικός Λογισμός Εαρινό Εξάμηνο 011 01 Διδάσκων: Κώστας Παναγιωτάκης 8 ο Φροντιστήριο (18/5/01) Τριπλά Ολοκληρώματα Συνοπτική Θεωρία Έστω ένα στερεό, το οποίο φράσσεται από τις επιφάνειες
Διαβάστε περισσότερα2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )
Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
Διαβάστε περισσότεραEPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA
Kefˆlaio 9 EPIKAMPULIA KAI EPIFANEIAKA OLOKLHRWMATA Σημειώσεις Γ. Γεωργίου, ΜΑΣ 1. 9.1 EpikampÔlia oloklhr mata Ορισμός Εστω f : R R βαθμωτό πεδίο συνεχές στη 1 καμπύλη σ : [a, b] R. ολοκλήρωμα α είδους
Διαβάστε περισσότερα{ } S= M(x, y,z) : x= f (u,v), y= f (u,v), z= f (u,v), για u,v (1.1)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1. Γενικά Επειδή οι επιφάνειες δευτέρου βαθµού συναντώνται συχνά στη µελέτη των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών θεωρούµε σκόπιµο να τις περιγράψουµε στην αρχή του βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. Επιφανειακά Ολοκληρώµατα-Θεώρηµα Απόκλισης- Τύπος Stokes
Κεφάλαιο 8 Επιφανειακά Ολοκληρώµατα-Θεώρηµα Απόκλισης- Τύπος Stokes 1 Παραµετροποιηµένες επιφάνειες Ορισµός 81 Έστω είναι τόπος του r : : και r u,v = x u,v, u,v,z u,v είναι µια συνεχής διανυσµατική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής
Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής Μαθηματικός Λογισμός Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παναγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΚαµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως
Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την
Διαβάστε περισσότεραϑανασησ ΚΕΧΑΓΙΑΣ Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας
Σηµειωσεις : Λογισµος Συναρτησεων Πολλων Μεταβλητων και ιανυσµατικων Συναρτησεων Θ. Κεχαγιας Μαρτης 2009 Περιεχόµενα 1 Επιφανειες 1 1.1 Θεωρια.................................... 1 1.2 Αλυτα Προβληµατα..............................
Διαβάστε περισσότεραΑλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi
18 Αλλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (1), Β= g Α Α n όου Α, Β R Jodan µετρήσιµα
Διαβάστε περισσότερα5. Σειρές Taylor και Laurent. Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές.
5 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές Σειρές Taylor και Lauret Θεωρούµε µια δυναµοσειρά ( ) a a µε κέντρο δοθέν σηµείο Υπενθυµίζουµε ότι για µια τέτοια δυναµοσειρά υπάρχει πάντα
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: : : : ma 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: 3 3 Τι συμπεραίνετε για τις παραπάνω νόρμες του Αν θεωρήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Θεώρημα Green Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ
ιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ EΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα Α και Β Το σηµείο Α καλείται σηµείο εφαρµογής του διανύσµατος AB, ενώ το σηµείο Β καλείται
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Να υπολογισθεί με τρόπους το ολοκλήρωμα I d d 0 Η ολοκλήρωση, όπως φαίνεται από τα άκρα ολοκλήρωσης, γίνεται πάνω στο ορθογώνιο χωρίο R 0,,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.
Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε
Διαβάστε περισσότερα( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
Διαβάστε περισσότεραΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο Ασκήσεις 1.
ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΙΙ Χειμερινό εξάμηνο -7 Ασκήσεις Αποδείξτε την ανισότητα Cuch-Schwr Για R Δείξτε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Λογισμού ΙΙ
Σημειώσεις Λογισμού ΙΙ https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 16, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Ατρέας 3 Διανυσματικές συναρτήσεις & καμπύλες στο χώρο 3..1 Όριο και συνέχεια διανυσματικών συναρτήσεων....................
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις. Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι. Nικόλαος Aτρέας
Σηµειώσεις Eφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι ικόλαος Aτρέας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 207 Περιεχόµενα Κεφάλαιο. Επισκόπηση γνωστών εννοιών. -8. Σειρές πραγµατικών αριθµών..2 Σειρές συναρτήσεων..3 Γενικευµένα ολοκληρώµατα. Κεφάλαιο
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.
Διαβάστε περισσότερα4. Μιγαδική Ολοκλήρωση. Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµογές. ( ) ( ) ( )
4 Μιαδική Ολοκλήρωση Το Θεώρηµα Cauchy και εφαρµοές Καµπύλες στο Μιαδικό επίπεδο Oρισµός 4 Αν, :[, ] xy a είναι συνεχείς πραµατικές συναρτήσεις τότε κάθε απεικόνιση :[ a, ] : t = x t + iy t, καλείται (προσανατολισµένη)
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)
ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής
Διαβάστε περισσότερα0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα
0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. Έστω η καµπύλη = ( r = r( t) = ( t, t,ln t), t > 0). Να ευρεθεί το µήκος της µεταξύ των σηµείων A = (,, 0) και B = (4,4,ln ). Έχουµε r () t = (,, t ) ( t > 0). Άρα το µήκος
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1/ Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: 0 2 xx, που ισχύει.
