Hypothesis Testing* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü January 26, 2009

Hypothesis Testing* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr January 26, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá "Mathematical Statistics" ôïõ John E. Freund êáé "Statistical Inference" ôùí George Casella êáé Roger L. Berger.

ÅéóáãùãéêÜ [Ð.. 1]: Ìéá öáñìáêïâéïìç áíßá åðåîåñãüæåôå ôçí áðïôåëåóìáôéêüôçôá åíüò åìâïëßïõ êáôü ôïõ êïéíïý êñõüëïãþìáôïò. Ðþò èá ìðïñýóåé íá ëüâåé ôçí áðüöáóç üôé ôï íýï åìâüëéï åßíáé êáëýôåñï áðü ôéò ðñáêôéêýò/èåñáðåßåò ðïõ áêïëïõèïýíôáé þò óþìåñá? Ï ðëýïí óùóôüò/åðéóôçìïíéêüò ôñüðïò åßíáé ï óôáôéóôéêüò ôñüðïò üðïõ Ýíá ðåßñáìá ó åäéüæåôå üðïõ ìýëç ôïõ ðëçèõóìïý åðéëýãïíôáé êáôüëçëá íá ëüâïõí ôï íýï åìâüëéï óôéò áñ Ýò ôïõ åéìþíá ìéáò êáé ôá áðïôåëýóìáôá äéýðïíôáé áðü ôïõò êáíüíåò ôçò ôý çò, Ýóôù ñ ç ðéèáíüôçôá Ýíáò åìâïëéáóìýíïò íá ìçí êñõïëïãßóåé (0 < ñ < 1), üðïõ ñ Üãíùóôç ðáñüìåôñïò êáé ïõóéáóôéêü ôï êñéôþñéï áðïôåëåóìáôéêüôçôáò ôïõ åìâïëßïõ åüí ñ = 1 ôï åìâüëéï åßíáé 100% áðïôåëåóìáôéêü ôé óõìâáßíåé üìùò üôáí ñ > 0:9 Þ ñ = 0:5; ôýôïéïõ åßäïõò õðïèýóåéò ïíïìüæïíôáé ìçäåíéêýò õðïèýóåéò (null hypothesis) êáé óõìâïëßæïíôáé ìå Ç 0 ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 1

ðñïöáíþò êüèå Ç 0 èá Ý åé êáé ôçí áíôßèåôþ ôçò, ðïõ ôçí ïíïìüæïõìå åíáëëáêôéêþ (alternative hypothesis) êáé óõìâïëßæïõìå ìå Ç 1 Þ Ç á [Ð.. 2]: óôù üôé åëýã ïõìå êáôü ðüóï Ýíá íüìéóìá åßíáé óùóôü (áìåñüëçðôï). ñß íïõìå ôï íüìéóìá åíáí ïñéóìýíï (ìåãüëï) áñéèìü öïñþí êáé ìåôñüìå ôéò êïñüíåò (Þ ãñüììáôá) Ýóôù ñ ç ðéèáíüôçôá íá Ýñèåé êïñüíá ç ìçäåíéêþ õðüèåóç åßíáé Ç 0 : Ç 1 : ñ 0:5 ñ = 0:5 êáé ç åíáëëáêôéêþ èá åßíáé [Ð.. 3]: ÅîåôÜæïõìå ôçí áýîçóç âüñïõò óå êïôüðïõëá ðïõ ôñýöïíôáé ìå íåï äéáôïëüãéï êáôá ôï ðñþôï ôñßìçíï ôçò æùþò ôïõò. 16 êïôüðïõëá ôñåöïíôáé ìå ôï íýï äéáôïëüãéï óõíþèùò ôá êïôüðïõëá ðáßñíïõí 500gr ôïõò ðñþôïõò 3 ìþíåò ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 2

Üí ì ç Üãíùóôç ìýóç áýîçóç âüñïõò, ôüôå Ç 0 Ç 1 : ì 500 : ì = 500 ìå [Ð.. 4]: ÌåëåôÜìå ôçí êáôáíïìþ ýøïõò áãïñéþí çëéêßáò 5 åôþí. Ðáßñíïõìå ô.ä. áðü ìåãüëï áñéèìü ðáéäéþí. óå ðñùôç öüóç, ìðïñïýìå íá ðüñïõìå Ýíáí ðßíáêá óõ íïôþôùí ôùí õøþí (ìåôü áðü êáôüëëçëç ïìáäïðïßçóç) ìéá åéêüíá ôçò êáôáíïìþò ëáìâüíåôå áðü ôï éóôüãñáììá Þ ôï ðïëýãïíï óõ íïôþôùí áðü éóôïñéêü óôïé åßá (Üëëåò ìåëýôåò) ãíùñßæïõìå üôé ôï ýøïò áêïëïõèåß êáíïíéêþ êáôáíïìþ óõíåðþò, ìéá ìçäåíéêþ õðüèåóç ìðïñåé íá åßíáé üôé ôï ýøïò áêïëïõèåß êáíïíéêþ ìå ì = 1m êáé ó = 0:1 (Þ áêüìá êáé ìå Üãíùóôåò ôéìýò), ìå ôçí åíáëëáêôéêþ íá ðåñéëáìâüíåé Üëëåò ðéèáíýò êáôáíïìýò ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 3

Áðü ôá ðáñáäåßãìáôá óõìðåñýíïõìå üôé üëá ôá ðñïâëþìáôá Ý ïõí ïñéóìýíá âáóéêü áñáêôçñéóôéêü Ý ïõìå Ýíáí Ä.. S ôùí áðïôåëåóìüôùí/ìåôñþóåùí ôïõ ðåéñüìáôïò Þ ôçò äåéãìáôïëçøßáò, üðïõ ãåíéêü S åßíáé Ýíáò í- äéüóôáôïò Åõêëåßäéïò þñïò ìå í 1 ôá áðïôåëýóìáôá åßíáé x = (x 1 ; x 2 ; : : : ; x í ), üðïõ x S åðßóçò Ý ïõìå ìßá Ç 0 êáé ìéá Ç 1 Ýóôù = ( 1 ; 2 ; : : : ; í ) ç ô.ì. ôçò ïðïßáò ïé ôéìýò åßíáé x. H êáôáíïìþ ôçò áíþêåé óå ìéá ïéêïãýíåéá êáôáíïìþí F êáé ôüóï ç Ç 0 üóï êáé ç Ç 1 êáèïñßæïõí åí ìýñç Þ ôåëåßùò ôçí êáôáíïìþ ôçò ôï åñþôçìá åßíáé êáôá ðüóï ç Ç 0 åßíáé áëçèéíþ Þ ü é äéáêñßíïõìå äýï ðåñéðôþóåéò ãéá ôçí F { ÐáñáìåôñéêÞ (ðáñáäåßãìáôá 1,2,3) ÅÜí è È, Ýíá áõèáßñåôï óôïé åßï óôïí ðáñáìåôñéêü þñï, ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 4

ôüôå óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç ç ìçäåíéêþ õðüèåóç ãñüöåôå Ç 0 : è = è 0, üðïõ è 0 ãíùóôü. ¼ôáí ç Ç 0 êáèïñßæåé ôåëåßùò ôçí êáôáíïìþ ôçò ëýãåôå áðëþ õðüèåóç (üðùò åäþ), åíþ üôáí ôçí êáèïñßæåé ìåñéêþò (üðùò Ç 0 : è È) ïíïìüæåôå óýíèåôç õðüèåóç. { Ìç ÐáñáìåôñéêÞ (ðáñüäåéãìá 4) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 5

Óôáôéóôéêüò ëåã ïò Ç âáóéêþ áñ Þ åßíáé üôé ðñýðåé íá ñçóéìïðïéïýìå ôá äåäïìýíá x ò áðïôýëåóìá ï Ä.. S ùñßæåôå óå äýï ðåñéï Ýò, C êáé S C. ÅÜí x C ôüôå áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0 êáé Üí x S C ôüôå 'äå üìáóôå' ôçí Ç 0. Ç ðåñéï Þ ïíïìüæåôå êñßóéìç ðåñéï Þ (ê.ð.) ôïõ (ìþ ôõ áéïðïéçìýíïõ) óôáôéóôéêïý åëýã ïõ Óõíåðþò ï óôáôéóôéêüò Ýëåã ïò åßíáé Ýíáò ôñüðïò ëçøçò áðïöüóåùí (äõáäéêþò ìïñöþò). Áðü ôçí Üëëç ïé óôáôéóôéêïß Ýëåã ïé åßíáé ìýèïäïé ìå ôçí ïðïßá ó çìáôßæïõìå ãíþìç ãéá ôçí ïñèüôçôá ôçò Ç 0. ò ôýôïéåò ïíïìüæïíôáé ôýóô óçìáíôéêüôçôáò (significance tests) ôçò Ç 0. Ç êñßóéìç ðåñéï Þ äýí åßíáé áðáñáßôçôï íá äßíåôå þò õðïóýíïëï ôïõ Ä.. S, ï ïðïßïò åßíáé í-äéüóôáôïò. ÓõíÞèùò ñçóéìïðïéïýìå ìåôáó çìáôéóìïýò áðü ôïí S óôïõò ðñáãìáôéêïýò R ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 6

