i) Nα βρεθεί κατά ποιά χρονική στιγµή ο κύβος αποσπάται από τον πυθµένα του δοχείου.

Ένας ξύλινος κύβος ακµής α, εφάπτεται υδατοστε γώς µε µια έδρα του µε τον οριζόντιο πυθµένα ενός δοχείου, το οποίο περιέχει νερό µέχρις ύψους H>α. Mε την βοήθεια λεπτού νήµατος, του οποίου το ένα άκρο είναι δεµένο στο κέντρο της πάνω έδρας του κύβου εξασκούµε σ αυτόν κατακόρυφη δύναµη, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση F=λt, όπου λ θετική και σταθερή ποσότητα. i) Nα βρεθεί κατά ποιά χρονική στιγµή ο κύβος αποσπάται από τον πυθµένα του δοχείου. ii) Eάν την στιγµή αυτή σπάει το νήµα, να βρεθεί η ταχύτητα του κύ βου, όταν η πάνω έδρα του φθάνει στην ελεύθερη επιφάνεια του νε ρού. Δίνονται οι πυκνότητες ρ ξ και ρ ν του ξύλου καί του νερού αντι στοίχως, µε ρ ξ <ρ ν και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. Nα µη ληφθεί υπόψη η ατµοσφαιρική πίεση. ΛYΣH: i) Tην χρονική στιγµή t * που ο κύβος αποσπάται από τον πυθµένα του δοχείου, δέχεται το βάρος του w, την πιεστική δύναµη F ' επί της άνω έδρας του από το νερό, τις πιεστικές δυνάµεις επί των κατακόρυφων εδρών του, οι Σχήµα οποίες ανά δύο εξουδετερώνονται και την δύναµη από το νήµα, η οποία είναι ίση µε την δύναµη F που ασκούµε στο ελεύθερο άκρο του νήµατος. Όµως κατά την στιγµή t * ο κύβος ισορροπεί οριακά, οπότε για τα µέτρα των προηγούµενων δυνάµεων ισχύει η σχέση: F' + w - F = α (H - α)ρ ν g + α 3 ρ ξ g - λt * =

[ ] = %t * t * = g H - g (H - )" # + " $ [( )" # + " $ ] /% () ii) Aπό την στιγµή t * και µετά ο κύβος δέχεται το βάρος του w και την άνωση A από το νερό και επειδή ρ ν >ρ ξ θα ισχύει A>w, οπότε ο κύβος θα κινείται προς τα πάνω επιταχυνόµενος εκ της ηρεµίας. Eφαρµόζοντας για τον κύβο το θεώ ρηµα κινητικής ενέργειας-έργου από την στιγµή που σπάει το νήµα, µέχρις ότου η πάνω βάση του κύβου βρεθεί στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού, παίρ νουµε την σχέση: mv / - = W A + W w mv / = A(H - ) - w(h - ) 3 " # v / = (H - )( 3 " $ g - 3 " # g) " v = g(h - #)( $ - " ) v = g(h - )(" # - " $ )/" $ v = g(h - )(" # /" $ - ) P.M. fysikos Tα κατακόρυφα σκέλη των συγκοινονούντων δο χείων του σχήµατος () έχουν διατοµές των οποίων τα εµβαδά είναι S και S µε S =S, η δε στάθµη του υγρού που περιέχεται στα δύο δοχεία βρίσκεται σε ύψος h από την οριζόντια βάση τους. Mε την βοήθεια ενός αβαρούς εµβόλου συµπιέζουµε το υγρό στο ευρύ δοχείο, µέχρις ότου η στάθµη του κατέλθει στο µισό της αρχικής. i) Nα βρεθεί το έργο της πιεστικής δύναµης, που πρέπει να εξασκη θεί στο έµβολο. ii) Nα βρεθεί το µέτρο της πιεστικής δύναµης, ώστε το σύστηµα να διατηρείται σε ισορροπία µετά την συµπίεση του υγρού. Δίνεται η πυκνότητα ρ του υγρού και η επιτάχυνση g της βαρύτη τας. ΛYΣH: i) Kατά την προς τα κάτω κίνηση του εµβόλου το υγρό δέχεται την εξωτερική πιεστική δύναµη F, την πιεστική δύναµη F από τον ατµοσφαιρικό αέρα που ενεργεί επί εµβαδού S και την πιεστική δύναµη F " επίσης από τον ατµοσφαιρικό αέρα που ενεργεί επί εµβαδού S. Eφαρµόζοντας για το υγρό το θεώρηµα µηχανικής ενέργειας-έργου παίρνουµε την σχέση: E "# - E $%& = W F + W F $ + W F $ ' U "# - U $%& = W F + W F $ + W F $ ' () όπου U αρχ, U τελ η αρχική αντιστοίχως η τελική βαρυτική δυναµική ενέργεια του νερού, ενώ οι αντίστοιχες κινητικές του ενέργειες είναι µηδενικές. Για τα έργα W F, W F " των σταθερών δυνάµεων F, F " έχουµε:

W F = F h / = P S h / # $ F = - F " y = -P S y = -P S y / % W " () όπου y η ανύψωση της στάθµης του υγρού στο στενό δοχείο και P α η ατµοσ φαιρική πίεση. Όµως λόγω του ασυµπιέστου του υγρού ισχύει S h /= S y ή S h /= S y/ ή h =y, οπότε οι σχέσεις () δίνουν W F =-W F ", µε αποτέλεσµα η () να γράφεται: U "# - U $%& = W F (3) Σχήµα Η αρχική βαρυτική δυναµική ενέργεια του υγρού, µε επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο (ε) που διέρχεται από την βάση των δύο δοχείων, είναι: U "# = m gh / + m gh / = S h "gh / + S h "gh / U "# = h "g( S + S ) / = 3h "gs / 4 (4) όπυ m, m οι µάζες του υγρού στα δύο δοχεία πριν την δράση της πιεστικής δύναµης F. Για την τελική βαρυτική δυναµική ενέργεια του υγρού έχουµε: U "# = m $ gh /4 + m $ g( h +y) / = S ( h /)%gh /4 + S ( h )%gh U "# = S $gh /8 + S $gh = 9S $gh /8 (5) όπου m, m oι τελικές µάζες του υγρού στα δύο δοχεία. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3), (4) και (5) παίρνουµε το ζητούµενο έργο της F : W F = 9S gh /8-3h gs / 4 = 3S gh /8 (6) ii) Για να διατηρείται το σύστηµα σε ισορροπία µετά την συµπίεση του υγρού, πρέπει την στιγµή που ολοκληρώνεται η συµπίεση να µηδενίζεται η συνιστα µένη δύναµη επί του εµβόλου. Το έµβολο εκτός των δυνάµεων F και F δέχε ται ακόµη την πιεστική δύναµη R από το υγρό, τα δε µέτρα των τριών αυτών δυνάµεων πρέπει να ικανοποιούν την σχέση:

R - F - F = S P E - F - S P = Όµως η πίεση P E στα σηµεία της κάτω πλευράς του εµβόλου είναι ίση µε την πίεση του σηµείου Α, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: F = S ( P A - P ) = S ( P + "gh - P ) F = S gh (7) P.M. fysikos Ένα στερεό σώµα επιπλέει σε υγρό, το οποίο επιταχύνεται κατακόρυφα. Nα δείξετε ότι, ο όγκος του σώµατος που είναι βυθισµένος στο υγρό είναι ανεξάρτητος από την επιτάχυνση του υγρού. H πυκνότητα ρ σ του σώµατος είναι µικρότερη από την πυκνό τητα ρ υυ του υγρού. ΛYΣH: Επειδή το σώµα επιπλέει στο υγρό, δηλαδή ισορροπεί ως προς αυτό, έχει στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους την ίδια επιτάχυνση µε το υγρό, δηλαδή επιτάχυνση a. Εξετάζοντας το σώµα παρατηρούµε ότι, αυτό δέχεται το βάρος του w και την άνωση A από το υγρό. Επειδή το υγρό επιταχύνεται η άνωση δεν έχει τα στοιχεία που καθορίζει η αρχή του Αρχιµήδη, αλλά απαιτεί ειδικό υπολογισµό. Εξ ορισµού η άνωση είναι η συνισταµένη των πιεστικών δυνάµεων που δέχεται η επιφάνεια του στερεού που διαβρέχεται από το υγρό, Σχήµα 3 εξαρτάται δε από το σχήµα της επιφάνειας αυτής, από την φύση του υγρού και από την κινητική του κατάσταση. Αυτό σηµαίνει ότι, αν το βυθισµένο µέρος του σώµατος αντικατασταθεί µε υγρό η εξωτερική του επιφάνειά θα δέχεται από την υπόλοιπη µάζα του υγρού άνωση ίση µε A. Εφαρµόζοντας για το υγρό που αντικατέστησε το βυθισµένο µέρος του σώµατος τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα παίρνουµε την σχέση: w + A = m a m g + A = m a A = m a - m g ()

