ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑ ΙΙΙ Διδακτικές σημειώσεις Δρ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Διπλ. ΑΤΜ MSc Γεωπληροφορική Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων Συνορθώσεις παρατηρήσεων. Κριτήριο ελαχίστων τετραγώνων Το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων είναι μια μέθοδος βελτιστοποίησης επιλογή της καλύτερης λύσης όταν ο αριθμός των παρατηρήσεων (εξισώσεων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των αγνώστων παραμέτρων. Το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων χρησιμοποιείται στον υπολογισμό των τελικών εξισώσεων με βάση την ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των σφαλμάτων και για τον λόγο αυτό ονομάζεται και κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων. Έστω ότι έχουμε τις παρατηρήσεις της άγνωστης παραμέτρου. Η κάθε παρατήρηση διαφέρει από την πραγματική τιμή της αγνώστου παραμέτρου κατά την ποσότητα v. Δηλαδή μπορούμε να πούμε ότι η άγνωστη ποσότητα μπορεί να γραφεί : v όπου οι τιμές v εκφράζουν τα άγνωστα σφάλματα των παρατηρήσεων. Στην πραγματικότητα αυτό που μπορούμε να υπολογίσουμε είναι οι εκτιμήσεις των σφαλμάτων v και της άγνωστης ποσότητας. Το ζητούμενο είναι να χρησιμοποιήσουμε μια συνθήκη ελαχιστοποίησης για τις εκτιμήσεις των σφαλμάτων ώστε να προσδιορίσουμε την βέλτιστη εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου. v
Σύμφωνα με το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων επιλέγουμε εκείνη τη λύση για την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των εκτιμήσεων των σφαλμάτων είναι ελάχιστο όπου συμβολικά : φ v v v v. Αν για παράδειγμα εφαρμόζοντας το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων για την περίπτωση μια πολλαπλά παρατηρούμενης ποσότητας της οποίας τα σφάλματα δίνονται από τον τύπο v. Η συνάρτηση φ παρουσιάζει ακρότατο για εκείνη την τιμή του όπου μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος της: dφ d dφ d v ή dφ ( d ( ( ενώ η δεύτερη παράγωγος : d φ d Συνεπώς για την περίπτωση μιας πολλαπλά παρατηρούμενης ποσότητας ο μέσος όρος είναι η βέλτιστη τιμή που προκύπτει με την εφαρμογή του κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων (Δερμάνης 986. Στο παρακάτω σχήμα.. φαίνεται πως διαμορφώνεται η τελική λύση με βάση το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων για την περίπτωση μιας πολλαπλά παρατηρούμενης ποσότητας. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
5 Αγν. Παράμετρος. Παρατήρηση Σφάλμα v Παρατήρηση Σφάλμα v... Παρατήρηση Σφάλμα v Κριτήριο ελαχίστων Τετραγώνων Βέλτιστη Εκτίμηση της Εικόνα. Εφαρμογή του κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων.... Βέλτιστη ευθεία με ελάχιστα τετράγωνα. Έστω η ευθεία με εξίσωση η οποία προσεγγίζεται από τα σημεία ( ( ( όπου. Ζητείται να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που προσαρμόζεται καλύτερα στο σύνολο των παραπάνω σημείων. Βασιζόμενοι στην απαίτηση της βέλτιστης προσαρμογής οι τιμές των συντελεστών και της εξίσωσης προκύπτουν από την εφαρμογή του κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων. Το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων για την βέλτιστη προσαρμογή μιας συνάρτησης f( είναι : Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 6 f ( φ και για την εξίσωση της ευθείας γίνεται ( Για να πάρουμε την λύση που ελαχιστοποιεί την παραπάνω εξίσωση θα πρέπει να μηδενίζονται οι πρώτες παράγωγοι ως προς παραμέτρους και της ευθείας δηλαδή : ( ( Σημείωση : τα και είναι άγνωστες ποσότητες ενώ όλα τα και δίνονται. Από τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει: και στη συνέχεια λύνοντας ως τις άγνωστες παραμέτρους έχουμε τελικά
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 7 Εικόνα. Προσαρμογή Βέλτιστης Ευθείας Παράδειγμα Να υπολογιστεί η εξίσωση της ευθείας που προσεγγίζεται από τα παρακάτω σημεία χρησιμοποιώντας το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων: Σημείο X 69.965.678 9.999 6.676 6.8797 75.8.578.856 Οι τύποι που μας δίνουν τους συντελεστές και της εξίσωσης της ευθείας είναι :
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 8 Υπολογίζουμε όλα τα επιμέρους αθροίσματα : 8575 955886 67897 5789 και στη συνέχεια αντικαθιστούμε στους τύπους 995 5789 *955886 5789*8575 67897 * 955886 86697 5789 *955886 5789* 67897 *8575 Η βέλτιστη εξίσωση της ευθείας είναι: 5 99 86697... Βέλτιστη προσαρμογή τάξεως πολυωνύμου με ελάχιστα τετράγωνα. Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήσαμε την προσαρμογή ενός πολυωνύμου τάξεως σ ε + διακεκριμένα σημεία. Εδώ θα προσπαθήσουμε να
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 9 προσδιορίσουμε ένα πολυώνυμο τάξεως όταν γνωρίζουμε περισσότερα σημεία από τα ελάχιστα απαιτούμενα (αριθμός των σημείων>+ Έστω το τάξεως πολυώνυμο το οποίο προσεγγίζεται από τα σημεία ( ( ( όπου. Για να προσεγγίσουμε το βέλτιστο πολυώνυμο που προσαρμόζεται στα παραπάνω σημεία χρησιμοποιούμε το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων όπου :. ( f ( φ Για να πάρουμε την λύση που ελαχιστοποιεί την παραπάνω εξίσωση θα πρέπει να μηδενίζονται οι πρώτες παράγωγοι ως προς τις άγνωστες παραμέτρους δηλαδή : ( φ ( φ ( φ συνεπώς οι άγνωστες ποσότητες θα προκύψουν από την επίλυση του παρακάτω γραμμικού συστήματος :