ÓöÜëìáôá Ôýðïõ I: åßíáé ôï óöüëìá ôï ïðïßï ãßíåôå üôáí áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0 åíþ åßíáé áëçèþò (áðïññßðôïõìå ëáíèáóìýíá). Týðïõ II: åßíáé ôï óöüëìá ôï ïðïßï ãßíåôå üôáí äå üìáóôå ôçí Ç 0 åíþ óôçí ðñáãìáôéêüôçôá åßíáé øåõäþò (äå üìáóôå ëáíèáóìåíá). Ðñáãìáôéêüôçôá ÓõìðÝñáóìá H 0 áëçèþò H 0 øåõäþò Áðüññéøç H 0 ÓöÜëìá Týðïõ I Óùóôü (Type I error) ðïäï Þ' Ç 0 Óùóôü ÓöÜëìá Ôýðïõ ÉÉ (Type II error) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 7

Ðéèáíüôçôåò ÓöáëìÜôùí Ç ðéèáíüôçôá ôïõ óöüëìáôïò Ôýðïõ É (ìýãåèïò óöáëìáôïò Ôõðïõ É) óõìâïëßæåôå ìå á. Ç ðéèáíüôçôá ôïõ óöüëìáôïò Ôýðïõ ÉÉ (ìýãåèïò óöáëìáôïò Ôõðïõ ÉÉ) óõìâïëßæåôå ìå â. ôóé Ý ïõìå á = P (Áðüññéøç ôçò Ç 0 Ç 0 ÁëçèÞò) = Ñ( C Ç 0 ÁëçèÞò) â = P (Áðïäï Þ ôçò Ç 0 Ç 0 ØåõäÞò) = Ñ( S C Ç 0 ØåõäÞò) Óçìåéþóåéò: Ôï á ïíïìüæåôå åðßðåäï óçìáíôéêüôçôáò (å.ó.) ôïõ åëýã ïõ. Ðñïöáíþò, üóï ìéêñüôåñá åßíáé ôá á êáé â ôüóï êáëýôåñïò ï Ýëåã ïò. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 8

[ÓõíÝ åéá Ð.. 1]: óôù üôé Ç 0 : ñ = 0:5 êáé Ç 1 : ñ = 0:8. Ç Ç 0 äçëþâåé üôé ôï íá êñõïüãßóåé êüðïéïò åßíáé áðëü èýìá ôý çò. í ëïéðüí ãéá ôïí áóèåíþ i óôï ðåßñáìá Ý ïõìå x i = { 0; áí äåí áññùóôþóåé; 1; Üí áññùóôþóåé. ôüôå ôï äéùíõìéêü ìïíôýëï ìå S = {0; 1; 2; ::::; 10} åßíáé ôï êáôüëçëï ãéá ôçí ðåñéãñáöþ ôùí áðïôåëåóìüôùí (X Bin(10; ñ). óôù ôþñá üôé ç êñßóéìç ðåñéï Þ åßíáé C = {8; 9; 10}, ôüôå á = Ñ( C ñ = 0:5) = Ñ( 8 ñ = 0:5) = 0:0547 â = Ñ( S C ñ = 0:8) = Ñ( 7 ñ = 0:8) = 0:3222 Óõíåðþò, Üí x = 9 ôüôå áðïöáéíüìáóôå üôé ç Ç 0 äåí éó ýåé ìå ðéèáíüôçôá óöüëìáôïò á = 0:0547. í üìùò x = 6 ôüôå 'äå üìáóôå' ôçí Ç 0 ìå ðéèáíüôçôá óöüëìáôïò â = 0:3222. Ãéá Üëëåò ôéìýò ôïõ ñ ôï â ñåéüæåôå íá õðïëïãéóèåß åê íýïõ. Óçìåéþóåéò: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 9

Áðü ôï ðáñüäåéãìá âãáßíåé üôé ôá á êáé â åîáñôþíôáé áðü ôéò ôçò ðáñáìýôñïõ è, êáé ç åîüñôçóç áõôþ óõ íü óõìâïëßæåôå ìå á(è) êáé â(è). ÅÜí ç Ç 0 Þ Ç 1 åßíáé áðëýò õðïèýóåéò, ôüôå ôá á êáé â Ý ïõí ìéá ôéìþ. ÅÜí ç Ç 0 åßíáé óýíèåôç ôüôå ôï å.ó. á ïñßæåôå áðü ôç ìýãéóôç ôéìþ ôùí áíôßóôïé ùí á áðü ôç ó Ýóç á = sup P (áðüññéøç ôçò H 0 f) f H0 ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 10

ÓõíÜñôçóç Éó ýïò óôù Ý ïõìå ìéá áðëþ Ç 0 Ýíáíôé ìéáò áðëþò Ç 1. Áðü ôï ðëþèïò üëùí ôùí åëýã ùí, ðïéüò Ýëåã ïò åßíáé êáëýôåñïò; ÈÝëïõìå ôá á êáé â íá åßíáé ôáõôï ñüíùò ìéêñü (åëü éóôá) åé äåé èåß ïôé ç ôáõôü ñïíç åëá éóôïðïßçóç ôïõò åßíáé áäýíáôç. Óõíåðþò, êñáôüìáé ôï á óôáèåñü êáé åëá éóôïðïéïýìå ôï â. [Ï]: Éó ýò åíüò åëýã ïõ. óôù Ýíáò Ýëåã ïò ìå áðëþ Ç 1. Ôüôå, ç ðïóüôçôá ã = 1 â ëýãåôå éó ýò ôïõ åëýã ïõ. óôù Ýíáò Ýëåã ïò ìå óýíèåôç Ç 1. Ôüôå, ç óõíüñôçóç ã(f) = 1 â(f) = P (Áðüññéøç ôçò Ç 0 f H 1 ) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 11

ëýãåôå óõíüñôçóç éó ýïò ôïõ åëýã ïõ, üðïõ f åßíáé ç êáôáíïìþ ôçò ç ïðïßá áíþêåé óôçí ïéêïãýíåéá ðïõ êáèïñßæåôå áðü ôçí Ç 1. Óôçí ðáñáìåôñéêþ ðåñßðôùóç ãñüöïõìå ã(è) = 1 â(è) = P (Áðüññéøç ôçò Ç 0 è È á ) [Ð.. 5]: (óçìåéþóåéò óåë. 196) [Ï]: Éó õñüôáôïò ëåã ïò: óôù Ýíáò Ýëåã ïò ìéáò áðëþò Þ óýíèåôçò Ç 0 Ýíáíôé ìéáò áðëþò Ç 1 ìå å.ó. á. ôóù ç éó èò ã = 1 â åßíáé ìýãéóôç áðü üëïõò ôïõò Üëëïõò åëýã ïõò ôïõ ßóéïõ å.ó. á. Ôüôå ï Ýëåã ïò ôçò ìýãéóôçò éó ýïò ëýãåôå éó õñüôáôïò Ýëåã ïò (I ôýóô) (Powerful Test). ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 12

ÁðëÞ Ç 0 Ýíáíôé áðëþò Ç 1 Ôï ðéü êüôù ëþììá ëýíåé ôï ðñüâëçìá ýðáñîçò êáé êáôáóêåõþò É ôåóô. Åäþ ç áðëþ õðüèåóç óõìâïëßæåôå Ç 0 : f = f 0 Ýíáíôé ôçò H 1 : f = f á, üðïõ f F êáé F = {f 0 ; f á }. ÅÜí x ôá áñéèìçôéêü äåäïìýíá ôïõ ðñïâëþìáôïò, ïé ôéìýò ôçò óõíüñôçóçò ðéèáíïöüíåéáò ðïõ áíôéóôïé ïýí óôéò Ç 0 êáé Ç 1 áíôßóôïé á èá åßíáé L 0 = f 0 (x) L á = f á (x): Éäéáßôåñá óôçí ðáñáìåôñéêþ ðåñßðôùóç èá ãñüöïõìå Ç 0 : è = è 0 êáé Ç 1 : è = è á, êáé ìå ôõ áßï äåßãìá ìåãýèïõò ù Ý ïõìå L 0 L 0 (è 0 x) = L á L á (è á x) = í f(x i ; è 0 ) i=1 í i=1 f(x i ; è á ): [ËÞììá Neyman-Pearson]: óôù ðñüâëçìá åëýã ïõ áðëþò Ç 0 Ýíáíôé áðëþò Ç 1. ÅÜí õðüñ åé êñßóéìç ðåñéï Þ C ìåãýèïõò á êáé Ýíáò ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 13