όπου m υ η µάζα του υγρού. Επειδή τα διανύσµατα a και g είναι κατακόρυφα η σχέση () εγγυάται ότι και ο φορέας της A θα είναι κατακόρυφος, δε αλγεβρική της τιµή θα είναι: A = m a - m (-g) = m ( a + g) A = " V # ( a + g) > () όπου V β ο βυθισµένος όγκος του σώµατος. Από την () προκύπτει ότι η άνωση A κατευθύνεται προς τα πάνω. Εφαρµόζοντας τώρα για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα παίρνουµε: A - w = m a A - m g = m a A = m ( a + g) = " V a + g () ( ) " V # ( a + g) = $ V $ ( a + g) " V # = $ V $ V = V " # " /# $ < V " δηλαδή ο βυθισµένος όγκος V β του σώµατος είναι ανεξάρτητος της επιταχύνσε ως a του υγρού. P.M. fysikos Mια σφαίρα ακτίνας r και µάζας m, αιωρείται µε την βοήθεια µιας κατακόρυφης φλέβας αέρος, η οποία εξέρχεται στον ατµοσφαιρικό αέρα από ακροφύσιο, όπως φαίνεται στο σχήµα (4). Η διατοµή εξόδου της αέριας βλέβας έχει ακτίνα R, ενώ η διατοµή στην θέση του µανοµέτρου Μ έχει ακτίνα R. Eάν η ροή του αέρα στο τµήµα του ακροφυσίου µεταξύ του µανοµέτρου και της εξόδου του θεωρηθεί µόνιµη, περίπου ασυµπίεστη και µε ασήµαντες τριβές και επιπλέον µη επηρεαζόµενη από το πεδίο βαρύτητας, να βρείτε την ένδειξη του µανοµέτρου. Δίνεται η ατµοσφαιρική πίεση P α, η επιτά χυνση g της βαρύτητας και ότι το µέτρο της αντίστασης T που δέχε ται η σφαίρα, όταν κινείται κατακόρυφα εντός ακινήτου αέρα ακολουθεί τον νόµο T=Cρr v, όπου v η ταχύτητα της σφαίρας, C γνω στή αδιάστατη σταθερή ποσότητα και ρ η πυκνότητα του αέρα. ΛΥΣΗ: H σφαίρα ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους της w και της δύ ναµης T που δέχεται από την κατακόρυφη φλέβα αέρος που προσπίπτει πάνω της. Για να καθορίσουµε τα στοιχεία της T στηριζόµαστε στο γεγονος ότι, η µορφή της ροής του αέρα περί την ακίνητη σφαίρα δεν αλλάζει, αν εξετάζουµε την σφαίρα στο σύστηµα αναφοράς της προσπίπτουσας αέριας φλέβας. Στο σύ στηµα αυτό ο αέρας είναι ακίνητος και η σφαίρα κινείται µε ταχύτητα αντί θετη της ταχύτητας προσπτώσεως v της φλέβας, όποτε θα δέχεται αντίσταση από τον αέρα αντίρροπη της - v, δηλαδή οµόρροπη της v και το µέτρο της θα είναι της µορφής Τ=Cρr v. Λόγω της ισορροπίας της σφαίρας ισχύει:

T = w Cr v = mg v = mg/cr () Εφαρµόζοντας τον νόµο Βernulli για την ρευµατική γραµµή, θεωρώντας περίπου µηδενικές τις υψοµετρικές πιέσεις αφού το πεδίο βαρύτητας ελάχιστα επηρεάζει την ροή του αέρα στο εσωτερικό του ακροφυσίου, θα έχουµε την σχέ ση: Σχήµα 4 P + v / + = P + v / + P M + v / = P " + v / P M = P + " v ( - v ) / () όπου P M η στατική πίεση του αέρα στην διατοµή του ακροφυσίου που διέρχεται από το σηµείο, η οποία ταυτίζεται µε την ένδειξη του µανοµέτρου και v η ταχύτητα ροής του αέρα στην διατοµή αυτή. Εξάλλου από τον νόµο της συνέχει ας για τις διατοµές που διέρχονται από τα σηµεία και έχουµε: S v = S v ( R) v = R v v = v / 4 οπότε η () γράφεται: () P M = P + " ( v - v /6) / P M = P + 5"v /3 P M = P + 5"mg/3C"r P M = P + 5mg/3Cr P.M. fysikos Οριζόντια υδάτινη φλέβα προσπίπτει µε ταχύτητα v επί ενός πτερυγίου, το οποίο συνδέεται µε ακλόνητο ελατήριο σταθεράς k που ο άξονας του είναι οριζόντιος, όπως φαίνεται στο σχήµα (5). Η φλέβα διαχωρίζεται σε δύο ακριβώς όµοιες φλέβες που εγκαταλείπουν το πτερύγιο µε ταχύτητες v και v του ίδιου µέτρου, που οι φορείς τους παρουσιάζουν κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύ

θυνση. Εάν στην µόνιµη κατάσταση του συστήµατος το πτερύγιο ισορ ροπεί µε το ελατήριο συσπειρωµένο κατά x *, να βρεθεί το κοινό µέτρο των ταχύτητων v, v. Δίνεται η παροχή Π της προσπίπτουσας φλέβας, η πυκνότητα ρ του νερού, το δε πεδίο βαρύτητας να αγνοηθεί. ΛΥΣΗ: Θα εξετάσουµε τον όγκο του νερού που περιλαµβάνει ένα τµήµα της φλέβας που προσπίπτει στο πτερύγιο και τις δύο ανακλώµενες φλέβες που έχουν επαφή µε το πτερύγιο (εστιγµένη κόκκινη γραµµή σχ. 5). Έστω ότι σε στοιχειώδη χρόνο εισέρχεται στον όγκο αυτόν µια στοιχειώδης µάζα dm νε ρού, που σηµαίνει ότι η αντίστοιχη εισερχόµενη ορµή στον όγκο θα είναι dm v. Όµως στον χρόνο εξέρχεται εκ του όγκου αυτού µάζα dm νερού µε ταχύτη Σχήµα 5 τα v και µάζα dm µε ταχύτητα v, µε dm +dm =dm, που σηµαίνει ότι η αντίστοιχη εξερχόµενη ορµή από τον όγκο είναι dm v +dm v. Η µεταβολή d L της ορµής του θεωρούµενου όγκου νερού στον χρόνο είναι: d L = dm v +dm v - dm v () Εφαρµόζοντας για την ποσότητα νερού που περιέχεται στον όγκο τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, παίρνουµε την σχέση: d L = F () " dm v + dm v - dm v = F " () όπου F " η συνολική δύναµη που δέχεται η θεωρούµενη ποσότητα νερού από το περιβάλλον της. Όµως η F " αποτελεί την συνισταµένη δύο δυνάµεων, της δύναµης επαφής F από το πτερύγιο και της πιεστικής δύναµης από τον ατµοσ φαιρικό αέρα. Εάν όµως η ταχύτητα v είναι αρκετά µεγάλη, η δύναµη από τον αέρα είναι ασήµαντη σε σχέση µε την δύναµη επαφής και µπορεί να παραληφ θεί. Έτσι η F " µε καλή προσέγγιση είναι ίση µε F και η () γράφεται. F = dm v + dm v - dm v (3)