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 Άσκηση : Να υπολογιστεί η βέλτιστη εξίσωση πολυωνύμου της μορφής που προσεγγίζεται από τα παρακάτω σημεία χρησιμοποιώντας το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων: Σημείο.5.7.859 7. 7.56 88.777 8.96 8.9 5 9.5.89 6 99.77.87. Συνόρθωση παρατηρήσεων με ελάχιστα τετράγωνα μέθοδος εξισώσεων παρατηρήσεων. Στην περίπτωση όπου έχουμε απλές εξισώσεις όπως η περίπτωση της ευθείας αλλά και οι παρατηρήσεις μας και αυτές είναι συγκεκριμένες και μιας κατηγορίας τότε μπορούμε να εργαστούμε με την προηγούμενη μεθοδολογία. Στα περισσότερα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε στην Τοπογραφία έχουμε πολύπλοκες εξισώσεις συνήθως μη γραμμικής μορφής. Το γεγονός αυτό οδηγεί στην δημιουργία μιας μεθοδολογίας βασιζόμενης σε
πίνακες με συγκεκριμένους αλγορίθμους ανά περίπτωση δηλαδή η συνόρθωση των παρατηρήσεων είναι μια μεθοδολογία βασισμένη στη στατιστική και τις πιθανότητες όπου από ένα σύνολο παρατηρήσεων ζητείται να υπολογιστεί η καλύτερη (βέλτιστη τιμή των αγνώστων ποσοτήτων με ταυτόχρονη εκτίμηση των σφαλμάτων. Αν λοιπόν έχουμε ( παρατηρήσεις ενός μεγέθους που συνδέεται με κάποιες ( άγνωστες ποσότητες μέσω των εξισώσεων f -η έντονη γραφή υποδηλώνει πίνακα - δηλαδή : f ( λόγω της ύπαρξης σφαλμάτων στις παρατηρήσεις οι πραγματικές τιμές θα διαφέρουν από τις παρατηρήσεις αν λοιπόν συμβολίσουμε με δείκτη ( τις πραγματικές άγνωστες τιμές και με δείκτη ( τις παρατηρήσεις τους οι αντίστοιχοι πίνακες θα έχουν την μορφή : για τις πραγματικές άγνωστες τιμές και για τις παρατηρήσεις και η εξίσωση που συνδέει τις ποσότητες και γίνεται f (. Αν v ο πίνακας των σφαλμάτων v v v v Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 Τότε οι παρατηρήσεις θα ισούται με πραγματικές τιμές συν τα αντίστοιχα σφάλματα : v η παραπάνω εξίσωση σε συνδυασμό με την ( f μας δίνουν τη εξίσωση : v f ( ή σε αναλυτική μορφή είναι : v ( f v ( f v ( f επίσης με βάση την παραπάνω σημειολογία ο πίνακας είναι Η εφαρμογή του κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων για την περίπτωση των παραπάνω εξισώσεων μας οδηγεί στις παρακάτω τελικές σχέσεις u όπου P T και P u T και η τελική λύση P P T T ( όπου οι επιμέρους πίνακες έχουν την δομή :
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 και Η εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων δίνει τη λύση v που ικανοποιεί την εξίσωση: v p v p v p v p όπου τα στοιχεία p ονομάζονται βάρη των αντίστοιχων παρατηρήσεων. Στην περίπτωση όπου οι παρατηρήσεις γίνουν με την ίδια ακρίβεια τα βάρη γίνονται ίσα με την μονάδα και καταλήγουμε στην ελαχιστοποίηση των τετραγώνων των σφαλμάτων. Ο πίνακας P είναι ένας συμμετρικός θετικά ορισμένος πίνακας διαστάσεων και συνήθως λαμβάνεται ως διαγώνιος με στοιχεία της διαγωνίου τα βάρη p. Στην περίπτωση όπου οι εξισώσεις είναι μη γραμμικές χρησιμοποιούμε το ανάπτυγμα σε σειρά Tlr όπου ο εκθέτης (ο δηλώνει προσεγγιστικές τιμές- δηλαδή : ( f ( f ( f O O Από την σειρά Tlr χρησιμοποιούμε μόνο τον πρώτο όρο και τελικά το σύστημα v γίνεται :
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 ( f και Όπου ( f ( f και ( f ( f Οι τελικές εκτιμήσεις προκύπτουν από την σχέση Ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων μεταβλητοτήτων είναι X C... Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων. Αν δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε την βέλτιστη εξίσωση ευθείας του κεφαλαίου.. οποία προσεγγίζεται από τα σημεία ( ( ( όπου. ακολουθώντας την μεθοδολογία συνόρθωσης με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων. Για την επίλυση θα θεωρήσουμε απόλυτα γνωστές ποσότητες και συνεπώς τα σφάλματα θα συμπεριληφθούν όλα στη παράμετρο. Παρατήρηση: Θεωρώντας ως παρατηρήσεις μόνο τα αν η ευθεία τείνει να γίνει παράλληλη στον άξονα των θα παρουσιαστεί αστάθεια στη λύση. Μια πιο ολοκληρωμένη λύση θα πρέπει να αντιμετωπιστεί θεωρώντας και τα ως
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 5 παρατηρήσεις και η συνόρθωση να γίνει με τη μέθοδο των μικτών εξισώσεων. H εξίσωση της ευθείας θα είναι : η εξίσωση είναι εξ αρχής γραμμική και συνεπώς δεν απαιτείται γραμμικοποίηση κατά Tlr και κατά συνέπεια δεν απαιτούνται προσεγγιστικές τιμές ούτε για τις άγνωστες ποσότητες αλλά ούτε και τις παρατηρούμενες ποσότητες. Το γραμμικό σύστημα των εξισώσεων έχει την μορφή : Σε μορφή πινάκων γράφεται v όπου οι επιμέρους πίνακες είναι: και ο πίνακας Αν θεωρήσουμε ότι όλες οι παρατηρήσεις είναι ισοβαρείς δηλαδή ότι ο πίνακας βάρους είναι ο μοναδιαίος I P τότε η λύση με τη μέθοδο των εξισώσεων παρατηρήσεων θα προκύπτει: u όπου T και u T ή Α. Δερμάνης και Α. Φωτίου «Μέθοδοι και εφαρμογές συνόρθωσης παρατηρήσεων» εκδόσεις Ζήτη Θεσσαλονίκη 99.
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 6 T T ( T T Γενικά για ένα πίνακα Α η σχέση για τον υπολογισμό του αντιστρόφου είναι c d c d d c Για τον παραπάνω πίνακα Ν ο αντίστροφος θα είναι: T ( u
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 7 Οι παραπάνω σχέσεις είναι οι ίδιες στις οποίες καταλήξαμε στο κεφάλαιο..... Πολλαπλή οπισθοτομία με αποστάσεις. Από τέσσερα τριγωνομετρικά έχουν μετρηθεί οι αποστάσεις προς ένα άγνωστο σημείο.
