Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο E1 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Στο Κεφάλαιο αυτό Ε1 γίνεται μια πολύ απλή εισαγωγή στους Καρτεσιανούς τανυστές, δηλαδή στους τανυστές σε Καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων. Οι τανυστές μας είναι ήδη γνωστοί από τη Μηχανική των Υλικών. Εκεί είχαμε συναντήσει τον τανυστή των τάσεων σ ij, τον τανυστή των παραμορφώσεων ε ij και τον τανυστή των ροπών αδρανείας I ij. Επίσης τανυστές παρουσιάζονται και σε πάρα πολλές άλλες περιοχές του Πολιτικού Μηχανικού. Για παράδειγμα, στην Εδαφομηχανική στο γνωστό φαινόμενο της διηθήσεως έχουμε τον τανυστή διαπερατότητας του εδάφους k ij. Όλα αυτά τα μεγέθη είναι τανυστές δευτέρας τάξεως. Όπως θα δούμε λεπτομερώς στο κεφάλαιο αυτό, οι τανυστές περιλαμβάνουν τα βαθμωτά μεγέθη, τα διανύσματα (ή διανυσματικά μεγέθη), τους τανυστές δευτέρας τάξεως και τανυστές ακόμη πιο υψηλής τάξεως, π.χ. τρίτης και τετάρτης τάξεως. Στην Ελαστικότητα στη Μηχανική των Υλικών τανυστής τετάρτης τάξεως είναι ο τανυστής των ελαστικών σταθερών E ijkl που υπεισέρχεται στο γενικευμένο νόμο του Hooke. Στην πρώτη Ενότητα Ε1.1 αυτού του Κεφαλαίου Ε1 αναφερόμαστε λεπτομερώς στη στροφή συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων στον τριδιάστατο χώρο. Αναφέρουμε επίσης τη σύμβαση αθροίσεως του Einstein και δύο βοηθητικούς τανυστές: το δέλτα του Kronecker δ ij και το σύμβολο του Levi Civita ε ijk. Στη συνέχεια στην κύρια Ενότητα Ε1.2 δίνουμε το γενικό ορισμό του τανυστή n τάξεως και τον εξειδικεύουμε σε απλές περιπτώσεις: n = 0, 1, 2, 3, 4. Στην επόμενη Ενότητα Ε1.3 αναφερόμαστε στις βασικές πράξεις με τους τανυστές. Η Ενότητα Ε1.4 που ακολουθεί είναι αφιερωμένη στο νόμο του πηλίκου: ένα εξαιρετικά χρήσιμο εργαλείο για την απόδειξη του τανυστικού χαρακτήρα διαφόρων φυσικών μεγεθών με δεδομένο τον τανυστικό χαρακτήρα δύο άλλων μεγεθών χαμηλότερης τάξεως. Στη συνέχεια στην Ενότητα Ε1.5 αναφερόμαστε στους συμμετρικούς τανυστές, στους αντισυμμετρικούς τανυστές και στους ισότροπους τανυστές. Πάρα πολύ ενδιαφέρουσα είναι κι η παραγώγιση τανυστών. Αυτήν την εξετάζουμε στην Ενότητα Ε1.6: χρονικές και χωρικές παράγωγοι. Οι πρώτες χωρικές παράγωγοι μας δίνουν από τανυστές νέους τανυστές μεγαλύτερης (κατά ένα) τάξεως. Στην ενότητα αυτή με χρήση των χωρικών παραγώγων βαθμωτών μεγεθών (τανυστών μηδενικής τάξεως) και διανυσμάτων (τανυστών πρώτης τάξεως) έχουμε την ευκαιρία να αναφερθούμε στους βασικούς τελεστές της Διανυσματικής Αναλύσεως: στην κλίση (ή βαθμίδα), στην απόκλιση, στο στροβιλισμό (ή στην περιστροφή) και στη Λαπλασιανή. Όλα τούτα τα μεγέθη με ποικίλες εφαρμογές στη Μηχανική των Υλικών, στη Ρευστομηχανική, στην Εδαφομηχανική, κλπ. είναι τανυστές. Μετά στην Ενότητα Ε1.7 αποδεικνύουμε ότι στη Μηχανική των Υλικών οι τάσεις σ ij, οι παραμορφώσεις ε ij και οι ροπές αδρανείας I ij είναι τανυστές δευτέρας τάξεως. Τέλος στην Ενότητα Ε1.8 αναφερόμαστε στο κύριο σύστημα συντεταγμένων, όπου διαγωνιοποιείται ένας συμμετρικός τανυστής δευτέρας τάξεως. Το σημαντικό με τους τανυστές είναι ότι η χρήση τους μας βεβαιώνει για την ισχύ ενός φυσικού νόμου σε κάθε σύστημα συντεταγμένων χωρίς καμία απολύτως αλλαγή στη διατύπωσή του. Τέτοιοι φυσικοί νόμοι είναι π.χ. ο νόμος του Hooke, οι εξισώσεις ισορροπίας, η εξίσωση της συνεχείας και ο νόμος του Darcy. Copyright 2010 Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης

2 ΜΕΡΟΣ Ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ E1: ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ Ε1.1 Ε1.1.1 Ε1.1. ΣΤΡΟΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Ε1.1.1. Τα βασικά για τη στροφή συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων Θεωρούμε ένα σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 στον τριδιάστατο χώρο (στις τρεις διαστάσεις) με μοναδιαία διανύσματα e 1, e 2 και e 3 κατά τους άξονες Ox 1, Ox 2 και Ox 3 αντίστοιχα (Σχήμα Ε1.1). Σ αυτό το συνηθισμένο σύστημα συντεταγμένων ένα διάνυσμα r = OP που συνδέει την αρχή των συντεταγμένων Ο με το σημείο P του χώρου έχει συνιστώσες x 1, x 2 και x 3. Άρα γράφεται στη μορφή r = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ή πιο σύντομα r = 3 i=1 x i e i (1.1.1) με τη χρήση του γνωστού μας συμβόλου της αθροίσεως εδώ με τρεις όρους. x 3 x 3 P x 2 e 3 r e 3 e 2 O e 1 e 2 x 2 e 1 x 1 x 1 Σχήμα Ε1.1: Στροφή συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων. Προχωράμε και θεωρούμε τώρα και ένα δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 που προκύπτει με στροφή του πρώτου συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 (Σχήμα Ε1.1). Σ αυτό το νέο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 τα μοναδιαία διανύσματα κατά τους άξονες Ox 1, Ox 2 και Ox 3 τα δηλώνουμε με e 1, e 2 και e 3 αντίστοιχα. Σημειώνουμε ότι σ όλο αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιούμε τόνους για κάθε μέγεθος που αναφέρεται στο δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3. Έτσι θα το ξεχωρίζουμε πολύ εύκολα από την περίπτωση όπου το ίδιο μέγεθος αναφέρεται στο αρχικό, στο πρώτο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3, εκεί βέβαια χωρίς τόνους. Τώρα στο νέο, στο δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 το ίδιο πιο πάνω διάνυσμα r θα έχει προφανώς διαφορετικές συνιστώσες x 1, x 2 και x 3. Έτσι αυτό παίρνει τώρα τη μορφή r = x 1e 1 + x 2e 2 + x 3e 3 ή πιο σύντομα r = 3 i=1 x i e i. (1.1.2) Αλλά φυσικά στην πραγματικότητα εδώ πρόκειται για το ίδιο ακριβώς διάνυσμα: το διάνυσμα r, όπως ήδη είπαμε, το οποίο είναι το διάνυσμα θέσεως του σημείου P. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV για ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ε1.1: ΣΤΡΟΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 3 Επομένως από τις δύο σχέσεις (1.1.2) και (1.1.1) (και οι δυο τους με το διάνυσμα r αριστερά) διαπιστώνουμε αμέσως εξισώνοντας και τα δεξιά μέλη τους ότι x 1e 1 + x 2e 2 + x 3e 3 = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3. (1.1.3) Πάμε τώρα και λίγο παρακάτω. Πολλαπλασιάζουμε αυτήν την τελευταία σχέση εσωτερικά επί το διάνυσμα e 1 (εσωτερικό γινόμενο στα διανύσματα). Παίρνουμε επίσης υπόψη μας ότι εργαζόμαστε σε συστήματα Καρτεσιανών συντεταγμένων και επίσης ότι τα τρία διανύσματα e 1, e 2 και e 3 στο πρώτο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 είναι όχι μόνο μοναδιαία, αλλά και κάθετα ανά δύο μεταξύ τους. Ανάλογα ισχύουν και για τα διανύσματα e 1, e 2 και e 3 στο δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3. Επομένως ισχύουν οι ακόλουθες έξι σχέσεις στα εσωτερικά γινόμενα των τριών μοναδιαίων διανυσμάτων e 1, e 2 και e 3 : e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 1 και e 1 e 2 = e 2 e 3 = e 3 e 1 = 0 (1.1.4) για το