Ask seic Majhmatik c Logik c 2 1. Να δειχτεί με πίνακες αλήθειας ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες. (αʹ) (A B) και A B. (βʹ) A (B C) και (A B) (A C). (γʹ) A B και B A. (δʹ) A B και B A. 2. Να δειχτεί με πίνακες αλήθειας ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες. (αʹ) (A B) C A (B C). (βʹ) (A B) C A (B C). (γʹ) A B B A. (δʹ) A A. (εʹ) A (B B) A. (ϛʹ) A (B B) A. (ζʹ) A (B C) (A B) (A C). (ηʹ) A (B C) (A B) (A C). (θʹ) (A B) A B. (ιʹ) (A B) A B. 3. Να δειχτεί με πίνακες αλήθειας ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι αντιλογίες, δηλαδή δεν είναι ικανοποιήσιμες. (αʹ) A A. (βʹ) ( A (B B)) A. (γʹ) (A B) (B C) (A C). (δʹ) (A B) (A B) A. 4. Αν Σ={A B, A C} να δειχτεί ότι Σ = B C. 5. Αν Σ={A C, B D, (A B) (C D)} να δειχτεί ότι Σ (A B) (C D). 6. Αν γίνουν εκλογές τότε θα κερδίσει το κόμμα Α ή το κόμμα Β. Αν τα συνδικάτα δεν υποστηρίξουν το κόμμα Β τότε το κόμμα Β δεν θα κερδίσει τις εκλογές. Εχουμε εκλογές. Από τα παραπάνω δεδομένα (υποθέσεις), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: αν το κόμμα Α δεν κερδίσει τις εκλογές τότε τα συνδικάτα υποστήριξαν το κόμμα Β; 7. Ποια από τα παρακάτω είναι αληθή; Σε κάθε περίπτωση, δείξτε με άμεση επιχειρηματολογία (direct argument) ότι υπόθεση = συμπέρασμα, ή, αν υπόθεση συμπέρασμα, δώστε μία κατάσταση στην οποία η υπόθεση είναι αληθής και το συμπέρασμα ψευδές. 1
(αʹ) p q = p. (βʹ) p q = p. (γʹ) p q = q p. (δʹ) p q = q p. (εʹ) (p q) (r s) = (p r) (q s). (ϛʹ) (p r) (q s) = (p q) (r s). 8. Δείξτε με άμεση επιχειρηματολογία ότι οι παρακάτω προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες: (αʹ) p και p. (βʹ) p και p. (γʹ) p q και (p q) q. (δʹ) p (q r) και (p q) r (πολύ χρήσιμη ισοδυναμία). 9. Κάνοντας χρήση ισοδυναμιών (η επιμεριστικότητα είναι χρήσιμη): (αʹ) δείξτε ότι η πρόταση p q είναι λογικά ισοδύναμη με την (p q) q, (βʹ) δείξτε ότι η πρόταση p q r είναι λογικά ισοδύναμη με την (p r) (q r), (γʹ) δείξτε ότι η πρόταση p (q p) είναι έγκυρη, (δʹ) δείξτε ότι η πρόταση (p q) (p q) είναι λογικά ισοδύναμη με την p, (εʹ) γράψτε την πρόταση (p q) (p r) σε διαζευκτική κανονική μορφή. 10. Ο Αλέξανδρος, ο Βασίλης και ο Κώστας κατηγορούνται ότι παραβίασαν το νόμο. Οι καταθέσεις τους έχουν ως εξής: Αλέξανδρος: ο Βασίλης είναι ένοχος και ο Κώστας είναι αθώος. Βασίλης: αν ο Αλέξανδρος είναι ένοχος, τότε είναι και ο Κώστας. Κώστας: εγώ είμαι αθώος, αλλά τουλάχιστον ένας από τους άλλους είναι ένοχος. (αʹ) Θεωρήστε ότι τα A, B, C εκφράζουν τις προτάσεις ο Αλέξανδρος είναι αθώος, ο Βασίλης είναι αθώος, και ο Κώστας είναι αθώος. Εκφράστε τις καταθέσεις με τη βοήθεια των A, B, C. (βʹ) Είναι οι καταθέσεις συνεπείς; Δηλαδή υπάρχει μία κατάσταση στην οποία είναι όλες αληθείς; (γʹ) Η κατάθεση ενός υπόπτου είναι λογική συνέπεια ( =) των καταθέσεων των άλλων δυο. Δώστε αυτή τη σχέση. (δʹ) Θεωρώντας ότι όλοι είναι αθώοι, ποιος έδωσε ψευδή κατάθεση; (εʹ) Θεωρώντας ότι όλες οι καταθέσεις είναι αληθείς, ποιος είναι αθώος και ποιος είναι ένοχος; (ϛʹ) Αν οι αθώοι έλεγαν την αλήθεια και οι ένοχοι έλεγαν ψέματα, ποιος είναι αθώος και ποιος είναι ένοχος; 11. Ο σύνδεσμος if-then-else ορίζεται από τον ακόλουθο πίνακα αλήθειας: 2
