ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Αα) Ορισμός σχολικού βιβλίου σελ 5 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y Το y ονομάζεται τιμή της στο x και συμβολίζεται με x A (x) β) Έστω μια συνάρτηση : A αντίστροφη (σελ 35 σχολικό βιβλίο) Αν υποθέσουμε ότι αυτή είναι,τότε έχει γ) Εφόσον ισχύουν οι προϋποθέσεις του προηγουμένου τότε για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, (A), της υπάρχει μοναδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της Α για το οποίο ισχύει y Επομένως ορίζεται μια συνάρτηση g: ( A) y (A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό x A Από τον τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών (A) της, έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της και ισχύει η ισοδυναμία: y g( y) x για το οποίο ισχύει y με την οποία κάθε Αυτό σημαίνει ότι, αν η αντιστοιχίζει το x στο y, τότε η g αντιστοιχίζει το y στο x και αντιστρόφως Δηλαδή η g είναι η αντίστροφη διαδικασία της Για το λόγο αυτό η g λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της και συμβολίζεται με Επομένως έχουμε y ( y) x οπότε ( ) x, x A και ( ( y)) y, y ( A )

2 Α Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο (σελ 4 σχολικό βιβλίο) ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε ( x ) Α3 Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι ( x) Έστω x, x Δ με x x Θα δείξουμε ότι x ) ( ) Πράγματι, στο διάστημα ( x ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει ( x ) ( x ) ( ξ), οπότε έχουμε ( x) ( x ) ( )( x x) x x ξ ( x, x ) Επειδή ( ξ) και x, έχουμε x ) ( x ), οπότε x ) ( ) ( ( x [ x, x ] η τέτοιο, ώστε Α4α) Ο ισχυρισμός είναι λάθος Αιτιολόγηση : Η γνωστή συνέπεια του θεωρήματος μέσης τιμής καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση, x, x Παρατηρούμε ότι, αν και ( x) για κάθε x (, ) (, ), εντούτοις η δεν είναι σταθερή στο (,) (, ) (σελ 34 σχολικό βιβλίο) β) Ο ισχυρισμός είναι λάθος Αιτιολόγηση: Η συνάρτηση x, αν x x δεν είναι συνεχής στο, αφού 3, αν x lim x ( x )( x ) lim lim( x ), ενώ ( ) 3 (σελ 7 σχολικό βιβλίο) x x x Α5 Σωστή επιλογή είναι η γ) ΘΕΜΑ Β lim x lim e, αφού Β Ισχύει x x έ xy x y lim e lim e x ό y y x

3 x Β Θεωρώ τη συνάρτηση g με g x x x e x, x,3 H g συνεχής στο ως πράξη συνεχών συναρτήσεων,3 g e e e g g g3 e e e x,3 g x x x Από Θεώρημα Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα ώστε Επίσης οπότε η Β3 g ' x e x άρα η g γνησίως φθίνουσα, για κάθε x x ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ ' x e x Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο, οπότε είναι και και αντιστρέφεται Για να προσδιορίσουμε την y λύνουμε την εξίσωση y x x x y x y e y e x y x y Άρα x ln x, x ln ln, ως προς x Β4 Ελέγχουμε κατακόρυφες ασύμπτωτες: xy lim x lim ln x lim ln y x x y y Άρα η x κατακόρυφη ασύμπτωτη της C 3