πρώτο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3. Και ανάλογα e 1e 1 = e 2e 2 = e 3e 3 = 1 και e 1e 2 = e 2e 3 = e 3e 1 = 0 (1.1.5) για το δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3. (Και σ αυτές εδώ τις σχέσεις θεωρούμε εσωτερικά γινόμενα διανυσμάτων αν και εδώ παραλείπουμε τις τελείες μεταξύ των διανυσμάτων στα εσωτερικά γινόμενα διανυσμάτων.) Στο σημείο αυτό θυμόμαστε το γνωστό μας ορισμό του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων A και B. Πρόκειται για το εσωτερικό γινόμενο A B AB = A B cos θ με θ = γωνία(a, B), (1.1.6) δηλαδή τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους τα δύο διανύσματα A και B. Με βάση τα παραπάνω από τη σχέση (1.1.3) με πολλαπλασιασμό της (εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων) επί το μοναδιαίο διάνυσμα e 1 προκύπτει αμέσως ότι x 1 = x 1 (e 1 e 1) + x 2 (e 2 e 1) + x 3 (e 3 e 1). (1.1.7) Η σχέση αυτή μας δίνει τη συνιστώσα x 1 του διανύσματος r στο δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 με βάση τις τρεις συνιστώσες του x 1, x 2 και x 3 στο πρώτο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3. Ανάλογα με πολλαπλασιασμό (ξανά εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων) της σχέσεως (1.1.3) επί το μοναδιαίο διάνυσμα e 2 προκύπτει ότι x 2 = x 1 (e 1 e 2) + x 2 (e 2 e 2) + x 3 (e 3 e 2). (1.1.8) Τέλος με πολλαπλασιασμό (και πάλι εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων) της ίδιας σχέσεως (1.1.3) επί το μοναδιαίο διάνυσμα e 3 προκύπτει ότι x 3 = x 1 (e 1 e 3) + x 2 (e 2 e 3) + x 3 (e 3 e 3). (1.1.9) Με τους τρεις αυτούς τύπους μεταβαίνουμε από τις συνιστώσες x i του διανύσματος r στο πρώτο σύστημα συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 στις νέες συνιστώσες του x k στο δεύτερο σύστημα συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3. Προφανώς οι τρεις πιο πάνω τύποι (1.1.7), (1.1.8) και (1.1.9) μπορούν να γραφούν πιο συνοπτικά στη μορφή i=1 x k = x 1(e 1 e k ) + x 2(e 2 e k ) + x 3(e 3 e k ) = 3 x i (e i e k ) με k = 1, 2, 3. (1.1.10) Copyright 2010 Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης

4 ΜΕΡΟΣ Ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ E1: ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ Εντελώς ανάλογα, αλλά τώρα με πολλαπλασιασμούς (ξανά εσωτερικά γινόμενα διανυσμάτων) της ίδιας σχέσεως (1.1.3) επί τα τρία μοναδιαία διανύσματα e 1, e 2 και e 3 στο πρώτο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3, προκύπτουν και οι ανάλογοι τρεις τύποι 3 x i = x 1(e 1e i ) + x 2(e 2e i ) + x 3(e 3e i ) = x k (e k e i) με i = 1, 2, 3. (1.1.11) Με τους τρεις αυτούς αυτούς πηγαίνουμε από τις συνιστώσες x k του διανύσματος r στο δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 στις συνιστώσες του x i στο πρώτο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3. Φυσικά το σύμβολο για ένα δείκτη, είτε ελεύθερο είτε σε άθροισμα, είναι αυθαίρετο και μπορεί να χρησιμοποιηθεί κι οποιοδήποτε άλλο σύμβολο αρκεί βέβαια να μη δημιουργείται σύγχυση. Και τώρα έχοντας εδώ τα δύο συστήματα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 (το πρώτο) και Ox 1 x 2 x 3 (το δεύτερο), εισάγουμε τις γωνίες θ ki μεταξύ των αξόνων του δεύτερου συστήματος συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 (με τους τόνους) και του πρώτου συστήματος συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 (του αρχικού συστήματος συντεταγμένων) ή απόλυτα ισοδύναμα (έχουμε τις ίδιες ακριβώς γωνίες θ ki ) μεταξύ των αντίστοιχων μοναδιαίων διανυσμάτων. Συγκεκριμένα ορίζουμε τις γωνίες k=1 θ ki = γωνία(ox k, Ox i) = γωνία(e k, e i) με k, i = 1, 2, 3. (1.1.12) Σημειώνουμε μάλιστα ότι για i k γενικά άλλη είναι η γωνία θ ki μεταξύ των αξόνων Ox k και Ox i και άλλη είναι η γωνία θ ik μεταξύ των αξόνων Ox i και Ox k. Αυτό είναι προφανές και από το Σχήμα Ε1.1: άλλοι, εντελώς διαφορετικοί άξονες άρα και άλλες, εντελώς διαφορετικές γωνίες θ ki. Επομένως γενικά θ ki θ ik για k i και με k, i = 1, 2, 3. (1.1.13) Δηλαδή το μητρώο των γωνιών θ ki γενικά δεν είναι συμμετρικό μητρώο. Δε μας πολυνοιάζουν όμως οι γωνίες θ ki που καθορίζουν τη στροφή του δεύτερου συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 ως προς το πρώτο Ox 1x 2 x 3 (Σχήμα Ε1.1). Εδώ με βάση τον τύπο (1.1.6) για το εσωτερικό γινόμενο A B = AB = A B cos θ δύο διανυσμάτων A και B μας ενδιαφέρουν μόνο τα συνημίτονα c ki αυτών των γωνιών θ ki, δηλαδή οι ποσότητες που ορίζονται σαν c ki = cos θ ki και φυσικά c ki = cos( θ ki ), μια που cos( θ) = cos θ. (1.1.14) Εδώ στα συνημίτονα c ki, όπως και στις αντίστοιχες γωνίες θ ki, ο πρώτος δείκτης k αναφέρεται στο δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3. Παραπέρα ο δεύτερος δείκτης i αναφέρεται στο πρώτο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3. Βέβαια αυτήν τη σύμβαση ως προς τους δείκτες εμείς την επιλέξαμε εδώ. Ασφαλώς θα μπορούσαμε να είχαμε επιλέξει και την αντίθετη σύμβαση (κι αυτό γίνεται στ αλήθεια αρκετά συχνά στη βιβλιογραφία). Προφανώς, αφού γενικά, όπως ήδη είπαμε, θ ki θ ik για k i, το ίδιο ακριβώς θα ισχύει και για τα αντίστοιχα συνημίτονα c ki = cos θ ki. Και το δικό τους μητρώο C = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 (1.1.15) ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV για ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ε1.1: ΣΤΡΟΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 5 είναι και αυτό ένα μη συμμετρικό μητρώο, δηλαδή γενικά c ki c ik για k i. Ενώ αντίθετα τόσα άλλα μητρώα του Πολιτικού Μηχανικού, όπως τα μητρώα μάζας και δυσκαμψίας στη Δυναμική των Κατασκευών ή τα μητρώα των τάσεων, των παραμορφώσεων και των ροπών αδρανείας στη Μηχανική των Υλικών, είναι συμμετρικά μητρώα και το ξέρουμε καλά αυτό. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και για το μητρώο διαπερατότητας (των συντελεστών διαπερατότητας) του εδάφους k ij στο φαινόμενο της διηθήσεως στην Εδαφομηχανική. Είναι κι αυτό ένα συμμετρικό μητρώο. Παρατήρηση E1.1: Εδώ, σ αυτό το Κεφάλαιο Ε1 για τους Καρτεσιανούς τανυστές συνήθως τους δηλώνουμε με ένα τυπικό στοιχείο τους, π.χ. A i για ένα διάνυσμα ή A ij για έναν τανυστή δευτέρας τάξεως, όπως θα δούμε παρακάτω. Μερικές φορές όμως υιοθετούμε τον εξής συμβολισμό: πέρα από τα κοινά σύμβολα, π.χ. το x, που τα γράφουμε με πλάγια γράμματα, όπως κάνουμε πάντα, τα διανύσματα, π.