ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ος θερμοδυναμικός νόμος 1. α. Αέριο απορροφά θερμότητα 2500 και παράγει έργο 1500. Να υπολογισθεί η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας. β. Αέριο συμπιέζεται ισόθερμα και αποβάλλει θερμότητα 2000. Να υπολογισθεί το έργο W καθώς και η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας. γ. Αέριο θερμαίνεται ισόχωρα και απορροφά θερμότητα 1600. Να υπολογισθεί το έργο που παράχθηκε και η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας. α. Χρησιμοποιώντας τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο έχουμε : β. Έχουμε ισόθερμη μεταβολή άρα Τ = σταθερό. Επομένως ΔU = 0 και Q = W =. (Από το αέριο αποβάλλεται θερμότητα, άρα είναι αρνητική) γ. Έχουμε ισόχωρη μεταβολή άρα V = σταθερό ΔV = 0 W = 0. Συνεπώς Q = ΔU = 1600. 2. Ποσότητα ιδανικού αερίου μεταβαίνει από μία κατάσταση Α σε μία κατάσταση Β με δύο διαφορετικούς τρόπους, όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Αν και, να βρεθούν : α. Το έργο. β. Η θερμότητα αν. Όπως είναι γνωστό η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι ανεξάρτητη από τον τρόπο μετάβασης, και εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση. Άρα : α. Από τον 1 ο θερμοδυναμικό νόμο έχουμε :
β. Από τον 1 ο θερμοδυναμικό νόμο έχουμε : 3. Ιδανικό αέριο βρίσκεται αρχικά σε κατάσταση Α όπου N/m 2 και L. Κάποια χρονική στιγμή αρχίζει να εκτονώνεται ισόθερμα μέχρις ότου η πίεσή του να υποδιπλασιαστεί. Να βρεθούν : α. Το έργο, η θερμότητα και η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας. β. Η τιμή της ενεργούς ταχύτητας στο τέλος της μεταβολής, αν η τετραγωνική ρίζα της μέσης τιμής των τετραγώνων των ταχυτήτων στην κατάσταση Α είναι 700 m/s. Να θεωρηθεί ότι ln2 = 0,7. Ισχύει ότι : Αρχικ κατ σταση Τελικ κατ σταση L. α. Το έργο στην ισόθερμη μεταβολή υπολογίζεται από τη σχέση : Ακόμη Τα = σταθερή άρα ΔU = 0 επομένως : β. Έχουμε ότι. Όμως γνωρίζουμε ότι η θερμοκρασία παραμένει σταθερή. Συνεπώς το δεν αλλάζει, άρα και η τελική ενεργός ταχύτητα είναι 700 m/s. 4. Ιδανικό αέριο σε θερμοκρασία 300 Κ περιέχεται σε δοχείο με ανένδοτα τοιχώματα. Το αέριο απορροφά θερμότητα 200 και η θερμοκρασία του τριπλασιάζεται. Να βρεθούν : α. Η ποσοστιαία αύξηση της πίεσης. β. Το έργο και η μεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας. γ. Ο λόγος των μέσων μεταφορικών κινητικών ενεργειών (αρχικής και τελικής) α. Αφού το δοχείο έχει ανένδοτα τοιχώματα, τότε V = σταθερό :
Άρα β. Ισχύει V = σταθερό ΔV = 0 οπότε W = 0 άρα : γ. Ισχύει 5. Ιδανικό αέριο ποσότητα mol βρίσκεται αρχικά στην κατάσταση Α όπου N/m 2 και C. Στη συνέχεια το αέριο θερμαίνεται ισοβαρώς μέχρις ότου η θερμοκρασία του να γίνει C. Να βρεθούν : α. Το έργο της μεταβολής. β. Η θερμότητα και η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου. Δίνεται ότι. Έχουμε ισοβαρή μεταβολή, άρα : α.. β. Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι : Ακόμη 6. Ποσότητα ιδανικού αερίου εκτονώνεται ισοβαρώς και απορροφά θερμότητα 6000. Να βρεθούν η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου και το έργο. Δίνεται ότι. Έχουμε ισοβαρή εκτόνωση συνεπώς : Άρα έχουμε :.
