Kεφάλαιο 10 Θα δούµε ένα δύο παραδείγµατα να ορίσουµε/ µετρήσουµε τα υποπαίγνια και µετά θα λύσουµε και να βρούµε αυτό που λέγεται τέλεια κατά Nash ισορροπία. Εδώ θα δούµε ένα παίγνιο όπου έχουµε µια επιχείρηση η οποία αποφασίζει µεταξύ του να εισαγάγει ένα νέο προϊόν ή όχι. Και κατόπιν αποφασίζει αν θα κάνει διαφήµιση του προϊόντος οποιοδήποτε είναι αυτό, το παλιό ή το καινούριο, ή όχι. Η επιχείρηση Β δεν παρατηρεί την απόφαση της επιχείρησης Α σε σχέση µε την διαφήµιση αλλά ξέρει αν έχει εισαγάγει ένα νέο προϊόν ή όχι στην αγορά. Και παίρνει απόφαση µεταξύ διαφήµιση ή όχι. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ πέρα; 2 υποπαίγνια. 133
Γιατί το κοµµάτι. δεν αποτελεί υποπαίγνιο; Ποια συνθήκη από τις τρεις δεν πληρείται; Ότι το υποπαίγνιο πρέπει να ξεκινάει από ένα κόµβο µε ένα µόνο στοιχείο. Στο κόµβο αυτό έχουµε δύο στοιχεία πληροφόρησης. Άρα δεν µπορούµε να το θεωρήσουµε ως δύο υποπαίγνια το διπλανό. Σε αυτό το παίγνιο όταν θέλει κανείς να εφαρµόσει οπισθογενή επαγωγή όπως βλέπουµε δεν µπορεί να εφαρµοστεί βήµα προς βήµα. Θέλει κάτι παραπάνω. Γιατί; 134
ιότι στο Ο παίκτης Β πρέπει να πάρει µια απόφαση και στο ένα και στον άλλο κόµβο. Οπότε δεν µπορούµε να ξεκινήσουµε από το και να πούµε (διαφήµιση ή ΟΧΙ) και (διαφήµιση ή ΟΧΙ) και να πάµε πίσω ένα βήµα. Πρέπει να αποµονώσουµε όλο το υποπαίγνιο (1) και (2), να το αναλύσουµε από µόνο του και µετά να προχωρήσουµε προς τα πίσω. Τώρα στο ίδιο παίγνιο, αν σκεφτούµε ότι η επιχείρηση Β δεν ξέρει τίποτα: δεν µπορεί να διακρίνει αν έχει εισαχθεί ένα καινούριο προϊόν από την επιχείρηση Α ούτε αν έχει κάνει διαφήµιση ή όχι. Τι θα συµβεί; Πόσα υποπαίγνια θα υπάρχουν τώρα σε αυτό το παίγνιο; 135
εν υπάρχει κανένα υποπαίγνιο. Βασικά τι γίνεται; Προχωράει το υποπαίγνιο πάει κάπου. Μπορεί να πάει σε ένα από τους τέσσερις κόµβους: ο Β όµως δεν ξέρει που έχει φτάσει. Άρα δεν µπορεί να ξεχωρίσει µεταξύ των τεσσάρων κόµβων. Άρα οι τέσσερις κόµβοι ανήκουνε στο ίδιο σύνολο πληροφόρησης και γι αυτό το λόγο 136
δεν υπάρχει κανένα υποπαίγνιο, εφόσον τώρα αυτή η συνθήκη που δεν πληρείται είναι η τρία: τέµνει ένα σύνολο πληροφόρησης. (Στο πιο πάνω υποπαίγνιο ο Β δεν ξέρει ούτε αν η επιχείρηση Α εισήγαγε ή όχι το νέο προϊόν ούτε αν έκανε διαφήµιση ή όχι). Ένα άλλο σενάριο του πιο πάνω παιγνίου είναι ότι ο Β ξέρει αν ο Α έχει εισαγάγει ένα νέο προϊόν ή όχι αλλά ο ίδιος ο Α το ξεχνάει: Πάλι εδώ δεν υπάρχει κανένα υποπαίγνιο. Ας δούµε τώρα κάτι άλλο. Ο Α αποφασίζει µεταξύ του να εισέλθει στην αγορά ή όχι. Η φύση κινείται και εκλέγει µεταξύ υψηλής ζήτησης ή χαµηλής ζήτησης. 137
Β Ο Β ξέρει αν είναι υψηλή ή χαµηλή η ζήτηση δηλαδή µπορεί να διακρίνει µεταξύ υψηλής και χαµηλής ζήτησης. Αλλά αυτό που δεν ξέρει είναι αν έχει εισέλθει στην αγορά ο Α. Άρα πρέπει να πάρει τις αποφάσεις του γνωρίζοντας µόνο την κατάσταση ζήτησης. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουνε σε αυτό το υποπαίγνιο; εν υπάρχει κανένα υποπαίγνιο. Γιατί; Βλέπουµε ότι το υποπαίγνιο δεν µπορεί να ξεκινάει από τους κόµβους που παίρνει απόφαση ο Β γιατί περιέχουν δύο κόµβους το κάθε σύνολο πληροφόρησης. Οπότε οι µόνες περιπτώσεις που µένουνε είναι να ξεκινάει από τους κόµβους που κινείται η τύχη, είτε από τον 1 είτε από το 2. 138