χ. το A, τα γράφουμε με όρθια παχιά γράμματα, πάλι όπως κάνουμε πάντα. Όμως τα μητρώα που δεν είναι απλά διανύσματα, όπως εδώ το C, και επίσης παρακάτω και τους τανυστές (και δευτέρας τάξεως, αλλά και μεγαλύτερης τάξεως), τα γράφουμε με παχιά ισοπαχή γράμματα (δηλαδή με διαφορετική γραμματοσειρά). Έτσι διακρίνουμε το διάνυσμα A από το τετραγωνικό μητρώο A (και σε λίγο και πολύ γενικότερα από τον τανυστή A). Αυτό δεν το κάναμε στα προπτυχιακά μαθήματα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ και ΙΙΙ, όπου χρησιμοποιούσαμε ανάλογα (δηλαδή της ίδιας γραμματοσειράς) όρθια παχιά γράμματα τόσο για διανύσματα όσο και για τετραγωνικά μητρώα και ούτε βέβαια είναι και αναγκαίο. Πολλές φορές όμως (και εδώ!) χρησιμοποιούμε το σύμβολο A όχι μόνο για να δηλώσουμε ένα μητρώο ή τανυστή, αλλά και για να δηλώσουμε ένα διάνυσμα, ιδίως όταν μελετάμε τις γενικές ιδιότητες των τανυστών που ισχύουν επίσης και στην ειδική περίπτωση των διανυσμάτων. Παρατήρηση Τώρα είμαστε έτοιμοι! Έχουμε εισαγάγει και τα σύμβολα c ki στη σχέση (1.1.14) για να δηλώνουμε τα συνημίτονα cos θ ki για τα εσωτερικά γινόμενα e k e i = e i e k των μοναδιαίων διανυσμάτων e k και e i ή (το ίδιο κάνει!) e i και e k. Επομένως θα ισχύει e k e i = e i e k = cos θ ki = c ki με i, k = 1, 2, 3, (1.1.16) αφού τα μέτρα όλων των μοναδιαίων διανυσμάτων είναι ίσα με ένα: e i = e k = 1 (με i, k = 1, 2, 3). Επομένως οι τύποι (1.1.10) και (1.1.11) για τη μετατροπή των συνιστωσών ενός διανύσματος r από ένα σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 σε άλλο Ox 1 x 2 x 3 που προκύπτει με στροφή του πρώτου παίρνουν τώρα τις μορφές και 3 x k = c k1x 1 + c k2 x 2 + c k3 x 3 = c ki x i με k = 1, 2, 3 (1.1.17) i=1 3 x i = c 1i x 1 + c 2i x 2 + c 3i x 3 = c ki x k με i = 1, 2, 3. (1.1.18) Κατανοούμε επίσης ότι οι ποσότητες c ki στο πιο πάνω μητρώο συνημιτόνων C, σχέση (1.1.15) δηλώνουν τα συνημίτονα c ki = cos θ ki = cos[γωνία(e k, e i)], όπως ήδη αναφέραμε. Άρα για τα τρία μοναδιαία διανύσματα e 1, e 2 και e 3 στο δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 (Σχήμα Ε1.1) θα ισχύουν οι σχέσεις e k = c k1e 1 + c k2 e 2 + c k3 e 3 = k=1 3 i=1 c ki e i με k = 1, 2, 3. (1.1.19) Copyright 2010 Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης

6 ΜΕΡΟΣ Ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ E1: ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ Εντελώς ανάλογα για τα τρία μοναδιαία διανύσματα e 1, e 2 και e 3 στο πρώτο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 (Σχήμα Ε1.1) θα ισχύουν οι σχέσεις Ενότητα Ε1.1 3 e i = c 1i e 1 + c 2i e 2 + c 3i e 3 = c ki e k με i = 1, 2, 3. (1.1.20) Άσκηση E1.1 Στροφή συστήματος συντεταγμένων στο επίπεδο Εδώ περιοριζόμαστε στο επίπεδο. Θεωρούμε τη στροφή του αρχικού (του πρώτου) συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 κατά γωνία θ. (Θετική τιμή της γωνίας θ δηλώνει στροφή κατά τη θετική φορά, δηλαδή αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού.) Προκύπτει έτσι το νέο (το δεύτερο) σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2. Ζητούνται: (α) Το σχετικό σχήμα με τη γωνία θ θετική. (β) Να αποδειχθεί ότι τα συνημίτονα c ki (εδώ βέβαια με k, i = 1, 2, όχι και 3) παίρνουν τις τιμές k=1 c 11 = c 22 = cos θ, c 12 = sin θ και c 21 = sin θ. (1.1.21) (γ) Το σχετικό μητρώο C. (δ) Οι ειδικές μορφές που παίρνουν εδώ οι τύποι (1.1.17) και (1.1.18) με χρήση των ίδιων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων cos θ και sin θ. Ε1.1.2 Ε1.1.2. Σύμβαση αθροίσεως του Einstein Στους τανυστές, αλλά και σε πολλές άλλες περιοχές των μαθηματικών, παρουσιάζονται αθροίσματα με όρους όπου ένας δείκτης εμφανίζεται δύο φορές. Για παράδειγμα, αυτό συμβαίνει στις πιο πάνω σχέσεις (1.1.17) με το δείκτη i στο άθροισμα δεξιά και (1.1.18) με το δείκτη k στο άθροισμα δεξιά. Στις περιπτώσεις αυτές ακολουθούμε σχεδόν πάντα τη σύμβαση αθροίσεως του Einstein. Σύμφωνα με τη σύμβαση αυτή το σύμβολο της αθροίσεως παραλείπεται εντελώς και εννοείται ότι η άθροιση γίνεται ως προς τον επαναλαμβανόμενο (δύο φορές, ακριβώς δύο!) δείκτη, το δείκτη της αθροίσεως. Εδώ μάλιστα, στον τριδιάστατο χώρο, εννοείται ότι το i και το k παίρνουν τιμές από 1 μέχρι 3. Ανάλογα στο διδιάστατο χώρο από 1 μέχρι 2. Σύμφωνα λοιπόν με τη σύμβαση αθροίσεως του Einstein οι δύο πιο πάνω σχέσεις (1.1.17) και (1.1.18) παίρνουν τις πιο απλές στο συμβολισμό μορφές τους x k = c kix i και x i = c ki x k (1.1.22) αντίστοιχα. Στην πρώτη σχέση στο δεξιό μέλος της εννοείται ότι η άθροιση γίνεται ως προς i, δηλαδή ο επαναλαμβανόμενος δείκτης (δύο φορές) είναι το i και ο ελεύθερος δείκτης είναι το k. Αντίθετα στη δεύτερη σχέση στο δεξιό μέλος της εννοείται ότι η άθροιση γίνεται ως προς k, δηλαδή ο επαναλαμβανόμενος δείκτης (δύο φορές) είναι το k και ο ελεύθερος δείκτης είναι το i. Και στις δύο περιπτώσεις η άθροιση εννοείται ότι γίνεται από 1 έως 3 στον τριδιάστατο χώρο (εδώ, Σχήμα Ε1.1) και από 1 έως 2 στην ειδική περίπτωση του διδιάστατου χώρου (Άσκηση Ε1.1 λίγο πιο πάνω). Παραδείγματος χάρη, με βάση αυτήν τη σύμβαση της αθροίσεως του Einstein για ένα τετραγωνικό μητρώο A διαστάσεων n n με στοιχεία A ij (i, j = 1, 2,, n) το ίχνος του, δηλαδή το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου του, θα είναι απλά A ii με το σύμβολο αυτό να δηλώνει προφανώς το σχετικό άθροισμα από i = 1 έως i = n, δηλαδή το άθροισμα A ii = 3 i=1 A ii. Ανάλογα το διάνυσμα θέσεως r στις σχέσεις (1.1.1) και (1.1.2) μπορεί να γραφεί πιο απλά στη μορφή r = x i e i = x i e i ή r = x k e k = x k e k κλπ. (1.1.23) ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV για ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ε1.1: ΣΤΡΟΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 7 Παράδειγμα E1.1 Εξίσωση του Laplace Σε πάρα πολλά προβλήματα του Πολιτικού Μηχανικού, αλλά και του Μηχανικού γενικότερα, παρουσιάζεται ο τελεστής του Laplace 2. Αυτός εφαρμόζεται σε μια κατάλληλα παραγωγίσιμη συνάρτηση u = u(x 1, x 2, x 3 ). Στις τρεις διαστάσεις έχουμε Παράδειγμα Ενότητα Ε1.1 2 u = 2 u x 2 + 2 u 1 x 2 + 2 u 2 x 2 = 3 3 i=1 2 u x i x i = 2 u x i x i. (1.1.24) Εδώ χρησιμοποιήσαμε πρώτα το σύμβολο της αθροίσεως και στη συνέχεια για να απαλλαγούμε και από αυτό τη σύμβαση αθροίσεως του Einstein για επαναλαμβανόμενο δείκτη, εδώ το δείκτη i. Εντούτοις αυτός ο επαναλαμβανόμενος δείκτης παρουσιάζεται εδώ σε παράγωγο. Αυτό όμως δε μας ενοχλεί καθόλου: η σύμβαση αθροίσεως του Einstein συνεχίζει να ισχύει και σε τέτοιες παράξενες περιπτώσεις. Άσκηση E1.2 Ρευστομηχανική: ροή ρευστού Θεωρούμε τη μόνιμη (σταθερή) τριδιάσταστη ροή ιδεατού ρευστού με διανυσματική ταχύτητα v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3. (1.1.25) Ενότητα Ε1.1 Ζητούνται: (α) Να γραφεί αυτή η ταχύτητα v με τη χρήση αθροίσματος και στη συνέχεια με χρήση και της συμβάσεως αθροίσεως του Einstein χωρίς πια το σύμβολο. (β) Να γραφεί ανάλογα (με άθροισμα και τελικά με τη χρήση και της συμβάσεως αθροίσεως του Einstein) η απόκλιση (divergence) της ταχύτητας v που ορίζεται με βάση τον πολύ γνωστό μας από τη Διανυσματική Ανάλυση σχετικό τύπο div v = v = v 1 x 1 + v 2 x 2 + v 3 x 3. (1.1.26) (γ) Τι δηλώνει από φυσικής απόψεως στη Ρευστομηχανική η εξίσωση div v = 0 στην παρούσα άσκηση, όπου έχουμε μόνιμη ροή ιδεατού ρευστού; Ε1.1.3. Το δέλτα του Kronecker Ένα πολύ χρήσιμο σύμβολο στους τανυστές είναι το δέλτα του Kronecker δ ij εδώ στον τριδιάστατο χώρο με i, j = 1, 2, 3. Αυτό το σύμβολο δ ij ορίζεται ως εξής: Ε1.1.3 δ ij = 1 για i = j, 0 για i j. (1.1.27) Το σχετικό συμμετρικό (και διαγώνιο!) μητρώο δ με στοιχεία του τα δ ij είναι το εξής: δ = δ 11 δ 12 δ 13 δ 21 δ 22 δ 23 δ 31 δ 32 δ 33 = 1 0 0 0 1 0. (1.1.28) 0 0 1 Δηλαδή το δέλτα του Kronecker δ ij παίρνει την τιμή 1, όταν οι δύο δείκτες του i και j είναι ίσοι (δηλαδή i = j), και την τιμή 0, όταν οι δύο δείκτες του i και j είναι διαφορετικοί (δηλαδή i j). Τόσο απλά! Copyright 2010 Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης

8 ΜΕΡΟΣ Ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ E1: ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ Με χρήση του ορισμού (1.1.27) του δέλτα του Kronecker δ ij μπορούμε για παράδειγμα να αποδείξουμε ότι για ένα μέγεθος A ij δευτέρας τάξεως, δηλαδή με δύο δείκτες i και j και 3 2 = 9 συνιστώσες A ij, ισχύει η ακόλουθη σχέση: δ kj A ij = A ik. (1.1.29) Η σχέση αυτή καλείται ιδιότητα της αντικαταστάσεως του δέλτα του Kronecker. Για την απόδειξή της παρατηρούμε ότι εδώ ο δείκτης j είναι επαναλαμβανόμενος. Άρα έχουμε αριστερά το άθροισμα δ k1 A i1 + δ k2 A i2 + δ k3 A i3. Και τώρα κάνουμε διάκριση τριών περιπτώσεων: Πρώτα, αν k = 1, το άθροισμα αυτό μας δίνει A i1 με βάση τον ορισμό (1.1.27) του δ ij, επειδή δ 11 = 1, ενώ δ 12 = δ 13 = 0. Άρα για k = 1 ισχύει η προς απόδειξη σχέση (1.1.29). Εντελώς ανάλογα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι ισχύει για k = 2 και για k = 3. Επομένως, αφού τα i και k παίρνουν τιμές από 1 έως 3, η πιο πάνω σχέση (1.1.29) ισχύει σε κάθε περίπτωση. Με απόλυτα ανάλογο τρόπο μπορούν να αποδειχθούν και πολλές παρόμοιες σχέσεις, π.χ. η σχέση δ kp A ijkm = A ijpm. (1.1.30) Δηλαδή κι εδώ ο ελεύθερος δείκτης (εδώ το p) του δ kp αριστερά παίρνει δεξιά τη θέση του δείκτη αθροίσεως, του επαναλαμβανόμενου δείκτη (εδώ του k) στο μέγεθος A ijkm. Και φυσικά το δ kp δεν παρουσιάζεται δεξιά. Ανάλογα μπορούμε να γράψουμε και άλλες παρόμοιες σχέσεις με την ιδιότητα της αντικαταστάσεως του δέλτα του Kronecker δ ij. Για παράδειγμα, πολύ συχνά χρησιμοποιούμε την απλή και με ανάλογη απόδειξη σχέση δ ij A j = A i ή δ ij A i = A j. (1.1.31) Παρουσιάζουμε τώρα και μια ακόμη εφαρμογή του δέλτα του Kronecker. Από το μητρώο των συνημιτόνων C στη σχέση (1.1.15), το επαναλαμβάνουμε κι εδώ αμέσως πιο κάτω, και τις σχέσεις (1.1.19) κατανοούμε ότι η πρώτη γραμμή του μητρώου C = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23, (1.1.32) c 31 c 32 c 33 δηλαδή η γραμμή {c 11 c 12 c 13 }, δηλώνει τις τρεις συνιστώσες του μοναδιαίου διανύσματος e 1 ως προς το πρώτο σύστημα συντεταγμένων (χωρίς τόνους). Ανάλογα η δεύτερη γραμμή του ίδιου μητρώου C δηλώνει τις συνιστώσες του μοναδιαίου διανύσματος e 2. Τέλος η τρίτη γραμμή και πάλι του ίδιου μητρώου C δηλώνει τις συνιστώσες του μοναδιαίου διανύσματος e 3. Αυτά όμως τα τρία μοναδιαία διανύσματα e 1, e 2 και e 3 είναι επίσης κάθετα μεταξύ τους και ισχύουν οι σχέσεις (1.1.5). Τις υπενθυμίζουμε κι αυτές τις έξι σχέσεις e 1e 1 = e 2e 2 = e 3e 3 = 1 και e 1e 2 = e 2e 3 = e 3e 1 = 0. (1.1.33) Με βάση τις αριστερά πιο πάνω σχέσεις πρέπει να ισχύουν και οι τρεις σχέσεις c 2 11 + c 2 12 + c 2 13 = c 2 21 + c 2 22 + c 2 23 = c 2 31 + c 2 32 + c 2 33 = 1, (1.1.34) αφού πρόκειται για τρία μοναδιαία διανύσματα: τα e 1, e 2 και e 3, σχέσεις (1.1.33). Ανάλογα με βάση τις δεξιά σχέσεις (1.1.33) πρέπει να ισχύουν και οι τρεις σχέσεις c 11 c 21 + c 12 c 22 + c 13 c 23 = c 21 c 31 + c 22 c 32 + c 23 c 33 = c 31 c 11 + c 32 c 12 + c 33 c 13 = 0, (1.1.35) ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV για ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ε1.1: ΣΤΡΟΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ 9 επειδή πρόκειται και για κάθετα μεταξύ τους διανύσματα: πάλι τα e 1, e 2 και e 3. Πολλές (έξι συνολικά) σχέσεις μαζεύτηκαν. Ας απλοποιήσουμε λίγο την κατάσταση. Με χρήση του δέλτα του Kronecker δ ij καθώς και της συμβάσεως αθροίσεως του Einstein διαπιστώνουμε σχετικά εύκολα ότι και οι έξι αυτές σχέσεις μπορούν να απλοποιηθούν στην εξής ενιαία και ταυτόχρονα πολύ απλή μορφή τους c ik c jk = δ ij. (1.1.36) Ας μην έχουμε λοιπόν αμφιβολίες: τόσο η σύμβαση της αθροίσεως του Einstein όσο και το δέλτα του Kronecker δ ij μας είναι χρήσιμα εργαλεία στους τανυστές που εξετάζουμε (καλύτερα θα εξετάσουμε) εδώ. Αλλιώς απλά δε θα τα αναφέραμε καθόλου! Άσκηση E1.3 Δέλτα του Kronecker Με τη χρήση των διανυσμάτων e i στο πρώτο (στο αρχικό) σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 να αποδειχθεί λεπτομερώς και η ανάλογη σχέση Ενότητα Ε1.1 c ij c ik = δ jk. (1.1.37) Και οι δύο σχέσεις (1.1.36) και (1.1.37) είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρουσες και χρήσιμες. Η πρώτη με βάση τα διανύσματα e k, ενώ η δεύτερη με βάση τα διανύσματα e i. Ε1.1.4. Το σύμβολο του Levi Civita Ένα ακόμη πάρα πολύ χρήσιμο σύμβολο στους τανυστές, ακριβώς όπως το δέλτα του Kronecker δ ij, είναι το σύμβολο του Levi Civita ε ijk, που μερικές φορές καλείται και μεταθετικό σύμβολο και λίγο πιο σπάνια σύμβολο εναλλαγής. Το σύμβολο αυτό ε ijk ορίζεται ως εξής: Ε1.1.4 ε ijk = 1, εάν οι τρεις δείκτες i, j, k είναι διαφορετικοί και σε κυκλική μετάθεση: 123, 231 και 312. 1, εάν οι τρεις δείκτες i, j, k είναι διαφορετικοί και σ αντίστροφη κυκλική μετάθεση: 321, 213 και 132. 0, εάν οποιοιδήποτε δύο από τους τρεις δείκτες i, j, k είναι ίσοι μεταξύ τους: i = j ή j = k ή k = i (ή i = j = k). (1.1.38) Πιο αναλυτικά το σύμβολο του Levi Civita (ή μεταθετικό σύμβολο) ε ijk παίρνει με βάση τον πιο πάνω ορισμό του (1.1.38) τις ακόλουθες τρεις τιμές: ε 123 = ε 231 = ε 312 = 1, ε 321 = ε 213 = ε 132 = 1, (1.1.39) ε ijk = 0 σε κάθε άλλη περίπτωση. Δηλαδή τονίζουμε ότι ε ijk = 0 κάθε φορά που δύο τουλάχιστον από αυτούς τους τρεις δείκτες i, j και k είναι ίσοι μεταξύ τους (ή φυσικά και οι τρεις τους είναι ίσοι). Είναι πολύ χρήσιμο το σύμβολο του Levi Civita (ή μεταθετικό σύμβολο) ε ijk. Και πρώτα πρώτα με τη βοήθειά του μπορούμε να εκφράσουμε το γνωστό μας εξωτερικό γινόμενο C = A B δύο διανυσμάτων A και B. Το γινόμενο αυτό εκφράζεται Copyright 2010 Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης

10 ΜΕΡΟΣ Ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ E1: ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ με χρήση των συνιστωσών A i και B i των διανυσμάτων A και B συνοπτικά στη μορφή C = A B = e 1 e 2 e 3 A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 (1.1.40) φυσικά με e 1, e 2 και e 3 τα τρία μοναδιαία διανύσματα του συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3. Πιο αναλυτικά το εξωτερικό γινόμενο C = A B εκφράζεται με τις τρεις συνιστώσες του C 1 = A 2 B 3 A 3 B 2, C 2 = A 3 B 1 A 1 B 3 και C 3 = A 1 B 2 A 2 B 1. (1.1.41) Ενότητα Ε1.1 Διαπιστώνουμε ότι αυτές οι τρεις συνιστώσες C i του εξωτερικού γινομένου C = A B γράφονται και στη μορφή C i = ε ijk A j B k. (1.1.42) Άσκηση E1.4 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Να αποδειχθεί αναλυτικά (για i = 1, i = 2 και i = 3) η ισχύς του τύπου (1.1.42). Ανάλογα πάλι με τη βοήθεια του συμβόλου του Levi Civita (ή μεταθετικού συμβόλου) μπορούμε να εκφράσουμε μια ορίζουσα τρίτης τάξεως, π.χ. την ορίζουσα Ενότητα Ε1.1 D = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33. (1.1.43) Με ανάπτυγμα αυτής της ορίζουσας D διαπιστώνουμε εύκολα ότι εκφράζεται και στη μορφή D = ε ijk a 1i a 2j a 3k. (1.1.44) Άσκηση E1.5 Ορίζουσα τρίτης τάξεως Να αποδειχθεί αναλυτικά η ισχύς του πιο πάνω τύπου (1.1.44) για τον υπολογισμό της ορίζουσας τρίτης τάξεως (1.1.43). Επίσης για το μικτό γινόμενο A (B C) = B (C A) = C (A B) τριών διανυσμάτων A, B και C γνωρίζουμε ότι υπολογίζεται τελικά από την ορίζουσα A (B C) = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3 = ε ijka i B j C k (1.1.45) σύμφωνα με τον τύπο (1.1.44) για τον υπολογισμό μιας ορίζουσας τρίτης τάξεως D. Βέβαια εδώ μπορούμε να επαληθεύσουμε και απευθείας τη δεξιά έκφραση ε ijk A i B j C k του μικτού γινομένου A (B C). Παρακάτω στην Παράγραφο Ε1.6.4 θα δούμε πώς εκφράζεται και ο στροβιλισμός (ή περιστροφή) v ή curl v ενός διανύσματος (ή διανυσματικού μεγέθους ή διανυσματικού πεδίου) v = v(x 1, x 2, x 3 ) και πάλι με τη χρήση του συμβόλου ε ijk του Levi Civita (ή μεταθετικού συμβόλου). ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV για ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ε1.2: ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ 11 Ε1.2. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ Προχωράμε τώρα στο γενικό ορισμό του τανυστή και έπειτα θα αναφερθούμε σε ορισμένες απλές ειδικές περιπτώσεις του. Ε1.2.1. Ορισμός του τανυστή Με βάση όσα εκθέσαμε στην προηγούμενη ενότητα είμαστε τώρα έτοιμοι να προχωρήσουμε στην κύρια ενότητα αυτού του κεφαλαίου που αφορά στον ορισμό του τανυστή. Στην επόμενη ενότητα θα αναφερθούμε και σε τέσσερις πράξεις που αφορούν επίσης στους τανυστές. ΟΡΙΣΜΟΣ E1.1 (Τανυστής): Λέμε ότι ένα μέγεθος A με συνιστώσες A ijk m ή πιο απλά ένα μέγεθος A ijk m είναι τανυστής τάξεως n, εάν έχει n ελεύθερους δείκτες i, j, k,, m και επιπλέον, αυτό που είναι το βασικό στον ορισμό του τανυστή, σε στροφή του Καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων οι νέες συνιστώσες του A pqr t δίνονται από τις αρχικές συνιστώσες του A ijk m με βάση τον τύπο Ε1.2 Ε1.2.1 ΟΡΙΣΜΟΣ A pqr t = c pi c qj c rk c tm A ijk m. (1.2.1) Στον τύπο αυτό οι ποσότητες c αβ είναι τα συνημίτονα που ορίσθηκαν πιο πάνω στις σχέσεις (1.1.14) και σχηματίζουν το σχετικό μητρώο C στη σχέση (1.1.15). Παρατήρηση E1.2: Μπορεί να αποδειχθεί ότι σαν ορισμός του ίδιου τανυστή A ή ισοδύναμα A ijk m μπορεί να χρησιμοποιηθεί και η απόλυτα ανάλογη σχέση Παρατήρηση A ijk m = c pi c qj c rk c tm A pqr t. (1.2.2) Μ αυτή μεταβαίνουμε απλά από το δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων στο πρώτο αντί από το πρώτο στο δεύτερο, όπως έγινε αρχικά στη σχέση (1.2.1). Σημείωση: Προφανώς όλοι οι δείκτες ενός τανυστή (και οι n δείκτες του!) παίρ- Σημείωση νουν τιμές από 1 μέχρι 3 στον τριδιάστατο χώρο και από 1 μέχρι 2 στο διδιάστατο χώρο, π.χ. i = 1, 2, 3 και i = 1, 2 αντίστοιχα για το δείκτη i. Βέβαια ο παραπάνω ορισμός (1.2.1) του τανυστή τάξεως n ένας πολύ γενικός ορισμός ο οποίος αφορά σε κάθε τάξη n. Ας τον εξειδικεύσουμε τώρα για τάξεις του τανυστή n = 0, n = 1, n = 2, n = 3 και n = 4. Ε1.2.2. Τανυστές μηδενικής τάξεως: βαθμωτά μεγέθη Πρόκειται για την απλούστερη περίπτωση, όπου δεν έχουμε κανέναν απολύτως δείκτη στον τανυστή A (n = 0). Εδώ έχουμε απλά ένα βαθμωτό μέγεθος A και ο πιο πάνω γενικός ορισμός (1.2.1) του τανυστή παίρνει την τετριμμένη μορφή του Ε1.2.2 A = A (1.2.3) που δεν έχει κανένα απολύτως συνημίτονο c αβ. Δηλαδή, με πολύ απλά λόγια, το βαθμωτό μέγεθος (ή ισοδύναμα ο τανυστής μηδενικής τάξεως) δε μεταβάλλεται, Copyright 2010 Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης

12 ΜΕΡΟΣ Ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ E1: ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ όταν στραφεί το σύστημα των Καρτεσιανών συντεταγμένων. Αυτό είναι προφανές από τη σχέση (1.2.3), που είναι φυσικά σύμφωνη με το γενικό ορισμό του τανυστή στη σχέση (1.2.1), εδώ βέβαια με n = 0 ελεύθερους δείκτες. Είναι εξάλλου προφανές πως εδώ (με n = 0) οι δύο σχέσεις (1.2.1) και (1.2.2) συμπίπτουν: A = A και A = A. Ξέρουμε πάρα πολλά βαθμωτά φυσικά μεγέθη (τανυστές μηδενικής τάξεως), όπως είναι η απόσταση d δύο σημείων, η μάζα m ενός υλικού σημείου, η ενέργεια E, ο χρόνος t, η πίεση p, η πυκνότητα ρ και πολλά πολλά άλλα. Δεν υπάρχει κάτι το δύσκολο σ αυτήν την τόσο απλή περίπτωση του τανυστή μηδενικής τάξεως (n = 0). Ε1.2.3 Παράδειγμα Ενότητα Ε1.2 Λύση Ε1.2.3. Τανυστές πρώτης τάξεως: διανύσματα Πρόκειται για την αμέσως πιο δύσκολη, αλλ εντούτοις αρκετά απλή περίπτωση, που αφορά στα διανύσματα ή διανυσματικά μεγέθη. Ένα τέτοιο μέγεθος A με συνιστώσες A i έχει ένα μόνο ελεύθερο δείκτη και ο πιο πάνω γενικός ορισμός (1.2.1) του τανυστή που αφορά στη στροφή του συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων παίρνει την πολύ απλή μορφή A p = c pi A i (1.2.4) που έχει ένα μόνο συνημίτονο: το c pi. Δηλαδή, πάλι με απλά λόγια, οι συνιστώσες A i του διανύσματος ή διανυσματικού μεγέθους (ή ισοδύναμα τανυστή πρώτης τάξεως) A μεταβάλλονται, όταν στραφεί το σύστημα των Καρτεσιανών συντεταγμένων σύμφωνα με τον τύπο (1.2.4). Αυτός ο τύπος είναι φυσικά σύμφωνος με το γενικό ορισμό του τανυστή στη σχέση (1.2.1), εδώ βέβαια με έναν ελεύθερο δείκτη. Γνωρίζουμε πάρα πολλά διανύσματα ή διανυσματικά μεγέθη (τανυστές πρώτης τάξεως), όπως είναι το διάνυσμα θέσεως r στο χώρο, η ταχύτητα v, η επιτάχυνση a, η δύναμη F, η διανυσματική γωνιακή ταχύτητα ω (όχι απλά το μέτρο της ω) και πολλά πολλά άλλα. Και αυτή εδώ η περίπτωση (η περίπτωση των διανυσμάτων) μας είναι ήδη γνωστή και δεν παρουσιάζει καμία ιδιαίτερη δυσκολία. Σημειώνουμε στο σημείο αυτό ότι για ένα διάνυσμα A (ή πιο απλά A i ) o πιο πάνω τύπος (1.2.4) συμπίπτει ουσιαστικά με τον πρώτο τύπο (1.1.22) της προηγούμενης Ενότητας Ε1.1 για τις συνιστώσες του διανύσματος θέσεως r, εκεί όμως με x αντί για A και με k αντί για p. Παράδειγμα E1.2 Διανύσματα Να αποδειχθεί ότι η σχέση ορισμού (1.2.4) του διανύσματος A i μας οδηγεί στην αντίστοιχη σχέση ορισμού του A i = c pi A p (1.2.5) που προκύπτει στη συγκεκριμένη απλή περίπτωση (με n = 1) από τη