4 ΘΕΜΑ Γ Γ Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στους πραγματικούς αριθμούς θα είναι και συνεχής στο πεδίο ορισμού της Άρα συνεχής στο Επομένως Αφού x x x x lim lim lim, () lim ( x ) a, lim ( x ), () λόγω της () θα είναι x x Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη απαιτώ Είναι και () x a a x x x ( xo) ( xo) lim lim () x x x x x x o x x lim lim lim x x x () e a e x e (x) lim lim lim lim( ) x x x x x x x x x / e e αφού lim lim x x dlh x Επομένως η () δίνει, Τέλος, αφού θα είναι και o x Αν x x e Γ Αν x, τότε ( x) x συνεχής στο x, επομένως είναι γνησίως αύξουσα στο Για το σύνολο τιμών της συνάρτησης θα ισχύει ή, τότε ( ), ' Ακόμη, η ( ) ( lim, lim ) (, ), αφού, ί ύ x x x lim (x ), lim (e x) xy x x x y είναι Γ3i Αφού lim (x) x και αφού η θα υπάρχει αριθμός, ώστε ( ) είναι συνεχής στο, () e, θα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο παραπάνω διάστημα Θα υπάρχει ένας τουλάχιστον x (,) (,) ώστε ( x ) Αν τώρα x, επειδή η μοναδική ρίζα είναι γνησίως αύξουσα προκύπτει x e Άρα ( ) () ii α τρόπος: x x x Έστω ότι υπάρχει ρίζα της x ΑΤΟΠΟ, γιατί μοναδική ρίζα της είναι το x x Αν x x τότε x, x x e x x Όμως, x x x x x x 4

5 x e x x x Αν, e x x ΑΤΟΠΟ x x x x Όμως, x τότε x x x ΑΤΟΠΟ x είναι αδύνατη στο Άρα η εξίσωση β τρόπος: Άρα ή x x x, x x x x x x H είναι αδύνατη διότι: αν ί ύ x x x x Συνεπώς x x x Άρα x x x όμως, η οποία από (Γ3i) έχει μοναδική λύση την x x x Άρα η εξίσωση x x x είναι αδύνατη στο x,, xx ( ) 3 Γ4 (x x) 3, αφού (t) τότε (t) ((x(t)) x(t)) άρα 3 '(t) ((x(t)) x(t)) (3(x(t)) x'(t) x'(t)) Την χρονική στιγμή t = t ισχύει '(t o) (3(x(t o)) x'(t o) x'(t o)) (6(x(t o)) ) 8 / sec 5

6 ΘΕΜΑ Δ Δ α τρόπος: ln x x x x x x x ' x ln x x x ' x ln x x x x x x Εφαπτομένη της C, : στο σημείο Αφού η y x εφαπτομένη της C β τρόπος: ln ' y x y x y x y x στο σημείο x x x x x ' x ln x x x x x x ' Άρα, έχουμε και Δ x x ln x x x x x x ln x x Για το x x x x x Άρα ln x x Για x έχουμε x ln x x με την ισότητα να ισχύει για x Έστω Ε το ζητούμενο εμβαδόν ln x x x dx Θέτω x y οπότε dx dy Για x: y και x: y 3 y y y y y ln y dy ln y dy ln dy y y y y y ln y dy ln y dy dy ln ln y y y ln ln ln Δ3 i Ισχύει x x x x ' ln x x Η ισότητα ισχύει για x 3 3 ln ii α τρόπος: 6

7 Θεωρώ τη συνάρτηση k με k x x x, x Τότε k x x αύξουσα, αφού ' ' (i) και k συνεχής στο Άρα η k είναι γνησίως β τρόπος: Η ανισοτική σχέση που ζητείται να αποδειχθεί μπορεί να προκύψει εφαρμόζοντας Θεώρημα μέσης τιμής για τη συνάρτηση στο Δ4 Έστω x, x, το σημείο επαφής της εφαπτομένης της επαφής της εφαπτομένης της Από (Δ3 i) ισχύει ' x για κάθε x Επιπλέον, η C και x,gx το σημείο ' x g ' x C g Για να έχουν κοινή εφαπτομένη θα πρέπει g ' x 3x για κάθε x Άρα ' x g ' x Στο x η εφαπτομένη της για κάθε C x, x είναι η y x με την ισότητα να ισχύει μόνο για με την ισότητα να ισχύει μόνο για με την ισότητα να ισχύει μόνο για από υπόθεση Η εφαπτομένη της x είναι η y g g ' x y x y x Συνεπώς, μοναδική κοινή εφαπτομένη των C και C g είναι η y x x x και C g x στο x 7