Το δεν αποτελεί υποπαίγνιο γιατί τέµνει σύνολο πληροφόρησης. Και µάλιστα τέµνει δύο σύνολα πληροφόρησης. Οπότε αυτό δεν είναι υποπαίγνιο. Ορισµός: Τέλεια Ισορροπία (κατά Nash) Υποπαιγνίων: είναι µια ισορροπία κατά Nash του παιγνιδιού του αρχικού που είναι επίσης ισορροπία κατά Nash σε κάθε ένα από τα υποπαίγνια. Απορία: ηλαδή αν έχουµε δύο υποπαίγνια η ίδια ισορροπία είναι και στα δύο υποπαίγνια; ΟΧΙ, η ίδια ισορροπία. Η ισορροπία κατά Nash είναι ένα πλήρες σχέδιο γιατί αποτελείται από στρατηγικές κάθε µια από τις οποίες είναι ένα πλήρες σχέδιο. Αυτό το πλήρες σχέδιο µας δίνει ακριβώς τη λύση σε κάθε υποπαίγνιο. Άρα για να δούµε τι σηµαίνει το δεύτερο µέρος του ορισµού θα πάρουµε από την ισορροπία το αντίστοιχο κοµµάτι που έχει σχέση µε το υποπαίγνιο και θα δούµε αν είναι µια ισορροπία κατά Nash σ αυτό το υποπαίγνιο. Αλλά δεν είναι το ίδιο. Απλώς το κοµµάτι που αντιστοιχεί σε ένα υποπαίγνιο αποτελεί ισορροπία στο υποπαίγνιο. 139
Επαναλαµβάνουµε: Είπαµε ότι µια στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο. Άρα µια ισορροπία κατά Nash είναι ένα διάνυσµα στρατηγικών που κάθε µια είναι ένα πλήρες σχέδιο. Παίρνουµε λοιπόν µια ισορροπία κατά Nash του αρχικού παιγνίου. Αυτή η ισορροπία κατά Nash µας λέει ακριβώς τι θα γίνει σε κάθε κόµβο. Απορία: Η ισορροπία που παίρνουµε είναι η τέλεια ισορροπία; Παίρνουµε µια ισορροπία κατά Nash κατά τύχη και λέµε είναι αυτή τέλεια ισορροπία κατά Nash; Για να είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash πρέπει το κοµµάτι που αντιστοιχεί σε κάθε υποπαίγνιο να είναι γι αυτό το υποπαίγνιο µια ισορροπία κατά Nash. Σε κάθε ένα από τα υποπαίγνια. ηλαδή ο ορισµός της τέλειας ισορροπίας υποπαιγνίων απαιτεί κάτι παραπάνω. εν φτάνει να είναι µόνο ισορροπία κατά Nash. Πρέπει να είναι ισορροπία κατά Nash σε κάθε ένα υποπαίγνιο. Πιο επίσηµος ορισµός µπορούµε να πούµε είναι ότι: η προβολή της ισορροπίας κατά Nash πάνω στα υποπαίγνια είναι η ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Προβολή σηµαίνει ότι παίρνουνε ένα κοµµάτι από το διάνυσµα, το κοµµάτι που αντιστοιχεί στο υποπαίγνιο. Σε κάθε υποπαίγνιο δεν θα έχουµε την ίδια ισορροπία κατά Nash. Μια ισορροπία κατά Nash περιγράφει σε κάθε κόµβο τι θα συµβεί. Γιατί; Γιατί κάθε στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο. Άρα όταν έχουµε δύο στρατηγικές κάθε µια περιγράφει πλήρως τι θα κάνει κάθε ένας από τους δύο παίχτες. Άρα ξέρουµε σε κάθε κόµβο τι θα συµβεί. Αλλά µια ισορροπία κατά Nash δεν µας λέει µόνο τι θα συµβεί στο σηµείο που θα προχωρήσουµε το παίγνιο αλλά παντού. Άρα, παίρνουµε, λοιπόν, το αντίστοιχο κοµµάτι της στρατηγικής (αντίστοιχο σε κάθε ένα από τα υποπαίγνια) και βλέπουµε αν σε κάθε ένα από αυτά τα υποπαίγνια αυτό το κοµµάτι το αντίστοιχο της στρατηγικής είναι ισορροπία κατά Nash. Η προβολή της ισορροπίας κατά Nash στα υποπαίγνια είναι ισορροπία κατά Nash στο συγκεκριµένο υποπαίγνιο. Και αυτό είναι πολύ σηµαντικό. Κάθε στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο. Αν δεν ήτανε ένα πλήρες σχέδιο δεν θα µπορούσαµε να δώσουµε ένα τέτοιο ορισµό. Τι σηµαίνει τώρα αυτό; Μπορεί ένα παίγνιο να είναι πολύ πολύπλοκο και να έχει άπειρα