A B C if A then B else C 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 (α ) Δείξτε ότι η πρόταση if A then B else C είναι λογικά ισοδύναμη με την (A B) ( A C). Οποιοσδήποτε σύνδεσμος μπορεί να οριστεί με τη βοήθεια των συνδέσμων,,. Για παράδειγμα, από τον παραπάνω πίνακα, μπορούμε να δούμε ότι η πρόταση if A then B else C είναι αληθής σε τέσσερις περιπτώσεις: A B C, A B C, A B C και A B C. Συνεπώς, η πρόταση (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C) είναι λογικά ισοδύναμη με την if A then B else C, η οποία είναι επίσης ισοδύναμη με την (A B) ( A C), δηλαδή ο σύνδεσμος if-then-else μπορεί εκφραστεί με τη βοήθεια των συνδέσμων,,. Γενικά οποιοδήποτε σύνολο λογικών συνδέσμων μπορεί να εκφραστεί μέσω του συνόλου {,, }, δηλαδή το σύνολο {,, } επαρκεί για να εκφράσουμε οποιαδήποτε πρόταση του Προτασιακού Λογισμού. Ορισμός: Ενα σύνολο λογικών συνδέσμων λέγεται επαρκές αν για κάθε πρόταση του Προτασιακού Λογισμού υπάρχει μία λογικά ισοδύναμη πρόταση που δεν περιέχει άλλους συνδέσμους εκτός από τα στοιχεία του συνόλου αυτού. Η μεθοδολογία που περιγράψαμε παραπάνω μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε σύνδεσμο του οποίου γνωρίζουμε τον πίνακα αλήθειας, αρκεί στην τελευταία στήλη να υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή αληθής. Αλλιώς, αν η τελευταία στήλη δεν περιέχει καμία τιμή αληθής τότε ο σύνδεσμος μπορεί να αντιμετωπιστεί ως. Εχει αποδειχτεί ότι το σύνολο {, } είναι επαρκές, δηλαδή και η σύζευξη μπορεί να εκφραστεί μέσω αυτού του συνόλου συνδέσμων. Παρακάτω εκφράζουμε τους υπόλοιπους συνδέσμους μέσω του συνόλου {, }: A B A B A B ( A B) A B (A B) (B A) ( A B) ( B A) ( ( A B) ( B A)) A A A A ( A ( A)) 3
(β ) Δείξτε ότι το σύνολο συνδέσμων {, } είναι επαρκές. Με άλλα λόγια εκφράστε τους συνδέσμους,,,, μέσω του συνόλου {, }. Εχει αποδειχτεί ότι κάθε σύνολο συνδέσμων με δύο στοιχεία, από τα οποία το ένα είναι το και το άλλο ένα από τα,,, είναι επαρκές. Εκτός από τους συνδέσμους,,,,,, μπορούμε να κατασκευάσουμε και άλλους συνδέσμους, όπως πχ τους και : που ορίζονται από τους παρακάτω πίνακες αλήθειας: p q p q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 p q p:q 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Τα { } και {:} είναι τα μοναδικά μονοσύνολα συνδέσμων που είναι επαρκή. (γ ) Δείξτε ότι το σύνολο { } είναι επαρκές. (δ ) Δείξτε ότι το σύνολο {:} είναι επαρκές. Σημείωση: Με τη βοήθεια του πίνακα αλήθειας του συνδέσμου if-then-else εκφράσαμε την πρόταση if A then B else C σε διαζευκτική κανονική μορφή (ΔΚΜ), η οποία είναι η (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C). Γενικά, μία πρόταση μπορεί να εκφραστεί σε ΔΚΜ με τη βοήθεια του βραχύ πίνακα αλήθειας της. Ο βραχύς πίνακας αλήθειας μιας πρότασης που περιέχει n άτομα έχει 2 n γραμμές (όπως ο κανονικός πίνακας αλήθειας) και n+1 στήλες, μία για κάθε άτομο της πρότασης και μία (η τελευταία στήλη) για την ίδια την πρόταση. Για παράδειγμα, παρακάτω εκφράζουμε την πρόταση p q (p r) σε ΔΚΜ με τη βοήθεια του βραχύ πίνακα αλήθειας της. p q r p q (p r) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 4
Άρα η πρόταση p q (p r) σε ΔΚΜ είναι (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r). Μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτή τη ΔΚΜ της πρότασης; 5