óôáèåñüò áñéèìüò k ôýôïéá þóôå L 0 L á k; x C L 0 L á k; x C S C ôüôå ç ðåñéï Þ C åßíáé ç ðëýïí éó õñþ ê.ð. ìåãýèïõò á. ãéá ôïí Ýëåã ï ôçò õðüèåóçò Ç 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1. [Áðüäåéîç]: Ìüíï ãéá óõíå åßò êáôáíïìýò. Ãíùñßæïõìå üôé á = P (X C f 0 ) = : : : C L 0 dx: óôù ôþñá ìéá Üëëç êñßóéìç ðåñéï Þ D ìåãýèïõò á. Ôüôå á = : : : D L 0 dx: Èá äåßîïõìå üôé ç ðåñéï Þ C åßíáé éó õñüôåñç áðü ôçí D, äçëáäþ éó ýò ôçò C = : : : C L á dx : : : D L á dx = éó ýò ôçò D: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 14

Åðßóçò åßíáé ðñïöáíýò üôé C = (C D) (C D ) D = (D C) (D C ): Ôþñá êüíïõìå ðñüîåéò ìå ôá ðéï ðüíù ïëïêëçñþìáôá. ïõìå á = = = = : : : L 0 dx C : : : L 0 dx + C D : : : L 0 dx D : : : L 0 dx + D C : : : L 0 dx C D : : : L 0 dx; D C óõíåðþò : : : C D L 0 dx = : : : D C L 0 dx: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 15

ÄåäïìÝíïõ üôé (L 0 =L á ) k Þ L á L 0 =k åíôüò ôçò ê.ð. C êáé L á L 0 =k åêôüò, Ý ïõìå : : : C D L á dx = : : : : : : : : : C D (L 0 =k)dx D C (L 0 =k)dx D C L á dx: Ìå âüóç áõôüí ôï óõëëïãéóìü ìðïñïýìå íá äåßîïõìå üôé éó ýò ôçò C = = : : : : : : : : : : : : C L á dx C D D C D = éó ýò ôçò D: L á dx + L á dx + L á dx : : : : : : C D L á dx D C L á dx ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 16

Óçìåéþóåéò: ¼ôáí åëýã ïõìå ôçí Ç 0 ñåéáæüìáóôå ê.ð. ìåãýèïõò á, Áðü áõôýò, ç C = {x : L 0 L á k} åßíáé ç éó õñüôåñç, üðïõ k Ýíáò óôáèåñüò áñéèìüò üðïõ áí õðüñ åé ðñïóäéïñßæåôå áðü ôç ó Ýóç P (C H 0 ) = á: Ðáñáôçñïýìå üôé ôï L 0 =L á åßíáé ìéá ó.ó. óôù T (x) L 0 L á = f 0(x) f á (x) êáé óõíåðþò ï Ýëåã ïò ìðïñåß íá ãñáöåß T (x) = f 0(x) f á (x) k êáé áíôß ôçò áñ éêþò ê.ð. íá Ý ïõìå ôçí ðéï ðüíù ó Ýóç. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 17

ÅÜí ç êáôáíïìþ óõíå Þò ôüôå ðüíôá èá õðüñ åé k ôýôïéï þóôå P (Ô(x) k H 0 ) = á [Ð.. 6]: óôù 1 ; 2 ; :::; n ô.ä. áðü ôçí Í(ì; ó 2 ), ìå ó ãíùóôü êáé ìýóç ôéìþ ì íá ðáßñíåé 2 ðéèáíýò ôéìýò ì 0 êáé ì á ìå ì á > ì 0. óôù Ç 0 : ì = ì 0 Ç á : ì = ì á : Íá âñåèåß Ýíá É ôýóô ãéá ôïí ðéï ðüíù Ýëåã ï. [Ëýóç]: Ï Ä.. åßíáé ï n-äéüóôáôïò Åõêëåßäéïò þñïò, è = {ì 0 ; ì á } êáé n-äéüôóôáôï äéüíõóìá. ïõìå L 0 = ( ) { n 1 exp 1 2ð 2ó 2 ó } n (x i ì 0 ) 2 i=1 êáé L á = ( ) { n 1 exp 1 2ð 2ó 2 ó } n (x i ì á ) 2 i=1 : ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 18

ÂÜóç ôïõ Ë.Neyman-Pearson ç ê.ð. ãéá Ýíá É ôýóô ãéá ôçí Ç 0 åßíáé C = {x : L 0 k} L á { [ = {x : exp 1 n 2ó 2 (x i ì 0 ) 2 i=1 ]} n (x i ì á ) 2 k}: i=1 Ëïãáñéèìßæïíôáò ðáßñíïõìå C = {x : 2ì 0 n i=1 x i 2ì á n x i n(ì0 2 ìá) 2 2ó 2 ln k} i=1 = {x : x 2ó2 ln k + n(ì 2 0 ì 2 á) 2n(ì 0 ì á ) = {x : x Ê}: Ê(óôáèåñï)} Èá ðñýðåé íá õðïëïãéóôåß ôï Ê. Áõôü ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß áðü ôçí ðéèáíüôçôá ôïõ óöüëìáôïò ôýðïõ É. ïõìå P (C H 0 ) = P ( X K ì = ì0 ) = á: ¼ìùò ãíùñßæïõìå üôé N(ì; ó 2 =n). ôóé üôáí Ç0 éó ýåé ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 19

ðáßñíïõìå P ( X K ì = ì0 ) = P ( X ì 0 ó= n K ì 0 ó= n ) = á Þ áëëéþò üðïõ z á = K ì 0 ó= n. ñá P (Z z á ) = á; Ê = ì 0 + (ó= n)z á : Óõíåðþò, ôï É ôýóô Ý åé ê.ð. ôçí {x : x ì 0 + (ó= n)z á }: Éóïäýíáìá ï Ýëåã ïò ôçò Ç 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 ìðïñåß íá ãßíåé ìå ôçí ó.ó. êáé ê.ð. {x : x ì0 + (ó= n)z á }: ¼ôáí éó ýåé ç Ç 0 ôüôå ç êáôáíïìþ åßíáé Í(ì 0 ; ó 2 =n) êáé üôáí éó ýåé ç Ç 1 ôüôå åßíáé Í(ì á ; ó 2 =n). ëëç éóïäýíáìç ó.ó. åßíáé ç Æ = ì0 êáé ê.ð. ó= n {z : z z á }. ¼ôáí éó ýåé ç Ç 0 ôüôå ç êáôáíïìþ åßíáé Í(0; 1) áëëéþò åßíáé Í( ì á ì0 ; 1). ó= n ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 20

FundStat_5700.GIF (GIF Image, 577x725 pixels) - Scaled (80%) http://www.drtimdelivers.com/fundstats.07.06.05/fundstat_files/funds... ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 21

Áõôüò ï Ýëåã ïò ëýãåôå êáé Æ-ôÝóô. [ÃñÜöçìá]. Áðü ôï ó Þìá åßíáé ðñïöáíýò üôé üôáí ôï á ìåãáëþíåé ôüôå ôï â ìéêñáßíåé êáé ôï áíüðïäï. ñá ç ôáõôü ñïíç åëá éóôïðïßçóç åßíáé áäýíáôç. óôù ì 0 = 10 êáé ì á = 11:2 ìå ó 2 = 49, n = 100 êáé á = 0:05. Áðü ôïõò óôáôéóôéêïýò ðßíáêåò ãíùñßæïõìå üôé z 0:05 = 1:645, êáé óõíåðþò ç ê.ð. ôïõ Æ ôýóô åßíáé ç [1:645; ). Ãéá ôï óõãêåêñéìýíï ôýóô ôï â åßíáé â = P (Z 1:645 H á ) = P (Z ì á ì 0 ó= n 11:2 10 1:645 ) 100 7= = P (Í(0; 1) 0:069) = 0:472: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 22

Ôõ áéïðïéçìýíïé ëåã ïé [Ð.. 7]: óôù äéùíõìéêü ðåßñáìá ìå n-äïêéìýò ìå ðéèáíüôçôá åðéôõ ßáò p 0, êáé Ýóôù ï Ýëåã ïò üôé ç ðéèáíüôçôá åðéôõ ßáò åßíáé p á, üðïõ p 0 < p á. Åßíáé ðñïöáíþò Ýíá ðåßñáìá áðëþò ìçäåíéêþò ìå áðëþ åíáëëáêôéêþ. [Ëýóç]: ïõìå S = {1; 2; :::; n} êáé X Bin(100; p). ñá êáé L 0 = L á = ( n x ( n Ç ê.ð. ôïõ ðëýïí éó õñïý åëýã ïõ åßíáé x ) ) p x 0(1 p 0 ) n x p x á(1 p á ) n x : C = {x : p x 0(1 p 0 ) n x p x á(1 p á ) n x }: Ëïãáñéèìßæïíôáò Ý ïõìå C = {x : x ln k n ln[(1 p 0)=(1 p á )] ln[p 0 (1 p á )=p á (1 p 0 )] K}: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 23

ñá ôï É ôåóô áðïññßðôåé ôçí Ç 0 åüí x K, üðïõ Ê ôåôïéï þóôå P (x K p = p 0 ) = á: ÅðåéäÞ üìùò ç êáôáíïìþ åéíáé äéáêñéôþ, ìðïñåß íá ìçí õðáñ åé Ê þóôå íá éó ýåé ç ðéï ðüíù ðéèáíüôçôá. ÕðÜñ ïõí üìùò Ê 1 êáé Ê 2 (= Ê 1 + 1) ôýôïéá þóôå P (X K 1 p = p 0 ) = á 1 > á > á 2 = P (X K 2 p = p 0 ): Ðñïöáíþò åüí x < K 1 ç H 0 äåí ìðïñåß íá áðïññßöôåé êáé åüí x K 2 ç H 0 áðïññßðôåôáé. ñá äåí ìðïñïýìå íá êáôáóêåõüóïõìå ðåñéï Ýò óôáèåñïý åðéðýäïõ óçìáíôéêüôçôáò, êáé Üñá ôï Ë:N-P äåí åöáñìüæåôå. Ôï ðñüâëçìá ëýíåôå þò åîþò: üôáí X = K 1 êüíïõìå Ýíá éäéáßôåñï ôõ áßï ðåßñáìá, óáí íá ñß íïõìå Ýíá êýñìá ìå ðéèáíüôçôá ë = á á 2 á1 á2 íá âãåß 'ãñüììáôá', êáé áðïöáóßæïõìå íá áðïñßøïõìå ôçí Ç 0 üôáí âãåß ãñüììáôá. ôóé ç ôåëéêþ ðéèáíüôçôá áðüññéøçò ôçò Ç 0 åßíáé P (X K 2 Þ X = K 1 êáé Ýñèïõí 'ãñüììáôá') = P (X K 2 ) + P (X = K 1 )P ( ãñáììáôá = Ê 1 ) = á 2 + (á 1 á 2 )ë = á: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 24

ÁðëÞ Ç 0 Ýíáíôé óýíèåôçò Ç 1 [Ï]: óôù Ýíáò Ýëåã ïò ìéáò áðëþò Þ óýíèåôçò Ç 0 Ýíáíôé ìéáò óýíèåôçò Ç 1 ìå å.ó. á. óôù åðßóçò üôé ãéá êüèå f H á, ç éó ýò ã(f) = 1 â(f) åßíáé ìåãáëýôåñç Þ ßóç ôçò éó ýïò êüèå Üëëïõ ôýóô ôçò ßäéáò Ç 0 Ýíáíôé ôçò ßäéáò Ç 1 ìå ôï ßäéï á. Ôüôå ôï ôýóô ôçò ìýãéóôçò éó ýïò ëýãåôå ïìïéïìüñöùò éó õñüôáôï (ÏÉ) ôåóô. [È]: óôù ìéá áðëþ Ç 0 êáé ìéá óýíèåôç Ç 1. óôù åðßóçò üôé ôï É ôåóô ìåãýèïõò á Ýíáíôé ôçò áðëþò åíáëëáêôéêþò f = f á, üðïõ f á Ç 1 åßíáé ôï ßäéï ãéá êüèå f á Ç 1. Ôüôå ôï ôýóô åßíáé ÏÉ ôýóô ìåãýèïõò á ôçò Ç 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1. [Ð.. 8]: óôù ôï ðñïçãïýìåíï [ð.. 6] ìå Ç 0 : ì = ì 0 êáé Ç 1 : ì > ì 0 : óôù ì á > ì 0. Ôï É-ôÝóô ôçò Ç 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì = ì á äßíåôå éóïäýíáìá áðü ôéò {x : x ì 0 + (ó= n)z á } ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 25

êáé Æ = ì 0 ó= n êáé ê.ð. {z : z z á}: To ôýóô áõôü åßíáé éóïäýíáìï ãéá êüèå ì á > ì 0 ìéáò êáé äåí åîáñôüôáé áðü ôçí ôéìþ ì á. ñá åßíáé ÏÉ-ôÝóô ãéá ôçí ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò ì > ì 0. Ïìïßùò êáé ãéá ôïí Ýëåã ï Ç 0 : ì = ì 0 êáé Ç 1 : ì < ì 0 Ý ïõìå {x : x ì 0 (ó= n)z á } Þ ÁíôéèÝõùò, ãéá ôïí Ýëåã ï Æ = ì 0 ó= n êáé ê.ð. {z : z z á}: Ç 0 : ì = ì 0 êáé Ç 1 : ì ì 0 (äßðëåõñïò Ýëåã ïò) äåí õðüñ åé ÏÉ-ôÝóô. [Ð.. 9]: Äßíåôå ðáñáôþñçóç x ôçò ô.ì. áðü ðëçèõóìü ìå Åêè(è). ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 26

(á) Íá âñåèåß ÏÉ-ôÝóô ãéá Ýëåã ï Ç 0 : è = è 0 êáé Ç 1 : è > è 0 ; êáé (â) íá âñåèåß ç óõíüñôçóç éó ýïò ôïõ åëýã ïõ. [Ëýóç]: (á) Âáóéæüìáóôå óôï ðñïçãïýìåíï åðé åßñçìá. ôóé èá âñïýìå ôçí ê.ð. ãéá ôïí Ýëåã ï Ç 0 : è = è 0 êáé Ç 1 : è = è 1 (è 1 > è 0 ); êáé Üí áíåîüñôçôç ôïõ è 1 ôüôå Ý ïõìå ÏÉ-ôÝóô. Ý ïõìå Þ ôóé ç ê.ð åßíáé L 0 L á = è 0 è 1 exp{x(è 1 è 0 )} k x ln k ln è0 è1 è 1 è 0 = k : X k : ÂÜóç ôïõ Ë:N-P ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 27

Ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò k Ý ïõìå á = P (X k è = è 0 ) = k è 0 e è 0x dx 0 = 1 e è 0k ; áð' üðïõ âãáßíåé üôé k = ln(1 á). ñá ç ê.ð. åßíáé è0 1 è 0 ln(1 á): ñá ÏÉ-ôÝóô. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 28

(â) Ç óõíüñôçóç éó ýïò åßíáé 1 â(è) = 1 P ( 1 è 0 ln(1 á) è > è 0 ) = P ( 1 è 0 ln(1 á) è > è 0 ) = 1 è 0 ln(1 á) 0 = 1 e è è 0 ln(1 á) èe èx dx = 1 (1 á) è è 0 ; è > è 0 : ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 29

Óýíèåôç Ç 0 Ýíáíôé óýíèåôçò Ç 1 Ç ðëýïí ðïëýðëïêç êáé ñþóéìç ðåñßðôùóç. Ç óýíèåôç ìïñöþ ôçò Ç 0 êáé Ç 1 ìðïñåß íá åßíáé ãíþóéá Þ íá ïöåßëåôå óå åíï ëçôéêýò ðáñáìýôñïõò (nuisance parameters). Ðáñáäåßãìáôá Ý ïõìå 1. Ç 0 : ì 0, ó 2 = 1 2. Ç 0 : ì = 0 êáé ó 2 áêáèüñéóôï (åíï ëçôéêþ ðáñüìåôñïò) 3. Ç 0 : ì = áêáèüñéóôï, êáé ó 2 = ó0 2 ðáñüìåôñïò) ãíùóôü (åíï ëçôéêþ 4. Ç 0 : ì 0 êáé ó 2 áêáèüñéóôï (åíï ëçôéêþ ðáñüìåôñïò) Ïé ê.ð. èá ðñýðåé íá éêáíïðïéïýí P (X C f) á ãéá êüèå f H 0. Óôéò ðåñéóóüôåñåò ðåñéðôþóåéò äåí õðüñ ïõí ÏÉôÝóô. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 30

[È]: óôù ìéá óýíèåôç Ç 0 êáé ìéá óýíèåôç Ç 1. óôù åðßóçò üôé õðüñ åé f 0 H 0 ãéá ôçí ïðïßá õðüñ åé Ýíá ÏÉ-ôåóô ìåãýèïõò á ôçò áðëþò Ç 0 : f = f 0 Ýíáíôé ôçò óýíèåôçò åíáëëáêôéêþò Ç 1. í áõôüò ï Ýëåã ïò åßíáé åðéðýäïõ á ãéá üëåò ôéò f Ç 0, ôüôå ï Ýëåã ïò åéíáé ÏÉ åðéðýäïõ á ôçò Ç 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1. Ç f 0 ëýãåôå ðëýïí äõóìåíþò ìçäåíéêþ êáôáíïìþ. [ÔÝóô Ðçëßêïõ ÐéèáíïöÜíåéáò]: Ôï ðçëßêï ðéèáíïöüíåéáò áðïôåëåß ìéá áíåîüñôçôç êáé ãåíéêþ áñ Þ êáôáóêåõþò óôáôéóôéêþí åëýã ùí. ò èåùñþóïõìå ôçí ðáñáìåôñéêþ ðåñßðôùóç Ç 0 : è è 0 êáé Ç 1 : è è á : Ôï ãåíéêåõìýíï ðçëßêï ðéèáíïöáíåéþí ïñßæåôå f(x; è) ë = max è è0 max è è f(x; è) ÄåäïìÝíïõ üôé è 0 è Ý ïõìå 0 ë 1, üðïõ ìéêñýò ôéìýò ôïõ ë õðïäçëþíïõí áðüññéøç ôçò Ç 0. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 31

Óå å.ó. á áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0 üôáí ë k; üðïõ ôï k âñßóêåôå áðü ôéò ó Ýóåéò P (ë k è 0 ) = á åüí è 0 = {è 0 }, äçë. áðëþ Ç 0 êáé P (ë k è) á, è è 0, ìå éóüôçôá ãéá Ýíá ôïõëü éóôïí è è 0 áí ç Ç 0 óýíèåôç. Óõíåðþò x : ë k: To ôýóô âáóßæåôáé óôçí ãíþóç ôçò êáôáíïìþò ôïõ ë üôáí éó ýåé ç Ç 0, êáôé ðïõ åßíáé óõ íü ðïëý äýóêïëï. [È]: ÅÜí Ç 0 åðéâüëåé r ðåñéïñéóìïýò óôçí è, ôüôå ãéá ìåãüëåò ôéìåò ôïõ n ç ô.ì. 2 ln ë áêïëïõèåß êáôü ðñïóýããõóç ôçí 2 êáôáíïìþ r üôáí ç Ç 0 áëçèåýåé. ôóé ç ê.ð. åßíáé éóïäýíáìç ìå {x : 2 ln ë 2 ln k}; ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 32

êáé ôåëéêü ôï ôýóô ãßíåôå ìå ÓÓÔ = 2 ln ë êáé ê.ð. [ 2 r;á ; ): [Ð.. 10]: (óåë. 216) [Ð.. 11]: (óåë. 219) - Ï É [Ð.. 12]: (óåë. 221) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 33

ÔÝóô Óçìáíôéêüôçôáò Åêôüò áðü ôï Ë:N-P ç áêüëïõèç áñ Þ ìáò äßíåé åðéðëåüí äõíáôüôçôåò êáôáóêåõçò óôáôéóôéêþí åëýã ùí. Âñßóêïõìå ìéá ó.ó. ãíùóôþò êáôáíïìþò üôáí éó ýåé ç Ç 0 êáé ìå ôç âïþèåéá áõôþò ôçò ó.ó. âñßóêïõìå ìéá ê.ð. üðïõ P (C H 0 ) á ãéá êüèå f H 0 : [Ð.. 13]: óôù 1 ; 2 ; :::; m êáé Õ 1 ; Õ 2 ; :::; Õ n áíåîüñôçôá ô.ä. áðü êáíïíéêïýò ðëçèõóìïýò Í(ì 1 ; ó 2 ) êáé Í(ì 2 ; ó 2 ), üðïõ ó 2 ãíùóôü. ÅëÝã ïõìå áí Ãíùñßæïõìå üôé ç ó.ó. Ç 0 : ì 1 = ì 2 Ç 1 : ì 1 > ì 2 : t = ( Õ ) (ì1 ì 2 ) S p 1 m + 1 n t m+n 2 ; ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 34

üðïõ S p = 1 m + n 2 i (x i x) 2 + j (y j ȳ) 2 = (m 1)S2 1 + (n 1)S 2 2 m + n 2 ¼ôáí éó ýåé ç Ç 0 Ý ïõìå : t = ( Õ ) S p 1 m + 1 n t m+n 2 : Ìéá ê.ð. ìåãýèïõò á åßíáé t > t m+n 2;á : Óçìåéþóåéò: Óõ íü óå ðñïâëþìáôá, åíþ ç Ç 0 åßíáé óáöþò êáèïñéóìýíç, ç Ç 1 äåí Ý åé êüðïéá ìïñöþ. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 35

óôù ó.. Ô ãíùóôçò êáôáíïìþò õðü ôçí Ç 0, êáé Ýóôù üôé ìåãüëåò ôéìýò ôçò ó.ó. ìáñôõñïýí ïôé äåí éó ýåé ç Ç 0. Õðüëïãßæïõìå ôçí ôéìþ p = P (T > T ðáñ H 0 ): ÅÜí p < á ôüôå Ç 0 óôáôéóôéêþò óõìáíôéêþ. Ôï p åßíáé ôï ëåãüìåíï p-value êáé ìðïñåß íá åßíáé êáé äéðëåõñï. Áõôü õðïëïãßæåé ôï å.ó. ôïõ åëýã ïõ. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 36

Ãíùóôïß ëåã ïé (A) [z-test]: ëåã ïò ìýóïõ, áðëþ åíáëëáêôéêþ (ó-ãíùóôü) óôù 1 ; 2 ; :::; n iid áðü Í(ì; ó 2 ), ìå ó 2 ãíùóôü. Íá ãßíåé ï Ýëåã ïò Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì = ì 1, üðïõ ì 1 > ì 0. ïõìå Þäç äåß áõôüí ôïí Ýëåã ï. ôóé üôáí Ç 0, ç ê.ð. ïñßæåôå C = {x : x ì 0 + (ó= n)z á }: Ãéá ôïí ßäéï Ýëåã ï, åüí ì 1 < ì 0 ôüôå ç ê.ð. èá ãéíüôáí C = {x : x ì 0 (ó= n)z á }: [Ð..]: óôù 1 ; 2 ; :::; n iid áðü Í(ì; ó 2 ) êáé èýëïõìå íá åëýãîïõìå ìå á = 0:05 ôçí õðüèåóç Ç 0 : ì = 5 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì = 6, üðïõ ó 2 = 1 ãíùóôü. Ôá äåäïìýíá åßíáé x = {5:1; 5:2; 4:9; 5:3}. ïõìå: x = 5:1 + 5:2 + 4:9 + 5:3 4 = 5:2; ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 37

ïðüôå ÂëÝðïõìå üôé z = x ì 0 = 5:2 5 = 0:4: ó= n 4 1= z < z 0:05 = 1:645 ïðüôå äåí áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0. Óçìåßùóç: Áíôßóôïé ïõò õðïëïãéóìïýò ðñáãìáôïðïéïýìå êáé ãéá ôïõò åëýã ïõò Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì > ì 0 Þ Ç 0 : ì ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì > ì 0 ïé ïðïßïé Ýéíáé ìïíüðëåõñïé Ýëåã ïé. óôù ï äß-ðëåõñïò Ýëåã ïò Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì ì 0. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 38

Ôï Ã.Ð.Ð. åßíáé ë = max ì f(x; ì; ó 2 ) f(x; ì 0 ; ó 2 ) = (2ðó2 ) n=2 exp[ i (x i x) 2 =2ó 2 ] (2ðó 2 ) n=2 exp[ i (x i ì 0 ) 2 =2ó 2 ] [ ] 1 = exp {(x i ì 0 ) 2 (x i x) 2 } 2ó 2 [ ] 1 = exp 2ó 2n( x ì 0) 2 i Ãéá íá áðïññßøïõìå ôçí Ç 0 èá ðñýðåé ôï ë íá åßíáé ìåãüëï. ñá èá ðñýðåé ( x ì 0 ) 2 íá åßíáé ìåãüëï. ÊÜôù áðü ôçí Ç 0 üìùò Ý ïõìå N(ì 0 ; ó 2 =n) êáé óõíåðþò : Æ = ì 0 ó= n N(0; 1): ñá ãéá íá áðïññßøïõìå ôçí Ç 0 ãéá á = 0:05 èá ðñýðåé z > z á=2 = z 0:025 Þ z < z á=2 = z 0:025, üðïõ z á=2 åßíáé ôï Üíù á=2 ðïóïóôéáßï óçìåßï ôçò Í(0; 1). ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 39

(B) [t-test]: ëåã ïò ìýóïõ, áðëþ åíáëëáêôéêþ (ó-üãíùóôï) óôù 1 ; 2 ; :::; n iid áðü Í(ì; ó 2 ), ìå ó 2 Üãíùóôï. Íá ãßíåé ï Ýëåã ïò Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì = ì 1, üðïõ ì 1 > ì 0. Ï Ýëåã ïò åßíáé áíôßóôïé ïò ôïõ (Á), ìå ôç äéáöïñü üôé ç êáôáíïìþ ðïõ áêïëïõèåéôáé ðëýïí äåí åßíáé ç êáíïíéêþ áëëü ç Student-t ìå n 1 âáèìïýò åëåõèåñßáò. Ç ê.ð. ëïéðüí åßíáé C = {x : x ì 0 + (s= n)t n 1;á }; üðïõ s = 1 n n 1 i=1 (x i x) 2. [Ð..]: óôù ïôé Ý ïõìå ôï ýøïò áðü 24 2- ñïíá áãüñéá áðü ôçí Jamaica ìå homozygous sickle cell disease (SS). 84.4 89.9 89.0 81.9 87.0 78.5 84.1 86.3 80.6 80.0 81.3 86.8 83.4 89.8 85.4 80.6 85.0 82.5 80.7 84.3 85.4 85.0 85.5 81.9 To ìýóï ýøïò ãéá áíôßóôïé á ðáéäßá áðü ôçí Ì.Â. åßíáé 86.5cm. Åßíáé ôï ðéü ðüíù äåßãìá ìå áãïñüêéá ìå SS äéáöïñåôéêü þò ðñüò ôï ýøïò áðü ôá õãéþ 2- ñïíá áãïñüêéá; ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 40

[Ëýóç]: ïõìå x = 84:4 + 89:9 + ::: + 81:9 24 = 84:1cm; s = 3:11cm, n = 24 êáé s= n = 3:11= 24 = 0:63cm. O Ýëåã ïò åßíáé Ç 0 : ì = 86:5 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì = 84:1 Þ áêüìá Ç 1 : ì < 86:5. ïõìå t = x ì 0 s= n = 84:1 86:5 0:63 = 3:81; ìå ÂÅ = 23 êáé t 23;0:05 = 1:71 êáé áêüìá t 23;0:001 = 3:48. ñá P < 0:001. ñá Ý ïõìå áñêåôþ ðëçñïöïñßá ãéá íá äïýìå üôé ôá 2- ñïíá áãüñéá áðü Jamaica Ý ïõí ýøïò óçìáíôéêü ìéêñüôåñï áðü ôï áíôßóôïé ï ýøïò ôùí õãéþí ðáéäéþí áðü Ì.Â. Óçìåéþóåéò: ÓþóôÞ óýãêñéóç èá Þôáí ãéá áãüñéá ìå SS áðü Jamaica ìå õãéþ áãüñéá åðßóçò áðü Jamaica. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 41

Ï äßðëåõñïò Ýëåã ïò áêïëïõèåß ôá ßäéá âþìáôá ìå ôïí Ýëåã ï (Á), ìå ôçí ðñïöáíþ ñþóç ôçò t-êáôáíïìþò áíôß ôçò Í(0; 1). [Ð..]: Ôï åñþôçìá ðïõ Ý ïõìå áõôç ôç öïñü åßíáé 'ìðïñåß ôï jogging íá ïäçãþóåé óå ìåßùóç ôùí óöõãìþí'; ËáìâÜíïõìå ôïõò óöõãìïýò áðü 8 åèåëïíôýò ðïõ äåí êüíïõí êáèüëïõ jogging êáé Ý ïõìå óöõãìïß ðñßí 74 86 98 102 78 84 79 70 óöõãìïß ìåôü 70 85 90 110 71 80 69 74 äéáöïñü 4 1 8-8 7 4 10-4 Ï ôñüðïò ðïõ Ý åé ôåèåß ôï ðñüâëçìá ìáò ïäçãåé íá áó ïëçèïýìå ìå ôéò äéáöïñýò. óôù ëïéðüí üôé ïé äéáöïñýò x 1 ; :::; x 8 áêïëïõèïýí Í(ì; ó 2 ) ìå Üãíùóôï ó 2. Ôüôå Ç 0 : ì = 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì 0. Õðïëïãßæïõìå: i x i = 22, x = 2:75, i x2 i = 326 êáé i (x i x) 2 = i x2 i 8 x = 265:5: Ïðüôå t = x 0 s 2 =n = 2:75 0 265:5=(8 1) 8 = 1:263: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 42

Áðü ðßíáêåò Ý ïõìå t 7;0:025 = 2:365 êáé óõíåðþò ôá äåäïìýíá äåí ðáñý ïõí éêáíþ ðëçñïöïñßá ãéá íá áðïññßøïõìå ôçí Ç 0. Áõôüò ï Ýëåã ïò ëýãåôå æåõãáñùôü t-test (paired t-test). ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 43

(C) [z-test]: ëåã ïò äýï ìýóùí (ßäéï ó êáé ó-ãíùóôü) óôù 1 ; 2 ; :::; m iid áðü Í(ì 1 ; ó 2 ) êáé Õ 1 ; Õ 2 ; :::; Õ n iid áðü Í(ì 2 ; ó 2 ), ìå ó 2 ãíùóôü. ÈÝëïõìå ôïí Ýëåã ï Ç 0 : ì 1 = ì 2 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì 1 ì 2 ïõìå ôï Ã.Ð.Ð. ðïõ ðáßñíåé ôç ìïñöþ ë = max ì1;ì2 f(x; ì 1; ó 2 )f(y; ì 2 ; ó 2 ) max ì f(x; ì; ó 2 )f(y; ì; ó 2 ) = = exp (2ðó 2 ) m+n 2 e (2ðó 2 ) m+n 2 e { m 2ó 2 ( x i (x i x)2 2ó 2 i (x i m x+nȳ m+n )2 2ó 2 e m x + nȳ m + n { } mn = exp 2ó 2 ( x ȳ)2 (m + n) e i (y i ȳ)2 2ó 2 ) 2 + n : i (y i m x+nȳ m+n )2 2ó 2 2ó 2 ( ȳ m x + nȳ m + n ) 2 } Óõíåðþò, ãéá íá áðïññßøïõìå ôçí Ç 0 èá ðñýðåé ( x ȳ) 2 íá åßíáé ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 44

ìåãüëï êáé óõíåðþò ôï x ȳ íá åßíáé ìåãüëï. ¼ìùò N(ì 1 ; ó 2 =m) êáé Õ N(ì2 ; ó 2 =n). Ïðüôå õðü ôçí Ç 0 Ý ïõìå: ïðüôå ( Õ 2 1 N(0; ó + 1 ) m n ( Õ ) ( 1 m + 1 n ) 1 1 ó ); N(0; 1): Óõíåðþò Ýíáò äßðëåõñïò Ýëåã ïò ìå á = 0:05 áðïññßðôåé ôçí Ç 0 üôáí z > z á=2 Þ z < z á=2. Åðßóçò 2 log ë = Æ 2 2 1 ; Üñá åäù ï Ýëåã ïò åßíáé áêñéâþò êáé ü é êáôá ðñïóýããõóç. Óçìåéþóåéò: Áí ïé äéáóðïñýò åßíáé ãíùóôýò áëëü ü é ßóåò ôüôå Õ N(ì1 ì 2 ; ó2 1 + ó 2 2 m n ); ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 45

êáé Üí ç Ç 0 áëçèþò ôüôå Õ N(0; ó 2 1 + ó 2 2 m n ); í ïé äéáóðïñýò åßíáé Üãíùóôåò áëëü ßóåò ôüôå Ô m+n 2 = ( Õ ) (ì1 ì 2 ) S p 1 m + 1 n t m+n 2 ; üðïõ: S p = 1 m + n 2 i (x i x) 2 + j (y j ȳ) 2 = (m 1)S2 1 + (n 1)S 2 2 m + n 2 : Áõôü éó ýåé üôáí Ý ïõìå ìéêñü äåéãìáôá. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 46

í ôá äåßãìáôá åßíáé áíåîüñôçôá ìå n; m, ôüôå Æ m;n = ( Õ ) (ì1 ì 2 ) S 1 2 + S2 2 m n N(0; 1): [Ð..]: ïõìå äåäïìýíá ãéá ôï âüñïò áðï 14 íåïãýííçôá ôùí ïðïßùí ç ìçôýñá êáðíßæåé êáé 15 ôùí ïðïßùí ç ìçôýñá äåí êáðíßæåé. ÌÞ ÊáðíéóôÝò ÊáðíéóôÝò 3.99 3.18 3.79 2.84 3.60 2.90 3.73 3.27 3.21 3.85 3.60 3.52 4.08 3.23 3.61 2.76 3.83 3.60 3.31 3.75 4.13 3.59 3.26 3.63 3.54 2.38 3.51 2.34 2.71 x = 3.5933 3.2029 s = 0.3707 0.4927 n = 15 14 ïõìå ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 47

Ïðüôå êáé s = Ç 0 : ì 1 = ì 2 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì 1 ì 2. 14 0:37072 + 15 0:4927 2 t = 15 + 14 2 3:5933 3:2029 0:4337 1 15 + 1 14 ìå Â:Å: = 15 + 14 2 = 27. t 27;0:025 = 2:05, ïðüôå = 0:4337kg = 0:3904 0:1612 = 2:42 Áðü ôïõò ðßíáêåò âñßóêïõìå üôé t > t 27;0:025 = 2:05; ïðüôå ãéá äßðëåõñï Ýëåã ï ìå á = 0:05 áðïññßðôïõìå ôçí Ç 0 êáé óõìðåñáßíïõìå üôé ôá ìþñá ôùí ìç êáðíéóôþí ãåííéïýíôáé âáñýôåñá. ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 48

(D) [ 2 -test]: ëåã ïò ãéá äéáóðïñü (ì-üãíùóôï) óôù 1 ; 2 ; :::; m iid áðü Í(ì; ó 2 ) êáé ì Üãíùóôü. ÈÝëïõìå ôïí Ýëåã ï Ïðüôå Ç 0 : ó 2 = ó 2 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ó 2 ó 2 0. ë = max ó 2 f(x; ì; ó2 ) f(x; ì; ó0 2) = [ 2ð i (x i x) 2 n ] n=2 exp[ n 2 ] (2ðó 2 0 ) n=2 exp [ i (x i x) 2 =2ó 2 0 ]: Ìå ðñüîåéò ìðïñïýìå íá äïýìå üôé ôï ë ìåãáëþíåé üóï ìåãáëþíåé ôï i (x i x) 2 =nó0 2 áðü ôï 1. ¼ìùò, ãíùñßæïõìå üôé õðü ôçí Ç 0 Ý ïõìå (n 1)S 2 ó 2 0 = i (x i x) 2 ó 2 0 2 n 1 : ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 49

Ïðüôå ï äéðëåõñïò Ýëåã ïò áðïññßðôåé ôçí Ç 0 üôáí w > F (n 1) á=2 Þ w < F (n 1) (n 1) 1 á=2, üðïõ F á=2 êáé F (n 1) 1 á=2 åßíáé ôá êüôù êáé Üíù á=2 ðïóïóôéáßá óçìåßá ôçò n 1 2, äçëáäç ôá óçìåßá üðïõ P ( 2 n 1 < F (n 1) 1 á=2 ) = P ( 2 n 1 > F (n 1) á=2 ) = á=2: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 50

(E) [F -test]: ëåã ïò ãéá óýãêñéóç äýï äéáóðïñþí óôù 1 ; 2 ; :::; m iid áðü Í(ì 1 ; ó 2 1) êáé Õ 1 ; Õ 2 ; :::; Õ n iid áðü Í(ì 2 ; ó 2 2). ïõìå Ç 0 : ó 2 1 = ó 2 2 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ó 2 1 > ó2 2. Åßôå áðü ôï Ã.Ð.Ð. Þ áðëü áðü êïéíþ ëïãéêþ âãáéíåé üôé F = ˆó2 1 ˆó 2 2 = (xi x) 2 =(m 1) (yi ȳ) 2 =(n 1) ó2 1 2 m 1 =(m 1) ó2 2 2 n 1 =(n 1) = ó2 1 ó2 2 F m 1;n 1 : ñá õðü ôçí Ç 0 Ý ïõìå F F m 1;n 1. ñá üôáí Ç 1 áëçèþò ôüôå F èá åßíáé ìåãüëï, Üñá áðïññßðôïõìå Ç 0 üôáí F ìåãüëï. íáò Ýëåã ïò ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 51

ãéá á = 0:05 åßíáé üôáí f > F (m 1;n 1) á, üðïõ F (m 1;n 1) á á ðïóïóôéáßï óçìåßï ôçò êáôáíïìþò. ôï Üíù ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 52

ÄéáóôÞìáôá Åìðéóôïóýíçò [Ð..]: óôù Ýíáò íýïò êëéíéêüò Ýëåã ïò ãéá ôç äéüãíùóç êáôåóôñáìýíùí áñèñþóåùí (damaged joints) áðï øïñéáôéêþ áñèñßôéäá. ÅëÝã ïõìå ôçí áðïôåëåóìáôéêüôçôá ôïõ íýïõ ôñüðïõ äéüãíùóçò ìå ôï íá óõãêñßíïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ìå x-rays ôùí áíôßóôïé ùí áñèñþóåùí. ÂëÝðïõìå üôé óå 100 êáôåóôñáìýíåò áñèñþóåéò ï êëéíéêüò Ýëåã ïò äéýãíùóå ôéò 80. Ôé ìðïñïýìå íá ðïýìå ãéá ôçí Üãíùóôç ðáñüìåôñï p = ðéèáíüôçôá íá ãßíåé óùóôþ äéüãíùóç: ïõìå ëïéðüí i = { 0; Üí äåí ãßíåé óùóôü ç äéüãíùóç; 1; Üí ãßíåé óùóôü ç äéüãíùóç. üðïõ p = P (X i = 1), 1 p = P (X i = 0) êáé öõóéêü X i b(p). ò åêôéìþôñéá ôïõ p ëáìâüíïõìå = i x i 100 = 80 100 = 0:8: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 53

¼ìïßùò åêôéìïýìå ôï ó 2 ìå ôï S 2 = (Xi X) 2 n 1 = X 2 i 100 X 99 = Xi 100 X 99 = 0:1616 [Ï]: óôù 1 ; 2 ; :::; n ô.ä. áðü ó.ð.ð. f(x; è), üðïõ è Üãíùóôç ðáñüìåôñïò êáé á (0; 1). ÕðüèÝôïõìå üôé õðüñ ïõí äýï ó.ó. (åêôéìþôñéåò) L = L( 1 ; 2 ; :::; n ) = L(X) êáé ãéá ôéò ïðïßåò P (L U) = 1 U = U( 1 ; 2 ; :::; n ) = U(X); P (L è U) = 1 á êáëåßôáé äéüóôçìá åìðéóôïóýíçò (ä.å.) ãéá ôçí è, ç äå ðéèáíüôçôá ïíïìüæåôáé óõíôåëåóôþò åìðéóôïóýíçò (ó.å.) ôïõ äéáóôþìáôïò. Óçìåéþóåéò: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 54

Ôï ôõ áßï äéüóôçìá [L(X); U(X)] åßíáé åêôéìçôþò óå äéüóôçìá. ÓõíÞèùò ìéëüìå ãéá êëåéóôü äéáóôþìáôá L; U, áëëü óå ìåñéêýò ðåñéðôþóåéò åßíáé äõíáôüí íá ìéëüìå êáé ãéá Üëëåò ìïñöýò äéáóôçìüôùí (ð.. áíïéêôü). [Ð..]: óôù 1 ; 2 ; :::; n ô.ä. áðü Í(ì; 1), êáé Ýóôù Ýíá äéüóôçìá åêôßìçóçò ãéá ôï ì åßíáé ôï [ 1; + 1]; äçëáäþ 1 < ì < + 1: ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 55

P (ì [ 1; + 1]) = P ( 1 < ì < + 1) = P ( 1 < ì < 1) = P ( 2 < ì 1=4 < 2) = P ( 2 < Z < 2) (Z N(0; = 0:9544: [Å]: Ðïéü ôï êýñäïò; [Á]: Ç ìåôáôñïðþ ôïõ óçìåéáêïý åêôéìçôþ óå äéüóôçìá åìðéóôïóýíçò Ý åé þò áðïôýëåóìá íá Üíïõìå áêñßâåéá óôçí åêôßìçóç (Ý ïõìå äéüóôçìá áíôß ãéá ìéá ôéìþ) áëëü êåñäßæïõìå óå óéãïõñßá ãéá ôï üôé ç ðñáãìáôéêþ ôéìþ èá ðåñéëáìâüíåôáé óôï äéüóôçìá. Ïýôùò Þ Üëëùò, ç óéãïõñéü ìáò ãéá ôïí óçìåéáêü åêôéìçôþ åßíáé ìçäåíéêþ áöïý P (ì = ì 0 ) = 0: [Ï]: Ãéá Ýíáí äéáôçìáôéêü åêôéìçôþ [L(X); U(X)] ìéáò ðáñáìýôñïõ è, êáëõðôéêþ ðéèáíüôçôá (coverage probability) ôïõ [L(X); U(X)] ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 56

åßíáé ç ðéèáíüôçôá ôï ôõ áßï äéüóôçìá íá êáëýðôåé ôçí ðñáãìáôéêþ ôéìþ ôïõ è, äçëáäþ P (è [L(X); U(X)]): ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 57

ÌÝèïäïé Åýñåóçò Ä.Å. Á. ÁíôéóôñÝöïíôáò Ýíá ôýóô (ôçí ó.ó. åíüò åëýã ïõ õðüèåóçò) ÕðÜñ åé éó õñþ ó Ýóç ìåôáîý åëýã ïõ õðïèýóåùí êáé äéáóôçìüôùí åìðéóôïóýíçò. Èá ìðïñïýóáìå íá ðïýìå üôé ãéá êüèå ä.å. áíôéóôïé åß êáé Ýíáò Ýëåã ïò õðüèåóçò êáé áíôßóôñïöá. [Ð..]: óôù 1 ; 2 ; :::; n ô.ä. áðü Í(ì; ó 2 ), ìå ó 2 ãíùóôü. óôù ï Ýëåã ïò Ç 0 : ì = ì 0 Ýíáíôé ôçò Ç 1 : ì ì 0. Ç ðåñéï Þ áðüññéøçò ôïõ åëýã ïõ åßíáé ì0 > z á=2 ó n : Óõíåðþò, äåí ìðïñïýìå íá áðïññßøïõìå ôçí Ç 0 Üí ì0 z á=2 ó n ; ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 58

Þ z á=2 ó n ì0 z á=2 ó n z á=2 ó n ì 0 + zá=2 ó n : Ôï åðßðåäï óçìáíôéêüôçôáò ôïõ ôýóô åßíáé á, ïðüôå P (áðüññéøçò ôçòç 0 ì = ì 0 ) = á Üñá P (áðïäï Þò ôçòç 0 ì = ì 0 ) = 1 á; P ( zá=2 ó n ì 0 + zá=2 ó n ) = 1 á: Áöïý ôï ðéü ðüíù éó ýåé ãéá êüèå åðéëïãþ ôïõ ì 0 ôüôå ôï [ z á=2 ó n ; + zá=2 ó n ] åßíáé Ýíá ä.å. ãéá ôï ì. í Á(ì 0 ) ðåñéï Þ áðïäï Þò ôçò Ç 0 : ì = ì 0 ôüôå Á(ì 0 ) = { (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) : ì 0 z á=2 ó n ì0 + z á=2 ó n } : óôù C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) Ýíá ä.å. ãéá ôçí ì ôï ïðïßï ðñïýêõøå áðü ôïí ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 59

Ýëåã ï C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = { ì 0 : zá=2 ó n ì 0 + zá=2 ó n } : Ç ðåñéï Þ Á(ì 0 ) åßíáé óôï Ä.. åíþ ôï ä.å. óôïí ðáñáìåôñéêü þñï È. Éó ýåé ôüôå C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) åßíáé (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) Á(ì 0 ) ì 0 C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ): [È]: Ãéá êüèå è 0 È, Ýóôù Á(è 0 ) ç ðåñéï Þ áðïäï Þò ôçò Ç 0 : è = è 0 ìå å.ó. á. Ãéá êüèå (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) (X 1 ; X 2 ; :::; X n ) ïñßæïõìå ôï äéüóôçìá C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) óôïí ðáñáìåôñéêü þñï óáí C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) = {è 0 : (x 1 ; x 2 ; :::; x n ) Á(è 0 )} : Ôüôå ôï ôõ áßï äéüóôçìá C(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) åßíáé Ýíá 1 á ä.å. Áíôßóôñïöá, Ýóôù C(X) Ýíá 1 á ä.å. Ãéá êüèå è 0 È ïñßæïõìå Á(è 0 ) = {x : è 0 C(x)} : ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 60

Ôüôå Á(è 0 ) åßíáé ç ðåñéï Þ áðïäï Þò ìå å.ó. á ôçò õðüèåóçò Ç 0 : è = è 0. Ó üëéá: Ôï ñþóéìï ìýñïò ôïõ È. åßíáé ôï ðñþôï, áöïý åßíáé ðéï åõêïëï íá êáôáóêåõüæïõìå åëýã ïõò ðáñü ä.å. ÁíÜëïãá ìå ôçí åíáëëáêôéêþ ôçò Ç 0 èá åßíáé êáé ôï ä.å. [L; ) ãéá Ç 1 : ì > ì 0 Þ áêüìá ( ; U] ãéá Ç 1 : ì < ì 0. Ð.. [Ð..]: Ä.Å. ãéá ôï áñ éêü ðáñüäåéãìá (PsA). Ðáßñíïõìå ôçí êáíïíéêþ (ðñïóýããéóç) ìéáò êáé n = 100 áñêåôü ìåãüëï. ïõìå = 0:8 êáé S = 0:16162 = 0:402. ñá Ýíá 95% Ä.Å. (á = 0:05) äßíåôå áðü L = zá=2 S n = 0:8 (1:96) 0:402 100 = 0:7212 êáé U = + zá=2 S n = 0:8 + (1:96) 0:402 100 = 0:8788 ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 61

ñá ôï äéüóôçìá [0:7212; 0:8788] åßíáé Ýíá 95 % Ä.Å. (ðñïóåããéóôéêü) Â. ¾ðáñîç áíôéóôñåðôþò ðïóüôçôáò (pivotal quantity) [O]: Ç ô.ì. Q(X 1 ; X 2 ; :::; X n ; è) åßíáé ìéá áíôéóôñåðôþ ðïóüôçôá Üí ç êáôáíïìþ ôçò äåí åîáñôüôáé áðü ôçí ðáñüìåôñï è. [Ð..]: óôù 1 ; 2 ; :::; n ô.ä. áðü Í(ì; ó 2 ). í ôï ó 2 åßíáé ãíùóôü, ìðïñïýìå íá ñçóéìïðïéþóïõìå ôï pivot ãéá óôáèåñá á P ( á X ì ó= n á) = P ( á Z á) êáé ìå ðñüîåéò ðáßñíïõìå ôï äéüóôçìá { } ì : x á ó ì x + á ó n n : í ó 2 Üãíùóôï ôüôå ñçóçìïðïéïýìå ãéá pivot ôï X ì s= n ôçí t-êáôáíïìþ. Óõíåðþò ðïõ áêïëïõèåß P ( á X ì S= n á) = P ( á T n 1 á); ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 62

êáé Üí ãéá á = t n 1;á=2 Ý ïõìå { } s s ì : x t n 1;á=2 ì x + t n 1;á=2 n n ; ôï ïðïßï êáé åßíáé Ýíá êëáóéêü 1 á ä.å. ãéá ôï ì. í ôþñá åðéèõìïýìå Ýíá ä.å. êáé ãéá ôï ó 2 êüíïõìå ñþóç pivot ôïõ (n 1)S 2 Ïðüôå ó 2 2 n 1 : P (a (n 1)S2 ó 2 b) = P (a 2 n 1 b) = 1 á: Ìå ðñüîåéò ðáßñíïõìå {ó : (n 1)S2 b ó 2 } (n 1)S2 a Þ { (n 1)S 2 } (n 1)S 2 ó : b ó a : ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 63

Ç ðñïöáíþò åðéëïãþ åßíáé a = n 1;1 á=2 2 êáé b = 2 n 1;á=2 (ìå êüðïéá ðñïâëþìáôá). [È]: Ä.Å. ãéá ì 1 ì 2 (ÄÐ, óåë.242) [È]: Ä.Å. ãéá ó 2 1 =ó2 2 (ÄÐ, óåë.241) ëåã ïò ÕðïèÝóåùí 64