υποπαίγνια. Προφανώς, ελάχιστα από αυτά θα παιχτούνε στην διαδροµή ισορροπίας. Όλα τα υπόλοιπα θα είναι εκτός της διαδροµής της ισορροπίας. Θα προχωρήσει το παίγνιο θα πάρει ο ένας απόφαση, θα πάρει ο άλλος απόφαση θα σταµατήσει κάπου. Όλα τα άλλα τα υποπαίγνια που είναι εκτός ισορροπίας είναι σαν να είναι άσχετα µε την εικόνα. Και όµως δεν πρέπει να είναι άσχετα. Πρέπει σε κάθε ένα από αυτά τα υποπαίγνια, το κοµµάτι της στρατηγικής που αντιστοιχεί από την ισορροπία κατά Nash που εξετάζουµε να είναι επίσης ισορροπία κατά Nash. Βέβαια στα απλά παίγνια τα οποία έχουµε δει µέχρι τώρα αυτό δεν είναι τίποτα άλλο παρά η οπισθογενής επαγωγή. 140
Και θα δούµε αµέσως τι σηµαίνει αυτό στο απλό παίγνιο το οποίο έχουµε δει παλιότερα. Έχουµε δυο επιχειρήσεις: ο Ε που είναι δυνάµει εισερχόµενος και ο Μ που είναι ο µονοπωλητής Ο µονοπωλητής είτε µπορεί να αποδεχτεί τον δυνάµει εισερχόµενο είτε να του κάνει πόλεµο τιµών. Ποια είναι τα υποπαίγνια αυτού του παιγνίου; Έχουµε µόνο ένα υποπαίγνιο. Ας πάρουµε λοιπόν τώρα µια στρατηγική κατά Nash. Αυτή η στρατηγική κατά Nash είναι η εξής. Απορία: Από τη στιγµή που ο δυνάµει εισερχόµενος (Ε) εισέλθει δεν ξέρουµε ότι ο µονοπωλητής θα τον αποδεχτεί; Ναι, αλλά χρησιµοποιήσαµε κάτι το οποίο ονοµάσαµε οπισθογενής επαγωγή. Και είπαµε ότι αυτή η οπισθογενής επαγωγή µας δίνει µια ισορροπία. Εµείς τώρα αυτό που θα δούµε είναι ότι η οπισθογενής επαγωγή θα µας δώσει την τέλεια ισορροπία κατά Nash. Γιατί η τέλεια ισορροπία κατά Nash έχει πολύ πιο γενικό ορισµό από την οπισθογενή επαγωγή. Σε αυτό το παίγνιο υπάρχει προφανώς ένα υποπαίγνιο. Και σε αυτό το υποπαίγνιο παίζει ένας µόνο παίκτης ο µονοπωλητής: 141
Και ο µονοπωλητής δεδοµένου ότι εισέλθει η εταιρεία στον κλάδο θα την αποδεχτεί (40, 50). Οπότε ξέρουµε ότι σε αυτό το υποπαίγνιο Αποδοχή είναι η ισορροπία κατά Nash. Το πιο πάνω υποπαίγνιο, είναι ένα υποπαίγνιο µε ένα µόνο παίχτη: το µονοπωλητή. Τι σηµαίνει τώρα αυτό: ένα υποπαίγνιο µε ένα παίχτη; Ποια ισορροπία κατά Nash έχουµε; Είναι η στρατηγική που µεγιστοποιεί τα κέρδη ( Θεωρία Αποφάσεων). Μπορεί το υποπαίγνιο να είναι κάτι περίπλοκο, να είναι µια ολόκληρη αλληλουχία αποφάσεων. Αλλά αφού έχει ένα παίκτη η λύση είναι η αλληλουχία αποφάσεων που µεγιστοποιεί το (αναµενόµενο) κέρδος του παίκτη. Οπότε αναλύσαµε το υποπαίγνιο και βάλαµε στη θέση του τη βέλτιστη απόφαση του παίκτη (αργότερα θα δούµε των παικτών), τα αποτελέσµατα που έχει η βέλτιστη απόφαση (40, 50) Κόψαµε το δέντρο εξαφανίστηκε το υποπαίγνιο: και πάµε ένα βήµα πιο µπροστά και βρίσκουµε την απόφαση της εταιρείας που είναι να εισέλθει ή όχι. Και βλέπουµε ότι η εταιρεία αυτή θα εισέλθει γιατί 40 > 0. Οπότε (Είσοδος, Αποδοχή) είναι η ισορροπία κατά Nash που είναι επίσης ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. 142