8 Ζητείται να υπολογιστούν οι συντεταγμένες ( του αγνώστου σημείου. Δίνονται: Η προσεγγιστική θέση του σημείου (75 86 οι συντεταγμένες των τριγωνομετρικών και οι μετρημένες αποστάσεις από τα τριγωνομετρικά είναι: E( ( Σ5 7895. 957.6 Σ 766. 6.98 Σ5 76.9.87 Σ6 6877.5 5.997 S( Σ5 57.75 Σ 9. Σ5 965.76 Σ6 75.6 Οι εξισώσεις παρατήρησης για κάθε τριγωνομετρικό είναι: ( ( Οι επιμέρους πίνακες για το σύστημα v έχουν την δομή : και d d Οι προσεγγιστικές τιμές για τις αποστάσεις προκύπτουν από την εξίσωση της απόστασης αν χρησιμοποιήσουμε τις προσεγγιστικές τιμές του αγνώστου σημείου: ( ( Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 9 και για το παράδειγμα έχουμε: S Σ5 57.97 Σ 8.9 Σ5 969. Σ6 7.9 Με βάση τις μετρούμενες αποστάσεις και τις προσεγγιστικές οι πίνακες και γίνονται: 75.6 965.76 9. 57.75 και 7.9 969. 8.9 57.97 Συνεπώς ο πίνακας θα ισούται.56.8.. Ο πίνακας σχεδιασμού στην γενική του μορφή είναι : Όπου οι μερικές παράγωγοι θα είναι: ως προς
( ( ( ( ( ( ( ( ( ως προς ( ( ( ( ( ( ( ( ( Και με βάση τις προσεγγιστικές τιμές οι παράγωγοι θα είναι και πίνακας Α γίνεται : και αν αντικαταστήσουμε τις μερικές παραγώγους ο και Για την περίπτωση του συγκεκριμένου παραδείγματος έχουμε :.6575.66.867.99668.997977.7796.556769.887 Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Για το σύστημα των κανονικών εξισώσεων οι τελικές σχέσεις είναι: u όπου T P και u T P.8886.66885.66885.97696 και ο αντίστροφος του.86668.6668 και η τελική λύση.6668.585 ( T P T P.7.85 και 75.7 858.5... Πολλαπλή οπισθοτομία με διευθύνσεις. Αν στο πρόβλημα της προηγούμενης παραγράφου έχουμε παρατηρήσεις διευθύνσεων αντί για αποστάσεις και έχουμε μηδενίσει στο σημείο Σ5 και στη συνέχεια έχουμε σκοπεύσει τα άλλα τρία σημεία. Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων ( του αγνώστου σημείου η μορφή των εξισώσεων διαμορφώνεται ως εξής: Η οριζόντια διεύθυνση τριγωνομετρικού T δίνεται από την σχέση μεταξύ του άγνωστου σημείου ( και του Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Όπου T το αζιμούθιο από το άγνωστο σημείο ( προς τα γνωστά σημεία και θ η άγνωστη σταθερά προσανατολισμού. Αντικαθιστώντας το αζιμούθιο συναρτήσει των συντεταγμένων των σημείων η γωνία διεύθυνσης δίνεται από την σχέση : rct Οι επιμέρους πίνακες του αρχικού συστήματος των γνωστών σημείων έχουν την δομή : v στη γενική μορφή Η πρώτη παράγωγος για το τόξο εφαπτομένης δίνεται από την σχέση d d rct Συνεπώς για την γωνία διεύθυνσης οι μερικές παράγωγοι για κάθε μία από τις άγνωστες παραμέτρους θα είναι : ως προς rct rct Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ως προς rct rct ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( και ως προς θ rct Αντικαθιστώντας τις μερικές παραγώγους ο πίνακας Α γίνεται
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 ( ( ( ( ( ( Στη περίπτωση μας που έχουμε σημεία ο πίνακας Α θα είναι ( ( ( ( ( ( ( ( Οι προσεγγιστικές τιμές για τις αποστάσεις προκύπτουν από την εξίσωση της απόστασης αν χρησιμοποιήσουμε τις προσεγγιστικές τιμές του αγνώστου σημείου: ( ( και αντικαθιστώντας τις τιμές των συντεταγμένων στον πίνακα Α προκύπτει Ο πίνακας των ανηγμένων παρατηρήσεων στη γενική του μορφή είναι : επίσης συναρτήσει των συντεταγμένων των σημείων ο πίνακας γίνεται:
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 5 rct rct rct Στη περίπτωση μας που έχουμε σημεία ο πίνακας θα είναι rct rct rct rct Η εφαρμογή του κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων για την περίπτωση των παραπάνω εξισώσεων μας οδηγεί στις παρακάτω τελικές σχέσεις u όπου P T και P u T και η τελική λύση P P T T ( όπου και τελικά... Επίλυση δικτύου.
6 Δίνεται το παρακάτω τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο έχουν μετρηθεί οι τρείς γωνίες και οι τρείς αποστάσεις του Α Γ Β Αν το σημείο Γ θεωρηθεί σταθερό ώστε να είναι δυνατό να καθοριστεί η θέση του δικτύου και από το σημείο Β θεωρηθεί σταθερή η ποσότητα ώστε να οριστεί και ο προσανατολισμός του δικτύου να υπολογιστούν οι συντεταγμένες των υπολοίπων σημείων του δικτύου. Αν συμβολίσουμε το σημείο στάσης το σημείο σκόπευσης οι εξισώσεις για τις αποστάσεις είναι : ( ( οι μερικές παράγωγοι ως προς και θα είναι: και ως προς και Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
7 Για τις εξισώσεις των οριζόντιων γωνιών αν συμβολίσουμε το σημείο στάσης το αριστερό σημείο σκόπευσης και k το δεξιό η εξίσωση της γωνίας παρατήρησης είναι k k rct k k rct και συνεπώς και οι μερικές παράγωγοι ως προς και θα είναι k k k k k k k k k k Ομοίως και για τα k και k θα είναι k k k k και k k k k k k k k k k k k k k Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 8 Οι επιμέρους πίνακες για το σύστημα v έχουν την δομή : B B και B Οι προσεγγιστικές τιμές για τις αποστάσεις και τις γωνίες προκύπτουν από τις αντίστοιχες εξισώσεις αν χρησιμοποιήσουμε τις προσεγγιστικές τιμές του αγνώστων παραμέτρων. Ο πίνακας σχεδιασμού θα είναι : B B B B B B και αντικαθιστώντας τις μερικές παραγώγους θα έχουμε τελικά:
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 9 B B ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Αν το σημείο Γ έχει συντεταγμένες = και = και για το σημείο Β = τότε ο πίνακας Α γίνεται : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( B B Για το σύστημα των κανονικών εξισώσεων οι τελικές σχέσεις είναι: u όπου P T και P u T και η τελική λύση P P T T (
..5. Επίλυση χωροσταθμικού δικτύου. Δίνεται το παρακάτω χωροσταθμικό δίκτυο όπου έχουν μετρηθεί με χωροβάτη οι υψομετρικές διαφορές μεταξύ των κορυφών του και. Αν θεωρήσουμε ότι το σημείο έχει γνωστό υψόμετρο =5.9 και οι μετρήσεις είναι ασυσχέτιστες μεταξύ τους και ακρίβειας : ' L όπου L η χωροσταθμική απόσταση κάθε όδευσης σε K. Να υπολογιστούν οι εκτιμήσεις των υψομέτρων των κορυφών και οι εκτιμήσεις των παρατηρούμενων μεγεθών καθώς και η τυπική απόκλιση της μεταβλητότητας αναφοράς μετά την συνόρθωση. Δίνονται : L L L L L L = -.99 = -.55 =.6 =. = -.6 = -.5 = = 5 = 6 = 6 = 85 = 6 Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 αν η υψομετρική διαφορά μεταξύ των σημείων και οι εξισώσεις για του προβλήματος θα δίνονται από την γραμμική σχέση : Αυτό σημαίνει ότι δεν απαιτείται γραμμικοποίηση κατά Tlr και κατά συνέπεια δεν απαιτούνται προσεγγιστικές τιμές ούτε για τις άγνωστες ποσότητες αλλά ούτε και τις παρατηρούμενες ποσότητες. Το γραμμικό σύστημα των έξι εξισώσεων έχει την μορφή : ή και τελικά το σύστημα στη μορφή v θα είναι
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 Οι επιμέρους πίνακες για το σύστημα v έχουν την δομή : και Αντικαθιστώντας τις τιμές από τις παρατηρούμενες υψομετρικές διαφορές και το γνωστό υψόμετρο =5.9 πίνακας γίνεται:.98.6.7.6.55.99 5.9.5.6 5.9..6.55 5.9.99 Για τον υπολογισμό των βέλτιστων εκτιμήσεων των αγνώστων παραμέτρων θα πρέπει να μηδενίζονται όλες οι μερικοί παράγωγοι ως προς τις άγνωστες ποσότητες και σε αυτή την περίπτωση η λύση προκύπτει από την σχέση u. Όπου αναλυτικά οι τελικές σχέσεις είναι:
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 u όπου P T και P u T ή αναλυτικά P P T T ( όπου Ο πίνακας P καλείται πίνακας βάρους και δηλώνει το ποσό της συμμετοχής (το βάρος της κάθε παρατήρησης στη συνολική λύση. Το κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων για την περίπτωση που έχουμε βάρη στις παρατηρήσεις γίνεται: v p v p v p v p ή σε μορφή πινάκων T v P v Στην περίπτωση του κατακόρυφου δικτύου του συγκεκριμένου παραδείγματος ο πίνακας P έχει την μορφή: p p p p p p P Όπου p τα βάρη για καθεμία χωροστάθμηση. Γενικά στις γεωμετρικές χωροσταθμήσεις ως βάρη χρησιμοποιούνται τα αντίστροφα των χωροσταθμικών αποστάσεων εκφρασμένων σε χιλιόμετρα. Δηλαδή αν η τυπική απόκλιση είναι :
L ' όπου L η χωροσταθμική απόσταση κάθε όδευσης σε K. τότε το κάθε βάρος θα είναι p L L αντικαθιστώντας τις αποστάσεις για κάθε χωροστάθμιση ο πίνακας P θα γίνει:.8 P.899.5.6.6.7 Η τυπική απόκλιση της μεταβλητότητας αναφοράς μετά την συνόρθωση δίνεται από τον τύπο: T v P v f T v P v Όπου v οι εκτιμήσεις των σφαλμάτων των παρατηρήσεων οι οποίες για το παράδειγμα μας είναι v v v v v v v Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
5 οι εκτιμήσεις των σφαλμάτων προκύπτουν πολύ εύκολα από το αρχικό σύστημα των εξισώσεων ως εξής: v v Στην εξίσωση της τυπικής απόκλισης της μεταβλητότητας αναφοράς το είναι αριθμός των παρατηρήσεων (εξισώσεων και το ο αριθμός των αγνώστων ο αριθμός f = - ονομάζεται βαθμοί ελευθερίας του δικτύου και εκφράζει την πλεονάζουσα πληροφορία. Για την περίπτωση μας οι βαθμοί ελευθερίας είναι: f= 6 - = Αναλυτικά αν αντικαταστήσουμε τα δεδομένα μας στους πίνακες και κάνουμε τις αντίστοιχες πράξεις έχουμε : T.786 P.89855.89855.78.78.696.686.686.79 και οι πίνακες και u 9.8.89855.686.89855 9.97.78.686.78.66 7.98758 u.7955 6.559 Ο αντίστροφος του Ν θα είναι:..6757.5798.6757.665.7688.5798.7688.6 και τελικά Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9 6 u.5.95.96 Όπως προαναφέρθηκε οι βαθμοί ελευθερίας είναι f= και η εκτίμηση της τυπική απόκλισης της μεταβλητότητας αναφοράς είναι: T v P v όπου.86.95.76.6.9.99.95.5.5.596.5595.969.98.6.7.6.55.99 v και τελικά.. και ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων για τις άγνωστες παραμέτρους C όπου T v P v
7 Στοιχεία από την γεωμετρική γεωδαισία. Στοιχεία γεωμετρικής γεωδαισίας. Η θέση πάνω στην επιφάνεια της γης μπορεί να οριστεί με βάση ένα καρτεσιανό σύστημα αναφοράς με κέντρο το κέντρο μάζας της γης και άξονες: - Z με κατεύθυνση προς το βόρειο πόλο της γης - Χ κάθετο στον άξονα Ζ και με κατεύθυνση από το κέντρο της γης προς το σημείο που ορίζει ο μεσημβρινός που περνάει από το Greewc και -Y κάθετο στους άλλους δύο έτσι ώστε να συμπληρώνει ένα δεξιόστροφο σύστημα αναφοράς. Ένα τέτοιο σύστημα θα ήταν ιδανικό για την περίπτωση των μετρήσεων με τα δορυφορικά συστήματα πλοήγησης όπως το GPS αλλά πολλά προβλήματα συναντώνται στον ορισμό ενός τέτοιου συστήματος τόσο γεώκεντρο όσο και ο άξονας περιστροφής της γης δεν μπορούν να οριστούν με απόλυτη σαφήνεια αφού μεταβάλλονται συνεχώς συναρτήσει του χρόνου. Στην προσπάθεια να οριστεί ένα τέτοιο σύστημα επιλέχθηκαν συγκεκριμένα θεμελιώδη σημεία πάνω στην γήινη επιφάνεια από τα οποία εκτελούνται μετρήσεις ακριβείας με τεχνικές όπως η συμβολομετρία πολύ μεγάλων βάσεων (VLBI - Ver lg Bele Iterferetr και η συμβολομετρία ler προς δορυφόρους (SLR - Stellte Ler Rgg και προσδιορίζονται οι βασικές παράμετροι περιστροφής της γης. Αυτό οδηγεί στην αποδοχή ενός πλαισίου συμβάσεων και μοντέλων για τον προσδιορισμό των προσανατολισμών των αξόνων του συστήματος και μαζί με τα αντίστοιχα θεμελιώδη σημεία (θέσεις ταχύτητες μετακίνησης και εποχή αναφοράς όλα τα παραπάνω αποτελούν το επίγειο πλαίσιο αναφοράς (TRF Terretrl Referece Fre. Στα πλαίσια ορισμού του επίγειου πλαισίου αναφοράς με διεθνείς συμβάσεις υιοθετήθηκε και το διεθνές επίγειο σύστημα αναφοράς (ITRF - Itertl Terretrl Referece Fre με παραμέτρους που ορίζονται κάθε έτος ή κάθε μερικά χρόνια. Η ονομασία ενός τέτοιου συστήματος είναι ITRF όπου τα δύο τελευταία ψηφία του έτους αναφοράς για παράδειγμα το ITRF είναι το διεθνές επίγειο σύστημα αναφοράς για το έτος. Το σύστημα αναφοράς του GPS με την ονομασία WGS 8 (Wrld Gedetc Ste 98 από την εποχή της Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
8 δημιουργίας του βελτιώθηκε αρκετές φορές ώστε να είναι δυνατή η σύνδεση του με ένα ITRF (ITRF9 η πιο πρόσφατη βελτίωση. Ο ορισμός της θέσης μας πάνω στην γη μπορεί να καλύπτεται από ένα επίγειο σύστημα αναφοράς αλλά η χαρτογράφηση της γήινης επιφάνειας απαιτεί εκτός από τον ορισμό ενός καρτεσιανού συστήματος και την προσαρμογή μιας μαθηματικής επιφάνειας που να αναπαριστά καλύτερα την πολύπλοκη μορφή της γήινης τοπογραφίας. Αποδείχθηκε ότι ένα ελλειψοειδές εκ περιστροφής (η επιφάνεια που προκύπτει αν περιστρέψουμε μια έλλειψη γύρω από ένα άξονα της αποτελεί την βέλτιστη μαθηματική προσέγγιση της γης αλλά ακόμη και αυτή η προσέγγιση δεν καλύπτει τις τοπικές εξάρσεις και υφέσεις του γήινου φλοιού (σχήμα.. Αν εξετάσουμε την επιλογή ενός γεωδαιτικού συστήματος από την σκοπιά της απεικόνισης της γήινης επιφάνειας τότε θα πρέπει να διαμορφώσουμε κατάλληλα συστήματα αναφοράς και ελλειψοειδή ανάλογα με τις ανάγκες αποτύπωσης έτσι δημιουργήθηκαν ελλειψοειδή διαφορετικών διαστάσεων που προσαρμόζονται σε συγκεκριμένες περιοχές της γης αλλά και ελλειψοειδή που προσαρμόζονται σε όλη την γήινη επιφάνεια. Τα μεγέθη που καθορίζουν το σχήμα ενός ελλειψοειδούς εκ περιστροφής είναι : : Μεγάλος ημιάξονας. : Μικρός ημιάξονας. f η επιπλάτυνση και e η εκκεντρότητα του ελλειψοειδούς. Τα χαρακτηριστικά των ελλειψοειδών που χρησιμοποιούνται στην Ελλάδα παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.. Πίνακας.. Διαστάσεις των ελλειψοειδών εκ περιστροφής που χρησιμοποιούνται στην Ελλάδα. ΕΕΠ ( ( f e e Beel 67797 65679 /99.5 86966 8977 Hfrd 67888 6569 /97 89979 86879 GRS 8 6787 65675 /98.6 88979 895 Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
9 Σχήμα.. Ελλειψοειδές εκ περιστροφής. Εάν γνωρίζουμε τις καρτεσιανές συντεταγμένες (X Y Z ενός σημείου τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τις ελλειψοειδείς (γεωμετρικές συντεταγμένες του φ λ και χρησιμοποιώντας τις σχέσεις. : X Y Z cφc λ cφ λ e φ Y λ rct X Z e φ φ rct X Y Z e (. όπου το γεωμετρικό υψόμετρο και Ν η ακτίνα καμπυλότητας της πρώτης κάθετου τομής. Η ακτίνα της πρώτης κάθετου τομής προκύπτει από τον τύπο: (. e φ Παρατήρηση : Δεν θα πρέπει να συγχέουμε την ακτίνα καμπυλότητας Ν με την αποχή του γεωειδούς η οποία συμβολίζεται επίσης με Ν. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Σχήμα.. Ελλειψοειδείς και καρτεσιανές συντεταγμένες. Όπως φαίνεται από τον τύπο που μας δίνει το γεωδαιτικό πλάτος φ συναρτήσει των Χ Υ Ζ για τον υπολογισμό του φ (εξισώσεις. θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια μέθοδο αριθμητικής ανάλυσης για τον υπολογισμό του επειδή η άγνωστη ποσότητα φ εμφανίζεται και στα δύο μέλη της εξίσωσης δηλαδή : Z e φ φ rct όπου = X Y και e φ σαν αρχική τιμή για το φ χρησιμοποιούμε την : φ rct Z( e X Y όπου e είναι η δεύτερη εκκεντρότητα του ελλειψοειδούς. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Το παγκόσμιο σύστημα προσδιορισμού θέσης (Gll Ptg Ste - GPS χρησιμοποιείται πλέον στην συντριπτική πλειοψηφία των Τοπογραφικών και Γεωδαιτικών εργασιών γιατί υπερτερεί σε πολλά σημεία σε σχέση με τις υπόλοιπες - προγενέστερες - μεθόδους. Στο σύστημα αναφοράς WGS 8 του GPS που αναφέρονται όλες οι παρατηρήσεις που κάνουμε με το GPS ή αντίστοιχα οι γεωμετρικές συντεταγμένες στο ελλειψοειδές εκ περιστροφής που χρησιμοποιεί και έχει τις διαστάσεις του GRS 8... Αλλαγή συστήματος αναφοράς. Αν θέλουμε να μεταβούμε από το σύστημα WGS 8 σε ένα τοπικό σύστημα αναφοράς τότε είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις παραμέτρους που συνδέουν τα δύο συστήματα. Έστω ότι έχουμε δύο καρτεσιανά συστήματα αναφοράς το πρώτο είναι το WGS 8 το σύστημα αναφοράς του GPS και το δεύτερο ένα τοπικό σύστημα αναφοράς ΤΣ. Τα δυο συστήματα διαφέρουν κατά τρεις συνιστώσες παράλληλης μετάθεσης της αρχής των αξόνων καθώς επίσης και κατά τρεις γωνίες στροφής των αξόνων του ενός συστήματος ως προς το άλλο (Σχήμα.. Σχήμα.. Γεωδαιτικά συστήματα αναφοράς. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
Αναλυτικά οι μαθηματικές σχέσεις που συνδέουν τα δύο συστήματα είναι (Ρωσσικόπουλος 998: X X X Y λ R Y Y (. Z Z WGS Z όπου R είναι ο ορθογώνιος πίνακας στροφής που προκύπτει από το γινόμενο τριών επιμέρους πινάκων στροφής Euler. Για δεξιόστροφα συστήματα αναφοράς η σειρά των διαδοχικών στροφών μπορεί να είναι :. Στροφή κατά γωνία γύρω από τον άξονα ο πίνακας στροφής είναι R cω ω (. ω cω. Στροφή κατά γωνία γύρω από τον άξονα ο πίνακας στροφής είναι: cω ω R (. 5 ω cω. Στροφή κατά γωνία z γύρω από τον άξονα z ο πίνακας στροφής είναι: c ω z ω z R ω z c ω z (. 6 πότε ο πίνακας R είναι: R R ω R (ω (ω (. 7 ( R z ή αναλυτικά Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
R c c ω c ω z ω ω c ω z ω ω c ω z c ω ω z ω ω z c ω ω z ω ω ω z c ω ω ω z c ω c ω z ω c ω z ω ω c ω c ω c ω Η αλλαγή συστήματος αναφοράς που συνήθως προκύπτει είναι μεταξύ του WGS 8 και ενός τοπικού συστήματος μιας και το σύνολο σχεδόν των τριγωνισμών πλέον γίνονται με GPS. Συνεπώς για να μεταβούμε από το σύστημα αναφοράς του GPS σε ένα τοπικό σύστημα πρέπει να γνωρίζουμε τις συνιστώσες μετάθεσης και τις γωνίες στροφής. Σε αντίθεση περίπτωση θα πρέπει να υπολογίσουμε τις άγνωστες παραμέτρους εφαρμόζοντας ένα μετασχηματισμό στις τρεις διαστάσεις μεταξύ των δύο συστημάτων. Στις συνήθεις γεωδαιτικές εφαρμογές επειδή οι γωνίες στροφής είναι μικρές ο παραπάνω πίνακας απλοποιείται ως εξής : ω z ω R ωz ω (. 8 ω ω Αντίστοιχα η σχέση. χρησιμοποιώντας την απλοποιημένη σχέση για τον πίνακα στροφής γίνεται : X Y Z λ ω ω z ω z ω ω ω X Y Z WGS X Y Z Στην περίπτωση όπου το τοπικό σύστημα είναι το ΕΓΣΑ 87 και οι απαιτήσεις μας σε ακρίβεια είναι της τάξης του μέτρου επειδή τα συστήματα ΕΓΣΑ 87 και WGS 8 έχουν σχεδόν παράλληλους άξονες η σχέση που συνδέει τα δύο συστήματα είναι: Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
X 99.7 Y 75. Z '87 WGS'8 6. 8. Προβολικά συστήματα. Το ελλειψοειδές εκ περιστροφής είναι μια μαθηματική καμπύλη επιφάνεια και αποτελεί μια ικανοποιητική προσέγγιση της γήινης επιφάνειας που δεν μπορεί όμως αποτυπωθεί απευθείας στο χαρτογραφικό επίπεδο. Για να μπορέσουμε να αναπαραστήσουμε μια καμπύλη επιφάνεια όπως το ελλειψοειδές σε μια επίπεδη επιφάνεια όπως ο χάρτης θα πρέπει να προβληθεί στο επίπεδο με μια συγκεκριμένη μεθοδολογία. Σαν επιφάνειες προβολής εκτός από το επίπεδο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και μια αναπτυκτή επιφάνεια όπως ο κώνος και ο κύλινδρος. Στην Ελλάδα έχουν χρησιμοποιηθεί και συνεχίζουν να χρησιμοποιούνται μέχρι και σήμερα αρκετές προβολές οι κυριότερες είναι η προβολή Htt η ΤΜ η ΤΜ 87 και η UTM... Προβολή Htt. Έστω δύο σημεία στο ΕΕΠ Τ ο (φ ο λ ο και Τ (φ λ που ενώνονται από την γεωδαισιακή γραμμή S και με γεωδαιτικό αζιμούθιο α (Σχήμα.. Θεωρούμε ένα επίπεδο εφαπτόμενο του ΕΕΠ στο σημείο Τ ο. Στο επίπεδο αυτό ο- ρίζουμε ένα σύστημα ορθογωνίων καρτεσιανών συντεταγμένων ( με αρχή το σημείο Τ ο άξονα των να εφάπτεται στο μεσημβρινό του ΕΕΠ στο σημείο Τ ο και άξονα των να είναι κάθετος στον άξονα των. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
5 Y Τ P Τ ΕΕΠ Τ ο α S α S Τ ο Προβολικό επίπεδο X Σχήμα.. Προβολή γεωδαιτικού αζιμουθίου και γεωδαισιακής γραμμής από το ΕΕΠ στο επίπεδο (προβολή HTT. Ένα τυχόν σημείο Τ του ΕΕΠ προβάλλεται στο επίπεδο έτσι ώστε η εικόνα S της γεωδαισιακής γραμμής και η εικόνα α του αζιμουθίου να παραμένουν αναλλοίωτα δηλαδή ίσα με τα αντίστοιχα στο ΕΕΠ. Ο Ελληνικός χώρος στο ΕΕΠ του Βeel που είναι το ΕΕΠ αναφοράς για το Ελληνικό Dtu υ- ποδιαιρείται σε σφαιροειδή τραπέζια πλευρών («μεγάλα φύλλα» σε κάθε ένα από αυτά έχουμε ένα κέντρο Τ ο όπως αυτό ορίζεται από την τομή του κεντρικού μεσημβρινού και παραλλήλου. Ο μεσημβρινός αφετηρίας είναι ο μεσημβρινός του βάθρου του αστεροσκοπείου Αθηνών. Τα σφαιροειδή τραπέζια αντιστοιχούν σε φύλλα - χάρτη με κέντρα τις εικόνες τους Τ κλίμακας :. Κάθε φύλλο έχει το δικό του σύστημα με κέντρο που έχει γεωδαιτικές συντεταγμένες (φ ο λ ο ακέραιες μοίρες πλέον 5 ή πλέον 5. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
6 Σχήμα. 5. Επίπεδη ή αζιμουθιακή προβολή. Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων στο χαρτογραφικό επίπεδο όταν δίνονται οι συντεταγμένες φ λ και στο ελλειψοειδές οι εξισώσεις είναι (βλ. π.χ. Φωτίου 7 Λιβιεράτος - Φωτίου 99: cφ λ ρ φ λφ ρ cφ 9e φ λ 6 c φ φ φ λ 6 6 φ λ φ (. 9 cφ φ ρφ φ e c φ e ρ φ ρ 6 φ cφ e ρ λ φ φ c φ φλ λ φ c λ φ φ λ (. Για τον υπολογισμό των γεωδαιτικών συντεταγμένων φ λ και όταν δίνονται οι συντεταγμένες και στο χαρτογραφικό επίπεδο οι εξισώσεις είναι (βλ. π.χ. Φωτίου 7 Λιβιεράτος - Φωτίου 99: Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
7 φ φ ρ t φ ρ t ρ t t φ 6ρ φ φ 6ρ e e e φ ρ φ t t φ ρ φ (. λ λ t t c φ t φ c φ φ e c φ t φ t t φ c φ c φ t φ c φ c φ (. Στις παραπάνω σχέσεις φ ο και λ ο είναι οι γεωδαιτικές συντεταγμένες στο κέντρο του φύλλου ρ ο Ν ο οι ακτίνες καμπυλότητας και της μεσημβρινής και πρώτης κάθετης τομής αντίστοιχα υπολογισμένες στα φ ο και λ ο. Η εξίσωση της πρώτης κάθετης τομής δίνεται από την σχέση. ενώ της μεσημβρινής τομής από τον τύπο: ρ ( e (. ( e φ.. H Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή. Αν Θεωρήσουμε την γη σαν μια σφαίρα η οποία να περιβάλλεται από έ- να κύλινδρο έτσι ώστε ο κύλινδρος να εφάπτεται κατά μήκος ενός μέγιστου κύκλου και συνεπώς ο άξονας του να είναι κάθετος με την διεύθυνση της ευθείας που ενώνει τους δύο πόλους της σφαίρας ή να ταυτίζεται με μια διεύθυνση διαμέτρου του ισημερινού κύκλου της σφαίρας. Προβάλουμε όλα τα σημεία της σφαίρας πάνω στον κύλινδρο κατά τις προεκτάσεις των ευθειών τους από το κέντρο της σφαίρας και αναπτύσσουμε τον κύλινδρο σε ένα επίπεδο Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
8 γύρω από μια γενέτειρά του. Ο κύλινδρος επειδή είναι αναπτυκτή επιφάνεια έχει ως συνέπεια τα σημεία να μην έχουν καμιά παραμόρφωση κατά την ανάπτυξή του. Αυτή είναι μια σύμμορφη απεικόνιση της σφαίρας σε ένα επίπεδο. Σχήμα. 6. Εγκάρσια Μερκατορική Προβολή. Στο προβολικό αυτό επίπεδο ιδρύουμε ένα σύστημα ορθογωνίων καρτεσιανών συντεταγμένων με άξονα των να ταυτίζεται με τον μέγιστο κύκλο ε- παφής και ο οποίος προβάλλεται ως ευθεία και άξονα των τον ισημερινό ο οποίος επίσης προβάλλεται ως ευθεία και είναι κάθετος στον άξονα των. Η αρχή του συστήματος είναι η τομή του κεντρικού μεσημβρινού με τον ισημερινό. Αν αντί για σφαίρα χρησιμοποιήσουμε ένα ΕΕΠ τότε για μια ζώνη ο κύλινδρος θα εφάπτεται σε ένα σημείο του κεντρικού μεσημβρινού που στο Ε- ΕΠ δεν είναι κύκλος αλλά έλλειψη. Οι παράλληλοι προβάλλονται ως καμπύλες γραμμές με τα κυρτά να στρέφονται προς τον ισημερινό ενώ οι μεσημβρινοί ως καμπύλες γραμμές με τα κοίλα να στρέφονται προς τον κεντρικό μεσημβρινό και αποκλίνοντας απ αυτόν τόσο όσο περισσότερο απέχουν. Οι σχέσεις με τις οποίες υπολογίζουμε τις συντεταγμένες (ΕΝ στην Μερκατορική προβολή είναι : Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
9 S φ λ λ φ c φ φ c φ 5 t 9η η 6 λ 5 φ c φ 6 58t t 7η t η 5η 7 6 8 6 8 η 68t η 88η 6t η 9t η 8 λ φ c 7 φ 85 t 5t t 6 (. και Ε=Ε +c όπου λ c φ E λ c φ t η 6 5 5 λ c φ 5 8t t η 58t η 6t η t 7 7 6 λ c η 5 φ 6 79t η 79t η t 6 6 (. 5 με c= ή c=5 t t φ η e c λ λ λ φ Για τις συντεταγμένες (φ λ οι σχέσεις υπολογισμού είναι: t φ φ ρ t 5 7ρ 6 E E 8 6 t ρ 6 9t 8 6 66t η 9t η 88η 5t η 8t η 9t η t 8 6 E 85 6t 95t 575t 7 ρ E 5t 5 t 6η η η 5t η 9t η η 8 η 6 (. 6 Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
5 λ λ E 5 6η 8t η 8t η 6 6 t η t η t η ec E E 5 5 7 E 6 t η 6 6 66t t 7t (. 7 όπου ρ Ν οι ακτίνες καμπυλότητας για πλάτος φ και t t φ η e c φ Για τον υπολογισμό της συντεταγμένης Ν η παράμετρος Sφ που εμφανίζεται στη σχέση. είναι το αληθινό μήκος τόξου μεσημβρινού στο ΕΕΠ. Για τις προβολές με παράλληλο αφετηρίας τον ισημερινό (φ=º υπολογίζεται από την από την εξίσωση: φ kφ φ φ 6φ (. 8 S Ενώ για προβολές που δεν έχουν παράλληλο αφετηρίας τον ισημερινό δίνεται από την εξίσωση: S φ k Δφ Δφ cφ Δφ cφ Δφ c6φ (. 9 με Δφ φ φ και φ φ φ Οι παράμετροι και k παίρνουν διαφορετικές τιμές ανάλογα με το ελλειψοειδές αναφοράς. Οι συντελεστές για τα ελλειψοειδή GRS 8 και Beel Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
5 που χρησιμοποιούνται στην Ελλάδα δίνονται στους πίνακες. και. αντίστοιχα. Πίνακας.. Συντελεστές υπολογισμού του μήκους τόξου μεσημβρινού για το ΕΕΠ του GRS 8. k Α Α Α Α 6678.78.65 -.588E- 5.8767E-6 -.5789E-8 Πίνακας.. Συντελεστές υπολογισμού του μήκους τόξου μεσημβρινού για το ΕΕΠ του Beel. k Α Α Α Α 6667.69.67 -.59E- 5.555E-6 -.85E-8.. Τα γεωδαιτικά συστήματα στην Ελλάδα. Στην Ελλάδα χρησιμοποιούνται σήμερα τέσσερα γεωδαιτικά συστήματα. Το παλαιότερο και πιο χρησιμοποιημένο σύστημα είναι το Ελληνικό Dtu σε προβολή Htt. Σε αυτό το σύστημα αναφέρονται τα κτηματογραφικά διαγράμματα της Τοπογραφικής Υπηρεσίας του Υπουργείου Γεωργίας (μικρά φύλλα αλλά και χρησιμοποιήθηκε και από την ΓΥΣ (μεγάλα φύλλα. Λόγω του ότι τα διαγράμματα της Τοπογραφικής Υπηρεσίας αποτελούν μια σημαντική αναφορά για το ιδιοκτησιακό καθεστώς των αγροτεμαχίων και των ρυμοτομικών σχεδίων των αγροτικών περιοχών το συγκεκριμένο γεωδαιτικό σύστημα χρησιμοποιείται αρκετά μέχρι και σήμερα. Το 98 στα πλαίσια της ΕΠΑ (Επιχείρηση Πολεοδομικής Ανασυγκρότησης από το Υπουργείο ΠΕΧΩΔΕ χρησιμοποιήθηκε η προβολή ΤΜ (τρεις ζώνες με αναφορά το Ελληνικό Dtu. Το Ευρωπαϊκό Dtu με την προβολή UTM (δύο ζώνες η οποία χρησιμοποιείται κυρίως από την ΓΥΣ για τις ανάγκες του Στρατού. Το 987 ο Ο.Κ.Χ.Ε. σε συνεργασία με την Γεωδαιτική και Γεωφυσική Επιτροπή του Κράτους (ΓΓΕΚ ίδρυσε ένα νέο γεωδαιτικό σύστημα το ΕΓΣΑ 87 με προβολή την Εγκάρσια Μερκατορική με κεντρικό μεσημβρινό º. Το νέο αυτό σύστημα χρησιμοποιεί ο Οργανισμός Κτηματολογίου και Χαρτογραφήσεων (ΟΚΧΕ. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
5 Στην Ελλάδα χρησιμοποιούνται τρεις παραλλαγές της εγκάρσιας μερκατορικής προβολής.. Η Εγκάρσια μερκατορική προβολή ζώνης (ΤΜ Η προβολή ΤΜ είναι μια παραλλαγή της εγκάρσιας μερκατορικής προβολής. Έχει μέτρο γραμμική παραμόρφωσης ο =.9999 εύρος ζώνης με αναφορά το Ελληνικό Dtu και το ελλειψοειδές του Beel και σταθερή ποσότητα c=. Η αφετηρία των λ είναι ο μεσημβρινός του βάθρου του Αστεροσκοπείου Αθηνών. Ο Ελλαδικός χώρος διαιρείται σε τρεις που είναι :. Η Δυτική με κεντρικό μεσημβρινό λ =-. Η Κεντρική με κεντρικό μεσημβρινό λ =. Η Ανατολική με κεντρικό μεσημβρινό λ = Άξονας των τετμημένων θεωρείται η εφαπτόμενη στον παράλληλο αφετηρίας με φ =.. Η Εγκάρσια μερκατορική μιας ζώνης (ΤΜ 87. Η προβολή ΤΜ 87 χρησιμοποιείται παράλληλα με το νέο Ελληνικό Γεωδαιτικό Σύστημα Αναφοράς (ΕΓΣΑ 87 και το ελλειψοειδές εκ περιστροφής GRS 8 με κεντρικό μεσημβρινό λ= ο και άξονα τετμημένων τον ισημερινό. Το μέτρο γραμμικής παραμόρφωσης είναι =.9996 και η σταθερή ποσότητα c=5. Η προβολή ΤΜ 87 είναι το προβολικό σύστημα που χρησιμοποιείται από τον ΟΚΧΕ για την δημιουργία του Ελληνικού Κτηματολογίου.. Η προβολή UTM. Η UTM στην Ελλάδα εφαρμόζεται σε συνδυασμό με το Ευρωπαϊκό Dtu (ED 5 και το ΕΕΠ του Hfrd. Ο Ελληνικός χώρος περιλαμβάνεται από τις ζώνες και 5 με κεντρικούς μεσημβρινούς λ= ο και λ=7 αντίστοιχα. Το μέτρο γραμμικής παραμόρφωσης είναι ο =.9996 και η σταθερή πο- Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
5 σότητα c=5. Ο άξονας των τετμημένων θεωρείται η εφαπτόμενη στον ι- σημερινό.. Αναγωγή μετρήσεων από την γήινη επιφάνεια στο ΕΕΠ. Αν και η επιφάνεια του ελλειψοειδούς αποτελεί μια καλή προσέγγιση της γήινης επιφάνειας εν τούτοις δεν μπορούμε να αποφύγουμε τις παραμορφώσεις που υφίστανται τα διάφορα μεγέθη που μετρούνται στο πεδίο. Για το λόγο αυτό είμαστε αναγκασμένοι να ανάγουμε πάντα τις παρατηρήσεις του πεδίου στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς. Επειδή οι αναγωγές γωνιών και διευθύνσεων δεν εφαρμόζονται πλέον (παρά μόνο σε συγκεκριμένες περιπτώσεις γιατί οι τριγωνισμοί γίνονται με χρήση GPS στη συνέχεια θα αναφερθούμε μονό στις αναγωγές των αποστάσεων που είναι πιο το πλέον σύνηθες στην Τοπογραφία... Αναγωγή απόστασης. Αν SD η μετρημένη κεκλιμένη απόσταση στον χώρο τότε η αναχθείσα απόσταση στο προβολικό επίπεδο θα δίνεται από τις σχέσεις:. Αναγωγή κλίσης. SD SD (. K Όπου και HD = η οριζόντια απόσταση. Αναγωγή στη χορδή. HD X HD (. R R Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
5 Για αποστάσεις μικρότερες των k η παραπάνω σχέση μπορεί να απλοποιηθεί: X HD HD R (. Όπου. Αναγωγή στο τόξο. T S R X R rc S X Τελικά η απόσταση πάνω στο ελλειψοειδές θα προκύπτει από την αρχική κεκλιμένη απόσταση SD αν προστεθούν οι επιμέρους αναγωγές δηλαδή: S=SD+Δ Κ +Δ Χ +Δ Τ (. Σχήμα. 7. Αναγωγή απόστασης στην επιφάνεια του ελλειψοειδούς. Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
55. Αναγωγή από το ΕΕΠ στο επίπεδο προβολής. Αφού αναχθούμε στο ελλειψοειδές στη συνέχεια απαιτείται να αναχθούμε στο προβολικό επίπεδο. Τα προβολικά συστήματα που χρησιμοποιούνται στην Ελλάδα με τις παραλλαγές τους είναι δύο η εγκάρσια μερκατορική προβολή και η προβολή Htt (βλ. κεφάλαιο... Η αναγωγές των αποστάσεων στο προβολικό επίπεδο είναι απαραίτητες κυρίως για την εγκάρσια μερκατορική προβολή... Αναγωγή απόστασης στην προβολή Htt. Όταν δουλεύουμε στην προβολή Htt τότε λόγω της ιδιότητας της προβολής οι γωνιακές αναγωγές δεν υπερβαίνουν το γι αυτό στην πράξη α- γνοούνται. Οι αποστάσεις ανάγονται σύμφωνα με τον τύπο: S S γ S S (. 6R όπου S η αναχθείσα απόσταση S η απόσταση του ενός από τα σημεία από το κέντρο του φύλου R η μέση ακτίνα Gu υπολογισμένη στο κέντρο φύλλου T και ι ο συντελεστής αναγωγής της απόστασης... Αναγωγή απόστασης στην Εγκάρσια Μερκατορική προβολή (Trvere Merctr ΤΜ Στην Εγκάρσια Μερκατορική προβολή οι αναγωγές των μετρούμενων αποστάσεων είναι απαραίτητες λόγω των μεγάλων τιμών παραμόρφωσης κυρίως στα άκρα του φύλλου. Η αναχθείσα απόσταση S δίνεται από την σχέση : S= S (. 5 Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9
56 όπου ο συντελεστής αναγωγής και υπολογίζεται από τις προβολικές συντεταγμένες: E EE E E EE E (. 6 6 R 6 R όπου R η ακτίνα που υπολογίζεται στο μέσο πλάτος. Στις συνήθεις τοπογραφικές εφαρμογές η χρήση της εξίσωσης.6 είναι περιττή προτιμότερο είναι να χρησιμοποιηθεί η απλοποιημένη σχέση.7 E (. 7 R Όπου E ένα μέσο E της περιοχής μελέτης Συμεών Κατσουγιαννόπουλος Σέρρες Σεπτέμβριος 9