Επομένως : Από τον 1 ο θερμοδυναμικό νόμο έχουμε : 6. Ποσότητα ιδανικού αερίου μεταβαίνει ισόθερμα από κατάσταση Α όπου N/m 2, L και Κ στην κατάσταση Β όπου. Στη συνέχεια μεταβαίνει ισοβαρώς σε κατάσταση Γ όπου, και τέλος μεταβαίνει ισόχωρα σε κατάσταση Δ όπου. α. Να σχεδιαστούν τα διαγράμματα p(v), p(t), V(T). β. Να βρεθούν για κάθε μεταβολή το έργο, η θερμότητα και η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας. Δίνεται ότι και ln2 = 0,7. α. Κατασκευάζουμε την πορεία του αερίου όπως φαίνεται παρακάτω : Κατάσταση Α Β Γ Δ Πίεση Όγκος Θερμοκρσία Με χρήση των νόμων των ιδανικών αερίων και της καταστατικής εξίσωσης μπορούν να βρεθούν τα,, : Από (1), (2) έχουμε. Από (2), (3) αφού έχουμε. Από (1), (4) αφού έχουμε. Τα ζητούμενα διαγράμματα φαίνονται παρακάτω
β. Για την ισόθερμη μεταβολή : Για την ισοβαρή μεταβολή : της Οπότε. Άρα (ή ). Για την ισόχωρη μεταβολή : 7. Ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί της εξής διαδοχικές μεταβολές : α. Θερμαίνεται ισόχωρα οπότε μεταβαίνει από πίεση N/m 2 και όγκο 2 L σε πίεση N/m 2. β. Εκτονώνεται ισόθερμα μέχρις ότου ο αρχικός του όγκος να διπλασιαστεί. γ. Ψύχεται ισοβαρώς μέχρι να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση. Να σχεδιαστούν τα διαγράμματα p(v), p(t) και V(T), να βρεθεί το έργο, η θερμότητα και η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας για κάθε επιμέρους μεταβολή καθώς και για την κυκλική μεταβολή. Δίνεται ότι και ln2 = 0,7. Κατασκευάζουμε την πορεία του αερίου :
Κατάσταση Α Β Γ Α Πίεση Όγκος Θερμοκρασία Με χρήση των νόμων των ιδανικών αερίων και της καταστατικής εξίσωσης μπορεί να βρεθεί το ενώ αφού η ΓΑ είναι ισοβαρής, έχουμε. Έτσι : (1) Σχεδιάζουμε τα ζητούμενα διαγράμματα Ισόχωρη μεταβολή ΑΒ Έχουμε άρα : Ισόθερμη μεταβολή ΒΓ Ισχύει οπότε : Ισοβαρής μεταβολή ΓΑ Το έργο είναι : Η θερμότητα είναι :
Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι : ή Για την κυκλική μεταβολή έχουμε : 8. Ιδανικό αέριο θερμαίνεται ισόχωρα με αποτέλεσμα να μεταβεί από κατάσταση Α σε κατάσταση Β. Στη συνέχεια το αέριο εκτονώνεται αδιαβατικά έως ότου μεταβεί σε κατάσταση Γ, στην οποία έχει την ίδια θερμοκρασία με την Α. Ποια είναι η θερμότητα, αν γνωρίζουμε ότι ; α. Κατασκευάζουμε την πορεία του αερίου : Κατάσταση Α Β Γ Πίεση Όγκος Θερμοκρασία Τα,,,, δεν μπορούν άμεσα να εκφραστούν συναρτήσει των,,. Στην ισόχωρη μεταβολή ΑΒ ισχύει,,, επομένως : (1) Στην αδιαβατική μεταβολή ΒΓ ισχύει, συνεπώς : Άρα από την (1) προκύπτει.