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Στον Ευκλείδειο χώρο ορίζουμε τις νόρμες: Ν : = + + + Ν : = + + + Ν : = ma 3 για κάθε = ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε = ( ) ισχύει: Ν ( ) Ν ( ) Ν ( ) Ν (
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
6ο κεφάλαιο: Συναρτήσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότεραxsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy
ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το
Διαβάστε περισσότερα3. Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος. Ολόµορφες συναρτήσεις. . Το z ( )
3 Oρια-Συνέχεια-Παράγωγος Ολόµορφες συναρτήσεις Τοπολογικοί ορισµοί Ορισµός 3 Εστω και ε > Καλούµε ε-ανοικτή περιοχή ή ανοικτό δίσκο κέντρου και ακτίνας ε το σύνολο { ε} D ( ) = : < ε Ορισµός 3 Έστω Το
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστα & Ελάχιστα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μέγιστα & Ελάχιστα 1 μεταβλητή: Τύπος Taylor Aν y=f(x) είναι καλή συνάρτηση f '( a) f ''( a) f ( a) f x f a x a x a x a R x 1!! n! n + 1 f ( c) n + 1 Rn ( x) = ( x a), a
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 28 Τριπλό ολοκλήρωμα-κυλινδρικές-σφαιρικές συντεταγμένες Στο μαθήμα 28 (3 /2/28), συνεχίσαμε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Ορισμός του ολοκληρώματος. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραKEΦΑΛΑΙΟ 1. Ευκλείδιοι χώροι
KEΦΑΛΑΙΟ Ευκλείδιοι χώροι Kαλούµε διάνυσµα AB ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το σηµείο Α και πέρας το σηµείο Β Ένα διάνυσµα AB καθορίζεται πλήρως από τη διεύθυνση, τη φορά και το µέτρο του
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ. 1. Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚEΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕ ΙΑ Όριο Συνέχεια Παράγωγος διανυσµατικών συναρτήσεων Ορισµός 6 Εστω, > είναι δυο φυσικοί αριθµοί Κάθε συνάρτηση F : Ε Α καλείται διανυσµατική
Διαβάστε περισσότεραA! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2
A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η ανασκόπηση βασικών μαθηματικών εργαλείων που αφορούν τη μελέτη διανυσματικών συναρτήσεων [π.χ. E(, t) ]. Τα εργαλεία αυτά είναι
Διαβάστε περισσότερα1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.
1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
Διαβάστε περισσότεραΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου
3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης είναι
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,
ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση
Διαβάστε περισσότεραΟλοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.
Ολοκληρώματα Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ολοκληρώματα τεχνικές 08 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglkos.gr / / 0 9 εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για τα Ολοκληρώματα
Διαβάστε περισσότεραv y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy
Διαβάστε περισσότεραΛύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 8/4/8 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) Να εξετάσετε ως προς τα τοπικά ακρότατα τη συνάρτηση: f x x x (,
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.
5 Εισαγωγή Kεφάλαιο 5 Ο µετασχηµατισµός Lplce Τόσο οι συνήθεις όσο και οι µερικές διαφορικές εξισώσεις περιγράφουν νόµους µε τους οποίους κάποιες ποσότητες µεταβάλλονται σε σχέση µε το χρόνο, όπως το ρεύµα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στα Ολοκληρώματα, Αόριστο Ολοκλήρωμα, Ορισμένο Ολοκλήρωμα, Πολλαπλά Ολοκηρώματα για τα Γενικά Μαθηματικά ΙΙ, Τμήματος Χημείας Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : menos@cc.uoi.gr Μαρτίου. Να υπολογιστούν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Μετρικοί χώροι. 1.1 Βασικές έννοιες. Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν :
Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Βασικές έννοιες Εστω σύνολο X και έστω η απεικόνιση d : X X R έτσι ώστε για κάθε x, y, z X ισχύουν : (i) d(x, y) 0 και d(x, y) = 0 αν και µόνο αν x = y, (ii) d(x, y) = d(y,
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 1 κάθε συνεχής απεικόνιση
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο κάθε συνεχής απεικόνιση i r :, : r t f t,, f t, f :, καλείται καμπύλη του χώρου r = r τότε η καμπύλη σε παραμετρική μορφή Αν καλείται κλειστή
Διαβάστε περισσότεραΣυνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.
4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )
Διαβάστε περισσότερα