σχέση (1.2.2). Λύση: Απλά εδώ οφείλουμε να αποδείξουμε ότι η σχέση (1.2.4) μας οδηγεί στη σχέση (1.2.5), στην εναλλακτική σχέση ορισμού ενός διανύσματος. Προς το σκοπό αυτό πολλαπλασιάζουμε τη σχέση (1.2.4) επί c pj μη λησμονώντας βέβαια την τώρα πια γνωστή μας σύμβαση αθροίσεως του Einstein. Έτσι παίρνουμε c pj A p = c pj c pi A i. (1.2.6) Αλλ από τη γνωστή μας και ιδιαίτερα χρήσιμη σχέση (1.1.37), τη σχέση c ij c ik = δ jk, προκύπτει εδώ ότι c pj c pi = δ ji = δ ij, αφού δ ji = δ ij. (1.2.7) ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV για ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ε1.2: ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ 13 Κατά συνέπεια η σχέση (1.2.6) παίρνει τώρα την απλοποιημένη μορφή της c pj A p = δ ij A i. (1.2.8) Γνωρίζουμε όμως από τη σχέση (1.1.31) (την ιδιότητα της αντικαταστάσεως του δέλτα του Kronecker δ ij ) ότι δ ij A i = A j. (1.2.9) Επομένως η παραπάνω σχέση (1.2.8) παίρνει την ακόμη πιο απλή μορφή της c pj A p = A j. (1.2.10) Αυτή φυσικά συμπίπτει με τη σχέση (1.2.5) που θέλαμε να αποδείξουμε απλά αλλάζοντας μεταξύ τους τα σύμβολα των δεικτών i και j και επίσης χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της ισότητας ότι a = b συνεπάγεται b = a. (Και έχουμε το δικαίωμα να αλλάζουμε τα σύμβολα σε δείκτες, αρκεί να μην προκαλείται καμία σύγχυση!) Άσκηση E1.6 Διανύσματα Ενότητα Ε1.2 Να αποδειχθεί ανάλογα ότι η σχέση (1.2.5) (δεύτερος ορισμός του διανύσματος A i ) οδηγεί στη σχέση (1.2.4) (πρώτος, βασικός ορισμός του ίδιου διανύσματος A i ). Ε1.2.4. Τανυστές δευτέρας τάξεως Ε1.2.4 Εδώ πρόκειται βέβαια για την πρώτη ιδιαίτερα σημαντική περίπτωση τανυστών πέρα από τα βαθμωτά μεγέθη και τα διανύσματα (ή διανυσματικά μεγέθη). Εδώ οι συνιστώσες A ij του τανυστή A έχουν δύο ελεύθερους δείκτες: το i και το j. Άρα πρόκειται για τανυστή δευτέρας τάξεως (με τάξη n = 2). Στην περίπτωση αυτή (με δύο ελεύθερους δείκτες) ο γενικός ορισμός (1.2.1) του τανυστή που αφορά στην αλλαγή συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων παίρνει τη λίγο πιο πολύπλοκη (σχετικά με τα διανύσματα) μορφή του A pq = c pi c qj A ij (1.2.11) που έχει δύο συνημίτονα: το c pi και το c qj. Δηλαδή, πάλι με απλά λόγια, οι συνιστώσες A ij του τανυστή δευτέρας τάξεως A μεταβάλλονται, όταν στραφεί το σύστημα των Καρτεσιανών συντεταγμένων σύμφωνα με τον τύπο (1.2.11). Αυτός εδώ ο τύπος είναι φυσικά σύμφωνος με το γενικό ορισμό του τανυστή στη σχέση (1.2.1), εδώ βέβαια με δύο (n = 2) ελεύθερους δείκτες: τανυστής δευτέρας τάξεως. Σημειώνουμε επίσης ότι εδώ στο δεξιό μέλος αυτής της σχέσεως ορισμού (1.2.11) του τανυστή δευτέρας τάξεως έχουμε σύμφωνα με τη σύμβαση αθροίσεως του Einstein διπλό άθροισμα. Αυτό συμβαίνει, επειδή έχουμε δύο επαναλαμβανόμενους δείκτες: τους i και j. Γνωρίζουμε ήδη μερικούς (αν και όχι και πολλούς!) τανυστές δευτέρας τάξεως κυρίως από τη Μηχανική των Υλικών: αυτοί είναι ο τανυστής των τάσεων σ (ή πιο απλά σ ij ), ο τανυστής των παραμορφώσεων ε (ή πιο απλά ε ij ) και ο τανυστής των ροπών αδρανείας I (ή πιο απλά I ij ). Επίσης αυτή η περίπτωση των τανυστών δευτέρας τάξεως είναι πιο δύσκολη από την προηγούμενη περίπτωση των διανυσμάτων (τανυστών πρώτης τάξεως) και θα της δώσουμε εδώ κάπως μεγαλύτερη βαρύτητα. Παράδειγμα E1.3 Τανυστές δευτέρας τάξεως Να αποδειχθεί ότι ένα μέγεθος δευτέρας τάξεως A (ή πιο απλά A ij ) που οι συνιστώσες Παράδειγμα Ενότητα Ε1.2 Copyright 2010 Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης

14 ΜΕΡΟΣ Ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ E1: ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ του επαληθεύουν τις σχέσεις A ij = c pi c qj A pq (1.2.12) Λύση στη στροφή του συστήματος των Καρτεσιανών συντεταγμένων είναι ένας τανυστής δευτέρας τάξεως. Σημειώνουμε ότι οι σχέσεις αυτές προέρχονται από το δεύτερο ορισμό (1.2.2) του γενικού τανυστή n τάξεως (εδώ απλά με n = 2). Λύση: Απλά εδώ έχουμε την υποχρέωση να αποδείξουμε ότι η σχέση (1.2.12) μας οδηγεί στη σχέση (1.2.11) ορισμού του τανυστή δευτέρας τάξεως (με n = 2). Προς το σκοπό αυτό πολλαπλασιάζουμε τη σχέση (1.2.12) επί c ri c sj μη λησμονώντας βέβαια την τώρα πια τόσο γνωστή μας σύμβαση αθροίσεως του Einstein. Έτσι παίρνουμε c ri c sj A ij = c ri c sj c pi c qj A pq. (1.2.13) Φέρνοντας τώρα το αριστερό μέλος στο δεξιό και αντίστροφα και αλλάζοντας τη σειρά του όρου c pi στο καινούργιο αριστερό μέλος, παίρνουμε (c ri c pi )(c sj c qj )A pq = c ri c sj A ij. (1.2.14) Τώρα, χρησιμοποιώντας το βασικό τύπο (1.1.36) για τα συνημίτονα c αβ, δηλαδή τον τύπο c ik c jk = δ ij, στην περίπτωσή μας διαπιστώνουμε ότι στο αριστερό μέλος της σχέσεως (1.2.14) c ri c pi = δ rp και επίσης ότι c sj c qj = δ sq. (1.2.15) Επομένως η πιο πάνω σχέση (1.2.14) απλοποιείται τώρα στη μορφή δ rp δ sq A pq = c ri c sj A ij. (1.2.16) Με βάση όμως τη γνωστή ιδιότητα της αντικαταστάσεως (1.1.29) του δέλτα του Kronecker δ ij είναι σαφές ότι δ sq A pq = A ps. (1.2.17) Επομένως η παραπάνω σχέση (1.2.16) παίρνει την ακόμη πιο απλή μορφή της δ rp A ps = c ri c sj A ij. (1.2.18) Και τώρα με μια δεύτερη χρήση της ίδιας και τόσο χρήσιμης ιδιότητας της αντικαταστάσεως (1.1.29), εδώ στη λίγο διαφορετική μορφή της (με διαφορετικούς δείκτες) δ rp A ps = A rs (1.2.19) (θυμόμαστε βέβαια ότι δ ij = δ ji ) η σχέση (1.2.18) γράφεται τελικά στη μορφή A rs = c ri c sj A ij. (1.2.20) Άρα αποδείχθηκε έτσι ότι ισχύει ο ορισμός του τανυστή δευτέρας τάξεως (1.2.11), ο οποίος προέκυψε βέβαια από το γενικό ορισμό του τανυστή (1.2.1) για n = 2. Απλά εδώ προέκυψαν οι διαφορετικοί δείκτες r και s αντί για τους δείκτες p και q στον ορισμό (1.2.11) του τανυστή δευτέρας τάξεως A ij. Τα σύμβολα όμως στους δείκτες δεν έχουν καμία απολύτως ουσιαστική σημασία. Επομένως ναι, αν ένα μέγεθος A ij δευτέρας τάξεως (με n = 2) επαληθεύει τις σχέσεις (1.2.12), τότε είναι πραγματικά τανυστής δευτέρας τάξεως, επειδή επαληθεύει και τις σχέσεις (1.2.11) ορισμού του τανυστή δευτέρας τάξεως. Άρα οι σχέσεις (1.2.12) μπορούν θαυμάσια να θεωρούνται και να χρησιμοποιούνται σαν δεύτερος ορισμός του τανυστή δευτέρας τάξεως. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV για ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ε1.2: ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΚΑΙ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ 15 Άσκηση E1.7 Τανυστές δευτέρας τάξεως Ενότητα Ε1.2 Να αποδειχθεί ότι ένας τανυστής δευτέρας τάξεως A (ή ισοδύναμα A ij ) επαληθεύει τις σχέσεις (1.2.12). Πρόκειται φυσικά για την αντίστροφη διαδικασία και έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη της ισοδυναμίας των σχέσεων (1.2.11) και (1.2.12). Άρα μπορούν και οι δύο αυτές σχέσεις να χρησιμοποιούνται εξίσου καλά σαν ορισμοί ενός τανυστή δευτέρας τάξεως, αφού η καθεμιά τους έχει σαν συνέπεια την άλλη. Άσκηση E1.8 Δέλτα του Kronecker Ενότητα Ε1.2 Για το δέλτα του Kronecker δ ij που ορίζεται με βάση τη σχέση (1.1.27) (σε κάθε σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 ) (α) να αποδειχθεί ότι είναι τανυστής δευτέρας τάξεως, δηλαδή ότι ισχύει η σχέση (1.2.11), προφανώς εδώ στη μορφή δ pq = c pi c qj δ ij. (1.2.21) (β) Με βάση αυτήν τη σχέση να επαληθευθεί ότι δ pq = δ pq, δηλαδή οι συνιστώσες του δέλτα του Kronecker δε μεταβάλλονται με τη στροφή του συστήματος συντεταγμένων. Άρα, όπως θα δούμε στην Ενότητα Ε1.5, πρόκειται για ισότροπο τανυστή. Ε1.2.5. Τανυστές τρίτης τάξεως Ε1.2.5 Απόλυτα ανάλογα ισχύουν και για τανυστές τρίτης τάξεως (με n = 3). Εδώ οι συνιστώσες A ijk του τανυστή A έχουν τρεις ελεύθερους δείκτες: το i, το j και το k και πρόκειται για τανυστή τρίτης τάξεως. Στην περίπτωση αυτή (με τρεις ελεύθερους δείκτες) ο παραπάνω ορισμός (1.2.1) του τανυστή που αφορά στην αλλαγή συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων παίρνει την ακόμη πιο πολύπλοκη (σχετικά με τους τανυστές δευτέρας τάξεως: με n = 2) μορφή του A pqr = c pi c qj c rk A ijk (1.2.22) που έχει τώρα τρία συνημίτονα: το c pi, το c qj και το c rk. Δηλαδή, ξανά με απλά λόγια, οι συνιστώσες A ijk του τανυστή τρίτης τάξεως A μεταβάλλονται, όταν στραφεί το σύστημα των Καρτεσιανών συντεταγμένων σύμφωνα με τον τύπο (1.2.22). Αυτός ο τύπος είναι ασφαλώς σύμφωνος με το γενικό ορισμό του τανυστή στη σχέση (1.2.1), εδώ βέβαια με τρεις (n = 3) ελεύθερους δείκτες: τανυστής τρίτης τάξεως. Σημειώνουμε επίσης ότι εδώ στο δεξιό μέλος αυτής της σχέσεως ορισμού (1.2.22) έχουμε (σε συμφωνία με τη σύμβαση αθροίσεως του Einstein) ένα τριπλό άθροισμα. Αυτό συμβαίνει επειδή έχουμε τρεις επαναλαμβανόμενους δείκτες: τους δείκτες i, j και k. Δεν ξέρουμε συγκεκριμένους τανυστές τρίτης τάξεως (αντίθετα με τους τανυστές δευτέρας τάξεως). Απλά σημειώνουμε ότι το τόσο χρήσιμο σύμβολο του Levi Civita (ή μεταθετικό σύμβολο) ε ijk που εισαγάγαμε στην Παράγραφο Ε1.1.4 είναι τανυστής τρίτης τάξεως. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί με βάση τον ορισμό του (1.1.38) σε συνδυασμό με τον πιο πάνω τύπο (1.2.22), αλλά θα παραλείψουμε τη σχετική απόδειξη. Ε1.2.6. Τανυστές τετάρτης τάξεως Ε1.2.6 Ανάλογα ισχύουν παραπέρα και για τανυστές τετάρτης τάξεως (με n = 4). Εδώ οι 3 4 = 81 συνιστώσες A ijkl του τανυστή A τετάρτης τάξεως έχουν τέσσερις ελεύθερους Copyright 2010 Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης

16 ΜΕΡΟΣ Ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ E1: ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ δείκτες: τους i, j, k και l. Έτσι πρόκειται για τανυστή τετάρτης τάξεως. Στην περίπτωση αυτή (με τέσσερις ελεύθερους δείκτες) ο γενικός ορισμός (1.2.1) του τανυστή που αφορά στην αλλαγή συστήματος Καρτεσιανών συντεταγμένων παίρνει την ακόμη πιο πολύπλοκη (σχετικά με τους τανυστές χαμηλότερης τάξεως n) μορφή A pqrs = c pi c qj c rk c sl A ijkl. (1.2.23) Σ αυτήν εδώ τη μορφή παρουσιάζονται τέσσερα συνημίτονα: το c pi, το c qj, το c rk και το c sl. Και εύλογα δεξιά πρόκειται για τετραπλό άθροισμα, επειδή έχουμε τέσσερις επαναλαμβανόμενους δείκτες: τους δείκτες i, j, k και l. Τετραπλό άθροισμα! Φοβερό! Και μάλιστα ξέρουμε λίγο (όχι πολύ, μη λέμε ψέματα!) έναν τανυστή τετάρτης τάξεως πάλι από τη Μηχανική των Υλικών. Πρόκειται για το γνωστό μας τανυστή των ελαστικών σταθερών, δηλαδή απλά για τον τανυστή ελαστικότητας E και πιο απλά E ijkl. Οι ίδιες οι συνιστώσες του τανυστή ελαστικότητας E είναι οι ελαστικές σταθερές E ijkl του γενικά ανισότροπου ελαστικού υλικού. Αυτές εδώ οι ελαστικές σταθερές E ijkl υπεισέρχονται στις σχέσεις που ισχύουν ανάμεσα στις τάσεις σ ij και στις παραμορφώσεις ε ij, δηλαδή στο γενικευμένο νόμο του Hooke, που καλύπτει και τα πιο γενικά ανισότροπα υλικά. Ο γενικευμένος νόμος του Hooke έχει τη μορφή σ = Eε και σε μορφή με δείκτες σ ij = Ε ijkl ε kl. (1.2.24) Εδώ σ (ή ισοδύναμα σ ij ) είναι ο τανυστής των τάσεων και ε (ή ισοδύναμα ε ij ) είναι ο τανυστής των παραμορφώσεων. Κι αντίστροφα υπάρχει και ο τανυστής F των ελαστικών συντελεστών ενδοτικότητας F ijkl, που είναι επίσης τετάρτης τάξεως και που δίνει τις παραμορφώσεις ε ij από τις τάσεις σ ij με βάση τις απόλυτα ανάλογες γραμμικές σχέσεις ε = Fσ και σε μορφή με δείκτες ε ij = F ijkl σ kl. (1.2.25) Αργότερα, πιο κάτω, θα έχουμε την ευκαιρία να αναφερθούμε πιο εκτενώς στους τανυστές των τάσεων σ ij, των παραμορφώσεων ε ij και των ελαστικών σταθερών E ijkl. Προς το παρόν απλά κάνουμε υπομονή μέχρι να προχωρήσουμε στις πράξεις με τους τανυστές καθώς και στον τόσο χρήσιμο νόμο του πηλίκου πάλι στους τανυστές. Ε1.2.7 ΟΡΙΣΜΟΣ Ε1.2.7. Ισότητα τανυστών Η ισότητα δύο τανυστών A και B είναι μάλλον προφανής και ορίζεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ E1.2 (Ισότητα τανυστών): Δύο τανυστές A και B της ίδιας ακριβώς τάξεως n καλούνται ίσοι, εάν και μόνο εάν όλες οι αντίστοιχες συνιστώσες τους είναι ίσες μεταξύ τους, δηλαδή εάν και μόνο εάν Α ijk m = B ijk m (1.2.26) για όλες τις τιμές όλων των δεικτών i, j, k,, m (n δείκτες) στις συνιστώσες αυτές. Για παράδειγμα, οι δύο τανυστές A ij και B ij είναι ίσοι, εάν και μόνο εάν Α ij = B ij για κάθε τιμή των δεικτών τους i και j, που στον τριδιάστατο χώρο παίρνουν τις τρεις τιμές 1, 2 και 3. Ανάλογα στο διδιάστατο χώρο παίρνουν τις δύο τιμές 1 και 2. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV για ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ε1.3: ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΤΑΝΥΣΤΕΣ 17 Ε1.3. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΤΑΝΥΣΤΕΣ Στην ενότητα αυτή θα ορίσουμε τις τέσσερις βασικές πράξεις με τους τανυστές: (α) τον πολλαπλασιασμό τανυστή επί πραγματικό αριθμό, (β) την πρόσθεση τανυστών, (γ) τον πολλαπλασιασμό τανυστών και (δ) τη συστολή τανυστή. Ε1.3.1. Πολλαπλασιασμός τανυστή επί πραγματικό αριθμό Ε1.3 Ε1.3.