9. Ποσότητα ιδανικού αερίου εκτελεί κυκλική μεταβολή η οποία φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα έργα,, καθώς και το ολικό έργο, αν και. Δίνεται ότι. Από το σχήμα συμπεραίνουμε ότι η μεταβολή ΑΒ είναι ισόχωρη, η μεταβολή ΒΓ είναι ισόθερμη κα η μεταβολή ΓΑ είναι ισοβαρής (επειδή V = σταθ. Τ) Κατασκευάζουμε την πορεία του αερίου : Κατάσταση Α Β Γ Α Πίεση Όγκος Θερμοκρασία Για την ισόχωρη μεταβολή ΑΒ έχουμε : άρα (1) Για την ισόθερμη μεταβολή ΒΓ έχουμε : (2) Για την ισοβαρή μεταβολή ΓΑ έχουμε : Όμως : Άρα : (3) (4) Από τις (3), (4) έχουμε :
Οπότε :. Για την κυκλική μεταβολή προκύπτει :. 2 ος θερμοδυναμικός νόμος.. 1. mol ιδανικού αερίου εκτελούν κυκλική αντιστρεπτή μεταβολή η οποία φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Η θερμοκρασία στην κατάσταση Α είναι 200 Κ. Να βρεθούν : α. Η θερμότητα που απορροφά το αέριο σε κάθε κύκλο. β. Ο συντελεστής απόδοσης του κύκλου. γ. Η ισχύς της μηχανής αν εκτελεί 20 κύκλους του δευτερόλεπτο, καθώς και το ρυθμό με τον οποίο αποβάλλει.. Κατασκευάζουμε την πορεία του αερίου : Κατάσταση Α Β Γ Δ Α Πίεση Όγκος Θερμοκρασία α. Η θερμότητα που απορροφά το αέριο σε κάθε κύκλο είναι : β. Το ολικό έργο είναι
Το ολικό έργο εναλλακτικά μπορεί να ιυπολογιστεί από το εμβαδό που περικλείεται από το ορθογώνιο ΑΒΓΔ : Έχουμε. γ. Η ισχύς δίνεται από τη σχέση : W Ο ρυθμός με τον οποίο αποβάλλει θερμότητα η μηχανή στην ψυχρή δεξαμενή είναι: KW Όμως άρα W W KW (, οπότε ). 2. Μηχανή Carnot λειτουργεί παράγει έργο 300 σε κάθε κύκλο λειτουργώντας μεταξύ των θερμοκρασιών 600 Κ και 800 Κ. Να βρεθούν : α. Η απόδοση της μηχανής. β. Η θερμότητα που απορροφά η μηχανή σε κάθε κύκλο από τη θερμή δεξαμενή και η θερμότητα που αποβάλλει στην ψυχρή. γ. Το ποσοστό που πρέπει να μεταβληθεί η θερμοκρασία της μίας μηχανής (κρατώντας σταθερή τη θερμοκρασία της άλλης), ώστε ο συντελεστής απόδοσης να διπλασιαστεί. α. Στη μηχανή Carnot έχουμε ότι β. Σε κάθε μηχανή ισχύει ότι Ακόμη γ. i. Κρατώντας σταθερή τη θερμοκρασία της ψυχρής δεξαμενής, έχουμε άρα το ζητούμενο ποσοστό είναι Το (-) σημαίνει ότι θα πρέπει να μειωθεί η. ii. Κρατώντας σταθερή τη θερμοκρασία της θερμής δεξαμενής, έχουμε άρα το ζητούμενο ποσοστό είναι Το (-) σημαίνει ότι θα πρέπει να μειωθεί η. K K
3. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ο κύκλος που εκτελεί ένα ιδανικό αέριο. Να βρεθούν : α. Ο συντελεστής απόδοσης του κύκλου. β. Ο συντελεστής απόδοσης της μηχανής Carnot που λειτουργεί μεταξύ μέγιστης και ελάχιστης θερμοκρασίας του κύκλου. Δίνεται ότι. Το έργο είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδό ΑΒΓ, δηλαδή : Για να βρεθεί η θερμότητα που απορροφά το αέριο πρέπει να βρεθούν οι επιμέρους θερμότητες., όπου εμβαδό και. Οπότε Η είναι το άθροισμα των θετικών θερμοτήτων, άρα : Οπότε :.. β. Η απόδοση της μηχανής δίνεται από τη σχέση. Ισχύει και. Από τις καταστατικές εξισώσεις για τις καταστάσεις Α και Γ έχουμε : Άρα