µορφής: Τώρα αυτό το παίγνιο µπορούµε να το παραστήσουµε σε µορφή µήτρας 2 2, της πιο κάτω (Ε) (Μ) Αποδοχή Πόλεµος Τιµών Είσοδος 40. 50-10. 0 όχι 0. 100 0. 100 Και βλέπουµε ότι σε αυτό το υποπαίγνιο υπάρχουνε δύο ισορροπίες κατά Nash: (Είσοδος, Αποδοχή) (40, 50) (Όχι, Πόλεµος Τιµών) (0, 100) Όπως βλέπουµε η δεύτερη ισορροπία (όχι, πόλεµος τιµών) δεν µπορεί να είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. Γιατί; ιότι το κοµµάτι που αντιστοιχεί στο υποπαίγνιο που είναι πόλεµος τιµών δεν είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Άρα είπαµε ότι έχουµε δύο ισορροπίες. Η ισορροπία (Είσοδος, Αποδοχή) είναι εντάξει γιατί την βγάλαµε και από την οπισθογενή επαγωγή και είναι αυτή που είναι η τέλεια ισορροπία κατά Nash. Για να εξετάσουµε την (Όχι, Πόλεµος τιµών). Αυτή η ισορροπία µας λέει ότι δεν µπαίνει µέσα η εταιρεία και ο µονοπωλητής κάνει πόλεµο τιµών. Και λέµε: «πάµε να δούµε τι συµβαίνει στο υποπαίγνιο»; Στο υποπαίγνιο αυτό: κινείται µόνο ο µονοπωλητής/ αποφασίζει ο µονοπωλητής. Τι απόφαση θα πάρει; Ο πόλεµος τιµών δεν είναι ισορροπία κατά Nash καθώς 0 < 50. Άρα προφανώς δεν θα πάρει µια τέτοια απόφαση. Άρα το (όχι, πόλεµος τιµών) δεν µπορεί να είναι µια τέλεια ισορροπία κατά Nash. 143
Θα µπορούσαµε να γράψουµε: Έχουµε δύο υποπαίγνια, τα αποµονώνουµε και βρίσκουµε για το καθένα την ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Πάλι το ίδιο αποτέλεσµα θα έχουµε. Ό,τι η τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων είναι η (40, 50) (Είσοδος, Αποδοχή). Γιατί το (πόλεµος τιµών) δεν είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο; Γιατί το (Όχι, πόλεµος τιµών) δεν είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. Και σύµφωνα µε τον ορισµό το κοµµάτι (πόλεµος τιµών) που είναι η προβολή της ισορροπίας πάνω στο υποπαίγνιο δεν είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Άρα το (πόλεµος τιµών) δεν είναι επίσης ισορροπία κατά Nash σε κανένα από τα υποπαίγνια. Απορία: Η ισορροπία κατά Nash δεν είναι µόνο η (αποδοχή) για το υποπαίγνιο; Αφού µια είναι η απόφαση του υποπαιγνίου; Όταν υπάρχει ένας µόνο παίχτης το υποπαίγνιο είναι αντίστοιχο µε τη βέλτιστη απόφαση του παίχτη. Άρα είναι µόνο η αποδοχή. Απορία: Τότε γιατί βάζουµε (Ε, αποδοχή) αφού η είσοδος είναι εκτός του υποπαιγνίου; Το (όχι, πόλεµος τιµών) είναι ισορροπία κατά Nash. Παίρνουµε το µέρος της ισορροπίας κατά Nash που είναι σχετικό µε το υποπαίγνιο. Και διερωτόµαστε. Αυτό το µέρος της ισορροπίας κατά Nash που είναι σχετικό µε το υποπαίγνιο είναι ισορροπία κατά Nash και για το υποπαίγνιο; Και λέµε ΟΧΙ. Αφού δεν είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο δεν µπορεί να είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων. 144
Απορία: Ο λόγος που το (ΟΧΙ, πόλεµος τιµών) δεν είναι ισορροπία στο υποπαίγνιο δεν είναι λόγω του ότι χρησιµοποιούµε την οπισθογενή επαγωγή; Τα δύο πράγµατα βασικά είναι ισοδύναµα. Αλλά τώρα προσπαθούµε να εξηγήσουµε πως εφαρµόζεται ο ορισµός που δώσαµε για την τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων, πάνω σε πράγµατα που έχουµε ήδη κάνει. Τότε τι παραπάνω µας προσφέρει αυτός ο ορισµός; Με την οπισθογενή επαγωγή δεν µπορούσαµε να λύσουµε εύκολα το παίγνιο που θα δούµε στη συνέχεια. (η µάχη των φύλων). Το παίγνιο: έχει µόνο ένα υποπαίγνιο. *Ολόκληρο το παίγνιο δεν είναι υποπαίγνιο εξ ορισµού* Αν ήταν ολόκληρο το παίγνιο υποπαίγνιο τότε θα είχαµε δύο υποπαίγνια. Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να ελέγξουµε αν µια ισορροπία είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Επίσης µπορούµε να κατασκευάσουµε µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων, αναλύοντας ένα-ένα τα υποπαίγνια, και συνθέτοντας την ισορροπία κατά Nash. ηλαδή µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων είναι και ισορροπία κατά Nash. To ανάποδο δεν ισχύει π. χ (όχι, πόλεµος τιµών) είναι ισορροπία κατά Nash, αλλά όχι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Σηµείωση: η µέθοδος που ακολουθήσαµε είναι να προβάλουµε την ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Τι σηµαίνει προβάλουµε; Παίρνουµε µόνο τα σηµεία /τα κοµµάτια που έχουνε σχέση µε το υποπαίγνιο. Άρα από την ισορροπία (όχι, πόλεµος τιµών) αυτό που έχει σχέση µε το υποπαίγνιο είναι ο πόλεµος τιµών. 145
Το (όχι, αποδοχή) δεν είναι καν ισορροπία κατά Nash άρα ούτε και τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων µπορεί να είναι. Εµείς αυτό που κάνουµε είναι: δεδοµένου ότι το (όχι, πόλεµος τιµών) είναι ισορροπία κατά Nash, στο υποπαίγνιο κοιτάζουµε µόνο το πόλεµος τιµών). *τέλεια ισορροπία κατά Nash είναι ένας εκλεπτυσµός (refinement). Σηµαίνει ότι µπαίνουµε σε ένα σύνολο πραγµάτων και από αυτό το σύνολο παίρνουµε αυτό που είναι το πιο λογικό.* Ας δούµε τώρα το παίγνιο µε την µάχη των φύλων. Ποια είναι τα υποπαίγνια εδώ; Εδώ έχουµε δύο υποπαίγνια. Ποια είναι η ισορροπία κατά Nash κάθε ένα από τα υποπαίγνια; Στο 1 ο υποπαίγνιο η ισορροπία κατά Nash είναι το Τ και στο 2 ο υποπαίγνιο η ισορροπία κατά Nash είναι το Χ. Πάµε τώρα σε ολόκληρο το παίγνιο. εδοµένου µε το τι συµβαίνει στο υποπαίγνιο βλέπουµε ότι θα οδηγηθούµε στο (X, X). H ισορροπία κατά Nash είναι (X, TX). Γιατί το (X, TX) είναι µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; ιότι το ΤΧ είναι ισορροπίες κατά Nash στα δύο υποπαίγνια. Μπορούµε επίσης να δούµε γιατί τα υπόλοιπα που είναι ισορροπίες κατά Nash, δεν είναι ισορροπίες υποπαιγνίων. 146
Το (Χ, ΤΧ) είναι δύο πράγµατα: είναι η λύση που προκύπτει από την οπισθογενή επαγωγή και είναι επίσης και µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. Και είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων γιατί το κοµµάτι το αντίστοιχο σε κάθε υποπαίγνιο που είναι το Τ και το Χ, είναι ισορροπίες κατά Nash, στα αντίστοιχα υποπαίγνια. Στα υποπαίγνια το Τ και το Χ αντίστοιχα είναι οι ισορροπίες. Γιατί στην ισορροπία κατά Nash για τον άντρα βάλαµε [(Χ, ΤΧ)] ΤΧ και όχι µόνο Χ; ιότι έχουµε δύο υποπαίγνια. Το (Χ, ΤΧ) είναι µια τέλεια ισορροπία κατά Nash (Χ για την γυναίκα και ΤΧ για τον άντρα). Γιατί είναι τέλεια ισορροπία κατά Nash; ιότι το Τ που είναι η προβολή της ισορροπίας κατά Nash στο 1 ο παίγνιο είναι η ισορροπία κατά Nash στο 1 ο παίγνιο. Το αντίστοιχο συµβαίνει και µε το Χ που είναι η προβολή της ισορροπίας κατά Nash στο 2 ο παίγνιο και είναι η ισορροπία κατά Nash στο 2 ο υποπαίγνιο. Επιστρέφουµε τώρα στο παίγνιο που είδαµε προηγουµένως µε τις δύο επιχειρήσεις όπου η επιχείρηση Α αποφασίζει αρχικά αν θα εισάγει ή όχι ένα νέο προϊόν 147
Εδώ τώρα η οπισθογενής επαγωγή τι θα µας κάνει; εν µπορούµε να την χρησιµοποιήσουµε άµεσα οπότε πρέπει να βρούµε κάτι το οποίο είναι ουσιαστικά η γενίκευση της οπισθογενούς επαγωγής. Τι κάνουµε τώρα εδώ πέρα. Αυτό που πρέπει να κάνουµε εδώ είναι να βρούµε τα δύο υποπαίγνια, να τα αποµονώσουµε και να τα λύσουµε. (*δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε οπισθογενή επαγωγή γιατί ο Β αντιµετωπίζει αβεβαιότητα αναφορικά µε το αν ο Α έκανε διαφήµιση ή όχι. Οπότε ο Β πρέπει να πάρει την ίδια απόφαση είτε ο Α έκανε διαφήµιση είτε όχι. Πρέπει να πάρει µια απόφαση, είτε θα κάνει διαφήµιση είτε όχι. εν µπορεί να πάρει διαφορετική απόφαση στους δύο κόµβους που βρίσκονται µέσα στο ίδιο σύνολο πληροφόρησης: 148
Οπότε αυτό που χρειαζόµαστε βασικά είναι να αποµονώσουµε τα υποπαίγνια να βρούµε τις ισορροπίες κατά Nash στο υποπαίγνιο και από εκεί και πέρα να προχωρήσουµε προς τα πίσω. (Ι) Υποπαίγνιο: Ποια είναι η ισορροπία κατά Nash σε αυτό το υποπαίγνιο; Τι είναι το (Ι) υποπαίγνιο; Είναι ταυτόχρονο άρα µπορούµε να το εκφράσουµε σε µια µήτρα 2 2. Παίρνουµε, λοιπόν, το (Ι) υποπαίγνιο, το αποµονώνουµε και έχουµε: Α Β ιαφήµιση όχι ιαφήµιση 2, 1 14, 0 όχι 0, 7 10, 5 Η στρατηγική όχι για τον Β είναι αυστηρά κυριαρχούµενη 0 < 1 5 < 7 Άρα ο Β ποτέ δεν θα επιλέξει την στρατηγική όχι. Επίσης το όχι είναι κυριαρχούµενη στρατηγική για τον Α 0 < 2, 10 < 14 Άρα προκύπτει µια µόνο ισορροπία σε αυστηρά κυρίαρχες στρατηγικές (2, 1). Άρα έχουµε αµέσως την ισορροπία (, ) (2, 1) στο υποπαίγνιο (Ι). Άρα µπορούµε να αντικαταστήσουµε όλο το υποπαίγνιο µε (2, 1). 149
Όµως πρέπει να έχουµε υπόψη µας ότι το (, ) είναι κοµµάτι στρατηγικής και πρέπει µετά όταν συνθέτουµε την στρατηγική ισορροπίας να µπει αυτό το κοµµάτι µέσα. (ΙΙ) Υποπαίγνιο: Για να λύσουµε τώρα το δεύτερο υποπαίγνιο. Απορία: Το (2, 1) που βρήκαµε πιο πάνω αφού δεν περιλαµβάνεται στο δεύτερο υποπαίγνιο, µπορούµε να πούµε ότι δεν είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων; ΟΧΙ. Αυτό που θέλουµε να κάνουµε, είναι να πάρουµε µια ισορροπία κατά Nash, να πάρουµε την προβολή της πάνω σε ένα υποπαίγνιο και να δούµε αν η προβολή της στο υποπαίγνιο είναι ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο. Τι σηµαίνει προβολή; Παίρνουµε το κοµµάτι που έχει σχέση µε το υποπαίγνιο. εν είναι ανάγκη να έχουµε το ίδιο αποτέλεσµα από τα διάφορα υποπαίγνια. Η προβολή είναι κοµµάτι της ισορροπίας). Το υποπαίγνιο (ΙΙ) µπορούµε να το παραστήσουµε σε µορφή µήτρας 2 2: Α Β ιαφήµιση όχι ιαφήµιση ½, ½ 2,0 Όχι 0, 2 1, 1 Το όχι είναι αυστηρά κυριαρχούµενη στρατηγική και για τον Β και για τον Α, γιατί ½ > 0 2 > 1 Οπότε έχουµε πάλι µια ισορροπία που είναι η (, ) (½, ½) 150
Οπότε ξέρουµε ότι αυτό το υποπαίγνιο έχει και αυτό µια ισορροπία σε αυστηρά κυριαρχούµενες στρατηγικές και άρα κατά Nash, µε αποτέλεσµα (½, ½). Και σε αυτή την περίπτωση, µπορούµε να κόψουµε το δέντρο και να βάλουµε στην άκρη του το αποτέλεσµα που είναι (½, ½). Οπότε συνολικά θα έχουµε: Άρα ποια είναι τώρα η τέλεια ισορροπία κατά Nash όλου του παιγνίου; [ ( Nέ ο,, ) ; (, ) ] 14243 4 123 Α Β Προσοχή! Ο Α παίρνει αποφάσεις σε τρία σύνολα πληροφόρησης /τρεις κόµβους (Νέο, ιαφ., ιαφ.). Και ο Β παίρνει αποφάσεις σε δύο σύνολα πληροφόρησης (, ). Αυτό συµβαίνει γιατί οποιαδήποτε στρατηγική είναι ένα πλήρες σχέδιο. Και η στρατηγική στην ισορροπία προφανώς είναι ένα πλήρες σχέδιο. Άρα η στρατηγική ισορροπίας πρέπει να προσδιορίζει µια επιλογή σε κάθε κόµβο 151
Το Νέο προσδιορίζει την επιλογή της Α στον κόµβο α. Το στον κόµβο b και το στον κόµβο C. Ο Β έχει δύο σύνολα πληροφόρησης. Το d και e όπου οι επιλογές του σε αυτά τα δύο σύνολα πληροφόρησης είναι (, ). Άρα η στρατηγική (Ν,, ) που παίκτη Α και η στρατηγική (, ) του παίκτη Β είναι µια τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαίγνιων. Αυτό που έχει σηµασία είναι ότι η προβολή της ισορροπίας [(Ν,, ) ; (, )] σε κάθε υποπαίγνιο αποτελεί µια ισορροπία κατά Nash. Για να προλάβουµε αυτή την ισορροπία στο υποπαίγνιο (Ι). Ποια είναι η προβολή της ισορροπίας για το υποπαίγνιο (Ι); [(Ν,, ) ; (, )] (, ) είναι η ισορροπία στο υποπαίγνιο (Ι). Τώρα ποια είναι η προβολή του [(Ν,, ) ; (, )] στο υποπαίγνιο (ΙΙ); [(Ν,, ) ; (, )] (, ) αποτελεί µια ισορροπία κατά Nash στο υποπαίγνιο (ΙΙ). Άρα είµαστε σωστοί. 152
Άρα όλο το [(Ν,, ) ; (, )] που περιγράψαµε είναι µια τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων. (Για να είναι τέλεια ισορροπία υποπαιγνίων πρέπει να είναι ισορροπία κατά Nash σε κάθε υποπαίγνιο, είτε το υποπαίγνιο παίζεται κάποτε κατά µήκος του δρόµου ισορροπίας του παιγνίου, είτε δεν παίζεται). Τώρα αν έχουµε δύο ισορροπίες κατά Nash σε ένα υποπαίγνιο τι κάνουµε; ηλαδή έστω ότι είχαµε: Πόσες ισορροπίες κατά Nash θα είχατε; 4 ισορροπίες κατά Nash (2 2=4). Παίρνουµε µια οποιαδήποτε από αυτές τις ισορροπίες υποπαιγνίων και την βάζουµε στην µεγάλη ισορροπία κατά Nash του παιγνίου. Θα µπορούσαµε στη θέση της να είχαµε βάλει την άλλη ισορροπία. Οπότε αν έχουµε δύο ισορροπίες κατά Nash στο πάνω υποπαίγνιο και δύο ισορροπίες κατά Nash στο κάτω υποπαίγνιο, ο αριθµός των τέλειων ισορροπιών κατά Nash είναι 2 2=4. Είναι όλοι οι συνδυασµοί. 153
Εδώ έχουµε δύο παίχτες. Ο παίκτης Ι κινείται και εκλέγει µεταξύ µηδέν και ένα. Ο παίκτης ΙΙ γνωρίζοντας την απόφαση του Ι επιλέγει µεταξύ µηδέν και ένα. Στη συνέχεια ο Ι ξανά, χωρίς όµως να ξέρει την απόφαση του ΙΙ αλλά θυµούµενος τη δική του παίρνει απόφαση µεταξύ µηδέν και ένα. Αν το άθροισµα των αριθµών είναι µηδέν ή ζυγός πληρώνει ο Ι τον ΙΙ. Άρα ο Ι πληρώνει τον ΙΙ όποτε το άθροισµα των τριών επιλογών είναι µηδέν ή ζυγός. Και όταν το άθροισµα των επιλογών είναι µονός αριθµός πληρώνει ο ΙΙ τον Ι. Αυτό είναι το παίγνιο. Πόσα υποπαίγνια υπάρχουν εδώ; ύο υποπαίγνια. Άρα µπορούµε να τα αποµονώσουµε και να δούµε τι συµβαίνει. 154
(Α) Υποπαίγνιο: Έχουµε ταυτόχρονη επιλογή άρα µήτρα: I II p 0 1-p 1 q 0-1, 1 1, -1 1-q 1 1, -1-1, 1 Ποιες είναι οι ισορροπίες κατά Nash αυτού του υπoπαιγνίου; Σε αµιγείς στρατηγικές δεν έχουµε καµιά ισορροπία. Το ίδιο συµβαίνει και µε το υποπαίγνιο. (Β). (Β) Υποπαίγνιο I II 0 1 0 1, -1-1, 1 1-1, 1 1, -1 όπως στο (Α) απλώς αλλάζουν οι ρόλοι. Ο παίκτης Ι είναι ο ΙΙ και το αντίστροφο. Άρα εδώ τι κάνουµε; Καταφεύγουµε σε µεικτές στρατηγικές. Χρειάζεται να τις υπολογίσουµε ή την ξέρουµε εξ αρχής. Για το παίγνιο (Α) η στρατηγική/ η ισορροπία κατά Nash είναι: [(0, 1; ½, ½);(0, 1; ½, ½)] (0, 0) Αποτέλεσµα/ αναµενόµενα κέρδη: 1 1 (1) + ( 1) = 0 2 2 (* Μπορούσαµε να το λύσουµε µε εξίσωση κερδών, αλλά επειδή είναι συµµετρικό βάλαµε το αποτέλεσµα απ ευθείας). Για το παίγνιο (Β) η ισορροπία κατά Nash είναι: [(0, 1; ½, ½);(0, 1; ½, ½)] (0, 0) 155
Για να δούµε τι γίνεται τώρα σε όλο το παίγνιο: Πόσες τέλειες ισορροπίες κατά Nash υπάρχουν εδώ; Βρήκαµε τις ισορροπίες κατά Nash σε κάθε υποπαίγνιο. Τώρα ζητάµε τις τέλειες ισορροπίες κατά Nash υποπαιγνίων για όλο το παίγνιο. Μια έχει απάνω και µια από κάτω. Τι θα κάνει ο παίχτης Ι; Ο παίκτης Ι είναι αδιάφορος άρα υπάρχουν άπειρες ισορροπίες. Ο Ι είναι αδιάφορος µεταξύ του να πει 0 ή 1. Άρα είναι αδιάφορος µεταξύ οποιουδήποτε συνδυασµού του µηδέν και του ένα. Άρα οποιαδήποτε µεικτή στρατηγική του Ι στην οποία βάζουµε κάποια πιθανότητα θετική ή και µηδέν σε οποιαδήποτε από τις αµιγείς στρατηγικές του είναι βέλτιστη απάντηση. Ποια θα είναι λοιπόν η τέλεια ισορροπία κατά Nash υποπαιγνίων; παίκτης Ι 6444444444 7444444444 8 [{( 0,1 ; p, (1 p) )( 0, 1, ; 1/ 2, 1/ 2)( 0, 1, ; 1/ 2, 1/ 2) }], [{(,1 ; 1/ 2, 1/ 2),( 0, 1, ; 1/ 2, 1/ 2) }] 0, 0# p# 1 14444 44 2444444 3 παίκτης ΙΙ αυτή είναι µια φόρµουλα που µας δίνει όλες τις ισορροπίες. Επειδή το p µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ 0 και 1, οι ισορροπίες είναι άπειρες. Μπορεί επίσης να υπάρχουν και άπειρες ισορροπίες επειδή κάποιος από τους παίκτες ήταν αδιάφορος σε κάποιο υποπαίγνιο. Απορία: Οπότε έχουµε µεικτές στρατηγικές θα έχουµε και άπειρες λύσεις; Όχι πάντα. Π. χ αν αποκλείαµε τον παίκτη Ι στον κόµβο α, από του να ακολουθήσει µια µεικτή στρατηγική, τότε πόσες ισορροπίες θα είχαµε; 156
Θα είχαµε δύο τέλειες ισορροπίες υποπαιγνίων, αν απαγορευόταν στον παίκτη Ι να κάνει τυχαία επιλογή µεταξύ µηδέν και ένα. π. χ Αν το παιγνίδι ήταν: τότε θα είχαµε µία και µοναδική ισορροπία κατά Nash. Στο ο παίκτης Ι είναι αδιάφορος µεταξύ του να εκλέξει µηδέν και ένα. Άµα είναι αδιάφορος σηµαίνει ότι µπορεί να εκλέξει µηδέν, ένα ή οποιαδήποτε συνδυασµό των δύο. Αν αποκλείσουµε από τον παίχτη Ι να εκλέξει στον κόµβο α µια µεικτή στρατηγική τότε πόσες τέλειες ισορροπίες κατά Nash θα είχαµε; ύο: είτε µηδέν είτε ένα. Οι δύο ισορροπίες είναι: [{0, (0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)},{(0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)}] και [{1, (0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)},{(0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)}] εν αλλάζουµε τίποτα στα υποπαίγνια. Τα υποπαίγνια µένουν τα ίδια. Το µόνο που λέµε είναι ότι απαγορεύουµε στον παίκτη Ι να εκλέξει µια µεικτή στρατηγική στην αρχή. Τίποτα άρα στην 157
αρχή θα εκλέξει είτε µηδέν είτε ένα. εν µπορεί να εκλέξει τυχαία µεταξύ µηδέν και ένα. Βέβαια δεν είναι λογικό να απαγορεύσουµε σε κανένα παίκτη. Άρα δεν είναι λογικό να έχουµε δύο ισορροπίες. Έχουµε άπειρες ισορροπίες. Το συµπέρασµα που βγάζουµε από αυτό το παίγνιο είναι ότι σηµασία είναι ότι υπάρχουνε συνδυασµοί στρατηγικών. Στο [{(0, 1 ; p, (1 p)), (0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)}{(0, 1 ; ½, ½),(0, 1 ; ½, ½)}] έχουµε άπειρες στρατηγικές στην αρχή και από µια στη συνέχεια. Άρα βγήκαν άπειρες ισορροπίες γιατί πολλαπλασιάσαµε το άπειρο επί το 1 [1 x 1 x 4]. Αν στα υποπαίγνια είναι δύο απάνω ισορροπίες και 5 κάτω ισορροπίες, τότε θα έχουνε δέκα. ηλαδή αν είχαµε Υποπαίγνιο (Α) 2 ισορροπίες Υποπαίγνιο (Β) 5 ισορροπίες και βασικά υπήρχε µια επιλογή στην αρχή τότε θα βγαίναµε 10 ισορροπίες τέλειες κατά Nash. 158