H διανυσµατική σχέση (3) αναλύεται σε δύο αλγεβρικές, λαµβάνοντας τις συνισ τώσες των διανυσµάτων που περιέχει κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων x, y οπότε θα έχουµε: Άξονας x: Άξονας y: F x = dm v x + dm v x - dm (-v) F x = dm v * "#$+ dm v dm *"#$ + v (4) F y = dm v y - dm v y - dm F y = dm v * µ" - dm v *µ" (5) όπου v * το κοινό µέτρο των ταχυτήτων v, v και F x, F y oι αλγεβρικές τιµές της οριζόντιας και κατακόρυφης συνιστώσας αντιστοίχως της δύναµης F. Επει δή οι δύο ανακλώµενες υδάτινες φλέβες είναι όµοιες θα ισχύει dm =dm =dm/ και οι σχέσεις (4), (5) δίνουν: F x = dm v dm *"#$ + v dm *"#$ + v = dm ( v * "#$ + v ) (6) και F y = δηλαδή η δύναµη F είναι οριζόντια µε φορά προς τα αριστερά. Εξάλ λου σύµφωνα µε το άξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης το πτερύ γιο θα δέχεται από το εν επαφή υγρό δυναµη R = - F, δηλαδή δύναµη που κατευθύνεται προς τα δεξιά και το µέτρο της είναι: (6) R = F x R = dm ( v * "#$ + v ) R = dv ( v * "#$% + v ) R = "( v * #$%& + v) (7) όπου dv ο όγκος του νερού που αντιστοιχεί στην µάζα dm, ενώ το πηλίκο dv/ αποτελεί την παροχή Π της προσπίπτουσας φλέβας. Όµως το πτερύγιο ισορροπεί υπό την επίδραση της δύναµης R και της δύναµης F από το συµπι εσµένο ελατήριο, οπότε οι δύο αυτές δυνάµεις έχουν κοινό φορέα αντίθετες φορές και ίδιο µέτρο, δηλαδή ισχύει: (7) R = F "( v * #$%& + v) = kx * v * = kx * "#$%& - v #$%& P.M. Fysikos

Στην διάταξη του σήµατος (6) το ελατήριο είναι ιδανικό έχει σταθερά k και το ένα του άκρο είναι στερεωµένο στον πυθµένα ισοδιαµετρικού σωλήνα σχήµατος U, ενώ το άλλο του άκρο καταλήγει σε αβαρές έµβολο που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατά µήκος του δεξιού σκέλους του σωλήνα. Στον σωλήνα περιέχεται οµογενές υγρό πυκνότητας ρ του oποίου η στάθµη στο αριστερό σκέ λος φθάνει µέχρι το έµβολο και τότε το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Συµπιέζουµε το υγρό στο αριστερο σκέλος µε την βοήθεια εµβόλου, ώστε η στάθµή του να κατέλθει κατά x και στην συνέχεια ελευθερώνουµε το σύστηµα. Να δείξετε ότι κατά την κίνηση του υγ ρού η ταχύτητα v κάθε ρευστού σωµατιδίου της ελεύθερης επιφάνει ας του αριστερού σκέλους συνδέεται µε την αποµάκρυνσή x αυτής από την θέση ισορροπίας της µε την σχέση: v = ( x - x ) µε = k + S"g S"L όπου L το µήκος του υγρού στον σωλήνα, S το εµβαδόν διατοµής του και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Να δεχθείτε µηδενική τριβή µετα ξύ του υγρού και των τοιχωµάτων του σωλήνα. ΛΥΣΗ: Θεωρούµε το υγρό κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t που η στάθµη του στο αριστερό σκέλος του σωλήνα υπέρκειται της στάθµης ισορροπίας (κόκ κινη εστιγµένη γραµµή) κατά το διάνυσµα x, οπότε στο δεξιό σκέλος η στάθµη του υγρού θα βρίσκεται πάνω από την στάθµη ισορροπίας κατά το διάνυσµα - x. Σχήµα 6 Την στιγµή αυτή το υγρό θα έχει παντού ταχύτητα του ίδιου µέτρου v, το δε ελατήριο θα είναι επιµηκυµένο κατά x από την φυσική του κατάσταση. Εάν λάβουµε ως επίπεδο µηδενικής βαρυτικής δυναµικής ενέργειας τo οριζόντιο επίπεδο (ε) που διέρχεται από την βάση του σωλήνα, η µηχανική ενέργεια του συστήµατος υγρό-ελατήριο κατα την θεωρούµενη χρονική στιγµή θα δίνεται από την σχέση: ( ) E(t) = K(t) + U(t) = mv + m g L - x ( + m g L + x ) + kx ()

όπου m η µάζα του υγρού, m, m οι µάζες του υγρού που περιέχονται στο αριστερό και στο δεξιό σκέλος αντιστοίχως του σωλήνα, L η απόσταση της στάθµης ισορροπίας από το επίπεδο (ε). Όµως για τις µάζες m, m, m θα έχου µε τις σχέσεις: m = ( L - x)s, m = ( L + x)s, m = LS οπότε η () γράφεται: E(t) = SLv ( + Sg L - x ) ( + Sg L + x ) + kx E(t) = SLv E(t) = SLv + kx + Sg + kx + Sg L + x ( L - L x + x + L + L x + x ) ( ) () Eξάλλου την χρονική στιγµή t= που το υγρό ελευθερώνεται η ταχύτητά του είναι παντού µηδενική και η επιµήκυνση του ελατηρίου x, οπότε η µηχανική ενέργεια Ε() του συστήµατος είναι: ( ) E() = K() + U() = + m g L - x ( ) + m g L + x + kx όπου m, m οι µάζες του υγρού που περιέχονται στο αριστερό και στο δεξιό σκέλος αντιστοίχως του σωλήνα. Για τις µάζες αυτές έχουµε: m = ( L - x )S", m = ( L + x )S" οπότε η (3) γράφεται: (3) ( E() = Sg L - x ) ( + Sg L + x ) + kx E() = kx + Sg L + x ( ) (4) Όµως στην διάρκεια της κίνησης του υγρού εντός του σωλήνα η µηχανική του ενέργεια του συστήµατος διατηρείται σταθερή, οπότε µε βάση τις () και (4) µπορούµε να γράψουµε την σχέση: kx + Sg L + x ( ) = SLv ( ) + kx + Sg L + x kx - kx + Sg L + x ( ) - Sg( L + x ) = SLv

( ) + Sg( x - x ) = SLv k x - x ( k + Sg) ( x - x ) = SLv v = k + Sg ( x SL - x ) v = ( x - x ) µε = k + S"g S"L (5) Σηµαντικό σχόλιο (εκτός των γνώσεων των µαθητών) Στο κεφάλαιο των ταλαντώσεων συναντούν οι µαθητές σχέση της µορφής (5), η οποία αποτελεί αναγκαία συνθήκη όταν ένα υλικό σηµείο εκτελεί αρµονική ταλάντωση πάνω σε ευθεία τροχιά. Θα δείξουµε στην παρούσα περίπτωση ότι η (5) αποτελεί ικανή συνθήκη, ώστε η κίνηση του όλου συστήµατος να είναι αρµο νική ταλάντωση, κατά την εξέλιξη της οποίας κάθε ρευστό σωµατίδιο της ελεύ θερης στάθµης του υγρού στο αριστερό σκέλος του σωλήνα εκτελεί αρµονική κίνηση επί κατακόρυφης τροχιάς. Διαφορίζοντας την σχέση (5) έχουµε: vdv = - xdx v dv = - x dx dv = - x d x = - x d x + x = (6) H (6) αποτελεί µια οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση ης τάξεως µε σταθερούς συντελεστες και δέχεται λύση της µορφής x=aηµ(ωt+φ), όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που θα προκύψουν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του συστήµατος. Άρα το σύστηµα εκτελεί στο συνολό του µια περιοδική κίνηση αρµονικού χαρακτήρα, που σηµαίνει ότι κάθε ρευστό σωµατίδιο της ελευθερης επιφάνειας του υγρού εκτελεί κατακόρυφη αρµονική ταλάντωση κυκλικής συχνότητας ω. P.M. fysikos