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ E1.3 (Πολλαπλασιασμός τανυστή επί πραγματικό αριθμό): Το γινόμενο ενός τανυστή A τάξεως n επί έναν πραγματικό αριθμό c είναι το μέγεθος B πάλι τάξεως n με συνιστώσες B ij m = ca ij m. (1.3.1) Αποδεικνύεται μάλιστα ότι το μέγεθος αυτό B είναι επίσης τανυστής τάξεως n. Άσκηση E1.9 Πολλαπλασιασμός τανυστή επί πραγματικό αριθμό Για τον τανυστή τετάρτης τάξεως A ijkl να αποδειχθεί (φυσικά με βάση τον ορισμό των τανυστών) ότι το μέγεθος τετάρτης τάξεως B ijkl με συνιστώσες B ijkl = ca ijkl, όπου το c είναι ένας πραγματικός αριθμός, είναι επίσης τανυστής τετάρτης τάξεως. Ε1.3.2. Πρόσθεση τανυστών Ενότητα Ε1.3 Ε1.3.2 ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ E1.4 (Πρόσθεση τανυστών): Το άθροισμα δύο τανυστών A και B της ίδιας ακριβώς τάξεως n ορίζεται σαν το μέγεθος C πάλι τάξεως n με συνιστώσες C ij m = Α ij m + B ij m. (1.3.2) Αποδεικνύεται μάλιστα ότι το μέγεθος αυτό C είναι επίσης τανυστής τάξεως n. Παράδειγμα Παράδειγμα E1.4 Πρόσθεση τανυστών Ζητείται να αποδειχθεί ότι το άθροισμα C ijkl των δύο τανυστών τετάρτης τάξεως Α ijkl και B ijkl είναι επίσης τανυστής τετάρτης τάξεως (με n = 4). Απόδειξη: Τα δύο μεγέθη Α ijkl και B ijkl είναι τανυστές τετάρτης τάξεως (με n = 4). Επομένως γι αυτά θα ισχύει ο ορισμός του τανυστή (1.2.1) και ειδικότερα ο ορισμός του τανυστή τετάρτης τάξεως (1.2.23) για τη μετατροπή των συνιστωσών τους από το αρχικό σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων στο νέο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων. Συγκεκριμένα για τους δύο αυτούς τανυστές Α ijkl και B ijkl θα έχουμε Ενότητα Ε1.3 Απόδειξη A pqrs = c pi c qj c rk c sl A ijkl και B pqrs = c pi c qj c rk c sl B ijkl. (1.3.3) Απλά τώρα προσθέτουμε κατά μέλη αυτές τις δύο σχέσεις και παίρνουμε A pqrs + B pqrs = c pi c qj c rk c sl A ijkl + c pi c qj c rk c sl B ijkl = c pi c qj c rk c sl (A ijkl + B ijkl ). (1.3.4) Copyright 2010 Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης

18 ΜΕΡΟΣ Ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ E1: ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟΙ ΤΑΝΥΣΤΕΣ Αλλ αφού το μέγεθος C ijkl ορίζεται (εννοείται και στο πρώτο και στο δεύτερο σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων) σαν το άθροισμα των δύο τανυστών A ijkl και B ijkl, θα ισχύουν προφανώς οι δύο σχέσεις C ijkl = A ijkl + B ijkl και επίσης C pqrs = A pqrs + B pqrs. (1.3.5) Εδώ πήραμε μάλιστα το θάρρος να επιλέξουμε κατάλληλα τους δείκτες στη δεύτερη σχέση. Έτσι κι αλλιώς, επαναλαμβάνουμε, το ποιους δείκτες χρησιμοποιούμε δεν έχει καμία ουσιαστική, μαθηματική σημασία. Εμείς τους επιλέγουμε. Και τώρα με βάση τις σχέσεις (1.3.5) από τις σχέσεις (1.3.4) συμπεραίνουμε ότι C pqrs = c pi c qj c rk c sl C ijkl. (1.3.6) Αλλά τούτη εδώ η σχέση απλά συμπίπτει με τη σχέση (1.2.23), εδώ όμως με C αντί Ενότητα Ε1.3 για A. Άρα το μέγεθος C ijkl, το άθροισμα των δύο τανυστών τετάρτης τάξεως A ijkl και B ijkl, είναι κι αυτό τανυστής τετάρτης τάξεως (με n = 4). Πάρα πολύ ωραία! Άσκηση E1.10 Γραμμικός συνδυασμός τανυστών Ζητείται να αποδειχθεί ότι ο γραμμικός συνδυασμός C ij = αa ij + βb ij (1.3.7) Ενότητα Ε1.3 δύο τανυστών δευτέρας τάξεως (με n = 2), των τανυστών A ij και B ij, με τα α και β δύο πραγματικούς αριθμούς είναι επίσης τανυστής δευτέρας τάξεως. Υπόδειξη: Προφανώς πρέπει να χρησιμοποιηθεί ο γενικός ορισμός (1.2.1) του τανυστή και καλύτερα ο ορισμός (1.2.11) του τανυστή δευτέρας τάξεως, που είναι απλά ειδική περίπτωση (για n = 2) του γενικού ορισμού (1.2.1) του τανυστή. Άσκηση E1.11 Μηχανική των Υλικών: τάσεις Ένα γραμμικά ελαστικό μέσον καταπονείται ταυτόχρονα από τρία φορτία (ή καλύτερα φορτίσεις). Το πρώτο φορτίο προκαλεί στο ελαστικό μέσον τις τάσεις σ ij, το δεύτερο τις τάσεις s ij και το τρίτο τις τάσεις τ ij. Γνωρίζουμε (ή μάλλον θα αποδείξουμε αργότερα) ότι οι τάσεις σ ij, s ij και τ ij είναι τανυστές δευτέρας τάξεως. Ζητούνται: (α) Με εκτέλεση των σχετικών υπολογισμών να αποδειχθεί ότι η συνολική τάση S ij = σ ij + s ij + τ ij (1.3.8) είναι κι αυτή τανυστής δευτέρας τάξεως. (β) Για ποιο λόγο υποθέσαμε το ελαστικό μέσον μας ότι είναι και γραμμικό; (γ) Να εξηγηθεί εάν υπάρχει ή όχι και μη γραμμική Ελαστικότητα πέρα από τη γραμμική Ελαστικότητα με την αναφορά μάλιστα και του κλασικού σχετικού παραδείγματος στον απλό εφελκυσμό ράβδου. Ε1.3.3 ΟΡΙΣΜΟΣ Ε1.3.3. Πολλαπλασιασμός τανυστών ΟΡΙΣΜΟΣ E1.5 (Πολλαπλασιασμός τανυστών): Το γινόμενο δύο τανυστών A (τάξεως n 1 ) και B (τάξεως n 2 ) ορίζεται σαν το μέγεθος C τάξεως n = n 1 + n 2 με συνιστώσες C ij t = Α ij m B pq t. (1.3.9) ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ IV για ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ Ε1.3: ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΤΑΝΥΣΤΕΣ 19 Αποδεικνύεται μάλιστα ότι το μέγεθος αυτό C είναι επίσης τανυστής προφανώς τάξεως n = n 1 + n 2 ίσης με το άθροισμα των τάξεων των δύο τανυστών A και B. Σημείωση: Προφανώς στην ειδική περίπτωση που ο ένας τανυστής (είτε ο A Σημείωση είτε ο B) είναι βαθμωτό μέγεθος (τανυστής μηδενικής τάξεως) εδώ έχουμε απλά τον πολλαπλασιασμό τανυστή επί πραγματικό αριθμό (Ορισμός Ε1.3). Παράδειγμα Παράδειγμα E1.5 Πολλαπλασιασμός τανυστών Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο C ijklm των τανυστών Α ij (δευτέρας τάξεως, με δύο ελεύθερους δείκτες: n 1 = 2) και B klm (τρίτης τάξεως, με τρεις ελεύθερους δείκτες: n 2 = 3) είναι επίσης τανυστής, τώρα πέμπτης τάξεως (με n = n 1 + n 2 = 2 + 3 = 5 ελεύθερους δείκτες). Απόδειξη: Τα δύο μεγέθη Α ij και B klm είναι τανυστές (δευτέρας και τρίτης τάξεως αντίστοιχα). Άρα γι αυτά θα ισχύει ο γενικός ορισμός του τανυστή (1.2.1) και ειδικότερα οι ορισμοί των τανυστών δευτέρας τάξεως (1.2.11) και τρίτης τάξεως (1.2.22) αντίστοιχα. Έτσι οι συνιστώσες τους μετατρέπονται από το αρχικό (το πρώτο) σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 στο νέο (στο δεύτερο) σύστημα Καρτεσιανών συντεταγμένων Ox 1 x 2 x 3 (Σχήμα Ε1.1). Συγκεκριμένα με βάση αυτούς τους τύπους (1.2.11) και (1.2.22) για τους δύο τανυστές Α ij και B klm που πολλαπλασιάζουμε θα έχουμε A pq = c pi c qj A ij και B rst = c rk c sl c tm B klm. (1.3.10) Τώρα με βάση τον ορισμό (1.3.9) του γινομένου C δύο τανυστών A και B, που φυσικά ισχύει σε κάθε σύστημα συντεταγμένων, δηλαδή και στο αρχικό (στο πρώτο) και στο νέο (στο δεύτερο) που προκύπτει με στροφή του πρώτου, θα έχουμε C ijklm = Α ij B klm και επίσης C pqrst = Α pqb rst. (1.3.11) Εδώ πήραμε ξανά το θάρρος (και έχουμε το σχετικό δικαίωμα!) να χρησιμοποιήσουμε τους δείκτες που να μας διευκολύνουν, δηλαδή εδώ να ταιριάζουν με τους δείκτες στις σχέσεις (1.3.10) και έτσι να μας εξυπηρετούν στους υπολογισμούς μας. Και τώρα αντικαθιστώντας τις εκφράσεις των συνιστωσών A pq και B rst των δύο τανυστών A και B αντίστοιχα από τις σχέσεις (1.3.10) στη δεύτερη σχέση (1.3.11), παίρνουμε αμέσως το αποτέλεσμα C pqrst = (c pi c qj A ij )(c rk c sl c tm B klm ) = c pi c qj c rk c sl c tm A ij B klm. (1.3.12) Ένα βηματάκι μας απέμεινε ακόμη: να πάρουμε υπόψη και την πρώτη σχέση (1.3.11). (Τη δεύτερη την πήραμε ήδη προ ολίγου!) Τότε αυτή η σχέση (1.3.12) παίρνει την τελική της μορφή C pqrst = c pi c qj c rk c sl c tm C ijklm. (1.3.13) Η σχέση αυτή απλά μας βεβαιώνει σύμφωνα με το γενικό τύπο (1.2.1) ορισμού του τανυστή ότι το μέγεθος C ijklm είναι πραγματικά τανυστής. Και φυσικά είναι τανυστής πέμπτης τάξεως (n = 5), επειδή έχει πέντε (δύο συν τρεις) ελεύθερους δείκτες. Φυσικά ισχύει και η αντίστοιχη σχέση C ijklm = c pi c qj c rk c sl c tm C pqrst (1.3.14) Ενότητα Ε1.3 Απόδειξη Copyright 2010 Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης