ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3
) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από µέτρηση. Πρόκειται για το ρεύµα που διαρρέει έναν ηλεκτρονικό λαµπτήρα εξοικονόµησης έργειας ισχύος W. Η καταγραφή του σήµατος έγινε µε χρήση ψηφιακού παλµογράφου και κατάλληλου σηµατολήπτη ρεύµατος ( curre prbe). ( ) Amp (sec) Το σήµα έχει καταγραφεί για µία περίοδο Τ. sec, άρα f / 5 Hz και ω π f 34.6 rd / sec. Έχουν ληφθεί στο χρονικό παράθυρο των. sec συνολικά Ν 4 δείγµατα. Παρότι το σήµα εδώ φαίνεται σαν συνεχές αν κάνουµε µια «µεγέθυνση» του σχήµατος µεταξύ των τιµών. sec και.6 sec ( µεταξύ των δύο κόκκινων γραµµών) θα φανούν τα δείγµατα του σήµατος ( βλ. παρακάτω σχήµα) ( ) Amp 5 5 sec (sec) Το διάστηµα δειγµατοληψίας όπως φαίνεται είναι / N. / 4 5 5 sec.
3 ) Υπολογισµός αναπτύγµατος Furer του σήµατος µε αριθµητικό τρόπο Το σήµα ( ) το γνωρίζουµε από τα δείγµατά του δηλ. από ένα πίνακα τιµών. Παρακάτω παραθέτουµε ένα µικρό κοµµάτι του αρχείου µε τα δείγµατα του σήµατος. αριθµός δείγµατος (sec) ( ) ( Amp).E+ -8.343E-3 5.E-5-6.93E-3 3.E-4-6.93E-3 4.5E-4-9.4855E-3 5.E-4 -.65E- 6.5E-4-7.9673E-3 7 3.E-4-8.548E-3 8 3.5E-4 -.4855E- 9 4.E-4-8.548E-3 4.5E-4-7.98E-3 5.E-4 -.355E- 5.5E-4 -.865E- 3 6.E-4-9.9673E-3 4 6.5E-4 -.843E- 5 7.E-4 -.843E- 6 7.5E-4 -.843E- 7 8.E-4 -.74855E- 8 8.5E-4 -.74855E- 9 9.E-4 -.3843E- 9.5E-4 -.3843E- 9.999999E-4 -.4843E-.5E-3 -.4843E- 3.E-3 -.9673E- 4.5E-3-9.948E-3 5.E-3-9.6865E-3. ( συνεχίζεται µέχρι. sec) Προφανώς δ διαθέτουµε αναλυτική περιγραφή του σήµατος. Αν θέλουµε να υπολογίσουµε το ανάπτυγµα Furer του σήµατος σε µορφή «Α» δηλ. να υπολογίσουµε τους συντελεστές: ( ) c + [ s ( ω ) + b cs ( ω ) ] c ( ) d, ( ) s ( ω ) d, b ( ) cs ( ω ) d
4 θα µπορούσαµε εδώ να κάνουµε υπολογισµό των παραπάνω ολοκληρωµάτων µε χρήση των απλών σχέσεων: N ( ) d ( ) c () N ( ) s ( ω ) d ( ) s ( ω ) () για,,. b N ( ) cs ( ω ) d ( ) cs ( ω ) (3) για,,. ηλαδή υπολογίζουµε προσεγγιστικά τα ολοκληρώµατα ως αθροίσµατα Remm χρησιµοποιώντας ένα σχετικά µεγάλο αριθµό σηµείων ( Ν 4 ) και µε 5 5 sec. Ο τρόπος αυτός,υπολογισµού των ολοκληρωµάτων, λέγεται αριθµητικός Παρουσιάζει διαφέρον ο υπολογισµός αυτός, καθώς και ο έλεγχος του αποτελέσµατος που θα προκύψει. Αρχικά υπολογίζουµε το c που είναι και η µέση τιµή του σήµατος. Παρατηρώντας το αρχικό σχήµα, φαίνεται ότι η µέση τιµή είναι ίση µε το µηδέν ( συµµετρία στο σήµα). Παρ όλα αυτά µια πιο προσεκτική παρατήρηση δείχνει µια ελαφρά µετατόπιση προς τις αρνητικές τιµές, άρα µια µικρή αρνητική τιµή του c. Πράγµατι ο αριθµητικός υπολογισµός δίνει: N 5 c ( ) - 9.9895 3 Amp. Στη συνέχεια υπολογίζουµε τους συντελεστές πεπερασµένο αριθµό αρµονικών Ν h. Από τις τιµές των αντίστοιχες τιµές των c και b µέχρι, προφανώς, ένα και b ( µορφή «Α») µπορούµε εύκολα να βρούµε τις c και ϑ ( µορφή «Β»), από τους γνωστούς τύπους: + b και Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τιµές των µεγεθών ϑ b, b,όπως υπολογίστηκαν από τις προσεγγιστικές σχέσεις (),() και (3) για τις 3 πρώτες αρµονικές δηλ για,,,,3. Κατόπιν στις δύο τελευταίες στήλες αναγράφονται οι τιµές των και c, ϑ όπως υπολογίζονται από τις τιµές των και b
5 τάξη αρµονικης συχνοτητα ϑ (Amp) (Amp) (Amp) (µοιρες) (Hz) b c -.989E-3 5..93E-.459E-.3E+ 6.45. -.78E-5.7636E-3.7636E-3 9.5 3 5. -.979E- -.793E-.7983E- -97.4 4..896E-3.64E-4.8985E-3 4. 5 5. -.466E-.98E-.5E- 54.5 6 3. -.5445E-3.445E-3.5634E-3 65. 7 35..87E-.34E-.375E- 6.45 8 4. -.377E-3.537E-3.637E-3 6.6 9 45..6E- -.998E-.38E- -4.45 5. -.4E-3 -.563E-3.695E-3-3.8 55. -.543E- -.77E-.94E- -4.65 6. -.466E-4 -.6546E-3.6563E-3-94.6 3 65. -.E-.7743E-.67E- 4.3 4 7. -.5496E-3.57E-3.7545E-3 36.74 5 75..865E-.34E-.474E- 56.8 6 8..67E-3.6476E-4.635E-3 5.89 7 85..947E- -.7335E-.94E- -37.9 8 9. -.3E-3 -.55E-3.3397E-3-5.8 9 95. -.494E- -.87E-.E- -9.5..3874E-3 -.54E-3.6647E-3-54.35 5. -.8634E-.5539E-.6E- 47.3..876E-3.63E-3.485E-3 4.98 3 5..5447E-.676E-.868E- 5.4 4. -.557E-3 -.89E-3.5493E-3-59.86 5 5..57E- -.333E-.666E- -3.5 6 3..986E-4 -.8E-3.577E-3-54.38 7 35. -.363E- -.6E-.74E- -.6 8 4..33E-4 -.499E-4.565E-4-75.6 9 45. -.56E-.3436E-.683E- 46.84 3 5. -.585E-3 -.5E-3.5744E-3-56.93 Με βάση τα δεδοµένα του παραπάνω πίνακα το σήµα ρεύµατος ( ) µπορεί να γραφεί σε ανάπτυγµα Furer, Μορφής «Β» ως εξής: ( ).989 3 +.3s ( π 5 + 6.45 ) +.7636 3 s ( π 5 + 9.5 ) + +.7938 s ( 3 π 5 97.4 ) +.8985 3 s ( 4 π 5 + 4. ) + +.5 s ( 5 π 5 + 54.5 ) +.5634 3 s ( 6 π 5 + 65. ) +....
6 Παρατηρώντας τα πλάτη των αρµονικών βλέπουµε ότι οι άρτιες αρµονικές (, 4, 6 ) έχουν πλάτη τάξεις µεγέθους µικρότερα από τα πλάτη των περιττών αρµονικών (, 3, 5 ). Αυτό ουσιαστικά σηµαίνει ότι το σήµα έχει, κύρια, περιττές αρµονικές. Στο παρακάτω σχήµα έχει σχεδιαστεί το φάσµα πλάτους του σήµατος. Στον οριζόντιο άξονα έχουµε την συχνότητα f σε Hz. Επειδή, στο διάγραµµα, φθάνουµε µέχρι τα 5 Ηz, αυτό σηµαίνει ότι φθάνουµε µέχρι την η αρµονική, διότι η η αρµονική έχει συχνότητα f / 5 Hz. Παρατηρείστε ότι οι περιττές αρµονικές έχουν πολύ µεγαλύτερες τιµές από τις άρτιες. Παρατηρείστε επίσης στο διάγραµµα, ότι, όπως προαναφέρθηκε η µέση τιµή c έχει αρνητική τιµή. c ( Amp) f ( Hz) Φάσµα πλάτους του σήµατος ( )
3) Αναπαραγωγή του σήµατος ( ) από τις αρµονικές του Παρουσιάζει µεγάλο διαφέρον η ακόλουθη διαδικασία: 7 Εφ όσον διαθέτουµε τα αναπτύγµατα Furer του σήµατος, µε αριθµητικό υπολογισµό των συντελεστών, b, c, ϑ, να κάνουµε αναπαραγωγή του σήµατος ( ) από τις αρµονικές του χρησιµοποιώντας, βέβαια, ένα πεπερασµένο αριθµό αρµονικών. Παρακάτω ακολουθούν παραδείγµατα: αρχικο σηµα ( ) αναπαραγωγ η σηµατος µε 5 αρµονικες ( ) ( ) ( Amp) ( sec) Στο ανωτέρω σχήµα φαίνεται µε µαύρο χρώµα το αρχικό σήµα ( ) και µε µπλέ χρώµα η αναπαραγωγή του σήµατος από το ανάπτυγµα Furer χρησιµοποιώντας τις 5 πρώτες αρµονικές, δηλ για έως 5. Υπάρχει µια αρκετά σηµαντική διαφορά αλλά ας µην ξεχνάµε ότι χρησιµοποιήθηκε πολύ µικρός αριθµός αρµονικών
8 αρχικο σηµα ( ) αναπαραγωγ η µε αρµονικες σηµατος ( ) ( ) ( Amp) ( sec) Στο ανωτέρω σχήµα φαίνεται µε µαύρο χρώµα το αρχικό σήµα ( ) και µε µπλέ χρώµα η αναπαραγωγή του σήµατος από το ανάπτυγµα Furer χρησιµοποιώντας τις πρώτες αρµονικές, δηλ για έως. ιαπιστώνεται σαφής βελτίωση της ακρίβειας αρχικο σηµα ( ) αναπαραγωγ η µε αρµονικες σηµατος ( ) ( ) ( Amp) ( sec) Στο ανωτέρω σχήµα φαίνεται µε µαύρο χρώµα το αρχικό σήµα ( ) και µε µπλέ χρώµα η αναπαραγωγή του σήµατος από το ανάπτυγµα Furer χρησιµοποιώντας τις πρώτες αρµονικές, δηλ για έως. Εδώ έχουµε πλήρη ταύτιση των δύο σηµάτων και για τον λόγο αυτό δ φαίνεται καθόλου,επικαλύπτεται πλήρως, το αρχικό σήµα ( µαύρη γραµµή).
4 ) Υπολογισµοί παραµέτρων του σήµατος 9 Είδαµε λοιπόν στην προηγούµη παράγραφο ότι, αν χρησιµοποιήσουµε, ένα σχετικά µεγάλο αριθµό αρµονικών ( N h ) µπορούµε να πετύχουµε άριστη περιγραφή του σήµατος. Ας δούµε τώρα πως µπορούµε να υπολογίσουµε διάφορες παραµέτρους του σήµατος. α) Ενεργός τιµή Υπολογίζεται από την γνωστή σχέση: ( ) d Επειδή, όπως προαναφέρθηκε, δ διαθέτουµε αναλυτική περιγραφή του σήµατος αλλά έναν πίνακα τιµών αυτού, θα γίνει προσεγγιστικός αριθµητικός υπολογισµός του ολοκληρώµατος µε χρήση της παρακάτω απλής σχέσης: N ( ) όπου Τ. sec, N 4, 5 5 sec, και οι τιµές ( ) δίνονται από πίνακα το αποτέλεσµα που θα πάρουµε είναι:.85365 Amp Μπορούµε αλλακτικά να κάνουµε χρήση του τύπου του Prsevl για τον υπολογισµό της εργού τιµής : c c, Prsevl c + + +... όπου βέβαια, σε πρακτικό υπολογισµό, το άθροισµα κάπου πρέπει να σταµατήσει. Στην περίπτωσή µας επειδή διαθέτουµε τιµές των συντελεστών c για τις πρώτες αρµονικές, µπορούµε να υπολογίσουµε αυτό το άθροισµα ακριβώς µε αυτές τις τιµές. Το αποτέλεσµα θα είναι:, Prsevl c + c.8757 Amp Παρατηρείται εξαιρετική συµφωνία µεταξύ των δύο τιµών και, Prsevl
β) Υπόλοιπο αρµονικών R Το υπόλοιπο αρµονικών R µπορεί να υπολογιστεί από την σχέση: R c θέτοντας:.85365, c - 9.989 3 και c.3 θα πάρουµε: c R.7986 Amp γ) Ολική αρµονική παραµόρφωση (HD %) Έχουµε την σχέση ορισµού: R HD (%) c / µε αντικατάσταση τιµών θα πάρουµε: % HD ( % ) 9.65 % τιµή πολύ µεγάλη, διότι η µορφή του σήµατος ( παλµική µορφή) απέχει πολύ από αυτήν ός καθαρού ηµιτόνου